Най-прости задачи с права на равнина. Взаимно подреждане на линиите. Ъгъл между линиите. Как да намерим разстоянието от точка до права? Намерете разстоянието от точка M до права: формулата Квадрат на разстоянието от точка до права

Формула за изчисляване на разстоянието от точка до права в равнина

Ако е дадено уравнението на правата Ax + By + C = 0, тогава разстоянието от точката M(M x , M y) до правата може да се намери по следната формула

Примерни задачи за пресмятане на разстоянието от точка до права в равнина

Пример 1

Намерете разстоянието между правата 3x + 4y - 6 = 0 и точката M(-1, 3).

Решение.Заместете във формулата коефициентите на правата и координатите на точката

Отговор:разстоянието от точка до права е 0,6.

уравнение на равнина, минаваща през точки, перпендикулярни на вектор Общо уравнение на равнина

Нарича се ненулев вектор, перпендикулярен на дадена равнина нормален вектор (или накратко, нормално ) за този самолет.

Нека в координатното пространство (в правоъгълна координатна система) е дадено:

а) точка ;

б) ненулев вектор (фиг. 4.8, а).

Необходимо е да се напише уравнение за равнина, минаваща през точка перпендикулярен на вектора Край на доказателството.

Нека сега разгледаме различни видове уравнения на права линия в равнина.

1) Общо уравнение на равнинатаП .

От извеждането на уравнението следва, че в същото време А, би ° Сне е равно на 0 (обяснете защо).

Точка принадлежи на равнината Псамо ако нейните координати удовлетворяват уравнението на равнината. В зависимост от коефициентите А, б, ° Си дсамолет Пзаема една или друга длъжност.

- равнината минава през началото на координатната система, - равнината не минава през началото на координатната система,

- равнината е успоредна на оста х,

х,

- равнината е успоредна на оста Y,

- равнината не е успоредна на оста Y,

- равнината е успоредна на оста З,

- равнината не е успоредна на оста З.

Докажете сами тези твърдения.

Уравнение (6) се извежда лесно от уравнение (5). Наистина, нека точката лежи на равнината П. Тогава неговите координати удовлетворяват уравнението. Като извадим уравнение (7) от уравнение (5) и групираме членовете, получаваме уравнение (6). Помислете сега за два вектора с координати, съответно. От формула (6) следва, че тяхното скаларно произведение е равно на нула. Следователно векторът е перпендикулярен на вектора Началото и краят на последния вектор са съответно в точки, които принадлежат на равнината П. Следователно векторът е перпендикулярен на равнината П. Разстояние от точка до равнина П, чието общо уравнение е се определя по формулата Доказателството на тази формула е напълно подобно на доказателството на формулата за разстоянието между точка и права (виж фиг. 2).
Ориз. 2. Към извеждане на формулата за разстоянието между равнина и права.

Наистина разстоянието дмежду права и равнина е

където е точка, лежаща на равнина. От тук, както и в лекция No11, се получава горната формула. Две равнини са успоредни, ако нормалните им вектори са успоредни. Оттук получаваме условието за успоредност на две равнини - коефициенти на общи уравнения на равнини. Две равнини са перпендикулярни, ако техните нормални вектори са перпендикулярни, следователно получаваме условието за перпендикулярност на две равнини, ако са известни техните общи уравнения

Ъгъл fмежду две равнини е равен на ъгъла между техните нормални вектори (виж фиг. 3) и следователно може да се изчисли от формулата
Определяне на ъгъла между равнините.

(11)

Разстояние от точка до равнина и как да го намерите

Разстояние от точка до самолете дължината на перпендикуляра, пуснат от точка към тази равнина. Има поне два начина да се намери разстоянието от точка до равнина: геометричени алгебричен.

С геометричния методпърво трябва да разберете как е разположен перпендикулярът от точка към равнина: може би той лежи в някаква удобна равнина, това е височина в някакъв удобен (или не толкова) триъгълник или може би този перпендикуляр обикновено е височина в някаква пирамида .

След този първи и най-труден етап проблемът се разпада на няколко специфични планиметрични задачи (може би в различни равнини).

С алгебричния начинза да намерите разстоянието от точка до равнина, трябва да въведете координатна система, да намерите координатите на точката и уравнението на равнината и след това да приложите формулата за разстоянието от точката до равнината.

