কোণ দ্বিখণ্ডকের বৈশিষ্ট্যের উপর 2টি উপপাদ্য। দ্বিখণ্ডিত উপপাদ্য। কোণ দ্বিখণ্ডকের মৌলিক সম্পত্তি

উপপাদ্য। একটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে সন্নিহিত বাহুর সমানুপাতিক অংশে বিভক্ত করে।

প্রমাণ। ত্রিভুজ ABC (Fig. 259) এবং এর B কোণের দ্বিখণ্ডক বিবেচনা করুন। আসুন C শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা CM আঁকুন, দ্বিখণ্ডার VC-এর সমান্তরাল, যতক্ষণ না এটি AB বাহুর ধারাবাহিকতার সাথে M বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু VC হল ABC কোণের দ্বিখণ্ডক, তাহলে। আরও, সমান্তরাল রেখাগুলিতে সংশ্লিষ্ট কোণ হিসাবে এবং সমান্তরাল রেখাগুলিতে আড়াআড়িভাবে মিথ্যা কোণ হিসাবে। এখান থেকে এবং তাই - সমদ্বিবাহু, কোথা থেকে। কোণের বাহুগুলিকে ছেদকারী সমান্তরাল রেখার উপপাদ্য অনুসারে, আমরা পেয়েছি এবং এটির পরিপ্রেক্ষিতে আমরা পেয়েছি, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল।

ত্রিভুজ ABC (চিত্র 260) এর বাহ্যিক কোণ B-এর দ্বিখণ্ডকটির একটি অনুরূপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে: AL এবং CL শীর্ষবিন্দু A এবং C থেকে বিন্দু L বিন্দু পর্যন্ত AC এর ধারাবাহিকতা সহ দ্বিখন্ডের ছেদ ত্রিভুজের বাহুর সমানুপাতিক:

এই সম্পত্তিটি আগেরটির মতো একইভাবে প্রমাণিত হয়েছে: চিত্রে। 260 একটি অক্জিলিয়ারী সরলরেখা SM টানা হয়েছে, দ্বিখন্ডক BL-এর সমান্তরাল। পাঠক নিজেই BMC এবং BCM কোণের সমতা সম্পর্কে নিশ্চিত হবেন, এবং সেই কারণে BMC ত্রিভুজের বাহু BM এবং BC, যার পরে প্রয়োজনীয় অনুপাত অবিলম্বে পাওয়া যাবে।

আমরা বলতে পারি যে বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডকটিও বিপরীত দিকটিকে সংলগ্ন বাহুর সমানুপাতিক অংশে ভাগ করে; সেগমেন্টের "বাহ্যিক বিভাজন" অনুমোদন করার জন্য শুধুমাত্র সম্মত হওয়া প্রয়োজন।

L বিন্দু, AC সেগমেন্টের বাইরে অবস্থিত (এর ধারাবাহিকতায়), এটিকে বাহ্যিকভাবে বিভক্ত করে যদি তাই হয়, ত্রিভুজের কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি (অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক) বিপরীত বাহুকে (অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক) সমানুপাতিক অংশে ভাগ করে সংলগ্ন পক্ষগুলি।

সমস্যা 1. ট্র্যাপিজয়েডের বাহুগুলি হল 12 এবং 15, ভিত্তিগুলি হল 24 এবং 16৷ ট্র্যাপিজয়েডের বৃহৎ ভিত্তি এবং এর প্রসারিত বাহুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের বাহুগুলি খুঁজুন।

সমাধান। চিত্রের স্বরলিপিতে। 261 আমাদের কাছে রয়েছে পার্শ্বীয় দিকের ধারাবাহিকতা হিসাবে পরিবেশন করা সেগমেন্টের অনুপাত যা থেকে আমরা সহজেই খুঁজে পাই একইভাবে আমরা ত্রিভুজের দ্বিতীয় পার্শ্বীয় দিকটি নির্ধারণ করি তৃতীয় দিকটি বড় বেসের সাথে মিলে যায়: .

