x 2-এর 9ম মূল। nম মূল: মৌলিক সংজ্ঞা। র্যাডিকেলের সহজতম রূপান্তর

উদাহরণ:

\(\sqrt(16)=2\) কারণ \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\), কারণ \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

কিভাবে nth ডিগ্রী মূল গণনা?

\(n\)-তম রুট গণনা করতে, আপনাকে নিজেকে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে হবে: মূলের নিচে \(n\)-তম ডিগ্রির কোন সংখ্যাটি দেবে?

উদাহরণ স্বরূপ. \(n\)তম রুট গণনা করুন: a)\(\sqrt(16)\); খ) \(\sqrt(-64)\); গ) \(\sqrt(0.00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\)।

ক) \(4\)ম ঘাতকে কোন সংখ্যা দেবে \(16\)? স্পষ্টতই, \(2\)। এই জন্য:

b) \(3\)ম শক্তিকে কোন সংখ্যা দেবে \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

গ) \(5\)ম ঘাতকে কোন সংখ্যাটি \(0.00001\) দেবে?

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

d) \(3\)-তম ডিগ্রীকে কোন সংখ্যা দেবে \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) \(4\)ম ঘাতকে কোন সংখ্যা দেবে \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

আমরা একটি \(n\)-তম ডিগ্রী রুট সহ সবচেয়ে সহজ উদাহরণ বিবেচনা করেছি। \(n\)-th ডিগ্রি শিকড়ের সাথে আরও জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য, সেগুলি জানা অত্যাবশ্যক৷

উদাহরণ। গণনা করুন:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		এই মুহুর্তে, শিকড়ের কোনটিই গণনা করা যায় না। অতএব, আমরা মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করি \(n\)-th ডিগ্রি এবং অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করি। \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) কারণ \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		আসুন প্রথম পদে গুণনীয়কগুলিকে পুনর্বিন্যাস করি যাতে বর্গমূল এবং \(n\)ম ডিগ্রির মূল পাশাপাশি থাকে। এটি বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করা সহজ করে তুলবে। \(n\)তম মূলের বেশিরভাগ বৈশিষ্ট্য একই মাত্রার শিকড়ের সাথে কাজ করে। এবং আমরা 5 তম ডিগ্রীর মূল গণনা করি।
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		প্রপার্টি \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) প্রয়োগ করুন এবং বন্ধনীটি প্রসারিত করুন
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		গণনা করুন \(\sqrt(81)\) এবং \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

nth মূল এবং বর্গমূল কি সম্পর্কিত?

যাই হোক না কেন, যেকোন ডিগ্রির যেকোন রুট শুধুমাত্র একটি সংখ্যা, যদিও আপনার জন্য একটি অস্বাভাবিক আকারে লেখা।

nম মূলের এককতা

বিজোড় \(n\) সহ একটি \(n\)-তম রুট যেকোনো সংখ্যা থেকে নেওয়া যেতে পারে, এমনকি ঋণাত্মক সংখ্যা (শুরুতে উদাহরণগুলি দেখুন)। কিন্তু যদি \(n\) জোড় হয় (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), তাহলে এই ধরনের একটি মূল বের করা হয় শুধুমাত্র যদি \( a ≥ 0\) (যাইহোক, বর্গমূল একই আছে)। এটি এই কারণে যে একটি মূল নিষ্কাশন করা সূচকের বিপরীত।

এবং একটি জোড় ক্ষমতা বৃদ্ধি এমনকি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ধনাত্মক হয়. প্রকৃতপক্ষে, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\)। অতএব, আমরা একটি জোড় ডিগ্রির মূলের নীচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা পেতে পারি না। এর মানে হল যে আমরা ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে এই জাতীয় মূল বের করতে পারি না।

একটি বিজোড় শক্তির এই ধরনের কোন সীমাবদ্ধতা নেই - একটি বিজোড় শক্তিতে উত্থিত একটি ঋণাত্মক সংখ্যা ঋণাত্মক থাকবে: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) ) \ cdot(-2)=-32\)। অতএব, একটি বিজোড় ডিগ্রির মূলের নীচে, আপনি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা পেতে পারেন। এর মানে হল যে এটি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে বের করাও সম্ভব।

প্রথম অধ্যায়।

এক-টার্ম বীজগাণিতিক রাশির বর্গক্ষেত্রে উত্থাপন করা।

152. ডিগ্রী নির্ধারণ।মনে রাখবেন যে দুটি অভিন্ন সংখ্যার গুণফল এএ একটি সংখ্যার দ্বিতীয় শক্তি (বা বর্গ) বলা হয় ক , তিনটি অভিন্ন সংখ্যার গুণফল আহহ একটি সংখ্যার তৃতীয় শক্তি (বা ঘনক) বলা হয় ক ; সাধারণ কাজ n একই সংখ্যা আহ আহ ডাকা n - সংখ্যার তম ডিগ্রী ক . যে ক্রিয়া দ্বারা একটি প্রদত্ত সংখ্যার শক্তি পাওয়া যায় তাকে শক্তিতে উত্থাপন (দ্বিতীয়, তৃতীয়, ইত্যাদি) বলা হয়। পুনরাবৃত্ত গুণনীয়ককে ডিগ্রির ভিত্তি বলা হয় এবং অভিন্ন ফ্যাক্টরের সংখ্যাকে সূচক বলা হয়।

নিম্নরূপ ডিগ্রী সংক্ষিপ্ত করা হয়: একটি 2 একটি 3 ক 4 ... ইত্যাদি

আমরা প্রথমে ব্যাখ্যার সহজতম ক্ষেত্রে কথা বলব, যথা একটি বর্গক্ষেত্রে ওঠা; এবং তারপর আমরা অন্যান্য ডিগ্রী উচ্চতা বিবেচনা করবে.

153. একটি বর্গাকার মধ্যে exalting যখন লক্ষণ নিয়ম.আপেক্ষিক সংখ্যার গুণের নিয়ম থেকে এটি অনুসরণ করে:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-ক) 2 =(-ক) (-ক) = +ক 2

সুতরাং, যেকোনো আপেক্ষিক সংখ্যার বর্গ হল একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

154. গুণফল, ডিগ্রী এবং ভগ্নাংশের বর্গক্ষেত্রে উত্থাপন করা।

ক)উদাহরণ স্বরূপ, বেশ কয়েকটি কারণের গুণফলকে বর্গ করার প্রয়োজন হতে দিন। abs . এর মানে হল যে এটি প্রয়োজনীয় abs গুন করা abs . কিন্তু গুণফল দিয়ে গুণ করতে হবে abs , আপনি গুণিতক এবং দ্বারা গুণ করতে পারেন ক , ফলাফল দ্বারা গুণ করুন খ এবং কি দিয়ে গুণ করা যায় সঙ্গে .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(আমরা শেষ বন্ধনী বাদ দিয়েছি, যেহেতু এটি অভিব্যক্তির অর্থ পরিবর্তন করে না)। এখন, গুণের সহযোগী সম্পত্তি (বিভাগ 1 § 34, b) ব্যবহার করে, আমরা ফ্যাক্টরগুলিকে নিম্নরূপ গোষ্ঠীবদ্ধ করি:

(এএ) (বিবি) (এসএস),

যাকে সংক্ষেপে বলা যেতে পারে: a 2 b 2 c 2।

মানে, পণ্যের বর্গক্ষেত্র করতে, আপনি প্রতিটি ফ্যাক্টরকে আলাদাভাবে বর্গ করতে পারেন
(বক্তৃতা সংক্ষিপ্ত করার জন্য, এই নিয়মটি, পরেরটির মতো, সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা হয় না; একজনকে আরও যোগ করা উচিত: "এবং প্রাপ্ত ফলাফলগুলিকে গুণ করুন।" এর সংযোজন স্বতঃসিদ্ধ ..)

এইভাবে:

(3 / 4 xy) 2 = 9 / 16 x 2 y 2 ; (- 0.5mn) 2 = + 0.25m 2 n 2; ইত্যাদি

খ)কিছু ডিগ্রী প্রয়োজন হতে দিন, উদাহরণস্বরূপ. ক 3 , বর্গক্ষেত্রে। এটি এই মত করা যেতে পারে:

(a 3) 2 \u003d a 3 a 3 \u003d a 3 + 3 \u003d a 6।

এটার মত: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

মানে, সূচকের বর্গ করতে, আপনি সূচকটিকে 2 দ্বারা গুণ করতে পারেন .

সুতরাং, এই দুটি নিয়ম প্রয়োগ করে, আমরা, উদাহরণস্বরূপ, থাকবে:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6

ভিতরে)ধরুন কিছু ভগ্নাংশকে বর্গ করতে হবে ক / খ . তারপরে, একটি ভগ্নাংশকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করার নিয়ম প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

মানে, একটি ভগ্নাংশের বর্গ করতে, আপনি লব এবং হরকে আলাদাভাবে বর্গ করতে পারেন।

উদাহরণ।

অধ্যায় দুই.

একটি বহুপদী বর্গকরণ।

155. একটি সূত্রের উদ্ভব।সূত্র ব্যবহার করে (বিভাগ 2 অধ্যায় 3 § 61):

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

আমরা trinomial বর্গ করতে পারেন a + b + c , এটিকে দ্বিপদ হিসাবে বিবেচনা করে (a + b) + c :

(a + b + c) 2 = [(ক + খ) + গ] 2 = (a + b) 2 + 2 (a + b)c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2

এভাবে দ্বিপদ যোগ করে a + b তৃতীয় সদস্য সঙ্গে উচ্চতার পরে, বর্গক্ষেত্রে 2টি পদ যোগ করা হয়েছিল: 1) তৃতীয় পদ দ্বারা প্রথম দুটি পদের যোগফলের দ্বিগুণ গুণফল এবং 2) তৃতীয় পদের বর্গ৷ চলুন এখন ট্রিনমিয়াল এ আবেদন করা যাক a + b + c চতুর্থ সদস্য d এবং চতুর্ভুজ বাড়ান a + b + c + d বর্গ, যোগফল গ্রহণ a + b + c একজন সদস্যের জন্য।

(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2 (a + b + c)d + d 2

পরিবর্তে প্রতিস্থাপন (a + b + c) 2 আমরা উপরের অভিব্যক্তিটি খুঁজে পেয়েছি:

(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2

আমরা আবার লক্ষ্য করি যে এর বর্গক্ষেত্রে উচ্চতর বহুপদে একটি নতুন পদ যোগ করার সাথে সাথে 2টি পদ যোগ করা হয়েছে: 1) পূর্ববর্তী পদ এবং নতুন পদের যোগফলের দ্বিগুণ গুণফল এবং 2) নতুন পদের বর্গ। স্পষ্টতই, দুটি পদের এই সংযোজন চলতে থাকবে কারণ উচ্চতর বহুপদে আরও পদ যোগ করা হবে। মানে:

