Решаване на задачи с помощта на теоремата на Менелай. Теоремите на Сева и Менел Теоремите на Менел Доказателство за съотношението на площите

клас: 9

Цели на урока:

обобщава, разширява и систематизира знанията и уменията на учениците; да научи как да използва знанията при решаване на сложни проблеми;
насърчават развитието на умения за самостоятелно прилагане на знанията при решаване на проблеми;
развиват логическото мислене и математическата реч на учениците, способността да анализират, сравняват и обобщават;
възпитават учениците в самочувствие, старание; способност за работа в екип.

Цели на урока:

Образователни:повторете теоремите на Менелай и Сева; приложете ги за решаване на проблеми.
Разработване:да научите да излагате хипотеза и умело да защитавате мнението си с доказателства; проверяват способността да обобщават и систематизират своите знания.
Образователни:повишаване на интереса към предмета и подготовка за решаване на по-сложни проблеми.

Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

Оборудване:карти за колективна работа в урок по зададена тема, индивидуални карти за самостоятелна работа, компютър, мултимедиен проектор, екран.

По време на часовете

I етап. Организационен момент (1 мин.)

Учителят обяснява темата и целта на урока.

II етап. Актуализиране на основни знания и умения (10 мин.)

Учител:В урока си припомняме теоремите на Менелай и Цева, за да преминем успешно към решаване на задачи. Нека да разгледаме екрана с вас. За каква теорема е тази снимка? (теорема на Менелай). Опитайте се ясно да формулирате теоремата.

Снимка 1

Нека точка A 1 лежи на страната BC на триъгълника ABC, точка C 1 лежи на страната AB, точка B 1 лежи на продължението на страната AC отвъд точка C. Точките A 1 , B 1 и C 1 лежат на една и съща права линия, ако и то само при равенство

Учител:Нека да разгледаме заедно следващата снимка. Формулирайте теорема за тази фигура.

Фигура 2

Правата AD пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълника BMC.

Според теоремата на Менелай

Правата MB пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Учител:На коя теорема отговаря картината? (теорема на Ceva). Формулирайте теорема.

Фигура 3

Нека в триъгълника ABC точка A 1 лежи на страната BC, точка B 1 лежи на страната AC, точка C 1 лежи на страната AB. Отсечките AA 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка тогава и само ако равенството

III етап. Разрешаване на проблем. (22 мин.)

Класът е разделен на 3 отбора, като всеки получава карта с две различни задачи. Дава се време за решаване, след което се показва екранът<Рисунки 4-9>. По готовите чертежи към задачите представителите на отборите обясняват последователно тяхното решение. Всяко обяснение е последвано от дискусия, отговори на въпроси и проверка на верността на решението на екрана. В дискусията участват всички членове на екипа. Колкото по-активен е отборът, толкова по-високо се оценява при обобщаване.

Карта 1.

1. В триъгълник ABC на страната BC е взета точка N така, че NC = 3BN; на продължението на страната AC точка M се приема за точка A, така че MA = AC. Правата MN пресича страната AB в точка F. Намерете отношението

2. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 4

По условието на задачата MA = AC, NC = 3BN. Нека MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Правата MN пресича двете страни на триъгълника ABC и продължението на третата.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 5

Нека AM 1 , BM 2 , CM 3 са медианите на триъгълник ABC. За да се докаже, че тези сегменти се пресичат в една точка, достатъчно е да се покаже това

Тогава, съгласно (обратната) теорема на Чева, отсечките AM 1 , BM 2 и CM 3 се пресичат в една точка.

Ние имаме:

И така, доказано е, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Карта 2.

1. Точка N е взета от страната PQ на триъгълника PQR, а точка L е взета от страната PR и NQ = LR. Пресечната точка на отсечките QL и NR разделя QL в отношение m:n, считано от точката Q. Намерете

2. Докажете, че ъглополовящите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 6

По предположение NQ = LR, нека NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Правата NR пресича две страни на триъгълник PQL и продължението на третата.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 7

Нека покажем това

Тогава, по (обратната) теорема на Чева, AL 1 , BL 2 , CL 3 се пресичат в една точка. Според свойството на ъглополовящите на триъгълник

Умножавайки получените равенства член по член, получаваме

За ъглополовящите на триъгълник равенството на Ceva е изпълнено, следователно те се пресичат в една точка.

Карта 3.

