একক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। ডামি জন্য ভেক্টর. ভেক্টরের সাথে ক্রিয়াকলাপ। ভেক্টর স্থানাঙ্ক। ভেক্টরের সাথে সবচেয়ে সহজ সমস্যা। ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ

অবশেষে, আমি এই বিশাল এবং দীর্ঘ প্রতীক্ষিত বিষয়ে আমার হাত পেয়েছি। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি. প্রথমত, উচ্চতর গণিতের এই বিভাগ সম্পর্কে একটু... নিশ্চয়ই আপনি এখন অনেক উপপাদ্য, তাদের প্রমাণ, অঙ্কন ইত্যাদি সহ একটি স্কুল জ্যামিতি কোর্স মনে রেখেছেন। কি লুকাতে হবে, ছাত্রদের একটি উল্লেখযোগ্য অনুপাতের জন্য একটি অপ্রিয় এবং প্রায়ই অস্পষ্ট বিষয়। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি, অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, আরও আকর্ষণীয় এবং অ্যাক্সেসযোগ্য বলে মনে হতে পারে। বিশেষণ "বিশ্লেষণমূলক" মানে কি? দুটি ক্লিচ করা গাণিতিক বাক্যাংশ অবিলম্বে মনে আসে: "গ্রাফিক্যাল সমাধান পদ্ধতি" এবং "বিশ্লেষণমূলক সমাধান পদ্ধতি।" গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি, অবশ্যই, গ্রাফ এবং অঙ্কন নির্মাণ সঙ্গে যুক্ত করা হয়. বিশ্লেষণাত্মকএকই পদ্ধতিসমস্যা সমাধানের সাথে জড়িত প্রধানতবীজগণিত অপারেশনের মাধ্যমে। এই বিষয়ে, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির প্রায় সমস্ত সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম সহজ এবং স্বচ্ছ; প্রায়শই প্রয়োজনীয় সূত্রগুলি যত্ন সহকারে প্রয়োগ করা যথেষ্ট - এবং উত্তর প্রস্তুত! না, অবশ্যই, আমরা মোটেও অঙ্কন ছাড়া এটি করতে সক্ষম হব না, এবং পাশাপাশি, উপাদানটির আরও ভাল বোঝার জন্য, আমি প্রয়োজনের বাইরে সেগুলি উদ্ধৃত করার চেষ্টা করব।

জ্যামিতির উপর পাঠের নতুন খোলা কোর্সটি তাত্ত্বিকভাবে সম্পূর্ণ হওয়ার ভান করে না; এটি ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। আমি আমার বক্তৃতাগুলিতে কেবল তা অন্তর্ভুক্ত করব যা আমার দৃষ্টিকোণ থেকে ব্যবহারিক দিক থেকে গুরুত্বপূর্ণ। আপনার যদি কোন উপধারায় আরও সম্পূর্ণ সাহায্যের প্রয়োজন হয়, আমি নিম্নলিখিত বেশ অ্যাক্সেসযোগ্য সাহিত্যের সুপারিশ করছি:

1) একটি জিনিস যা, কোন রসিকতা নয়, বেশ কয়েকটি প্রজন্ম পরিচিত: জ্যামিতির উপর স্কুলের পাঠ্যপুস্তক, লেখক - এল.এস. আটানস্যান অ্যান্ড কোম্পানি. এই স্কুল লকার রুম হ্যাঙ্গার ইতিমধ্যে 20 (!) পুনর্মুদ্রণের মধ্য দিয়ে গেছে, যা অবশ্যই, সীমা নয়।

2) 2 খণ্ডে জ্যামিতি. লেখক এল.এস. Atanasyan, Bazylev V.T.. এটি উচ্চ বিদ্যালয়ের জন্য সাহিত্য, আপনার প্রয়োজন হবে প্রথম ভলিউম. খুব কমই সম্মুখীন হওয়া কাজগুলি আমার দৃষ্টির বাইরে যেতে পারে এবং টিউটোরিয়ালটি অমূল্য সাহায্য করবে।

বই দুটি বিনামূল্যে অনলাইনে ডাউনলোড করা যাবে। উপরন্তু, আপনি রেডিমেড সমাধান সহ আমার সংরক্ষণাগার ব্যবহার করতে পারেন, যা পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে উচ্চতর গণিতে উদাহরণ ডাউনলোড করুন.

সরঞ্জামগুলির মধ্যে, আমি আবার আমার নিজের বিকাশের প্রস্তাব দিই - সফ্টওয়্যার প্যাকেজবিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, যা জীবনকে ব্যাপকভাবে সহজ করবে এবং অনেক সময় বাঁচাবে।

এটা ধরে নেওয়া হয় যে পাঠক মৌলিক জ্যামিতিক ধারণা এবং পরিসংখ্যানগুলির সাথে পরিচিত: বিন্দু, রেখা, সমতল, ত্রিভুজ, সমান্তরালগ্রাম, সমান্তরালপিপড, ঘনক্ষেত্র ইত্যাদি। কিছু উপপাদ্য মনে রাখা বাঞ্ছনীয়, অন্তত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, পুনরাবৃত্তিকারীদের হ্যালো)

এবং এখন আমরা ক্রমানুসারে বিবেচনা করব: একটি ভেক্টরের ধারণা, ভেক্টর সহ ক্রিয়া, ভেক্টর স্থানাঙ্ক। আমি আরও পড়ার পরামর্শ দিই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিবন্ধ ভেক্টরের ডট পণ্য, এবং আরো ভেক্টর এবং ভেক্টরের মিশ্র পণ্য. একটি স্থানীয় কাজ - এই ক্ষেত্রে একটি বিভাগের বিভাগ - এছাড়াও অতিরিক্ত হবে না। উপরের তথ্যের উপর ভিত্তি করে, আপনি মাস্টার করতে পারেন একটি সমতলে একটি লাইনের সমীকরণসঙ্গে সমাধানের সহজ উদাহরণ, যা অনুমতি দেবে জ্যামিতি সমস্যা সমাধান করতে শিখুন. নিম্নলিখিত নিবন্ধগুলিও দরকারী: মহাকাশে একটি সমতলের সমীকরণ, স্থানের একটি রেখার সমীকরণ, একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলে মৌলিক সমস্যা, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির অন্যান্য বিভাগ। স্বাভাবিকভাবেই, আদর্শ কাজগুলি পথ ধরে বিবেচনা করা হবে।

ভেক্টর ধারণা। বিনামূল্যে ভেক্টর

প্রথমে, আসুন একটি ভেক্টরের স্কুল সংজ্ঞা পুনরাবৃত্তি করি। ভেক্টরডাকা নির্দেশিতএকটি সেগমেন্ট যার জন্য এর শুরু এবং শেষ নির্দেশিত হয়:

এই ক্ষেত্রে, সেগমেন্টের শুরুটি বিন্দু, সেগমেন্টের শেষটি বিন্দু। ভেক্টর নিজেই দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। অভিমুখঅপরিহার্য, যদি আপনি তীরটিকে সেগমেন্টের অন্য প্রান্তে নিয়ে যান, আপনি একটি ভেক্টর পাবেন এবং এটি ইতিমধ্যেই সম্পূর্ণ ভিন্ন ভেক্টর. ভেক্টরের ধারণাটি একটি ভৌতিক দেহের গতিবিধির সাথে সনাক্ত করা সুবিধাজনক: আপনাকে অবশ্যই একমত হতে হবে, একটি ইনস্টিটিউটের দরজায় প্রবেশ করা বা একটি ইনস্টিটিউটের দরজা ছেড়ে দেওয়া সম্পূর্ণ ভিন্ন জিনিস।

তথাকথিত হিসাবে একটি সমতল বা স্থানের পৃথক পয়েন্ট বিবেচনা করা সুবিধাজনক শূন্য ভেক্টর. এই ধরনের ভেক্টরের জন্য, শেষ এবং শুরু মিলে যায়।

!!! বিঃদ্রঃ: এখানে এবং আরও, আপনি অনুমান করতে পারেন যে ভেক্টরগুলি একই সমতলে রয়েছে বা আপনি ধরে নিতে পারেন যে তারা মহাকাশে অবস্থিত - উপস্থাপিত উপাদানটির সারাংশ সমতল এবং স্থান উভয়ের জন্যই বৈধ।

পদবি:অনেকে তৎক্ষণাৎ উপাধিতে তীরবিহীন লাঠিটি লক্ষ্য করে বললেন, উপরে একটি তীরও আছে! সত্য, আপনি এটি একটি তীর দিয়ে লিখতে পারেন: , তবে এটিও সম্ভব এন্ট্রি যা আমি ভবিষ্যতে ব্যবহার করব. কেন? স্পষ্টতই, এই অভ্যাসটি ব্যবহারিক কারণে তৈরি হয়েছিল; স্কুল এবং বিশ্ববিদ্যালয়ে আমার শ্যুটাররা খুব ভিন্ন আকারের এবং এলোমেলো হয়ে উঠেছে। শিক্ষামূলক সাহিত্যে, কখনও কখনও তারা কিউনিফর্ম লেখা নিয়ে মোটেও বিরক্ত হয় না, তবে অক্ষরগুলিকে বোল্ড করে হাইলাইট করে: , এর ফলে বোঝায় যে এটি একটি ভেক্টর।

