Решаване на неравенства онлайн
Преди да решите неравенства, е необходимо да разберете добре как се решават уравненията.
Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).
Обяснете какво означава да се реши неравенство?
След като изучава уравненията, ученикът има следната картина в главата си: трябва да намерите такива стойности на променливата, за които и двете части на уравнението приемат еднакви стойности. С други думи, намерете всички точки, в които е валидно равенството. Всичко е точно!
Когато се говори за неравенства, те имат предвид намирането на интервалите (отсечките), на които е валидно неравенството. Ако има две променливи в неравенството, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области на равнината. Познайте какво ще бъде решението на неравенството с три променливи?
Как се решават неравенства?
Методът на интервалите (известен още като метод на интервалите) се счита за универсален начин за решаване на неравенства, който се състои в определяне на всички интервали, в рамките на които даденото неравенство ще бъде изпълнено.
Без да навлизаме в вида на неравенството, в този случай не е същността, необходимо е да се реши съответното уравнение и да се определят корените му, последвано от обозначаване на тези решения на цифровата ос.
Какъв е правилният начин за записване на решението на неравенство?
Когато сте определили интервалите за решаване на неравенството, трябва да напишете правилно самото решение. Има важен нюанс - включени ли са границите на интервалите в решението?
Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. В противен случай не.
Разглеждайки всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от неговите граници удовлетворява неравенството), или сегмент - интервал заедно с неговите граници.
Важен момент
Не си мислете, че само интервали, полуинтервали и отсечки могат да бъдат решение на неравенство. Не, отделни точки също могат да бъдат включени в решението.
Например неравенството |x|≤0 има само едно решение - точка 0.
И неравенството |x|
За какво е калкулаторът на неравенството?
Калкулаторът за неравенства дава правилния краен отговор. В този случай в повечето случаи се дава илюстрация на цифрова ос или равнина. Можете да видите дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват запълнени или пробити.
Благодарение на онлайн калкулатора за неравенство можете да проверите дали сте намерили правилно корените на уравнението, маркирали сте ги на числовата ос и сте проверили условията за неравенство на интервалите (и границите)?
Ако вашият отговор се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите повторно решението си и да идентифицирате допуснатата грешка.
Неравенството е числено съотношение, което илюстрира големината на числата едно спрямо друго. Неравенствата се използват широко при търсене на количества в приложните науки. Нашият калкулатор ще ви помогне да се справите с такава трудна тема като решаването на линейни неравенства.
Какво е неравенство
Неравностойните съотношения в реалния живот съответстват на постоянното сравнение на различни обекти: по-високи или по-ниски, по-далечни или по-близки, по-тежки или по-леки. Интуитивно или визуално можем да разберем, че един обект е по-голям, по-висок или по-тежък от друг, но всъщност винаги става въпрос за сравняване на числа, които характеризират съответните количества. Можете да сравнявате обекти на всякаква основа и във всеки случай можем да направим числено неравенство.
Ако неизвестните величини при конкретни условия са равни, то за численото им определяне съставяме уравнение. Ако не, тогава вместо знака "равно" можем да посочим всяко друго съотношение между тези количества. Две числа или математически обекти могат да бъдат по-големи от ">", по-малки от "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.
Знаците за неравенство в съвременната им форма са изобретени от британския математик Томас Хариот, който през 1631 г. публикува книга за неравните съотношения. По-голямо от ">" и по-малко от "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.
Решаване на неравенства
Неравенствата, подобно на уравненията, се предлагат в различни видове. Линейни, квадратни, логаритмични или експоненциални неравни съотношения се отприщват чрез различни методи. Въпреки това, независимо от метода, всяко неравенство трябва първо да бъде приведено до стандартна форма. За това се използват идентични трансформации, които са идентични с модификациите на равенствата.
Тъждествени трансформации на неравенства
Такива трансформации на изрази са много подобни на призрака на уравненията, но имат нюанси, които е важно да се вземат предвид при развързването на неравенства.
Първата идентична трансформация е идентична с аналогичната операция с равенства. Към двете страни на неравното съотношение можете да добавяте или изваждате едно и също число или израз с неизвестно x, докато знакът за неравенство остава същият. Най-често този метод се използва в опростена форма като прехвърляне на условията на израза чрез знака за неравенство с промяната на знака на числото към противоположния. Това се отнася до промяната на знака на самия термин, тоест + R, когато се прехвърли през всеки знак за неравенство, ще се промени на - R и обратно.