Тази статия говори по темата « разстояние от точка до линия », дефинициите на разстоянието от точка до права се разглеждат с илюстрирани примери по метода на координатите. Всеки блок от теория в края показва примери за решаване на подобни проблеми.

Разстоянието от точка до права се намира чрез определяне на разстоянието от точка до точка. Нека разгледаме по-подробно.

Нека има права a и точка M 1, които не принадлежат на дадената права. Начертайте линия през нея, разположена перпендикулярно на правата a. Вземете точката на пресичане на линиите като H 1. Получаваме, че M 1 H 1 е перпендикуляр, който е спуснат от точката M 1 до правата a.

Определение 1

Разстояние от точка M 1 до права линия aсе нарича разстояние между точките M 1 и H 1 .

Има записи на определението с фигурата на дължината на перпендикуляра.

Определение 2

Разстояние от точка до линияе дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към дадена права.

Дефинициите са еквивалентни. Разгледайте фигурата по-долу.

Известно е, че разстоянието от точка до права линия е най-малкото от всички възможни. Нека да разгледаме това с пример.

Ако вземем точката Q, лежаща на линията a, която не съвпада с точката M 1, тогава получаваме, че сегментът M 1 Q се нарича наклонен, спуснат от M 1 до линията a. Необходимо е да се посочи, че перпендикулярът от точката M 1 е по-малък от всеки друг наклонен, изтеглен от точката към правата линия.

За да докажете това, разгледайте триъгълника M 1 Q 1 H 1 , където M 1 Q 1 е хипотенузата. Известно е, че дължината му винаги е по-голяма от дължината на който и да е от краката. Следователно имаме, че M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изходните данни за намиране от точка до права линия позволяват използването на няколко метода за решаване: чрез Питагоровата теорема, дефиниции на синус, косинус, тангенс на ъгъл и др. Повечето задачи от този тип се решават в училище в часовете по геометрия.

Когато при намиране на разстоянието от точка до линия можете да въведете правоъгълна координатна система, тогава се използва методът на координатите. В този параграф разглеждаме основните два метода за намиране на желаното разстояние от дадена точка.

Първият метод включва намиране на разстоянието като перпендикуляр, прекаран от M 1 към правата a. Вторият метод използва нормалното уравнение на правата линия a, за да намери необходимото разстояние.

Ако в равнината има точка с координати M 1 (x 1, y 1), разположена в правоъгълна координатна система, права линия a, и трябва да намерите разстоянието M 1 H 1, можете да изчислите по два начина. Нека ги разгледаме.

Първи начин

Ако има координати на точката H 1, равни на x 2, y 2, тогава разстоянието от точката до правата се изчислява от координатите от формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - у 1) 2.

Сега нека да преминем към намирането на координатите на точката H 1.

Известно е, че права линия в O x y съответства на уравнението на права линия в равнина. Нека вземем начин да дефинираме права линия a чрез написване на общо уравнение на права линия или уравнение с наклон. Съставяме уравнението на права линия, която минава през точката M 1 перпендикулярно на дадена права a. Нека означим правата с бук b . H 1 е точката на пресичане на прави a и b, така че за да определите координатите, трябва да използвате статията, която се занимава с координатите на точките на пресичане на две прави.

Вижда се, че алгоритъмът за намиране на разстоянието от дадена точка M 1 (x 1, y 1) до правата линия a се извършва според точките:

Определение 3

• намиране на общото уравнение на правата линия a , имащо формата A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, или уравнение с коефициент на наклон, имащо формата y \u003d k 1 x + b 1;
• получаване на общото уравнение на линията b, което има формата A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 или уравнение с наклон y \u003d k 2 x + b 2, ако линията b пресича точката M 1 и е перпендикулярна на дадената права a;
• определяне на координатите x 2, y 2 на точката H 1, която е пресечната точка на a и b, за това се решава системата от линейни уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• изчисляване на необходимото разстояние от точка до права линия по формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Втори начин

Теоремата може да помогне да се отговори на въпроса за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права на равнина.

