যদি মহাশূন্যে দুটি রেখার একটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে এই দুটি লাইনকে ছেদ করে বলে বলা হয়। নিচের চিত্রে, রেখা a এবং b A বিন্দুতে ছেদ করে। লাইন a এবং c ছেদ করে না।

যেকোন দুটি লাইনের হয় শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে, অথবা সাধারণ বিন্দু নেই।

সমান্তরাল রেখা

মহাকাশে দুটি রেখাকে সমান্তরাল বলা হয় যদি তারা একই সমতলে থাকে এবং ছেদ না করে। সমান্তরাল রেখা নির্ধারণ করতে একটি বিশেষ আইকন ব্যবহার করুন - ||

স্বরলিপি a||b মানে লাইন a লাইন b এর সমান্তরাল। উপরের চিত্রে, লাইন a এবং c সমান্তরাল।

সমান্তরাল রেখার উপপাদ্য

মহাকাশের যে কোনো বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেটি প্রদত্ত রেখার উপর থাকে না, সেখানে প্রদত্ত রেখার সমান্তরালে একটি রেখা অতিক্রম করে এবং উপরন্তু একটি মাত্র।

ক্রসড লাইন

একই সমতলে থাকা দুটি লাইন হয় ছেদ করতে পারে বা সমান্তরাল হতে পারে। কিন্তু মহাকাশে দুটি সরলরেখা একই সমতলের হতে হবে না। তারা দুটি ভিন্ন প্লেনে অবস্থিত হতে পারে।

স্পষ্টতই, বিভিন্ন প্লেনে অবস্থিত রেখাগুলি ছেদ করে না এবং সমান্তরাল রেখা নয়। যে দুটি লাইন একই সমতলে থাকে না তাকে বলা হয় লাইন ক্রসিং.

নিম্নলিখিত চিত্রটি দুটি ছেদকারী রেখা a এবং b দেখায় যা বিভিন্ন সমতলের মধ্যে থাকে।

সাইন এবং তির্যক লাইনের উপপাদ্য

যদি দুটি লাইনের একটি একটি নির্দিষ্ট সমতলে থাকে এবং অন্য লাইনটি এই সমতলটিকে এমন একটি বিন্দুতে ছেদ করে যা প্রথম লাইনে না থাকে, তাহলে এই রেখাগুলি তির্যক।

ক্রসিং লাইন তত্ত্ব: দুটি ছেদকারী রেখার প্রতিটির মধ্য দিয়ে অন্য লাইনের সমান্তরালে একটি সমতল অতিক্রম করে এবং অধিকন্তু, শুধুমাত্র একটি।

এইভাবে, আমরা মহাকাশে লাইনের পারস্পরিক বিন্যাসের সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছি। তাদের মধ্যে আছে মাত্র তিনজন।

1. রেখাগুলিকে ছেদ করে। (অর্থাৎ, তাদের শুধুমাত্র একটি সাধারণ পয়েন্ট আছে।)

2. লাইনগুলি সমান্তরাল। (অর্থাৎ, তাদের সাধারণ পয়েন্ট নেই এবং একই সমতলে শুয়ে থাকে।)

3. সরল রেখা ছেদ করে। (অর্থাৎ, তারা বিভিন্ন প্লেনে অবস্থিত।)

এই নিবন্ধে, আমরা প্রথমে তির্যক লাইনের মধ্যে কোণটি সংজ্ঞায়িত করব এবং একটি গ্রাফিক চিত্রিত করব। এর পরে, আমরা এই প্রশ্নের উত্তর দিই: "একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে এই রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকলে তির্যক রেখাগুলির মধ্যে কোণটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়"? উপসংহারে, উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধান করার সময় আমরা তির্যক রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার অনুশীলন করব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

তির্যক লাইনের মধ্যে কোণ - সংজ্ঞা।

আমরা ধীরে ধীরে ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণের সংজ্ঞার কাছে যাব।