1. В триъгълника ABC AD е медианата, точка O е средата на медианата. Правата BO пресича страната AC в точка K. В какво отношение точка K дели AC, считано от точка A?

2. Докажете, че ако в триъгълник е вписана окръжност, то отсечките, свързващи върховете на триъгълника с допирните точки на противоположните страни, се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 8

Нека BD = DC = a, AO = OD = m. Правата VC пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 9

Нека A 1 , B 1 и C 1 са допирателните точки на вписаната окръжност на триъгълник ABC. За да се докаже, че отсечките AA 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка, е достатъчно да се покаже, че равенството на Ceva е валидно:

Използвайки свойството на допирателните, начертани към окръжност от една точка, въвеждаме обозначението: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Равенството на Ceva е в сила, което означава, че ъглополовящите на триъгълника се пресичат в една точка.

IV етап. Решаване на проблеми (самостоятелна работа) (8 мин.)

Учител: Работата на екипите приключи и сега ще започнем самостоятелна работа върху индивидуални карти за 2 варианта.

Материали за урока за самостоятелна работа на учениците

Опция 1.В триъгълник ABC, чиято площ е 6, от страна AB е взета точка K, разделяща тази страна в съотношение AK:BK = 2:3, а от страната AC - точка L, разделяща AC в съотношението AL:LC = 5:3. Пресечната точка Q на правите СК и BL се отдалечава от правата AB на разстояние . Намерете дължината на страната AB. (Отговор: 4.)

Вариант 2.На страната AC в триъгълника ABC е взета точка K. AK = 1, KS = 3. На страната AB е взета точка L. AL:LВ = 2:3, Q е пресечната точка на правите BK и CL. Намерете дължината на височината на триъгълника ABC, спусната от върха B. (Отговор: 1.5.)

Работата се предава на учителя за преглед.

V етап. Обобщение на урока (2 мин.)

Грешките се анализират, оригиналните отговори и коментари се отбелязват. Резултатите от работата на всеки екип се обобщават и се поставят оценки.

VI етап. Домашна работа (1 мин.)

Домашната работа е съставена от задачи № 11, 12 стр. 289-290, № 10 стр. 301.

Заключителна дума на учителя (1 мин.).

Днес чухте математическата си реч отстрани и оценихте възможностите си. В бъдеще ще използваме подобни дискусии, за да разберем по-добре темата. Аргументите в урока бяха приятели с фактите, а теорията с практиката. Благодаря на всички ви.

Литература:

Ткачук В.В. Математика за кандидат. – М.: МЦНМО, 2005.

клас: 9

Цели на урока:

обобщава, разширява и систематизира знанията и уменията на учениците; да научи как да използва знанията при решаване на сложни проблеми;
насърчават развитието на умения за самостоятелно прилагане на знанията при решаване на проблеми;
развиват логическото мислене и математическата реч на учениците, способността да анализират, сравняват и обобщават;
възпитават учениците в самочувствие, старание; способност за работа в екип.

Цели на урока:

Образователни:повторете теоремите на Менелай и Сева; приложете ги за решаване на проблеми.
Разработване:да научите да излагате хипотеза и умело да защитавате мнението си с доказателства; проверяват способността да обобщават и систематизират своите знания.
Образователни:повишаване на интереса към предмета и подготовка за решаване на по-сложни проблеми.

Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

По време на часовете

I етап. Организационен момент (1 мин.)

Учителят обяснява темата и целта на урока.

II етап. Актуализиране на основни знания и умения (10 мин.)

Снимка 1

Учител:Нека да разгледаме заедно следващата снимка. Формулирайте теорема за тази фигура.

Фигура 2

Правата AD пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълника BMC.

Според теоремата на Менелай

Правата MB пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Учител:На коя теорема отговаря картината? (теорема на Ceva). Формулирайте теорема.

Фигура 3

III етап. Разрешаване на проблем. (22 мин.)

Карта 1.

2. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 4

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 5

Тогава, съгласно (обратната) теорема на Чева, отсечките AM 1 , BM 2 и CM 3 се пресичат в една точка.

Ние имаме:

И така, доказано е, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Карта 2.

2. Докажете, че ъглополовящите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение 1

Фигура 6

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 7

Нека покажем това

Умножавайки получените равенства член по член, получаваме

За ъглополовящите на триъгълник равенството на Ceva е изпълнено, следователно те се пресичат в една точка.

Карта 3.

Решение 1

Фигура 8

Нека BD = DC = a, AO = OD = m. Правата VC пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.