একটি বহুপদীর বর্গ হল: ১ম পদের বর্গ, ১ম পদ এবং ২য় পদের গুণফলের দ্বিগুণ, প্লাস ২য় পদের বর্গ, প্রথম দুটি পদ এবং ৩য় পদের যোগফলের দ্বিগুণ গুণফল টার্ম, প্লাস 3য় টার্মের বর্গ, প্লাস প্রথম তিনটা টার্ম এবং 4র্থ টার্মের যোগফলের গুনফলের সাথে 4র্থ টার্মের বর্গ, ইত্যাদি। অবশ্যই, বহুপদীর পদগুলিও ঋণাত্মক হতে পারে।

156. লক্ষণ সম্পর্কে একটি নোট।একটি যোগ চিহ্ন সহ চূড়ান্ত ফলাফল হবে, প্রথমত, বহুপদীর সমস্ত পদের বর্গক্ষেত্র এবং দ্বিতীয়ত, সেই দ্বিগুণ পণ্যগুলি যা একই চিহ্ন সহ গুণিত পদগুলি থেকে এসেছে৷

উদাহরণ।

157. পূর্ণসংখ্যার সংক্ষিপ্ত বর্গ. একটি বহুপদীর বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে, সাধারণ গুণের চেয়ে ভিন্নভাবে যেকোনো পূর্ণ সংখ্যাকে বর্গ করা সম্ভব। ধরুন, উদাহরণস্বরূপ, এটি বর্গ করা প্রয়োজন 86 . আসুন এই সংখ্যাটিকে সংখ্যায় ভাগ করি:

86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 ডিসেম্বর + 6 ইউনিট।

এখন, দুটি সংখ্যার যোগফলের বর্গক্ষেত্রের সূত্র ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি:

(8 ডিসেম্বর + 6 ইউনিট) 2 \u003d (8 ডিসেম্বর) 2 + 2 (8 ডিসেম্বর) (6 ইউনিট) + (6 ইউনিট) 2।

এই যোগফলটি দ্রুত গণনা করার জন্য, আসুন বিবেচনা করা যাক যে দশের বর্গ হল শত শত (তবে হাজার হাজার হতে পারে); যেমন ৮ ডিসেম্বর. বর্গ আকার 64 শত, কারণ 80 2 = b400; একক দ্বারা দশের গুণফল দশ (কিন্তু শত শত হতে পারে), যেমন ৩ ডিসেম্বর। 5 ইউনিট \u003d 15 ডিসেম্বর, 30 5 \u003d 150 থেকে; এবং এককের বর্গ হল একক (কিন্তু দশ থাকতে পারে), যেমন 9 ইউনিট বর্গ = 81 একক। অতএব, নিম্নলিখিত হিসাবে গণনা ব্যবস্থা করা আরও সুবিধাজনক:

অর্থাৎ আমরা প্রথমে লিখি প্রথম অঙ্কের বর্গ (শত); এই সংখ্যার অধীনে আমরা দ্বিতীয় (দশ) দ্বারা প্রথম অঙ্কের দ্বিগুণ গুণফল লিখি, যখন লক্ষ্য করি যে এই গুণমানের শেষ অঙ্কটি উপরের সংখ্যার শেষ অঙ্কের ডানদিকে এক জায়গায় রয়েছে; আরও, আবার শেষ অঙ্কের সাথে ডানদিকে এক জায়গায় পিছিয়ে, আমরা দ্বিতীয় সংখ্যার বর্গ (একটি) রাখি; এবং সমস্ত লিখিত সংখ্যা এক যোগফল যোগ করুন। অবশ্যই, কেউ এই সংখ্যাগুলিকে শূন্যের সঠিক সংখ্যা দিয়ে প্যাড করতে পারে, যেমন এইভাবে লিখুন:

কিন্তু এটি অকেজো যদি আমরা শুধুমাত্র সঠিকভাবে একে অপরের নীচে সংখ্যাগুলি স্বাক্ষর করি, প্রতিবার (শেষ সংখ্যা দ্বারা) ডানদিকে এক জায়গায় পিছিয়ে যাই।

এটি এখনও বর্গক্ষেত্র প্রয়োজন হতে দিন 238 . কারণ:

238 = 2 শত। + ৩ ডিসেম্বর। + 8 ইউনিট, তারপর

কিন্তু শত শত বর্গ দিয়ে হাজার হাজার পাওয়া যায় (যেমন 5শত বর্গ হল 25 দশ হাজার, যেহেতু 500 2 = 250,000), শতকে দশ দিয়ে গুণ করলে হাজার পাওয়া যায় (যেমন 500 30 = 15,000) ইত্যাদি।

উদাহরণ।

তৃতীয় অধ্যায়.

y = x 2 এবং y=আহ 2 .

158. একটি ফাংশনের গ্রাফ y = x 2 . আসুন দেখি কিভাবে, কখন সংখ্যা বাড়ানো হচ্ছে এক্স বর্গক্ষেত্র পরিবর্তন এক্স 2 (যেমন, কিভাবে একটি বর্গক্ষেত্রের দিক পরিবর্তন করলে তার ক্ষেত্রফল পরিবর্তন হয়)। এটি করার জন্য, প্রথমে ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিতে মনোযোগ দিন y = x 2 .

ক)প্রতিটি অর্থের জন্য এক্স ফাংশন সর্বদা সম্ভব এবং সর্বদা শুধুমাত্র একটি সংজ্ঞায়িত মান গ্রহণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যখন এক্স = - 10 ফাংশন হবে (-10) 2 = 100 , এ
এক্স =1000 ফাংশন হবে 1000 2 =1 000 000 , ইত্যাদি

খ)কারণ (- এক্স ) 2 = এক্স 2 , তারপর দুটি মান জন্য এক্স , শুধুমাত্র লক্ষণে ভিন্ন, দুটি অভিন্ন ইতিবাচক মান প্রাপ্ত হয় এ ; উদাহরণস্বরূপ, কখন এক্স = - 2 এবং এ এক্স = + 2 অর্থ এ ঠিক একই হবে 4 . জন্য নেতিবাচক মান একখনো সফল হয় না।

ভিতরে) x এর পরম মান যদি অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়, তাহলে এ অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়। সুতরাং, যদি জন্য এক্স আমরা সীমাহীনভাবে ক্রমবর্ধমান ইতিবাচক মানগুলির একটি সিরিজ দেব: 1, 2, 3, 4... বা সীমাহীনভাবে হ্রাস করা নেতিবাচক মানগুলির একটি সিরিজ: -1, -2, -3, -4..., তারপরের জন্য এ আমরা অনির্দিষ্টভাবে ক্রমবর্ধমান মানগুলির একটি সিরিজ পাই: 1, 4, 9, 16, 25 ... সংক্ষেপে এই বলে প্রকাশ করা হয় যে যখন এক্স = + ∞ এবং এ এক্স = - ∞ ফাংশন এ সম্পন্ন হয় + ∞ .

ছ) এক্স এ . সুতরাং, যদি মান x = 2 , আসুন বৃদ্ধি করি, রাখি, 0,1 (অর্থাৎ পরিবর্তে x = 2 নেওয়া যাক x = 2.1 ), তারপর এ পরিবর্তে 2 2 = 4 সমান হয়ে যায়

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

মানে, এ দ্বারা বৃদ্ধি পাবে 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . একই মান থাকলে এক্স এর আরও ছোট ইনক্রিমেন্ট দেওয়া যাক, এর করা যাক 0,01 , তারপর y এর সমান হয়ে যায়

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

সুতরাং তারপর y দ্বারা বৃদ্ধি হবে 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , অর্থাৎ, আগের তুলনায় কম বাড়বে। সাধারণভাবে, ছোট ভগ্নাংশ আমরা বৃদ্ধি এক্স , ছোট সংখ্যা বৃদ্ধি হবে এ . এইভাবে, যদি আমরা যে কল্পনা এক্স ক্রমাগত বৃদ্ধি পায় (মান 2 থেকে ধরে নিয়ে), 2-এর চেয়ে বড় সমস্ত মান অতিক্রম করে, তারপর এ এছাড়াও ক্রমাগত বৃদ্ধি পাবে, 4 এর থেকে বড় সমস্ত মান অতিক্রম করে।

এই সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি লক্ষ্য করার পরে, আমরা ফাংশনের মানগুলির একটি টেবিল তৈরি করব y = x 2 , উদাহরণস্বরূপ, এই মত:

আসুন এখন অঙ্কনটিতে এই মানগুলিকে পয়েন্ট হিসাবে চিত্রিত করি, যার অবসিসাস লিখিত মান হবে এক্স , এবং অর্ডিনেটগুলি সংশ্লিষ্ট মান এ (অঙ্কনে, আমরা দৈর্ঘ্যের একক হিসাবে একটি সেন্টিমিটার নিয়েছি); প্রাপ্ত পয়েন্ট একটি বক্ররেখা দ্বারা রূপরেখা করা হবে. এই বক্ররেখাকে প্যারাবোলা বলা হয়।

এর কিছু বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা যাক।

ক)একটি প্যারাবোলা একটি অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা, যেহেতু অ্যাবসিসাতে ক্রমাগত পরিবর্তন হয় এক্স (ইতিবাচক দিক এবং নেতিবাচক উভয় দিকেই) অর্ডিনেট, যেমনটি আমরা এখন দেখেছি, ক্রমাগত পরিবর্তিত হয়।

খ)সম্পূর্ণ বক্ররেখাটি অক্ষের একই দিকে এক্স -ov, ঠিক যে দিকে অর্ডিনেটের ইতিবাচক মান রয়েছে তার পাশে।

ভিতরে)প্যারাবোলা অক্ষ দ্বারা উপবিভক্ত এ -ov দুই ভাগে (শাখা)। ডট ও যেখানে এই শাখাগুলি একত্রিত হয় তাকে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু বলা হয়। এই বিন্দুটি প্যারাবোলা এবং অক্ষের একমাত্র সাধারণ এক্স -ov; তাই এই সময়ে প্যারাবোলা অক্ষ স্পর্শ করে এক্স -ov

ছ)উভয় শাখা অসীম, যেহেতু এক্স এবং এ অনির্দিষ্টকালের জন্য বাড়তে পারে। শাখাগুলি অক্ষ থেকে উঠে আসে এক্স -s অনির্দিষ্টভাবে উপরের দিকে, একই সময়ে অক্ষ থেকে অনির্দিষ্টকালের জন্য দূরে সরে যাচ্ছে y - ov ডান এবং বাম।

