Събитията, които се случват в реалността или в нашето въображение, могат да бъдат разделени на 3 групи. Това са определени събития, които непременно ще се случат, невъзможни събития и случайни събития. Теорията на вероятностите изучава случайни събития, т.е. събития, които могат или не могат да се случат. Тази статия ще представи накратко теорията на вероятностните формули и примери за решаване на проблеми в теорията на вероятностите, които ще бъдат в 4-та задача на Единния държавен изпит по математика (ниво на профил).
Защо се нуждаем от теорията на вероятностите
В исторически план необходимостта от изследване на тези проблеми възниква през 17 век във връзка с развитието и професионализирането на хазарта и появата на казината. Това беше истински феномен, който изискваше своето изучаване и изследване.
Карти за игра, зарове, рулетка създават ситуации, в които всяко от краен брой еднакво вероятни събития може да се случи. Имаше нужда да се дадат числени оценки на възможността за настъпване на събитие.
През 20 век става ясно, че тази на пръв поглед несериозна наука играе важна роля в разбирането на фундаменталните процеси, протичащи в микрокосмоса. Създадена е съвременната теория на вероятностите.
Основни понятия на теорията на вероятностите
Обект на изследване на теорията на вероятностите са събитията и техните вероятности. Ако събитието е сложно, тогава то може да бъде разделено на прости компоненти, вероятностите за които са лесни за намиране.
Сумата от събития A и B се нарича събитие C, което се състои в това, че или събитие A, или събитие B, или събития A и B са се случили по едно и също време.
Продуктът на събития A и B е събитие C, което се състои в това, че се случват както събитието A, така и събитието B.
Събития A и B се наричат несъвместими, ако не могат да се случат по едно и също време.
Казва се, че събитие А е невъзможно, ако не може да се случи. Такова събитие се обозначава със символа.
Събитие А се нарича сигурно, ако определено ще се случи. Такова събитие се обозначава със символа.
Нека на всяко събитие A се присвои номер P(A). Това число P(A) се нарича вероятност на събитието A, ако следните условия са изпълнени с такова съответствие.
Важен специален случай е ситуацията, когато има еднакво вероятни елементарни резултати и произволни от тези резултати формират събития А. В този случай вероятността може да бъде въведена чрез формулата . Въведената по този начин вероятност се нарича класическа вероятност. Може да се докаже, че в този случай са валидни свойства 1-4.
Задачите по теория на вероятностите, които се срещат на изпита по математика, са свързани предимно с класическата вероятност. Такива задачи могат да бъдат много прости. Особено прости са проблемите в теорията на вероятностите в демонстрационни версии. Лесно е да се изчисли броят на благоприятните резултати, броят на всички резултати се записва директно в условието.
Получаваме отговора по формулата.
Примерна задача от изпита по математика за определяне на вероятността
На масата има 20 пити - 5 със зеле, 7 с ябълки и 8 с ориз. Марина иска да вземе пай. Каква е вероятността тя да вземе оризова торта?
Решение.
Има общо 20 равновероятни елементарни изхода, тоест Марина може да вземе всяка от 20-те пая. Но трябва да оценим вероятността Марина да вземе оризова баница, т.е. където А е изборът на оризова баница. Това означава, че имаме общо 8 благоприятни изхода (избор на оризовки), тогава вероятността ще се определя по формулата:
Независими, противоположни и произволни събития
Въпреки това в отворената банка от задачи започнаха да се появяват по-сложни задачи. Затова нека насочим вниманието на читателя към други въпроси, изучавани в теорията на вероятностите.
Събития A и B се наричат независими, ако вероятността за всяко от тях не зависи от това дали другото събитие се е случило.
Събитие Б се състои в това, че събитие А не е настъпило, т.е. събитие B е противоположно на събитие A. Вероятността за противоположното събитие е равна на едно минус вероятността за директното събитие, т.е. .
Теореми за събиране и умножение, формули
За произволни събития A и B вероятността от сумата от тези събития е равна на сумата от техните вероятности без вероятността от съвместното им събитие, т.е. .
За независими събития A и B вероятността от произведението на тези събития е равна на произведението от техните вероятности, т.е. в такъв случай .
Последните 2 твърдения се наричат теореми за събиране и умножение на вероятности.