টাস্ক 2. ট্র্যাপিজয়েডের বেসগুলি হল 6 এবং 15। ছোট বেসের শীর্ষবিন্দু থেকে গণনা করে বেসগুলির সমান্তরাল এবং 1:2 অনুপাতে বাহুগুলিকে ভাগ করার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান। চলুন ফিগ চালু করা যাক. 262 একটি ট্র্যাপিজয়েড চিত্রিত করছে। ছোট বেসের শীর্ষবিন্দু C এর মাধ্যমে আমরা ট্র্যাপিজয়েড থেকে একটি সমান্তরাল বৃত্ত কেটে পার্শ্বীয় দিক AB-এর সমান্তরাল একটি রেখা আঁকি। তারপর থেকে এখান থেকে আমরা খুঁজে পাই। অতএব, সম্পূর্ণ অজানা সেগমেন্ট KL সমান নোট করুন যে এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমাদের ট্র্যাপিজয়েডের দিকগুলি জানতে হবে না।

সমস্যা 3. ত্রিভুজ ABC-এর অভ্যন্তরীণ কোণ B-এর দ্বিখণ্ডক পার্শ্ব AC-কে ভাগে ভাগ করে A এবং C শীর্ষবিন্দু থেকে কত দূরত্বে বাহ্যিক কোণ B-এর দ্বিখণ্ডকটি এক্সটেনশন AC-কে ছেদ করবে?

সমাধান। B কোণের প্রতিটি দ্বিখণ্ডক AC কে একই অনুপাতে ভাগ করে, তবে একটি অভ্যন্তরীণ এবং অন্যটি বাহ্যিকভাবে। আমরা L দ্বারা AC এর ধারাবাহিকতা এবং বাহ্যিক কোণের দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দুকে চিহ্নিত করি। যেহেতু AK আমরা ততক্ষণে অজানা দূরত্ব AL নির্দেশ করি এবং আমাদের কাছে সেই অনুপাত থাকবে যার সমাধান আমাদের প্রয়োজনীয় দূরত্ব দেয়

নিজেই অঙ্কন করুন।

অনুশীলন

1. ঘাঁটি 8 এবং 18 সহ একটি ট্র্যাপিজয়েড সমান প্রস্থের ছয়টি স্ট্রিপে বেসের সমান্তরাল সরল রেখা দ্বারা বিভক্ত। ট্র্যাপিজয়েডকে স্ট্রিপে বিভক্ত করে রেখার দৈর্ঘ্য খুঁজুন।

2. ত্রিভুজের পরিধি হল 32। কোণ A এর দ্বিখণ্ডকটি 5 এবং 3 এর সমান অংশে BC ভাগ করে। ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

3. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তি a, বাহুটি b। বেসের কোণগুলির দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দুগুলিকে বাহুগুলির সাথে সংযুক্ত করে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজুন।

আজ একটি খুব সহজ পাঠ হতে যাচ্ছে. আমরা শুধুমাত্র একটি বস্তু বিবেচনা করব - কোণ দ্বিখণ্ডক - এবং এটির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি প্রমাণ করব, যা ভবিষ্যতে আমাদের জন্য খুব দরকারী হবে।

শুধু শিথিল হবেন না: কখনও কখনও ছাত্ররা যারা একই OGE বা USE-এ উচ্চ স্কোর পেতে চায়, প্রথম পাঠে, এমনকি দ্বিখণ্ডারের সঠিক সংজ্ঞাও তৈরি করতে পারে না।

এবং সত্যিই আকর্ষণীয় কাজ করার পরিবর্তে, আমরা এই ধরনের সাধারণ জিনিসগুলিতে সময় ব্যয় করি। তাই পড়ুন, দেখুন - এবং গ্রহণ করুন। :)