আসুন প্রথমে তির্যক রেখার সংজ্ঞাটি স্মরণ করি: ত্রিমাত্রিক স্থানের দুটি লাইনকে বলা হয় আন্তঃপ্রজননযদি তারা একই সমতলে শুয়ে না থাকে। এটি এই সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে তির্যক রেখাগুলি ছেদ করে না, সমান্তরাল নয়, এবং উপরন্তু, একত্রিত হয় না, অন্যথায় তারা উভয়ই কোনো না কোনো সমতলে শুয়ে থাকবে।

আমরা কিছু অতিরিক্ত সহায়ক যুক্তি উপস্থাপন করি।

ত্রিমাত্রিক স্থানে দুটি ছেদকারী রেখা a এবং b দেওয়া যাক। আসুন আমরা লাইনগুলি a 1 এবং b 1 তৈরি করি যাতে তারা যথাক্রমে a এবং b তির্যক রেখার সমান্তরাল হয় এবং M 1 স্থানের কিছু বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এইভাবে, আমরা দুটি ছেদকারী রেখা পাব a 1 এবং b 1। ছেদকারী রেখা a 1 এবং b 1 এর মধ্যবর্তী কোণটি কোণের সমান হতে দিন। এখন চলুন লাইন নির্মাণ করি a 2 এবং b 2, যথাক্রমে skew লাইন a এবং b এর সমান্তরাল, M 2 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া, যা M 1 বিন্দু থেকে আলাদা। ছেদকারী রেখা a 2 এবং b 2 এর মধ্যে কোণটিও কোণের সমান হবে। এই বিবৃতিটি সত্য, যেহেতু লাইন a 1 এবং b 1 লাইনগুলি যথাক্রমে a 2 এবং b 2 লাইনের সাথে মিলে যাবে, যদি আপনি একটি সমান্তরাল স্থানান্তর করেন, যেখানে বিন্দু M 1 বিন্দু M 2 এ যায়। সুতরাং, M বিন্দুতে ছেদকারী দুটি রেখার মধ্যে কোণের পরিমাপ, যথাক্রমে প্রদত্ত তির্যক রেখার সমান্তরাল, M বিন্দুর পছন্দের উপর নির্ভর করে না।

আমরা এখন তির্যক লাইনের মধ্যে কোণ নির্ধারণ করতে প্রস্তুত।

সংজ্ঞা।

তির্যক লাইনের মধ্যে কোণদুটি ছেদকারী রেখার মধ্যবর্তী কোণ যা যথাক্রমে প্রদত্ত তির্যক রেখার সমান্তরাল।

এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে তির্যক রেখাগুলির মধ্যে কোণটি M বিন্দুর পছন্দের উপর নির্ভর করবে না। অতএব, একটি বিন্দু M হিসাবে, আপনি তির্যক রেখাগুলির একটির অন্তর্গত যে কোনও বিন্দু নিতে পারেন।

আমরা তির্যক লাইনের মধ্যে কোণের সংজ্ঞার একটি দৃষ্টান্ত দিই।

তির্যক লাইনের মধ্যে কোণ খোঁজা।

যেহেতু ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণটি ছেদ করা রেখাগুলির মধ্যে কোণ দ্বারা নির্ধারিত হয়, তাই ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণটি খুঁজে বের করাকে ত্রিমাত্রিক স্থানে সংশ্লিষ্ট ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার জন্য হ্রাস করা হয়।

নিঃসন্দেহে, হাই স্কুলে জ্যামিতি পাঠে অধ্যয়ন করা পদ্ধতিগুলি তির্যক রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত। অর্থাৎ, প্রয়োজনীয় নির্মাণগুলি সম্পন্ন করার পরে, পরিসংখ্যানের সমতা বা সাদৃশ্যের ভিত্তিতে শর্ত থেকে পরিচিত যে কোনও কোণের সাথে পছন্দসই কোণটি সংযোগ করা সম্ভব, কিছু ক্ষেত্রে এটি সাহায্য করবে কোসাইন উপপাদ্য, এবং কখনও কখনও ফলাফল বাড়ে একটি কোণের সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শকের সংজ্ঞাসঠিক ত্রিভুজ.

