সেই সম্ভাবনা কোথায়। সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় নির্ধারণের সমস্যা। সমাধানের উদাহরণ। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব. গড় স্তর

বাস্তবে বা আমাদের কল্পনায় ঘটে যাওয়া ঘটনাগুলোকে ৩টি দলে ভাগ করা যায়। এগুলি এমন কিছু ঘটনা যা অবশ্যই ঘটবে, অসম্ভব ঘটনা এবং এলোমেলো ঘটনা। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এলোমেলো ঘটনা অধ্যয়ন করে, যেমন ঘটনা যা ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে। এই নিবন্ধটি সংক্ষিপ্তভাবে সম্ভাব্যতার সূত্রের তত্ত্ব এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ উপস্থাপন করবে, যা গণিতের (প্রোফাইল স্তর) ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার টাস্ক 4-এ থাকবে।

কেন আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব প্রয়োজন?

ঐতিহাসিকভাবে, 17 শতকে জুয়া খেলার বিকাশ এবং পেশাদারিকরণ এবং ক্যাসিনোগুলির উত্থানের সাথে এই সমস্যাগুলি অধ্যয়নের প্রয়োজনীয়তা দেখা দেয়। এটি একটি বাস্তব ঘটনা যা এর নিজস্ব অধ্যয়ন এবং গবেষণার প্রয়োজন ছিল।

তাস, পাশা এবং রুলেট খেলা এমন পরিস্থিতি তৈরি করেছে যেখানে সমান সংখ্যক সম্ভাব্য ঘটনা ঘটতে পারে। একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সংঘটনের সম্ভাবনার সংখ্যাগত অনুমান দেওয়ার প্রয়োজন ছিল।

20 শতকে, এটি দেখা গেল যে এই আপাতদৃষ্টিতে তুচ্ছ বিজ্ঞান খেলা করে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকাঅণুজগতে ঘটে যাওয়া মৌলিক প্রক্রিয়ার জ্ঞানে। তৈরি করা হয়েছিল আধুনিক তত্ত্বসম্ভাবনা

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অধ্যয়নের উদ্দেশ্য হল ঘটনা এবং তাদের সম্ভাব্যতা। যদি একটি ঘটনা জটিল হয়, তবে এটিকে সাধারণ উপাদানগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে, যার সম্ভাব্যতাগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ।

ঘটনা A এবং B এর যোগফলকে ঘটনা C বলা হয়, যেটি ঘটনা A, বা ঘটনা B, অথবা ঘটনা A এবং B একই সাথে ঘটেছে।

ঘটনা A এবং B এর গুণফল হল একটি ঘটনা C, যার অর্থ হল ঘটনা A এবং B ঘটনা উভয়ই ঘটেছে।

ঘটনা A এবং B বেমানান বলা হয় যদি তারা একই সাথে ঘটতে না পারে।

একটি ঘটনা Aকে অসম্ভব বলা হয় যদি এটি ঘটতে না পারে। এই ধরনের ঘটনা প্রতীক দ্বারা নির্দেশিত হয়।

একটি ঘটনা A কে নিশ্চিত বলা হয় যদি এটি ঘটতে পারে। এই ধরনের ঘটনা প্রতীক দ্বারা নির্দেশিত হয়।

প্রতিটি ইভেন্ট A একটি সংখ্যা P(A) এর সাথে যুক্ত হোক। এই সংখ্যা P(A) কে ঘটনা A এর সম্ভাব্যতা বলা হয় যদি এই চিঠিপত্রের সাথে নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ কেস হল পরিস্থিতি যখন সমানভাবে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফল থাকে, এবং এই ফলাফলগুলির নির্বিচারে ঘটনা A গঠন করে। এই ক্ষেত্রে, সূত্র ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা প্রবেশ করা যেতে পারে। এইভাবে প্রবর্তিত সম্ভাব্যতা বলা হয় শাস্ত্রীয় সম্ভাবনা. এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে এই ক্ষেত্রে বৈশিষ্ট্য 1-4 সন্তুষ্ট।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যাগুলি যা গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় প্রদর্শিত হয় মূলত ক্লাসিক্যাল সম্ভাব্যতার সাথে সম্পর্কিত। এই ধরনের কাজ খুব সহজ হতে পারে. সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যাগুলি বিশেষ করে সহজ ডেমো বিকল্প. অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা গণনা করা সহজ; সমস্ত ফলাফলের সংখ্যা ঠিক অবস্থায় লেখা হয়।

আমরা সূত্র ব্যবহার করে উত্তর পেতে.

সম্ভাব্যতা নির্ধারণে গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা থেকে একটি সমস্যার উদাহরণ

টেবিলে 20টি পাই রয়েছে - 5টি বাঁধাকপি, 7টি আপেল এবং 8টি ভাতের সাথে। মেরিনা পাই নিতে চায়। সে ভাতের পিঠা খাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান।

এখানে 20টি সমানভাবে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফল রয়েছে, অর্থাৎ, মেরিনা 20টি পাইগুলির মধ্যে যেকোনো একটি নিতে পারে৷ কিন্তু আমাদের সম্ভাব্যতা অনুমান করতে হবে যে মেরিনা চালের পাই নেবে, অর্থাৎ, যেখানে A হল চালের পাইয়ের পছন্দ। এর মানে হল যে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা (ভাতের সাথে পাইয়ের পছন্দ) মাত্র 8। তারপর সম্ভাব্যতা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হবে:

স্বাধীন, বিপরীত এবং স্বেচ্ছাচারী ঘটনা

যাইহোক, মধ্যে খোলা জারআরও জটিল কাজের সম্মুখীন হতে শুরু করে। অতএব, আসুন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে অধ্যয়ন করা অন্যান্য বিষয়গুলির প্রতি পাঠকের দৃষ্টি আকর্ষণ করি।

ঘটনা A এবং B স্বাধীন বলা হয় যদি প্রতিটির সম্ভাব্যতা অন্য ঘটনা ঘটে কিনা তার উপর নির্ভর করে না।

ঘটনা B হল যে ঘটনা A ঘটেনি, অর্থাৎ ঘটনা B ঘটনা A এর বিপরীত। বিপরীত ঘটনার সম্ভাব্যতা সরাসরি ঘটনার সম্ভাব্যতা এক বিয়োগের সমান, যেমন .

সম্ভাবনা যোগ এবং গুণের উপপাদ্য, সূত্র

নির্বিচারে ঘটনা A এবং B এর জন্য, এই ইভেন্টগুলির যোগফলের সম্ভাবনা তাদের সম্ভাব্যতা ছাড়াই তাদের সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান যৌথ ইভেন্ট, অর্থাৎ .

স্বাধীন ইভেন্ট A এবং B এর জন্য, এই ইভেন্টগুলির সংঘটনের সম্ভাবনা তাদের সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান, যেমন এক্ষেত্রে .