Теорема

Правоъгълна координатна система има O x y има точка M 1 (x 1, y 1), от която е начертана права линия a към равнината, дадена от нормалното уравнение на равнината, имаща формата cos α x + cos β y - p \u003d 0, равна на модула на стойността, получена от лявата страна на уравнението на нормалната права линия, изчислена при x = x 1, y = y 1, означава, че M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Доказателство

Правата a съответства на нормалното уравнение на равнината, което има формата cos α x + cos β y - p = 0, тогава n → = (cos α , cos β) се счита за нормален вектор на правата a при a разстояние от началото до правата a с p единици. Необходимо е да изобразите всички данни на фигурата, добавете точка с координати M 1 (x 1, y 1) , където радиус векторът на точката M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Необходимо е да се начертае права линия от точка до права линия, която ще обозначим с M 1 H 1 . Необходимо е да се покажат проекциите M 2 и H 2 на точките M 1 и H 2 на права линия, минаваща през точка O с насочващ вектор под формата n → = (cos α, cos β) , и числената проекция на вектора ще се означи като O M 1 → = (x 1 , y 1) към посоката n → = (cos α , cos β) като n p n → O M 1 → .

Вариациите зависят от местоположението на самата точка M 1. Разгледайте фигурата по-долу.

Фиксираме резултатите с помощта на формулата M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . След това привеждаме равенството към тази форма M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, за да получим n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скаларното произведение на векторите води до трансформирана формула под формата n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , която е произведение в координатна форма на форма n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Оттук получаваме, че n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . От това следва, че M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теоремата е доказана.

Получаваме, че за да намерим разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1) до правата линия a на равнината, трябва да се извършат няколко действия:

Определение 4

• получаване на нормалното уравнение на правата a cos α · x + cos β · y - p = 0, при положение, че не е в задачата;
• изчисляване на израза cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , където получената стойност приема M 1 H 1 .

Нека приложим тези методи за решаване на задачи с намиране на разстоянието от точка до равнина.

Пример 1

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 (- 1 , 2) до правата 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Решение

Нека използваме първия метод за решаване.

За да направите това, трябва да намерите общото уравнение на правата b, която минава през дадена точка M 1 (- 1 , 2), перпендикулярна на правата 4 x - 3 y + 35 = 0 . От условието се вижда, че правата b е перпендикулярна на правата a, тогава нейният насочващ вектор има координати, равни на (4, - 3) . По този начин имаме възможност да напишем каноничното уравнение на правата b на равнината, тъй като има координати на точката M 1, принадлежи на правата b. Да определим координатите на насочващия вектор на правата b . Получаваме, че x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Полученото канонично уравнение трябва да се преобразува в общо. Тогава разбираме това

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Нека намерим координатите на точките на пресичане на линиите, които ще приемем като обозначение H 1. Трансформациите изглеждат така:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

От горното имаме, че координатите на точката H 1 са (- 5; 5) .

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точка M 1 до правата линия a. Имаме, че координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), след което заместваме във формулата за намиране на разстоянието и получаваме това

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Второто решение.

За да се реши по друг начин, е необходимо да се получи нормалното уравнение на права линия. Изчисляваме стойността на нормализиращия коефициент и умножаваме двете страни на уравнението 4 x - 3 y + 35 = 0 . От тук получаваме, че нормализиращият коефициент е - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормалното уравнение ще бъде във формата - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Според алгоритъма за изчисление е необходимо да се получи нормалното уравнение на права линия и да се изчисли със стойностите x = - 1, y = 2. Тогава разбираме това

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

От тук получаваме, че разстоянието от точката M 1 (- 1 , 2) до дадената права линия 4 x - 3 y + 35 = 0 има стойност - 5 = 5 .

Отговор: 5 .

Вижда се, че при този метод е важно да се използва нормалното уравнение на права линия, тъй като този метод е най-краткият. Но първият метод е удобен с това, че е последователен и логичен, въпреки че има повече изчислителни точки.

Пример 2

В равнината има правоъгълна координатна система O x y с точка M 1 (8, 0) и права линия y = 1 2 x + 1. Намерете разстоянието от дадена точка до права линия.

Решение

Решението по първия начин предполага свеждането на дадено уравнение с наклонен коефициент до общо уравнение. За да опростите, можете да го направите по различен начин.