শুরু করার জন্য, একটি সামান্য অদ্ভুত প্রশ্ন: একটি কোণ কি? এটা ঠিক: একটি কোণ হল একই বিন্দু থেকে বের হওয়া মাত্র দুটি রশ্মি। উদাহরণ স্বরূপ:

কোণের উদাহরণ: তীব্র, স্থূল এবং ডান

আপনি ছবিটি থেকে দেখতে পাচ্ছেন, কোণগুলি তীক্ষ্ণ, স্থূল, সোজা হতে পারে - এটি এখন কোন ব্যাপার না। প্রায়শই, সুবিধার জন্য, প্রতিটি রশ্মির উপর একটি অতিরিক্ত বিন্দু চিহ্নিত করা হয় এবং তারা বলে, তারা বলে, আমাদের একটি কোণ আছে $AOB$ ($\angle AOB$ হিসাবে লেখা)।

ক্যাপ্টেন মনে হচ্ছে $OA$ এবং $OB$ রশ্মি ছাড়াও $O$ বিন্দু থেকে একগুচ্ছ রশ্মি আঁকতে পারে। তবে তাদের মধ্যে একটি বিশেষ থাকবে - একে দ্বিখণ্ডক বলা হয়।

সংজ্ঞা। একটি কোণের দ্বিখণ্ডক হল একটি রশ্মি যা সেই কোণের শীর্ষবিন্দু থেকে বেরিয়ে এসে কোণটিকে দ্বিখণ্ডিত করে।

উপরের কোণগুলির জন্য, দ্বিখণ্ডকগুলি এইরকম দেখাবে:

তীব্র, স্থূল এবং সমকোণের জন্য দ্বিখন্ডের উদাহরণ

যেহেতু বাস্তব অঙ্কনে এটি সর্বদা স্পষ্ট নয় যে একটি নির্দিষ্ট রশ্মি (আমাদের ক্ষেত্রে, এটি $OM$ রশ্মি) প্রাথমিক কোণটিকে দুটি সমানে বিভক্ত করে, জ্যামিতিতে একই সংখ্যার সাথে সমান কোণ চিহ্নিত করা প্রথাগত। arcs (আমাদের অঙ্কনে এটি একটি তীব্র কোণের জন্য 1 চাপ, ভোঁতার জন্য দুটি, সোজার জন্য তিনটি)।

ঠিক আছে, আমরা সংজ্ঞাটি বের করেছি। এখন আপনি দ্বিখণ্ডিত বৈশিষ্ট্য আছে বুঝতে হবে.

কোণ দ্বিখণ্ডকের মৌলিক সম্পত্তি

প্রকৃতপক্ষে, দ্বিখন্ডের অনেক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এবং আমরা অবশ্যই পরবর্তী পাঠে সেগুলি বিবেচনা করব। তবে একটি কৌশল রয়েছে যা আপনাকে এখনই বুঝতে হবে:

উপপাদ্য। একটি কোণের দ্বিখণ্ডক হল প্রদত্ত কোণের বাহু থেকে সমান দূরত্বের বিন্দুগুলির অবস্থান।

গাণিতিক থেকে রাশিয়ান ভাষায় অনুবাদ করা হয়েছে, এর অর্থ একবারে দুটি তথ্য:

1. একটি কোণের দ্বিখণ্ডে থাকা প্রতিটি বিন্দু সেই কোণের দিক থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত।
2. এবং তদ্বিপরীত: যদি একটি বিন্দু একটি প্রদত্ত কোণের দিক থেকে একই দূরত্বে থাকে, তবে এটি এই কোণের দ্বিখণ্ডকের উপর থাকা নিশ্চিত।

এই বিবৃতিগুলি প্রমাণ করার আগে, আসুন একটি বিন্দু পরিষ্কার করা যাক: আসলে, একটি বিন্দু থেকে একটি কোণের একটি পাশের দূরত্বকে কী বলে? একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের ভাল পুরানো সংজ্ঞা আমাদের এখানে সাহায্য করবে:

সংজ্ঞা। একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব হল সেই বিন্দু থেকে সেই রেখা পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।

উদাহরণ স্বরূপ, একটি লাইন $l$ এবং একটি বিন্দু $A$ এই লাইনে পড়ে না তা বিবেচনা করুন। একটি লম্ব আঁকুন $AH$, যেখানে $H\in l$। তাহলে এই লম্বের দৈর্ঘ্য হবে $A$ বিন্দু থেকে $l$ রেখার দূরত্ব।

একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের গ্রাফিক্যাল উপস্থাপনা

যেহেতু একটি কোণ মাত্র দুটি রশ্মি, এবং প্রতিটি রশ্মি একটি রেখার একটি টুকরো, তাই একটি বিন্দু থেকে কোণের পাশের দূরত্ব নির্ধারণ করা সহজ। এটি মাত্র দুটি লম্ব:

একটি বিন্দু থেকে একটি কোণের পাশের দূরত্ব নির্ধারণ করুন

এখানেই শেষ! এখন আমরা জানি দূরত্ব কী এবং দ্বিখণ্ডক কী। অতএব, আমরা প্রধান সম্পত্তি প্রমাণ করতে পারেন.

প্রতিশ্রুতি অনুসারে, আমরা প্রমাণটিকে দুটি ভাগে বিভক্ত করি:

1. দ্বিখন্ডের একটি বিন্দু থেকে কোণের বাহুগুলির দূরত্ব একই

শীর্ষবিন্দু $O$ এবং দ্বিখন্ডক $OM$ সহ একটি নির্বিচারে কোণ বিবেচনা করুন:

আসুন প্রমাণ করি যে এই একই বিন্দু $M$ কোণের বাহু থেকে একই দূরত্বে রয়েছে।

প্রমাণ। আসুন কোণের বাহুতে $M$ বিন্দু থেকে লম্ব আঁকুন। আসুন তাদের ডাকি $M((H)_(1))$ এবং $M((H)_(2))$:

কোণার পাশে লম্ব আঁকুন

আমরা দুটি সমকোণী ত্রিভুজ পেয়েছি: $\vartriangle OM((H)_(1))$ এবং $\vartriangle OM((H)_(2))$। তাদের একটি সাধারণ কর্ণের $OM$ এবং সমান কোণ রয়েছে:

1. $\কোণ MO((H)_(1))=\কোণ MO((H)_(2))$ অনুমান দ্বারা (যেহেতু $OM$ একটি দ্বিখণ্ডক);
2. $\কোণ M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ নির্মাণ দ্বারা;
3. $\কোণ OM((H)_(1))=\কোণ OM((H)_(2))=90()^\circ -\কোণ MO((H)_(1))$ কারণ যোগফল একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণ সর্বদা 90 ডিগ্রির সমান।

অতএব, ত্রিভুজগুলি পাশে সমান এবং দুটি সন্নিহিত কোণ (ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন দেখুন)। অতএব, বিশেষ করে, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, অর্থাৎ $O$ বিন্দু থেকে কোণের দুদিকের দূরত্ব প্রকৃতপক্ষে সমান। Q.E.D. :)

2. যদি দূরত্ব সমান হয়, তাহলে বিন্দুটি দ্বিখন্ডের উপর অবস্থিত

এখন পরিস্থিতি উল্টে গেছে। এই কোণের বাহু থেকে একটি কোণ $O$ এবং একটি বিন্দু $M$ সমদূরত্ব দেওয়া যাক:

আসুন প্রমাণ করি যে $OM$ রশ্মি একটি দ্বিখণ্ডক, অর্থাৎ $\কোণ MO((H)_(1))=\কোণ MO((H)_(2))$।

প্রমাণ। শুরু করার জন্য, আসুন এই রশ্মিটি আঁকি $OM$, অন্যথায় প্রমাণ করার মতো কিছুই থাকবে না:

কোণার ভিতরে বীম $OM$ ব্যয় করেছে৷

আমরা আবার দুটি সমকোণী ত্রিভুজ পেয়েছি: $\vartriangle OM((H)_(1))$ এবং $\vartriangle OM((H)_(2))$। স্পষ্টতই তারা সমান কারণ:

1. কর্ণ $OM$ সাধারণ;
2. পা $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ শর্ত অনুসারে (কারণ বিন্দু $M$ কোণার দিক থেকে সমান দূরত্বে রয়েছে);
3. বাকি পাগুলোও সমান, কারণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$ দ্বারা।

অতএব, ত্রিভুজ $\vartriangle OM((H)_(1))$ এবং $\vartriangle OM((H)_(2))$ তিন দিকে। বিশেষ করে, তাদের কোণগুলি সমান: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$। এবং এর মানে হল যে $OM$ হল একটি দ্বিখন্ডক।

প্রমাণের উপসংহারে, আমরা গঠিত সমান কোণগুলিকে লাল চাপ দিয়ে চিহ্নিত করি:

দ্বিখণ্ডকটি কোণ $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ কে দুটি সমান ভাগ করে

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছুই জটিল নয়। আমরা প্রমাণ করেছি যে একটি কোণের দ্বিখণ্ডক হল এই কোণের বাহুর সমান দূরত্বের বিন্দুগুলির অবস্থান। :)

এখন যেহেতু আমরা পরিভাষা সম্পর্কে কমবেশি সিদ্ধান্ত নিয়েছি, এটি একটি নতুন স্তরে যাওয়ার সময়। পরবর্তী পাঠে, আমরা দ্বিখন্ডের আরও জটিল বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করব এবং বাস্তব সমস্যা সমাধানের জন্য সেগুলিকে কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শিখব।