শেষ 2টি বিবৃতিকে সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণের উপপাদ্য বলা হয়।

ফলাফলের সংখ্যা গণনা সবসময় এত সহজ নয়। কিছু ক্ষেত্রে কম্বিনেটরিক্স সূত্র ব্যবহার করা প্রয়োজন। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে এমন ইভেন্টের সংখ্যা গণনা করা। কখনও কখনও এই ধরনের গণনা স্বাধীন কাজ হয়ে উঠতে পারে।

6টি খালি আসনে 6 জন ছাত্রকে কতভাবে বসানো যাবে? প্রথম শিক্ষার্থী ৬টি স্থানের যেকোনো একটিতে অংশ নেবে। এই বিকল্পগুলির প্রত্যেকটি দ্বিতীয় ছাত্রের স্থান নেওয়ার জন্য 5টি উপায়ের সাথে মিলে যায়। তৃতীয় শিক্ষার্থীর জন্য 4টি বিনামূল্যে স্থান বাকি আছে, চতুর্থটির জন্য 3টি, পঞ্চমটির জন্য 2টি, এবং ষষ্ঠটি শুধুমাত্র অবশিষ্ট স্থানটি নেবে। সমস্ত বিকল্পের সংখ্যা খুঁজে পেতে, আপনাকে পণ্যটি খুঁজে বের করতে হবে, যা 6 প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়! এবং "ছয় ফ্যাক্টরিয়াল" পড়ে।

সাধারণ ক্ষেত্রে, এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয় n উপাদানের সংখ্যাক্রমের সূত্রের মাধ্যমে। আমাদের ক্ষেত্রে।

এখন আমাদের ছাত্রদের সাথে আরেকটি ঘটনা বিবেচনা করা যাক। 6টি খালি আসনে 2 জন ছাত্রকে কতভাবে বসানো যাবে? প্রথম শিক্ষার্থী ৬টি স্থানের যেকোনো একটিতে অংশ নেবে। এই বিকল্পগুলির প্রত্যেকটি দ্বিতীয় ছাত্রের স্থান নেওয়ার জন্য 5টি উপায়ের সাথে মিলে যায়। সমস্ত বিকল্পের সংখ্যা খুঁজে পেতে, আপনাকে পণ্যটি খুঁজে বের করতে হবে।

সাধারণভাবে, এই প্রশ্নের উত্তর k উপাদানের উপর n উপাদানের বসানো সংখ্যার সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়

আমাদের ক্ষেত্রে .

আর এই সিরিজের শেষ ঘটনা। আপনি কত উপায়ে 6 জনের মধ্যে তিনজন ছাত্র বেছে নিতে পারেন? প্রথম শিক্ষার্থীকে 6 উপায়ে, দ্বিতীয়টি - 5টি উপায়ে, তৃতীয়টি - চারটি উপায়ে নির্বাচন করা যেতে পারে। কিন্তু এই বিকল্পগুলির মধ্যে, একই তিন শিক্ষার্থী 6 বার উপস্থিত হয়। সমস্ত বিকল্পের সংখ্যা খুঁজে পেতে, আপনাকে মান গণনা করতে হবে: . সাধারণভাবে, এই প্রশ্নের উত্তরটি উপাদান দ্বারা উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যার সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:

আমাদের ক্ষেত্রে .

সম্ভাব্যতা নির্ধারণের জন্য গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা থেকে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

টাস্ক 1. দ্বারা সম্পাদিত সংগ্রহ থেকে. ইয়াশচেঙ্কো।

প্লেটে 30টি পাই রয়েছে: 3টি মাংসের সাথে, 18টি বাঁধাকপি এবং 9টি চেরি সহ। সাশা এলোমেলোভাবে একটি পাই বেছে নেয়। তিনি একটি চেরি দিয়ে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

.

উত্তর: 0.3।

টাস্ক 2. দ্বারা সম্পাদিত সংগ্রহ থেকে. ইয়াশচেঙ্কো।

1000টি বাল্বের প্রতিটি ব্যাচে গড়ে 20টি ত্রুটিপূর্ণ। একটি ব্যাচ থেকে এলোমেলোভাবে নেওয়া একটি আলোর বাল্ব কাজ করবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান: কার্যকরী আলোর বাল্বের সংখ্যা হল 1000-20=980। তারপর সম্ভাব্যতা যে একটি ব্যাচ থেকে এলোমেলোভাবে নেওয়া একটি লাইট বাল্ব কাজ করবে:

উত্তর: 0.98।

একটি গণিত পরীক্ষার সময় U শিক্ষার্থী 9টির বেশি সমস্যার সঠিকভাবে সমাধান করবে এমন সম্ভাবনা হল 0.67। U. সঠিকভাবে 8টির বেশি সমস্যার সমাধান করবে এমন সম্ভাবনা হল 0.73। U সঠিকভাবে 9টি সমস্যার সমাধান করার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

যদি আমরা একটি সংখ্যারেখা কল্পনা করি এবং তার উপর 8 এবং 9 বিন্দু চিহ্নিত করি, তাহলে আমরা দেখতে পাব যে "U. ঠিক 9টি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" শর্তে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে "ইউ. 8টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে", কিন্তু শর্তে প্রযোজ্য নয় "U. 9টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে।"

তবে শর্ত “ইউ. 9টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" শর্তে রয়েছে "ইউ. 8টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে।" এইভাবে, যদি আমরা ইভেন্টগুলি মনোনীত করি: "ইউ. ঠিক 9টি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" - A, "U এর মাধ্যমে। 8টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" - B, "U এর মাধ্যমে। সি এর মাধ্যমে 9টিরও বেশি সমস্যার সঠিকভাবে সমাধান করবে। সেই সমাধানটি দেখতে এরকম হবে:

উত্তর: 0.06।

জ্যামিতি পরীক্ষায়, একজন শিক্ষার্থী পরীক্ষার প্রশ্নের তালিকা থেকে একটি প্রশ্নের উত্তর দেয়। এটি একটি ত্রিকোণমিতি প্রশ্ন হওয়ার সম্ভাবনা 0.2। বাহ্যিক কোণে এটি একটি প্রশ্ন হওয়ার সম্ভাবনা 0.15। একই সাথে এই দুটি বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত কোন প্রশ্ন নেই। পরীক্ষায় এই দুটি বিষয়ের একটিতে একজন শিক্ষার্থীর একটি প্রশ্ন পাওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।

আমাদের কি ঘটনা আছে তা নিয়ে ভাবা যাক। আমরা দুটি বেমানান ঘটনা দেওয়া হয়. অর্থাৎ, হয় প্রশ্নটি "ত্রিকোণমিতি" বিষয়ের সাথে বা "বাহ্যিক কোণ" বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত হবে। সম্ভাব্যতা উপপাদ্য অনুসারে, অসামঞ্জস্যপূর্ণ ঘটনার সম্ভাবনা প্রতিটি ঘটনার সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান, আমাদের অবশ্যই এই ঘটনার সম্ভাব্যতার যোগফল খুঁজে বের করতে হবে, অর্থাৎ:

উত্তর: 0.35।

ঘরটি তিনটি বাতি দিয়ে একটি লণ্ঠন দ্বারা আলোকিত হয়। এক বছরের মধ্যে একটি বাতি জ্বলে যাওয়ার সম্ভাবনা 0.29। বছরে অন্তত একটি বাতি জ্বলবে না এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

আসুন সম্ভাব্য ঘটনা বিবেচনা করা যাক। আমাদের তিনটি আলোর বাল্ব রয়েছে, যার প্রতিটি অন্য কোনো আলোর বাল্ব থেকে স্বাধীনভাবে জ্বলতে পারে বা নাও পারে। এগুলো স্বাধীন ঘটনা।

তারপরে আমরা এই ধরনের ইভেন্টগুলির জন্য বিকল্পগুলি নির্দেশ করব। আসুন নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করি: - আলোর বাল্ব চালু আছে, - আলোর বাল্বটি পুড়ে গেছে। এবং অবিলম্বে পরবর্তী আমরা ইভেন্ট সম্ভাব্যতা গণনা. উদাহরণস্বরূপ, একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা যেখানে তিনটি স্বাধীন ইভেন্ট "আলোর বাল্ব জ্বলে গেছে", "আলোর বাল্ব চালু আছে", "আলোর বাল্ব চালু আছে" ঘটেছে: , যেখানে ঘটনার সম্ভাবনা "আলোর বাল্ব" is on" ইভেন্টের বিপরীতে ইভেন্টের সম্ভাব্যতা হিসাবে গণনা করা হয় "লাইট বাল্ব চালু নেই", যথা: .

লক্ষ্য করুন যে আমাদের পক্ষে শুধুমাত্র 7টি বেমানান ইভেন্ট রয়েছে৷ এই ধরনের ইভেন্টগুলির সম্ভাবনা প্রতিটি ঘটনার সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান: .