Според теоремата на Менелай

Отговор:

Доказателство 2

Фигура 9

Равенството на Ceva е в сила, което означава, че ъглополовящите на триъгълника се пресичат в една точка.

IV етап. Решаване на проблеми (самостоятелна работа) (8 мин.)

Материали за урока за самостоятелна работа на учениците

Работата се предава на учителя за преглед.

V етап. Обобщение на урока (2 мин.)

VI етап. Домашна работа (1 мин.)

Домашната работа е съставена от задачи № 11, 12 стр. 289-290, № 10 стр. 301.

Заключителна дума на учителя (1 мин.).

Литература:

Ткачук В.В. Математика за кандидат. – М.: МЦНМО, 2005.

ТЕОРЕМИ НА ЧЕВА И МЕНЕЛАУ

Теорема на Чева

Повечето от забележителните точки на триъгълник могат да бъдат получени чрез следната процедура. Нека има някакво правило, според което можем да изберем определена точка А 1 , на страната BC (или нейното продължение) на триъгълник ABC (например изберете средата на тази страна). След това изграждаме подобни точки B 1, С 1 от другите две страни на триъгълника (в нашия пример има още две средни точки на страните). Ако правилото за избор е успешно, насочете AA 1, BB 1, CC 1 се пресичат в някаква точка Z (изборът на средите на страните в този смисъл, разбира се, е успешен, тъй като медианите на триъгълника се пресичат в една точка).

Бих искал да имам някакъв общ метод, който ни позволява да определим от позицията на точките от страните на триъгълник дали съответната тройка прави се пресичат в една точка или не.

Универсалното условие, което "затваря" този проблем, е открито през 1678 г. от италиански инженерДжовани Чева .

Определение. Сегменти, свързващи върховете на триъгълник с точки от противоположните страни (или техните продължения), се наричат цевиани, ако се пресичат в една точка.

Има два варианта за местоположението на цевиана. В една версия точката

пресечните точки са вътрешни, а краищата на цевианите лежат на страните на триъгълника. Във втория вариант пресечната точка е външна, краят на един севиан лежи отстрани, а краищата на другите два севиана лежат върху разширенията на страните (вижте чертежите).

Теорема 3. (директната теорема на Ceva) В произволен триъгълник ABC на страните BC, CA, AB или техните продължения се вземат точки A съответно 1 , AT 1 , ОТ 1 , така че директен AA 1 , BB 1 , SS 1 тогава се пресичат в някаква обща точка

Доказателство: Тъй като има няколко оригинални доказателства на теоремата на Чева, ще разгледаме доказателство, базирано на двойно приложение на теоремата на Менелай. Нека запишем връзката на теоремата на Менелай за първи път за триъгълникаABB 1 и секанс CC 1 (означаваме пресечната точка на cevianЗ):

и втори път за триъгълникаб 1 пр.н.еи секанс АА 1 :

Умножавайки тези две отношения, като правим необходимите редукции, получаваме връзката, съдържаща се в твърдението на теоремата.

Теорема 4. (Обратна теорема на Ceva) . Ако за избраните от страните на триъгълника ABC или техните разширения на точки А 1 , AT 1 и ° С 1 Условието на Ceva е изпълнено:

след това направо АА 1 , BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка .

Доказателството на тази теорема се извършва от противно, точно както доказателството на теоремата на Менелай.

Нека разгледаме примери за приложението на директните и обратните теореми на Ceva.

Пример 3 Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.

Решение. Помислете за връзката

за върховете на триъгълник и средите на страните му. Очевидно във всяка дроб в числителя и знаменателя има равни сегменти, следователно всички тези дроби са равни на единица. Следователно връзката Ceva е изпълнена, следователно, съгласно обратната теорема, медианите се пресичат в една точка.

Теорема (теорема на Ceva) . Нека точките легнете на странии триъгълник съответно. Нека сегментитеи се пресичат в една точка. Тогава

(обиколете триъгълника по посока на часовниковата стрелка).

Доказателство.Означаваме с точката на пресичане на сегментитеи . Отпадане от точкии перпендикуляри на правапреди да се пресече с него в точкии съответно (виж фигурата).

Защото триъгълниции имат обща страна, тогава техните площи са свързани като височините, начертани от тази страна, т.е.и :

Последното равенство е вярно, тъй като правоъгълните триъгълниции подобни в остър ъгъл.