আবারো স্বাগতম! এই ভিডিওতে আমি আপনাকে প্রথম যে জিনিসটি দেখাতে চাই তা হল দ্বিখণ্ডিত উপপাদ্যটি কী, দ্বিতীয়টি হল আপনাকে এর প্রমাণ দেওয়া। সুতরাং, আমাদের একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ, ত্রিভুজ ABC আছে। এবং আমি এখানে এই উপরের কোণার দ্বিখন্ডক আঁকতে যাচ্ছি। এটি তিনটি কোণার যে কোনওটির জন্য করা যেতে পারে, তবে আমি শীর্ষটি বেছে নিয়েছি (এটি উপপাদ্যটির প্রমাণটিকে কিছুটা সহজ করে তুলবে)। তো, এই কোণের দ্বিখণ্ডক আঁকুন, ABC। এবং এখন এই বাম কোণ এই ডান কোণার সমান. চলুন বাইসেক্টরের ছেদ বিন্দুটিকে পাশের AC D দিয়ে বলি। দ্বিখন্ডের উপপাদ্যটি বলে যে এই দ্বিখণ্ডক দ্বারা বিভক্ত বাহুর অনুপাত... আচ্ছা, আপনি দেখুন: আমি একটি দ্বিখণ্ডক আঁকলাম - এবং বড় ত্রিভুজ ABC থেকে দুটি ছোট ত্রিভুজ পরিণত হয়েছে আউট সুতরাং, দ্বিখণ্ডিত উপপাদ্য দ্বারা, এই ছোট ত্রিভুজের অন্য দুটি বাহুর মধ্যে অনুপাত (অর্থাৎ দ্বিখণ্ডিত দিকটি অন্তর্ভুক্ত নয়) সমান হবে। সেগুলো. এই উপপাদ্যটি বলে যে AB/AD অনুপাত BC/CD অনুপাতের সমান হবে। আমি বিভিন্ন রং দিয়ে চিহ্নিত করব। AB (এই পাশে) থেকে AD (এই দিকে) অনুপাত BC (এই পাশে) থেকে CD (এই পাশে) অনুপাতের সমান হবে। মজাদার! এই দিকের এই দিকের অনুপাত এই দিকের অনুপাতের সমান ... একটি দুর্দান্ত ফলাফল, তবে আপনি এটির জন্য আমার কথা গ্রহণ করার সম্ভাবনা কম এবং নিশ্চিত হতে চান যে আমরা নিজেদের জন্য এটি প্রমাণ করেছি। এবং, সম্ভবত আপনি অনুমান করেছেন যে যেহেতু এখন আমাদের কিছু প্রতিষ্ঠিত আকৃতির অনুপাত আছে, তাহলে আমরা ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য ব্যবহার করে উপপাদ্যটি প্রমাণ করব। দুর্ভাগ্যবশত আমাদের জন্য, এই দুটি ত্রিভুজ অগত্যা একই রকম নয়। আমরা জানি যে এই দুটি কোণ সমান, কিন্তু আমরা জানি না, উদাহরণস্বরূপ, এই কোণটি (BAD) এই এক (BCD) এর সমান কিনা। আমরা জানি না এবং এই ধরনের অনুমান করতে পারি না। এই ধরনের সমতা প্রতিষ্ঠার জন্য, আমাদের আরেকটি ত্রিভুজ তৈরি করতে হতে পারে যা এই চিত্রের একটি ত্রিভুজের মতো হবে। এবং এটি করার একটি উপায় হল আরেকটি লাইন আঁকা। সত্যি কথা বলতে কি, এই প্রমাণটি আমার কাছে বোধগম্য ছিল যখন আমি প্রথম এই বিষয়টি নিয়ে অধ্যয়ন করি, তাই যদি এটি এখন আপনার কাছে বোধগম্য হয়, তাহলে ঠিক আছে। যদি আমরা এই কোণের এই দ্বিখণ্ডকে এখানে প্রসারিত করি? এটাকে দীর্ঘায়িত করা যাক... ধরা যাক এটা অনির্দিষ্টকালের জন্য চলে। হয়তো আমরা এই ত্রিভুজের মতো একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি, বিডিএ, যদি আমরা এখানে AB এর সমান্তরালে একটি রেখা আঁকি? আসুন এটি করার চেষ্টা করি। সমান্তরাল রেখার বৈশিষ্ট্য অনুসারে, বিন্দু C যদি AB রেখাংশের অন্তর্গত না হয়, তাহলে C বিন্দুর মাধ্যমে AB রেখাংশের সমান্তরাল রেখা আঁকা সম্ভব। তাহলে এখানে আরেকটি সেগমেন্ট নেওয়া যাক। আসুন এই বিন্দুটিকে F বলি। এবং ধরুন এই রেখাংশ FC AB রেখাংশের সমান্তরাল। সেগমেন্ট FC হল সেগমেন্ট AB