উত্তর: 0.975608।

আপনি চিত্রে আরেকটি সমস্যা দেখতে পারেন:

এইভাবে, আমরা বুঝতে পেরেছি যে সম্ভাব্যতার তত্ত্ব কী, সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ যা আপনি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সংস্করণে সম্মুখীন হতে পারেন।

আমি সাধারণত এই ধরনের সমস্যায় খুব দুর্বল, তাই আমি ইন্টারনেটে উত্তর খোঁজার চেষ্টা করেছি, কিন্তু দেখা গেল যে বিভিন্ন জায়গায় বিভিন্ন উত্তর রিপোর্ট করা হয়েছে। আসুন কোনটি সঠিক তা বের করার চেষ্টা করি। এখানে প্রকৃত সমস্যা:

এই অস্বাভাবিক প্রশ্নটি গণিতবিদ রেমন্ড জনসন দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল:

আপনি যদি এলোমেলোভাবে একটি উত্তর চয়ন করেন, তাহলে এটি সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক) 25%
খ) ৫০%
গ) 60%
ঘ) 25%

এখানে ইন্টারনেটে উপলব্ধ ব্যাখ্যা এবং উত্তর বিকল্প আছে:

বিকল্প উত্তর - 0%

সঠিক উত্তর হল 0%, অর্থাৎ এটি ফলাফলের মধ্যে দেওয়া হয় না।
আসুন ব্যাখ্যা করা যাক: সঠিক উত্তরের সম্ভাব্য সংখ্যা 0 থেকে 4, যার মানে হল যে এলোমেলোভাবে সঠিকটি বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা 0, 25, 50, 75 বা 100% হওয়া উচিত। এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে বিকল্প গ) বাদ দেয় (একটি 60% সম্ভাবনা থাকতে পারে না)।
আরও, যেহেতু a) এবং d) একই, তারা উভয়ই সত্য বা উভয়ই মিথ্যা।
সুতরাং, আমাদের কাছে 4টি পারস্পরিক একচেটিয়া উত্তর বিকল্প রয়েছে:
1: a), b) এবং d) সঠিক উত্তর।
2: a) এবং d) সঠিক উত্তর।
3: b) সঠিক উত্তর।
4: কোন সঠিক উত্তর নেই।
প্রথম বিকল্পটি অসম্ভব, যেহেতু সম্ভাব্যতা একই সময়ে 25% এবং 50% উভয়ই হতে পারে না।
দ্বিতীয় বিকল্পটি অসম্ভব কারণ যদি 2টি উত্তর সঠিক হয়, তাহলে নির্বাচনের সম্ভাবনা 50% হওয়া উচিত, 25% নয়।
তৃতীয় বিকল্পের সাথেও একই: যদি শুধুমাত্র 1টি বিকল্প সঠিক হয়, তাহলে এটি বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা 25%, 50% নয় (উত্তর খ) এ বলা হয়েছে।
সুতরাং, এটি বিকল্প 4 ছেড়ে দেয়: কোন সঠিক উত্তর নেই। অতএব, সঠিক উত্তর বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা 0%।

বিকল্প উত্তর 37.5%:

উত্তর অনুমান করার সময় 3টি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে রয়েছে। 1 - 25% বেছে নিয়েছে এবং সঠিক অনুমান করেছে। 2 - 50% বেছে নিয়েছে এবং সঠিক অনুমান করেছে। 3 - 60% বেছে নিয়েছে এবং সঠিক অনুমান করেছে।
1) সুযোগ যে আপনি 25% = 1/2 নির্বাচন করবেন। একই সময়ে, আপনি এই 25% অনুমান করার সুযোগটিও 1/2।
মামলার চূড়ান্ত সম্ভাবনা হল 1/2 * 1/2 = 1/4।
2) সুযোগ যে আপনি 50% = 1/4 নির্বাচন করবেন। একই সময়ে, আপনি এই 50% অনুমান করার সুযোগটিও 1/4।

3) সুযোগ যে আপনি 60% = 1/4 নির্বাচন করবেন। একই সময়ে, আপনি এই 60% অনুমান করার সুযোগটিও 1/4।
মামলার চূড়ান্ত সম্ভাবনা হল 1/4 * 1/4 = 1/16।
আমরা 3টি ক্ষেত্রেই চূড়ান্ত সম্ভাব্যতা যোগ করি, আমরা 3/8 বা 37.5% পাই।

বিকল্প উত্তর - ৫০%

এটা এক এবং দুই হতে চালু হবে
1) প্রথমে, আসুন প্রতিটি উত্তরের সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা যাক। এখানে সবকিছুই সহজ - যুক্তি অনুসারে, আমরা যে চারটি উত্তর বিকল্পের মধ্যে একটি বেছে নেব তার সম্ভাব্যতা হবে 1/4, অর্থাৎ 0.25
2) এখন 25% নম্বর দিয়ে উত্তরের বিকল্পগুলিতে আঘাত করার সম্ভাব্যতা গণনা করা যাক। যদি আমরা বিবেচনা করি যে ঘটনাগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, অর্থাৎ, একটির উপস্থিতি অন্যটির উপস্থিতি বাদ দেয়, তবে আমরা সম্ভাব্যতার যোগফল ব্যবহার করতে পারি (সম্ভাব্যতা যে আমরা 1 বা 4 উত্তর দেব, কারণ এতে 25টি রয়েছে % আমাদের প্রয়োজন), অর্থাৎ 25% + 25% = 50% শতাংশ।
ফলস্বরূপ, সঠিক উত্তর হল খ)

সম্ভাব্য উত্তর: পুনরাবৃত্তি

আমি ব্যাখ্যা করি: 4টি বিকল্পের মধ্যে 1টি এলোমেলোভাবে, অর্থাৎ 25%, কিন্তু এই ধরনের 2টি বিকল্প রয়েছে, তাই আমরা 2 দ্বারা গুণ করি, তাই এটি 50% হয়ে যায়, কিন্তু এই বিকল্পটি 1, তাই আমরা 2 দ্বারা ভাগ করি এবং আমরা 25% পাই, কিন্তু এই ধরনের 2টি বিকল্প আছে, তাই আমরা 2 দিয়ে গুণ করি, এটি 50% হয়ে যায়, কিন্তু এই বিকল্পটি 1, তাই আমরা 2 দিয়ে ভাগ করি এবং 25% পাই, কিন্তু এরকম 2টি বিকল্প আছে, তাই আমরা গুন করি। 2, এটি 50% হয়ে যায়, কিন্তু এই বিকল্পটি 1, তাই আমরা 2 দ্বারা ভাগ করি এবং আমরা 25% পাই, তবে এরকম 2টি বিকল্প রয়েছে, তাই আমরা 2 দিয়ে গুণ করি, এটি 50% হয়ে যায়, কিন্তু এই বিকল্পটি 1, তাই আমরা 2 দ্বারা ভাগ করলে আমরা 25% পাই, কিন্তু এই ধরনের 2টি বিকল্প আছে, তাই আমরা 2 দিয়ে গুণ করি, এটি 50% হয়ে যায়, কিন্তু এই বিকল্পটি 1, তাই আমরা 2 দিয়ে ভাগ করলে 25% পাওয়া যায়, কিন্তু এরকম 2টি বিকল্প আছে , তাই আমরা 2 দ্বারা গুণ করি, এটি 50% হয়ে যায়, কিন্তু এই বিকল্পটি 1, তাই আমরা 2 দ্বারা ভাগ করি এবং আমরা 25% পাই...