Не винаги преброяването на броя на резултатите е толкова просто. В някои случаи е необходимо да се използват комбинаторни формули. Най-важното е да преброите броя на събитията, които отговарят на определени условия. Понякога такива изчисления могат да се превърнат в независими задачи.
По колко начина могат да се настанят 6 ученика на 6 празни места? Първият ученик ще заеме някое от 6-те места. Всяка от тези опции отговаря на 5 начина за поставяне на втория ученик. За трети ученик има 4 свободни места, за четвърти - 3, за пети - 2, шестият ще заеме единственото останало място. За да намерите броя на всички опции, трябва да намерите продукта, който е означен със символа 6! и се чете "шест факториел".
В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на пермутациите на n елемента.В нашия случай .
Помислете сега за друг случай с нашите студенти. По колко начина могат да се настанят 2 ученика на 6 празни места? Първият ученик ще заеме някое от 6-те места. Всяка от тези опции отговаря на 5 начина за поставяне на втория ученик. За да намерите броя на всички опции, трябва да намерите продукта.
В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на поставянията на n елемента по k елемента
В нашия случай.
И последният от тази поредица. Колко начина има да изберете 3 ученика от 6? Първият ученик може да бъде избран по 6 начина, вторият по 5 начина, а третият по 4 начина. Но сред тези опции същите трима ученика се срещат 6 пъти. За да намерите броя на всички опции, трябва да изчислите стойността: . В общия случай отговорът на този въпрос се дава от формулата за броя на комбинациите от елементи по елементи:
В нашия случай.
Примери за решаване на задачи от изпита по математика за определяне на вероятността
Задача 1. От сборника, изд. Ященко.
В чинията има 30 пая: 3 с месо, 18 със зеле и 9 с череши. Саша произволно избира един пай. Намерете вероятността той да се окаже с череша.
.
Отговор: 0,3.
Задача 2. От сборника, изд. Ященко.
Във всяка партида от 1000 крушки, средно по 20 дефектни. Намерете вероятността електрическа крушка, избрана произволно от партида, да е добра.
Решение: Броят на изправните крушки е 1000-20=980. Тогава вероятността електрическа крушка, взета на случаен принцип от партидата, да бъде използваема е:
Отговор: 0,98.
Вероятността ученикът У. да реши правилно повече от 9 задачи на тест по математика е 0,67. Вероятността U. да реши правилно повече от 8 задачи е 0,73. Намерете вероятността U. да реши правилно точно 9 задачи.
Ако си представим числова права и отбележим на нея точки 8 и 9, ще видим, че условието „U. реши правилно точно 9 задачи” е включено в условието „U. решава правилно повече от 8 задачи“, но не се отнася за условието „W. правилно решава повече от 9 задачи.
Въпреки това условието „У. реши правилно повече от 9 задачи“ се съдържа в условието „У. правилно решаване на повече от 8 задачи. Така, ако обозначим събития: „W. правилно реши точно 9 задачи“ – през А, „У. правилно решаване на повече от 8 задачи“ – през Б, „У. правилно решаване на повече от 9 проблема ”чрез C. Тогава решението ще изглежда така:
Отговор: 0,06.
На изпита по геометрия студентът отговаря на един въпрос от списъка с изпитни въпроси. Вероятността това да е тригонометричен въпрос е 0,2. Вероятността това да е въпрос за външни ъгли е 0,15. Няма въпроси, свързани с тези две теми едновременно. Намерете вероятността студентът да получи въпрос по една от тези две теми на изпита.
Нека помислим какви събития имаме. Дадени са ни две несъвместими събития. Тоест, или въпросът ще се отнася до темата "Тригонометрия", или до темата "Външни ъгли". Според теоремата за вероятността, вероятността от несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за всяко събитие, трябва да намерим сумата от вероятностите за тези събития, тоест:
Отговор: 0,35.
Стаята се осветява от фенер с три лампи. Вероятността една лампа да изгори за една година е 0,29. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори в рамките на една година.
Нека разгледаме възможните събития. Имаме три електрически крушки, всяка от които може или не може да изгори независимо от всяка друга крушка. Това са независими събития.
След това ще посочим вариантите на такива събития. Приемаме обозначението: - крушката свети, - крушката е изгоряла. И веднага след това изчисляваме вероятността за събитие. Например, вероятността от събитие, при което са настъпили три независими събития „крушката е изгоряла“, „крушката свети“, „крушката свети“: .