এটি স্টাইলিস্টিক ছিল, এবং এখন ভেক্টর লেখার উপায় সম্পর্কে:

1) ভেক্টর দুটি বড় ল্যাটিন অক্ষরে লেখা যেতে পারে:
এবং তাই এই ক্ষেত্রে, প্রথম চিঠি অগত্যাভেক্টরের শুরুর বিন্দুকে বোঝায় এবং দ্বিতীয় অক্ষরটি ভেক্টরের শেষ বিন্দুকে নির্দেশ করে।

2) ভেক্টরগুলি ছোট ল্যাটিন অক্ষরেও লেখা হয়:
বিশেষ করে, আমাদের ভেক্টরকে একটি ছোট ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা সংক্ষিপ্ততার জন্য পুনরায় ডিজাইন করা যেতে পারে।

দৈর্ঘ্যবা মডিউলএকটি নন-জিরো ভেক্টরকে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য বলা হয়। শূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য শূন্য। যৌক্তিক।

ভেক্টরের দৈর্ঘ্য মডুলাস চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয়: ,

আমরা একটু পরে শিখব কিভাবে একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হয় (অথবা আমরা এটি পুনরাবৃত্তি করব, কার উপর নির্ভর করে)।

এটি ছিল ভেক্টর সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য, যা সমস্ত স্কুলছাত্রীদের কাছে পরিচিত। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, তথাকথিত বিনামূল্যে ভেক্টর.

সহজভাবে বলতে গেলে- ভেক্টর যে কোন বিন্দু থেকে প্লট করা যেতে পারে:

আমরা এই ধরনের ভেক্টরকে সমান বলতে অভ্যস্ত (সমান ভেক্টরের সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হবে), কিন্তু সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, তারা একই ভেক্টর বা বিনামূল্যে ভেক্টর. বিনামূল্যে কেন? কারণ সমস্যা সমাধানের সময়, আপনি এই বা সেই "স্কুল" ভেক্টরটিকে আপনার প্রয়োজনীয় প্লেন বা স্থানের যেকোনো পয়েন্টে "সংযুক্ত" করতে পারেন। এটি একটি খুব শান্ত বৈশিষ্ট্য! নির্বিচারে দৈর্ঘ্য এবং দিকনির্দেশের একটি নির্দেশিত অংশ কল্পনা করুন - এটি অসীম সংখ্যক বার "ক্লোন" করা যেতে পারে এবং মহাকাশের যে কোনও বিন্দুতে, আসলে, এটি সর্বত্র বিদ্যমান। এইরকম একজন ছাত্র বলেছেন: প্রত্যেক লেকচারার ভেক্টর সম্পর্কে অভিশাপ দেয়। সর্বোপরি, এটি কেবল একটি মজার ছড়া নয়, সবকিছুই প্রায় সঠিক - সেখানে একটি নির্দেশিত অংশও যোগ করা যেতে পারে। তবে আনন্দ করার জন্য তাড়াহুড়ো করবেন না, শিক্ষার্থীরাই প্রায়ই কষ্ট পায় =)

তাই, বিনামূল্যে ভেক্টর- এই একটি গুচ্ছ অভিন্ন নির্দেশিত অংশ। একটি ভেক্টরের স্কুল সংজ্ঞা, অনুচ্ছেদের শুরুতে দেওয়া: "একটি নির্দেশিত অংশকে ভেক্টর বলা হয়..." বোঝায় নির্দিষ্টএকটি প্রদত্ত সেট থেকে নেওয়া একটি নির্দেশিত সেগমেন্ট, যা সমতল বা স্থানের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে বাঁধা।

এটি লক্ষ করা উচিত যে পদার্থবিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি মুক্ত ভেক্টরের ধারণাটি সাধারণত ভুল এবং প্রয়োগের বিষয়টি গুরুত্বপূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে, নাক বা কপালে একই শক্তির সরাসরি আঘাত, আমার বোকা উদাহরণ তৈরি করার জন্য যথেষ্ট, বিভিন্ন পরিণতি ঘটায়। যাহোক, অমুক্ত vyshmat কোর্সে ভেক্টর পাওয়া যায় (সেখানে যাবেন না :))।

ভেক্টরের সাথে ক্রিয়াকলাপ। ভেক্টরের সমন্বিততা

একটি স্কুল জ্যামিতি কোর্স ভেক্টর সহ বেশ কয়েকটি ক্রিয়া এবং নিয়ম কভার করে: ত্রিভুজ নিয়ম অনুযায়ী যোগ, সমান্তরালগ্রাম নিয়ম অনুযায়ী যোগ, ভেক্টর পার্থক্য নিয়ম, একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভেক্টর গুণ, ভেক্টরের স্কেলার গুণফল ইত্যাদি।একটি প্রারম্ভিক বিন্দু হিসাবে, আসুন দুটি নিয়ম পুনরাবৃত্তি করি যা বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সমস্যা সমাধানের জন্য বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক।

ত্রিভুজ নিয়ম ব্যবহার করে ভেক্টর যোগ করার নিয়ম

দুটি নির্বিচারে অ-শূন্য ভেক্টর বিবেচনা করুন এবং:

আপনাকে এই ভেক্টরগুলির যোগফল খুঁজে বের করতে হবে। সমস্ত ভেক্টর মুক্ত বলে বিবেচিত হওয়ার কারণে, আমরা ভেক্টরটিকে আলাদা করে রাখব শেষভেক্টর:

ভেক্টরের সমষ্টি হল ভেক্টর। নিয়মটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, এটিতে একটি শারীরিক অর্থ রাখার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে: কিছু শরীরকে ভেক্টর বরাবর ভ্রমণ করতে দিন এবং তারপরে ভেক্টর বরাবর। তারপর ভেক্টরের যোগফল হল প্রস্থান বিন্দুতে শুরু এবং আগমন বিন্দুতে শেষ সহ ফলাফলের পথের ভেক্টর। যেকোন সংখ্যক ভেক্টরের যোগফলের জন্য একটি অনুরূপ নিয়ম প্রণয়ন করা হয়। তারা যেমন বলে, শরীরটি একটি জিগজ্যাগ বরাবর খুব ঝুঁকে যেতে পারে, বা অটোপাইলটে হতে পারে - যোগফলের ভেক্টর বরাবর।

উপায় দ্বারা, যদি ভেক্টর থেকে স্থগিত করা হয় শুরুভেক্টর, তারপর আমরা সমতুল্য পাই সমান্তরাল বৃত্তের নিয়মভেক্টর সংযোজন।

প্রথমত, ভেক্টরের সমাহার সম্পর্কে। দুটি ভেক্টর বলা হয় সমরেখার, যদি তারা একই লাইনে বা সমান্তরাল রেখায় থাকে। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, আমরা সমান্তরাল ভেক্টর সম্পর্কে কথা বলছি। তবে তাদের সাথে সম্পর্কিত, বিশেষণটি "কলিনিয়ার" সর্বদা ব্যবহৃত হয়।

দুটি সমরেখা ভেক্টর কল্পনা করুন। যদি এই ভেক্টরগুলির তীরগুলি একই দিকে পরিচালিত হয় তবে এই ধরনের ভেক্টরকে বলা হয় সহ-নির্দেশিত. যদি তীরগুলি বিভিন্ন দিকে নির্দেশ করে, তাহলে ভেক্টর হবে বিপরীত দিক.

পদবি:ভেক্টরের সমসংখ্যা সাধারণ সমান্তরাল চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়: , যখন বিশদ বিবরণ সম্ভব: (ভেক্টরগুলি সহ-নির্দেশিত) বা (ভেক্টরগুলি বিপরীতভাবে নির্দেশিত)।

কাজএকটি সংখ্যার উপর একটি অ-শূন্য ভেক্টর হল একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য সমান, এবং ভেক্টর এবং সহ-নির্দেশিত এবং বিপরীতভাবে নির্দেশিত।

একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়মটি ছবির সাহায্যে বোঝা সহজ:

আসুন এটি আরও বিশদে দেখুন:

1) দিকনির্দেশ। গুণক ঋণাত্মক হলে ভেক্টর দিক পরিবর্তন করেবিপরীতে

2) দৈর্ঘ্য। যদি গুণকটি বা এর মধ্যে থাকে, তাহলে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হ্রাস পায়. সুতরাং, ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক। গুণকের মডুলাস একের বেশি হলে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায়সময়ের মধ্যে

3) দয়া করে নোট করুন যে সমস্ত ভেক্টর সমরেখার, যখন একটি ভেক্টর অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, . বিপরীত সত্য: যদি একটি ভেক্টর অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাহলে এই ধরনের ভেক্টর অগত্যা সমরেখার। এইভাবে: যদি আমরা একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করি, আমরা সমরেখা পাই(মূলের সাথে আপেক্ষিক) ভেক্টর.

4) ভেক্টরগুলি সহ-নির্দেশিত হয়। ভেক্টর এবং সহ-নির্দেশিত হয়। প্রথম গ্রুপের যেকোনো ভেক্টর দ্বিতীয় গ্রুপের যেকোনো ভেক্টরের বিপরীতে নির্দেশিত হয়।

কোন ভেক্টর সমান?