যখন একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয়, তখন আমরা বলতে পারি যে এটি মাথার উপরে উঠে যাবে, বা সম্ভাবনা এটি 1/2। অবশ্যই, এর মানে এই নয় যে একটি মুদ্রা 10 বার নিক্ষেপ করা হলে, এটি অগত্যা 5 বার মাথায় অবতরণ করবে। যদি মুদ্রাটি "ন্যায্য" হয় এবং যদি এটি বহুবার নিক্ষেপ করা হয়, তবে মাথাগুলি অর্ধেক সময় খুব কাছাকাছি অবতরণ করবে। সুতরাং, দুটি ধরণের সম্ভাবনা রয়েছে: পরীক্ষামূলক এবং তাত্ত্বিক .

পরীক্ষামূলক এবং তাত্ত্বিক সম্ভাবনা

আপনি যদি একটি মুদ্রা টস করেন অনেকবার - বলুন 1000 - এবং কতবার মাথা নিক্ষেপ করা হয়েছে তা গণনা করে, আমরা মাথা নিক্ষেপ করার সম্ভাবনা নির্ধারণ করতে পারি। যদি মাথা 503 বার নিক্ষেপ করা হয়, তাহলে আমরা এটির অবতরণের সম্ভাবনা গণনা করতে পারি:
503/1000, বা 0.503।

এই পরীক্ষামূলক সম্ভাবনার সংজ্ঞা। সম্ভাব্যতার এই সংজ্ঞাটি পর্যবেক্ষণ এবং ডেটা অধ্যয়ন থেকে আসে এবং এটি বেশ সাধারণ এবং খুব দরকারী। এখানে, উদাহরণস্বরূপ, কিছু সম্ভাব্যতা যা পরীক্ষামূলকভাবে নির্ধারিত হয়েছিল:

1. একজন মহিলার স্তন ক্যান্সার হওয়ার সম্ভাবনা 1/11।

2. আপনি যদি এমন কাউকে চুম্বন করেন যার সর্দি হয়, তাহলে আপনারও সর্দি হওয়ার সম্ভাবনা 0.07।

3. একজন ব্যক্তি যে সদ্য কারাগার থেকে মুক্তি পেয়েছে তার কারাগারে ফিরে আসার 80% সম্ভাবনা রয়েছে।

যদি আমরা একটি মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলার কথা বিবেচনা করি এবং বিবেচনা করি যে এটি মাথা বা লেজ পর্যন্ত আসার সম্ভাবনা ঠিক ততটাই, আমরা মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা গণনা করতে পারি: 1/2। তাত্ত্বিক সংজ্ঞাসম্ভাবনা এখানে কিছু অন্যান্য সম্ভাব্যতা রয়েছে যা গণিত ব্যবহার করে তাত্ত্বিকভাবে নির্ধারণ করা হয়েছে:

1. যদি একটি ঘরে 30 জন লোক থাকে, তাদের মধ্যে দুজনের একই জন্মদিন (বছর ব্যতীত) হওয়ার সম্ভাবনা 0.706।

2. একটি ভ্রমণের সময়, আপনি কারো সাথে দেখা করেন, এবং কথোপকথনের সময় আপনি আবিষ্কার করেন যে আপনার একটি পারস্পরিক বন্ধু আছে। সাধারণ প্রতিক্রিয়া: "এটি হতে পারে না!" প্রকৃতপক্ষে, এই বাক্যাংশটি উপযুক্ত নয়, কারণ এই ধরনের ঘটনার সম্ভাবনা বেশ বেশি - মাত্র 22% এরও বেশি।

এইভাবে, পরীক্ষামূলক সম্ভাবনাগুলি পর্যবেক্ষণ এবং তথ্য সংগ্রহের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। গাণিতিক যুক্তির মাধ্যমে তাত্ত্বিক সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা হয়। পরীক্ষামূলক এবং তাত্ত্বিক সম্ভাবনার উদাহরণ, যেমন উপরে আলোচনা করা হয়েছে, এবং বিশেষ করে যেগুলি আমরা আশা করি না, আমাদেরকে সম্ভাব্যতা অধ্যয়নের গুরুত্বের দিকে নিয়ে যায়। আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন, "সত্য সম্ভাবনা কি?" আসলে এমন কিছু নেই। নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে সম্ভাব্যতা পরীক্ষামূলকভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। আমরা তাত্ত্বিকভাবে প্রাপ্ত সম্ভাব্যতার সাথে তারা মিলিত হতে পারে বা নাও পারে। এমন পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে এক ধরণের সম্ভাবনা অন্যের চেয়ে নির্ধারণ করা অনেক সহজ। উদাহরণস্বরূপ, তাত্ত্বিক সম্ভাব্যতা ব্যবহার করে ঠান্ডা ধরার সম্ভাবনা খুঁজে বের করা যথেষ্ট হবে।

পরীক্ষামূলক সম্ভাবনার গণনা

আসুন প্রথমে সম্ভাব্যতার পরীক্ষামূলক সংজ্ঞা বিবেচনা করি। এই ধরনের সম্ভাব্যতা গণনা করার জন্য আমরা যে মৌলিক নীতিটি ব্যবহার করি তা নিম্নরূপ।

নীতি P (পরীক্ষামূলক)

যদি একটি পরীক্ষায় যেখানে n পর্যবেক্ষণ করা হয়, একটি পরিস্থিতি বা ঘটনা E n পর্যবেক্ষণে m বার ঘটে, তাহলে ঘটনার পরীক্ষামূলক সম্ভাবনাকে P (E) = m/n বলা হয়।

উদাহরণ 1 সমাজতাত্ত্বিক জরিপ। বাম-হাতি, ডান-হাতি লোক এবং যাদের উভয় হাত সমানভাবে বিকশিত হয়েছে তাদের সংখ্যা নির্ধারণের জন্য একটি পরীক্ষামূলক গবেষণা করা হয়েছিল। ফলাফলগুলি গ্রাফে দেখানো হয়েছে।

ক) ব্যক্তিটি ডানহাতি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করুন।

খ) ব্যক্তিটি বামহাতি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করুন।

গ) একজন ব্যক্তির উভয় হাতে সমানভাবে সাবলীল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করুন।

ঘ) বেশিরভাগ পেশাদার বোলিং অ্যাসোসিয়েশনের টুর্নামেন্ট 120 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে সীমাবদ্ধ। এই পরীক্ষার তথ্যের উপর ভিত্তি করে, কতজন খেলোয়াড় বাঁহাতি হতে পারে?

সমাধান

ক) ডানহাতি লোকের সংখ্যা 82, বাম-হাতিদের সংখ্যা 17, এবং যারা উভয় হাতে সমান সাবলীল তাদের সংখ্যা 1। মোট পর্যবেক্ষণের সংখ্যা 100। এইভাবে, সম্ভাব্যতা যে একজন ব্যক্তি ডানহাতি পি
P = 82/100, বা 0.82, বা 82%।

b) একজন ব্যক্তির বাম-হাতি হওয়ার সম্ভাবনা P, যেখানে
P = 17/100, বা 0.17, বা 17%।

গ) একজন ব্যক্তির উভয় হাতে সমানভাবে সাবলীল হওয়ার সম্ভাবনা P, যেখানে
P = 1/100, বা 0.01, বা 1%।

d) 120 বোলার, এবং (b) থেকে আমরা আশা করতে পারি যে 17% বাঁহাতি। এখান থেকে
120 এর 17% = 0.17.120 = 20.4,
অর্থাৎ, আমরা আশা করতে পারি প্রায় 20 জন খেলোয়াড় বাঁহাতি হবে।

