Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Производната на натурален логаритъм от x е равна на единица, разделена на x:
(1)
(lnx)′ =.
Производната на логаритъма при основа a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по натурален логаритъм от a:
(2)
(log x)′ =.
Доказателство
Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Да разгледаме функция, която зависи от променливата x, която е основен логаритъм:
.
Тази функция е дефинирана с . Нека намерим неговата производна по отношение на x. По дефиниция производната е следната граница:
(3)
.
Нека трансформираме този израз, за да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
НО)Свойства на логаритъма. Имаме нужда от следните формули:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
б)Непрекъснатост на логаритъма и свойство на границите за непрекъсната функция:
(7)
.
Тук има функция, която има граница и тази граница е положителна.
AT)Значението на втората прекрасна граница:
(8)
.
Ние прилагаме тези факти до нашите граници. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме свойства (4) и (5).
.
Използваме свойство (7) и втората забележителна граница (8):
.
И накрая, приложете свойство (6):
.
основен логаритъм дНаречен натурален логаритъм. Маркира се така:
.
Тогава ;
.
Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.
Производна на натурален логаритъм
Още веднъж записваме формулата за производната на логаритъма по основа a:
.
Тази формула има най-простата форма за натурален логаритъм, за който , . Тогава
(1)
.
Поради тази простота натуралният логаритъм се използва много широко в смятането и други области на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други основи могат да бъдат изразени чрез натурален логаритъм, като се използва свойство (6):
.
Основната производна на логаритъма може да се намери от формула (1), ако константата се извади от знака за диференциация:
.
Други начини за доказване на производната на логаритъма
Тук приемаме, че знаем формулата за производната на експонентата:
(9)
.
След това можем да изведем формулата за производната на натуралния логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратен на експонентата.
Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Обратният на естествения логаритъм е експонентата:
.
Неговата производна се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с произволна буква. Във формула (9) заменяме променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.
Сега доказваме формулата за производната на натуралния логаритъм, използвайки правила за диференциране на сложна функция. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Диференцирайте това уравнение по отношение на променливата x:
(10)
.
Производната на x е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
.
Тук . Заместете в (10):
.
Оттук
.
Пример
Намерете производни на В 2 пъти, В 3 пътии в nx.
Решение
Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx. След това заместваме n = 2 и n = 3 . И по този начин получаваме формули за производни на В 2 пътии В 3 пъти .
И така, търсим производната на функцията
y = log nx
.
Нека представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1)
Функции, зависими от променливи: ;
2)
Функции, зависими от променливи: .
Тогава оригиналната функция е съставена от функциите и :
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция.
.
Тук сме заменили.
Така открихме:
(11)
.
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако преобразуваме оригиналната функция, използвайки формулата на логаритъма на продукта:
.
- е константа. Производната му е нула. Тогава, съгласно правилото за диференциране на сумата, имаме:
.
Отговор
; ; .
Производна на логаритъм по модул x
Нека намерим производната на друга много важна функция - натурален логаритъм на модула x:
(12)
.
Да разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.
Неговата производна се определя по формула (1):
.
Сега разгледайте случая. Тогава функцията изглежда така:
,
където .
Но също така намерихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.
Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.
Съответно, за логаритъм при основа a, имаме:
.
Производни от по-висок порядък на естествения логаритъм
Помислете за функцията
.
Открихме неговата производна от първи ред:
(13)
.
Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от трети ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.
Вижда се, че производната от n-ти ред има формата:
(14)
.
Нека докажем това чрез математическа индукция.
Доказателство
Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава за n = 1
, формула (14) е валидна.
Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k. Нека докажем, че от това следва, че формулата е валидна за n = k + 1 .
Наистина, за n = k имаме:
.
Разграничете по отношение на x:
.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1
. Така от предположението, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1
.
Следователно формула (14) за производна от n-ти ред е валидна за всяко n.
Производни от по-висок порядък на логаритъма по основа а
За да намерите n-тата производна на основния логаритъм a, трябва да го изразите чрез натурален логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-тата производна:
.
Смятате ли, че има още много време до изпита? Месец ли е? две? Година? Практиката показва, че студентът се справя най-добре с изпита, ако започне да се подготвя за него предварително. В Единния държавен изпит има много трудни задачи, които пречат на студент и бъдещ кандидат да получи най-високите резултати. Тези препятствия трябва да се научат да преодоляват, освен това не е трудно да се направи това. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билети. Тогава няма да има проблеми с новите.