দুটি ভেক্টর সমান হয় যদি তারা একই দিকে থাকে এবং একই দৈর্ঘ্য থাকে. উল্লেখ্য যে সহনির্দেশকতা ভেক্টরের সমন্বিততা বোঝায়। সংজ্ঞাটি ভুল (অপ্রয়োজনীয়) হবে যদি আমরা বলি: "দুটি ভেক্টর সমান যদি তারা সমরেখার, সহনির্দেশিক হয় এবং একই দৈর্ঘ্য থাকে।"

একটি মুক্ত ভেক্টর ধারণার দৃষ্টিকোণ থেকে, সমান ভেক্টর একই ভেক্টর, যেমনটি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আলোচনা করা হয়েছে।

সমতলে এবং মহাকাশে ভেক্টর স্থানাঙ্ক

প্রথম পয়েন্ট হল সমতলে ভেক্টর বিবেচনা করা। আসুন আমরা একটি কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম চিত্রিত করি এবং স্থানাঙ্কের উত্স থেকে এটি প্লট করি এককভেক্টর এবং:

ভেক্টর এবং অর্থোগোনাল. অর্থোগোনাল = লম্ব। আমি সুপারিশ করছি যে আপনি ধীরে ধীরে এই পদগুলির সাথে অভ্যস্ত হন: সমান্তরালতা এবং লম্বতার পরিবর্তে, আমরা যথাক্রমে শব্দগুলি ব্যবহার করি সমরেখাএবং অর্থগোনালিটি.

উপাধি:ভেক্টরের অর্থগোনালিটি সাধারণ লম্বতার চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ: .

বিবেচনাধীন ভেক্টর বলা হয় সমন্বয় ভেক্টরবা orts. এই ভেক্টর গঠন করে ভিত্তিপৃষ্ঠের উপর. ভিত্তি কী, আমি মনে করি, অনেকের কাছে স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার; নিবন্ধে আরও বিস্তারিত তথ্য পাওয়া যাবে ভেক্টরের রৈখিক (অ) নির্ভরতা। ভেক্টরের ভিত্তিসহজ কথায়, স্থানাঙ্কের ভিত্তি এবং উত্স সমগ্র সিস্টেমকে সংজ্ঞায়িত করে - এটি এমন এক ধরণের ভিত্তি যার উপর একটি পূর্ণ এবং সমৃদ্ধ জ্যামিতিক জীবন ফুটে ওঠে।

কখনও কখনও নির্মিত ভিত্তি বলা হয় অর্থনর্মালসমতলের ভিত্তি: "অর্থো" - কারণ স্থানাঙ্ক ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল, বিশেষণ "স্বাভাবিক" মানে একক, অর্থাৎ ভিত্তি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য একের সমান।

উপাধি:ভিত্তিটি সাধারণত বন্ধনীতে লেখা হয়, যার ভিতরে কঠোর ক্রমানুসারেভিত্তি ভেক্টর তালিকাভুক্ত করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ: . সমন্বয় ভেক্টর এটা নিষিদ্ধপুনর্বিন্যাস

যে কোনসমতল ভেক্টর একমাত্র পথহিসাবে প্রকাশ করা হয়:
, কোথায় - সংখ্যাযা বলা হয় ভেক্টর স্থানাঙ্কএই ভিত্তিতে। এবং অভিব্যক্তি নিজেই ডাকা ভেক্টর পচনভিত্তিতে .

ডিনার পরিবেশিত:

বর্ণমালার প্রথম অক্ষর দিয়ে শুরু করা যাক: . অঙ্কনটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে একটি ভেক্টরকে একটি ভিত্তিতে পচানোর সময়, শুধুমাত্র আলোচনা করাগুলি ব্যবহার করা হয়:
1) একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়ম: এবং ;
2) ত্রিভুজ নিয়ম অনুযায়ী ভেক্টর সংযোজন: .

এখন মানসিকভাবে সমতলের অন্য কোনো বিন্দু থেকে ভেক্টর প্লট করুন। এটা খুবই স্পষ্ট যে তার ক্ষয় "তাকে নিরলসভাবে অনুসরণ করবে।" এখানে, ভেক্টরের স্বাধীনতা - ভেক্টর "সবকিছু নিজের সাথে বহন করে।" এই সম্পত্তি, অবশ্যই, কোন ভেক্টর জন্য সত্য. এটা মজার যে ভিত্তি (বিনামূল্যে) ভেক্টর নিজেদের উৎপত্তি থেকে প্লট করতে হবে না; একটি আঁকা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, নীচে বাম দিকে, এবং অন্যটি উপরের ডানদিকে, এবং কিছুই পরিবর্তন হবে না! সত্য, আপনার এটি করার দরকার নেই, যেহেতু শিক্ষকও মৌলিকতা দেখাবেন এবং আপনাকে একটি অপ্রত্যাশিত জায়গায় একটি "ক্রেডিট" আঁকবেন।

ভেক্টরগুলি একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করার নিয়মটি সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে, ভেক্টরটি বেস ভেক্টরের সাথে সহ-নির্দেশিক, ভেক্টরটি বেস ভেক্টরের বিপরীতে নির্দেশিত হয়। এই ভেক্টরগুলির জন্য, স্থানাঙ্কগুলির একটি শূন্যের সমান; আপনি সাবধানে এটিকে এভাবে লিখতে পারেন:


এবং ভিত্তি ভেক্টর, উপায় দ্বারা, এই মত: (আসলে, তারা নিজেদের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়)।

এবং পরিশেষে: , . যাইহোক, ভেক্টর বিয়োগ কি এবং কেন আমি বিয়োগের নিয়ম সম্পর্কে কথা বলিনি? রৈখিক বীজগণিতের কোথাও, আমার মনে নেই কোথায়, আমি উল্লেখ করেছি যে বিয়োগ যোগের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। এইভাবে, "de" এবং "e" ভেক্টরের বিস্তৃতিগুলি সহজেই যোগফল হিসাবে লেখা হয়: , . এই পরিস্থিতিতে ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে ভেক্টরের ভাল পুরানো সংযোজন কতটা স্পষ্টভাবে কাজ করে তা দেখতে অঙ্কনটি অনুসরণ করুন।

ফর্মের বিবেচিত পচন কখনও কখনও ভেক্টর পচন বলা হয় ort সিস্টেমে(অর্থাৎ ইউনিট ভেক্টরের একটি সিস্টেমে)। কিন্তু এটি একটি ভেক্টর লেখার একমাত্র উপায় নয়; নিম্নলিখিত বিকল্পটি সাধারণ:

অথবা একটি সমান চিহ্ন সহ:

ভিত্তি ভেক্টর নিজেই নিম্নরূপ লেখা হয়: এবং

অর্থাৎ, ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি বন্ধনীতে নির্দেশিত হয়। ব্যবহারিক সমস্যায়, তিনটি স্বরলিপি বিকল্প ব্যবহার করা হয়।

আমি কথা বলব কিনা সন্দেহ, কিন্তু আমি যাইহোক এটি বলব: ভেক্টর স্থানাঙ্ক পুনর্বিন্যাস করা যাবে না. কঠোরভাবে প্রথম স্থানেআমরা একক ভেক্টরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থানাঙ্ক লিখি, কঠোরভাবে দ্বিতীয় স্থানেআমরা একক ভেক্টরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থানাঙ্ক লিখি। প্রকৃতপক্ষে, এবং দুটি ভিন্ন ভেক্টর।

আমরা সমতলে স্থানাঙ্ক বের করেছি। এখন ত্রিমাত্রিক স্থানের ভেক্টরের দিকে তাকাই, এখানে প্রায় সবকিছু একই! এটি শুধু আরও একটি সমন্বয় যোগ করবে। ত্রিমাত্রিক অঙ্কন করা কঠিন, তাই আমি নিজেকে একটি ভেক্টরের মধ্যে সীমাবদ্ধ করব, যা সরলতার জন্য আমি মূল থেকে আলাদা করব:

যে কোন 3D স্পেস ভেক্টর একমাত্র পথএকটি অর্থনর্মাল ভিত্তিতে প্রসারিত করুন:
, এই ভিত্তিতে ভেক্টর (সংখ্যা) এর স্থানাঙ্কগুলি কোথায়।

ছবি থেকে উদাহরণ: . এখানে ভেক্টর নিয়ম কিভাবে কাজ করে দেখা যাক। প্রথমত, ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন: (লাল তীর), (সবুজ তীর) এবং (রাস্পবেরি তীর)। দ্বিতীয়ত, এখানে বেশ কয়েকটি যোগ করার একটি উদাহরণ রয়েছে, এই ক্ষেত্রে তিনটি, ভেক্টর: . যোগফল ভেক্টরটি প্রস্থানের প্রাথমিক বিন্দুতে (ভেক্টরের শুরুতে) শুরু হয় এবং আগমনের চূড়ান্ত বিন্দুতে (ভেক্টরের শেষ) শেষ হয়।

ত্রিমাত্রিক স্থানের সমস্ত ভেক্টর, স্বাভাবিকভাবেই, মুক্ত; মানসিকভাবে অন্য যে কোনও বিন্দু থেকে ভেক্টরটিকে আলাদা করার চেষ্টা করুন এবং আপনি বুঝতে পারবেন যে এর পচন "এটির সাথে থাকবে।"

ফ্ল্যাট কেস অনুরূপ, লেখা ছাড়াও বন্ধনী সহ সংস্করণগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়: হয়।

যদি সম্প্রসারণে একটি (বা দুটি) স্থানাঙ্ক ভেক্টর অনুপস্থিত থাকে, তাহলে তাদের জায়গায় শূন্য বসানো হয়। উদাহরণ:
ভেক্টর (সূক্ষ্মভাবে ) - চল লিখি ;
ভেক্টর (সূক্ষ্মভাবে) - লিখুন;
ভেক্টর (সূক্ষ্মভাবে ) - চল লিখি .