উদাহরণ 2 মান নিয়ন্ত্রণ . একজন প্রস্তুতকারকের জন্য তার পণ্যের গুণমানকে উচ্চ স্তরে রাখা খুবই গুরুত্বপূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে, কোম্পানিগুলি এই প্রক্রিয়াটি নিশ্চিত করার জন্য মান নিয়ন্ত্রণ পরিদর্শক নিয়োগ করে। লক্ষ্য হল ন্যূনতম সম্ভাব্য সংখ্যক ত্রুটিপূর্ণ পণ্য উৎপাদন করা। কিন্তু যেহেতু কোম্পানিটি প্রতিদিন হাজার হাজার পণ্য উত্পাদন করে, তাই প্রতিটি পণ্য ত্রুটিপূর্ণ কিনা তা পরীক্ষা করার সামর্থ্য রাখে না। কত শতাংশ পণ্য ত্রুটিপূর্ণ তা খুঁজে বের করতে, কোম্পানি অনেক কম পণ্য পরীক্ষা করে।
ইউএসডিএ-র প্রয়োজন যে চাষীদের দ্বারা বিক্রি করা বীজের 80% অবশ্যই অঙ্কুরিত হতে হবে। একটি কৃষি কোম্পানি যে বীজ উত্পাদন করে তার গুণমান নির্ধারণের জন্য, উৎপাদিত বীজ থেকে 500 বীজ রোপণ করা হয়। এর পরে, এটি গণনা করা হয়েছিল যে 417 বীজ অঙ্কুরিত হয়েছে।

ক) বীজ অঙ্কুরিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

খ) বীজ কি সরকারি মান পূরণ করে?

সমাধানক) আমরা জানি যে 500টি বীজ রোপণ করা হয়েছিল, 417টি অঙ্কুরিত হয়েছে। বীজ অঙ্কুরোদগমের সম্ভাবনা পি, এবং
P = 417/500 = 0.834, বা 83.4%।

খ) যেহেতু বীজের অঙ্কুরিত শতাংশ প্রয়োজন অনুসারে 80% ছাড়িয়ে গেছে, তাই বীজগুলি সরকারী মান পূরণ করে।

উদাহরণ 3 টেলিভিশন রেটিং। পরিসংখ্যান অনুসারে, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে টেলিভিশন সহ 105,500,000 পরিবার রয়েছে। প্রতি সপ্তাহে, অনুষ্ঠান দেখার তথ্য সংগ্রহ এবং প্রক্রিয়া করা হয়। এক সপ্তাহে, 7,815,000 পরিবার সিবিএস-এর হিট কমেডি সিরিজ "এভরিবডি লাভস রেমন্ড" এবং 8,302,000 পরিবার এনবিসি-তে হিট সিরিজ "ল অ্যান্ড অর্ডার"-এ টিউন ইন করেছে (সূত্র: নিলসেন মিডিয়া রিসার্চ)। একটি নির্দিষ্ট সপ্তাহে একটি পরিবারের টিভি "এভরিবডি লাভস রেমন্ড"-এর সাথে "আইন ও শৃঙ্খলা"-তে সুর করা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধানএকটি পরিবারের টিভি "এভরিবডি লাভস রেমন্ড" এর সাথে সুর করা হওয়ার সম্ভাবনা পি, এবং
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%।
পরিবারের টিভিটি আইন ও শৃঙ্খলার সাথে সুরক্ষিত হওয়ার সুযোগ পি, এবং
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%।
এই শতাংশকে রেটিং বলা হয়।

তাত্ত্বিক সম্ভাবনা

ধরুন আমরা একটি পরীক্ষা পরিচালনা করছি, যেমন একটি কয়েন বা ডার্ট নিক্ষেপ করা, একটি ডেক থেকে একটি কার্ড আঁকা বা একটি সমাবেশ লাইনে গুণমানের জন্য পণ্য পরীক্ষা করা। যেমন একটি পরীক্ষার প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফল বলা হয় এক্সোডাস . সম্ভাব্য সমস্ত ফলাফলের সেট বলা হয় ফলাফল স্থান . ঘটনা এটি ফলাফলের একটি সেট, অর্থাৎ ফলাফলের স্থানের একটি উপসেট।

উদাহরণ 4 ডার্ট নিক্ষেপ. ধরুন একটি ডার্ট নিক্ষেপের পরীক্ষায়, একটি ডার্ট একটি লক্ষ্যে আঘাত করে। নিম্নলিখিত প্রতিটি খুঁজুন:

খ) ফলাফল স্থান

সমাধান
ক) ফলাফলগুলি হল: কালোকে আঘাত করা (B), লালকে আঘাত করা (R) এবং সাদাকে আঘাত করা (B)।

খ) ফলাফলের স্থান হল (কালোকে আঘাত করা, লালকে আঘাত করা, সাদাকে আঘাত করা), যা সহজভাবে (H, K, B) হিসাবে লেখা যেতে পারে।

উদাহরণ 5 পাশা নিক্ষেপ. একটি ডাই হল একটি ঘনক্ষেত্র যার ছয়টি দিক রয়েছে, প্রতিটিতে একটি থেকে ছয়টি বিন্দু রয়েছে।


ধরুন আমরা একটি ডাই ছুঁড়ে দিচ্ছি। অনুসন্ধান
ক) ফলাফল
খ) ফলাফল স্থান

সমাধান
ক) ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5, 6।
খ) ফলাফল স্থান (1, 2, 3, 4, 5, 6)।

আমরা সম্ভাব্যতা নির্দেশ করি যে একটি ইভেন্ট ই P(E) হিসাবে ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, "মুদ্রা মাথার উপর অবতরণ করবে" H দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। তারপর P(H) সম্ভাবনার প্রতিনিধিত্ব করে যে মুদ্রাটি মাথায় অবতরণ করবে। যখন একটি পরীক্ষার সমস্ত ফলাফলের ঘটানোর একই সম্ভাবনা থাকে, তখন তাদের সমান সম্ভাবনা বলে বলা হয়। যে ইভেন্টগুলি সমানভাবে সম্ভব এবং নয় এমন ইভেন্টগুলির মধ্যে পার্থক্য দেখতে, নীচে দেখানো লক্ষ্যটি বিবেচনা করুন৷

লক্ষ্য A এর জন্য, কালো, লাল এবং সাদা আঘাতের ঘটনাগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য, যেহেতু কালো, লাল এবং সাদা সেক্টর একই। যাইহোক, লক্ষ্য B-এর জন্য, এই রংগুলির অঞ্চলগুলি একই নয়, অর্থাৎ, তাদের আঘাত করা সমানভাবে সম্ভাব্য নয়।

নীতি P (তাত্ত্বিক)

যদি একটি ঘটনা E n এর বাইরে m উপায়ে ঘটতে পারে S ফলাফল স্থান থেকে সমানভাবে সম্ভাব্য ফলাফল, তাহলে তাত্ত্বিক সম্ভাবনা ঘটনা, P(E) হল
P(E) = m/n.

উদাহরণ 6একটি 3 পেতে একটি ডাই রোল করার সম্ভাবনা কত?

সমাধানচালু ছক্কা 6টি সমান সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে এবং 3 নম্বরটি ফেলে দেওয়ার শুধুমাত্র একটি সম্ভাবনা রয়েছে৷ তারপর সম্ভাব্যতা P হবে P(3) = 1/6৷

উদাহরণ 7একটি ডাই উপর একটি জোড় সংখ্যা ঘূর্ণায়মান সম্ভাবনা কি?