ঙ)অক্ষ y -ov প্যারাবোলার জন্য প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ হিসাবে কাজ করে, যাতে, এই অক্ষ বরাবর অঙ্কনটিকে বাঁকানো যাতে অঙ্কনের বাম অর্ধেক ডানদিকে পড়ে, আমরা দেখতে পাব যে উভয় শাখা একত্রিত হবে; উদাহরণস্বরূপ, abscissa - 2 এবং অর্ডিনেট 4 সহ একটি বিন্দু abscissa +2 এবং একই অর্ডিনেট 4 সহ একটি বিন্দুর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হবে।

ঙ)এ এক্স = 0 অর্ডিনেটটিও 0। তাই, এর জন্য এক্স = 0 ফাংশনের সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্য মান আছে। ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান নেই, যেহেতু বক্ররেখার অর্ডিনেট অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়।

159. ফর্মের একটি ফাংশনের গ্রাফy=আহ 2 . প্রথম যে ধরুন ক একটি ধনাত্মক সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, এই 2টি ফাংশন নিন:

1) y= 1 1 / 2 এক্স 2 ; 2) y= 1 / 3 এক্স 2

আসুন এই ফাংশনগুলির মানগুলির টেবিল তৈরি করি, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিতগুলি:

আসুন এই সমস্ত মানগুলি অঙ্কনে রাখি এবং বক্ররেখা আঁকি। তুলনা করার জন্য, আমরা একই অঙ্কনে (ড্যাশড লাইন) ফাংশনের আরেকটি গ্রাফ স্থাপন করেছি:

3) y=এক্স 2

অঙ্কন থেকে দেখা যায় যে একই আবসিসা সহ, 1ম বক্ররেখার অর্ডিনেট 1 1 / 2 , গুণ বেশি, এবং 2য় বক্ররেখার অর্ডিনেট 3 3য় বক্ররেখার অর্ডিনেটের চেয়ে গুন কম। ফলস্বরূপ, এই ধরনের সমস্ত বক্ররেখার একটি সাধারণ চরিত্র রয়েছে: অসীম অবিচ্ছিন্ন শাখা, প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ ইত্যাদি, শুধুমাত্র জন্য a > 1 বক্ররেখার শাখাগুলি আরও উঁচু হয় এবং কখন ক< 1 তারা বক্ররেখা তুলনায় আরো নিচে নিচু হয় y=এক্স 2 . এই ধরনের সমস্ত বক্ররেখাকে প্যারাবোলাম বলা হয়।

আসুন এখন অনুমান করি যে সহগ ক একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হবে। যেমন ধরুন, y=- 1 / 3 এক্স 2 . এই ফাংশনের সাথে এই ফাংশনের তুলনা করা হচ্ছে: y = + 1 / 3 এক্স 2 একই মান জন্য যে নোট করুন এক্স উভয় ফাংশন একই পরম মান আছে, কিন্তু সাইন বিপরীত. অতএব, ফাংশন জন্য অঙ্কন y=- 1 / 3 এক্স 2 আমরা ফাংশনের মতো একই প্যারাবোলা পাই y= 1 / 3 এক্স 2 শুধুমাত্র অক্ষের নীচে অবস্থিত এক্স -ov একটি প্যারাবোলার সাথে প্রতিসম y= 1 / 3 এক্স 2 . এই ক্ষেত্রে, ফাংশনের সমস্ত মান নেতিবাচক, একটি ছাড়া, শূন্যের সমান x = 0 ; এই শেষ মান সব বড়.

মন্তব্য করুন। যদি দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্ক থাকে এ এবং এক্স সমতা দ্বারা প্রকাশ করা হয়: y=আহ 2 , কোথায় ক কিছু ধ্রুবক সংখ্যা, তারপর আমরা বলতে পারি যে মান এ মানের বর্গের সমানুপাতিক এক্স , যেহেতু একটি বৃদ্ধি বা হ্রাস সঙ্গে এক্স 2 গুণ, 3 গুণ ইত্যাদি মান এ 4 গুণ, 9 গুণ, 16 গুণ ইত্যাদি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল π আর 2 , কোথায় আরবৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং π একটি ধ্রুবক সংখ্যা (প্রায় 3.14 এর সমান); অতএব, আমরা বলতে পারি যে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক।

অধ্যায় চার.

একটি ঘনক এবং এক-মেয়াদী বীজগাণিতিক রাশির অন্যান্য শক্তির উচ্চতা।

160. একটি ডিগ্রী উত্থাপন যখন লক্ষণ নিয়ম.আপেক্ষিক সংখ্যার জন্য গুণের নিয়ম থেকে এটি অনুসরণ করে

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l;ইত্যাদি

মানে, একটি জোড় সূচকের সাথে একটি ঋণাত্মক সংখ্যাকে একটি ঘাতে উত্থাপন একটি ধনাত্মক সংখ্যা তৈরি করে, এবং একটি বিজোড় সূচকের সাথে একটি ঘাতে এটিকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা তৈরি করে।

161. গুণফল, ডিগ্রী এবং ভগ্নাংশের ডিগ্রি পর্যন্ত উচ্চতা।একটি ডিগ্রী এবং একটি ভগ্নাংশের গুণফলকে কিছু ডিগ্রীতে বাড়ানোর সময়, আমরা এটিকে বর্গ () তে বাড়ানোর মতো একই কাজ করতে পারি। তাই:

(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) \u003d a 3 b 3 c 3;

পঞ্চম অধ্যায়।

ফাংশনগুলির গ্রাফিক উপস্থাপনা: y = x 3 এবং y = ax 3 .

162. একটি ফাংশনের গ্রাফ y = x 3 . আসুন আমরা বিবেচনা করি যে সংখ্যাটি উত্থাপিত হলে উচ্চতর সংখ্যার ঘনক্ষেত্র কীভাবে পরিবর্তিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, ঘনকের প্রান্ত পরিবর্তন হলে ঘনকের আয়তন কীভাবে পরিবর্তিত হয়)। এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি নির্দেশ করি y = x 3 (ফাংশনের বৈশিষ্ট্যের কথা মনে করিয়ে দেয় y = x 2 , আগে আলোচনা করা হয়েছে,):

ক)প্রতিটি অর্থের জন্য এক্স ফাংশন y = x 3 সম্ভব এবং একটি একক অর্থ আছে; সুতরাং, (+ 5) 3 \u003d +125 এবং সংখ্যা + 5 এর ঘনক্ষেত্র অন্য কোন সংখ্যার সমান হতে পারে না। একইভাবে, (- 0.1) 3 = - 0.001 এবং -0.1 এর ঘনক অন্য কোন সংখ্যার সমান হতে পারে না।

খ)দুটি মান সহ এক্স , শুধুমাত্র লক্ষণ, ফাংশন মধ্যে পার্থক্য x 3 মানগুলি গ্রহণ করে যা একে অপরের থেকে শুধুমাত্র লক্ষণগুলিতে পৃথক হয়; তাই, এ এক্স = 2 ফাংশন x 3 সমান 8, এবং এ এক্স = - 2 এটা সমান 8 .

ভিতরে) x বাড়ার সাথে সাথে ফাংশন x 3 বৃদ্ধি পায়, এবং এর চেয়ে দ্রুত এক্স , এবং এর চেয়েও দ্রুত x 2 ; তাই এ

এক্স = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 হবে = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

ছ)একটি পরিবর্তনশীল সংখ্যার একটি খুব ছোট বৃদ্ধি এক্স ফাংশনের একটি খুব ছোট বৃদ্ধির সাথে মিলে যায় x 3 . তাই মান যদি এক্স = 2 একটি ভগ্নাংশ দ্বারা বৃদ্ধি 0,01 , অর্থাৎ যদি এর পরিবর্তে এক্স = 2 নেওয়া যাক এক্স = 2,01 , তারপর ফাংশন এ হবে না 2 3 (অর্থাৎ না 8 ), ক 2,01 3 , যার পরিমাণ হবে 8,120601 . তাই এই ফাংশন তারপর বৃদ্ধি হবে 0,120601 . মান থাকলে এক্স = 2 এমনকি কম বৃদ্ধি, উদাহরণস্বরূপ, দ্বারা 0,001 , তারপর x 3 সমান হয়ে যায় 2,001 3 , যার পরিমাণ হবে 8,012006001 , এবং সেইজন্য, এ দ্বারা শুধুমাত্র বৃদ্ধি হবে 0,012006001 . আমরা দেখতে, অতএব, যদি একটি পরিবর্তনশীল সংখ্যা বৃদ্ধি এক্স কম-বেশি হবে, তারপর ইনক্রিমেন্ট x 3 কম এবং কম হবে.

ফাংশনের এই বৈশিষ্ট্যটি লক্ষ্য করা y = x 3 এর গ্রাফ আঁকা যাক। এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে এই ফাংশনের জন্য মানগুলির একটি টেবিল কম্পাইল করি, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিতগুলি:

163. একটি ফাংশনের গ্রাফ y \u003d কুক্ষ ৩ . এই দুটি ফাংশন নেওয়া যাক:

1) y= 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3

যদি আমরা এই ফাংশনগুলিকে একটি সহজ সাথে তুলনা করি: y = x 3 , আমরা একই মান জন্য যে নোট এক্স প্রথম ফাংশনটি দ্বিগুণ ছোট মান গ্রহণ করে এবং দ্বিতীয়টি ফাংশনের চেয়ে দ্বিগুণ বড় y \u003d কুক্ষ ৩ , অন্যথায় এই তিনটি ফাংশন একে অপরের অনুরূপ। তাদের গ্রাফগুলি একই অঙ্কনের সাথে তুলনা করার জন্য দেখানো হয়েছে। এই বক্ররেখা বলা হয় 3য় ডিগ্রীর প্যারাবোলাস.

ষষ্ঠ অধ্যায়।

মূল নিষ্কাশনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

164. কাজ।

ক)একটি বর্গক্ষেত্রের দিকটি খুঁজুন যার ক্ষেত্রফল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান যার ভিত্তি 16 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি।

অক্ষর দিয়ে কাঙ্খিত বর্গক্ষেত্রের দিক নির্দেশ করা এক্স (সেমি), আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণ পাই:

x 2 =16 4, অর্থাৎ x 2 = 64.

