решение на неравенствотов режим онлайн решениепочти всяко дадено неравенство онлайн. Математически неравенства онлайнза решаване на математика. Намерете бързо решение на неравенствотов режим онлайн. Сайтът www.site ви позволява да намерите решениепочти всяко дадено алгебричен, тригонометриченили трансцендентно неравенство онлайн. Когато изучавате почти всеки раздел от математиката на различни етапи, човек трябва да реши неравенства онлайн. За да получите незабавен отговор и най-важното точен отговор, имате нужда от ресурс, който ви позволява да направите това. Благодарение на www.site решаване на неравенство онлайнще отнеме няколко минути. Основното предимство на www.site при решаване на математически неравенства онлайн- е бързината и точността на издадения отговор. Сайтът е в състояние да реши всеки алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенства онлайн, трансцендентални неравенства онлайн, както и неравенствас неизвестни параметри в режима онлайн. неравенстваслужат като мощен математически апарат решенияпрактически задачи. С помощ математически неравенствавъзможно е да се изразят факти и отношения, които на пръв поглед изглеждат объркващи и сложни. неизвестни количества неравенстваможе да се намери чрез формулиране на проблема в математическиезик във формата неравенстваи решиполучената задача в режим онлайнна уебсайта www.site. Всякакви алгебрично неравенство, тригонометрично неравенствоили неравенствасъдържащи трансценденталенви представя лесно решионлайн и получете правилния отговор. Изучавайки естествените науки, човек неизбежно се сблъсква с необходимостта решение на неравенства. В този случай отговорът трябва да е точен и да бъде получен веднага в режим онлайн. Следователно, за решаване на математически неравенства онлайнпрепоръчваме сайта www.site, който ще стане вашият незаменим калкулатор за решаване на алгебрични неравенства онлайн, тригонометрични неравенства онлайн, както и трансцендентални неравенства онлайнили неравенствас неизвестни параметри. За практически проблеми за намиране на intravol решения на различни математически неравенстваресурс www.. Решаване неравенства онлайнсами, е полезно да проверите получения отговор с помощта на онлайн решение на неравенствана уебсайта www.site. Необходимо е да запишете неравенството правилно и незабавно да получите онлайн решение, след което остава само да сравните отговора с вашето решение на неравенството. Проверката на отговора ще отнеме не повече от минута, достатъчно решаване на неравенство онлайни сравнете отговорите. Това ще ви помогне да избегнете грешки в решениеи коригирайте отговора навреме решаване на неравенства онлайндали алгебричен, тригонометричен, трансцендентенили неравенствос неизвестни параметри.
Една от темите, които изискват максимално внимание и постоянство от учениците, е решаването на неравенства. Толкова подобни на уравненията и в същото време много различни от тях. Защото тяхното решаване изисква специален подход.
Свойства, необходими за намиране на отговора
Всички те се използват за замяна на съществуващ запис с еквивалентен. Повечето от тях са подобни на това, което беше в уравненията. Но има и разлики.
- Функция, която е дефинирана в DPV, или произволно число, може да се добави към двете части на оригиналното неравенство.
- По същия начин умножението е възможно, но само с положителна функция или число.
- Ако това действие се извършва с отрицателна функция или число, тогава знакът за неравенство трябва да бъде обърнат.
- Функциите, които не са отрицателни, могат да бъдат повдигнати на положителна степен.
Понякога решаването на неравенства е придружено от действия, които дават странични отговори. Те трябва да бъдат елиминирани чрез сравняване на зоната на ODZ и набора от решения.
Използване на метода на разстоянието
Същността му е да сведе неравенството до уравнение, в което нулата е от дясната страна.
- Определете областта, в която се намират допустимите стойности на променливите, т.е. ODZ.
- Преобразувайте неравенството с помощта на математически операции, така че дясната му страна да е нула.
- Заменете знака за неравенство с "=" и решете съответното уравнение.
- На цифровата ос маркирайте всички отговори, получени по време на решението, както и интервалите на ODZ. В случай на строго неравенство, точките трябва да бъдат начертани с пробити точки. Ако има знак за равенство, тогава те трябва да бъдат боядисани.