যাইহোক, স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে তির্যক লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করা খুবই সুবিধাজনক। সেটাই আমরা বিবেচনা করব।

অক্সিজকে ত্রিমাত্রিক স্থানে চালু করা হোক (তবে অনেক সমস্যায় এটি স্বাধীনভাবে চালু করতে হবে)।

আসুন আমরা নিজেরাই কাজটি সেট করি: ছেদকারী লাইন a এবং b এর মধ্যে কোণটি খুঁজে বের করা, যা আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিজেজে স্থানের রেখার কিছু সমীকরণের সাথে মিলে যায়।

এর সমাধান করা যাক।

আসুন ত্রিমাত্রিক স্থান M-এর একটি নির্বিচারে বিন্দু নিই এবং ধরে নিই যে লাইনগুলি a 1 এবং b 1 এর মধ্য দিয়ে যায়, যথাক্রমে ছেদকারী রেখা a এবং b এর সমান্তরাল। তারপর ছেদকারী রেখা a এবং b এর মধ্যে প্রয়োজনীয় কোণটি সংজ্ঞা অনুসারে a 1 এবং b 1 ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণের সমান।

সুতরাং, ছেদকারী রেখা a 1 এবং b 1 এর মধ্যে কোণটি খুঁজে পাওয়া আমাদের জন্য অবশেষ। মহাকাশে দুটি ছেদকারী রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য, আমাদের a 1 এবং b 1 রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানতে হবে।

আমরা কিভাবে তাদের পেতে পারি? এবং এটা খুব সহজ. একটি সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের সংজ্ঞা আমাদের বলতে দেয় যে সমান্তরাল সরল রেখার নির্দেশক ভেক্টরের সেটগুলি মিলে যায়। অতএব, a 1 এবং b 1 রেখার দিক ভেক্টর হিসাবে, আমরা দিক ভেক্টর নিতে পারি এবং সরলরেখা a এবং b, যথাক্রমে।

তাই, দুটি ছেদকারী রেখা a এবং b এর মধ্যে কোণ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়
, কোথায় এবং যথাক্রমে a এবং b লাইনের দিক ভেক্টর।

তির্যক রেখার মধ্যে কোণের কোসাইন খুঁজে বের করার সূত্র a এবং b এর ফর্ম আছে .

কোসাইন জানা থাকলে আপনাকে স্কু লাইনের মধ্যে কোণের সাইন খুঁজে বের করার অনুমতি দেয়: .

এটা উদাহরণের সমাধান বিশ্লেষণ অবশেষ.

উদাহরণ।

তির্যক রেখা a এবং b এর মধ্যে কোণটি সন্ধান করুন, যা সমীকরণ দ্বারা Oxyz আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং .

সমাধান।

মহাকাশে একটি সরলরেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলি আপনাকে অবিলম্বে এই সরল রেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করতে দেয় - সেগুলি ভগ্নাংশের হরগুলিতে সংখ্যা দ্বারা দেওয়া হয়, অর্থাৎ, . মহাকাশে একটি সরল রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি অবিলম্বে দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে লিখে রাখা সম্ভব করে - তারা পরামিতির সামনে সহগগুলির সমান, অর্থাৎ, - দিক ভেক্টর সোজা . সুতরাং, আমাদের কাছে সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত ডেটা রয়েছে যার দ্বারা স্কু লাইনগুলির মধ্যে কোণটি গণনা করা হয়:

উত্তর:

প্রদত্ত তির্যক রেখার মধ্যে কোণ হল।

উদাহরণ।

পিরামিড ABCD-এর AD এবং BC প্রান্তগুলি অবস্থিত যে স্কু লাইনগুলির মধ্যে কোণের সাইন এবং কোসাইন খুঁজুন, যদি এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা যায়:।