По същия начин получаваме

Нека умножим тези три равенства:

Q.E.D.

Относно медианите:

1. Поставете единични маси във върховете на триъгълник ABC.
2. Центърът на масата на точките A и B е в средата на AB. Центърът на масата на цялата система трябва да е на медианата към страната AB, тъй като центърът на масата на триъгълник ABC е центърът на масата на центъра на масата на точките A и B и точката C.
(стана объркващо)
3. Аналогично - CM трябва да лежи върху медианата на страните AC и BC
4. Тъй като CM е единствената точка, тогава всички тези три медиани трябва да се пресичат в нея.

Между другото, веднага следва, че те са разделени от пресечната точка в съотношение 2: 1. Тъй като масата на центъра на масата на точките A и B е 2, а масата на точка C е 1, следователно общият център на масата, съгласно теоремата за пропорцията, ще раздели медианата в съотношение 2/1.

Благодаря ви много, представено е по достъпен начин, мисля, че няма да е излишно да се предостави доказателство с помощта на методи на геометрията на масата, например:
Правите AA1 и CC1 се пресичат в точка O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Трябва да докажем, че линията BB1 минава през точка O, ако и само ако CB1: B1A = 1: pq.
Нека поставим масите 1, p и pq съответно в точките A, B и C. Тогава точка C1 е центърът на масата на точките A и B, а точката A1 е центърът на масата на точките B и C. Следователно центърът на масата на точките A, B и C с дадени маси е точката O на пресечна точка на линии CC1 и AA1. От друга страна, точка O лежи на отсечката, свързваща точка B с центъра на масата на точките A и C. Ако B1 е центърът на масата на точките A и C с маси 1 и pq, тогава AB1: B1C = pq: 1. Остава да отбележим, че на отсечката AC има една единствена точка, която я дели в това отношение AB1: B1C.

2. Теорема на Чева

Отсечка, свързваща връх на триъгълник с точка от противоположната страна, се наричаceviana . Така, ако в триъгълникABC х , Y и З - точки отстранипр.н.е , CA , AB съответно, след това сегментитеБРАВИЛА , ОТ , cz са чевианци. Терминът идва от италианския математик Джовани Чева, който през 1678 г. публикува следната много полезна теорема:

Теорема 1.21. Ако три севиана AX, BY, CZ (по един от всеки връх) на триъгълник ABC са конкурентни, тогава

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Ориз. 3.

Когато кажем, че три линии (или сегменти)конкурентни , тогава имаме предвид, че всички те преминават през една точка, която означаваме сП . За да докажете теоремата на Чева, припомнете си, че площите на триъгълници с равни височини са пропорционални на основите на триъгълниците. Позовавайки се на Фигура 3, имаме:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC-SPXC= SABPSCAP.

по същия начин,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Сега, ако ги умножим, получаваме

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Обратното на тази теорема също е вярно:

Теорема 1.22. Ако три севиана AX, BY, CZ отговарят на отношението

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

тогава те са конкурентни .

За да покажем това, да предположим, че първите два цевиана се пресичат в точкатаП , както преди, и третата севиана, минаваща през точкатаП , ще бъдеCZ' . Тогава, по теорема 1.21,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z'B|=1 .

Но по предположение

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Следователно,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z'B| ,

точкаZ' съвпада с точкатаЗ , и ние доказахме, че сегментитеБРАВИЛА , ОТ иcz конкурентен (, стр. 54 и , стр. 48, 317).

В хода на геометрията има теореми, които не се изучават подробно в училище, но които могат да бъдат полезни за решаване на най-трудните проблеми на OGE и USE. Те включват например теоремата на Менелай. Традиционно се изучава в паралелки със задълбочено изучаване на математика в 8. клас, а в редовната програма (по учебника на Атанасян) теоремата на Менелай е включена в учебника за 10-11 клас.
Междувременно резултатът от изучаването на интернет ресурси, които споменават теоремата на Менелай, показва, че тя обикновено се формулира непълно и следователно неточно и всички случаи на нейното използване, както и доказателството на обратната теорема, не са дадени. Целта на тази статия е да разбере какво представлява теоремата на Менелай, как и защо се използва, както и да сподели методологията за преподаване на тази теорема в индивидуалните часове на учителя със студентите.
Помислете за типична задача (Задача № 26, OGE), която се среща на изпити в различни варианти, които се различават само по числата в условието.