Втората трансформация има две точки:
- И двете страни на неравно съотношение могат да бъдат умножени или разделени на едно и също положително число. Самият знак на неравенството няма да се промени.
- И двете страни на неравенството могат да бъдат разделени или умножени по едно и също отрицателно число. Знакът на самото неравенство ще се промени на противоположния.
Второто идентично преобразуване на неравенствата има сериозни разлики с модификацията на уравненията. Първо, когато се умножава/дели с отрицателно число, знакът на неравен израз винаги се обръща. Второ, разделянето или умножаването на части от релация е разрешено само с число, а не с израз, съдържащ неизвестно. Факт е, че не можем да знаем със сигурност дали число, по-голямо или по-малко от нула, е скрито зад неизвестното, така че втората идентична трансформация се прилага към неравенства изключително с числа. Нека разгледаме тези правила с примери.
Примери за развързване на неравенства
В задачите по алгебра има най-различни задачи на тема неравенства. Нека ни дадем израз:
6x − 3(4x + 1) > 6.
Първо отворете скобите и преместете всички неизвестни наляво и всички числа надясно.
6x − 12x > 6 + 3
Трябва да разделим двете части на израза на −6, така че когато намираме неизвестно x, знакът за неравенство ще се промени на противоположния.
При решаването на това неравенство използвахме и двете еднакви трансформации: преместихме всички числа вдясно от знака и разделихме двете страни на отношението на отрицателно число.
Нашата програма е калкулатор за решаване на числени неравенства, които не съдържат неизвестни. Програмата съдържа следните теореми за отношенията на три числа:
- ако< B то A–C< B–C;
- ако A > B, тогава A–C > B–C.
Вместо да изваждате членове A-C, можете да зададете всяка аритметична операция: събиране, умножение или деление. Така калкулаторът автоматично ще представи неравенствата на суми, разлики, произведения или дроби.
Заключение
В реалния живот неравенствата са толкова често срещани, колкото и уравненията. Естествено, в ежедневието знанията за разрешаването на неравенствата може да не са необходими. В приложните науки обаче неравенствата и техните системи се използват широко. Например, различни изследвания на проблемите на глобалната икономика се свеждат до компилирането и отприщването на системи от линейни или квадратни неравенства, а някои неравенства служат като недвусмислен начин за доказване на съществуването на определени обекти. Използвайте нашите програми за решаване на линейни неравенства или проверете собствените си изчисления.
Формата ax 2 + bx + 0 0, където (вместо знака > може, разбира се, да има всеки друг знак за неравенство). Имаме всички факти от теорията, необходими за решаването на такива неравенства, които сега ще проверим.
Пример 1. Решете неравенството:
а) x 2 - 2x - 3 > 0; б) x 2 - 2x - 3< 0;
в) х 2 - 2х - 3 > 0; г) x 2 - 2x - 3< 0.
Решение,
а) Помислете за параболата y \u003d x 2 - 2x - 3, показана на фиг. 117.
За да решите неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 - това означава да отговорите на въпроса, за кои стойности на x ординатите на точките на параболата са положителни.
Забелязваме, че y > 0, т.е. графиката на функцията е разположена над оста x, при x< -1 или при х > 3.
Следователно решенията на неравенството са всички точки на отвореното пространство лъч(- 00 , - 1), както и всички точки на отворения лъч (3, +00).
Използвайки знака U (знакът на обединението на множествата), отговорът може да се запише по следния начин: (-00 , - 1) U (3, +00). Отговорът обаче може да се напише и така:< - 1; х > 3.
б) Неравенство x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: графикразположен под оста x, ако -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).
в) Неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 се различава от неравенството x 2 - 2x - 3 > 0 по това, че отговорът трябва да включва и корените на уравнението x 2 - 2x - 3 = 0, т.е. точките x = - 1
и x \u003d 3. По този начин решенията на това нестрого неравенство са всички точки на лъча (-00, - 1], както и всички точки на лъча.