Ако произведението на наклоните на перпендикулярните прави е -1, тогава наклонът на правата, перпендикулярна на дадения y = 1 2 x + 1, е 2. Сега получаваме уравнението на права линия, минаваща през точка с координати M 1 (8, 0) . Имаме, че y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Пристъпваме към намиране на координатите на точката H 1, т.е. пресечните точки y \u003d - 2 x + 16 и y \u003d 1 2 x + 1. Съставяме система от уравнения и получаваме:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

От това следва, че разстоянието от точката с координати M 1 (8 , 0) до правата y = 1 2 x + 1 е равно на разстоянието от началната точка и крайната точка с координати M 1 (8 , 0) и H 1 (6 , 4) . Нека изчислим и получаваме, че M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Решението по втория начин е да преминем от уравнението с коефициент към нормалната му форма. Тоест, получаваме y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, тогава стойността на нормализиращия коефициент ще бъде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . От това следва, че нормалното уравнение на права линия приема формата - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Нека изчислим от точката M 1 8 , 0 до права линия от вида - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Получаваме:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Отговор: 2 5 .

Пример 3

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точката с координати M 1 (- 2 , 4) до правите линии 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0 .

Решение

Получаваме уравнението на нормалната форма на правата линия 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

След това пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 - 2, 4 до правата x - 3 2 = 0. Получаваме:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Уравнението на правата линия y + 1 = 0 има нормализиращ фактор със стойност -1. Това означава, че уравнението ще приеме формата - y - 1 = 0 . Пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 (- 2 , 4) до правата линия - y - 1 = 0 . Получаваме, че е равно на - 4 - 1 = 5.

Отговор: 3 1 2 и 5 .

Нека разгледаме подробно определянето на разстоянието от дадена точка на равнината до координатните оси O x и O y.

В правоъгълна координатна система оста O y има уравнение на права линия, което е непълно и има формата x \u003d 0 и O x - y \u003d 0. Уравненията са нормални за координатните оси, тогава е необходимо да се намери разстоянието от точката с координати M 1 x 1, y 1 до правите линии. Това се прави въз основа на формулите M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Разгледайте фигурата по-долу.

Пример 4

Намерете разстоянието от точката M 1 (6, - 7) до координатните линии, разположени в равнината O x y.

Решение

Тъй като уравнението y \u003d 0 се отнася до линията O x, можете да намерите разстоянието от M 1 с дадени координати до тази линия, като използвате формулата. Получаваме, че 6 = 6 .

Тъй като уравнението x \u003d 0 се отнася до линията O y, можете да намерите разстоянието от M 1 до тази линия с помощта на формулата. Тогава получаваме, че - 7 = 7 .

Отговор:разстоянието от M 1 до O x има стойност 6, а от M 1 до O y има стойност 7.

Когато в тримерното пространство имаме точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), е необходимо да се намери разстоянието от точка A до правата a.

Помислете за два начина, които ви позволяват да изчислите разстоянието от точка до права линия a, разположена в пространството. Първият случай разглежда разстоянието от точката M 1 до правата, където точката на правата се нарича H 1 и е основата на перпендикуляра, прекаран от точката M 1 към правата a. Вторият случай предполага, че точките на тази равнина трябва да се търсят като височина на успоредника.

Първи начин

От дефиницията имаме, че разстоянието от точката M 1, разположена на правата линия a, е дължината на перпендикуляра M 1 H 1, тогава получаваме това с намерените координати на точката H 1, след което намираме разстоянието между M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и H 1 (x 1, y 1, z 1) въз основа на формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Получаваме, че цялото решение отива в намирането на координатите на основата на перпендикуляра, прекаран от M 1 към правата a. Това се прави по следния начин: H 1 е точката, в която правата a се пресича с равнината, която минава през дадената точка.

Това означава, че алгоритъмът за определяне на разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до правата линия a на пространството предполага няколко точки:

Определение 5

• съставяне на уравнението на равнината χ като уравнение на равнината, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на правата;
• определяне на координатите (x2, y2, z2), принадлежащи на точката H1, която е пресечната точка на правата a и равнината χ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права по формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Втори начин

От условието имаме права a, тогава можем да определим насочващия вектор a → = a x, a y, a z с координати x 3, y 3, z 3 и определена точка M 3, принадлежаща на правата a. Като се имат предвид координатите на точките M 1 (x 1 , y 1) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → може да се изчисли:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Необходимо е да отложите векторите a → \u003d a x, a y, a z и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 от точката M 3, свържете и вземете фигура успоредник. M 1 H 1 е височината на успоредника.