সমাধান।

AD এবং BC ক্রসিং লাইনের দিক ভেক্টর হল ভেক্টর এবং . আসুন ভেক্টরের শেষ এবং শুরুর বিন্দুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্য হিসাবে তাদের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করি:

সূত্র অনুযায়ী আমরা প্রদত্ত তির্যক লাইনের মধ্যে কোণের কোসাইন গণনা করতে পারি:

এখন আমরা তির্যক লাইনের মধ্যে কোণের সাইন গণনা করি:

উত্তর:

উপসংহারে, আমরা একটি সমস্যার সমাধান বিবেচনা করি যেখানে তির্যক রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে হবে এবং আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমটি স্বাধীনভাবে প্রবেশ করতে হবে।

উদাহরণ।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 দেওয়া হয়েছে, যার মধ্যে AB=3 , AD=2 এবং AA 1 =7 একক। বিন্দু E AA 1 প্রান্তে অবস্থিত এবং বিন্দু A থেকে গণনা 5 থেকে 2 এর সাপেক্ষে এটিকে ভাগ করে। স্কু লাইন BE এবং A 1 সি এর মধ্যে কোণটি সন্ধান করুন।

সমাধান।

যেহেতু একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালপিপের প্রান্তগুলি একটি শীর্ষবিন্দুতে পারস্পরিকভাবে লম্ব, তাই একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করা এবং এই রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণের মাধ্যমে স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্দেশিত স্কু লাইনগুলির মধ্যে কোণ নির্ধারণ করা সুবিধাজনক।

আসুন একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম Oxyz নিম্নরূপ প্রবর্তন করা যাক: উৎপত্তিটি শীর্ষবিন্দু A এর সাথে মিলিত হোক, Ox অক্ষটি AD রেখার সাথে, Oy অক্ষটি AB রেখার সাথে এবং Oz অক্ষটি AA 1 রেখার সাথে মিলিত হোক।

তারপর বি বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে, বিন্দু E - (প্রয়োজন হলে নিবন্ধটি দেখুন), বিন্দু A 1 - এবং বিন্দু C -। এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক থেকে, আমরা ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং . আমাদের আছে , .

অভিমুখ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক অনুসারে তির্যক রেখার মধ্যে কোণ খুঁজে বের করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করা বাকি আছে:

উত্তর:

গ্রন্থপঞ্জি।

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. জ্যামিতি. উচ্চ বিদ্যালয়ের 10-11 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক।
• পোগোরেলভ এ.ভি., জ্যামিতি। শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের 7-11 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক।
• বুগ্রভ ইয়া.এস., নিকোলস্কি এস.এম. উচ্চতর গণিত। ভলিউম এক: রৈখিক বীজগণিত এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির উপাদান।
• ইলিন V.A., Poznyak E.G. বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি।

স্ট্রেইট ক্রসিং বড় বিশ্বকোষীয় অভিধান

ছেদকারী লাইনমহাকাশে রেখা যা একই সমতলে থাকে না। * * * ক্রসিং ডিরেক্টস ক্রসিং রাইটস, মহাকাশে সরল রেখা, একই সমতলে শুয়ে নয় ... বিশ্বকোষীয় অভিধান

ক্রসড লাইনমহাকাশে রেখা যা একই সমতলে থাকে না। সমান্তরাল সমতলগুলি S. p এর মাধ্যমে আঁকা যেতে পারে, যার মধ্যবর্তী দূরত্বকে S. p এর মধ্যবর্তী দূরত্ব বলা হয়। এটি S. p এর বিন্দুগুলির মধ্যে সবচেয়ে কম দূরত্বের সমান ... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

স্ট্রেইট ক্রসিংমহাকাশে রেখা যা একই সমতলে থাকে না। S. p এর মধ্যে কোণ দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী যেকোন কোণ স্থানের একটি নির্বিচারে বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে। যদি a এবং b S. p. এর দিক ভেক্টর হয়, তাহলে S. p. এর মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন... গাণিতিক বিশ্বকোষ