Имайте предвид, че благоприятните за нас несъвместими събития са само 7. Вероятността за такива събития е равна на сбора от вероятностите за всяко от събитията: .
Отговор: 0,975608.
Можете да видите друг проблем на снимката:
Така вие и аз разбрахме какво е теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, които можете да срещнете във версията на изпита.
По принцип съм много слаб в такива задачи, затова се опитах да намеря отговор в интернет, но се оказа, че всеки на различни места има различни отговори. Нека се опитаме да разберем кой е правилният. Ето го и самия проблем:
Този необичаен въпрос измисли математикът Реймънд Джонсън:
Ако изберете произволен отговор, каква е вероятността той да е правилен?
а) 25%
б) 50%
в) 60%
г) 25%
Ето някои обяснения и отговори, достъпни в интернет:
Възможност за отговор - 0%
Верният отговор е 0%, т.е. не се предлага сред резултатите.
Обясняваме: възможният брой верни отговори е от 0 до 4, което означава, че вероятността за случаен избор на правилния трябва да бъде 0, 25, 50, 75 или 100%. Това автоматично изключва опция в) (не може да има 60% вероятност).
Освен това, тъй като а) и г) са едни и същи, и двете са верни или неверни.
И така, имаме 4 взаимно изключващи се отговора:
1: а), б) и г) са верни отговори.
2: а) и г) са верни отговори.
3: b) е верният отговор.
4: Няма верен отговор.
Първият вариант е невъзможен, тъй като вероятността не може да бъде едновременно 25% и 50%.
Вторият вариант не е възможен, защото ако 2 отговора са верни, тогава вероятността за избор трябва да бъде 50%, а не 25%.
Същото с третия вариант: ако само вариант 1 е правилен, тогава вероятността да го изберете е 25%, а не 50% (както е посочено в отговор b)).
Така остава вариант 4: няма верен отговор. Следователно вероятността да изберете правилния отговор е 0%.
Вариант за отговор 37,5%:
Има 3 случая при отгатване на отговора. 1 - избрахте 25% и познахте правилно. 2 - избрахте 50% и познахте правилно. 3 - избра 60% и позна правилно.
1) Шансът да изберете 25% = 1/2. В същото време шансът да познаете тези 25% също е 1/2.
Крайната вероятност за събитието е 1/2 * 1/2 = 1/4.
2) Шанс да изберете 50% = 1/4. В същото време шансът да познаете тези 50% също е 1/4.
3) Шанс да изберете 60% = 1/4. В същото време шансът да познаете тези 60% също е 1/4.
Крайната вероятност за събитието е 1/4 * 1/4 = 1/16.
Сумираме крайните вероятности за всичките 3 случая, получаваме 3/8, или 37,5%.
Вариант за отговор - 50%
Вземете една секунда
1) Първо определете каква е вероятността за всеки отговор. Тук всичко е просто - логично вероятността да изберем един от четирите варианта за отговор ще бъде 1/4, тоест 0,25
2) Сега нека изчислим вероятността да уцелите опциите за отговор с число от 25%. Ако вземем предвид, че събитията не са съвместими, тоест появата на едното изключва появата на другото, тогава можем да използваме сумата от вероятности (вероятността да отговорим 1 или 4, тъй като съдържа 25 %, от който се нуждаем), тоест 25% + 25% = 50% процента.
В резултат на това правилният отговор е b)
Отговор - рекурсия
Обяснявам: от 4 варианта, 1 на случаен принцип, тоест 25%, но има 2 такива варианта, което означава, че умножаваме по 2, стана 50%, но този вариант е 1, което означава, че делим на 2 и получаваме 25%, но има 2 такива опции, което означава, че умножаваме по 2, става 50%, но тази опция е 1, което означава, че делим на 2 и получаваме 25%, но има 2 такива опции, което означава, че умножете по 2, става 50%, но тази опция е 1, което означава, че делим на 2 и получаваме 25%, но тези опции 2, така че умножаваме по 2, това е 50%, но тази опция е 1, така че разделяме по 2 и получаваме 25%, но има 2 от тези опции, така че умножаваме по 2, това е 50%, но тази опция е 1, така че разделяме на 2 и получаваме 25%, но има 2 такива опции, така че умножаваме по 2, става 50%, но тази опция е 1, така че разделяме на 2 и получаваме 25% ...