সমাধানঘটনাটি একটি জোড় সংখ্যা নিক্ষেপ. এটি 3 উপায়ে ঘটতে পারে (যদি আপনি একটি 2, 4 বা 6 রোল করেন)। সমান সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা হল 6। তারপর সম্ভাব্যতা P(এমন) = 3/6, বা 1/2।

আমরা একটি স্ট্যান্ডার্ড 52 কার্ড ডেকের সাথে জড়িত বেশ কয়েকটি উদাহরণ ব্যবহার করব। এই ডেকটি নীচের চিত্রে দেখানো কার্ডগুলি নিয়ে গঠিত।

উদাহরণ 8কার্ডের একটি ভালভাবে এলোমেলো ডেক থেকে একটি টেক্কা আঁকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান 52টি ফলাফল রয়েছে (ডেকটিতে কার্ডের সংখ্যা), সেগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য (যদি ডেকটি ভালভাবে এলোমেলো করা হয়), এবং 4টি উপায়ে একটি টেক্কা আঁকানো হয়, তাই P নীতি অনুসারে, সম্ভাব্যতা
P(একটি টেক্কা আঁক) = 4/52, বা 1/13।

উদাহরণ 9ধরুন, আমরা না দেখে, একটি ব্যাগ থেকে 3টি লাল বল এবং 4টি সবুজ বল নিয়ে একটি বল বেছে নিই। একটি লাল বল বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধানযে কোনো বল আঁকার 7টি সমান সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে এবং যেহেতু একটি লাল বল আঁকার উপায় সংখ্যা 3, আমরা পাই
পি (লাল বল নির্বাচন) = 3/7।

নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি নীতি P থেকে ফলাফল।

সম্ভাবনার বৈশিষ্ট্য

ক) যদি ই ঘটনা ঘটতে না পারে, তাহলে P(E) = 0।
b) ঘটনা E ঘটতে নিশ্চিত হলে P(E) = 1।
গ) E ঘটবে এমন সম্ভাবনা হল 0 থেকে 1 পর্যন্ত একটি সংখ্যা: 0 ≤ P(E) ≤ 1।

উদাহরণ স্বরূপ, একটি কয়েন টসে, কয়েনটি তার প্রান্তে ল্যান্ড করার ঘটনাটির সম্ভাবনা শূন্য থাকে। একটি মুদ্রার মাথা বা পুচ্ছ হওয়ার সম্ভাবনা 1।

উদাহরণ 10ধরা যাক যে 2টি কার্ড একটি 52-কার্ডের ডেক থেকে আঁকা হয়েছে। তাদের উভয়েরই শিখর হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান 52টি কার্ডের একটি ভালভাবে এলোমেলো করা ডেক থেকে 2টি কার্ড আঁকার উপায়গুলির সংখ্যা n হল 52 C 2। যেহেতু 52টি কার্ডের মধ্যে 13টি কোদাল, তাই 2টি স্পেড আঁকার উপায় m হল 13 C 2। তারপর,
P(2 শিখর টানা) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17।

উদাহরণ 11ধরুন 6 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার একটি গ্রুপ থেকে 3 জনকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত করা হয়েছে। 1 জন পুরুষ এবং 2 জন মহিলা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান 10 জনের একটি গ্রুপ থেকে তিনজনকে বেছে নেওয়ার উপায়ের সংখ্যা হল 10 C 3। একজন পুরুষকে 6 C 1 উপায়ে এবং 2 জন মহিলাকে 4 C 2 উপায়ে বেছে নেওয়া যেতে পারে। গণনার মৌলিক নীতি অনুসারে, 1 জন পুরুষ এবং 2 জন মহিলা বেছে নেওয়ার উপায়ের সংখ্যা 6 সি 1। 4 গ 2। তারপরে, 1 জন পুরুষ এবং 2 জন মহিলা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে
P = 6 C 1। 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10।

উদাহরণ 12 পাশা নিক্ষেপ. দুটি পাশায় মোট 8টি ঘূর্ণায়মান হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধানপ্রতিটি পাশা 6 সম্ভাব্য ফলাফল আছে. ফলাফলগুলি দ্বিগুণ করা হয়, যার অর্থ 6.6 বা 36টি সম্ভাব্য উপায় রয়েছে যাতে দুটি ডাইসের সংখ্যাগুলি উপস্থিত হতে পারে। (কিউবগুলি আলাদা হলে ভাল, বলুন একটি লাল এবং অন্যটি নীল - এটি ফলাফলটি কল্পনা করতে সহায়তা করবে।)

8 পর্যন্ত যোগ করা সংখ্যার জোড়া নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে। 8 এর সমান একটি যোগফল পাওয়ার জন্য 5টি সম্ভাব্য উপায় রয়েছে, তাই সম্ভাব্যতা 5/36।

একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা পরিমাণগতভাবে একটি এলোমেলো পরীক্ষার সময় ঘটতে থাকা এই ঘটনার সম্ভাবনা (সম্ভাবনা) চিহ্নিত করে। এই বিভাগে, আমরা সমান সম্ভাব্য ঘটনাগুলির বিভিন্ন সংমিশ্রণ থেকে উদ্ভূত পরিস্থিতির তুলনামূলক বিশ্লেষণের জন্য সম্ভাব্যতা তত্ত্ব দ্বারা প্রদত্ত সম্ভাবনাগুলি অধ্যয়ন করতে শুরু করি।

আসুন কল্পনা করি যে আমরা স্থান থেকে একটি পরীক্ষা চালাচ্ছি nপ্রাথমিক ফলাফল যে সমানভাবে সম্ভাব্য. প্রাথমিক ফলাফল হয় বেমানানঘটনাগুলি (মনে রাখবেন যে বেমানান ঘটনাগুলি হল যেগুলি একই সময়ে ঘটতে পারে না), তাই তাদের প্রতিটির সম্ভাব্যতা 1/n। ধরা যাক আমরা ইভেন্ট A-তে আগ্রহী, যা তখনই ঘটে অনুকূলপ্রাথমিক ফলাফল, শেষের সংখ্যা মি(মি< n). Тогда, согласно শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা, এই ধরনের একটি ঘটনার সম্ভাবনা:

আর( ক)=m/n.

যে কোনো ইভেন্ট A এর জন্য নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে: 0 < P(A) <1.

উদাহরণ 1.লটারিতে 1000 টি টিকিট রয়েছে, যার মধ্যে 200 টি বিজয়ী রয়েছে। 1000টির মধ্যে একটি টিকিট এলোমেলোভাবে আঁকা হয়৷ এই টিকিটটি বিজয়ী হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:এই উদাহরণে 1000টি ভিন্ন ফলাফল রয়েছে (n=1000)। আমরা যে ইভেন্ট A এ আগ্রহী তাতে 200টি ফলাফল (m=200) অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এইভাবে,

উদাহরণ 2।একটি বাক্সে 200টি সাদা, 100টি লাল এবং 50টি সবুজ বল থাকে। একটি বল এলোমেলোভাবে আঁকা হয়। কেন পাওয়ার সম্ভাবনার সমানবল সাদা, লাল না সবুজ?

সমাধান:ঘটনাগুলো বিবেচনা করা যাক:

A = (তারা একটি সাদা বল বের করেছে),

B = (তারা একটি লাল বল বের করেছে),
সি = (তারা একটি সবুজ বল বের করেছে)।

N=350, তারপর

উদাহরণ 3.পাশা নিক্ষেপ করা হয়। নিম্নলিখিত ইভেন্টের সম্ভাবনা কি:

A = (6 পয়েন্ট সহ পাশে পড়ে গেছে),

B = (বিন্দুর সমান সংখ্যার দিকটি পড়ে গেছে),

C=(3 দ্বারা বিভাজ্য বিন্দুর সংখ্যার পাশে পড়ে)?

সমাধান: n = 6. ঘটনা A একটি ফলাফল দ্বারা অনুকূল হয়, ঘটনা B তিনটি ফলাফল দ্বারা, ঘটনা C দুটি ফলাফল দ্বারা। এইভাবে,

কখনও কখনও সমস্যায় প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা এত বেশি হয় যে সেগুলি সব লেখা সম্ভব হয় না। অতএব, সংমিশ্রণ থেকে সূত্র ব্যবহার করা হয় (§2 দেখুন)।

উদাহরণ 4.তিনটি 36 কার্ডের একটি ডেক থেকে আঁকা হয়। টানা কার্ডগুলির মধ্যে কোন দশ নেই এমন সম্ভাবনা কত?