আমরা যে এই ভাবে দেখতে এক্স একটি সংখ্যা আছে যাকে দ্বিতীয় ঘাতে উত্থাপন করলে ফলাফল 64 হয়। এই ধরনের সংখ্যাকে 64 এর দ্বিতীয় মূল বলা হয়। এটি + 8 বা - 8 এর সমান, যেহেতু (+ 8) 2 \u003d 64 এবং (- 8) 2 \u003d 64. ঋণাত্মক সংখ্যা - 8 আমাদের কাজের জন্য উপযুক্ত নয়, যেহেতু বর্গক্ষেত্রের দিকটি অবশ্যই একটি সাধারণ গাণিতিক সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা উচিত।

খ) 1 কেজি 375 গ্রাম (1375 গ্রাম) ওজনের সীসার টুকরোটি একটি ঘনকের মতো আকৃতির। এই কিউবের প্রান্তটি কত বড়, যদি জানা যায় যে 1 ঘনক। সেমি সীসার ওজন 11 গ্রাম?

ঘনক্ষেত্রের প্রান্ত দৈর্ঘ্য হতে দিন এক্স সেমি. তাহলে এর আয়তন হবে সমান x 3 ঘনক্ষেত্র সেমি, এবং এর ওজন হবে 11 x 3 জি.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

আমরা যে এই ভাবে দেখতে এক্স একটি সংখ্যা আছে যা, তৃতীয় শক্তিতে উত্থাপিত হলে, হয় 125 . এই ধরনের একটি সংখ্যা বলা হয় তৃতীয় মূল 125 এর মধ্যে। আপনি অনুমান করতে পারেন, এটি 5 এর সমান, যেহেতু 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125। অতএব, কিউবের প্রান্ত, যা সমস্যাটিতে উল্লিখিত হয়েছে, তার দৈর্ঘ্য 5 সেমি।

165. মূলের সংজ্ঞা।একটি সংখ্যার দ্বিতীয় মূল (বা বর্গ) ক একটি সংখ্যা যার বর্গ সমান ক . সুতরাং, 49 এর বর্গমূল হল 7, এবং এছাড়াও - 7, যেহেতু 7 2 \u003d 49 এবং (- 7) 2 \u003d 49। সংখ্যাটির তৃতীয় ডিগ্রি (ঘন) মূল ক সংখ্যাকে বলা হয় যার ঘনক্ষেত্র সমান ক . সুতরাং -125 এর ঘনমূল হল -5, যেহেতু (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125।

সাধারণত রুট nমধ্য থেকে তম ডিগ্রী কএকটি নম্বর যে কল n-ম ডিগ্রি সমান ক.

সংখ্যা n , মানে মূল কি ডিগ্রী, বলা হয় মূল নির্দেশক.

মূলকে √ (আমূলের চিহ্ন, অর্থাৎ মূলের চিহ্ন) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ল্যাটিন শব্দ radixমানে মূল। চিহ্ন√ প্রথম 15 শতকে প্রবর্তিত।. অনুভূমিক রেখার নীচে এটি লেখা হয় যে সংখ্যা থেকে মূলটি পাওয়া যায় (আমূল সংখ্যা), এবং মূল সূচকটি কোণের খোলার উপরে স্থাপন করা হয়। তাই:

27-এর ঘনমূলকে বোঝানো হয় ..... 3 √27;

32-এর চতুর্থ মূলটি চিহ্নিত করা হয়... 3 √32।

উদাহরণস্বরূপ, বর্গমূল সূচকটি মোটেই না লিখতে প্রথাগত।

2 √16 এর পরিবর্তে তারা √16 লেখে।

যে ক্রিয়া দ্বারা মূল পাওয়া যায় তাকে মূল নিষ্কাশন বলে; এটি একটি ডিগ্রীতে উন্নীত হওয়ার বিপরীত, যেহেতু এই ক্রিয়াটির মাধ্যমে একটি ডিগ্রিতে আরোহণের সময় যা দেওয়া হয়, যথা, প্রাচীরের ভিত্তি, চাওয়া হয় এবং একটি ডিগ্রিতে আরোহণের সময় যা দেওয়া হয় তা পাওয়া যায়, যথা ডিগ্রী নিজেই। অতএব, আমরা সর্বদা একটি ডিগ্রী বৃদ্ধি করে মূল নিষ্কাশনের সঠিকতা যাচাই করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষা করা

সমতা: 3 √125 = 5, এটি 5 কে একটি ঘনক্ষেত্রে বাড়াতে যথেষ্ট: 125 র্যাডিকাল সংখ্যা পেয়ে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে 125 এর ঘনমূলটি সঠিকভাবে বের করা হয়েছে।

166. পাটিগণিত মূল।একটি মূলকে পাটিগণিত বলা হয় যদি এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা থেকে বের করা হয় এবং এটি নিজেই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 49-এর পাটিগণিতের বর্গমূল হল 7, যখন সংখ্যা 7, যা 49-এর বর্গমূলও, তাকে পাটিগণিত বলা যাবে না।

আমরা একটি গাণিতিক মূলের নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করি।

ক) পাটিগণিত √49 বের করার জন্য এটি প্রয়োজন হতে দিন। এই ধরনের একটি মূল হবে 7, যেহেতু 7 2 \u003d 49। আসুন নিজেদেরকে জিজ্ঞাসা করি যে অন্য কোন ধনাত্মক সংখ্যা খুঁজে পাওয়া সম্ভব কিনা এক্স , যা √49ও হবে। ধরা যাক এরকম একটি সংখ্যা বিদ্যমান। তাহলে এটি অবশ্যই 7 এর কম বা 7 এর বেশি হতে হবে। যদি আমরা ধরে নিই এক্স < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что এক্স >7, তারপর x 2 >49। এর মানে হল যে কোনও ধনাত্মক সংখ্যা, 7-এর কম বা 7-এর বেশি নয়, √49-এর সমান হতে পারে না। সুতরাং, প্রদত্ত সংখ্যা থেকে একটি প্রদত্ত ডিগ্রির শুধুমাত্র একটি গাণিতিক মূল থাকতে পারে।

আমরা যদি মূলের ইতিবাচক অর্থ সম্পর্কে কথা না বলি, তবে কিছু সম্পর্কে কথা বলি তবে আমরা একটি ভিন্ন সিদ্ধান্তে উপনীত হব; সুতরাং, √49 সংখ্যা 7 এবং সংখ্যা - 7 উভয়ের সমান, যেহেতু 7 2 \u003d 49 এবং (- 7) 2 \u003d 49 উভয়ই।

খ)উদাহরণস্বরূপ, যেকোনো দুটি অসম ধনাত্মক সংখ্যা নিন। 49 এবং 56. কি থেকে 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

প্রকৃতপক্ষে: 3 √64 = 4 এবং 3 √125 = 5 এবং 4< 5. Вообще একটি ছোট ধনাত্মক সংখ্যা একটি ছোট গাণিতিক মূলের সাথে মিলে যায় (একই ডিগ্রির)।

167. বীজগণিতীয় মূল।একটি মূলকে বীজগণিত বলা হয় যদি এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা থেকে বের করার প্রয়োজন না হয় এবং এটি নিজেই ধনাত্মক হয়। এইভাবে, যদি অভিব্যক্তি অধীনে n √ক অবশ্যই বীজগণিতীয় মূল n তম ডিগ্রী, এর মানে হল যে সংখ্যা ক ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয়ই হতে পারে এবং মূলটি নিজেই ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয়ই হতে পারে।

আমরা একটি বীজগাণিতিক মূলের নিম্নলিখিত 4টি বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করি।

ক) একটি ধনাত্মক সংখ্যার বিজোড় মূল একটি ধনাত্মক সংখ্যা .

তাই, 3 √8 একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে (এটি 2 এর সমান), যেহেতু একটি বিজোড় সূচক সহ একটি ঋণাত্মক সংখ্যা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দেয়।

খ) একটি ঋণাত্মক সংখ্যার একটি বিজোড় মূল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।

তাই, 3 √-8 একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হতে হবে (এটি -2 এর সমান), যেহেতু কোনো ঘাতে উত্থিত একটি ধনাত্মক সংখ্যা একটি ধনাত্মক সংখ্যা দেয়, ঋণাত্মক নয়।

ভিতরে) একটি ধনাত্মক সংখ্যার সমান ডিগ্রির মূলের বিপরীত চিহ্ন এবং একই পরম মান সহ দুটি মান রয়েছে।

হ্যাঁ, √ +4 = + 2 এবং √ +4 = - 2 , কারণ (+ 2 ) 2 = + 4 এবং (- 2 ) 2 = + 4 ; অনুরূপ 4 √+81 = + 3 এবং 4 √+81 = - 3 , কারণ উভয় ডিগ্রী (+3) 4 এবং (-3) 4 একই সংখ্যার সমান। মূলের দ্বিগুণ মান সাধারণত মূলের পরম মানের আগে দুটি চিহ্ন রেখে নির্দেশিত হয়; তারা এই মত লিখে:

√4 = ± 2 ; √ক 2 = ± ক ;

ছ) একটি ঋণাত্মক সংখ্যার একটি জোড় মূল কোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যার সমান হতে পারে না। , যেহেতু উভয়ই, একটি জোড় সূচক সহ একটি ঘাতে উত্থাপিত হওয়ার পরে, একটি ধনাত্মক সংখ্যা দিন, একটি ঋণাত্মক নয়। যেমন, √ -9 +3 বা -3 বা অন্য কোন সংখ্যার সমান নয়।

একটি ঋণাত্মক সংখ্যার একটি জোড় মূলকে একটি কাল্পনিক সংখ্যা বলা হয়; আপেক্ষিক সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়, বা বৈধ, সংখ্যা।

168. একটি পণ্য থেকে একটি রুট নিষ্কাশন, একটি ডিগ্রী থেকে এবং একটি ভগ্নাংশ থেকে।

ক)গুণফলের বর্গমূল ধরা যাক abs . আপনি যদি গুণফলকে বর্গ করতে চান, তাহলে, যেমন আমরা দেখেছি (), আপনি প্রতিটি ফ্যাক্টরকে আলাদাভাবে বর্গ করতে পারেন। যেহেতু একটি মূল নিষ্কাশন করা একটি শক্তিতে উত্থাপনের বিপরীত, তাই আমাদের অবশ্যই আশা করা উচিত যে একটি পণ্য থেকে একটি মূল বের করার জন্য, প্রতিটি ফ্যাক্টর থেকে আলাদাভাবে এটি নিষ্কাশন করা যেতে পারে, অর্থাৎ

√abc = √ক √খ √গ .

এই সমতার সঠিকতা যাচাই করতে, আমরা এর ডান দিকটি বর্গক্ষেত্রে বাড়াই (উপাদ্য অনুসারে: গুণফলকে একটি শক্তিতে বাড়াতে ...):

(√ক √খ √গ ) 2 = (√ক ) 2 (√খ ) 2 (√গ ) 2

কিন্তু, মূলের সংজ্ঞা অনুসারে,

(√ক ) 2 = ক, (√খ ) 2 = খ, (√গ ) 2 = গ

অতএব

(√ক √খ √গ ) 2 = abs .