Когато се хвърли монета, може да се каже, че тя ще кацне хедс-ъп, или вероятност от това е 1/2. Разбира се, това не означава, че ако една монета бъде хвърлена 10 пъти, тя непременно ще падне върху главите 5 пъти. Ако монетата е "честна" и ако бъде хвърлена много пъти, тогава главите ще се доближат много близо през половината време. Следователно има два вида вероятности: експериментален и теоретичен .
Експериментална и теоретична вероятност
Ако хвърлим монета голям брой пъти - да речем 1000 - и преброим колко пъти тя излиза с глави, можем да определим вероятността тя да излезе с глави. Ако главите се появят 503 пъти, можем да изчислим вероятността това да се появи:
503/1000, или 0,503.
то експериментален определение на вероятността. Това определение за вероятност произтича от наблюдение и изследване на данни и е доста често срещано и много полезно. Например, ето някои вероятности, които са определени експериментално:
1. Шансът една жена да развие рак на гърдата е 1/11.
2. Ако целунете някой, който е настинал, тогава вероятността вие също да получите настинка е 0,07.
3. Човек, който току-що е бил освободен от затвора, има 80% шанс да се върне обратно в затвора.
Ако разгледаме хвърлянето на монета и като вземем предвид, че има еднаква вероятност да се появят глави или опашки, можем да изчислим вероятността да се появят глави: 1/2. Това е теоретичното определение на вероятността. Ето някои други вероятности, които са теоретично определени с помощта на математика:
1. Ако в една стая има 30 души, вероятността двама от тях да имат един и същ рожден ден (без годината) е 0,706.
2. По време на пътуване срещате някого и по време на разговора откривате, че имате общ познат. Типична реакция: "Това не може да бъде!" Всъщност тази фраза не се вписва, тъй като вероятността от такова събитие е доста висока - малко над 22%.
Следователно експерименталната вероятност се определя чрез наблюдение и събиране на данни. Теоретичните вероятности се определят чрез математически разсъждения. Примери за експериментални и теоретични вероятности, като тези, обсъдени по-горе, и особено тези, които не очакваме, ни водят до важността на изучаването на вероятностите. Може да попитате: "Каква е истинската вероятност?" Всъщност няма такъв. Експериментално е възможно да се определят вероятностите в определени граници. Те могат или не могат да съвпадат с вероятностите, които получаваме теоретично. Има ситуации, в които е много по-лесно да се дефинира един вид вероятност, отколкото друг. Например, би било достатъчно да се намери вероятността от настинка, като се използва теоретичната вероятност.
Изчисляване на експериментални вероятности
Разгледайте първо експерименталната дефиниция на вероятността. Основният принцип, който използваме за изчисляване на такива вероятности, е следният.
Принцип P (експериментален)
Ако в експеримент, в който са направени n наблюдения, ситуацията или събитието E се появяват m пъти в n наблюдения, тогава се казва, че експерименталната вероятност за събитието е P (E) = m/n.
Пример 1 Социологическо проучване. Проведено е експериментално изследване за определяне на броя на левичарите, десничарите и хората, при които двете ръце са еднакво развити.Резултатите са показани на графиката.
а) Определете вероятността лицето да е дясна ръка.
b) Определете вероятността човекът да е левичар.
c) Определете вероятността лицето да владее еднакво свободно и двете си ръце.
г) Повечето PBA турнири имат 120 играчи. Въз основа на този експеримент, колко играчи могат да бъдат левичари?
Решение
а) Броят на хората, които са десничари, е 82, броят на левичарите е 17, а броят на онези, които владеят еднакво свободно и двете си ръце, е 1. Общият брой наблюдения е 100. Следователно вероятността че човек е дясна ръка е П
P = 82/100, или 0,82, или 82%.
b) Вероятността човек да е левичар е P, където
P = 17/100 или 0,17 или 17%.
c) Вероятността човек да владее еднакво свободно и двете си ръце е P, където
P = 1/100 или 0,01 или 1%.
г) 120 играчи на боулинг и от (б) можем да очакваме 17% да са левичари. Оттук
17% от 120 = 0,17,120 = 20,4,
тоест можем да очакваме около 20 играчи да са левичари.