- Определете знака на първоначалната функция на всеки интервал, произтичащ от точките на ODZ и отговорите, които го разделят. Ако знакът на функцията не се променя при преминаване през точка, тогава тя влиза в отговора. В противен случай е изключено.
- Граничните точки за ОДЗ трябва да се проверят допълнително и едва тогава да се включват или не в отговор.
- Полученият отговор трябва да бъде записан под формата на обединени множества.
Малко за двойните неравенства
Те използват два знака за неравенство в записа наведнъж. Тоест, някаква функция е ограничена от условия два пъти наведнъж. Такива неравенства се решават като система от две, когато първоначалното се разделя на части. А в метода на интервалите са посочени отговорите от решението на двете уравнения.
За разрешаването им също е допустимо да се използват свойствата, посочени по-горе. С тяхна помощ е удобно да се намали неравенството до нула.
Какво ще кажете за неравенствата, които имат модул?
В този случай решението на неравенствата използва следните свойства и те са валидни за положителна стойност на "a".
Ако "x" приема алгебричен израз, тогава следните замествания са валидни:
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > a на x< -a или х >а.
Ако неравенствата не са строги, тогава формулите също са верни, само че в тях освен знака за по-голямо или по-малко се появява "=".
Как се решава системата от неравенства?
Тези знания ще са необходими в случаите, когато се дава такава задача или има запис на двойно неравенство или в записа се появява модул. В такава ситуация решението ще бъде такива стойности на променливите, които биха задоволили всички неравенства в записа. Ако няма такива числа, системата няма решения.
Планът, според който се извършва решението на системата от неравенства:
- решавайте всеки от тях поотделно;
- изобразяват всички интервали върху числовата ос и определят техните пресечни точки;
- запишете отговора на системата, който ще бъде обединението на случилото се във втория параграф.
Какво ще кажете за дробните неравенства?
Тъй като по време на тяхното решение може да се наложи да промените знака на неравенството, е необходимо да следвате всички точки на плана много внимателно и внимателно. В противен случай може да получите обратния отговор.
Решаването на дробни неравенства също използва интервалния метод. И планът за действие ще бъде:
- Използвайки описаните свойства, придайте на дроба такава форма, че да остане само нула вдясно от знака.
- Заменете неравенството с "=" и определете точките, в които функцията ще бъде равна на нула.
- Маркирайте ги върху координатната ос. В този случай числата, получени от изчисленията в знаменателя, винаги ще бъдат изчертани. Всички останали се основават на условието за неравенство.
- Определете интервали на постоянство.
- В отговор запишете обединението на тези интервали, чийто знак съответства на този, който е бил в първоначалното неравенство.
Ситуации, когато ирационалността се проявява в неравенството
С други думи, в записа има математически корен. Тъй като повечето от задачите в училищния курс по алгебра са за квадратен корен, ще бъде разгледан именно той.
Решението на ирационалните неравенства се свежда до получаване на система от две или три, която ще бъде еквивалентна на оригиналната.
| Първоначално неравенство | състояние | еквивалентна система |
| √ n(x)< m(х) | m(x) е по-малко или равно на 0 | няма решения |
| m(x) е по-голямо от 0 | n(x) е по-голямо или равно на 0 n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) е по-голямо или равно на 0 n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) е по-голямо или равно на 0 m(x) е по-малко от 0 |
||
| √n(х) ≤ m(х) | m(x) е по-малко от 0 | няма решения |
| m(x) е по-голямо или равно на 0 | n(x) е по-голямо или равно на 0 n(х) ≤ (m(х)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) е по-голямо или равно на 0 n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) е по-голямо или равно на 0 m(x) е по-малко от 0 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) е по-голямо или равно на 0 n(x) е по-малко от m(x) |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) е по-голямо от 0 m(x) е по-малко от 0 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) е по-голямо от 0 m(x) е по-голямо от 0 |
|
| √n(х) * m(х) ≤ 0 | n(x) е по-голямо от 0 |
|
n(x) е 0 m(x) - произволно |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) е по-голямо от 0 |
|
n(x) е 0 m(x) - произволно |
Примери за решаване на различни видове неравенства
За да добавим яснота към теорията за решаване на неравенства, по-долу са дадени примери.