Разгледайте фигурата по-долу.

Имаме, че височината M 1 H 1 е желаното разстояние, тогава трябва да го намерите с помощта на формулата. Тоест, ние търсим M 1 H 1 .

Обозначете площта на успоредника с буквата S, намира се по формулата с помощта на вектора a → = (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формулата за площ има формата S = a → × M 3 M 1 → . Също така, площта на фигурата е равна на произведението на дължините на нейните страни и височината, получаваме, че S \u003d a → M 1 H 1 с a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, което е дължината на вектора a → \u003d (a x, a y, a z) , който е равен на страната на успоредника. Следователно M 1 H 1 е разстоянието от точката до правата. Намира се по формулата M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

За да намерите разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линия a в пространството, трябва да изпълните няколко точки от алгоритъма:

Определение 6

• определяне на насочващия вектор на правата a - a → = (a x , a y , a z) ;
• изчисляване на дължината на насочващия вектор a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• получаване на координатите x 3 , y 3 , z 3, принадлежащи на точката M 3, разположена на правата a;
• изчисляване на координатите на вектора M 3 M 1 → ;
• намиране на кръстосаното произведение на вектори a → (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 като a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, за да се получи дължината по формулата a → × M 3 M 1 → ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в пространството

Пример 5

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 2 , - 4 , - 1 до правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Решение

Първият метод започва с написването на уравнението на равнината χ, минаваща през M 1 и перпендикулярна на дадена точка. Получаваме израз като:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Необходимо е да се намерят координатите на точката H 1, която е точката на пресичане с равнината χ на правата, дадена от условието. Необходимо е да се премине от каноничната форма към пресичащата се. Тогава получаваме система от уравнения от вида:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необходимо е да се изчисли системата x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по метода на Крамър, тогава получаваме, че:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Следователно имаме, че H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Вторият метод трябва да започне с търсене на координати в каноничното уравнение. За да направите това, обърнете внимание на знаменателите на фракцията. Тогава a → = 2 , - 1 , 5 е векторът на посоката на правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необходимо е да се изчисли дължината по формулата a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Ясно е, че правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пресича точката M 3 (- 1 , 0 , - 5), следователно имаме, че векторът с начало M 3 (- 1 , 0 , - 5) и неговият край в точката M 1 2 , - 4 , - 1 е M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Намерете векторното произведение a → = (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Получаваме израз във формата a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

получаваме, че дължината на напречното произведение е a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от точка за права линия, така че я прилагаме и получаваме:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Отговор: 11 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека правоъгълна координатна система е фиксирана в тримерното пространство Oxyz, дадена точка , линия аи се изисква да се намери разстоянието от точката НОнаправо а.

Ще покажем два начина за изчисляване на разстоянието от точка до права в пространството. В първия случай намиране на разстоянието от точка М 1 направо асе свежда до намиране на разстоянието от точка М 1 към основния въпрос з 1 , където з 1 - основата на перпендикуляра, паднал от точката М 1 директно а. Във втория случай разстоянието от точка до равнина ще се намери като височина на успоредник.

Така че да започваме.

Първият начин за намиране на разстоянието от точка до права a в пространството.

Тъй като по дефиниция разстоянието от точка М 1 направо ае дължината на перпендикуляра М 1 з 1 , след това, като определи координатите на точката з 1 , можем да изчислим желаното разстояние като разстоянието между точките и според формулата.

Така задачата се свежда до намиране на координатите на основата на перпендикуляра, построен от точката М 1 към права линия а. Достатъчно лесно е да се направи: точка з 1 е пресечната точка на линията ас равнина, минаваща през точка М 1 перпендикулярна на правата а.

Следователно, алгоритъм, който ви позволява да определите разстоянието от точка направоа в космоса, е:

Вторият метод, който ви позволява да намерите разстоянието от точка до линия a в пространството.

Тъй като в условието на задачата ни е дадена права линия а, тогава можем да определим вектора на посоката му и координати на някаква точка М 3 лежащ на права линия а. След това, според координатите на точките и можем да изчислим координатите на вектор:

Отделете вектори и от точката М 3 и върху тях построете успоредник. Начертайте височина в този успоредник М 1 з 1 .