Пример 2 Контрол на качеството
. Много е важно за производителя да поддържа качеството на продуктите си на високо ниво. Всъщност компаниите наемат инспектори за контрол на качеството, за да гарантират този процес. Целта е да се пуснат възможно най-малко дефектни продукти. Но тъй като компанията произвежда хиляди артикули всеки ден, тя не може да си позволи да инспектира всеки артикул, за да определи дали е дефектен или не. За да разбере какъв процент от продуктите са дефектни, компанията тества много по-малко продукти.
USDA изисква 80% от семената, които производителите продават, да покълнат. За определяне на качеството на семената, които земеделската фирма произвежда, от произведените се засаждат 500 бр. След това е изчислено, че са покълнали 417 семена.
а) Каква е вероятността семето да покълне?
б) Семената отговарят ли на държавните стандарти?
Решениеа) Знаем, че от 500 семена, които са били засадени, 417 са покълнали. Вероятността за покълване на семената P, и
P = 417/500 = 0,834, или 83,4%.
б) Тъй като процентът на покълнали семена надвишава 80% при поискване, семената отговарят на държавните стандарти.
Пример 3 ТВ рейтинги. Според статистиката в САЩ има 105 500 000 телевизионни домакинства. Всяка седмица се събира и обработва информация за гледаните програми. В рамките на една седмица 7 815 000 домакинства бяха настроени на хитовия комедиен сериал на CBS Everybody Loves Raymond и 8 302 000 домакинства бяха настроени на хитовия Закон и ред на NBC (Източник: Nielsen Media Research). Каква е вероятността телевизорът в един дом да бъде настроен на „Всички обичат Реймънд“ през дадена седмица? на „Закон и ред“?
РешениеВероятността телевизорът в едно домакинство да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ е P и
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Възможността домашният телевизор да е бил настроен на „Закон и ред“ е P, и
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Тези проценти се наричат рейтинги.
теоретична вероятност
Да предположим, че правим експеримент, като хвърляне на монета или стреличка, теглене на карта от тесте или тестване на елементи на поточна линия. Всеки възможен резултат от такъв експеримент се нарича Изход . Множеството от всички възможни резултати се нарича резултатно пространство . Събитие това е набор от резултати, тоест подмножество от пространството на резултатите.
Пример 4 Хвърляне на дартс. Да предположим, че в експеримента "хвърляне на стрелички" стреличката уцелва целта. Намерете всяко от следните:
б) Пространство на резултатите
Решение
а) Резултатите са: удряне на черно (H), удряне на червено (K) и удряне на бяло (B).
b) Има поле за изход (черно, червено, бяло), което може да се запише просто като (B, R, B).
Пример 5 Хвърляне на зарове.
Зарът е куб с шест страни, всяка от които има от една до шест точки. 
Да предположим, че хвърляме зар. намирам
а) Резултати
б) Пространство на резултатите
Решение
а) Резултати: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство за резултат (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Означаваме вероятността събитие E да се случи като P(E). Например, „монетата ще кацне на опашки“ може да се означи с H. Тогава P(H) е вероятността монетата да кацне на опашки. Когато всички резултати от експеримент имат една и съща вероятност да се появят, се казва, че те са еднакво вероятни. За да видите разликата между събития, които са еднакво вероятни и събития, които не са еднакво вероятни, помислете за целта, показана по-долу. 
За мишена A, черните, червените и белите събития са еднакво вероятни, тъй като черните, червените и белите сектори са еднакви. За мишена B обаче зоните с тези цветове не са еднакви, тоест уцелването им не е еднакво вероятно.
Принцип P (теоретичен)
Ако събитие E може да се случи по m начина от n възможни равновероятни резултата от пространството на резултатите S, тогава теоретична вероятност
събитие, P(E) е
P(E) = m/n.
Пример 6Каква е вероятността да хвърлите 3 чрез хвърляне на зар?
РешениеИма 6 еднакво вероятни изхода на зара и има само една възможност за хвърляне на числото 3. Тогава вероятността P ще бъде P(3) = 1/6.
Пример 7Каква е вероятността да хвърлите четно число на зара?
РешениеСъбитието е хвърляне на четно число. Това може да стане по 3 начина (ако хвърлите 2, 4 или 6). Броят на равновероятните резултати е 6. Тогава вероятността P(четен) = 3/6, или 1/2.
Ще използваме няколко примера, свързани със стандартно тесте от 52 карти. Такова тесте се състои от картите, показани на фигурата по-долу. 