Самото решение на проблема е просто - можете да го прочетете по-долу. В тази статия обаче ние се интересуваме главно от малко по-различен момент, който често се пропуска, разбира се като самоочевиден, като очевиден. Но очевидното е това, което може да се докаже. И това може да се докаже по различни начини - обикновено го доказват изключително с помощта на подобието - но е възможно и с помощта на теоремата на Менелай.
От условието следва, че тъй като ъглите в долната основа на трапеца се събират до 90 °, тогава ако разширите страните, ще получите правоъгълен триъгълник. Освен това от получената пресечна точка на разширенията на страничните страни се изчертава сегмент, който минава през средните точки на основите. И защо този сегмент минава през всички тези три точки? Обикновено не се споменава нито дума за това в решенията на проблема, намерени в Интернет. Няма дори препратка към теоремата за четириточковия трапец, да не говорим за доказателство за това твърдение. Междувременно може да се докаже с помощта на теоремата на Менелай, която е условие три точки да принадлежат на една права линия.

Изявления на теоремата на Менелай
Време е да формулираме теоремата. Трябва да се отбележи, че в различни учебници и ръководства има доста различни формулировки, въпреки че същността остава непроменена. В учебника на Атанасян и др. за 10-11 клас е дадена следната формулировка на теоремата на Менелай, нека я наречем "векторна":

В учебника „Геометрия 10-11 клас” Александров и др., както и в учебника на същите автори „Геометрия. 8 клас ”е дадена малко по-различна формулировка на теоремата на Менелай, а за 10-11 клас и за 8 клас е същото:
Тук трябва да се направят три забележки.
Забележка 1. В изпитите няма задачи, които трябва да се решават само с помощта на вектори, за които се използва точно „минус едно“. Следователно за практическа употреба най-удобната формулировка е всъщност следствие от теоремата за отсечките (това е втората формулировка с удебелени букви). Ще се ограничим до него за по-нататъшно изучаване на теоремата на Менелай, тъй като нашата цел е да се научим как да я прилагаме за решаване на проблеми.
Забележка 2. Въпреки факта, че всички учебници ясно определят случая, когато и трите точки A 1, B 1 и C 1 могат да лежат на разширенията на страните на триъгълника (или на линии, съдържащи страните на триъгълника), на няколко В сайтовете за обучение в интернет се формулира само случаят, когато две точки лежат от двете страни, а третата лежи върху продължението на третата страна. Това едва ли може да се оправдае с факта, че на изпитите се срещат само задачи от първия тип и проблеми не могат да се срещнат, когато всички тези точки лежат на разширенията на трите страни.
Бележка 3: Обратната теорема, т.е. условието три точки да лежат на една и съща права линия обикновено изобщо не се разглежда, а някои преподаватели дори съветват (???) да се занимаваме само с директната теорема и да не разглеждаме обратната теорема. Междувременно доказателството на обратното твърдение е доста поучително и позволява да се докажат твърдения, подобни на тези, дадени в решението на задача 1. Опитът от доказването на обратната теорема несъмнено ще даде осезаема полза на ученика при решаването на проблеми.

Чертежи и модели

За да научите ученика да вижда теоремата на Менелай в задачите и да я използва при решаването, е важно да обърнете внимание на чертежите и моделите в записа на теоремата за конкретен случай. И тъй като самата теорема е в "чист" вид, т.е. без да са заобиколени от други сегменти, страни на различни фигури в задачите обикновено не се срещат, тогава е по-целесъобразно да се покаже теоремата върху конкретни проблеми. И ако показвате снимки като обяснение, направете ги многовариантни. В същото време маркирайте с един цвят (например червен) правата линия, която се образува от три точки, и синьо - сегментите на триъгълника, участващи в записа на теоремата на Менелай. В същото време онези елементи, които не участват, остават черни:

На пръв поглед може да изглежда, че формулировката на теоремата е доста сложна и не винаги ясна; защото включва три фракции. Всъщност, ако ученикът няма достатъчно опит, той лесно може да направи грешка в писането и в резултат на това да реши проблема неправилно. И тук понякога започват проблемите. Факт е, че учебниците обикновено не се фокусират върху това как да „направите заобиколен път“, когато пишете теорема. Нищо не се казва за закономерностите на писане на самата теорема. Ето защо някои преподаватели дори рисуват различни стрелки, в какъв ред да напишат формулата. И те молят учениците да следват стриктно тези указания. Това е отчасти правилно, но е много по-важно да разберете същността на теоремата, отколкото да я запишете чисто механично, като използвате „правилото за заобикаляне“ и стрелките.
Всъщност е важно да се разбере само логиката на "байпаса", а тя е толкова точна, че е невъзможно да се направи грешка при писането на формулата. И в двата случая а) и б) записваме формулата за триъгълника AMC.
Като начало определяме за себе си три точки - върховете на триъгълника. Имаме тези точки A, M, C. След това определяме точките, лежащи на пресечната линия (червена линия), това са B, P, K. Започваме "движението" от върха на триъгълника, например от точка C. От тази точка "отиваме "до точката, която се образува от пресечната точка, например, на страната AC и пресичащата се линия - имаме тази точка K. Пишем в числителя на първата дроб - SK. По-нататък от точка K "отиваме" до останалата точка на линията AC - до точка A. В знаменателя на първата дроб пишем - KA. Тъй като точка А също принадлежи на правата AM, правим същото с отсечките на правата AM. И тук отново започваме от върха, след което "отиваме" до точка на пресечната права, след което отиваме до върха M. След като се "намерим" на правата BC, правим същото с отсечките на тази линия. Разбира се, ние „минаваме“ от M към B, след което се връщаме към C. Този „байпас“ може да се направи както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно на часовниковата стрелка. Важно е само да разберете правилото за заобикаляне - от връх към точка на права линия и от точка на права линия към друг връх. Нещо подобно обикновено се обяснява с правилото за записване на произведението на дробите. Резултатът е:
Нека обърнем внимание на факта, че целият "байпас" се отразява в записа и е показан със стрелки за удобство.
Полученият запис обаче може да бъде извлечен, без да се извършва каквото и да е „обхождане“. След като се изпишат точките - върховете на триъгълника (A, M, C) и точките - лежащи на пресечната права (B, P, K), се записват и тройки от букви, обозначаващи точки, лежащи на всяка от три реда. В нашите случаи това са I) B , M , C ; II) A , P , M и III) A , C , K . След това правилната лява част на формулата може да бъде написана, без дори да гледате чертежа и в произволен ред. Достатъчно е да напишем истински дроби от всяка тройка букви, които се подчиняват на правилото - условно "средните" букви са точките на пресечната линия (червена). Обикновено "крайните" букви са точките на върховете на триъгълника (синьо). Когато пишете формула по този начин, трябва само да се уверите, че всяка "синя" буква (върхът на триъгълника) удря числителя и знаменателя веднъж.Напр.
Този метод е особено полезен за случаи като б), а също и за самотест.

Теорема на Менелай. Доказателство за
Има няколко различни начина за доказване на теоремата на Менелай. Понякога се доказват с помощта на подобието на триъгълници, за които от точката M се изчертава сегмент, успореден на AC (както на този чертеж). Други чертаят допълнителна линия, която не е успоредна на пресечната линия, и след това с линии, успоредни на пресечната линия, те изглежда „проектират“ всички необходими сегменти върху тази права и, използвайки обобщение на теоремата на Талес (т.е. теорема за пропорционалните отсечки), изведете формула. Въпреки това, може би най-простият начин да се докаже се получава, като се начертае права линия от точката M, успоредна на пресичащата се. Нека докажем теоремата на Менелай по този начин.
Дадено е: Триъгълник ABC. Правата PK пресича страните на триъгълника и продължението на страната MC в точка B.
Докажете, че равенството е в сила:
Доказателство. Нека начертаем лъч MM 1, успореден на BK. Нека запишем връзките, в които участват сегментите, включени във формулата на теоремата на Менелай. В единия случай разгледайте линиите, пресичащи се в точка А, а в другия случай, пресичащи се в точка С. Нека умножим лявата и дясната част на тези уравнения:

Теоремата е доказана.
Теоремата се доказва по подобен начин за случай b).

От точка C начертаваме отсечка CC 1, успоредна на правата BK. Нека запишем връзките, в които участват сегментите, включени във формулата на теоремата на Менелай. В един случай разглеждаме прави, пресичащи се в точка А, а в другия случай, пресичащи се в точка М. Тъй като теоремата на Талес не казва нищо за местоположението на сегментите на две пресичащи се прави, сегментите също могат да бъдат разположени на противоположни страни на точка М. Следователно

Теоремата е доказана.