স্ট্রেইট ক্রসিং- মহাকাশে লাইনগুলি যা একই সমতলে থাকে না ... প্রাকৃতিক বিজ্ঞান. বিশ্বকোষীয় অভিধান

সমান্তরাল রেখা- বিষয়বস্তু 1 ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে 1.1 বৈশিষ্ট্য 2 লোবাচেভস্কি জ্যামিতিতে ... উইকিপিডিয়া

অতি সমান্তরাল রেখা- বিষয়বস্তু 1 ইউক্লিডীয় জ্যামিতি 1.1 বৈশিষ্ট্য 2 Lobachevsky জ্যামিতি 3 এছাড়াও দেখুন ... উইকিপিডিয়া

রিম্যান জ্যামিতি- উপবৃত্তাকার জ্যামিতি, অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিগুলির মধ্যে একটি, যেমন জ্যামিতিক, স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে, যার জন্য প্রয়োজনীয়তাগুলি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধের প্রয়োজনীয়তা থেকে আলাদা। R. g. তে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির বিপরীতে। ... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

মহাকাশে দুটি সরল রেখার পারস্পরিক বিন্যাস।

দুটি লাইন এবং স্থানের পারস্পরিক বিন্যাস নিম্নলিখিত তিনটি সম্ভাবনা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

লাইনগুলি একই সমতলে অবস্থিত এবং সাধারণ বিন্দু নেই - সমান্তরাল রেখা।

লাইনগুলি একই সমতলে থাকে এবং একটি সাধারণ বিন্দু থাকে - রেখাগুলিকে ছেদ করে।

মহাকাশে, দুটি সরলরেখা এখনও এমনভাবে অবস্থিত হতে পারে যে তারা একই সমতলে শুয়ে থাকে না। এই ধরনের রেখাগুলিকে ছেদ করা বলা হয় (ছেদ করে না এবং সমান্তরাল নয়)।

উদাহরণ:

সমস্যা 434 ত্রিভুজ ABC সমতলে অবস্থিত, a

ত্রিভুজ ABC সমতলে অবস্থিত, এবং বিন্দু D এই সমতলে নেই। পয়েন্ট M, N এবং K, যথাক্রমে, DA, DB এবং DC অংশগুলির মধ্যবিন্দু

উপপাদ্য।যদি দুটি লাইনের একটি একটি নির্দিষ্ট সমতলে থাকে এবং অন্যটি এই সমতলে এবং একটি বিন্দুকে ছেদ করে যা প্রথম লাইনে থাকে না, তাহলে এই রেখাগুলিকে ছেদ করে।

ডুমুর উপর. 26 a লাইনটি সমতলে অবস্থিত, এবং লাইন cটি N বিন্দুতে ছেদ করে। লাইন a এবং c ছেদ করছে।

উপপাদ্য।দুটি ছেদকারী রেখার প্রতিটির মধ্য দিয়ে অন্য লাইনের সমান্তরালে শুধুমাত্র একটি সমতল অতিক্রম করে।

ডুমুর উপর. 26 লাইন a এবং b ছেদ করে। চেরেন সরলরেখা এবং টানা সমতল a (আলফা) || b (সরলরেখা a1 || b সমতল B (বিটা) এ নির্দেশিত।

উপপাদ্য 3.2।

এক তৃতীয়াংশের সমান্তরাল দুটি লাইন সমান্তরাল।

এই সম্পত্তি বলা হয় ট্রানজিটিভিটিসমান্তরাল রেখা.