Първи пример. 2x - 4 > 1 + x
Решение: За да се определи DHS, трябва само да се погледне внимателно неравенството. Тя се формира от линейни функции, следователно е дефинирана за всички стойности на променливата.
Сега от двете страни на неравенството трябва да извадите (1 + x). Оказва се: 2x - 4 - (1 + x) > 0. След отваряне на скобите и задаване на подобни членове неравенството ще приеме следния вид: x - 5 > 0.
Приравнявайки го на нула, е лесно да се намери неговото решение: x = 5.
Сега тази точка с номер 5 трябва да бъде маркирана на координатния лъч. След това проверете знаците на оригиналната функция. На първия интервал от минус безкрайност до 5 можете да вземете числото 0 и да го замените в неравенството, получено след трансформациите. След изчисления се получава -7 >0. под дъгата на интервала трябва да подпишете знак минус.
На следващия интервал от 5 до безкрайност можете да изберете числото 6. Тогава се оказва, че 1 > 0. Знакът "+" е подписан под дъгата. Този втори интервал ще бъде отговорът на неравенството.
Отговор: x се намира в интервала (5; ∞).
Втори пример. Необходимо е да се реши система от две уравнения: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x - 2 ≤ 4x + 2.
Решение. ODZ на тези неравенства също лежи в областта на произволни числа, тъй като са дадени линейни функции.
Второто неравенство ще приеме формата на следното уравнение: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. След трансформация: -x - 4 =0. Той произвежда стойност за променливата, равна на -4.
Тези две числа трябва да бъдат маркирани на оста, показваща интервалите. Тъй като неравенството не е строго, всички точки трябва да бъдат защриховани. Първият интервал е от минус безкрайност до -4. Нека бъде избрано числото -5. Първото неравенство ще даде стойност -3, а второто 1. Така че този интервал не е включен в отговора.
Вторият интервал е от -4 до -2. Можете да изберете числото -3 и да го замените и в двете неравенства. И в първия, и във втория се получава стойност -1. И така, под дъгата "-".
В последния интервал от -2 до безкрайност нулата е най-доброто число. Трябва да го замените и да намерите стойностите на неравенствата. В първия от тях се получава положително число, а във втория нула. Този интервал също трябва да бъде изключен от отговора.
От трите интервала само един е решението на неравенството.
Отговор: x принадлежи на [-4; -2].
Трети пример. |1 - x| > 2 |x - 1|.
Решение. Първата стъпка е да се определят точките, в които функциите изчезват. За ляво това число ще бъде 2, за дясно - 1. Те трябва да бъдат маркирани върху гредата и да бъдат определени интервалите на постоянство.
На първия интервал, от минус безкрайност до 1, функцията от лявата страна на неравенството приема положителни стойности, а от дясната - отрицателни. Под дъгата трябва да напишете два знака „+“ и „-“ един до друг.
Следващият интервал е от 1 до 2. На него и двете функции приемат положителни стойности. И така, има два плюса под дъгата.
Третият интервал от 2 до безкрайност ще даде следния резултат: лявата функция е отрицателна, дясната е положителна.
Като се вземат предвид получените знаци, е необходимо да се изчислят стойностите на неравенството за всички интервали.
На първия се получава следното неравенство: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Минусът преди двете във второто неравенство се дължи на факта, че тази функция е отрицателна.
След трансформацията неравенството изглежда така: x > 0. То веднага дава стойностите на променливата. Тоест от този интервал в отговор ще отиде само интервалът от 0 до 1.
На втория: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Трансформациите ще дадат такова неравенство: -3x + 4 е по-голямо от нула. Неговата нула ще бъде стойността x = 4/3. Като се има предвид знакът за неравенство, се оказва, че x трябва да е по-малко от това число. Това означава, че този интервал намалява до интервала от 1 до 4/3.