ভিত্তি ভেক্টর নিম্নরূপ লেখা হয়:

এটি, সম্ভবত, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত ন্যূনতম তাত্ত্বিক জ্ঞান। অনেকগুলি পদ এবং সংজ্ঞা থাকতে পারে, তাই আমি সুপারিশ করি যে চাপাতারা এই তথ্যটি পুনরায় পড়তে এবং বুঝতে পারে। এবং উপাদানটিকে আরও ভালভাবে আত্তীকরণ করার জন্য সময়ে সময়ে মৌলিক পাঠটি উল্লেখ করা যেকোনো পাঠকের পক্ষে কার্যকর হবে। সমষ্টিগততা, অর্থোগোনালিটি, অর্থনরমাল ভিত্তি, ভেক্টর পচন - এই এবং অন্যান্য ধারণাগুলি প্রায়শই ভবিষ্যতে ব্যবহৃত হবে। আমি লক্ষ্য করি যে সাইটের উপকরণগুলি জ্যামিতির উপর তাত্ত্বিক পরীক্ষা বা কলোকিয়ামে উত্তীর্ণ হওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়, যেহেতু আমি সমস্ত উপপাদ্য (এবং প্রমাণ ছাড়াই) সাবধানে এনক্রিপ্ট করেছি - উপস্থাপনার বৈজ্ঞানিক শৈলীর ক্ষতির জন্য, তবে আপনার বোঝার জন্য একটি প্লাস বিষয়. বিশদ তাত্ত্বিক তথ্য পেতে, অনুগ্রহ করে প্রফেসর আতানাসিয়ানকে প্রণাম করুন।

এবং আমরা ব্যবহারিক অংশে এগিয়ে যাই:

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সহজতম সমস্যা।
স্থানাঙ্কে ভেক্টর সহ ক্রিয়া

যে কাজগুলি সম্পূর্ণরূপে স্বয়ংক্রিয়ভাবে বিবেচনা করা হবে এবং সূত্রগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তা শিখে নেওয়া অত্যন্ত যুক্তিযুক্ত। মুখস্থ করা, এমনকি আপনাকে এটি উদ্দেশ্যমূলকভাবে মনে রাখতে হবে না, তারা নিজেরাই এটি মনে রাখবে =) এটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির অন্যান্য সমস্যাগুলি সবচেয়ে সহজ প্রাথমিক উদাহরণের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয় এবং প্যাদা খাওয়ার জন্য অতিরিক্ত সময় ব্যয় করা বিরক্তিকর হবে। . আপনার শার্টের উপরের বোতামগুলিকে বেঁধে রাখার দরকার নেই; স্কুল থেকে অনেক কিছুই আপনার কাছে পরিচিত।

উপাদানের উপস্থাপনা একটি সমান্তরাল কোর্স অনুসরণ করবে - সমতল এবং স্থান উভয়ের জন্য। যে কারণে সব সূত্র... আপনি নিজেই দেখতে পাবেন।

কিভাবে দুটি পয়েন্ট থেকে একটি ভেক্টর খুঁজে বের করতে?

যদি সমতলের দুটি বিন্দু এবং দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টরের নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক রয়েছে:

যদি স্থানের দুটি বিন্দু এবং দেওয়া হয়, তাহলে ভেক্টরের নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক রয়েছে:

এটাই, ভেক্টরের প্রান্তের স্থানাঙ্ক থেকেআপনাকে সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করতে হবে ভেক্টরের শুরু.

ব্যায়াম:একই পয়েন্টগুলির জন্য, ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি লিখুন। পাঠের শেষে সূত্র।

উদাহরণ 1

সমতলের দুটি পয়েন্ট দেওয়া হয়েছে এবং . ভেক্টর স্থানাঙ্ক খুঁজুন

সমাধান:উপযুক্ত সূত্র অনুযায়ী:

বিকল্পভাবে, নিম্নলিখিত এন্ট্রি ব্যবহার করা যেতে পারে:

নন্দনতত্ত্ববিদ এটি সিদ্ধান্ত নেবেন:

ব্যক্তিগতভাবে, আমি রেকর্ডিংয়ের প্রথম সংস্করণে অভ্যস্ত।

উত্তর:

শর্ত অনুসারে, একটি অঙ্কন তৈরি করার প্রয়োজন ছিল না (যা বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সমস্যার জন্য সাধারণ), তবে ডামিগুলির জন্য কিছু পয়েন্ট স্পষ্ট করার জন্য, আমি অলস হব না:

আপনাকে অবশ্যই বুঝতে হবে পয়েন্ট স্থানাঙ্ক এবং ভেক্টর স্থানাঙ্কের মধ্যে পার্থক্য:

পয়েন্ট স্থানাঙ্ক- এইগুলি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে সাধারণ স্থানাঙ্ক। আমি মনে করি সবাই জানে কিভাবে 5-6 তম গ্রেড থেকে একটি স্থানাঙ্ক সমতলে পয়েন্ট প্লট করতে হয়। প্রতিটি পয়েন্টের প্লেনে একটি কঠোর স্থান রয়েছে এবং সেগুলি কোথাও সরানো যাবে না।

ভেক্টরের স্থানাঙ্ক- এই ক্ষেত্রে এটি ভিত্তি অনুযায়ী এর সম্প্রসারণ। যেকোনো ভেক্টর মুক্ত, তাই যদি ইচ্ছা বা প্রয়োজন হয়, আমরা সহজেই এটিকে সমতলে অন্য কোনো বিন্দু থেকে সরাতে পারি। এটি আকর্ষণীয় যে ভেক্টরগুলির জন্য আপনাকে অক্ষ বা আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম তৈরি করতে হবে না; আপনার শুধুমাত্র একটি ভিত্তি প্রয়োজন, এই ক্ষেত্রে সমতলের একটি অর্থনর্মাল ভিত্তি।

বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কের রেকর্ডগুলি একই রকম বলে মনে হয়: , এবং স্থানাঙ্কের অর্থএকেবারে ভিন্ন, এবং আপনার এই পার্থক্য সম্পর্কে ভালভাবে সচেতন হওয়া উচিত। এই পার্থক্য, অবশ্যই, এছাড়াও স্থান প্রযোজ্য.

ভদ্রমহিলা এবং ভদ্রলোক, আসুন আমাদের হাত পূরণ করুন:

উদাহরণ 2

ক) পয়েন্ট এবং দেওয়া হয়। ভেক্টর খুঁজুন এবং .
খ) পয়েন্ট দেওয়া হয় এবং . ভেক্টর খুঁজুন এবং .
গ) পয়েন্ট এবং দেওয়া হয়। ভেক্টর খুঁজুন এবং .
d) পয়েন্ট দেওয়া হয়। ভেক্টর খুঁজুন .

সম্ভবত এটাই যথেষ্ট। এগুলি আপনার নিজের সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য উদাহরণ, তাদের অবহেলা না করার চেষ্টা করুন, এটি পরিশোধ করবে ;-)। আঁকাআঁকি করার দরকার নেই। পাঠের শেষে সমাধান এবং উত্তর।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি সমস্যার সমাধান করার সময় কী গুরুত্বপূর্ণ?নিপুণ "দুই যোগ দুই সমান শূন্য" ভুল করা এড়াতে অত্যন্ত সতর্কতা অবলম্বন করা গুরুত্বপূর্ণ। কোথাও ভুল হলে আমি এখনই ক্ষমাপ্রার্থী =)

কিভাবে একটি অংশের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হয়?