প্রমাণ

রেখা a এবং b একই সাথে c লাইনের সমান্তরাল হতে দিন। অনুমান করুন যে a b এর সমান্তরাল নয়, তারপর একটি রেখা b লাইনকে ছেদ করে যেটি অনুমান দ্বারা c লাইনের উপর পড়ে না। অতএব, আমাদের কাছে দুটি লাইন a এবং b বিন্দু A এর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে যা প্রদত্ত রেখা c এর উপর পড়ে না এবং একই সাথে এর সমান্তরাল। এটি Axiom 3.1 এর বিরোধিতা করে। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উপপাদ্য 3.3।

প্রদত্ত রেখার উপর নয় এমন একটি বিন্দুর মাধ্যমে প্রদত্ত রেখার সমান্তরালে একটি এবং শুধুমাত্র একটি রেখা আঁকা যায়।

প্রমাণ

ধরা যাক (AB) একটি প্রদত্ত রেখা এবং C একটি বিন্দু যা এটির উপর পড়ে না। লাইন এসি সমতলকে দুটি অর্ধ-বিমানে ভাগ করে। বি পয়েন্ট তাদের মধ্যে একটিতে রয়েছে। স্বতঃসিদ্ধ 3.2 অনুসারে, রশ্মি С A থেকে কোণ (ACD ) সমান কোণ (CAB )টিকে অন্য অর্ধ-তলায় স্থগিত করা সম্ভব। এসিডি এবং সিএবি সমান অভ্যন্তরীণ আড়াআড়িভাবে AB এবং CD এবং সেক্যান্ট (AC ) রেখায় অবস্থিত তারপর, উপপাদ্য 3.1 (AB ) এর ভিত্তিতে || (সিডি)। একাউন্টে স্বতঃসিদ্ধ 3.1. উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সমান্তরাল রেখার বৈশিষ্ট্য নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়েছে, উপপাদ্য 3.1 এর বিপরীত।

উপপাদ্য 3.4।

যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি তৃতীয় রেখা দ্বারা ছেদ করা হয়, তাহলে ছেদকারী অভ্যন্তরীণ কোণগুলি সমান হয়।

প্রমাণ

যাক (AB) || (সিডি)। ধরে নিন ACD ≠ BAC। A বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি রেখা AE আঁকুন যাতে EAC = ACD হয়। কিন্তু তারপর উপপাদ্য 3.1 (AE) দ্বারা || (সিডি), এবং শর্ত অনুসারে - (এবি) || (সিডি)। উপপাদ্য 3.2 (AE) অনুসারে || (এবি)। এটি উপপাদ্য 3.3 এর বিপরীত, যা অনুসারে, একটি বিন্দু A এর মাধ্যমে লাইন CD এর উপর পড়ে না, কেউ এটির সমান্তরাল একটি একক রেখা আঁকতে পারে। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

চিত্র 3.3.1।

এই উপপাদ্যের ভিত্তিতে, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সহজেই প্রমাণিত হয়।

যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি তৃতীয় রেখা দ্বারা ছেদ করা হয়, তবে সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান।

যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি তৃতীয় রেখা দ্বারা ছেদ করা হয়, তাহলে অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণের সমষ্টি 180°।

ফলাফল 3.2।

যদি একটি রেখা সমান্তরাল রেখাগুলির একটিতে লম্ব হয় তবে এটি অন্যটির সাথেও লম্ব।

সমান্তরালতার ধারণাটি আমাদের নিম্নলিখিত নতুন ধারণাটি প্রবর্তন করতে দেয়, যা পরে 11 অধ্যায়ে প্রয়োজন হবে।

দুটি বিম বলা হয় সমানভাবে নির্দেশিত, যদি এমন একটি রেখা থাকে যে, প্রথমত, তারা এই রেখার লম্ব, এবং দ্বিতীয়ত, রশ্মিগুলি এই রেখার সাপেক্ষে একটি অর্ধ-সমতলের মধ্যে থাকে।

দুটি বিম বলা হয় বিপরীত দিক, যদি তাদের প্রত্যেকটি অন্যটির পরিপূরক একটি রশ্মির সাথে সমানভাবে নির্দেশিত হয়।

আমরা সমানভাবে নির্দেশিত রশ্মি AB এবং CD নির্দেশ করব: এবং বিপরীতভাবে নির্দেশিত রশ্মি AB এবং CD -

