অনলাইনে ভগ্নাংশ বর্গাকার অসমতা সমাধান করা। ব্যবধান পদ্ধতি: সহজতম কঠোর অসমতার সমাধান। বৈষম্য সমাধানের ব্যবস্থা

অসমতার সমাধানমোডে অনলাইন সমাধানপ্রায় কোনো প্রদত্ত অসমতা অনলাইন. গাণিতিক অনলাইনে বৈষম্যগণিত সমাধান করতে। দ্রুত খুঁজে নিন অসমতার সমাধানমোডে অনলাইন. সাইট www.site আপনি খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় সমাধানপ্রায় কোনো দেওয়া বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিকবা অনলাইনে অতিক্রান্ত বৈষম্য. বিভিন্ন পর্যায়ে গণিতের প্রায় যেকোনো বিভাগ অধ্যয়ন করার সময়, একজনকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে অনলাইনে বৈষম্য. অবিলম্বে একটি উত্তর পেতে, এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে একটি সঠিক উত্তর, আপনার একটি সংস্থান প্রয়োজন যা আপনাকে এটি করতে দেয়। www.site কে ধন্যবাদ অনলাইনে বৈষম্য সমাধান করুনকয়েক মিনিট সময় লাগবে। গাণিতিক সমাধান করার সময় www.site এর প্রধান সুবিধা অনলাইনে বৈষম্য- জারি করা প্রতিক্রিয়ার গতি এবং নির্ভুলতা। সাইটটি যেকোনো সমাধান করতে সক্ষম বীজগণিত বৈষম্য অনলাইন, ত্রিকোণমিতিক অসমতা অনলাইন, অতিক্রান্ত অসমতা অনলাইন, সেইসাথে অসমতামোডে অজানা পরামিতি সহ অনলাইন. অসমতাএকটি শক্তিশালী গাণিতিক যন্ত্রপাতি হিসাবে পরিবেশন করা সমাধানব্যবহারিক কাজ। সাহায্যে গাণিতিক অসমতাএমন তথ্য এবং সম্পর্ক প্রকাশ করা সম্ভব যা প্রথম নজরে বিভ্রান্তিকর এবং জটিল বলে মনে হতে পারে। অজানা পরিমাণ অসমতামধ্যে সমস্যা প্রণয়ন দ্বারা পাওয়া যেতে পারে গাণিতিকআকারে ভাষা অসমতাএবং সিদ্ধান্তমোডে প্রাপ্ত টাস্ক অনলাইনওয়েবসাইটে www.site. যে কোন বীজগণিত বৈষম্য, ত্রিকোণমিতিক অসমতাবা অসমতাধারণকারী অতীন্দ্রিয়আপনি সহজেই বৈশিষ্ট্য সিদ্ধান্তঅনলাইন এবং সঠিক উত্তর পান। প্রাকৃতিক বিজ্ঞান অধ্যয়ন, একজন অনিবার্যভাবে প্রয়োজন সম্মুখীন হয় অসমতার সমাধান. এই ক্ষেত্রে, উত্তরটি অবশ্যই সঠিক হতে হবে এবং এটি অবশ্যই মোডে অবিলম্বে গ্রহণ করতে হবে অনলাইন. অতএব, জন্য অনলাইনে গাণিতিক অসমতা সমাধান করুনআমরা www.site সাইটটি সুপারিশ করি, যা আপনার অপরিহার্য ক্যালকুলেটর হয়ে উঠবে অনলাইনে বীজগণিতীয় বৈষম্য সমাধান করুন, ত্রিকোণমিতিক অসমতা অনলাইন, সেইসাথে অতিক্রান্ত অসমতা অনলাইনবা অসমতাঅজানা পরামিতি সহ। বিভিন্ন ধরনের ইন্ট্রাভোল সমাধান খোঁজার ব্যবহারিক সমস্যার জন্য গাণিতিক অসমতাসম্পদ www.. সমাধান করা অনলাইনে বৈষম্যনিজে, এটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত উত্তর পরীক্ষা করা দরকারী অসমতার অনলাইন সমাধানওয়েবসাইটে www.site. অসমতা সঠিকভাবে লিখতে হবে এবং তাৎক্ষণিকভাবে পেতে হবে অনলাইন সমাধান, যার পরে এটি শুধুমাত্র অসমতার সাথে আপনার সমাধানের সাথে উত্তরের তুলনা করা বাকি থাকে। উত্তর পরীক্ষা করতে এক মিনিটের বেশি সময় লাগবে না, যথেষ্ট অনলাইনে বৈষম্য সমাধান করুনএবং উত্তর তুলনা করুন। এটি আপনাকে ভুলগুলি এড়াতে সহায়তা করবে সিদ্ধান্তএবং সময়মত উত্তর সংশোধন করুন অনলাইনে বৈষম্য সমাধানকিনা বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিক, অতিক্রান্তবা অসমতাঅজানা পরামিতি সহ।

শিক্ষার্থীদের কাছ থেকে সর্বাধিক মনোযোগ এবং অধ্যবসায় প্রয়োজন এমন একটি বিষয় হল অসমতার সমাধান। তাই সমীকরণের অনুরূপ এবং একই সময়ে তাদের থেকে খুব আলাদা। কারণ তাদের সমাধানের জন্য একটি বিশেষ পদ্ধতির প্রয়োজন।

উত্তর খোঁজার জন্য প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য

তাদের সব একটি সমতুল্য সঙ্গে একটি বিদ্যমান এন্ট্রি প্রতিস্থাপন ব্যবহার করা হয়. তাদের বেশিরভাগই সমীকরণে যা ছিল তার মতো। কিন্তু পার্থক্যও আছে।

• একটি ফাংশন যা ডিপিভিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বা যেকোনো সংখ্যা, মূল অসমতার উভয় অংশে যোগ করা যেতে পারে।
• একইভাবে, গুণ করা সম্ভব, তবে শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক ফাংশন বা সংখ্যা দ্বারা।
• যদি এই ক্রিয়াটি একটি নেতিবাচক ফাংশন বা সংখ্যার সাথে সঞ্চালিত হয়, তাহলে অসমতা চিহ্নটি অবশ্যই বিপরীত হতে হবে।
• অ-নেতিবাচক ফাংশন একটি ইতিবাচক শক্তি উত্থাপিত করা যেতে পারে.