Практичните математици обикновено казват това: защо ние, решавайки неравенството ax 2 + bx + c > 0, внимателно изграждаме графика на парабола на квадратична функция
y \u003d ax 2 + bx + c (както беше направено в пример 1)? Достатъчно е да направите схематична скица на графиката, за която трябва само да намерите корениквадратен трином (точката на пресичане на параболата с оста х) и определя накъде са насочени клоновете на параболата - нагоре или надолу. Тази схематична скица ще даде визуална интерпретация на решението на неравенството.
Пример 2Решете неравенството - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Решение.
1) Намерете корените на квадратния трином - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; х 2 \u003d - 1,5.
2) Параболата, която служи като графика на функцията y \u003d -2x 2 + Zx + 9, пресича оста x в точки 3 и - 1,5, а клоновете на параболата са насочени надолу, тъй като по-старите коефициент- отрицателно число - 2. На фиг. 118 е скица на графика.
3) С помощта на фиг. 118, заключаваме:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Отговор: x< -1,5; х > 3.
Пример 3Решете неравенството 4x 2 - 4x + 1< 0.
Решение.
1) От уравнението 4x 2 - 4x + 1 = 0 намираме.
2) Квадратният тричлен има един корен; това означава, че параболата, служеща като графика на квадратен трином, не пресича оста x, а я докосва в точката. Клоните на параболата са насочени нагоре (фиг. 119.)
3) С помощта на геометричния модел, показан на фиг. 119 установяваме, че посоченото неравенство е изпълнено само в точката, тъй като за всички останали стойности на x ординатите на графиката са положителни.
Отговор: .
Вероятно сте забелязали, че всъщност в примери 1, 2, 3, добре дефиниран алгоритъмрешаване на квадратни неравенства, ще го формализираме.
Алгоритъмът за решаване на квадратното неравенство ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)
Първата стъпка на този алгоритъм е да се намерят корените на квадратен тричлен. Но корените може да не съществуват, така че какво да правя? Тогава алгоритъмът е неприложим, което означава, че трябва да се разсъждава по друг начин. Ключът към тези аргументи е даден от следните теореми.
С други думи, ако Д< 0, а >0, тогава неравенството ax 2 + bx + c > 0 е изпълнено за всички x; напротив, неравенството ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Доказателство.
график функции y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, чиито клони са насочени нагоре (тъй като a > 0) и която не пресича оста x, тъй като квадратният трином няма корени по условие. Графиката е показана на фиг. 120. Виждаме, че за всички x графиката е разположена над оста x, което означава, че за всички x е изпълнено неравенството ax 2 + bx + c > 0, което трябваше да се докаже.
С други думи, ако Д< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 няма решения.
Доказателство. Графиката на функцията y \u003d ax 2 + bx + c е парабола, чиито клонове са насочени надолу (тъй като a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
Пример 4. Решете неравенството:
а) 2x 2 - x + 4 > 0; б) -x 2 + Zx - 8 > 0.
а) Намерете дискриминанта на квадратния трином 2x 2 - x + 4. Имаме D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Старшият коефициент на тричлена (число 2) е положителен.
Следователно, съгласно теорема 1, за всички x неравенството 2x 2 - x + 4 > 0 е изпълнено, т.е. решението на даденото неравенство е цялото (-00, + 00).
б) Намерете дискриминанта на квадратния трином - x 2 + Zx - 8. Имаме D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Отговор: а) (-00, + 00); б) няма решения.
В следващия пример ще се запознаем с друг начин на разсъждение, който се използва при решаване на квадратни неравенства.
Пример 5Решете неравенството 3x 2 - 10x + 3< 0.
Решение. Нека разложим на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3. Корените на тринома са числата 3 и следователно, използвайки ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), получаваме Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Отбелязваме на числовата ос корените на тричлена: 3 и (фиг. 122).
Нека x > 3; тогава x-3>0 и x->0, и следователно произведението 3(x - 3)(x - ) е положително. Следваща, нека< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следователно произведението 3(x-3)(x-) е отрицателно. Накрая нека x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) е положително.
Обобщавайки разсъжденията, стигаме до заключението: знаците на квадратния трином Zx 2 - 10x + 3 се променят, както е показано на фиг. 122. Интересуваме се от това, при колко x квадратният тричлен приема отрицателни стойности. От фиг. 122 заключаваме: квадратният трином 3x 2 - 10x + 3 приема отрицателни стойности за всяка стойност на x от интервала (, 3)
Отговор (, 3), или< х < 3.
