Ako zistiť dĺžku tvoriacej čiary valca. geometrické telesá. Valec. Prvky a vlastnosti valca

Názov vedy „geometria“ sa prekladá ako „meranie Zeme“. Zrodila sa vďaka úsiliu úplne prvých starovekých zememeračov. A stalo sa to takto: pri záplavách posvätného Nílu prúdy vody niekedy zmyli hranice pozemkov farmárov a nové hranice sa nemuseli zhodovať so starými. Dane platili roľníci do pokladnice faraóna v pomere k veľkosti pridelenej pôdy. Po úniku sa špeciálni ľudia zaoberali meraním plôch ornej pôdy v rámci nových hraníc. V dôsledku ich činnosti vznikla nová veda, ktorá sa rozvíjala v starovekom Grécku. Tam dostal svoje meno a získal takmer moderný vzhľad. V budúcnosti sa tento termín stal medzinárodným názvom pre vedu o plochých a trojrozmerných postavách.

Planimetrie je odvetvie geometrie, ktoré sa zaoberá štúdiom rovinných útvarov. Ďalším odvetvím vedy je stereometria, ktorá zvažuje vlastnosti priestorových (objemových) útvarov. K takýmto postavám patrí aj valec opísaný v tomto článku.

Existuje veľa príkladov prítomnosti valcových predmetov v každodennom živote. Takmer všetky časti rotácie - hriadele, puzdrá, hrdlá, nápravy atď. majú valcový (oveľa menej často - kužeľový) tvar. Valec je široko používaný v stavebníctve: veže, nosné, ozdobné stĺpy. A okrem toho riad, niektoré druhy obalov, rúry rôznych priemerov. A na záver – slávne klobúky, ktoré sa na dlhú dobu stali symbolom mužskej elegancie. Zoznam je nekonečný.

Definícia valca ako geometrického útvaru

Valec (kruhový valec) sa zvyčajne nazýva postava pozostávajúca z dvoch kruhov, ktoré sa v prípade potreby kombinujú pomocou paralelného prekladu. Práve tieto kruhy sú základňami valca. Ale čiary (priame segmenty) spájajúce zodpovedajúce body sa nazývajú "generátory".

Dôležité je, aby podstavy valca boli vždy rovnaké (ak táto podmienka nie je splnená, tak máme pred sebou zrezaný kužeľ, niečo iné, ale nie valec) a boli v rovnobežných rovinách. Segmenty spájajúce zodpovedajúce body na kruhoch sú rovnobežné a rovnaké.

Súhrn nekonečnej sady generátorov nie je nič iné ako bočný povrch valca - jeden z prvkov daného geometrického útvaru. Jeho ďalšou dôležitou súčasťou sú vyššie diskutované kruhy. Nazývajú sa základne.

Typy valcov

Najjednoduchší a najbežnejší typ valca je kruhový. Tvoria ho dva pravidelné kruhy slúžiace ako základne. Ale namiesto nich môžu byť iné postavy.

Základy valcov môžu tvoriť (okrem kruhov) elipsy a iné uzavreté obrazce. Valec však nemusí mať nevyhnutne uzavretý tvar. Napríklad parabola, hyperbola alebo iná otvorená funkcia môže slúžiť ako základ valca. Takýto valec bude otvorený alebo nasadený.

Podľa uhla sklonu tvoriacich čiar k základniam môžu byť valce rovné alebo šikmé. Pre pravý valec sú generátory striktne kolmé na rovinu základne. Ak sa tento uhol líši od 90°, valec je naklonený.

Čo je povrch revolúcie

Pravý kruhový valec je bezpochyby najbežnejšou rotačnou plochou používanou v strojárstve. Niekedy sa podľa technických údajov používajú kužeľové, guľové a niektoré iné typy povrchov, ale 99% všetkých rotujúcich hriadeľov, náprav atď. vyrobené vo forme valcov. Aby sme lepšie pochopili, čo je rotačná plocha, môžeme zvážiť, ako je vytvorený samotný valec.

Povedzme, že existuje čiara a umiestnené vertikálne. ABCD je obdĺžnik, ktorého jedna strana (úsek AB) leží na priamke a. Ak otočíme obdĺžnik okolo priamky, ako je znázornené na obrázku, objem, ktorý pri otáčaní zaberie, bude naše rotačné teleso - pravý kruhový valec s výškou H = AB = DC a polomerom R = AD = BC.