কখনও কখনও অসমতার সমাধান এমন ক্রিয়াগুলির সাথে থাকে যা বহিরাগত উত্তর দেয়। ODZ এলাকা এবং সমাধানের সেট তুলনা করে তাদের নির্মূল করা দরকার।

ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে

এর সারমর্ম হল একটি সমীকরণে অসমতা হ্রাস করা যেখানে শূন্য ডানদিকে রয়েছে।

1. ভেরিয়েবলের অনুমোদনযোগ্য মানগুলি যে ক্ষেত্রটি রয়েছে তা নির্ধারণ করুন, অর্থাৎ ODZ।
2. গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে অসমতাকে রূপান্তর করুন যাতে এর ডান দিকটি শূন্য হয়।
3. অসমতা চিহ্নটিকে "=" দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন এবং সংশ্লিষ্ট সমীকরণটি সমাধান করুন।
4. সাংখ্যিক অক্ষে, সমাধানের সময় প্রাপ্ত সমস্ত উত্তর, সেইসাথে ODZ এর ব্যবধানগুলি চিহ্নিত করুন। কঠোর বৈষম্যের ক্ষেত্রে, পয়েন্টগুলি পাংচার করা আবশ্যক। যদি একটি সমান চিহ্ন থাকে, তাহলে তাদের উপর আঁকা অনুমিত হয়।
5. প্রতিটি ব্যবধানে মূল ফাংশনের চিহ্ন নির্ণয় করুন ODZ এর বিন্দুগুলি এবং এটিকে ভাগ করা উত্তরগুলি থেকে। যদি একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় ফাংশনের চিহ্নের পরিবর্তন না হয়, তবে এটি উত্তরে প্রবেশ করে। অন্যথায়, এটি বাদ দেওয়া হয়।
6. ODZ-এর জন্য সীমানা পয়েন্টগুলি অতিরিক্তভাবে চেক করা দরকার এবং শুধুমাত্র তখনই অন্তর্ভুক্ত বা প্রতিক্রিয়াতে নয়।
7. যে উত্তর প্রাপ্ত হবে তা একত্রিত সেট আকারে লিখতে হবে।

দ্বিগুণ বৈষম্য সম্পর্কে কিছুটা

তারা রেকর্ডে একবারে দুটি অসমতার চিহ্ন ব্যবহার করে। অর্থাৎ, কিছু ফাংশন একবারে দুবার শর্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ। এই ধরনের অসমতা দুটির একটি সিস্টেম হিসাবে সমাধান করা হয়, যখন মূলটি অংশে বিভক্ত হয়। এবং বিরতির পদ্ধতিতে, উভয় সমীকরণের সমাধান থেকে উত্তরগুলি নির্দেশিত হয়।

তাদের সমাধান করার জন্য, উপরে নির্দেশিত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করাও অনুমোদিত। তাদের সাহায্যে, অসমতা শূন্যে কমাতে সুবিধাজনক।

একটি মডুলাস আছে যে অসমতা সম্পর্কে কি?

এই ক্ষেত্রে, অসমতার সমাধান নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, এবং তারা "a" এর একটি ধনাত্মক মানের জন্য বৈধ।

যদি "x" একটি বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি নেয়, তাহলে নিম্নলিখিত প্রতিস্থাপনগুলি বৈধ:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| >এএক্সে< -a или х >ক

যদি অসমতাগুলি কঠোর না হয়, তবে সূত্রগুলিও সত্য, শুধুমাত্র তাদের মধ্যে, বৃহত্তর বা কম চিহ্ন ছাড়াও, "=" উপস্থিত হয়।

বৈষম্যের ব্যবস্থা কীভাবে সমাধান করা হয়?

এই জ্ঞান সেই ক্ষেত্রে প্রয়োজন হবে যখন এই ধরনের একটি কাজ দেওয়া হয় বা একটি দ্বৈত অসমতার রেকর্ড থাকে বা রেকর্ডে একটি মডিউল উপস্থিত হয়। এমন পরিস্থিতিতে, সমাধান হবে ভেরিয়েবলের এমন মান যা রেকর্ডের সমস্ত অসমতাকে সন্তুষ্ট করবে। যদি এই ধরনের কোন সংখ্যা না থাকে, তাহলে সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।

যে পরিকল্পনা অনুসারে বৈষম্যের ব্যবস্থার সমাধান করা হয়:

• তাদের প্রতিটি আলাদাভাবে সমাধান করুন;
• সাংখ্যিক অক্ষে সমস্ত ব্যবধান চিত্রিত করুন এবং তাদের ছেদগুলি নির্ধারণ করুন;
• সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া লিখুন, যা দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে যা ঘটেছে তার মিলন হবে।

ভগ্নাংশের অসমতা সম্পর্কে কি?

যেহেতু তাদের সমাধানের সময় অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করার প্রয়োজন হতে পারে, তাই পরিকল্পনার সমস্ত পয়েন্টগুলি খুব সাবধানে এবং সাবধানে অনুসরণ করা প্রয়োজন। অন্যথায়, আপনি বিপরীত উত্তর পেতে পারেন।

ভগ্নাংশের অসমতার সমাধানও ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে। এবং কর্ম পরিকল্পনা হবে:

• বর্ণিত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, ভগ্নাংশটিকে এমন একটি ফর্ম দিন যাতে চিহ্নের ডানদিকে কেবল শূন্য থাকে।
• অসমতাকে "=" দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন এবং ফাংশনটি শূন্যের সমান হবে এমন পয়েন্টগুলি নির্ধারণ করুন।
• স্থানাঙ্ক অক্ষে তাদের চিহ্নিত করুন। এই ক্ষেত্রে, হর-এ গণনার ফলে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলি সর্বদা পাঞ্চ করা হবে। অন্য সব বৈষম্য অবস্থার উপর ভিত্তি করে.
• স্থিরতার ব্যবধান নির্ধারণ করুন।
• উত্তরে, সেই ব্যবধানগুলির মিলন লিখুন যার চিহ্নটি মূল অসমতার সাথে মিলে যায়।