Логаритмите на пръв поглед изглеждат невероятно сложни, но при по-внимателен анализ ситуацията става много по-проста. Ако искате да издържите изпита с най-висок резултат, трябва да разберете въпросната концепция, което предлагаме да направите в тази статия.
Първо, нека разделим тези определения. Какво е логаритъм (log)? Това е индикатор за мощността, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи определеното число. Ако не е ясно, ще анализираме елементарен пример.
В този случай основата отдолу трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи числото 4.
Сега нека се заемем с втората концепция. Производната на функция във всякаква форма се нарича понятие, което характеризира промяната на функция в дадена точка. Това обаче е училищна програма и ако имате проблеми с тези понятия поотделно, струва си да повторите темата.
Производна на логаритъма
В заданията на USE по тази тема могат да се цитират няколко задачи като пример. Нека започнем с най-простата логаритмична производна. Трябва да намерим производната на следната функция.
Трябва да намерим следващата производна
Има специална формула.
В този случай x=u, log3x=v. Заместете стойностите от нашата функция във формулата.
Производната на х ще бъде равна на едно. Логаритъмът е малко по-труден. Но ще разберете принципа, ако просто замените стойностите. Припомнете си, че производната на lg x е производната на десетичния логаритъм, а производната на ln x е производната на натуралния логаритъм (на базата на e).
Сега просто заменете получените стойности във формулата. Опитайте сами, след което проверете отговора.
Какъв може да е проблемът тук за някои? Въведохме понятието натурален логаритъм. Нека поговорим за това и в същото време да разберем как да разрешим проблемите с него. Няма да видите нищо сложно, особено когато разберете принципа на неговото действие. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (особено във висшите учебни заведения).
Производна на натурален логаритъм
В основата си това е производната на логаритъма при основа e (това е ирационално число, което се равнява приблизително на 2,7). Всъщност ln е много проста, поради което често се използва в математиката като цяло. Всъщност решаването на проблема с него също няма да е проблем. Струва си да запомните, че производната на естествения логаритъм при основа e ще бъде равна на единица, разделена на x. Най-показателно ще бъде решението на следния пример.
Представете си го като сложна функция, състояща се от две прости.
достатъчно за трансформация
Търсим производната на u по отношение на x
При диференциране на експоненциална степенна функция или тромави дробни изрази е удобно да се използва логаритмична производна. В тази статия ще разгледаме примери за неговото приложение с подробни решения.
По-нататъшното представяне предполага умение да се използва таблицата с производни, правилата за диференциране и познаване на формулата за производна на сложна функция.
Извеждане на формулата за логаритмична производна.
Първо вземаме логаритъм при основа e, опростяваме формата на функцията, използвайки свойствата на логаритъма и след това намираме производната на неявно дадената функция: 
Например, нека намерим производната на експоненциалната степенна функция x на степен x.
Логаритъмът дава . Според свойствата на логаритъма. Диференцирането на двете части на равенството води до резултата: 
Отговор: 
.
Същият пример може да бъде решен без използване на логаритмична производна. Можете да направите някои трансформации и да преминете от диференциране на експоненциална степенна функция до намиране на производната на сложна функция: 
Пример.
Намерете производната на функция 
.
Решение.
В този пример функцията 
е дроб и нейната производна може да се намери с помощта на правилата за диференциране. Но поради тромавия израз това ще изисква много трансформации. В такива случаи е по-разумно да се използва формулата за логаритмична производна 
. Защо? Сега ще разбереш.
Нека първо го намерим. При трансформациите ще използваме свойствата на логаритъма (логаритъмът на дроб е равен на разликата на логаритмите, а логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите и степента на израза под знакът на логаритъма също може да бъде изваден като коефициент пред логаритъма): 
Тези трансформации ни доведоха до един доста прост израз, чиято производна е лесна за намиране: 
Заместваме получения резултат във формулата за логаритмична производна и получаваме отговора:
За да консолидираме материала, даваме още няколко примера без подробни обяснения.
Пример.
Намерете производната на експоненциална степенна функция 