এর সমান্তরাল... আমি এটা লিখে রাখি: FC AB এর সমান্তরাল। এবং এখন আমরা এখানে কিছু আকর্ষণীয় পয়েন্ট আছে. রেখাংশ AB-এর সমান্তরাল একটি রেখাংশ অঙ্কন করে, আমরা ত্রিভুজ BDA-এর অনুরূপ একটি ত্রিভুজ তৈরি করেছি। দেখা যাক কিভাবে এটা পরিণত. সাদৃশ্য সম্পর্কে কথা বলার আগে, প্রথমে আমরা এখানে গঠিত কিছু কোণ সম্পর্কে কী জানি সে সম্পর্কে চিন্তা করি। আমরা জানি যে এখানে অভ্যন্তরীণ আড়াআড়ি কোণ রয়েছে। একই সমান্তরাল রেখা নিন... আচ্ছা, আপনি কল্পনা করতে পারেন যে AB অনির্দিষ্টকালের জন্য চলতে থাকে এবং FC অনির্দিষ্টকালের জন্য চলতে থাকে। এবং এই ক্ষেত্রে বিএফ সেগমেন্টটি একটি সেক্যান্ট। তারপর এই কোণ যাই হোক না কেন, ABD, এই কোণ, CFD, এর সমান হবে (অভ্যন্তরীণ আড়াআড়ি কোণের বৈশিষ্ট্য দ্বারা)। সমান্তরাল রেখাগুলি একটি সেকেন্টকে ছেদ করার সময় গঠিত কোণগুলি সম্পর্কে কথা বলার সময় আমরা অনেকবার এই ধরনের কোণের সম্মুখীন হয়েছি। সুতরাং এই দুটি কোণ সমান হবে। কিন্তু এই কোণ, DBC, এবং এই এক, CFD, সমান হবে, কারণ কোণ ABD এবং DBC সমান। সর্বোপরি, BD একটি দ্বিখণ্ডক, যার অর্থ হল কোণ ABD কোণ DBC এর সমান। সুতরাং, এই দুটি কোণ যাই হোক না কেন, CFD কোণ তাদের সমান হবে। এবং এটি একটি আকর্ষণীয় ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে। কারণ দেখা যাচ্ছে যে এই বৃহত্তর ত্রিভুজ BFC-তে, গোড়ার কোণগুলি সমান। এবং এই, ঘুরে, মানে হল ত্রিভুজ BFC হল সমদ্বিবাহু। তারপর সাইড BC অবশ্যই সাইড FC এর সমান হতে হবে। BC FC এর সমান হতে হবে। চমৎকার! আমরা সেক্যান্ট দ্বারা গঠিত অভ্যন্তরীণ ক্রস-লাইং কোণের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেছি দেখাতে যে ত্রিভুজ BFC সমদ্বিবাহু এবং তাই, BC এবং FC বাহুগুলি সমান। এবং এই আমাদের জন্য দরকারী হতে পারে, কারণ. আমরা জানি যে... আচ্ছা, যদি আমরা না জানি, তাহলে অন্তত আমরা মনে করি যে এই দুটি ত্রিভুজ একই রকম হবে। আমরা এখনো এটা প্রমাণ করতে পারিনি। কিন্তু আমরা যা প্রমাণ করেছি তা কীভাবে আমাদের ভিএস পাশ সম্পর্কে কিছু শিখতে সাহায্য করতে পারে? ঠিক আছে, আমরা এইমাত্র প্রমাণ করেছি যে সাইড BC সাইড FC এর সমান। যদি আমরা প্রমাণ করতে পারি যে AB/AD অনুপাত FC/CD অনুপাতের সমান, তাহলে বিবেচনা করুন যে কাজটি হয়ে গেছে, কারণ আমরা এইমাত্র প্রমাণ করেছি যে BC = FC। তবে আসুন উপপাদ্যের দিকে না ফেরা - আসুন প্রমাণের ফলে এটিতে আসা যাক। সুতরাং, রেখাংশ FC যে AB এর সমান্তরাল তা আমাদের খুঁজে বের করতে সাহায্য করেছে যে BFC ত্রিভুজ সমদ্বিবাহু, এবং এর বাহু BC এবং FC সমান। এখন এখানে অন্যান্য কোণ তাকান. যদি আমরা ত্রিভুজ ABD (এটি) এবং ত্রিভুজ FDC দেখি, আমরা ইতিমধ্যেই খুঁজে পেয়েছি যে তাদের সমান কোণগুলির এক জোড়া রয়েছে। কিন্তু এছাড়াও ত্রিভুজ ABD-এর এই কোণটি ত্রিভুজ FDC-এর এই কোণের সাপেক্ষে উল্লম্ব, যার মানে এই কোণগুলি সমান। এবং আমরা জানি যে যদি একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ যথাক্রমে অন্যটির