পরিস্থিতি যখন অসমতার মধ্যে যুক্তিহীনতা দেখা দেয়

অন্য কথায়, রেকর্ডে একটি গাণিতিক মূল রয়েছে। যেহেতু স্কুল বীজগণিত কোর্সের বেশিরভাগ কাজই বর্গমূলের জন্য, তাই তাকেই বিবেচনা করা হবে।

অযৌক্তিক বৈষম্যের সমাধান দুটি বা তিনটির একটি সিস্টেম পাওয়ার জন্য নেমে আসে যা মূলটির সমতুল্য হবে।

প্রাথমিক অসমতা	অবস্থা	সমতুল্য সিস্টেম
√ n(x)< m(х)	m(x) 0 এর কম বা সমান	কোন সমাধান
	m(x) 0 এর চেয়ে বড়	n(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান n(x) > (m(x)) 2
		n(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান m(x) 0 এর কম
√n(х) ≤ m(х)	m(x) 0 এর কম	কোন সমাধান
	m(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান	n(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান n(х) ≤ (m(х)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান m(x) 0 এর কম
√ n(x)< √ m(х)		n(x) 0 এর থেকে বড় বা সমান n(x) m(x) এর চেয়ে কম
√n(x) * m(x)< 0		n(x) 0 এর চেয়ে বড় m(x) 0 এর কম
√n(x) * m(x) > 0		n(x) 0 এর চেয়ে বড় m(x) 0 এর চেয়ে বড়
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(x) 0 এর চেয়ে বড়
		n(x) হল 0 m(x)-যেকোনো
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) 0 এর চেয়ে বড়
		n(x) হল 0 m(x)-যেকোনো

বিভিন্ন ধরনের বৈষম্য সমাধানের উদাহরণ

অসমতা সমাধানের তত্ত্বে স্পষ্টতা যোগ করার জন্য, উদাহরণগুলি নীচে দেওয়া হল।

প্রথম উদাহরণ। 2x - 4 > 1 + x

সমাধান: ডিএইচএস নির্ধারণ করতে, একজনকে কেবল বৈষম্যকে ঘনিষ্ঠভাবে দেখতে হবে। এটি লিনিয়ার ফাংশন থেকে গঠিত, তাই এটি ভেরিয়েবলের সমস্ত মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়।

এখন অসমতার উভয় দিক থেকে আপনাকে বিয়োগ করতে হবে (1 + x)। দেখা যাচ্ছে: 2x - 4 - (1 + x) > 0. বন্ধনী খোলার পরে এবং অনুরূপ পদ দেওয়া হলে, অসমতা নিম্নলিখিত ফর্মটি গ্রহণ করবে: x - 5 > 0।

এটিকে শূন্যের সাথে সমান করে, এটির সমাধান খুঁজে পাওয়া সহজ: x = 5।

এখন 5 নম্বর সহ এই বিন্দুটি স্থানাঙ্ক বিমের উপর চিহ্নিত করা উচিত। তারপর আসল ফাংশনের লক্ষণগুলি পরীক্ষা করুন। বিয়োগ অসীম থেকে 5 পর্যন্ত প্রথম ব্যবধানে, আপনি 0 নম্বরটি নিতে পারেন এবং রূপান্তরের পরে প্রাপ্ত অসমতার সাথে এটি প্রতিস্থাপন করতে পারেন। গণনার পর দেখা যাচ্ছে -7 >0। ব্যবধানের চাপের নীচে আপনাকে একটি বিয়োগ চিহ্ন স্বাক্ষর করতে হবে।

পরবর্তী ব্যবধানে 5 থেকে অসীম পর্যন্ত, আপনি 6 নম্বরটি বেছে নিতে পারেন। তারপর দেখা যাচ্ছে যে 1 > 0। “+” চিহ্নটি চাপের নীচে স্বাক্ষরিত হয়েছে। এই দ্বিতীয় বিরতি হবে অসমতার উত্তর।

উত্তর: x ব্যবধানে রয়েছে (5; ∞)।

দ্বিতীয় উদাহরণ। দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে: 3x + 3 ≤ 2x + 1 এবং 3x - 2 ≤ 4x + 2।

সমাধান। এই অসমতার ODZ যেকোন সংখ্যার অঞ্চলেও থাকে, যেহেতু লিনিয়ার ফাংশন দেওয়া হয়।

দ্বিতীয় অসমতা নিম্নলিখিত সমীকরণের রূপ নেবে: 3x - 2 - 4x - 2 = 0। রূপান্তরের পরে: -x - 4 =0। এটি -4 এর সমান ভেরিয়েবলের জন্য একটি মান তৈরি করে।

এই দুটি সংখ্যা অক্ষে চিহ্নিত করা উচিত, ব্যবধানগুলি দেখায়। যেহেতু অসমতা কঠোর নয়, সমস্ত পয়েন্ট অবশ্যই ছায়াযুক্ত হতে হবে। প্রথম ব্যবধানটি বিয়োগ অসীম থেকে -4 পর্যন্ত। -5 নম্বরটি বেছে নেওয়া যাক। প্রথম অসমতা মান দেবে -3, এবং দ্বিতীয়টি 1। তাই এই ব্যবধানটি উত্তরের অন্তর্ভুক্ত নয়।

দ্বিতীয় ব্যবধান -4 থেকে -2 পর্যন্ত। আপনি সংখ্যা -3 চয়ন করতে পারেন এবং উভয় অসমতার মধ্যে এটি প্রতিস্থাপন করতে পারেন। প্রথমটিতে এবং দ্বিতীয়টিতে, মান -1 প্রাপ্ত হয়। সুতরাং, চাপ অধীনে "-"।

-2 থেকে অসীম পর্যন্ত শেষ ব্যবধানে, শূন্য হল সেরা সংখ্যা। আপনাকে এটি প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং অসমতার মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে। তাদের মধ্যে প্রথমটিতে একটি ধনাত্মক সংখ্যা পাওয়া যায় এবং দ্বিতীয়টিতে শূন্য। এই ব্যবধানটিও উত্তর থেকে বাদ দেওয়া উচিত।