Пример 8Каква е вероятността да изтеглите асо от добре разбъркано тесте карти?
РешениеИма 52 резултата (броя на картите в тестето), те са еднакво вероятни (ако тестето е добре смесено) и има 4 начина да изтеглите асо, така че според принципа P, вероятността
P(теглене на асо) = 4/52, или 1/13.
Пример 9Да предположим, че избираме без да гледаме едно топче от торба с 3 червени топчета и 4 зелени топчета. Каква е вероятността да изберете червена топка?
РешениеИма 7 еднакво вероятни изхода за получаване на всяка топка и тъй като броят на начините за изтегляне на червена топка е 3, получаваме
P (избор на червена топка) = 3/7.
Следните твърдения са резултат от принципа P.
Свойства на вероятността
а) Ако събитието E не може да се случи, тогава P(E) = 0.
b) Ако събитието E трябва да се случи, тогава P(E) = 1.
c) Вероятността събитие E да се случи е число между 0 и 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Например, при хвърляне на монета, събитието, че монетата падне на ръба й, има нулева вероятност. Вероятността дадена монета да е глави или опашки има вероятност 1.
Пример 10Да предположим, че 2 карти са изтеглени от тесте с 52 карти. Каква е вероятността и двамата да са пики?
РешениеБроят начини n за теглене на 2 карти от добре разбъркано тесте от 52 карти е 52 C 2 . Тъй като 13 от 52-те карти са пики, броят на начините m за теглене на 2 пики е 13 C 2 . Тогава,
P (разтягане 2 пика) \u003d m / n = 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.
Пример 11Да предположим, че 3 души са произволно избрани от група от 6 мъже и 4 жени. Каква е вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени?
РешениеБрой начини за избор на трима души от група от 10 души 10 C 3 . Един мъж може да бъде избран по 6 C 1 начина и 2 жени могат да бъдат избрани по 4 C 2 начина. Според основния принцип на броенето, броят на начините за избор на 1-ви мъж и 2 жени е 6 C 1 . 4C2. Тогава вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени е
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.
Пример 12 Хвърляне на зарове. Каква е вероятността да хвърлите общо 8 на два зара?
РешениеИма 6 възможни изхода на всеки зар. Резултатите се удвояват, тоест има 6,6 или 36 възможни начина, по които числата на два зара могат да паднат. (По-добре е кубчетата да са различни, да кажем, че едното е червено, а другото е синьо - това ще ви помогне да визуализирате резултата.) 
Двойките числа, които се събират до 8, са показани на фигурата по-долу. Има 5 възможни начина да получите сумата равна на 8, следователно вероятността е 5/36.
Вероятността за събитие количествено характеризира възможността (шанса) това събитие да се случи в хода на случаен експеримент. В този раздел започваме да изучаваме възможностите, предоставени от теорията на вероятностите за сравнителен анализ на ситуации, произтичащи от различни комбинации от равновероятни събития.
Представете си, че експериментираме с пространство от нелементарни резултати, които равновероятно. Елементарните резултати са несъвместимисъбития (припомнете си, че несъвместимите събития са тези, които не могат да се случат по едно и също време), така че вероятността за всяко от тях е 1/n. Да предположим, че се интересуваме от събитието А, което се случва само при изпълнението благоприятенелементарни резултати, броят на последните м(м< n). Тогда, согласно классическому определению, вероятность такого события:
R( A) \u003d m / n.
За всяко събитие А е вярно неравенството: 0 < P(A) <1.
Пример 1Лотарията се състои от 1000 билета, включително 200 печеливши. На случаен принцип се тегли един билет от 1000. Каква е вероятността този билет да е печеливш?
Решение:в този пример има 1000 различни резултата (n=1000). Събитието А, което ни интересува, включва 200 резултата (m=200). По този начин,
Пример 2Една кутия съдържа 200 бели, 100 червени и 50 зелени топки. На случаен принцип се тегли една топка. Какво равни вероятности за получаванетопката е бяла, червена или зелена?
Решение:Помислете за събитията:
A \u003d (извадена е бяла топка),
B = (изтеглена червена топка),
C=(Извадена зелена топка).
N=350, тогава
Пример 3Хвърля се зар. Какви са вероятностите за следните събития:
A \u003d (изпадна линия с 6 точки),
B = (изпадна лице с четен брой точки),
C=(изпуснат ръб с брой точки, разделен на 3)?