Последното дава следния запис на неравенство: - (2 - x) > 2 (x - 1). Трансформацията му води до това: -x > 0. Тоест уравнението е вярно за x по-малко от нула. Това означава, че неравенството не дава решения на търсения интервал.
На първите два интервала граничното число беше 1. Трябва да се провери отделно. Тоест заместване в първоначалното неравенство. Оказва се: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Преброяването показва, че 1 е по-голямо от 0. Това е вярно твърдение, така че единица е включена в отговора.
Отговор: x се намира в интервала (0; 4/3).
Решаване на неравенства онлайн
Преди да решите неравенства, е необходимо да разберете добре как се решават уравненията.
Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).
Обяснете какво означава да се реши неравенство?
След като изучава уравненията, ученикът има следната картина в главата си: трябва да намерите такива стойности на променливата, за които и двете части на уравнението приемат еднакви стойности. С други думи, намерете всички точки, в които е валидно равенството. Всичко е точно!
Когато се говори за неравенства, те имат предвид намирането на интервалите (отсечките), на които е валидно неравенството. Ако има две променливи в неравенството, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области на равнината. Познайте какво ще бъде решението на неравенството с три променливи?
Как се решават неравенства?
Методът на интервалите (известен още като метод на интервалите) се счита за универсален начин за решаване на неравенства, който се състои в определяне на всички интервали, в рамките на които даденото неравенство ще бъде изпълнено.
Без да навлизаме в вида на неравенството, в този случай не е същността, необходимо е да се реши съответното уравнение и да се определят корените му, последвано от обозначаване на тези решения на цифровата ос.
Какъв е правилният начин за записване на решението на неравенство?
Когато сте определили интервалите за решаване на неравенството, трябва да напишете правилно самото решение. Има важен нюанс - включени ли са границите на интервалите в решението?
Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. В противен случай не.
Разглеждайки всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от неговите граници удовлетворява неравенството), или сегмент - интервал заедно с неговите граници.
Важен момент
Не си мислете, че само интервали, полуинтервали и отсечки могат да бъдат решение на неравенство. Не, отделни точки също могат да бъдат включени в решението.
Например неравенството |x|≤0 има само едно решение - точка 0.
И неравенството |x|
За какво е калкулаторът на неравенството?
Калкулаторът за неравенства дава правилния краен отговор. В този случай в повечето случаи се дава илюстрация на цифрова ос или равнина. Можете да видите дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват запълнени или пробити.
Благодарение на онлайн калкулатора за неравенство можете да проверите дали сте намерили правилно корените на уравнението, маркирали сте ги на числовата ос и сте проверили условията за неравенство на интервалите (и границите)?
Ако вашият отговор се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите повторно решението си и да идентифицирате допуснатата грешка.
Днес, приятели, няма да има сополи и сантименти. Вместо това ще ви изпратя в битка с един от най-страшните противници в курса по алгебра за 8-9 клас без допълнителни въпроси.
Да, разбрахте всичко правилно: говорим за неравенства с модул. Ще разгледаме четири основни техники, с които ще се научите да решавате около 90% от тези проблеми. Ами останалите 10%? Е, ще говорим за тях в отделен урок. :)
Въпреки това, преди да анализирам трикове там, бих искал да припомня два факта, които вече трябва да знаете. В противен случай рискувате изобщо да не разберете материала от днешния урок.
Това, което вече трябва да знаете
Captain Evidence, така да се каже, намеква, че за да решавате неравенства с модул, трябва да знаете две неща:
- Как се решават неравенствата?
- Какво е модул.
Да започнем с втората точка.
Дефиниция на модула
Тук всичко е просто. Има две дефиниции: алгебрична и графична. Да започнем с алгебрата:
Определение. Модулът на числото $x$ е или самото число, ако е неотрицателно, или противоположното му число, ако първоначалният $x$ все още е отрицателен.