দৈর্ঘ্য, যেমন ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, মডুলাস চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয়।

যদি সমতলের দুটি বিন্দু দেওয়া হয় এবং, তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করে রেখাংশের দৈর্ঘ্য গণনা করা যেতে পারে

যদি স্থানের দুটি বিন্দু এবং দেওয়া হয়, তাহলে সূত্র ব্যবহার করে রেখাংশের দৈর্ঘ্য গণনা করা যেতে পারে

বিঃদ্রঃ: সূত্রগুলি সঠিক থাকবে যদি সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি অদলবদল করা হয়: এবং , তবে প্রথম বিকল্পটি আরও মানক

উদাহরণ 3

সমাধান:উপযুক্ত সূত্র অনুযায়ী:

উত্তর:

স্পষ্টতার জন্য, আমি একটি অঙ্কন করব

লাইনের অংশ - এটি একটি ভেক্টর নয়, এবং, অবশ্যই, আপনি এটি কোথাও সরাতে পারবেন না। উপরন্তু, যদি আপনি স্কেল আঁকা: 1 ইউনিট. = 1 সেমি (দুটি নোটবুক কোষ), তারপর ফলাফলের উত্তরটি সরাসরি অংশের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে একটি নিয়মিত শাসকের সাথে পরীক্ষা করা যেতে পারে।

হ্যাঁ, সমাধানটি সংক্ষিপ্ত, তবে এতে আরও কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট রয়েছে যা আমি স্পষ্ট করতে চাই:

প্রথমত, উত্তরে আমরা মাত্রা রাখি: "ইউনিট"। শর্ত বলে না এটা কি, মিলিমিটার, সেন্টিমিটার, মিটার বা কিলোমিটার। অতএব, একটি গাণিতিকভাবে সঠিক সমাধান হবে সাধারণ সূত্র: "ইউনিট" - সংক্ষেপে "ইউনিট"।

দ্বিতীয়ত, আসুন আমরা স্কুলের উপাদানগুলি পুনরাবৃত্তি করি, যা শুধুমাত্র বিবেচিত কাজের জন্যই দরকারী নয়:

মনোযোগ দিন গুরুত্বপূর্ণ কৌশল – মূলের নীচে থেকে গুণক অপসারণ করা হচ্ছে. গণনার ফলস্বরূপ, আমাদের একটি ফলাফল রয়েছে এবং ভাল গাণিতিক শৈলীতে মূলের নীচে থেকে ফ্যাক্টরটি সরানো জড়িত (যদি সম্ভব হয়)। আরো বিস্তারিতভাবে প্রক্রিয়া এই মত দেখায়: . অবশ্যই, উত্তরটি যেমন আছে তেমন রেখে দেওয়া কোনও ভুল হবে না - তবে এটি অবশ্যই একটি ত্রুটি এবং শিক্ষকের পক্ষ থেকে তিরস্কার করার জন্য একটি ভারী যুক্তি হবে।

এখানে অন্যান্য সাধারণ ক্ষেত্রে রয়েছে:

প্রায়শই মূল একটি মোটামুটি বড় সংখ্যা উত্পাদন করে, উদাহরণস্বরূপ। এই ধরনের ক্ষেত্রে কি করবেন? ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে, আমরা সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করি:। হ্যাঁ, এটি সম্পূর্ণরূপে বিভক্ত ছিল, এইভাবে: . নাকি সংখ্যাটিকে আবার 4 দিয়ে ভাগ করা যায়? . এইভাবে: . সংখ্যাটির শেষ সংখ্যাটি বিজোড়, তাই তৃতীয়বার 4 দিয়ে ভাগ করলে অবশ্যই কাজ হবে না। এর নয় দ্বারা ভাগ করার চেষ্টা করা যাক: . ফলস্বরূপ:
প্রস্তুত.

উপসংহার:যদি মূলের নীচে আমরা এমন একটি সংখ্যা পাই যা সম্পূর্ণরূপে বের করা যায় না, তবে আমরা মূলের নীচে থেকে ফ্যাক্টরটি সরানোর চেষ্টা করি - একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আমরা পরীক্ষা করি যে সংখ্যাটি দ্বারা বিভাজ্য কিনা: 4, 9, 16, 25, 36, 49, ইত্যাদি

বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করার সময়, শিকড়গুলি প্রায়শই সম্মুখীন হয়; শিক্ষকের মন্তব্যের উপর ভিত্তি করে আপনার সমাধানগুলি চূড়ান্ত করার জন্য নিম্ন গ্রেড এবং অপ্রয়োজনীয় সমস্যাগুলি এড়াতে সর্বদা মূলের নিচ থেকে কারণগুলি বের করার চেষ্টা করুন।

বর্গাকার মূল এবং অন্যান্য শক্তিগুলিও পুনরাবৃত্তি করা যাক:

সাধারণ আকারে ক্ষমতার সাথে কাজ করার নিয়মগুলি একটি স্কুল বীজগণিত পাঠ্যপুস্তকে পাওয়া যেতে পারে, তবে আমি মনে করি প্রদত্ত উদাহরণগুলি থেকে, সবকিছু বা প্রায় সবকিছু ইতিমধ্যেই পরিষ্কার।

স্থানের একটি অংশ সহ স্বাধীন সমাধানের জন্য টাস্ক:

উদাহরণ 4

পয়েন্ট এবং দেওয়া হয়. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান এবং উত্তর পাঠের শেষে আছে।

কিভাবে একটি ভেক্টর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে?

যদি একটি সমতল ভেক্টর দেওয়া হয়, তাহলে তার দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়।

যদি একটি স্থান ভেক্টর দেওয়া হয়, তাহলে তার দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় .

অথবা একক ভেক্টর (একটি স্বাভাবিক ভেক্টর স্থানের একক ভেক্টর) এমন একটি ভেক্টর যার আদর্শ (দৈর্ঘ্য) একের সমান। ইউনিট ভেক্টর... উইকিপিডিয়া

- (ort) ভেক্টর, যার দৈর্ঘ্য নির্বাচিত স্কেলের এককের সমান... বড় বিশ্বকোষীয় অভিধান

- (ort), একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য নির্বাচিত স্কেলের এককের সমান। * * * UNIT VECTOR UNIT VECTOR (ort), একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য নির্বাচিত স্কেলের এককের সমান... বিশ্বকোষীয় অভিধান

Ort, একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য নির্বাচিত স্কেলের এককের সমান। যেকোন ভেক্টর a কিছু E.v. কলিনিয়ার থেকে এটিতে পাওয়া যেতে পারে। e সংখ্যা (স্কেলার) দ্বারা গুণ করে λ, অর্থাৎ a = λe। এছাড়াও ভেক্টর ক্যালকুলাস দেখুন... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

- (ort), ভেক্টর, যার দৈর্ঘ্য নির্বাচিত স্কেলের এককের সমান... প্রাকৃতিক বিজ্ঞান. বিশ্বকোষীয় অভিধান

অর্থ: উইকশনারিতে একটি নিবন্ধ রয়েছে "অর্থ" অর্থ, বা দুই মাথার কুকুর, টাইফন এবং ইচিডনার বংশধর, সার্বেরাসের ভাই। Ort... উইকিপিডিয়া

ক; মি. [জার্মান] Ort] 1. হর্ন। একটি অনুভূমিক ভূগর্ভস্থ খনি খোলার যা পৃষ্ঠে সরাসরি প্রবেশাধিকার নেই। 2. গণিত। একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য একের সমান। * * * একক ভেক্টর I (গ্রীক অর্থোস স্ট্রেইট থেকে), একক ভেক্টরের মতোই। II (জার্মান... ... বিশ্বকোষীয় অভিধান

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য সমস্যাও থাকবে, যার উত্তর আপনি দেখতে পাবেন।

ভেক্টর ধারণা

আপনি ভেক্টর এবং তাদের উপর ক্রিয়াকলাপ সম্পর্কে সবকিছু শিখার আগে, একটি সাধারণ সমস্যা সমাধানের জন্য প্রস্তুত হন। আপনার উদ্যোক্তাতার একটি ভেক্টর এবং আপনার উদ্ভাবনী ক্ষমতার একটি ভেক্টর রয়েছে। উদ্যোক্তাতার ভেক্টর আপনাকে লক্ষ্য 1-এ নিয়ে যায় এবং উদ্ভাবনী ক্ষমতার ভেক্টর আপনাকে লক্ষ্য 2-এ নিয়ে যায়। গেমের নিয়মগুলি এমন যে আপনি একবারে এই দুটি ভেক্টরের নির্দেশনা বরাবর চলতে পারবেন না এবং একবারে দুটি লক্ষ্য অর্জন করতে পারবেন না। ভেক্টরগুলি ইন্টারঅ্যাক্ট করে, অথবা, গাণিতিক ভাষায় কথা বললে, ভেক্টরগুলিতে কিছু অপারেশন করা হয়। এই অপারেশনের ফলাফল হল "ফলাফল" ভেক্টর, যা আপনাকে লক্ষ্য 3-এ নিয়ে যায়।

এখন আমাকে বলুন: "উদ্যোক্তা" এবং "উদ্ভাবনী ক্ষমতা" ভেক্টরের উপর কোন অপারেশনের ফলাফল "ফলাফল" ভেক্টর? আপনি যদি এখনই বলতে না পারেন তবে হতাশ হবেন না। আপনি এই পাঠের মাধ্যমে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে আপনি এই প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হবেন।

আমরা ইতিমধ্যে উপরে দেখেছি, ভেক্টর অগত্যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে আসে কএকটি সরল রেখায় কিছু বিন্দুতে খ. ফলস্বরূপ, প্রতিটি ভেক্টরের কেবল একটি সংখ্যাসূচক মান - দৈর্ঘ্য নয়, তবে একটি ভৌত ​​এবং জ্যামিতিক মান - দিকও রয়েছে। এটি থেকে একটি ভেক্টরের প্রথম, সহজতম সংজ্ঞা আসে। সুতরাং, একটি ভেক্টর একটি বিন্দু থেকে আসা একটি নির্দেশিত অংশ কযথাযথ খ. এটি নিম্নরূপ মনোনীত করা হয়: .