সমাধান:এই উদাহরণে, প্রাথমিক ফলাফল হল তিনটি কার্ডের একটি এলোমেলো সেট। প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যা হল N=C 36 3; আমরা প্রাথমিক ফলাফলগুলিকে সমানভাবে সম্ভব বলে মনে করি। অনুকূল ফলাফল (একই ডেক থেকে তিনটি কার্ডের সম্ভাব্য সেটের সংখ্যা, কিন্তু দশ ছাড়া)
m=C 32 3। সুতরাং, ঘটনা A এর সম্ভাবনা (36টির মধ্যে 3টি কার্ড আঁকা হয়েছে এবং তাদের মধ্যে কোন দশ নেই):

স্ব-পরীক্ষামূলক কাজ

1. একই সময়ে দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। নিম্নলিখিত ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতা খুঁজুন: A- অঙ্কিত পয়েন্টের যোগফল হল 8; ঘূর্ণিত পয়েন্টের বি-পণ্য হল 8।

ফলাফলের মোট সংখ্যা: n=6x6=36, ঘটনা A ,, , , m=5, কাঙ্ক্ষিত সম্ভাব্যতা p=m/n=5/36 এর অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা। ইভেন্ট B এর জন্য, অনুকূল ফলাফল: , , i.e. m=2 এবং কাঙ্ক্ষিত সম্ভাব্যতা p=m/n=2/36=1/18।

2. খামে, 100টি ফটোগ্রাফের মধ্যে, একটি ওয়ান্টেড একটি রয়েছে৷ খাম থেকে 10টি কার্ড এলোমেলোভাবে আঁকা হয়। সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করুন যে তাদের মধ্যে কাঙ্ক্ষিত একজন থাকবে।

আসুন সমস্ত 100টি ফটোকে 10টি খামে সমানভাবে ভাগ করি। পছন্দসই ছবির সাথে একটি খাম নেওয়ার সম্ভাবনা হল p=1/10।

3. একটি ফোন নম্বর ডায়াল করার সময়, গ্রাহক শেষ তিনটি সংখ্যা ভুলে গিয়েছিলেন এবং শুধুমাত্র মনে রাখবেন যে এই সংখ্যাগুলি আলাদা ছিল, সেগুলি এলোমেলোভাবে ডায়াল করে৷ নম্বরটি সঠিকভাবে ডায়াল করার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

এই তিন অঙ্কের সংখ্যার প্রথম স্থানে 0 থেকে 9 পর্যন্ত 10টি সংখ্যার যেকোনো একটি থাকতে পারে, দ্বিতীয় স্থানে শুধুমাত্র 9, কারণ সংখ্যাগুলি তৃতীয় 8-এ পুনরাবৃত্তি হয় না, মোট n=10x9x8=720, এটি মোট ফলাফলের সংখ্যা, একটি অনুকূল ফলাফল m=1, তাই p=m/n=1/720।

ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি ঘটনার সম্ভাবনাসেই সমস্ত পর্যবেক্ষণের সংখ্যার অনুপাত যেখানে প্রশ্নযুক্ত ঘটনাটি পর্যবেক্ষণের মোট সংখ্যার সাথে ঘটেছে। পর্যাপ্ত সংখ্যক পর্যবেক্ষণ বা পরীক্ষার ক্ষেত্রে এই ব্যাখ্যাটি গ্রহণযোগ্য। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি রাস্তায় দেখা প্রায় অর্ধেক লোক মহিলা হন, তাহলে আপনি বলতে পারেন যে আপনি রাস্তায় দেখা ব্যক্তির সাথে একজন মহিলা হওয়ার সম্ভাবনা 1/2। অন্য কথায়, একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতার একটি অনুমান একটি এলোমেলো পরীক্ষার স্বাধীন পুনরাবৃত্তির একটি দীর্ঘ সিরিজে এটির সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি হতে পারে।

গণিতে সম্ভাবনা

আধুনিক গাণিতিক পদ্ধতিতে, ক্লাসিক্যাল (অর্থাৎ কোয়ান্টাম নয়) সম্ভাব্যতা কোলমোগোরভ অ্যাক্সিওম্যাটিক্স দ্বারা দেওয়া হয়। সম্ভাবনা একটি পরিমাপ পৃ, যা সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এক্স, সম্ভাব্য স্থান বলা হয়। এই পরিমাপের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে:

এই অবস্থা থেকে এটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ অনুসরণ করে পৃএছাড়াও সম্পত্তি আছে সংযোজন: যদি সেট করে ক 1 এবং ক 2 ছেদ করবেন না, তাহলে। প্রমাণ করার জন্য আপনাকে সবকিছু করতে হবে ক 3 , ক 4, ... খালি সেটের সমান এবং গণনাযোগ্য সংযোজন বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করুন।

সম্ভাব্যতা পরিমাপ সেটের সমস্ত উপসেটের জন্য সংজ্ঞায়িত নাও হতে পারে এক্স. সেটের কিছু উপসেট সমন্বিত সিগমা বীজগণিতে এটি সংজ্ঞায়িত করা যথেষ্ট এক্স. এই ক্ষেত্রে, এলোমেলো ঘটনাগুলিকে স্থানের পরিমাপযোগ্য উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এক্স, অর্থাৎ, সিগমা বীজগণিতের উপাদান হিসাবে।

সম্ভাবনা বোধ

যখন আমরা দেখি যে কিছু সম্ভাব্য ঘটনা ঘটার কারণগুলি আসলে বিপরীত কারণগুলির চেয়ে বেশি, আমরা সেই সত্যটিকে বিবেচনা করি সম্ভাব্য, অন্যথায় - অবিশ্বাস্য. নেতিবাচকগুলির উপর ইতিবাচক ভিত্তিগুলির এই প্রাধান্য, এবং তদ্বিপরীত, ডিগ্রীর একটি অনির্দিষ্ট সেট উপস্থাপন করতে পারে, যার ফলস্বরূপ সম্ভাবনা(এবং অসম্ভবতা) এটা ঘটে আরোবা কম .

জটিল স্বতন্ত্র তথ্যগুলি তাদের সম্ভাব্যতার ডিগ্রিগুলির সঠিক গণনার অনুমতি দেয় না, তবে এখানেও কিছু বড় উপবিভাগ স্থাপন করা গুরুত্বপূর্ণ। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, আইনী ক্ষেত্রে, যখন সাক্ষ্যের ভিত্তিতে বিচারের সাপেক্ষে একটি ব্যক্তিগত তথ্য প্রতিষ্ঠিত হয়, তখন এটি সর্বদাই থেকে যায়, কঠোরভাবে বলতে গেলে, শুধুমাত্র সম্ভাব্য, এবং এই সম্ভাব্যতা কতটা তাৎপর্যপূর্ণ তা জানা প্রয়োজন; রোমান আইনে, এখানে একটি চতুর্গুণ বিভাগ গৃহীত হয়েছিল: probatio plena(যেখানে সম্ভাব্যতা কার্যত পরিণত হয় নির্ভরযোগ্যতা), আরও - probatio বিয়োগ plena, তারপর - প্রোবেটিও সেমিপ্লেনা মেজরএবং পরিশেষে প্রোবেটিও সেমিপ্লেনা নাবালক .