গুণফলের বর্গ হলে √ ক √খ √গ সমান abs , তাহলে এর মানে হল যে গুণফলটি এর বর্গমূলের সমান abc .

এটার মত:

3 √abc = 3 √ক 3 √খ 3 √গ,

(3 √ক 3 √খ 3 √গ ) 3 = (3 √ক ) 3 (3 √খ ) 3 (3 √গ ) 3 = abc

মানে, পণ্য থেকে মূল বের করার জন্য, প্রতিটি ফ্যাক্টর থেকে আলাদাভাবে এটি নিষ্কাশন করা যথেষ্ট।

খ)নিম্নলিখিত সমতাগুলি সত্য কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ:

√ক 4 = ক 2 , কারণ (ক 2 ) 2 = ক 4 ;

3 √এক্স 12 = এক্স 4 , „ (এক্স 4 ) 3 = এক্স 12 ; ইত্যাদি

মানে, একটি শক্তির মূল ধরতে যার সূচকটি মূলের সূচক দ্বারা বিভাজ্য, কেউ মূলের সূচক দ্বারা সূচককে ভাগ করতে পারে।

ভিতরে)নিম্নলিখিত সমতাগুলিও সত্য হবে:

মানে, ভগ্নাংশের মূল বের করতে, আপনি লব এবং হর আলাদাভাবে ব্যবহার করতে পারেন।

লক্ষ্য করুন যে এই সত্যগুলিতে এটি ধরে নেওয়া হয় যে আমরা পাটিগণিতের শিকড় সম্পর্কে কথা বলছি।

উদাহরণ.

1) √9 ক 4 খ 6 = √9 √ক 4 √খ 6 = 3ক 2 খ 3 ;

2) 3 √125 ক 6 এক্স 9 = 3 √125 3 √ক 6 3 √এক্স 9 = 5ক 2 এক্স 3

মন্তব্য যদি জোড় ডিগ্রির কাঙ্খিত মূলকে বীজগণিত বলে ধরে নেওয়া হয়, তাহলে প্রাপ্ত ফলাফলের আগে একটি ডবল চিহ্ন থাকতে হবে ± তাই,

√9x 4 = ± 3এক্স 2 .

169. র্যাডিকালের সহজতম রূপান্তর,

ক) র্যাডিক্যাল সাইন আউট ফ্যাক্টরিং.যদি র‌্যাডিক্যাল এক্সপ্রেশনটি এমন কিছু ফ্যাক্টরের মধ্যে পচে যায় যে তাদের কিছু থেকে মূল বের করা যায়, তাহলে এই ধরনের ফ্যাক্টরগুলো থেকে মূল বের করার পর, র‌্যাডিক্যাল সাইনের আগে লেখা যেতে পারে (আমূল চিহ্ন থেকে বের করা যায়)।

1) √ক 3 = √ক 2 ক = √ক 2 √ক = ক √ক .

2) √24 ক 4 এক্স 3 = √4 6 ক 4 এক্স 2 এক্স = 2a 2 x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 এক্স = 2x 3 √2 এক্স

খ) র‌্যাডিক্যাল সাইন ইন ফ্যাক্টর আনা.কখনও কখনও এটি দরকারী, বিপরীতভাবে, র্যাডিকেলের চিহ্নের অধীনে এটির পূর্ববর্তী কারণগুলিকে বিয়োগ করতে; এটি করার জন্য, এই জাতীয় ফ্যাক্টরগুলিকে এমন একটি শক্তিতে উত্থাপন করা যথেষ্ট যার সূচকটি র্যাডিক্যালের সূচকের সমান, এবং তারপরে র্যাডিকেলের চিহ্নের নীচে ফ্যাক্টরগুলি লিখুন।

উদাহরণ।

1) ক 2 √ক = √(ক 2 ) 2 ক = √ক 4 ক = √ক 5 .

2) 2x 3 √এক্স = 3 √(2x ) 3 এক্স = 3 √8x 3 এক্স = 3 √8x 4 .

ভিতরে) ডিনমিনেটর থেকে মুক্ত মৌলবাদী অভিব্যক্তি।আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণগুলির সাথে এটি দেখাই:

1) ভগ্নাংশকে রূপান্তর করুন যাতে হর থেকে বর্গমূল বের করা যায়। এটি করার জন্য, ভগ্নাংশের উভয় পদকে 5 দ্বারা গুণ করুন:

2) ভগ্নাংশের উভয় পদকে দ্বারা গুণ করুন 2 , উপরে ক এবং তারপরে এক্স , অর্থাৎ চালু 2উহু :

মন্তব্য করুন। যদি বীজগণিতের যোগফল থেকে মূল বের করার প্রয়োজন হয়, তাহলে প্রতিটি পদ থেকে আলাদা করে বের করা ভুল হবে। যেমন.√ 9 + 16 = √25 = 5 , যেখানে
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; তাই যোগ (এবং বিয়োগ) সাপেক্ষে মূল নিষ্কাশনের ক্রিয়া একটি বন্টন সম্পত্তি নেই(পাশাপাশি একটি ডিগ্রিতে উচ্চতা, বিভাগ 2 অধ্যায় 3 § 61, মন্তব্য)।

অভিনন্দন: আজ আমরা শিকড়গুলি বিশ্লেষণ করব - 8 ম শ্রেণির সবচেয়ে মন ছুঁয়ে যাওয়া বিষয়গুলির মধ্যে একটি। :)

অনেক লোক শিকড় সম্পর্কে বিভ্রান্ত হয়, কারণ সেগুলি জটিল নয় (যা জটিল - কয়েকটি সংজ্ঞা এবং আরও কয়েকটি বৈশিষ্ট্য), তবে কারণ বেশিরভাগ স্কুলের পাঠ্যপুস্তকে শিকড়গুলিকে এমন জংলির মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে কেবল পাঠ্যপুস্তকের লেখক নিজেই। এই স্ক্রিবলিং বুঝতে পারেন. এবং তারপরেও শুধুমাত্র ভাল হুইস্কির বোতল দিয়ে। :)

অতএব, এখন আমি মূলের সবচেয়ে সঠিক এবং সবচেয়ে উপযুক্ত সংজ্ঞা দেব - একমাত্র যা আপনার সত্যিই মনে রাখা দরকার। এবং কেবল তখনই আমি ব্যাখ্যা করব: কেন এই সমস্ত প্রয়োজনীয় এবং কীভাবে এটি অনুশীলনে প্রয়োগ করা যায়।

তবে প্রথমে, একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় মনে রাখবেন, যা কিছু কারণে পাঠ্যপুস্তকের অনেক সংকলক "ভুলে যায়":

রুটগুলি জোড় ডিগ্রি (আমাদের প্রিয় $\sqrt(a)$, সেইসাথে যেকোনো $\sqrt(a)$ এবং এমনকি $\sqrt(a)$) এবং বিজোড় ডিগ্রি (যেকোন $\sqrt(a)$ হতে পারে , $\ sqrt(a)$ ইত্যাদি)। এবং বিজোড় ডিগ্রির মূলের সংজ্ঞা জোড়ের থেকে কিছুটা আলাদা।

এখানে এই যৌনসঙ্গম "কিছুটা ভিন্ন" লুকিয়ে আছে, সম্ভবত, শিকড়ের সাথে যুক্ত সমস্ত ত্রুটি এবং ভুল বোঝাবুঝির 95%। তাই আসুন পরিভাষাটি একবার এবং সব জন্য পরিষ্কার করা যাক:

সংজ্ঞা। এমনকি মূল nসংখ্যা থেকে $a$ যে কোনো অ নেতিবাচকএকটি সংখ্যা $b$ যেমন $((b)^(n))=a$। এবং একই সংখ্যা $a$ থেকে একটি বিজোড় ডিগ্রির মূল হল সাধারণত $b$ যার জন্য একই সমতা থাকে: $((b)^(n))=a$।

যাই হোক না কেন, মূলটিকে এইভাবে চিহ্নিত করা হয়:

\(ক)\]

এই ধরনের স্বরলিপিতে $n$ সংখ্যাটিকে মূল সূচক বলা হয় এবং $a$ সংখ্যাটিকে বলা হয় র্যাডিকেল এক্সপ্রেশন। বিশেষ করে, $n=2$-এর জন্য আমরা আমাদের "প্রিয়" বর্গমূল পাই (যাই হোক, এটি একটি জোড় ডিগ্রির মূল), এবং $n=3$-এর জন্য আমরা একটি ঘনমূল (একটি বিজোড় ডিগ্রি) পাই। যা প্রায়ই সমস্যা এবং সমীকরণে পাওয়া যায়।

উদাহরণ। বর্গমূলের ক্লাসিক উদাহরণ:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

যাইহোক, $\sqrt(0)=0$ এবং $\sqrt(1)=1$। $(0)^(2))=0$ এবং $(1)^(2))=1$ থেকে এটি বেশ যৌক্তিক।

ঘন শিকড়ও সাধারণ - তাদের ভয় পাবেন না:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আচ্ছা, কয়েকটি "বহিরাগত উদাহরণ":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

যদি আপনি না বুঝতে পারেন যে জোড় এবং বিজোড় ডিগ্রির মধ্যে পার্থক্য কী, সংজ্ঞাটি আবার পড়ুন। এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ!

ইতিমধ্যে, আমরা শিকড়গুলির একটি অপ্রীতিকর বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করব, যার কারণে আমাদের জোড় এবং বিজোড় সূচকগুলির জন্য একটি পৃথক সংজ্ঞা প্রবর্তন করতে হয়েছিল।

কেন আমরা সব শিকড় প্রয়োজন?

সংজ্ঞাটি পড়ার পরে, অনেক শিক্ষার্থী জিজ্ঞাসা করবে: "গণিতবিদরা যখন এটি নিয়ে এসেছিলেন তখন তারা কী ধূমপান করেছিলেন?" এবং সত্যিই: কেন আমাদের এই সমস্ত শিকড় দরকার?

এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আসুন কিছুক্ষণের জন্য প্রাথমিক বিদ্যালয়ে ফিরে যাই। মনে রাখবেন: সেই দূরবর্তী সময়ে, যখন গাছগুলি আরও সবুজ ছিল এবং ডাম্পলিংগুলি সুস্বাদু ছিল, আমাদের প্রধান উদ্বেগ ছিল সংখ্যাগুলিকে সঠিকভাবে গুণ করা। ঠিক আছে, "পাঁচ বাই পাঁচ - পঁচিশ" এর চেতনায় কিছু, এইটুকুই। তবে সর্বোপরি, আপনি সংখ্যাগুলি জোড়ায় নয়, ত্রিপলে, চারে এবং সাধারণত পুরো সেটে গুণ করতে পারেন:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625। \end(align)\]

যাইহোক, এই বিন্দু না. কৌতুকটি ভিন্ন: গণিতবিদরা অলস মানুষ, তাই তাদের দশটি পাঁচের গুণকে এভাবে লিখতে হয়েছিল:

তাই তারা ডিগ্রি নিয়ে এসেছে। কেন একটি দীর্ঘ স্ট্রিং পরিবর্তে একটি সুপারস্ক্রিপ্ট হিসাবে কারণের সংখ্যা লিখুন না? এটার মত:

এটা খুব সুবিধাজনক! সমস্ত গণনা বেশ কয়েকবার দ্বারা হ্রাস করা হয়, এবং আপনি নোটবুকের পার্চমেন্ট শীটগুলির একটি গুচ্ছ ব্যয় করতে পারবেন না কিছু 5 183 লিখতে। এই জাতীয় এন্ট্রিকে একটি সংখ্যার ডিগ্রি বলা হত, এতে একগুচ্ছ বৈশিষ্ট্য পাওয়া গিয়েছিল, তবে সুখ স্বল্পস্থায়ী হয়েছিল।

ডিগ্রীগুলির "আবিষ্কার" সম্পর্কে একটি জমকালো মদ্যপানের পরে, কিছু বিশেষ করে পাথর মারা গণিতবিদ হঠাৎ জিজ্ঞাসা করলেন: "আমরা যদি একটি সংখ্যার ডিগ্রি জানি, তবে আমরা নিজেই সংখ্যাটি জানি না?" প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা জানি যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা $b$, উদাহরণস্বরূপ, 5ম ঘাতকে 243 দেয়, তাহলে আমরা কীভাবে অনুমান করতে পারি যে $b$ সংখ্যাটি নিজেই সমান?

এই সমস্যাটি প্রথম নজরে মনে হতে পারে তার চেয়ে অনেক বেশি বিশ্বব্যাপী হয়ে উঠেছে। কারণ এটি প্রমাণিত হয়েছে যে বেশিরভাগ "রেডিমেড" ডিগ্রির জন্য এই জাতীয় কোনও "প্রাথমিক" সংখ্যা নেই। নিজের জন্য বিচার করুন:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

যদি $((b)^(3))=50$? দেখা যাচ্ছে যে আপনাকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে, যা, নিজের দ্বারা তিনবার গুণ করলে, আমাদের 50 দেবে। কিন্তু এই সংখ্যাটি কী? এটি স্পষ্টতই 3 থেকে বড় কারণ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. অর্থাৎ এই সংখ্যাটি তিন থেকে চারের মধ্যে কোথাও রয়েছে, তবে এটি কী সমান - ডুমুর আপনি বুঝতে পারবেন।

ঠিক এই কারণেই গণিতবিদরা $n$-th মূল নিয়ে এসেছেন। এই কারণেই র্যাডিকাল আইকন $\sqrt(*)$ চালু করা হয়েছিল। একই সংখ্যা $b$ বোঝাতে, যা, নির্দিষ্ট শক্তিতে, আমাদের পূর্বে পরিচিত একটি মান দেবে

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

আমি তর্ক করি না: প্রায়শই এই শিকড়গুলি সহজেই বিবেচনা করা হয় - আমরা উপরে এই জাতীয় কয়েকটি উদাহরণ দেখেছি। কিন্তু তবুও, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, আপনি যদি একটি নির্বিচারে সংখ্যার কথা ভাবেন এবং তারপরে এটি থেকে একটি স্বেচ্ছাচারী ডিগ্রির মূল বের করার চেষ্টা করেন, তাহলে আপনি একটি নিষ্ঠুর ধাক্কার জন্য রয়েছেন৷

ওখানে কি! এমনকি সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে পরিচিত $\sqrt(2)$কে আমাদের স্বাভাবিক আকারে উপস্থাপন করা যায় না - একটি পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ হিসাবে। এবং আপনি যদি এই সংখ্যাটিকে একটি ক্যালকুলেটরে চালান, আপনি এটি দেখতে পাবেন:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, দশমিক বিন্দুর পরে সংখ্যার একটি অন্তহীন ক্রম রয়েছে যা কোন যুক্তি মানে না। আপনি, অবশ্যই, অন্যান্য সংখ্যার সাথে দ্রুত তুলনা করতে এই সংখ্যাটিকে রাউন্ড করতে পারেন। উদাহরণ স্বরূপ:

\[\sqrt(2)=1.4142...\আনুমানিক 1.4 \lt 1.5\]

অথবা এখানে অন্য উদাহরণ:

\[\sqrt(3)=1.73205...\আনুমানিক 1.7 \gt 1.5\]

কিন্তু এই সব রাউন্ডিং, প্রথমত, বরং রুক্ষ; এবং দ্বিতীয়ত, আপনাকে আনুমানিক মানগুলির সাথে কাজ করতেও সক্ষম হতে হবে, অন্যথায় আপনি একগুচ্ছ অ-স্পষ্ট ত্রুটিগুলি ধরতে পারেন (যাইহোক, তুলনা এবং রাউন্ডিংয়ের দক্ষতা অগত্যা প্রোফাইল পরীক্ষায় পরীক্ষা করা হয়)।

অতএব, গুরুতর গণিতে, কেউ শিকড় ছাড়া করতে পারে না - তারা সমস্ত বাস্তব সংখ্যা $\mathbb(R)$ এর সেটের একই সমান প্রতিনিধি, যেমন ভগ্নাংশ এবং পূর্ণসংখ্যা যা আমরা দীর্ঘদিন ধরে জানি।

$\frac(p)(q)$ ফর্মের ভগ্নাংশ হিসাবে মূলকে উপস্থাপন করার অসম্ভবতার অর্থ হল এই মূলটি একটি মূলদ সংখ্যা নয়। এই জাতীয় সংখ্যাগুলিকে অযৌক্তিক বলা হয় এবং এগুলিকে একটি র্যাডিকেলের সাহায্যে বা এর জন্য বিশেষভাবে ডিজাইন করা অন্যান্য নির্মাণ (লগারিদম, ডিগ্রি, সীমা, ইত্যাদি) ছাড়া সঠিকভাবে উপস্থাপন করা যায় না। কিন্তু অন্য সময় যে আরো.

কয়েকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন যেখানে, সমস্ত গণনার পরেও, অমূলদ সংখ্যা উত্তরে থাকবে।

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\আনুমানিক 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\আনুমানিক -1,2599... \\ \end(সারিবদ্ধ)\]

স্বাভাবিকভাবেই, মূলের চেহারা দেখে, দশমিক বিন্দুর পরে কোন সংখ্যা আসবে তা অনুমান করা প্রায় অসম্ভব। যাইহোক, এটি একটি ক্যালকুলেটরে গণনা করা সম্ভব, তবে এমনকি সবচেয়ে উন্নত তারিখ ক্যালকুলেটর আমাদের একটি অমূলদ সংখ্যার প্রথম কয়েকটি সংখ্যা দেয়। অতএব, $\sqrt(5)$ এবং $\sqrt(-2)$ হিসাবে উত্তরগুলি লেখা অনেক বেশি সঠিক।

যে জন্য তারা উদ্ভাবিত হয়েছে. উত্তর লেখা সহজ করার জন্য।

কেন দুটি সংজ্ঞা প্রয়োজন?

মনোযোগী পাঠক সম্ভবত ইতিমধ্যেই লক্ষ্য করেছেন যে উদাহরণগুলিতে দেওয়া সমস্ত বর্গমূল ধনাত্মক সংখ্যা থেকে নেওয়া হয়েছে। ভাল, অন্তত শূন্য থেকে. কিন্তু ঘনক শিকড় শান্তভাবে একেবারে যেকোনো সংখ্যা থেকে বের করা হয় - এমনকি ইতিবাচক, এমনকি নেতিবাচক।

এটি কেন ঘটছে? $y=(x)^(2))$ ফাংশনের গ্রাফটি একবার দেখুন:

একটি দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ দুটি মূল দেয়: ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক

আসুন এই গ্রাফটি ব্যবহার করে $\sqrt(4)$ গণনা করার চেষ্টা করি। এটি করার জন্য, গ্রাফে একটি অনুভূমিক রেখা $y=4$ (লাল রঙে চিহ্নিত) আঁকা হয়েছে, যা প্যারাবোলাকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে: $((x)_(1))=2$ এবং $((x) _(2)) =-2$। এটি বেশ যৌক্তিক, যেহেতু

প্রথম সংখ্যার সাথে সবকিছু পরিষ্কার - এটি ইতিবাচক, তাই এটি মূল:

কিন্তু তারপর দ্বিতীয় পয়েন্ট দিয়ে কি করবেন? 4 এর কি একবারে দুটি মূল আছে? সর্বোপরি, যদি আমরা −2 সংখ্যাটিকে বর্গ করি, তাহলে আমরা 4ও পাব। তাহলে কেন $\sqrt(4)=-2$ লিখবেন না? এবং শিক্ষকরা কেন এমন রেকর্ড দেখেন যেন তারা আপনাকে খেতে চায়? :)

সমস্যা হল যে যদি কোন অতিরিক্ত শর্ত আরোপ করা না হয়, তাহলে চারটির দুটি বর্গমূল থাকবে - ধনাত্মক এবং নেতিবাচক। এবং যেকোন ধনাত্মক সংখ্যার দুটিও থাকবে। কিন্তু নেতিবাচক সংখ্যার একেবারেই মূল থাকবে না - এটি একই গ্রাফ থেকে দেখা যায়, যেহেতু প্যারাবোলা কখনই অক্ষের নীচে পড়ে না y, অর্থাৎ নেতিবাচক মান গ্রহণ করে না।

একটি সমান সূচক সহ সমস্ত শিকড়ের জন্য একই সমস্যা দেখা দেয়:

1. কঠোরভাবে বলতে গেলে, প্রতিটি ধনাত্মক সংখ্যার একটি সমান সূচক $n$ সহ দুটি মূল থাকবে;
2. ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে, এমনকি $n$ সহ মূলটি মোটেও বের করা হয় না।

এই কারণেই একটি জোড় মূলের সংজ্ঞা $n$ বিশেষভাবে উল্লেখ করে যে উত্তরটি অবশ্যই একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা হতে হবে। এভাবেই আমরা অস্পষ্টতা থেকে মুক্তি পাই।

কিন্তু বিজোড় $n$ এর জন্য এমন কোন সমস্যা নেই। এটি দেখতে, আসুন $y=((x)^(3))$ ফাংশনের গ্রাফটি একবার দেখে নেওয়া যাক:

কিউবিক প্যারাবোলা যেকোনো মান গ্রহণ করে, তাই ঘনমূল যেকোনো সংখ্যা থেকে নেওয়া যেতে পারে

এই গ্রাফ থেকে দুটি উপসংহার টানা যেতে পারে:

1. কিউবিক প্যারাবোলার শাখাগুলি, স্বাভাবিকের থেকে ভিন্ন, উভয় দিকেই অনন্তে যায় - উপরে এবং নীচে। অতএব, আমরা যে উচ্চতায় একটি অনুভূমিক রেখা আঁকি না কেন, এই রেখাটি অবশ্যই আমাদের গ্রাফের সাথে ছেদ করবে। অতএব, ঘনমূল সর্বদা নেওয়া যেতে পারে, একেবারে যেকোনো সংখ্যা থেকে;
2. উপরন্তু, এই ধরনের একটি ছেদ সর্বদা অনন্য হবে, তাই আপনাকে কোন সংখ্যাটিকে "সঠিক" রুট বিবেচনা করতে হবে এবং কোনটি স্কোর করতে হবে তা নিয়ে ভাবতে হবে না। এই কারণেই একটি বিজোড় ডিগ্রির জন্য শিকড়ের সংজ্ঞা একটি জোড়ের তুলনায় সহজ (কোন অ-নেতিবাচকতার প্রয়োজন নেই)।

এটা খুবই দুঃখের বিষয় যে এই সহজ বিষয়গুলো অধিকাংশ পাঠ্যপুস্তকে ব্যাখ্যা করা হয় না। পরিবর্তে, আমাদের মস্তিষ্ক সব ধরণের গাণিতিক শিকড় এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে উড়তে শুরু করে।

হ্যাঁ, আমি তর্ক করি না: একটি গাণিতিক মূল কি - আপনাকেও জানতে হবে। এবং আমি এই সম্পর্কে একটি পৃথক পাঠে বিস্তারিতভাবে কথা বলব। আজ আমরা এটি সম্পর্কেও কথা বলব, কারণ এটি ছাড়া, $n$-th গুণের শিকড়ের সমস্ত প্রতিফলন অসম্পূর্ণ হবে।

তবে প্রথমে আপনাকে আমি উপরে যে সংজ্ঞাটি দিয়েছি তা পরিষ্কারভাবে বুঝতে হবে। অন্যথায়, পদের প্রাচুর্যের কারণে, আপনার মাথায় এমন জগাখিচুড়ি শুরু হবে যে শেষ পর্যন্ত আপনি কিছুই বুঝতে পারবেন না।

এবং আপনাকে যা বুঝতে হবে তা হল জোড় এবং বিজোড় সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য। অতএব, শিকড় সম্পর্কে আপনার যা জানা দরকার তা আবারও আমরা সংগ্রহ করব:

1. একটি জোড় মূল শুধুমাত্র একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে বিদ্যমান এবং নিজেই একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা। ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য, এই জাতীয় মূল অনির্ধারিত।
2. কিন্তু একটি বিজোড় ডিগ্রির মূল যেকোন সংখ্যা থেকে বিদ্যমান এবং নিজেই যেকোন সংখ্যা হতে পারে: ধনাত্মক সংখ্যার জন্য এটি ধনাত্মক, এবং নেতিবাচক সংখ্যার জন্য, যেমন ক্যাপ ইঙ্গিত করে, এটি ঋণাত্মক।

এইটা কি কঠিন? না, এটা কঠিন নয়। স্পষ্ট? হ্যাঁ, এটা স্পষ্ট! অতএব, এখন আমরা গণনার সাথে একটু অনুশীলন করব।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং সীমাবদ্ধতা

শিকড়ের অনেক অদ্ভুত বৈশিষ্ট্য এবং সীমাবদ্ধতা রয়েছে - এটি একটি পৃথক পাঠ হবে। অতএব, এখন আমরা শুধুমাত্র সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ "চিপ" বিবেচনা করব, যা শুধুমাত্র একটি সমান সূচক সহ শিকড়গুলিতে প্রযোজ্য। আমরা এই সম্পত্তিটি একটি সূত্র আকারে লিখি:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

অন্য কথায়, যদি আমরা একটি সংখ্যাকে জোড় শক্তিতে বাড়াই, এবং তারপর এটি থেকে একই ডিগ্রির মূলটি বের করি, আমরা আসল সংখ্যাটি নয়, তবে এর মডুলাস পাব। এটি একটি সাধারণ উপপাদ্য যা প্রমাণ করা সহজ (এটি আলাদাভাবে অ-নেতিবাচক $x$ বিবেচনা করা এবং তারপর আলাদাভাবে নেতিবাচকগুলি বিবেচনা করা যথেষ্ট)। শিক্ষকরা ক্রমাগত এটি সম্পর্কে কথা বলেন, এটি প্রতিটি স্কুলের পাঠ্যপুস্তকে দেওয়া আছে। কিন্তু অযৌক্তিক সমীকরণ (অর্থাৎ র‍্যাডিক্যালের চিহ্ন সম্বলিত সমীকরণ) সমাধান করার সাথে সাথেই শিক্ষার্থীরা একসাথে এই সূত্রটি ভুলে যায়।

সমস্যাটি বিশদভাবে বোঝার জন্য, আসুন এক মিনিটের জন্য সমস্ত সূত্র ভুলে যাই এবং সামনে দুটি সংখ্যা গণনা করার চেষ্টা করি:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

এগুলো খুবই সাধারণ উদাহরণ। প্রথম উদাহরণটি বেশিরভাগ লোকের দ্বারা সমাধান করা হবে, তবে দ্বিতীয়টিতে, অনেকগুলি লাঠি। সমস্যা ছাড়াই এই জাতীয় যে কোনও ফালতু সমাধান করতে, সর্বদা পদ্ধতিটি বিবেচনা করুন:

1. প্রথমত, সংখ্যাটি চতুর্থ শক্তিতে উত্থাপিত হয়। ওয়েল, এটা সহজ ধরনের. একটি নতুন সংখ্যা প্রাপ্ত করা হবে, যা এমনকি গুণ সারণীতেও পাওয়া যাবে;
2. আর এখন এই নতুন সংখ্যা থেকে চতুর্থ ডিগ্রির মূল বের করা প্রয়োজন। সেগুলো. শিকড় এবং ডিগ্রীর কোন "হ্রাস" নেই - এগুলি অনুক্রমিক ক্রিয়া।

আসুন প্রথম অভিব্যক্তিটি নিয়ে কাজ করি: $\sqrt(((3)^(4)))$। স্পষ্টতই, আপনাকে প্রথমে মূলের নীচে অভিব্যক্তিটি গণনা করতে হবে:

\[(3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

তারপরে আমরা 81 নম্বরের চতুর্থ মূলটি বের করি:

এখন দ্বিতীয় এক্সপ্রেশনের সাথে একই কাজ করা যাক। প্রথমত, আমরা −3 সংখ্যাটিকে চতুর্থ ঘাতে উন্নীত করি, যার জন্য আমাদের এটিকে নিজের দ্বারা 4 বার গুণ করতে হবে:

\[(\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ বাম(-3 \ডান)=81\]

আমরা একটি ইতিবাচক সংখ্যা পেয়েছি, যেহেতু পণ্যটিতে মোট বিয়োগের সংখ্যা 4 টুকরা, এবং তারা সবাই একে অপরকে বাতিল করে দেবে (সর্বশেষে, একটি বিয়োগ দ্বারা একটি বিয়োগ একটি প্লাস দেয়)। এর পরে, আবার মূলটি বের করুন:

নীতিগতভাবে, এই লাইনটি লেখা যাবে না, কারণ এটি একটি নো ব্রেইনার যে উত্তর একই হবে। সেগুলো. একই জোড় শক্তির একটি জোড় মূল বিয়োগগুলিকে "বার্ন" করে এবং এই অর্থে ফলাফলটি সাধারণ মডিউল থেকে আলাদা করা যায় না:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3। \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই গণনাগুলি একটি জোড় ডিগ্রির মূলের সংজ্ঞার সাথে ভাল চুক্তিতে রয়েছে: ফলাফলটি সর্বদা অ-নেতিবাচক, এবং মূল চিহ্নটিও সর্বদা একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা। অন্যথায়, মূল সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

অপারেশনের ক্রম নোট করুন

1. স্বরলিপি $\sqrt(((a)^(2)))$ এর অর্থ হল আমরা প্রথমে $a$ সংখ্যাটিকে বর্গ করি, এবং তারপর ফলাফলের মানের বর্গমূল গ্রহণ করি। অতএব, আমরা নিশ্চিত হতে পারি যে একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা সর্বদা মূল চিহ্নের নীচে বসে, যেহেতু $((a)^(2))\ge 0$ যাইহোক;
2. কিন্তু স্বরলিপি $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, বিপরীতে, এর মানে হল যে আমরা প্রথমে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা $a$ থেকে মূল বের করি এবং শুধুমাত্র তারপর ফলাফলটি বর্গ করি। অতএব, $a$ সংখ্যাটি কোনো ক্ষেত্রেই নেতিবাচক হতে পারে না - এটি সংজ্ঞাটিতে এমবেড করা একটি বাধ্যতামূলক প্রয়োজন৷

এইভাবে, কোনও ক্ষেত্রেই চিন্তাহীনভাবে শিকড় এবং ডিগ্রি হ্রাস করা উচিত নয়, যার ফলে মূল অভিব্যক্তিটিকে "সরলীকরণ" করা হয়। কারণ মূলের নিচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা থাকলে এবং তার সূচক জোড় হলে আমরা অনেক সমস্যা পাব।

যাইহোক, এই সমস্ত সমস্যাগুলি শুধুমাত্র এমনকি সূচকগুলির জন্য প্রাসঙ্গিক।

মূল চিহ্নের নীচে থেকে একটি বিয়োগ চিহ্ন সরানো হচ্ছে

স্বাভাবিকভাবেই, বিজোড় সূচক সহ শিকড়গুলিরও নিজস্ব বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা নীতিগতভাবে, জোড়গুলির জন্য বিদ্যমান নয়। যথা:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

সংক্ষেপে, আপনি একটি বিজোড় ডিগ্রির শিকড়ের চিহ্নের নীচে থেকে একটি বিয়োগ বের করতে পারেন। এটি একটি খুব দরকারী সম্পত্তি যা আপনাকে সমস্ত বিয়োগগুলিকে "নিক্ষেপ" করতে দেয়:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এই সহজ সম্পত্তি ব্যাপকভাবে অনেক গণনা সরলীকৃত. এখন আপনার চিন্তা করার দরকার নেই: যদি একটি নেতিবাচক অভিব্যক্তি মূলের নীচে আসে এবং মূলের ডিগ্রি সমান হয়ে যায় তবে কী হবে? শিকড়ের বাইরের সমস্ত বিয়োগগুলিকে কেবল "নিক্ষেপ করা" যথেষ্ট, তারপরে সেগুলি একে অপরের দ্বারা গুণিত হতে পারে, বিভক্ত করা যেতে পারে এবং সাধারণত অনেকগুলি সন্দেহজনক জিনিস করতে পারে, যা "ক্লাসিক" শিকড়ের ক্ষেত্রে আমাদের নিয়ে যাওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। ত্রুটি.