Решение: n = 6. Събитие A е облагодетелствано от един изход, събитие B от три изхода, събитие C от два изхода. По този начин,
Понякога в задачите броят на елементарните резултати е толкова голям, че не е възможно да се запишат всички. Затова се използват формули от комбинаториката (виж §2).
Пример 4Три се изтеглят от тесте от 36 карти. Каква е вероятността сред изтеглените карти да няма десетки?
Решение:В този пример елементарният резултат е случаен набор от три карти. Общият брой на елементарните резултати е равен на N=C 36 3 , елементарните резултати се считат за еднакво вероятни. Благоприятни резултати (броят възможни комплекти от три карти от една и съща колода, но без десетки)
m=C 32 3 . По този начин вероятността от събитие А (изтеглени са 3 карти от 36 и сред тях няма десетки):
Задачи за самопроверка
1. Два зара се хвърлят едновременно. Намерете вероятностите за следните събития: A-сборът на хвърлените точки е равен на 8; B-продуктът на хвърлените точки е 8.
Общият брой резултати: n=6x6=36, броят на благоприятните резултати от събитието A ,, , , m=5, желаната вероятност p=m/n=5/36. За събитие B благоприятните резултати са: , , т.е. m=2 и желаната вероятност p=m/n=2/36=1/18.
2. В плика сред 100 снимки има една търсена. От плика се изтеглят произволно 10 карти. Намерете вероятността търсената жена да е сред тях.
Нека разпределим всичките 100 снимки в 10 плика по равно. Вероятността да вземете плик с желаната снимка е p=1/10.
3. При набиране на телефонен номер абонатът е забравил последните три цифри и като си спомня само, че тези номера са различни, ги е набрал произволно. Намерете вероятността номерът да бъде набран правилно.
На първо място това трицифрено число може да има всяка от 10-те цифри от 0 до 9, на второ място само 9, т.к. числата не се повтарят на третите 8, общо n=10x9x8=720, това е общият брой резултати, благоприятен резултат е едно m=1, следователно p=m/n=1/720.
От практическа гледна точка, вероятност за събитиее съотношението на броя на онези наблюдения, при които се е случило въпросното събитие, към общия брой наблюдения. Такова тълкуване е допустимо при достатъчно голям брой наблюдения или експерименти. Например, ако около половината от хората, които срещате на улицата, са жени, тогава можете да кажете, че вероятността лицето, което срещате на улицата, да е жена, е 1/2. С други думи, честотата на появата му в дълга поредица от независими повторения на случаен експеримент може да служи като оценка на вероятността от събитие.
Вероятност в математиката
В съвременния математически подход класическата (т.е. не квантовата) вероятност се дава от аксиоматиката на Колмогоров. Вероятността е мярка П, който се задава на снимачната площадка х, наречено вероятностно пространство. Тази мярка трябва да има следните свойства:
От тези условия следва, че вероятностната мярка Псъщо има имота адитивност: ако се задава А 1 и А 2 не се пресичат, тогава . За да го докажете, трябва да поставите всичко А 3 , А 4 , … равно на празното множество и прилагане на свойството на изброима адитивност.
Вероятностната мярка може да не е дефинирана за всички подмножества на набора х. Достатъчно е да го дефинираме върху сигма-алгебрата, състояща се от някои подмножества на множеството х. В този случай случайните събития се определят като измерими подмножества на пространството х, тоест като елементи на сигма алгебрата.
Смисъл на вероятността
Когато установим, че причините за действително възникване на някакъв възможен факт надвишават противоположните причини, ние вземаме предвид този факт вероятно, в противен случай - невероятен. Това преобладаване на положителните основи над отрицателните и обратното може да представлява неопределен набор от степени, в резултат на което вероятност(и невероятност) случва се Повече ▼или по-малко .
Сложните единични факти не позволяват точно изчисляване на техните степени на вероятност, но дори и тук е важно да се установят някои големи подразделения. Така, например, в областта на правото, когато личен факт, предмет на съдене, се установява въз основа на свидетелски показания, той винаги остава, строго погледнато, само вероятен и е необходимо да се знае колко значителна е тази вероятност; в римското право тук е прието четворно деление: probatio plena(където вероятността практически се превръща в автентичност), Освен това - probatio минус plena, тогава - пробатио semiplena majorи накрая probatio semiplena minor .