তিনটি ব্যবধানের মধ্যে শুধুমাত্র একটিই অসমতার সমাধান।

উত্তর: x [-4 এর অন্তর্গত; -2]।

তৃতীয় উদাহরণ। |1 - x| > 2 |x - 1|।

সমাধান। প্রথম ধাপ হল ফাংশনগুলি অদৃশ্য হয়ে যাওয়া পয়েন্টগুলি নির্ধারণ করা। বামের জন্য, এই সংখ্যাটি হবে 2, ডানের জন্য - 1. সেগুলিকে অবশ্যই মরীচিতে চিহ্নিত করতে হবে এবং স্থিরতার ব্যবধানগুলি অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে।

প্রথম ব্যবধানে, বিয়োগ অসীম থেকে 1 পর্যন্ত, অসমতার বাম দিক থেকে ফাংশনটি ইতিবাচক মান নেয়, এবং ডান থেকে - নেতিবাচক। চাপের নীচে, আপনাকে একে অপরের পাশে দুটি চিহ্ন "+" এবং "-" লিখতে হবে।

পরবর্তী ব্যবধান 1 থেকে 2 পর্যন্ত। এতে, উভয় ফাংশনই ইতিবাচক মান নেয়। সুতরাং, আর্কের নীচে দুটি প্লাস রয়েছে।

2 থেকে অনন্ত পর্যন্ত তৃতীয় ব্যবধান নিম্নলিখিত ফলাফল দেবে: বাম ফাংশন নেতিবাচক, ডানটি ইতিবাচক।

ফলস্বরূপ লক্ষণগুলি বিবেচনায় নিয়ে, সমস্ত ব্যবধানের জন্য অসমতার মানগুলি গণনা করা প্রয়োজন।

প্রথমটিতে, নিম্নলিখিত অসমতা পাওয়া যায়: 2 - x\u003e - 2 (x - 1)। দ্বিতীয় অসমতার দুইটির আগে বিয়োগটি এই ফাংশনটি নেতিবাচক হওয়ার কারণে।

রূপান্তরের পরে, অসমতা এইরকম দেখায়: x > 0। এটি অবিলম্বে পরিবর্তনশীলের মান দেয়। অর্থাৎ, এই ব্যবধান থেকে, শুধুমাত্র 0 থেকে 1 পর্যন্ত ব্যবধানটি প্রতিক্রিয়াতে যাবে।

দ্বিতীয়টিতে: 2 - x\u003e 2 (x - 1)। রূপান্তরগুলি এমন একটি অসমতা দেবে: -3x + 4 শূন্যের চেয়ে বড়। এর শূন্যের মান হবে x = 4/3। অসমতা চিহ্ন দেওয়া হলে, দেখা যাচ্ছে যে x অবশ্যই এই সংখ্যার থেকে কম হবে। এর মানে হল যে এই ব্যবধানটি 1 থেকে 4/3 পর্যন্ত ব্যবধানে কমে যায়।

পরেরটি অসমতার নিম্নলিখিত রেকর্ড দেয়: - (2 - x) > 2 (x - 1)। এর রূপান্তর এর দিকে নিয়ে যায়: -x > 0। অর্থাৎ, শূন্যের চেয়ে কম x এর জন্য সমীকরণটি সত্য। এর মানে হল যে অসমতা প্রয়োজনীয় ব্যবধানে সমাধান দেয় না।

প্রথম দুটি ব্যবধানে, সীমানা সংখ্যা ছিল 1। এটি অবশ্যই আলাদাভাবে পরীক্ষা করতে হবে। যে, মূল অসমতা মধ্যে প্রতিস্থাপন. দেখা যাচ্ছে: |2 - 1| > 2 |1 - 1| গণনা দেয় যে 1 0 থেকে বড়। এটি একটি সত্য বিবৃতি, তাই একটি উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

উত্তর: x ব্যবধানে থাকে (0; 4/3)।

অনলাইনে বৈষম্য সমাধান

বৈষম্য সমাধান করার আগে, সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করা হয় তা ভালভাবে বুঝতে হবে।

অসমতা কঠোর () বা অ-কঠোর (≤, ≥) তা বিবেচ্য নয়, প্রথম ধাপটি হল সমতা (=) দিয়ে অসমতার চিহ্ন প্রতিস্থাপন করে সমীকরণটি সমাধান করা।

একটি অসমতা সমাধানের অর্থ কী ব্যাখ্যা কর?

সমীকরণগুলি অধ্যয়ন করার পরে, শিক্ষার্থীর মাথায় নিম্নলিখিত ছবি রয়েছে: আপনাকে পরিবর্তনশীলের এমন মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যার জন্য সমীকরণের উভয় অংশ একই মান গ্রহণ করে। অন্য কথায়, সমতা ধারণ করে এমন সমস্ত পয়েন্ট খুঁজুন। সবকিছু ঠিক আছে!

বৈষম্য সম্পর্কে কথা বলার সময়, তাদের মানে সেই ব্যবধানগুলি (সেগমেন্ট) খুঁজে বের করা যেখানে অসমতা ধারণ করে। যদি অসমতার মধ্যে দুটি ভেরিয়েবল থাকে, তাহলে সমাধানটি আর বিরতি হবে না, তবে সমতলের কিছু এলাকায়। অনুমান করুন তিনটি চলকের অসমতার সমাধান কী হবে?

কিভাবে বৈষম্য সমাধান?

ব্যবধানের পদ্ধতি (ওরফে ব্যবধানের পদ্ধতি) বৈষম্য সমাধানের একটি সর্বজনীন উপায় হিসাবে বিবেচিত হয়, যা প্রদত্ত অসমতা পূরণ করা হবে এমন সমস্ত ব্যবধান নির্ধারণ করে।

বৈষম্যের ধরণে না গিয়ে, এই ক্ষেত্রে এটি সারমর্ম নয়, এটি সংশ্লিষ্ট সমীকরণটি সমাধান করতে এবং এর শিকড়গুলি নির্ধারণ করতে হবে, তারপরে সংখ্যাসূচক অক্ষের উপর এই সমাধানগুলির উপাধিটি অনুসরণ করতে হবে।

একটি অসমতার সমাধান লিখতে সঠিক উপায় কি?