Очевидно височината М 1 з 1 построеният успоредник е равен на желаното разстояние от точката М 1 направо а. Да намерим.

От една страна, площта на успоредника (ние го обозначаваме С) може да се намери чрез векторното произведение на векторите и според формулата . От друга страна, площта на успоредника е равна на произведението на дължината на неговата страна и височината, т.е. , където - дължина на вектора , равна на дължината на страната на разглеждания успоредник. Следователно разстоянието от дадената точка М 1 към даден ред аможе да се намери от равенството как .

Така, за намиране на разстоянието от точка направоа необходими в космоса

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в пространството.

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете разстоянието от точка направо .

Решение.

Първи начин.

Нека напишем уравнението на равнината, минаваща през точката М 1 перпендикулярно на дадена права:

Намерете координатите на точка з 1 - точки на пресичане на равнината и дадената права. За да направим това, извършваме прехода от каноничните уравнения на правата към уравненията на две пресичащи се равнини

след което решаваме системата от линейни уравнения Методът на Крамер:

По този начин, .

Остава да изчислим необходимото разстояние от точката до правата като разстояние между точките и : .

Вторият начин.

Числата в знаменателите на дробите в каноничните уравнения на правата линия са съответните координати на насочващия вектор на тази права линия, т.е. - вектор на посоката прав . Нека изчислим дължината му: .

Очевидно правата линия минава през точка , след това векторът с начало в точката и завършват в точка има . Намерете кръстосаното произведение на векторите и :
тогава дължината на това напречно произведение е .

Сега имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от дадена точка до дадена равнина: .

Отговор:

Взаимно разположение на линиите в пространството

О-о-о-о-о-о ... е, тенекиен е, сякаш си прочете изречението =) Но тогава релаксът ще помогне, особено след като днес купих подходящи аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще запазя весело настроение.

Взаимно разположение на две прави линии

Случаят, когато залата пее в хор. Две линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : моля, запомнете математическия знак на кръстовището, той ще се появява много често. Записът означава, че правата се пресича с правата в точката.

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има такова число "ламбда", че равенствата

Нека разгледаме прави линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по -1 (променете знаците) и намалете всички коефициенти на уравнението с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти при променливите са пропорционални: , но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Въпреки това е ясно, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще съставим система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , следователно, системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите при променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

В практически задачи може да се използва току-що разгледаната схема за решение. Между другото, той е много подобен на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в урока. Концепцията за линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа. Но има по-цивилизован пакет:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, така че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък с указатели на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и го следват, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат един и същ вектор на посоката, което означава, че са или успоредни, или еднакви. Тук детерминантата не е необходима.

Очевидно коефициентите на неизвестните са пропорционални, докато .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадат.

Коефициентът на пропорционалност "ламбда" е лесно да се види директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число обикновено го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате разглеждания проблем устно буквално за секунди. В тази връзка не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите още една важна тухла в геометричната основа:

Как да начертаем права, успоредна на дадена?

За незнание на тази най-проста задача Славеят Разбойник наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Означете непознатия ред с буквата . Какво казва условието за това? Правата минава през точката. И ако правите са успоредни, тогава е очевидно, че насочващият вектор на правата "ce" също е подходящ за построяване на правата "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Геометрията на примера изглежда проста:

Аналитичната проверка се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е правилно опростено, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

Аналитичната проверка в повечето случаи се извършва лесно устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще разберат как линиите са успоредни без никакъв чертеж.

Примерите за самостоятелно решаване днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не много рационален начин за решаване. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е добре известен от училищната програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точката , тогава нейните координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето за вас геометричен смисъл на система от две линейни уравнения с две неизвестниса две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният начин е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на права линия, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решението на системата . Всъщност обмислихме графичен начин за решаване системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават така, въпросът е, че ще отнеме време, за да се направи правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да бъде някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно да се търси пресечната точка по аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете съответните умения, посетете урока Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример за „направи си сам“. Задачата може удобно да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Напишете уравнението на права линия.
2) Напишете уравнението на права линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Чифт обувки все още не е износен, тъй като стигнахме до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстоянието от точка до права.
Ъгъл между линиите

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част научихме как да изградим права линия, успоредна на дадената, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да начертаем права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за перпендикулярна права, минаваща през точка.