এবং এখানে আরেকটি সংজ্ঞা দৃশ্যে প্রবেশ করে - যেটির সাথে বেশিরভাগ স্কুল অযৌক্তিক অভিব্যক্তির অধ্যয়ন শুরু করে। এবং যা ছাড়া আমাদের যুক্তি অসম্পূর্ণ হবে। সম্মেলন!

গাণিতিক মূল

আসুন এক মুহুর্তের জন্য ধরে নিই যে শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যা বা, চরম ক্ষেত্রে, শূন্য মূল চিহ্নের অধীনে থাকতে পারে। আসুন জোড়/বিজোড় সূচকে স্কোর করি, উপরে দেওয়া সমস্ত সংজ্ঞায় স্কোর করি - আমরা শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক সংখ্যা নিয়ে কাজ করব। তখন কি?

এবং তারপরে আমরা পাটিগণিত রুট পাই - এটি আংশিকভাবে আমাদের "মানক" সংজ্ঞাগুলির সাথে ছেদ করে, তবে এখনও তাদের থেকে আলাদা।

সংজ্ঞা। একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার $n$th ডিগ্রির একটি গাণিতিক মূল $a$ হল একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা $b$ যেমন $((b)^(n))=a$।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমরা আর সমতায় আগ্রহী নই। পরিবর্তে, একটি নতুন সীমাবদ্ধতা উপস্থিত হয়েছিল: র্যাডিক্যাল অভিব্যক্তিটি এখন সর্বদা অ-নেতিবাচক, এবং মূলটি নিজেই অ-নেতিবাচক।

পাটিগণিতের মূলটি কীভাবে স্বাভাবিকের থেকে আলাদা তা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, আমাদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত বর্গ এবং ঘন প্যারাবোলার গ্রাফগুলি দেখুন:

রুট অনুসন্ধান এলাকা - অ নেতিবাচক সংখ্যা

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এখন থেকে, আমরা কেবলমাত্র সেই গ্রাফের টুকরোগুলিতে আগ্রহী যা প্রথম স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিকে অবস্থিত - যেখানে স্থানাঙ্ক $x$ এবং $y$ ধনাত্মক (বা অন্তত শূন্য)। আমাদের একটি ঋণাত্মক সংখ্যা রুট করার অধিকার আছে কি না তা বোঝার জন্য আপনাকে আর সূচকটি দেখার দরকার নেই। কারণ ঋণাত্মক সংখ্যা আর নীতিগতভাবে বিবেচনা করা হয় না।

আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন: "আচ্ছা, কেন আমাদের এমন একটি castrated সংজ্ঞা প্রয়োজন?" অথবা: "কেন আমরা উপরে প্রদত্ত আদর্শ সংজ্ঞা দিয়ে যেতে পারি না?"

ঠিক আছে, আমি শুধু একটি সম্পত্তি দেব, যার কারণে নতুন সংজ্ঞাটি উপযুক্ত হয়ে ওঠে। উদাহরণস্বরূপ, সূচকের নিয়ম:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: আমরা রুট এক্সপ্রেশনকে যেকোনো পাওয়ারে বাড়াতে পারি এবং একই সাথে একই পাওয়ার দিয়ে রুট এক্সপোনেন্টকে গুণ করতে পারি - এবং ফলাফল একই সংখ্যা হবে! এখানে কিছু উদাহরন:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(সারিবদ্ধ)\]

আচ্ছা, তাতে দোষ কি? কেন আমরা আগে এটা করতে পারিনি? কারণটা এখানে. একটি সাধারণ অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন: $\sqrt(-2)$ হল এমন একটি সংখ্যা যা আমাদের শাস্ত্রীয় অর্থে বেশ স্বাভাবিক, কিন্তু গাণিতিক মূলের দৃষ্টিকোণ থেকে একেবারেই অগ্রহণযোগ্য। আসুন এটি রূপান্তর করার চেষ্টা করি:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0। \\ \end(align)$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা র‌্যাডিক্যালের নীচে থেকে বিয়োগটি বের করে নিয়েছি (আমাদের প্রতিটি অধিকার আছে, কারণ সূচকটি বিজোড়), এবং দ্বিতীয়টিতে, আমরা উপরের সূত্রটি ব্যবহার করেছি। সেগুলো. গণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, সবকিছু নিয়ম অনুযায়ী করা হয়।

WTF?! কিভাবে একই সংখ্যা ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় হতে পারে? কোনভাবেই না. এটা ঠিক যে সূচকের সূত্র, যা ধনাত্মক সংখ্যা এবং শূন্যের জন্য দুর্দান্ত কাজ করে, ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ পাষণ্ডতা দিতে শুরু করে।

এখানে, এই ধরনের অস্পষ্টতা পরিত্রাণ পেতে, তারা গাণিতিক শিকড় নিয়ে এসেছিল। একটি পৃথক বড় পাঠ তাদের জন্য উত্সর্গীকৃত, যেখানে আমরা তাদের সমস্ত বৈশিষ্ট্য বিশদভাবে বিবেচনা করি। সুতরাং এখন আমরা তাদের উপর বাস করব না - পাঠটি যাইহোক খুব দীর্ঘ হয়ে উঠল।

বীজগণিতের মূল: যারা আরও জানতে চান তাদের জন্য

আমি অনেক দিন ধরে ভেবেছিলাম: এই বিষয়টিকে একটি পৃথক অনুচ্ছেদে তৈরি করা যায় না। শেষ পর্যন্ত, আমি এখান থেকে চলে যাওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। এই উপাদানটি তাদের জন্য যারা শিকড়কে আরও ভালভাবে বুঝতে চান - আর গড় "স্কুল" স্তরে নয়, অলিম্পিয়াডের কাছাকাছি স্তরে।

সুতরাং: একটি সংখ্যা থেকে $n$-th ডিগ্রির মূলের "শাস্ত্রীয়" সংজ্ঞা এবং জোড় এবং বিজোড় সূচকে সংশ্লিষ্ট বিভাজন ছাড়াও আরও একটি "প্রাপ্তবয়স্ক" সংজ্ঞা রয়েছে, যা সমতার উপর নির্ভর করে না এবং এ সব অন্যান্য সূক্ষ্মতা. একে বীজগণিতীয় মূল বলা হয়।

সংজ্ঞা। যেকোনো $a$-এর একটি বীজগণিত $n$-th মূল হল $b$ সমস্ত সংখ্যার সেট যেমন $((b)^(n))=a$। এই জাতীয় শিকড়গুলির জন্য কোনও সুপ্রতিষ্ঠিত উপাধি নেই, তাই উপরে একটি ড্যাশ রাখুন:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right। \right\) \]

পাঠের শুরুতে প্রদত্ত আদর্শ সংজ্ঞা থেকে মৌলিক পার্থক্য হল বীজগণিতীয় মূল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা নয়, একটি সেট। এবং যেহেতু আমরা বাস্তব সংখ্যা নিয়ে কাজ করছি, এই সেটটি মাত্র তিন ধরনের:

1. ফাঁকা সেট. এটি ঘটে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে একটি জোড় ডিগ্রির বীজগাণিতিক মূল খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়;
2. একটি একক উপাদান নিয়ে গঠিত একটি সেট। বিজোড় শক্তির সমস্ত শিকড়, সেইসাথে শূন্য থেকে জোড় শক্তির শিকড় এই বিভাগে পড়ে;
3. অবশেষে, সেটটিতে দুটি সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে - একই $((x)_(1))$ এবং $((x)_(2))=-((x)_(1))$ যা আমরা দেখেছি চার্ট দ্বিঘাত ফাংশন। তদনুসারে, একটি ধনাত্মক সংখ্যা থেকে জোড় ডিগ্রির মূল বের করার সময়ই এই ধরনের সারিবদ্ধকরণ সম্ভব।

শেষ মামলাটি আরও বিশদ বিবেচনার দাবি রাখে। পার্থক্য বোঝার জন্য এর কয়েকটি উদাহরণ গণনা করা যাক।

উদাহরণ। অভিব্যক্তি গণনা করুন:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16))।\]

সমাধান। প্রথম অভিব্যক্তি সহজ:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

এটি দুটি সংখ্যা যা সেটের অংশ। কারণ তাদের প্রতিটি বর্গ একটি চার দেয়।

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

এখানে আমরা শুধুমাত্র একটি সংখ্যা নিয়ে গঠিত একটি সেট দেখতে পাচ্ছি। এটি বেশ যৌক্তিক, যেহেতু মূলের সূচকটি বিজোড়।

অবশেষে, শেষ অভিব্যক্তি:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

আমরা একটি খালি সেট পেয়েছিলাম. কারণ এমন একটি বাস্তব সংখ্যা নেই যা, যখন চতুর্থ (অর্থাৎ এমনকি!) শক্তিতে উন্নীত করা হয়, তখন আমাদের একটি ঋণাত্মক সংখ্যা −16 দেবে।

চূড়ান্ত নোট। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: এটা দৈবক্রমে নয় যে আমি সর্বত্র উল্লেখ করেছি যে আমরা বাস্তব সংখ্যা নিয়ে কাজ করছি। কারণ সেখানে জটিল সংখ্যাও রয়েছে - সেখানে $\sqrt(-16)$ এবং আরও অনেক অদ্ভুত জিনিস গণনা করা বেশ সম্ভব।

যাইহোক, গণিতের আধুনিক স্কুল পাঠ্যক্রমে, জটিল সংখ্যাগুলি প্রায় খুঁজে পাওয়া যায় না। বেশিরভাগ পাঠ্যপুস্তক থেকে সেগুলি বাদ দেওয়া হয়েছে কারণ আমাদের কর্মকর্তারা বিষয়টিকে "বোঝাও কঠিন" বলে মনে করেন।

এখানেই শেষ. পরবর্তী পাঠে, আমরা শিকড়ের সমস্ত মূল বৈশিষ্ট্য দেখব এবং অবশেষে শিখব কিভাবে অযৌক্তিক অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করা যায়। :)