আপনি যখন অসমতা সমাধানের জন্য ব্যবধান নির্ধারণ করেছেন, তখন আপনাকে সঠিকভাবে সমাধানটি লিখতে হবে। একটি গুরুত্বপূর্ণ সূক্ষ্মতা রয়েছে - ব্যবধানের সীমানাগুলি কি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে?

এখানে সবকিছু সহজ. যদি সমীকরণের সমাধান ODZ-কে সন্তুষ্ট করে এবং অসমতা কঠোর না হয়, তাহলে ব্যবধানের সীমা অসমতার সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। অন্যথায়, না.

প্রতিটি ব্যবধান বিবেচনা করে, অসমতার সমাধান হতে পারে ব্যবধান নিজেই, অথবা অর্ধ-ব্যবধান (যখন এর একটি সীমা অসমতাকে সন্তুষ্ট করে), বা একটি বিভাগ - এর সীমানা সহ একটি ব্যবধান।

গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট

মনে করবেন না যে শুধুমাত্র বিরতি, অর্ধ-ব্যবধান এবং বিভাগগুলি একটি অসমতার সমাধান হতে পারে। না, পৃথক পয়েন্টগুলিও সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, অসমতা |x|≤0 এর একটি মাত্র সমাধান আছে - পয়েন্ট 0।

এবং অসমতা |x|

অসমতা ক্যালকুলেটর কি জন্য?

অসমতা ক্যালকুলেটর সঠিক চূড়ান্ত উত্তর দেয়। এই ক্ষেত্রে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, একটি সংখ্যাসূচক অক্ষ বা সমতলের একটি চিত্র দেওয়া হয়। আপনি ব্যবধানের সীমানাগুলি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে কিনা তা দেখতে পারেন - বিন্দুগুলি ভরা বা ছিদ্র প্রদর্শিত হয়।

অনলাইন অসমতা ক্যালকুলেটরকে ধন্যবাদ, আপনি সমীকরণের মূলগুলি সঠিকভাবে খুঁজে পেয়েছেন কিনা, সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করেছেন এবং ব্যবধানে (এবং সীমানা) অসমতার শর্তগুলি পরীক্ষা করেছেন কিনা তা পরীক্ষা করতে পারেন?

যদি আপনার উত্তর ক্যালকুলেটরের উত্তর থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে আপনাকে অবশ্যই আপনার সমাধানটি দুবার পরীক্ষা করতে হবে এবং ভুলটি চিহ্নিত করতে হবে।

আজ, বন্ধুরা, কোন স্নোট এবং আবেগ থাকবে না। পরিবর্তে, আমি আপনাকে আর কোনো প্রশ্ন ছাড়াই ৮ম-৯ম শ্রেণির বীজগণিত কোর্সে সবচেয়ে শক্তিশালী প্রতিপক্ষের একজনের সাথে যুদ্ধে পাঠাব।

হ্যাঁ, আপনি সবকিছু সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছেন: আমরা একটি মডুলাসের সাথে অসমতার কথা বলছি। আমরা চারটি মৌলিক কৌশল দেখব যার সাহায্যে আপনি এই সমস্যার প্রায় 90% সমাধান করতে শিখবেন। অন্য 10% সম্পর্কে কি? ঠিক আছে, আমরা তাদের সম্পর্কে একটি পৃথক পাঠে কথা বলব। :)

যাইহোক, সেখানে কোন কৌশল বিশ্লেষণ করার আগে, আমি দুটি তথ্য স্মরণ করতে চাই যা আপনার ইতিমধ্যেই জানা দরকার। অন্যথায়, আপনি আজকের পাঠের উপাদানটি মোটেও বুঝতে পারবেন না।

আপনি ইতিমধ্যে কি জানতে হবে

ক্যাপ্টেন এভিডেন্স, যেমনটি ছিল, ইঙ্গিত দেয় যে একটি মডুলাস দিয়ে অসমতা সমাধান করার জন্য, আপনাকে দুটি জিনিস জানতে হবে:

1. কিভাবে বৈষম্য সমাধান করা হয়?
2. একটি মডিউল কি.

দ্বিতীয় পয়েন্ট দিয়ে শুরু করা যাক।

মডিউল সংজ্ঞা

এখানে সবকিছু সহজ. দুটি সংজ্ঞা আছে: বীজগণিত এবং গ্রাফিক। বীজগণিত দিয়ে শুরু করা যাক:

সংজ্ঞা। $x$ সংখ্যাটির মডিউলটি হয় সংখ্যাটি নিজেই, যদি এটি অ-ঋণাত্মক হয়, অথবা এর বিপরীত সংখ্যা, যদি আসল $x$ এখনও ঋণাত্মক হয়।

এটি এই মত লেখা হয়:

\[\বাম| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

সহজ ভাষায়, মডুলাস হল "একটি বিয়োগ ছাড়া একটি সংখ্যা"। এবং এটি এই দ্বৈততার মধ্যে রয়েছে (কোথাও আপনাকে আসল সংখ্যার সাথে কিছু করার দরকার নেই, তবে কোথাও আপনাকে সেখানে কিছু বিয়োগ সরিয়ে ফেলতে হবে) এবং নবীন শিক্ষার্থীদের জন্য সমস্ত অসুবিধা মিথ্যা।

জ্যামিতিক সংজ্ঞাও আছে। এটি জানার জন্যও এটি দরকারী, তবে আমরা এটি শুধুমাত্র জটিল এবং কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে উল্লেখ করব, যেখানে জ্যামিতিক পদ্ধতি বীজগণিতের চেয়ে বেশি সুবিধাজনক (স্পয়লার: আজ নয়)।

সংজ্ঞা। $a$ বিন্দুটিকে আসল লাইনে চিহ্নিত করা যাক। তারপর মডিউল $\left| x-a \right|$ হল এই লাইনের বিন্দু $x$ থেকে $a$ বিন্দুর দূরত্ব।