Коментирайте. Методът на разсъждение, който приложихме в пример 5, обикновено се нарича метод на интервалите (или метод на интервалите). Използва се активно в математиката за решаване рационаленнеравенства. В 9. клас ще изучаваме по-подробно интервалния метод.
Пример 6. При какви стойности на параметъра p е квадратното уравнение x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
а) има два различни корена;
б) има един корен;
в) няма -корени?
Решение. Броят на корените на квадратното уравнение зависи от знака на неговия дискриминант D. В този случай намираме D \u003d 25 - 4p 2.
а) Квадратно уравнение има два различни корена, ако D> 0, тогава проблемът се свежда до решаване на неравенството 25 - 4p 2 > 0. Умножаваме двете части на това неравенство по -1 (като не забравяме да променим знака на неравенството). Получаваме еквивалентно неравенство 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Знаците на израза 4(p - 2.5) (p + 2.5) са показани на фиг. 123.
Заключаваме, че неравенството 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
б) квадратно уравнениеима един корен, ако D е 0.
Както казахме по-горе, D = 0 при p = 2,5 или p = -2,5.
Именно за тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение има само един корен.
в) Квадратно уравнение няма корени, ако D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.
Получаваме 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, откъдето (виж Фиг. 123) p< -2,5; р >2.5. За тези стойности на параметъра p това квадратно уравнение няма корени.
Отговор: а) при p (-2,5, 2,5);
б) при р = 2,5 или р = -2,5;
в) при r< - 2,5 или р > 2,5.
Мордкович А. Г., Алгебра. 8 клас: учеб. за общо образование институции.- 3-то изд., финал. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.
Помогни на ученик онлайн, Математика за 8 клас изтегляне, календарно-тематично планиране
Линейните неравенства се наричатлявата и дясната част на които са линейни функции спрямо неизвестната стойност. Те включват например неравенствата:
2x-1-x+3; 7x0;
5 >4 - 6 пъти 9- х< x + 5 .
1) Строги неравенства: ax+b>0или брадва+б<0
2) Нестроги неравенства: ax+b≤0или брадва+б≫ 0
Да вземем тази задача. Едната страна на успоредник е 7 cm. Каква трябва да бъде дължината на другата страна, така че периметърът на успоредника да е по-голям от 44 cm?
Нека бъде желаната страна хвижте В този случай периметърът на успоредника ще бъде представен с (14 + 2x) вижте Неравенството 14 + 2x > 44 е математически модел на проблема за периметъра на успоредник. Ако в това неравенство заместим променливата хна, например, числото 16, тогава получаваме правилното числово неравенство 14 + 32\u003e 44. В този случай казваме, че числото 16 е решението на неравенството 14 + 2x\u003e 44.
Решение на неравенствотоназовете стойността на променливата, която я превръща в истинско числово неравенство.
Следователно всяко от числата 15.1; 20;73 действат като решение на неравенството 14 + 2x > 44, а числото 10 например не е негово решение.
Решете неравенствотоозначава да се установят всички негови решения или да се докаже, че решения не съществуват.
Формулировката на решението на неравенството е подобна на формулировката на корена на уравнението. И все пак не е обичайно да се обозначава „коренът на неравенството“.
Свойствата на числовите равенства ни помогнаха да решим уравнения. По подобен начин свойствата на числените неравенства ще помогнат за решаването на неравенства.
Решавайки уравнението, ние го променяме с друго, по-просто уравнение, но еквивалентно на даденото. По подобен начин се намира отговорът за неравенствата. Когато променят уравнението в еквивалентно на него уравнение, те използват теоремата за прехвърляне на членове от една част на уравнението към противоположната и за умножаването на двете части на уравнението с едно и също ненулево число. При решаването на неравенство има съществена разлика между него и уравнението, която се състои във факта, че всяко решение на уравнение може да бъде проверено просто чрез заместването му в оригиналното уравнение. При неравенствата няма такъв метод, тъй като не е възможно да се заменят безкраен брой решения в първоначалното неравенство. Следователно, има важна концепция, тези стрели<=>е знакът за еквивалентни или еквивалентни трансформации. Трансформацията се нарича еквивалентенили еквивалентенако не променят набора от решения.