Написано е така:
\[\ляво| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
С прости думи, модулът е „число без минус“. И именно в тази двойственост (някъде не е нужно да правите нищо с оригиналния номер, но някъде трябва да премахнете някакъв минус там) и цялата трудност за начинаещите ученици се крие.
Има и геометрична дефиниция. Също така е полезно да го знаете, но ще се позоваваме на него само в сложни и някои специални случаи, където геометричният подход е по-удобен от алгебричния (спойлер: не днес).
Определение. Нека точката $a$ е отбелязана на реалната права. След това модулът $\left| x-a \right|$ е разстоянието от точката $x$ до точката $a$ на тази права.
Ако нарисувате картина, ще получите нещо подобно:
Дефиниране на графичен модул По един или друг начин, ключовото му свойство веднага следва от дефиницията на модула: модулът на числото винаги е неотрицателна стойност. Този факт ще бъде червена нишка през цялата ни история днес.
Решение на неравенства. Метод на разстоянието
Сега нека се заемем с неравенствата. Има много от тях, но нашата задача сега е да можем да решим поне най-простия от тях. Тези, които се свеждат до линейни неравенства, както и до метода на интервалите.
Имам два големи урока по тази тема (между другото, много, МНОГО полезни - препоръчвам изучаване):
- Интервалният метод за неравенства (особено гледайте видеото);
- Дробно-рационални неравенства е много обемен урок, но след него изобщо няма да ви останат въпроси.
Ако знаете всичко това, ако фразата „да преминем от неравенство към уравнение“ не ви кара смътно да искате да се убиете в стената, значи сте готови: добре дошли в ада в основната тема на урока. :)
1. Неравенства от формата "Модул по-малък от функция"
Това е една от най-често срещаните задачи с модули. Необходимо е да се реши неравенство от вида:
\[\ляво| f\надясно| \ltg\]
Всичко може да действа като функции $f$ и $g$, но обикновено те са полиноми. Примери за такива неравенства:
\[\begin(align) & \left| 2x+3\надясно| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\край (подравняване)\]
Всички те се решават буквално в един ред според схемата:
\[\ляво| f\надясно| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \право.\право)\]
Лесно се вижда, че се отърваваме от модула, но вместо това получаваме двойно неравенство (или, което е същото, система от две неравенства). Но този преход отчита абсолютно всички възможни проблеми: ако числото под модула е положително, методът работи; ако е отрицателен, той все още работи; и дори с най-неадекватната функция на мястото на $f$ или $g$, методът пак ще работи.
Естествено възниква въпросът: не е ли по-лесно? За съжаление не можете. Това е целият смисъл на модула.
Но стига с философстването. Нека разрешим няколко проблема:
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| 2x+3\надясно| \ltx+7\]
Решение. И така, имаме класическо неравенство от формата „модулът е по-малък от“ - дори няма какво да се трансформира. Ние работим по алгоритъма:
\[\begin(align) & \left| f\надясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\надясно| \lt x+7\Стрелка надясно -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Не бързайте да отваряте скобите, предшествани от „минус“: напълно възможно е поради бързината да направите обидна грешка.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Задачата е сведена до две елементарни неравенства. Отбелязваме техните решения на успоредни реални прави:
Пресечна точка на много
Пресечната точка на тези множества ще бъде отговорът.
Отговор: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Решение. Тази задача е малко по-трудна. Като начало изолираме модула, като преместим втория член вдясно:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\наляво(x+1 \надясно)\]
Очевидно отново имаме неравенство от формата „модулът е по-малък“, така че се отърваваме от модула според вече известния алгоритъм:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Сега внимание: някой ще каже, че съм малко перверзник с всички тези скоби. Но още веднъж напомням, че основната ни цел е решете правилно неравенството и получете отговора. По-късно, когато сте усвоили перфектно всичко, което е описано в този урок, можете да се изопачавате както искате: отваряйте скоби, добавяйте минуси и т.н.