মামলার সম্ভাব্যতার প্রশ্ন ছাড়াও, প্রশ্ন উঠতে পারে, আইনের ক্ষেত্রে এবং নৈতিক ক্ষেত্রে উভয় ক্ষেত্রেই (একটি নির্দিষ্ট নৈতিক দৃষ্টিকোণ সহ), এটি কতটা সম্ভব যে একটি প্রদত্ত নির্দিষ্ট ঘটনাটি গঠন করে। সাধারণ আইন লঙ্ঘন। এই প্রশ্নটি, যা তালমুডের ধর্মীয় আইনশাস্ত্রে প্রধান উদ্দেশ্য হিসাবে কাজ করে, এছাড়াও রোমান ক্যাথলিক নৈতিক ধর্মতত্ত্বে (বিশেষত 16 শতকের শেষ থেকে) খুব জটিল পদ্ধতিগত নির্মাণ এবং একটি বিশাল সাহিত্য, গোঁড়ামী এবং বিতর্কিত সাহিত্যের জন্ম দিয়েছে ( সম্ভাব্যতা দেখুন)।

সম্ভাব্যতার ধারণাটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক প্রকাশের অনুমতি দেয় যখন শুধুমাত্র এই ধরনের তথ্যের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যা নির্দিষ্ট সমজাতীয় সিরিজের অংশ। সুতরাং (সরলতম উদাহরণে), যখন কেউ একটি সারিতে একশ বার একটি মুদ্রা ছুড়ে দেয়, তখন আমরা এখানে একটি সাধারণ বা বড় সিরিজ (মুদ্রার সমস্ত পতনের যোগফল) খুঁজে পাই, যা সংখ্যাগতভাবে দুটি ব্যক্তিগত বা ছোট নিয়ে গঠিত। সমান, সিরিজ (পতন "মাথা" এবং "লেজ" পড়ে); সম্ভাব্যতা যে এবার মুদ্রাটি মাথার উপরে উঠবে, অর্থাৎ, সাধারণ সিরিজের এই নতুন সদস্যটি দুটি ছোট সিরিজের অন্তর্ভুক্ত হবে, এই ছোট সিরিজ এবং বৃহত্তর সিরিজের মধ্যে সংখ্যাগত সম্পর্ক প্রকাশকারী ভগ্নাংশের সমান, যথা 1/2, অর্থাৎ, একই সম্ভাবনা দুটি নির্দিষ্ট সিরিজের একটি বা অন্যটির জন্য। কম সাধারণ উদাহরণে, উপসংহারটি সরাসরি সমস্যার ডেটা থেকে বের করা যায় না, তবে পূর্বে অন্তর্ভুক্তি প্রয়োজন। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, প্রশ্ন হল: একটি প্রদত্ত নবজাতকের 80 বছর বয়সে বেঁচে থাকার সম্ভাবনা কী? এখানে অবশ্যই একটি সাধারণ, বা বড়, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক লোকের সিরিজ থাকতে হবে যা একই রকম পরিস্থিতিতে জন্মগ্রহণ করে এবং বিভিন্ন বয়সে মারা যায় (এই সংখ্যাটি অবশ্যই র্যান্ডম বিচ্যুতি দূর করার জন্য যথেষ্ট বড় এবং সিরিজের একতা বজায় রাখার জন্য যথেষ্ট ছোট হতে হবে। একজন ব্যক্তির জন্য, উদাহরণস্বরূপ, সেন্ট পিটার্সবার্গে একটি ধনী, সংস্কৃতিবান পরিবারে জন্মগ্রহণ করেন, শহরের সমগ্র মিলিয়ন-শক্তিশালী জনসংখ্যা, যার একটি উল্লেখযোগ্য অংশ বিভিন্ন গোষ্ঠীর লোকদের নিয়ে গঠিত যারা অকালে মারা যেতে পারে - সৈনিক, সাংবাদিক, বিপজ্জনক পেশায় কর্মীরা - সম্ভাব্যতার প্রকৃত সংকল্পের জন্য একটি গোষ্ঠীকে খুব ভিন্ন ভিন্ন প্রতিনিধিত্ব করে) ; এই সাধারণ সিরিজ দশ হাজার মানুষের জীবন গঠিত যাক; এটি একটি নির্দিষ্ট বয়সে বেঁচে থাকা মানুষের সংখ্যা প্রতিনিধিত্বকারী ছোট সিরিজ অন্তর্ভুক্ত করে; এই ছোট সিরিজগুলির মধ্যে একটি 80 বছর বয়সী লোকেদের সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। কিন্তু এই ছোট সিরিজের সংখ্যা নির্ধারণ করা অসম্ভব (অন্য সকলের মতো) অবরোহী; এটি পরিসংখ্যানের মাধ্যমে বিশুদ্ধভাবে প্রবর্তকভাবে করা হয়। ধরুন পরিসংখ্যানগত গবেষণায় প্রতিষ্ঠিত হয়েছে যে 10,000 মধ্যবিত্ত সেন্ট পিটার্সবার্গের বাসিন্দাদের মধ্যে, মাত্র 45 জন 80 বছর বেঁচে থাকে; সুতরাং, এই ছোট সিরিজটি বড়টির সাথে সম্পর্কিত কারণ 45 এর সাথে 10,000, এবং প্রদত্ত ব্যক্তির এই ছোট সিরিজের অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা, অর্থাৎ 80 বছর বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকার সম্ভাবনা 0.0045 এর ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। একটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সম্ভাব্যতার অধ্যয়ন একটি বিশেষ শৃঙ্খলা গঠন করে - সম্ভাব্যতা তত্ত্ব।

আরো দেখুন

মন্তব্য

সাহিত্য

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010।

সমার্থক শব্দ:

বিপরীতার্থক শব্দ:

অন্যান্য অভিধানে "সম্ভাব্যতা" কী তা দেখুন:

সাধারণ বৈজ্ঞানিক এবং দার্শনিক। তাদের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির স্থায়িত্বকে চিহ্নিত করে নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণের অবস্থার অধীনে ভর এলোমেলো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার পরিমাণগত মাত্রা নির্দেশ করে এমন একটি বিভাগ। যুক্তিবিদ্যায়, শব্দার্থগত ডিগ্রি... ... দার্শনিক বিশ্বকোষ

সম্ভাব্যতা, শূন্য থেকে এক সমেত পরিসরের একটি সংখ্যা, একটি প্রদত্ত ইভেন্ট ঘটার সম্ভাবনার প্রতিনিধিত্ব করে৷ একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতাকে সংজ্ঞায়িত করা হয় সম্ভাব্য মোট সংখ্যার সাথে একটি ঘটনা ঘটতে পারে এমন সম্ভাবনার সংখ্যার অনুপাত হিসাবে... ... বৈজ্ঞানিক এবং প্রযুক্তিগত বিশ্বকোষীয় অভিধান

সব সম্ভাবনায়.. রাশিয়ান প্রতিশব্দ এবং অনুরূপ অভিব্যক্তি অভিধান. অধীন এড এন. আব্রামোভা, এম.: রাশিয়ান অভিধান, 1999. সম্ভাব্যতা সম্ভাবনা, সম্ভাবনা, সুযোগ, উদ্দেশ্য সম্ভাবনা, মাজা, স্বীকার্যতা, ঝুঁকি। পিঁপড়া অসম্ভবতা...... সমার্থক অভিধান

সম্ভাবনা- একটি পরিমাপ যা একটি ঘটনা ঘটতে পারে। দ্রষ্টব্য সম্ভাব্যতার গাণিতিক সংজ্ঞা হল: "0 এবং 1 এর মধ্যে একটি বাস্তব সংখ্যা যা একটি এলোমেলো ঘটনার সাথে যুক্ত।" সংখ্যাটি পর্যবেক্ষণের একটি সিরিজে আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিফলিত করতে পারে... ... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড

সম্ভাবনা- "একটি গাণিতিক, নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে যে কোনও ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মাত্রার সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য যা সীমাহীন সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে।" এই ক্লাসিকের উপর ভিত্তি করে...... অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক অভিধান

- (সম্ভাব্যতা) একটি ঘটনা বা একটি নির্দিষ্ট ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা। এটি 0 থেকে 1 পর্যন্ত বিভাজন সহ একটি স্কেলের আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে। যদি একটি ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য হয়, তবে এটির উপস্থিতি অসম্ভব। 1 এর সমান সম্ভাবনা সহ, এর সূচনা... ব্যবসায়িক পদের অভিধান