Подобни правила за решаване на неравенства.
Ако някой член се премести от една част на неравенството в друга, като се замени знакът му с противоположния, тогава се получава неравенство, еквивалентно на даденото.
Ако и двете части на неравенството се умножат (разделят) с едно и също положително число, то се получава неравенство, еквивалентно на даденото.
Ако и двете части на неравенството се умножат (разделят) на едно и също отрицателно число, като се замени знакът на неравенството с противоположния, тогава се получава неравенство, еквивалентно на даденото.
Използвайки тези регламентиизчисляваме следните неравенства.
1) Нека анализираме неравенството 2x - 5 > 9.
то линейно неравенство, намерете неговото решение и обсъдете основните понятия.
2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 беше преместено вляво с противоположния знак), след това разделихме всичко на 2 и имаме х > 7. Прилагаме набор от решения към оста х
Получихме положително насочен лъч. Отбелязваме множеството решения или под формата на неравенството х > 7, или като интервал x(7; ∞). И какво е конкретното решение на това неравенство? Например, х=10е конкретно решение на това неравенство, х=12също е частно решение на това неравенство.
Има много конкретни решения, но нашата задача е да намерим всички решения. А решенията обикновено са безкрайни.
Да анализираме пример 2:
2) Решете неравенството 4а - 11 > а + 13.
Нека го решим: апреместете на една страна 11 преместете от другата страна, получаваме 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 неравенството има формата а<8 .
4а - 11 > а + 13<=>3а< 24 <=>а< 8 .
Ще покажем и комплекта а< 8 , но вече на оста а.
Отговорът е или записан като неравенство a< 8, либо а(-∞;8), 8 не се включва.
решение на неравенствотов режим онлайн решениепочти всяко дадено неравенство онлайн. Математически неравенства онлайнза решаване на математика. Намерете бързо решение на неравенствотов режим онлайн. Сайтът www.site ви позволява да намерите решениепочти всяко дадено алгебричен, тригонометриченили трансцендентно неравенство онлайн. Когато изучавате почти всеки раздел от математиката на различни етапи, човек трябва да реши неравенства онлайн. За да получите незабавен отговор и най-важното точен отговор, имате нужда от ресурс, който ви позволява да направите това. Благодарение на www.site решаване на неравенство онлайнще отнеме няколко минути. Основното предимство на www.site при решаване на математически неравенства онлайн- е бързината и точността на издадения отговор. Сайтът е в състояние да реши всеки алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенства онлайн, трансцендентални неравенства онлайн, както и неравенствас неизвестни параметри в режима онлайн. неравенстваслужат като мощен математически апарат решенияпрактически задачи. С помощ математически неравенствавъзможно е да се изразят факти и отношения, които на пръв поглед изглеждат объркващи и сложни. неизвестни количества неравенстваможе да се намери чрез формулиране на проблема в математическиезик във формата неравенстваи решиполучената задача в режим онлайнна уебсайта www.site. Всякакви алгебрично неравенство, тригонометрично неравенствоили неравенствасъдържащи трансценденталенви представя лесно решионлайн и получете правилния отговор. Изучавайки естествените науки, човек неизбежно се сблъсква с необходимостта решение на неравенства. В този случай отговорът трябва да е точен и да бъде получен веднага в режим онлайн. Следователно, за решаване на математически неравенства онлайнпрепоръчваме сайта www.site, който ще стане вашият незаменим калкулатор за решаване на алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенства онлайн, както и трансцендентални неравенства онлайнили неравенствас неизвестни параметри. За практически проблеми за намиране на intravol решения на различни математически неравенстваресурс www.. Решаване неравенства онлайнсами, е полезно да проверите получения отговор с помощта на онлайн решение на неравенствана уебсайта www.site. Необходимо е да запишете неравенството правилно и незабавно да получите онлайн решение, след което остава само да сравните отговора с вашето решение на неравенството. Проверката на отговора ще отнеме не повече от минута, достатъчно решаване на неравенство онлайни сравнете отговорите. Това ще ви помогне да избегнете грешки в решениеи коригирайте отговора навреме решаване на неравенства онлайндали алгебричен, тригонометричен, трансцендентенили неравенствос неизвестни параметри.