দুটি কোণের সমান হয় (আচ্ছা, তৃতীয় সংশ্লিষ্ট কোণগুলিও সমান হবে), তাহলে দুটি কোণে ত্রিভুজের মিলের চিহ্ন দ্বারা আমরা এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে এই দুটি ত্রিভুজ অনুরূপ। আমি এটা লিখে দেব। এবং আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে লেখার সময় শীর্ষবিন্দুগুলি একে অপরের সাথে মিলে যায়। সুতরাং, দুটি কোণার মিলের উপর ভিত্তি করে, আমরা জানি... এবং আমি সবুজে চিহ্নিত কোণটি দিয়ে শুরু করব। আমরা জানি যে ত্রিভুজ B... তারপর নীল রঙে চিহ্নিত কোণে যান... ত্রিভুজ বিডিএ একটি ত্রিভুজের মতো... এবং আবার সবুজে চিহ্নিত কোণ থেকে শুরু করুন: F (তারপর নীল রঙে চিহ্নিত কোণে যান) ... একটি ত্রিভুজ FDC অনুরূপ. এখন দ্বিখণ্ডিত উপপাদ্যে ফিরে আসা যাক। আমরা আকৃতির অনুপাত AB/AD এ আগ্রহী। AB থেকে AD এর অনুপাত... আমরা ইতিমধ্যেই জানি, অনুরূপ ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাত সমান। অথবা কেউ একটি অনুরূপ ত্রিভুজের দুটি বাহুর অনুপাত খুঁজে পেতে পারে এবং অন্য একটি অনুরূপ ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাতের সাথে তুলনা করতে পারে। তাদেরও সমান হতে হবে। সুতরাং, যেহেতু বিডিএ এবং এফডিসি ত্রিভুজ একই রকম, সম্পর্কটি AB... আচ্ছা, যাইহোক, ত্রিভুজ দুটি কোণে একই রকম, তাই আমি এখানে লিখব। কারণ ত্রিভুজগুলি একই রকম, তাহলে আমরা জানি যে অনুপাত AB/AD হবে... এবং আমরা এখানে অনুরূপ বাহুগুলি খুঁজে পেতে সাদৃশ্য বিবৃতিটি দেখতে পারি। AB-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ দিকটি হল পার্শ্ব CF। সেগুলো. AB/AD সমান CF দ্বারা ভাগ... পার্শ্ব AD হল পার্শ্ব CD। তাই CF/CD. সুতরাং, আমরা নিম্নলিখিত অনুপাত পেয়েছি: AB/AD=CF/CD। কিন্তু আমরা ইতিমধ্যে প্রমাণ করেছি যে (যেহেতু BFC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ) CF BC এর সমান। তাই এখানে আমরা CF কে BC দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি। এটাই প্রমাণ করার দরকার ছিল। আমরা প্রমাণ করেছি যে AB/AD=BC/CD। সুতরাং, এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করার জন্য, প্রথমত, আরও একটি ত্রিভুজ তৈরি করা প্রয়োজন, এটি একটি। এবং ধরে নিলাম যে রেখাংশ AB এবং CF সমান্তরাল, আপনি দুটি ত্রিভুজের দুটি অনুরূপ সমান কোণ পেতে পারেন - এটি, ঘুরে, ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য নির্দেশ করে। আরেকটি ত্রিভুজ নির্মাণ করার পর, এখানে দুটি অনুরূপ ত্রিভুজ রয়েছে তা ছাড়াও, আমরা প্রমাণ করতে সক্ষম হব যে এই বৃহত্তর ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। এবং তারপরে আমরা বলতে পারি: একটি অনুরূপ ত্রিভুজের এটি এবং এই বাহুর মধ্যে অনুপাতটি অন্য একটি অনুরূপ ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলির (এটি এবং এটি) অনুপাতের সমান। এবং এর মানে হল যে আমরা প্রমাণ করেছি যে এই দিক এবং এই পাশের অনুপাত BC/CD অনুপাতের সমান। Q.E.D. দেখা হবে!