В допълнение към въпроса за вероятността на случая, може да възникне, както в областта на правото, така и в областта на морала (с определена етична гледна точка), въпросът колко вероятно е даден конкретен факт представлява нарушение на общия закон. Този въпрос, който служи като основен мотив в религиозната юриспруденция на Талмуда, поражда в римокатолическата морална теология (особено от края на 16-ти век) много сложни систематични конструкции и огромна литература, догматична и полемична (виж Пробабилизъм ).
Концепцията за вероятност допуска определен цифров израз в нейното приложение само към такива факти, които са част от определени хомогенни серии. Така че (в най-простия пример), когато някой хвърли монета сто пъти подред, тук намираме една обща или голяма серия (сумата от всички падания на монета), която е съставена от две частни или по-малки, в това случай числено равен, серия (пада "орел" и падащи "опашки"); Вероятността този път монетата да падне с опашки, т.е. този нов член на общата серия да принадлежи към тази от двете по-малки серии, е равна на дроб, изразяващ численото съотношение между тази малка серия и голямата, а именно 1/2, тоест една и съща вероятност принадлежи на едната или другата от двете частни серии. В по-малко прости примери заключението не може да бъде направено директно от данните за самия проблем, а изисква предварителна индукция. Така например се пита: каква е вероятността дадено новородено да живее до 80 години? Тук трябва да има обща или голяма серия от известен брой хора, родени при подобни условия и умиращи на различна възраст (този брой трябва да е достатъчно голям, за да елиминира случайните отклонения, и достатъчно малък, за да запази хомогенността на серията, тъй като за човек, роден например в Санкт Петербург в заможно културно семейство, цялото милионно население на града, значителна част от което се състои от хора от различни групи, които могат да умрат преждевременно - войници, журналисти , работници в опасни професии - представлява група, твърде хетерогенна за истинска дефиниция на вероятността) ; нека тази обща серия се състои от десет хиляди човешки живота; включва по-малки редове, представящи броя на онези, които живеят до тази или онази възраст; един от тези по-малки редове представлява броя на тези, които живеят до 80-годишна възраст. Но е невъзможно да се определи размерът на тази по-малка серия (както и на всички останали). априори; това се прави по чисто индуктивен начин, чрез статистика. Да предположим, че статистическите изследвания са установили, че от 10 000 жители на Петербург от средната класа само 45 оцеляват до 80-годишна възраст; по този начин този по-малък ред е свързан с по-големия като 45 към 10 000 и вероятността даден човек да принадлежи към този по-малък ред, тоест да доживее до 80 години, се изразява като част от 0,0045. Изследването на вероятностите от математическа гледна точка представлява специална дисциплина, теорията на вероятностите.
Вижте също
Бележки
Литература
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Синоними:Антоними:
Вижте какво е "Вероятност" в други речници:
Общонаучно-философски. категория, обозначаваща количествената степен на възможността за поява на масови случайни събития при фиксирани условия на наблюдение, характеризираща стабилността на техните относителни честоти. В логиката семантичната степен ... ... Философска енциклопедия
ВЕРОЯТНОСТ, число в диапазона от нула до едно включително, представляващо възможността това събитие да се случи. Вероятността за събитие се определя като съотношението на броя на шансовете, че дадено събитие може да се случи, към общия брой възможни ... ... Научно-технически енциклопедичен речник
По всяка вероятност .. Речник на руски синоними и изрази, подобни по значение. под. изд. Н. Абрамова, М.: Руски речници, 1999. вероятност, възможност, вероятност, шанс, обективна възможност, маза, допустимост, риск. Мравка. невъзможност...... Речник на синонимите
вероятност- Мярка, че дадено събитие може да се случи. Забележка Математическата дефиниция на вероятността е "реално число между 0 и 1, свързано със случайно събитие." Числото може да отразява относителната честота в серия от наблюдения ... ... Наръчник за технически преводач
Вероятност- "математическа, числена характеристика на степента на възможност за възникване на всяко събитие в определени специфични условия, което може да се повтори неограничен брой пъти." Въз основа на тази класика... Икономически и математически речник
- (вероятност) Възможността за настъпване на събитие или определен резултат. Може да се представи като скала с деления от 0 до 1. Ако вероятността за събитие е нула, то е невъзможно да се случи. С вероятност, равна на 1, началото на ... Речник на бизнес термините