এবং শুরু বিভিন্ন ভেক্টর দিয়ে অপারেশন , আমাদের একটি ভেক্টরের আরও একটি সংজ্ঞার সাথে পরিচিত হতে হবে।

একটি ভেক্টর হল একটি বিন্দুর এক ধরনের উপস্থাপনা যা কিছু প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে পৌঁছাতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর সাধারণত হিসাবে লেখা হয় (x, y, z) . খুব সহজ ভাষায়, এই সংখ্যাগুলির মানে হল একটি বিন্দুতে পৌঁছানোর জন্য আপনাকে তিনটি ভিন্ন দিকে হাঁটতে হবে।

একটি ভেক্টর দেওয়া যাক. যার মধ্যে এক্স = 3 (ডান হাত ডান দিকে নির্দেশ করে), y = 1 (বাম হাত সামনের দিকে নির্দেশ করে) z = 5 (বিন্দুর নীচে একটি সিঁড়ি রয়েছে)। এই ডেটা ব্যবহার করে, আপনি আপনার ডান হাত দ্বারা নির্দেশিত দিক থেকে 3 মিটার হাঁটার মাধ্যমে একটি বিন্দু খুঁজে পাবেন, তারপরে আপনার বাম হাত দ্বারা নির্দেশিত দিক থেকে 1 মিটার, এবং তারপর একটি মই আপনার জন্য অপেক্ষা করছে এবং 5 মিটার উপরে উঠলে আপনি অবশেষে খুঁজে পাবেন নিজেকে শেষ বিন্দুতে.

অন্যান্য সমস্ত শর্তাবলী উপরে উপস্থাপিত ব্যাখ্যার স্পষ্টীকরণ, ভেক্টরের উপর বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপের জন্য প্রয়োজনীয়, অর্থাৎ ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য। আসুন সাধারণ ভেক্টর সমস্যাগুলির উপর ফোকাস করে এই আরও কঠোর সংজ্ঞাগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া যাক।

শারীরিক উদাহরণভেক্টরের পরিমাণগুলি মহাকাশে চলমান একটি উপাদান বিন্দুর স্থানচ্যুতি, এই বিন্দুর গতি এবং ত্বরণ এবং সেইসাথে এটিতে কাজ করে এমন শক্তি হতে পারে।

জ্যামিতিক ভেক্টরআকারে দ্বি-মাত্রিক এবং ত্রি-মাত্রিক স্থানে উপস্থাপিত দিকনির্দেশক সেগমেন্ট. এটি একটি সেগমেন্ট যার একটি শুরু এবং একটি শেষ আছে।

যদি ক- ভেক্টরের শুরু, এবং খ- এর শেষ, তারপর ভেক্টরটিকে প্রতীক বা একটি ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। চিত্রে, ভেক্টরের শেষটি একটি তীর দ্বারা নির্দেশিত হয়েছে (চিত্র 1)

দৈর্ঘ্য(বা মডিউলএকটি জ্যামিতিক ভেক্টরের ) হল সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য যা এটি তৈরি করে

দুটি ভেক্টর বলা হয় সমান , যদি তারা সমান্তরাল স্থানান্তর দ্বারা একত্রিত করা যায় (যদি দিকনির্দেশগুলি মিলে যায়), যেমন যদি তারা সমান্তরাল হয়, একই দিকে নির্দেশিত হয় এবং সমান দৈর্ঘ্য থাকে।

পদার্থবিজ্ঞানে এটি প্রায়শই বিবেচনা করা হয় পিন করা ভেক্টর, প্রয়োগের বিন্দু, দৈর্ঘ্য এবং দিক দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়েছে। যদি ভেক্টরের প্রয়োগের বিন্দু কোন ব্যাপার না হয়, তবে এটি স্থানান্তর করা যেতে পারে, এর দৈর্ঘ্য এবং দিক বজায় রেখে, স্থানের যেকোনো বিন্দুতে। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর বলা হয় বিনামূল্যে. আমরা শুধুমাত্র বিবেচনা করতে সম্মত হবে বিনামূল্যে ভেক্টর.

জ্যামিতিক ভেক্টরে রৈখিক ক্রিয়াকলাপ

একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা

একটি ভেক্টরের পণ্য প্রতি সংখ্যাএকটি ভেক্টর যা একটি ভেক্টর থেকে প্রাপ্ত হয় একটি ফ্যাক্টর দ্বারা প্রসারিত (at ) বা (at ) দ্বারা সংকুচিত করে, এবং ভেক্টরের দিকটি যদি একই থাকে, এবং যদি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়। (চিত্র 2)

সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ভেক্টর এবং = সর্বদা এক বা সমান্তরাল রেখায় অবস্থিত। এই ধরনের ভেক্টর বলা হয় সমরেখার. (আমরা এটাও বলতে পারি যে এই ভেক্টরগুলি সমান্তরাল, কিন্তু ভেক্টর বীজগণিতে এটি "সমলিনিয়ার" বলার প্রথাগত।) কথোপকথনটিও সত্য: যদি ভেক্টরগুলি সমান্তরাল হয়, তবে তারা সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত

ফলস্বরূপ, সমতা (1) দুটি ভেক্টরের সমন্বিত অবস্থা প্রকাশ করে।

ভেক্টরের যোগ ও বিয়োগ

ভেক্টর যোগ করার সময় আপনাকে এটি জানতে হবে পরিমাণভেক্টর এবং একে ভেক্টর বলা হয়, যার শুরুটি ভেক্টরের শুরুর সাথে মিলে যায় এবং শেষ - ভেক্টরের শেষের সাথে, শর্ত থাকে যে ভেক্টরের শুরুটি ভেক্টরের শেষের সাথে সংযুক্ত থাকে। (চিত্র 3)

এই সংজ্ঞাটি যেকোন সীমিত সংখ্যক ভেক্টরের উপর বিতরণ করা যেতে পারে। তাদের মহাকাশে দেওয়া হোক nবিনামূল্যে ভেক্টর। বেশ কয়েকটি ভেক্টর যোগ করার সময়, তাদের যোগফলকে ক্লোজিং ভেক্টর হিসাবে ধরা হয়, যার শুরুটি প্রথম ভেক্টরের শুরুর সাথে এবং শেষটি শেষ ভেক্টরের শেষের সাথে মিলে যায়। অর্থাৎ, আপনি যদি ভেক্টরের শুরুতে ভেক্টরের শেষে সংযুক্ত করেন এবং ভেক্টরের শুরুটি ভেক্টরের শেষের সাথে সংযুক্ত করেন, ইত্যাদি। এবং, অবশেষে, ভেক্টরের শেষ পর্যন্ত - ভেক্টরের শুরু, তারপর এই ভেক্টরগুলির সমষ্টি হল সমাপ্তি ভেক্টর , যার শুরু প্রথম ভেক্টরের শুরুর সাথে মিলে যায় এবং শেষ - শেষ ভেক্টরের শেষের সাথে। (চিত্র 4)

পদগুলিকে ভেক্টরের উপাদান বলা হয়, এবং প্রণয়ন করা নিয়ম বহুভুজ নিয়ম. এই বহুভুজ সমতল নাও হতে পারে।

একটি ভেক্টরকে সংখ্যা -1 দ্বারা গুণ করলে বিপরীত ভেক্টর পাওয়া যায়। ভেক্টর এবং একই দৈর্ঘ্য এবং বিপরীত দিক আছে। তাদের যোগফল দেয় শূন্য ভেক্টর, যার দৈর্ঘ্য শূন্য। শূন্য ভেক্টরের দিক সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

ভেক্টর বীজগণিতে, বিয়োগ ক্রিয়াকে আলাদাভাবে বিবেচনা করার প্রয়োজন নেই: একটি ভেক্টর থেকে একটি ভেক্টর বিয়োগ করার অর্থ হল ভেক্টরের বিপরীত ভেক্টর যোগ করা, যেমন

উদাহরণ 1.অভিব্যক্তি সরলীকরণ:

.