V tomto prípade sa v dôsledku otáčania obrázku - obdĺžnika - získa valec. Otáčaním trojuholníka môžete získať kužeľ, otáčanie polkruhu - guľu atď.

Povrch valca

Na výpočet povrchovej plochy obyčajného rovného kruhového valca je potrebné vypočítať plochy základne a bočného povrchu.

Najprv sa pozrime na to, ako sa vypočíta plocha bočného povrchu. Toto je súčin obvodu a výšky valca. Obvod sa zasa rovná dvojnásobku súčinu univerzálneho čísla P k polomeru kruhu.

Je známe, že plocha kruhu sa rovná produktu P na druhú mocninu polomeru. Takže pridaním vzorcov pre oblasť určenia bočnej plochy s dvojnásobným výrazom pre základnú plochu (sú dve) a vykonaním jednoduchých algebraických transformácií získame konečný výraz na určenie plochy povrchu valec.

Určenie objemu figúry

Objem valca je určený štandardnou schémou: plocha základne sa vynásobí výškou.

Výsledný vzorec teda vyzerá takto: želaný je definovaný ako súčin výšky tela univerzálnym číslom P a druhá mocnina polomeru základne.

Výsledný vzorec, treba povedať, je použiteľný na riešenie najneočakávanejších problémov. Rovnakým spôsobom ako objem valca sa určuje napríklad objem elektrického vedenia. To môže byť potrebné na výpočet hmotnosti drôtov.

Jediný rozdiel vo vzorci je v tom, že namiesto polomeru jedného valca je priemer jadra vodiča rozdelený na dve časti a počet jadier vodiča sa objavuje vo výraze N. Namiesto výšky sa používa aj dĺžka drôtu. Objem „valca“ sa teda nevypočítava podľa jedného, ale podľa počtu drôtov v opletení.

Takéto výpočty sa v praxi často vyžadujú. Koniec koncov, významná časť vodných nádrží je vyrobená vo forme potrubia. A často je potrebné vypočítať objem valca aj v domácnosti.

Ako však už bolo spomenuté, tvar valca môže byť odlišný. A v niektorých prípadoch je potrebné vypočítať, čomu sa rovná objem nakloneného valca.

Rozdiel je v tom, že povrchová plocha základne sa nenásobí dĺžkou tvoriacej čiary, ako v prípade priameho valca, ale vzdialenosťou medzi rovinami - kolmým segmentom postaveným medzi nimi.

Ako je zrejmé z obrázku, takýto segment sa rovná súčinu dĺžky tvoriacej priamky a sínusu uhla sklonu tvoriacej priamky k rovine.

Ako postaviť valec sweep

V niektorých prípadoch je potrebné vyrezať valcový výstružník. Obrázok nižšie ukazuje pravidlá, podľa ktorých sa vyrába polotovar na výrobu valca s danou výškou a priemerom.

Upozorňujeme, že obrázok je zobrazený bez švov.

Rozdiely v skosených valcoch

Predstavme si rovný valec ohraničený na jednej strane rovinou kolmou na generátory. Ale rovina ohraničujúca valec na druhej strane nie je kolmá na generátory a nie je rovnobežná s prvou rovinou.

Na obrázku je znázornený skosený valec. Lietadlo a v inom uhle ako 90° ku generátorom, pretína obrazec.

Tento geometrický tvar je v praxi bežnejší vo forme potrubných spojov (kolená). Existujú však aj budovy postavené vo forme skoseného valca.

Geometrické charakteristiky skoseného valca

Sklon jednej z rovín skoseného valca mierne mení poradie výpočtu povrchovej plochy takéhoto obrázku a jeho objemu.

Rotačné telo nazývané teleso vytvorené ako výsledok rotácie priamky okolo priamky.

VALEC

Valec (kruhový valec) je teleso, ktoré pozostáva z dvoch kruhov, ktoré neležia v rovnakej rovine a sú spojené rovnobežným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich príslušné body týchto kruhov. Kruhy sa nazývajú základne valca a segmenty spájajúce zodpovedajúce body kružníc kruhov sa nazývajú generátory valca.

Pretože paralelný posun je pohyb, základne valca sú rovnaké. Pretože pri paralelnom prenose rovina prechádza do rovnobežnej roviny, potom základne valca ležia v rovnobežných rovinách. Pretože pri paralelnom prenose sú body posunuté pozdĺž rovnobežných čiar o rovnakú vzdialenosť, potom sú generátory valca rovnobežné a rovnaké. Povrch valca pozostáva z podstavcov a bočného povrchu.

Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami jeho základní. Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavcov.

Valec sa nazýva rovný, ak sú jeho generátory kolmé na roviny podstav. Budeme brať do úvahy iba pravý kruhový valec, ktorý pre stručnosť nazývame jednoducho valec.

Valec možno získať otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán. Obrázok ukazuje valec získaný otáčaním obdĺžnika ABCD okolo strany AB. V tomto prípade je bočný povrch valca tvorený otáčaním bočného CD a základňa - otáčaním strán BC a AD.

Časti valcov

1) Ak rovina rezu prechádza osou valca, potom rez je obdĺžnik (pozri obrázok), ktorého dve strany sú tvoriace čiary a ďalšie dva sú priemery základne valca. Takýto úsek sa nazýva axiálny.

Založíme novú tému online a keď prídem, urobíme test a test na tému „Pohyb a vektory“.

Začíname naše zoznámenie s novou triedou geometrických telies - rotačnými telesami. Prvým zástupcom tejto triedy, s ktorým sme oboznámení, je valec.
Prečo sa valec nazýva rotačné teleso?

C valec, sa získa otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.

Valec pozostáva z dvoch kruhov a mnohých segmentov.
Valec- Ide o geometrické teleso pozostávajúce z dvoch rovnakých kruhov umiestnených v rovnobežných rovinách a sady segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov.
Definície valcových prvkov:

Základy valcov- rovnaké kruhy umiestnené v rovnobežných rovinách

Výška valca- toto je vzdialenosť medzi rovinami jeho základov.

Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavy valca (os valca je osou otáčania valca).

Axiálny rez valca- rez valca rovinou prechádzajúcou osou valca (axiálny rez valca je rovinou súmernosti valca). Všetky axiálne časti valca sú rovnaké obdĺžniky

Generátor valca- ide o úsečku spájajúcu bod kružnice hornej podstavy s príslušným bodom kružnice spodnej podstavy. Všetky generátory sú rovnobežné s osou otáčania a majú rovnakú dĺžku, ktorá sa rovná výške valca.

Vytvára sa tvoriaca čiara valca počas otáčania okolo osibočný (valcový) povrch valca.

Polomer valcaje polomer jeho základne.

rovný valec je valec, ktorého generátory sú kolmé na základňu.

Ekvivalentný valec- valec, ktorého výška sa rovná priemeru (zobrazte rovnaký valec: tlačidlo s ikonou ruky prepnete model späť do interaktívneho režimu a zmeníte hodnotu výšky a polomeru navrhovaného modelu tak, aby ).

Odvodenie vzorca pre plochu bočného povrchu.
Rozvinutie bočného povrchu valca je obdĺžnik so stranamiH a C, kde Hje výška valca aCje obvod základne. Získame vzorce na výpočet plôch postrannýchS b a kompletné S n povrchov: S b = H · C= 2π RH, S n = S b + 2 S= 2π R(R + H).

Ukotvenie

Úloha číslo 1. Vypočítajte obsah bočného a plného povrchu valca, ktorého polomer je 3 cm a výška je 5 cm (pí a odpoveď sú zaokrúhlené nahor na celé čísla).

2. Výška valca jeh, rádius základneR. Nájdite plochu prierezu roviny nakreslenej rovnobežne s osou valca vo vzdialenostia od nej.

Domáca úloha: 522, 524, 526.

Р.S/ pre tých, ktorí majú záujem, kliknite na odkaz a pozrite si elektronický zdroj o vložke Na začiatok si na stránke nainštalujte modul OMS do počítača a stiahnite si modul. Na rozbaľovacej tabuľke kliknite na prehrať. A potom prejdite všetky strany v poradí.
VĎAKA VŠETKÝM.

Existuje veľa príkladov prítomnosti valcových predmetov v každodennom živote. Takmer všetky časti rotácie - hriadele, puzdrá, hrdlá, nápravy atď. majú valcový (oveľa menej často - kužeľový) tvar. Valec je široko používaný v stavebníctve: veže, nosné, ozdobné stĺpy. A okrem riadu aj nejaké druhy obalov potrubia rôznych priemerov. A na záver – slávne klobúky, ktoré sa na dlhú dobu stali symbolom mužskej elegancie. Zoznam je nekonečný.