আপনি একটি ছবি আঁকলে, আপনি এই মত কিছু পাবেন:

গ্রাফিক্যাল মডিউল সংজ্ঞা

এক উপায় বা অন্যভাবে, এর মূল বৈশিষ্ট্যটি মডিউলের সংজ্ঞা থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করে: একটি সংখ্যার মডুলাস সর্বদা একটি অ-নেতিবাচক মান. এই সত্যটি আমাদের আজকের পুরো গল্পের মধ্য দিয়ে চলমান একটি লাল থ্রেড হবে।

বৈষম্যের সমাধান। ব্যবধান পদ্ধতি

এবার আসা যাক বৈষম্য নিয়ে। তাদের মধ্যে অনেকগুলি রয়েছে, তবে আমাদের কাজ এখন তাদের মধ্যে অন্তত সবচেয়ে সহজ সমাধান করতে সক্ষম হওয়া। যেগুলি রৈখিক অসমতা, সেইসাথে ব্যবধানের পদ্ধতিতে হ্রাস করা হয়।

এই বিষয়ে আমার দুটি বড় টিউটোরিয়াল আছে (যাইহোক, খুব, খুব দরকারী - আমি অধ্যয়নের পরামর্শ দিচ্ছি):

1. অসমতার জন্য ব্যবধান পদ্ধতি (বিশেষ করে ভিডিওটি দেখুন);
2. ভগ্নাংশ-যৌক্তিক অসমতা একটি খুব বিশাল পাঠ, কিন্তু এর পরে আপনার আর কোনো প্রশ্ন থাকবে না।

আপনি যদি এই সব জানেন, যদি "আসুন অসমতা থেকে সমীকরণে চলে যাই" বাক্যাংশটি আপনাকে অস্পষ্টভাবে প্রাচীরের বিরুদ্ধে নিজেকে মেরে ফেলতে না চায়, তাহলে আপনি প্রস্তুত: পাঠের মূল বিষয়ে নরকে স্বাগতম। :)

1. ফর্মের অসমতা "ফাংশনের চেয়ে কম মডিউল"

এটি মডিউলগুলির সাথে প্রায়শই সম্মুখীন হওয়া কাজগুলির মধ্যে একটি। ফর্মের একটি অসমতা সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

\[\বাম| f\right| \ltg\]

যেকোনো কিছু $f$ এবং $g$ ফাংশন হিসাবে কাজ করতে পারে, তবে সাধারণত তারা বহুপদ। এই ধরনের বৈষম্যের উদাহরণ:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\right| \ltx+7; \\ & \বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \বাম| ((x)^(2))-2\বাম| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

স্কিম অনুসারে তাদের সকলের আক্ষরিকভাবে এক লাইনে সমাধান করা হয়েছে:

\[\বাম| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(সারিবদ্ধ) \ঠিক, ঠিক)\]

এটা দেখা সহজ যে আমরা মডিউল থেকে পরিত্রাণ পাই, কিন্তু পরিবর্তে আমরা একটি দ্বিগুণ অসমতা (বা, যা একই জিনিস, দুটি অসমতার একটি সিস্টেম) পাই। তবে এই রূপান্তরটি একেবারে সমস্ত সম্ভাব্য সমস্যা বিবেচনা করে: যদি মডিউলের অধীনে সংখ্যাটি ইতিবাচক হয় তবে পদ্ধতিটি কাজ করে; যদি নেতিবাচক, এটি এখনও কাজ করে; এবং এমনকি $f$ বা $g$ এর জায়গায় সবচেয়ে অপর্যাপ্ত ফাংশন সহ, পদ্ধতিটি এখনও কাজ করবে।

স্বাভাবিকভাবেই, প্রশ্ন উঠেছে: এটা কি সহজ নয়? দুর্ভাগ্যবশত, আপনি পারবেন না. এই মডিউল পুরো বিন্দু.

কিন্তু দার্শনিকতা যথেষ্ট। আসুন কয়েকটি সমস্যার সমাধান করি:

একটি কাজ. অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| 2x+3\right| \ltx+7\]

সমাধান। সুতরাং, "মডিউলটি এর চেয়ে কম" ফর্মটির একটি শাস্ত্রীয় অসমতা রয়েছে - এমনকি রূপান্তর করার মতো কিছুই নেই। আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \বাম| 2x+3\right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

"মাইনাস" এর আগে থাকা বন্ধনীগুলি খুলতে তাড়াহুড়ো করবেন না: তাড়াহুড়োর কারণে আপনি একটি আপত্তিকর ভুল করবেন তা খুব সম্ভব।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right।\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right।\]

সমস্যা দুটি প্রাথমিক অসমতা হ্রাস করা হয়েছে. আমরা সমান্তরাল বাস্তব লাইনে তাদের সমাধানগুলি নোট করি:

অনেকের ছেদ

এই সেটগুলোর ছেদ হবে উত্তর।

উত্তর: $x\in \left(-\frac(10)(3); 4 \right)$

একটি কাজ. অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

সমাধান। এই কাজটা একটু বেশি কঠিন। শুরু করার জন্য, আমরা দ্বিতীয় পদটিকে ডানদিকে সরিয়ে মডিউলটিকে আলাদা করি:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \ডান)\]

স্পষ্টতই, আমাদের আবার "মডিউলটি কম" ফর্মের একটি অসমতা রয়েছে, তাই আমরা ইতিমধ্যে পরিচিত অ্যালগরিদম অনুসারে মডিউলটি থেকে পরিত্রাণ পাই:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

এখন মনোযোগ: কেউ বলবে যে আমি এই সমস্ত বন্ধনীর সাথে কিছুটা বিকৃত। কিন্তু আবারও আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে আমাদের মূল লক্ষ্য সঠিকভাবে অসমতা সমাধান করুন এবং উত্তর পান. পরে, যখন আপনি এই পাঠে বর্ণিত সমস্ত কিছু পুরোপুরি আয়ত্ত করতে পারেন, তখন আপনি আপনার পছন্দ মতো নিজেকে বিকৃত করতে পারেন: বন্ধনী খুলুন, বিয়োগ যোগ করুন ইত্যাদি।