Сега доказваме обратната теорема.
дадени:
Докажете, че точки B, P, K лежат на една права.
Доказателство. Нека правата BP пресича AC в точка K 2, която не съвпада с точката K. Тъй като BP е права, съдържаща точката K 2 , току-що доказаната теорема на Менелай е валидна за нея. Така че, за това ние пишем
Ние обаче току що показахме това
От това следва, че точките K и K 2 съвпадат, тъй като споделят страната AC в същото отношение.
За случай b) теоремата се доказва по подобен начин.

Решаване на задачи с помощта на теоремата на Менелай

Първо, нека се върнем към проблем 1 и да го решим. Нека го прочетем отново. Да направим чертеж:

Даден е трапец ABCD. ST - средната линия на трапеца, т.е. едно от тези разстояния. Ъгли A и D се събират до 90°. Продължаваме страните AB и CD и при тяхното пресичане получаваме точката K. Нека свържем точката K с точката N - средата на BC. Сега нека докажем, че точката P, която е средата на основата на AD, също принадлежи на правата KN. Разгледайте последователно триъгълници ABD и ACD. Правата KP пресича две страни на всеки триъгълник. Да предположим, че правата KN пресича основата AD в някаква точка X. Според теоремата на Менелай:
Тъй като триъгълникът AKD е правоъгълен, точка P, която е средата на хипотенузата AD, е на еднакво разстояние от A, D и K. По същия начин точка N е на еднакво разстояние от точки B, C и K. Откъдето едната основа е 36, а другата е 2.
Решение. Да разгледаме триъгълник BCD. Той се пресича от лъча AX, където X е пресечната точка на този лъч с продължението на страната BC. Според теоремата на Менелай:
Замествайки (1) в (2), получаваме:

Решение. Нека S 1 , S 2 , S 3 и S 4 са съответно площите на триъгълници AOB, AOM, BOK и четириъгълник MOKC.

Тъй като BM е медианата, тогава S ABM = S BMC .
Така че S 1 + S 2 = S 3 + S 4 .
Тъй като трябва да намерим съотношението на площите S 1 и S 4, разделяме двете страни на уравнението на S 4:
Нека заместим тези стойности във формула (1): От триъгълника BMC със секущата AK, според теоремата на Менелай, имаме: От триъгълника AKC със секущата BM, според теоремата на Менелай, имаме: Всички необходими съотношения са изразени чрез k и сега можем да ги заместим в израз (2):
Решението на този проблем с помощта на теоремата на Менелай е разгледано на страницата.

Бележка на учителя по математика.Прилагането на теоремата на Менелай в този проблем е самият случай, когато този метод може значително да спести време на изпита. Тази задача се предлага в демо версията на приемния изпит в лицея на Висшето училище по икономика за 9. клас (2019 г.).

Решете сами

1) Задачата е по-лесна. На медианата BD на триъгълник ABC е отбелязана точка M, така че BM: MD = m: n. Правата AM пресича страната BC в точка K.
Намерете отношението BK:KC.
2) Задачата е по-трудна. Симетралата на ъгъл A на успоредника ABCD пресича страната BC в точка P, а диагонала BD в точка T. Известно е, че AB: AD = k (0 3) Задача номер 26 OGE. В триъгълник ABC ъглополовящата BE и медианата AD са перпендикулярни и имат еднаква дължина, равна на 36. Намерете страните на триъгълник ABC.
Съвет за учител по математика.В интернет има решение на такъв проблем с помощта на допълнителна конструкция и след това или сходство, или намиране на области и едва след това страните на триъгълника. Тези. и двата метода изискват допълнителна конструкция. Въпреки това, решението на такъв проблем с помощта на свойството на ъглополовящата и теоремата на Менелай не изисква никакви допълнителни конструкции. Това е много по-просто и по-рационално.

Теорема на Менелайили пълната четиристранна теорема е известна от древна Гърция. Той е кръстен на своя автор, древногръцки математик и астроном. Менелай от Александрия(около 100 г. сл. Хр.). Тази теорема е много красива и проста, но, за съжаление, не й се обръща нужното внимание в съвременния училищен курс. И междувременно в много случаи помага за решаването на доста сложни геометрични проблеми много лесно и грациозно.

Теорема 1 (теорема на Менелай). Нека ∆ABC се пресича от права, която не е успоредна на страната AB и пресича две от нейните страни AC и BC съответно в точки F и E, но от права AB в точка D (Фиг. 1),

тогава A F FC * CE EB * BD DA = 1

Забележка.За да запомните лесно тази формула, можете да използвате следното правило: движете се по контура на триъгълника от върха до точката на пресичане с линията и от точката на пресичане до следващия връх.