চিত্র 3.3.2।

ছেদকারী রেখার চিহ্ন।

যদি দুটি লাইনের একটি একটি নির্দিষ্ট সমতলে থাকে এবং অন্য লাইনটি এই সমতলটিকে এমন একটি বিন্দুতে ছেদ করে যা প্রথম লাইনে না থাকে, তাহলে এই রেখাগুলি তির্যক।

মহাকাশে লাইনের পারস্পরিক বিন্যাসের ক্ষেত্রে।

1. মহাকাশে দুটি লাইনের অবস্থানের চারটি ভিন্ন কেস রয়েছে:

   
   

   - সরাসরি ছেদ করা, i.e. একই সমতলে শুবেন না;

   - লাইনগুলি ছেদ করে, যেমন একই সমতলে শুয়ে থাকা এবং একটি সাধারণ বিন্দু আছে;

   - সোজা সমান্তরাল, যেমন একই সমতলে থাকা এবং ছেদ করবেন না;

   - লাইন মিলে যায়।

   
   

   আসুন ক্যানোনিকাল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত রেখাগুলির পারস্পরিক বিন্যাসের এই ক্ষেত্রেগুলির লক্ষণগুলি গ্রহণ করি

   
   
   কোথায় পয়েন্টগুলি লাইনের অন্তর্গতএবং যথাক্রমে, ক- দিক ভেক্টর (চিত্র 4.34)। দ্বারা নির্দেশ করুনএকটি ভেক্টর প্রদত্ত বিন্দুকে সংযুক্ত করে।
   
   

   লাইনগুলির পারস্পরিক বিন্যাসের উপরোক্ত ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে মিল রয়েছে:

   
   

   - প্রত্যক্ষ এবং ক্রসিং ভেক্টর কপ্ল্যানার নয়;

   
   

   - লাইন এবং ছেদ করা ভেক্টরগুলি কপ্ল্যানার, কিন্তু ভেক্টরগুলি সমরেখার নয়;

   
   

   – সরল এবং সমান্তরাল ভেক্টর সমরেখার, কিন্তু ভেক্টর সমরেখার নয়;

   
   

   সরলরেখা এবং সমযোজিত ভেক্টর সমরেখার।

   
   

   মিশ্র এবং ভেক্টর পণ্যের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে এই শর্তগুলি লেখা যেতে পারে। মনে রাখবেন যে সঠিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে ভেক্টরের মিশ্র গুণফল সূত্রটি পাওয়া যায়:

   
   
   এবং নির্ধারকটি শূন্যের সমান, এবং এর দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারিগুলি সমানুপাতিক নয়, যেমন
   

   - নির্ধারকের সরলরেখা এবং সমান্তরাল দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারি সমানুপাতিক, যেমন এবং প্রথম দুটি লাইন সমানুপাতিক নয়, যেমন

   
   

   সরলরেখা এবং মিলিত; নির্ধারকের সমস্ত সারি সমানুপাতিক, যেমন

তির্যক লাইনের মানদণ্ডের প্রমাণ।

যদি দুটি লাইনের একটি একটি সমতলে থাকে এবং অন্যটি এই সমতলটিকে এমন একটি বিন্দুতে ছেদ করে যা প্রথম লাইনের অন্তর্গত নয়, তাহলে এই দুটি লাইন ছেদ করে।

প্রমাণ

ধরা যাক a কে α এর অন্তর্গত, b ছেদ করে α = A, A এর অন্তর্গত নয় (অঙ্কন 2.1.2)। অনুমান করুন যে লাইন a এবং b ছেদ করছে না, অর্থাৎ তারা ছেদ করছে। তারপরে একটি সমতল β রয়েছে যার সাথে a এবং b লাইনগুলি জড়িত। লাইন a এবং বিন্দু A এই সমতলে অবস্থিত β। যেহেতু লাইন a এবং বিন্দু A এর বাইরে একটি অনন্য সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে, তারপর β = α। কিন্তু b লিড β এবং b α এর অন্তর্গত নয়, তাই সমতা β = α অসম্ভব।