И като за начало, просто се отърваваме от двойното минус отляво:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ляво(x+1\дясно)\]
Сега нека отворим всички скоби в двойното неравенство:
Да преминем към двойното неравенство. Този път изчисленията ще бъдат по-сериозни:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( подравняване)\надясно.\]
И двете неравенства са квадратни и се решават по интервалния метод (затова казвам: ако не знаете какво е, по-добре още не се захващайте с модули). Преминаваме към уравнението в първото неравенство:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\край (подравняване)\]
Както можете да видите, резултатът се оказа непълно квадратно уравнение, което се решава елементарно. Сега да разгледаме второто неравенство на системата. Там трябва да приложите теоремата на Виета:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\край (подравняване)\]
Отбелязваме получените числа на две успоредни линии (отделно за първото неравенство и отделно за второто):
Отново, тъй като решаваме система от неравенства, ние се интересуваме от пресечната точка на защрихованите множества: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Това е отговорът.
Отговор: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Мисля, че след тези примери схемата за решение е много ясна:
- Изолирайте модула, като преместите всички други членове в противоположната страна на неравенството. Така получаваме неравенство от вида $\left| f\надясно| \ltg$.
- Решете това неравенство, като се отървете от модула, както е описано по-горе. В един момент ще е необходимо да се премине от двойно неравенство към система от два независими израза, всеки от които вече може да бъде решен отделно.
- Накрая остава само да пресечем решенията на тези два независими израза - и това е, ще получим окончателния отговор.
Подобен алгоритъм съществува за неравенства от следния тип, когато модулът е по-голям от функцията. Има обаче няколко сериозни "но". За тези „но“ ще говорим сега.
2. Неравенства от формата "Модулът е по-голям от функцията"
Те изглеждат така:
\[\ляво| f\надясно| \gt g\]
Подобен на предишния? Изглежда. Въпреки това, такива задачи се решават по съвсем различен начин. Формално схемата е следната:
\[\ляво| f\надясно| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
С други думи, разглеждаме два случая:
- Първо, просто игнорираме модула - решаваме обичайното неравенство;
- Тогава всъщност отваряме модула със знака минус и след това умножаваме двете части на неравенството по −1 със знак.
В този случай опциите се комбинират с квадратна скоба, т.е. Имаме комбинация от две изисквания.
Обърнете внимание отново: пред нас не е система, а агрегат, следователно в отговора множествата се комбинират, а не се пресичат. Това е фундаментална разлика от предишния параграф!
Като цяло, много студенти имат много объркване със съюзите и пресичанията, така че нека разгледаме този въпрос веднъж завинаги:
- "∪" е знак за конкатенация. Всъщност това е стилизирана буква "U", която дойде при нас от английския език и е съкращение за "Union", т.е. „Асоциации“.
- „∩“ е знакът за пресичане. Тези глупости не са дошли от никъде, а просто се появяват като опозиция на "∪".
За да го направите още по-лесно за запомняне, просто добавете крака към тези знаци, за да направите очила (само не ме обвинявайте сега, че насърчавам наркоманията и алкохолизма: ако изучавате сериозно този урок, значи вече сте наркоман):
Разлика между пресичане и обединение на множества Преведено на руски това означава следното: съюзът (колекцията) включва елементи от двата набора, следователно не по-малко от всеки от тях; но пресечната точка (системата) включва само тези елементи, които са както в първото множество, така и във второто. Следователно пресечната точка на наборите никога не е по-голяма от наборите източник.
Значи стана по-ясно? Това е страхотно. Да преминем към практиката.
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| 3x+1 \надясно| \gt 5-4x\]
Решение. Ние действаме по схемата:
\[\ляво| 3x+1 \надясно| \gt 5-4x\дясна стрелка \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ точно.\]
Решаваме всяко неравенство на населението:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Маркираме всеки получен набор на числовата линия и след това ги комбинираме:
Обединение на комплекти
Очевидно отговорът е $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Отговор: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]
Решение. Добре? Не, всичко е едно и също. Преминаваме от неравенство с модул към набор от две неравенства:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]
Решаваме всяко неравенство. За съжаление, корените няма да са много добри там:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\край (подравняване)\]
Във второто неравенство също има малко игра:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\край (подравняване)\]
Сега трябва да отбележим тези числа на две оси - по една ос за всяко неравенство. Трябва обаче да маркирате точките в правилния ред: колкото по-голямо е числото, толкова повече се измества точката надясно.