Решение: По предположение е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата линия. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Съставяме уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разгънем геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Извлечете векторите на посоката от уравненията и с помощта точково произведение на векторизаключаваме, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Проверката отново е лесна за вербална.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за „направи си сам“. В задачата има няколко действия, така че е удобно да подредите решението точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да я достигнем по най-краткия път. Няма препятствия, а най-оптималният маршрут ще бъде движението по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се обозначава с гръцката буква "ro", например: - разстоянието от точката "em" до правата линия "de".

Разстояние от точка до линия се изразява с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, от което се нуждаете, е внимателно да замените числата във формулата и да направите изчисленията:

Отговор:

Нека изпълним чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка върху карирана хартия в мащаб 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Помислете за друга задача според същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам да извършите действията сами, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на права.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на сегментанамирам .

Няма да е излишно да проверите дали разстоянието също е равно на 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но в кулата микрокалкулаторът помага много, което ви позволява да броите обикновени дроби. Съветвал съм много пъти и ще препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример за независимо решение. Малък съвет: има безкрайно много начини за решаване. Разбор в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете сами, мисля, че успяхте да разпръснете изобретателността си добре.

Ъгъл между две прави

Какъвто и да е ъгълът, тогава джамът:


В геометрията ъгълът между две прави се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащите се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентиранипурпурен ъгъл.

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, посоката на "превъртане" на ъгъла е фундаментално важна. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например, ако .

Защо казах това? Изглежда, че можете да се справите с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че във формулите, по които ще намираме ъглите, лесно може да се получи отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа за отрицателен ъгъл е задължително да посочите ориентацията му (по часовниковата стрелка) със стрелка.

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

Решениеи Метод първи

Помислете за две прави линии, дадени от уравнения в общ вид:

Ако прав не перпендикулярно, тогава ориентиранаъгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем голямо внимание на знаменателя - това е точно скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата изчезва и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще бъдат перпендикулярни. Ето защо е направена уговорка за неперпендикулярността на линиите във формулировката.

Въз основа на гореизложеното решението е удобно формализирано в две стъпки:

1) Изчислете скаларното произведение на насочващи вектори на прави линии:
така че линиите не са перпендикулярни.

2) Намираме ъгъла между линиите по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на аркутангенса (виж Фиг. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

В отговора посочваме точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, значи минус, всичко е наред. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в условието на задачата първото число е права линия и "усукването" на ъгъла започва именно от нея.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените правите линии, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Способността за намиране на разстоянието между различни геометрични обекти е важна при изчисляването на повърхността на фигурите и техните обеми. В тази статия ще разгледаме въпроса как да намерим разстоянието от точка до права линия в пространството и в равнина.

Математическо описание на права линия

За да разберете как да намерите разстоянието от точка до линия, трябва да се справите с въпроса за математическата спецификация на тези геометрични обекти.

Всичко е просто с точка, тя се описва с набор от координати, чийто брой съответства на измерението на пространството. Например в равнина това са две координати, в триизмерно пространство - три.

Що се отнася до едномерен обект - права линия, за описанието му се използват няколко вида уравнения. Нека разгледаме само две от тях.

Първият вид се нарича векторно уравнение. По-долу са дадени изрази за линии в триизмерно и двуизмерно пространство:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

В тези изрази координатите с нулеви индекси описват точката, през която минава дадената права, наборът от координати (a; b; c) и (a; b) са така наречените насочващи вектори за съответната права, α е a параметър, който може да приеме всяка действителна стойност.

Векторното уравнение е удобно в смисъл, че изрично съдържа вектора на посоката на правата линия, чиито координати могат да се използват при решаване на задачи за успоредност или перпендикулярност на различни геометрични обекти, например две прави линии.

Вторият вид уравнение, което ще разгледаме за права линия, се нарича общо. В пространството тази форма се дава от общите уравнения на две равнини. В самолет има следната форма:

A × x + B × y + C = 0

Когато се извършва начертаване, то често се записва като зависимост от x / y, тоест:

y = -A / B × x +(-C / B)

Тук свободният член -C / B съответства на координатата на пресечната точка на линията с оста y, а коефициентът -A / B е свързан с ъгъла на линията спрямо оста x.