এবং প্রারম্ভিকদের জন্য, আমরা কেবল বাম দিকের ডাবল বিয়োগ থেকে মুক্তি পাই:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\বাম(x+1\ডান)\]

এখন ডবল অসমতার সমস্ত বন্ধনী খুলি:

আসুন দ্বিগুণ বৈষম্যের দিকে এগিয়ে যাই। এবারের হিসেব আরও গুরুতর হবে:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(সারিবদ্ধ) \right।\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( ডানে যাও.\]

উভয় অসমতা বর্গাকার এবং ব্যবধান পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয় (তাই আমি বলি: আপনি যদি এটি কী তা না জানেন তবে মডিউলগুলি না নেওয়াই ভাল)। আমরা প্রথম অসমতার সমীকরণে পাস করি:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আউটপুটটি একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত হয়েছে, যা প্রাথমিকভাবে সমাধান করা হয়েছে। এখন চলুন সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতার সাথে মোকাবিলা করা যাক। সেখানে আপনাকে ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমরা প্রাপ্ত সংখ্যা দুটি সমান্তরাল রেখায় চিহ্নিত করি (প্রথম অসমতার জন্য পৃথক এবং দ্বিতীয়টির জন্য পৃথক):

আবার, যেহেতু আমরা অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করছি, তাই আমরা ছায়াযুক্ত সেটগুলির ছেদ করতে আগ্রহী: $x\in \left(-5;-2 \right)$। এই উত্তর.

উত্তর: $x\in \left(-5;-2 \right)$

আমি মনে করি এই উদাহরণগুলির পরে সমাধান পরিকল্পনাটি খুব স্পষ্ট:

1. অন্যান্য সমস্ত পদকে অসমতার বিপরীত দিকে সরিয়ে মডিউলটিকে বিচ্ছিন্ন করুন। এইভাবে আমরা $\left| ফর্মের একটি অসমতা পাই f\right| \ltg$।
2. উপরে বর্ণিত মডিউল থেকে পরিত্রাণ পেয়ে এই অসমতা সমাধান করুন। কিছু সময়ে, দ্বিগুণ অসমতা থেকে দুটি স্বাধীন অভিব্যক্তির একটি সিস্টেমে যাওয়ার প্রয়োজন হবে, যার প্রতিটি ইতিমধ্যে আলাদাভাবে সমাধান করা যেতে পারে।
3. অবশেষে, এটি শুধুমাত্র এই দুটি স্বাধীন অভিব্যক্তির সমাধানগুলি অতিক্রম করার জন্য রয়ে গেছে - এবং এটিই, আমরা চূড়ান্ত উত্তর পাব।

একটি অনুরূপ অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত ধরনের অসমতার জন্য বিদ্যমান, যখন মডুলাস ফাংশন থেকে বড় হয়। যাইহোক, গুরুতর "কিন্তু" একটি দম্পতি আছে. আমরা এখন এই "কিন্তু" সম্পর্কে কথা বলব।

2. ফর্মের অসমতা "মডিউল ফাংশনের চেয়ে বড়"

তারা দেখতে এই মত:

\[\বাম| f\right| \gt g\]

আগের এক অনুরূপ? এটা দেখতে. তবুও, এই ধরনের কাজগুলি সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, স্কিমটি নিম্নরূপ:

\[\বাম| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right\]

অন্য কথায়, আমরা দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করি:

1. প্রথমত, আমরা কেবল মডিউল উপেক্ষা করি - আমরা স্বাভাবিক অসমতা সমাধান করি;
2. তারপরে, প্রকৃতপক্ষে, আমরা বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে মডিউলটি খুলি, এবং তারপর আমরা একটি চিহ্ন সহ অসমতার উভয় অংশকে −1 দ্বারা গুণ করি।

এই ক্ষেত্রে, বিকল্পগুলি একটি বর্গাকার বন্ধনীর সাথে মিলিত হয়, i.e. আমাদের দুটি প্রয়োজনীয়তার সংমিশ্রণ রয়েছে।

আবার মনোযোগ দিন: আমাদের আগে একটি সিস্টেম নয়, কিন্তু একটি সামগ্রিক, তাই উত্তরে, সেটগুলি একত্রিত হয়, ছেদ করা হয় না. এটি আগের অনুচ্ছেদ থেকে একটি মৌলিক পার্থক্য!

সাধারণভাবে, অনেক শিক্ষার্থীর ইউনিয়ন এবং ছেদ নিয়ে অনেক বিভ্রান্তি রয়েছে, তাই আসুন একবার এবং সব জন্য এই সমস্যাটি দেখুন:

• "∪" একটি সংমিশ্রণ চিহ্ন। প্রকৃতপক্ষে, এটি একটি শৈলীযুক্ত অক্ষর "ইউ", যা ইংরেজি ভাষা থেকে আমাদের কাছে এসেছে এবং "ইউনিয়ন" এর সংক্ষিপ্ত রূপ, অর্থাৎ। "অ্যাসোসিয়েশন"।
• "∩" হল ছেদ চিহ্ন। এই বাজে কথা কোথাও থেকে আসেনি, কিন্তু শুধু "∪" এর বিরোধিতা হিসেবে হাজির হয়েছে।

মনে রাখা আরও সহজ করার জন্য, চশমা তৈরি করতে এই চিহ্নগুলিতে কেবল পা যোগ করুন (এখনই মাদকাসক্তি এবং মদ্যপান প্রচারের জন্য আমাকে অভিযুক্ত করবেন না: আপনি যদি এই পাঠটি গুরুত্ব সহকারে অধ্যয়ন করেন তবে আপনি ইতিমধ্যেই একজন মাদকাসক্ত):

ছেদ এবং সেটের মিলনের মধ্যে পার্থক্য

রাশিয়ান ভাষায় অনুবাদ করা হয়েছে, এর অর্থ নিম্নলিখিত: ইউনিয়ন (সংগ্রহ) উভয় সেটের উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে, অতএব, তাদের প্রত্যেকের চেয়ে কম নয়; কিন্তু ছেদ (সিস্টেম) শুধুমাত্র সেই উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যা প্রথম সেটে এবং দ্বিতীয় সেটে রয়েছে। অতএব, সেটগুলির ছেদ কখনই উত্স সেটের চেয়ে বড় হয় না।