И тук чакаме настройка. Ако всичко е ясно с числата $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (членовете в числителя на първия част са по-малки от членовете в числителя на секундата, така че сумата също е по-малка), с числата $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ също няма да има трудности (положително число очевидно е по-отрицателно), но с последната двойка всичко не е толкова просто. Кое е по-голямо: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ или $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? От отговора на този въпрос ще зависи разположението на точките на числовите прави и всъщност отговорът.
Така че нека сравним:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Изолирахме корена, получихме неотрицателни числа от двете страни на неравенството, така че имаме право да поставим на квадрат и двете страни:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Мисля, че е безсмислено, че $4\sqrt(13) \gt 3$, така че $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, накрая точките на осите ще бъдат подредени по следния начин:
Случай на грозни корени
Нека ви напомня, че решаваме множество, така че отговорът ще бъде обединението, а не пресечната точка на защрихованите множества.
Отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$
Както можете да видите, нашата схема работи чудесно както за прости задачи, така и за много трудни. Единственото „слабо място“ в този подход е, че трябва правилно да сравнявате ирационални числа (и повярвайте ми: това не са само корени). Но отделен (и много сериозен урок) ще бъде посветен на въпросите на сравнението. И продължаваме напред.
3. Неравенства с неотрицателни "опашки"
Така стигнахме до най-интересното. Това са неравенства от вида:
\[\ляво| f\надясно| \gt\наляво| g\надясно|\]
Най-общо казано, алгоритъмът, за който ще говорим сега, е верен само за модула. Работи във всички неравенства, където има гарантирани неотрицателни изрази отляво и отдясно:
Какво да правим с тези задачи? Просто запомни:
В неравенства с неотрицателни опашки и двете страни могат да бъдат повдигнати на всяка естествена степен. Няма да има допълнителни ограничения.
На първо място, ще се интересуваме от квадратурата - тя изгаря модули и корени:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\край (подравняване)\]
Просто не бъркайте това с вземане на корен на квадрат:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Безброй грешки бяха направени, когато ученик забрави да инсталира модул! Но това е съвсем различна история (това са, така да се каже, ирационални уравнения), така че няма да навлизаме в нея сега. Нека по-добре да разрешим няколко проблема:
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Решение. Веднага забелязваме две неща:
- Това е нестрого неравенство. Точките на числовата ос ще бъдат изчертани.
- И двете страни на неравенството очевидно са неотрицателни (това е свойство на модула: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Следователно можем да повдигнем на квадрат двете страни на неравенството, за да се отървем от модула и да решим проблема, използвайки обичайния метод на интервала:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]
На последната стъпка изневерих малко: промених последователността от членове, използвайки четността на модула (всъщност умножих израза $1-2x$ по −1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ дясно)\дясно)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Решаваме по интервалния метод. Нека преминем от неравенство към уравнение:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]
Отбелязваме намерените корени на числовата ос. Още веднъж: всички точки са защриховани, защото първоначалното неравенство не е строго!
Отървете се от знака на модула
Нека ви напомня за особено упоритите: вземаме знаците от последното неравенство, което беше написано преди да преминем към уравнението. И рисуваме върху площите, изисквани в същото неравенство. В нашия случай това е $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Добре, всичко свърши. Проблема решен.
Отговор: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Решение. Правим всичко по същия начин. Няма да коментирам - просто вижте последователността на действията.
Нека го повдигнем на квадрат:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \десен))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ надясно))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Метод на разстояние:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Стрелка надясно x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Стрелка надясно D=16-40 \lt 0\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
На числовата ос има само един корен:
Отговорът е цяла гама
Отговор: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Малка забележка за последната задача. Както един от моите ученици точно отбеляза, и двата подмодулни израза в това неравенство са очевидно положителни, така че знакът за модул може да бъде пропуснат без вреда за здравето.