Доказателство.От върховете A, B, C на триъгълника теглим съответно три успоредни прави до пресичането им със секущата. Получаваме три двойки подобни триъгълници (знак за сходство в два ъгъла). От подобието на триъгълниците следват следните равенства

И сега умножаваме получените данни равенства:

Теоремата е доказана.

За да усетите красотата на тази теорема, нека се опитаме да решим геометричната задача, предложена по-долу, по два различни начина: с помощта на помощна компилацияи с помощта теореми на Менелай.

Задача 1.

В ∆ABC ъглополовящата AD разделя страната BC в съотношение 2 : 1. В какво отношение медианата CE разделя тази ъглополовяща?

Решение.

С помощта на спомагателна конструкция:

Нека S е пресечната точка на ъглополовящата AD и медианата CE. Допълваме ∆ASB до успоредника ASBK. (фиг. 2)

Очевидно е, че SE = EK, тъй като точката на пресичане на успоредника разполовява диагоналите. Помислете сега за триъгълниците ∆CBK и ∆CDS. Лесно се вижда, че те са подобни (знак за сходство в два ъгъла: и като вътрешни едностранни ъгли с успоредни прави AD и KB и секуща CB). Сходството на триъгълник предполага следното:

Използвайки условието, получаваме:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Сега имайте предвид, че KB = AS, като противоположни страни на успоредник. Тогава

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Използване на теоремата на Менелай.

Да разгледаме ∆ABD и да приложим към него теоремата на Менелай (правата, минаваща през точките C, S, E, е секуща):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

По условието на теоремата имаме BE/EA = 1, тъй като CE е медианата, и DC/CB = 1/3, както вече изчислихме по-рано.

1*AS SD*1 3=1

От тук получаваме AS/SD = 3 На пръв поглед и двете решения са доста компактни и приблизително еквивалентни. Въпреки това, идеята за допълнителна конструкция за учениците често се оказва много сложна и изобщо не е очевидна, докато, знаейки теоремата на Менелай, е достатъчно той да я приложи правилно.

Помислете за друг проблем, в който теоремата на Менелай работи много изящно.

Задача 2.

Върху страните AB и BC ∆ABC са дадени съответно точки M и N, за които са изпълнени следните равенства:

AM MB = CN NA = 1 2

В какво отношение пресечната точка S на отсечките BN и CM разделя всяка от тези отсечки (фиг. 3)?

Решение.

Помислете за ∆ABN. Прилагаме теоремата на Менелай за този триъгълник (правата, минаваща през точките M, S, C, е секущата)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

От условието на задачата имаме: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Включвайки тези резултати, получаваме:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Следователно BS / SN = 6. И следователно точката S на пресичането на сегментите BN и CM разделя сегмента BN в съотношение 6: 1.

Помислете за ∆ACM. Прилагаме теоремата на Менелай за този триъгълник (правата, минаваща през точките N, S, B, е секущата):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

От условието на задачата имаме: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Включвайки тези резултати, получаваме:

2*CS-SM*2 3=1

Следователно CS/SM = 3/4

И следователно точката S на пресечната точка на сегментите BN и CM разделя сегмента CM в съотношение 3: 4.

Валидна е и обратната теорема на теоремата на Менелай. Често се оказва дори по-полезен. Работи особено добре при проблеми с доказателство. Често с негова помощ дори олимпиадните задачи се решават красиво, лесно и бързо.

Теорема 2(Обратната теорема на Менелай). Нека е даден триъгълник ABC и точките D, E, F принадлежат съответно на правите BC, AC, AB (обърнете внимание, че те могат да лежат както на страните на триъгълник ABC, така и на техните продължения) (фиг. 4).

Тогава, ако AF FC * CE EB * BD DA = 1

тогава точките D, E, F лежат на една и съща права линия.

Доказателство.Нека докажем теоремата от противното. Да приемем, че връзката от условието на теоремата е изпълнена, но точката F не лежи на правата DE (фиг. 5).

Нека означим пресечната точка на правите DE и AB с буквата O. Сега прилагаме теоремата на Менелай и получаваме: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Но, от друга страна, равенството BF FA = BO OA

не може да се изпълни.

Следователно връзката от условието на теоремата не може да бъде изпълнена. Имаме противоречие.

Теоремата е доказана.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.