Концепцията за разстоянието между права и точка

След като се справихте с уравненията, можете директно да продължите към отговора на въпроса как да намерите разстоянието от точка до права линия. В 7 клас училищата започват да разглеждат този въпрос, като определят подходящата стойност.

Разстоянието между права и точка е дължината на сегмента, перпендикулярен на тази линия, който е пропуснат от разглежданата точка. Фигурата по-долу показва правата r и точката A. Синята линия показва отсечката, перпендикулярна на правата r. Неговата дължина е необходимото разстояние.

Тук е изобразен 2D случаят, но това определение за разстояние е валидно и за 3D проблема.

Задължителни формули

В зависимост от формата, в която е написано уравнението на права линия и в какво пространство се решава задачата, могат да се дадат две основни формули, които отговарят на въпроса как да се намери разстоянието между права линия и точка.

Означаваме познатата точка със символа P 2 . Ако уравнението на права линия е дадено във векторна форма, тогава за разстоянието d между разглежданите обекти е валидна формулата:

d = || / |v¯|

Тоест, за да се определи d, трябва да се изчисли модулът на векторното произведение на директния вектор v¯ и вектора P 1 P 2 ¯, чието начало лежи в произволна точка P 1 на правата, а краят е в точката P 2 , след това разделете този модул на дължината v ¯. Тази формула е универсална за плоско и триизмерно пространство.

Ако проблемът се разглежда на равнина в координатната система xy и уравнението на права линия е дадено в общ вид, тогава следната формула ви позволява да намерите разстоянието от права линия до точка, както следва:

Права линия: A × x + B × y + C = 0;

Точка: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Разстояние: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Горната формула е доста проста, но нейното използване е ограничено от посочените по-горе условия.

Координати на проекцията на точка върху права линия и разстояние

Можете също така да отговорите на въпроса как да намерите разстоянието от точка до права линия по друг начин, който не включва запаметяване на горните формули. Този метод се състои в определяне на точка върху права линия, която е проекция на първоначалната точка.

Да предположим, че има точка M и права r. Проекцията върху r на точка M съответства на някаква точка M 1 . Разстоянието от M до r е равно на дължината на вектора MM 1 ¯.

Как да намеря координатите на M 1? Много просто. Достатъчно е да си припомним, че линейният вектор v¯ ще бъде перпендикулярен на MM 1 ¯, тоест скаларното им произведение трябва да е равно на нула. Добавяйки към това условие факта, че координатите M 1 трябва да отговарят на уравнението на правата r, получаваме система от прости линейни уравнения. В резултат на решението му се получават координатите на проекцията на точка M върху r.

Методът, описан в този параграф за намиране на разстоянието от права до точка, може да се използва за равнината и за пространството, но приложението му изисква познаване на векторното уравнение за правата.

Задача в самолет

Сега е време да покажем как да използваме представения математически апарат за решаване на реални проблеми. Да предположим, че на равнината е дадена точка M(-4; 5). Необходимо е да се намери разстоянието от точка М до правата линия, която се описва с общо уравнение:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Тоест M не лежи на права.

Тъй като уравнението на права линия не е дадено в общ вид, ние го свеждаме до такъв, за да можем да използваме съответната формула, имаме:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Сега можете да замените известни числа във формулата за d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Задача в космоса

Сега разгледайте случая в космоса. Нека правата линия се описва със следното уравнение:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Какво е разстоянието от него до точката M(0; 2; -3)?

Точно както в предишния случай, проверяваме дали M принадлежи на дадена линия. За да направим това, заместваме координатите в уравнението и го пренаписваме изрично:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Тъй като се получават различни параметри α, то M не лежи на тази права. Сега изчисляваме разстоянието от него до правата линия.

За да използвате формулата за d, вземете произволна точка на правата, например P(1; -1; 0), след което:

Нека изчислим кръстосаното произведение между PM¯ и правата v¯. Получаваме:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Сега заместваме модулите на намерения вектор и вектора v¯ във формулата за d, получаваме:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Този отговор може да бъде получен с помощта на описания по-горе метод, който включва решаване на система от линейни уравнения. В тази и предишните задачи изчислените стойности на разстоянието от правата до точката са представени в единици на съответната координатна система.