Но това вече е съвсем друго ниво на мислене и друг подход – условно може да се нарече метод на следствията. За него - в отделен урок. А сега нека да преминем към последната част на днешния урок и да разгледаме един универсален алгоритъм, който винаги работи. Дори когато всички предишни подходи бяха безсилни. :)
4. Метод на изброяване на опциите
Ами ако всички тези трикове не работят? Ако неравенството не се свежда до неотрицателни опашки, ако е невъзможно да се изолира модулът, ако изобщо болка-тъга-копнеж?
Тогава на сцената излиза "тежката артилерия" на цялата математика - методът на изброяването. По отношение на неравенствата с модула изглежда така:
- Изпишете всички подмодулни изрази и ги приравнете към нула;
- Решете получените уравнения и отбележете намерените корени на една числова ос;
- Правата линия ще бъде разделена на няколко секции, в рамките на които всеки модул има фиксиран знак и следователно недвусмислено се разширява;
- Решете неравенството на всеки такъв участък (можете отделно да разгледате граничните корени, получени в параграф 2 - за надеждност). Комбинирайте резултатите - това ще бъде отговорът. :)
Е, как? слаб? Лесно! Само за дълго време. Да видим на практика:
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| x+2 \надясно| \lt\наляво| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Решение. Тези глупости не се свеждат до неравенства като $\left| f\надясно| \lt g$, $\left| f\надясно| \gt g$ или $\left| f\надясно| \lt\наляво| g \right|$, така че да продължим.
Изписваме подмодулни изрази, приравняваме ги към нула и намираме корените:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Стрелка надясно x=1. \\\край (подравняване)\]
Общо имаме два корена, които разделят числовата линия на три секции, вътре в които всеки модул се разкрива уникално:
Разделяне на числовата ос с нули на субмодулни функции
Нека разгледаме всеки раздел поотделно.
1. Нека $x \lt -2$. Тогава и двата израза на подмодула са отрицателни и оригиналното неравенство се пренаписва, както следва:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]
Имаме доста просто ограничение. Нека го пресечем с първоначалното предположение, че $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Очевидно променливата $x$ не може едновременно да бъде по-малка от −2, но по-голяма от 1,5. В тази област няма решения.
1.1. Нека отделно разгледаме граничния случай: $x=-2$. Нека просто заместим това число в първоначалното неравенство и да проверим: важи ли?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
Очевидно веригата от изчисления ни е довела до грешното неравенство. Следователно първоначалното неравенство също е невярно и $x=-2$ не е включено в отговора.
2. Сега нека $-2 \lt x \lt 1$. Левият модул вече ще се отвори с "плюс", но десният все още е с "минус". Ние имаме:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\край (подравняване)\]
Отново се пресичаме с първоначалното изискване:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
И отново празното множество от решения, тъй като няма числа, които да са едновременно по-малки от −2,5 и по-големи от −2.
2.1. И отново специален случай: $x=1$. Заменяме в първоначалното неравенство:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\надясно| \lt\наляво| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
Подобно на предишния „специален случай“, числото $x=1$ очевидно не е включено в отговора.
3. Последната част от реда: $x \gt 1$. Тук всички модули са разширени със знак плюс:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
И отново пресичаме намереното множество с оригиналното ограничение:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \вдясно)\]
Най-накрая! Намерихме интервала, който ще бъде отговорът.
Отговор: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
И накрая, една бележка, която може да ви спаси от глупави грешки при решаването на реални проблеми:
Решенията на неравенства с модули обикновено са непрекъснати множества на числовата ос - интервали и отсечки. Изолираните точки са много по-редки. И още по-рядко се случва границите на решението (края на сегмента) да съвпадат с границата на разглеждания диапазон.
Следователно, ако границите (тези много „специални случаи“) не са включени в отговора, тогава областите отляво-вдясно на тези граници почти сигурно също няма да бъдат включени в отговора. И обратното: границата, въведена в отговор, което означава, че някои области около нея също ще бъдат отговори.
Имайте това предвид, когато проверявате вашите решения.