,

অর্থাৎ, ভেক্টরগুলিকে বহুপদীর মতোই সংখ্যা দ্বারা যোগ এবং গুণ করা যেতে পারে (বিশেষত, অভিব্যক্তি সরলীকরণের ক্ষেত্রেও সমস্যা)। সাধারণত, ভেক্টরের গুণফল গণনা করার আগে ভেক্টরের সাথে রৈখিকভাবে অনুরূপ অভিব্যক্তিগুলিকে সরল করার প্রয়োজন দেখা দেয়।

উদাহরণ 2।ভেক্টর এবং সমান্তরাল ABCD (চিত্র 4a) এর কর্ণ হিসাবে কাজ করে। এই সমান্তরালগ্রামের বাহুগুলি , , এবং , ভেক্টরগুলির মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান। একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু প্রতিটি কর্ণকে দ্বিখণ্ডিত করে। আমরা সমস্যা বিবৃতিতে প্রয়োজনীয় ভেক্টরগুলির দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই যেগুলি প্রয়োজনীয়গুলির সাথে একটি ত্রিভুজ গঠন করে এমন ভেক্টরগুলির অর্ধেক যোগফল হিসাবে বা অর্ধেক পার্থক্য হিসাবে (কর্ণ হিসাবে পরিবেশনকারী ভেক্টরের দিকনির্দেশের উপর নির্ভর করে), বা, পরবর্তী ক্ষেত্রে যেমন, একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে নেওয়া অর্ধেক যোগফল। ফলাফল হল সমস্যা বিবৃতিতে প্রয়োজনীয় ভেক্টর:

এই পাঠের শুরুতে আপনি এখন "উদ্যোক্তা" এবং "উদ্ভাবনী ক্ষমতা" ভেক্টর সম্পর্কে প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়েছেন বলে বিশ্বাস করার প্রতিটি কারণ রয়েছে। সঠিক উত্তর: এই ভেক্টরগুলিতে একটি সংযোজন অপারেশন করা হয়।

ভেক্টর সমস্যাগুলি নিজেই সমাধান করুন এবং তারপরে সমাধানগুলি দেখুন

ভেক্টরের যোগফলের দৈর্ঘ্য কিভাবে বের করা যায়?

এই সমস্যাটি ভেক্টরগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপে একটি বিশেষ স্থান দখল করে, কারণ এতে ত্রিকোণমিতিক বৈশিষ্ট্যের ব্যবহার জড়িত। ধরা যাক আপনি নিম্নলিখিতগুলির মতো একটি টাস্ক জুড়ে এসেছেন:

ভেক্টর দৈর্ঘ্য দেওয়া হয় এবং এই ভেক্টরগুলির যোগফলের দৈর্ঘ্য। এই ভেক্টরগুলির মধ্যে পার্থক্যের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

এটি এবং অন্যান্য অনুরূপ সমস্যার সমাধান এবং কীভাবে সেগুলি সমাধান করা যায় তার ব্যাখ্যা পাঠে রয়েছে " ভেক্টর যোগ: ভেক্টরের যোগফল এবং কোসাইন উপপাদ্যের দৈর্ঘ্য ".

এবং আপনি এ ধরনের সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করতে পারেন অনলাইন ক্যালকুলেটর "ত্রিভুজের অজানা দিক (ভেক্টর যোগ এবং কোসাইন উপপাদ্য)" .

ভেক্টরের পণ্য কোথায়?

ভেক্টর-ভেক্টর পণ্যগুলি রৈখিক ক্রিয়াকলাপ নয় এবং আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয়। এবং আমাদের পাঠ রয়েছে "ভেক্টরের স্কেলার পণ্য" এবং "ভেক্টর এবং ভেক্টরের মিশ্র পণ্য"।

একটি অক্ষের উপর একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ

একটি অক্ষের উপর একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ অভিক্ষিপ্ত ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং ভেক্টর এবং অক্ষের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান:

হিসাবে পরিচিত হয়, একটি বিন্দু অভিক্ষেপ কসরলরেখার উপর (বিমান) হল লম্বের ভিত্তি এই বিন্দু থেকে সরলরেখার (বিমান) উপর নেমে গেছে।

একটি নির্বিচারে ভেক্টর হতে দিন (চিত্র 5), এবং এটির উত্সের অনুমান (বিন্দু) ক) এবং শেষ (পয়েন্ট খ) প্রতি অক্ষ l. (একটি বিন্দুর অভিক্ষেপ তৈরি করতে ক) বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকুন কএকটি সরলরেখার লম্ব একটি সমতল। লাইন এবং সমতলের ছেদ প্রয়োজনীয় অভিক্ষেপ নির্ধারণ করবে।

ভেক্টর উপাদান l অক্ষের উপরএই অক্ষের উপর অবস্থিত এমন একটি ভেক্টরকে বলা হয়, যার শুরুটি শুরুর অভিক্ষেপের সাথে এবং শেষটি ভেক্টরের শেষের অভিক্ষেপের সাথে মিলে যায়।

অক্ষের উপর ভেক্টরের অভিক্ষেপ lনম্বর বলা হয়

,

এই অক্ষের কম্পোনেন্ট ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের সমান, যদি উপাদানগুলির দিক অক্ষের দিকের সাথে মিলে যায় তবে একটি যোগ চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয় l, এবং এই দিকগুলি বিপরীত হলে একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ।

একটি অক্ষের উপর ভেক্টর অভিক্ষেপের মৌলিক বৈশিষ্ট্য:

1. একই অক্ষে সমান ভেক্টরের অনুমান একে অপরের সমান।

2. যখন একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন তার অভিক্ষেপ একই সংখ্যা দ্বারা গুণিত হয়।

3. যেকোনো অক্ষের উপর ভেক্টরের সমষ্টির অভিক্ষেপ একই অক্ষের উপর ভেক্টরের সমষ্টির অভিক্ষেপের সমষ্টির সমান।

4. অক্ষের উপর ভেক্টরের অভিক্ষেপ প্রক্ষিপ্ত ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং ভেক্টর এবং অক্ষের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফলের সমান:

.

সমাধান। আসুন ভেক্টরগুলিকে অক্ষের উপর প্রজেক্ট করি lউপরে তাত্ত্বিক পটভূমিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। চিত্র 5a থেকে এটা স্পষ্ট যে ভেক্টরের সমষ্টির অভিক্ষেপ ভেক্টরের অভিক্ষেপের সমষ্টির সমান। আমরা এই অনুমানগুলি গণনা করি:

আমরা ভেক্টরের যোগফলের চূড়ান্ত অভিক্ষেপ খুঁজে পাই:

একটি ভেক্টর এবং মহাকাশে একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের মধ্যে সম্পর্ক

জানতে চাচ্ছি মহাকাশে আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সংশ্লিষ্ট পাঠে স্থান পেয়েছে, এটি একটি নতুন উইন্ডোতে খোলার পরামর্শ দেওয়া হয়৷

স্থানাঙ্ক অক্ষের একটি আদেশকৃত সিস্টেমে 0xyzঅক্ষ বলদডাকা x-অক্ষ, অক্ষ 0y – y-অক্ষ, এবং অক্ষ 0z – অক্ষ প্রযোজ্য.

একটি নির্বিচারে পয়েন্ট সঙ্গে এমস্থান সংযোগ ভেক্টর

ডাকা ব্যাসার্ধ ভেক্টরপয়েন্ট এমএবং প্রতিটি স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর এটি প্রজেক্ট করুন। আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট অনুমানগুলির মাত্রা বোঝাই:

সংখ্যা x, y, zডাকল বিন্দু M এর স্থানাঙ্ক, যথাক্রমে abscissa, নির্দেশএবং আবেদন, এবং সংখ্যার একটি ক্রমবিন্দু হিসাবে লেখা হয়: M(x;y;z)(ছবি 6)।

একক দৈর্ঘ্যের একটি ভেক্টর যার দিক অক্ষের দিকের সাথে মিলে যায় তাকে বলে ইউনিট ভেক্টর(বা ortom) অক্ষ। আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক

তদনুসারে, স্থানাঙ্ক অক্ষের একক ভেক্টর বলদ, ওয়, ওজ

উপপাদ্য।যেকোন ভেক্টরকে স্থানাঙ্ক অক্ষের একক ভেক্টরে প্রসারিত করা যেতে পারে:

(2)

সমতা (2) স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর ভেক্টরের প্রসারণ বলা হয়। এই সম্প্রসারণের সহগ হল স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর ভেক্টরের অনুমান। এইভাবে, স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর ভেক্টরের সম্প্রসারণের সহগ (2) হল ভেক্টরের স্থানাঙ্ক।

মহাকাশে একটি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বেছে নেওয়ার পরে, ভেক্টর এবং এর স্থানাঙ্কগুলির ত্রিপল একে অপরকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করে, তাই ভেক্টরটি আকারে লেখা যেতে পারে

(2) এবং (3) আকারে ভেক্টরের উপস্থাপনা অভিন্ন।

স্থানাঙ্কে ভেক্টরের সমসাময়িকতার শর্ত

আমরা ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি যে, ভেক্টরগুলি যদি সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত হয় তবে তাদের সমাধিক বলা হয়

ভেক্টর দেওয়া হোক . এই ভেক্টরগুলি সমরেখার হয় যদি ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সম্পর্কের দ্বারা সম্পর্কিত হয়

,

অর্থাৎ, ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক।

উদাহরণ 6.ভেক্টর দেওয়া হয় . এই ভেক্টর সমরেখার?

সমাধান। আসুন এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করা যাক:

.

ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সমানুপাতিক, তাই, ভেক্টরগুলি সমরেখার, বা, কী একই, সমান্তরাল।

ভেক্টর দৈর্ঘ্য এবং দিক কোসাইন

স্থানাঙ্ক অক্ষের পারস্পরিক লম্বতার কারণে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য

ভেক্টরের উপর নির্মিত একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান

এবং সমতা দ্বারা প্রকাশ করা হয়

(4)

একটি ভেক্টর সম্পূর্ণরূপে দুটি বিন্দু (শুরু এবং শেষ) নির্দিষ্ট করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে।

যাক, একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, ভেক্টরের উৎপত্তি বিন্দুতে

এবং শেষ বিন্দুতে

সমতা থেকে

সেটা অনুসরণ করে

বা সমন্বিত আকারে

তাই, ভেক্টর স্থানাঙ্কগুলি ভেক্টরের শেষ এবং শুরুর একই স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্যের সমান . এক্ষেত্রে ফর্মুলা (4) ফর্ম নেবে

ভেক্টরের দিক নির্ধারণ করা হয় দিক কোসাইন . এগুলি হল কোণগুলির কোসাইন যা ভেক্টর অক্ষগুলির সাথে তৈরি করে বলদ, ওয়এবং ওজ. আসুন সেই অনুযায়ী এই কোণগুলি বোঝাই α , β এবং γ . তারপর সূত্র ব্যবহার করে এই কোণগুলির কোসাইনগুলি পাওয়া যাবে

একটি ভেক্টরের দিক কোসাইনগুলিও সেই ভেক্টরের ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং এইভাবে ভেক্টরের ভেক্টর

.

বিবেচনা করে একক ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এক এককের সমান, অর্থাৎ

,

আমরা দিক কোসাইনগুলির জন্য নিম্নলিখিত সমতা পাই:

উদাহরণ 7.ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এক্স = (3; 0; 4).

সমাধান। ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হল

উদাহরণ 8।প্রদত্ত পয়েন্ট:

এই বিন্দুগুলিতে নির্মিত ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু কিনা তা সন্ধান করুন।

সমাধান। ভেক্টর দৈর্ঘ্য সূত্র (6) ব্যবহার করে, আমরা বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই এবং তাদের মধ্যে দুটি সমান আছে কিনা তা নির্ধারণ করি:

দুটি সমান বাহু পাওয়া গেছে, তাই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য খোঁজার প্রয়োজন নেই এবং প্রদত্ত ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

উদাহরণ 9।যদি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং এর দিক কোসাইন নির্ণয় কর .

সমাধান। ভেক্টর স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়:

.

ভেক্টরের দৈর্ঘ্য ভেক্টর স্থানাঙ্কের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির বর্গমূলের সমান:

.

দিক কোসাইন খোঁজা:

ভেক্টর সমস্যা নিজেই সমাধান করুন, এবং তারপর সমাধান দেখুন

সমন্বিত আকারে দেওয়া ভেক্টরের অপারেশন

দুটি ভেক্টরকে দেওয়া যাক, তাদের অনুমান দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক:

আসুন আমরা এই ভেক্টরগুলির উপর ক্রিয়া নির্দেশ করি।

একক ভেক্টর- এই ভেক্টর, পরম মান (মডুলাস) যার একতা সমান। একটি ইউনিট ভেক্টর বোঝাতে, আমরা সাবস্ক্রিপ্ট ই ব্যবহার করব। সুতরাং, যদি একটি ভেক্টর দেওয়া হয় ক, তাহলে এর একক ভেক্টর হবে ভেক্টর ক e. এই ইউনিট ভেক্টরটি ভেক্টরের মতো একই দিকে পরিচালিত হয় ক, এবং এর মডিউল একের সমান, অর্থাৎ a e = 1।

স্পষ্টতই, ক= ক ক e (ক - ভেক্টর মডিউল ক). এটি সেই নিয়ম থেকে অনুসরণ করে যার দ্বারা একটি ভেক্টর দ্বারা একটি স্কেলারকে গুণ করার অপারেশন করা হয়।

একক ভেক্টরপ্রায়শই একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সাথে যুক্ত (বিশেষত, একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমের অক্ষগুলির সাথে)। এগুলোর নির্দেশনা ভেক্টরসংশ্লিষ্ট অক্ষগুলির দিকনির্দেশের সাথে মিলিত হয় এবং তাদের উত্সগুলি প্রায়শই স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের সাথে মিলিত হয়।

আমি আপনাকে যে মনে করিয়ে দিন কার্টেসিয়ান সমন্বয় সিস্টেমমহাকাশে, স্থানাঙ্কের উৎপত্তি বলে একটি বিন্দুতে ছেদকারী পারস্পরিক লম্ব অক্ষের একটি ত্রয়ীকে ঐতিহ্যগতভাবে বলা হয়। স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি সাধারণত X, Y, Z অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং যথাক্রমে অ্যাবসিসা অক্ষ, অর্ডিনেট অক্ষ এবং প্রয়োগ অক্ষ বলা হয়। দেকার্ত নিজে শুধুমাত্র একটি অক্ষ ব্যবহার করেছিলেন, যার উপর অ্যাবসিসাস প্লট করা হয়েছিল। ব্যবহারের যোগ্যতা সিস্টেমকুড়াল তার ছাত্রদের অন্তর্গত। অতএব বাক্যাংশ কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থাঐতিহাসিকভাবে ভুল। কথা বলা ভালো আয়তক্ষেত্রাকার তুল্য সিস্টেমবা অর্থোগোনাল সমন্বয় সিস্টেম. যাইহোক, আমরা ঐতিহ্য পরিবর্তন করব না এবং ভবিষ্যতে আমরা ধরে নেব যে কার্টেসিয়ান এবং আয়তক্ষেত্রাকার (অর্থোগোনাল) সমন্বয় ব্যবস্থা এক এবং অভিন্ন।

একক ভেক্টর, X অক্ষ বরাবর নির্দেশিত, চিহ্নিত করা হয় i, ইউনিট ভেক্টর, Y অক্ষ বরাবর নির্দেশিত, চিহ্নিত করা হয় j, এ ইউনিট ভেক্টর, Z অক্ষ বরাবর নির্দেশিত, চিহ্নিত করা হয় k. ভেক্টর i, j, kডাকল orts(চিত্র 12, বাম), তাদের একক মডিউল আছে, অর্থাৎ
i = 1, j = 1, k = 1।

অক্ষ এবং একক ভেক্টর আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেমকিছু ক্ষেত্রে তাদের বিভিন্ন নাম এবং উপাধি আছে। সুতরাং, অ্যাবসিসা অক্ষ X কে স্পর্শক অক্ষ বলা যেতে পারে এবং এর একক ভেক্টরকে চিহ্নিত করা হয় τ (গ্রীক ছোট অক্ষর টাউ), অর্ডিনেট অক্ষ হল সাধারণ অক্ষ, এর একক ভেক্টর চিহ্নিত করা হয় n, প্রযোজ্য অক্ষ হল দ্বি-সাধারণ অক্ষ, এর একক ভেক্টর চিহ্নিত করা হয় খ. সারমর্ম একই থাকলে নাম পরিবর্তন কেন?

আসল বিষয়টি হ'ল, উদাহরণস্বরূপ, মেকানিক্সে, দেহের গতিবিধি অধ্যয়ন করার সময়, আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। সুতরাং, যদি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা নিজেই স্থির হয়, এবং একটি চলমান বস্তুর স্থানাঙ্কের পরিবর্তন এই স্থির ব্যবস্থায় ট্র্যাক করা হয়, তাহলে সাধারণত অক্ষগুলিকে X, Y, Z, এবং তাদের মনোনীত করা হয় একক ভেক্টরযথাক্রমে i, j, k.

কিন্তু প্রায়শই, যখন একটি বস্তু কোনো ধরনের বক্ররেখার পথ ধরে চলে (উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তে), তখন এই বস্তুর সাথে চলমান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় যান্ত্রিক প্রক্রিয়া বিবেচনা করা আরও সুবিধাজনক। এটি এমন একটি চলমান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার জন্য যে অক্ষের অন্যান্য নাম এবং তাদের একক ভেক্টর ব্যবহার করা হয়। তার ঠিক উপায় এটা. এই ক্ষেত্রে, X অক্ষটি স্পর্শকভাবে ট্র্যাজেক্টোরির দিকে নির্দেশিত হয় যেখানে এই বস্তুটি বর্তমানে অবস্থিত। এবং তারপরে এই অক্ষটিকে আর X অক্ষ বলা হয় না, তবে স্পর্শক অক্ষ বলা হয় এবং এর একক ভেক্টর আর মনোনীত হয় না i, এ τ . Y অক্ষটি গতিপথের বক্রতার ব্যাসার্ধ বরাবর নির্দেশিত হয় (বৃত্তে গতির ক্ষেত্রে - বৃত্তের কেন্দ্রে)। এবং ব্যাসার্ধ যেহেতু স্পর্শকের সাথে লম্ব, তাই অক্ষটিকে সাধারণ অক্ষ বলা হয় (লম্ব এবং স্বাভাবিক একই জিনিস)। এই অক্ষের একক ভেক্টর আর চিহ্নিত করা হয় না j, এ n. তৃতীয় অক্ষ (পূর্বে Z) পূর্ববর্তী দুটির সাথে লম্ব। এটি একটি orth সঙ্গে একটি binormal খ(চিত্র 12, ডান)। উপায় দ্বারা, এই ক্ষেত্রে যেমন আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় সিস্টেমপ্রায়ই "প্রাকৃতিক" বা প্রাকৃতিক হিসাবে উল্লেখ করা হয়।