তাই এটা পরিষ্কার হয়ে গেল? ওটা দারুন. চলুন অনুশীলনে এগিয়ে যাই।

একটি কাজ. অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

সমাধান। আমরা স্কিম অনুযায়ী কাজ করি:

\[\বাম| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ঠিক।\]

আমরা প্রতিটি জনসংখ্যা বৈষম্য সমাধান করি:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(সারিবদ্ধ) \right।\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

আমরা সংখ্যা রেখায় প্রতিটি ফলাফল সেট চিহ্নিত করি এবং তারপরে তাদের একত্রিত করি:

সেটের ইউনিয়ন

স্পষ্টতই উত্তর হল $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

উত্তর: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

একটি কাজ. অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

সমাধান। আমরা হব? না, সব একই। আমরা একটি মডুলাস সহ একটি অসমতা থেকে দুটি অসমতার একটি সেটে চলে যাই:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\শেষ(সারিবদ্ধ) \ ডান৷\]

আমরা প্রতিটি অসমতার সমাধান করি। দুর্ভাগ্যবশত, শিকড় সেখানে খুব ভাল হবে না:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

দ্বিতীয় অসমতাতেও কিছু খেলা আছে:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখন আমাদের এই সংখ্যাগুলিকে দুটি অক্ষে চিহ্নিত করতে হবে - প্রতিটি অসমতার জন্য একটি অক্ষ। যাইহোক, আপনাকে সঠিক ক্রমে পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করতে হবে: সংখ্যাটি যত বড় হবে, বিন্দুটি তত ডানদিকে সরে যাবে।

এবং এখানে আমরা একটি সেটআপের জন্য অপেক্ষা করছি। $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (প্রথমটির অংকের পদগুলি দিয়ে সবকিছু পরিষ্কার হলে ভগ্নাংশটি দ্বিতীয় সংখ্যার পদগুলির থেকে কম, তাই যোগফলটিও ছোট, $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) সংখ্যা সহ (21))(2)$ কোন অসুবিধা হবে না (একটি ইতিবাচক সংখ্যা স্পষ্টতই আরও নেতিবাচক), কিন্তু শেষ দম্পতির সাথে, সবকিছু এত সহজ নয়। কোনটি বড়: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ অথবা $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? সংখ্যা রেখায় বিন্দুর বিন্যাস এবং প্রকৃতপক্ষে উত্তর নির্ভর করবে এই প্রশ্নের উত্তরের উপর।

তাহলে আসুন তুলনা করা যাক:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]

আমরা মূলটিকে বিচ্ছিন্ন করেছি, অসমতার উভয় পাশে অ-নেতিবাচক সংখ্যা পেয়েছি, তাই আমাদের উভয় পক্ষের বর্গ করার অধিকার রয়েছে:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]

আমি মনে করি এটা কোন চিন্তার বিষয় নয় যে $4\sqrt(13) \gt 3$, তাই $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, অবশেষে অক্ষের বিন্দুগুলি এভাবে সাজানো হবে:

কুশ্রী শিকড় কেস

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমরা একটি সেট সমাধান করছি, তাই উত্তরটি হবে মিলন, এবং ছায়াযুক্ত সেটগুলির ছেদ নয়।

উত্তর: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমাদের স্কিমটি সাধারণ কাজ এবং খুব কঠিন উভয় ক্ষেত্রেই দুর্দান্ত কাজ করে। এই পদ্ধতির একমাত্র "দুর্বল স্থান" হল যে আপনাকে সঠিকভাবে অযৌক্তিক সংখ্যাগুলির তুলনা করতে হবে (এবং আমাকে বিশ্বাস করুন: এগুলি কেবল মূল নয়)। তবে একটি পৃথক (এবং খুব গুরুতর পাঠ) তুলনামূলক প্রশ্নগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত হবে। এবং আমরা এগিয়ে যান.

3. অ-নেতিবাচক "লেজ" সহ অসমতা

তাই আমরা সবচেয়ে আকর্ষণীয় পেয়েছিলাম. এগুলি ফর্মের অসমতা:

\[\বাম| f\right| \gt\left| g\right|\]

সাধারণভাবে বলতে গেলে, আমরা এখন যে অ্যালগরিদম সম্পর্কে কথা বলতে যাচ্ছি তা শুধুমাত্র মডিউলের জন্যই সত্য। এটি সমস্ত বৈষম্যের ক্ষেত্রে কাজ করে যেখানে বাম এবং ডানদিকে অ-নেতিবাচক অভিব্যক্তির নিশ্চয়তা রয়েছে:

এই কাজগুলো কি করতে হবে? শুধু মনে রাখ:

অ-নেতিবাচক লেজের সাথে অসমতার মধ্যে, উভয় পক্ষই যেকোনো প্রাকৃতিক শক্তিতে উত্থাপিত হতে পারে। কোন অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা থাকবে না।

প্রথমত, আমরা স্কোয়ারিংয়ে আগ্রহী হব - এটি মডিউল এবং শিকড় পোড়ায়:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

বর্গক্ষেত্রের মূল নেওয়ার সাথে এটিকে বিভ্রান্ত করবেন না:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \ right|\ne f\]

একজন ছাত্র একটি মডিউল ইনস্টল করতে ভুলে গেলে অগণিত ভুল হয়েছিল! কিন্তু এটি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন গল্প (এগুলি, যেমনটি ছিল, অযৌক্তিক সমীকরণ), তাই আমরা এখন এটিতে যাব না। আসুন আরও ভালভাবে কয়েকটি সমস্যার সমাধান করি:

একটি কাজ. অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

সমাধান। আমরা অবিলম্বে দুটি জিনিস লক্ষ্য করি:

1. এটি একটি অ-কঠোর অসমতা। নম্বর লাইনের পয়েন্টগুলি পাঞ্চ করা হবে।
2. অসমতার উভয় দিকই স্পষ্টতই অ-নেতিবাচক (এটি মডিউলের একটি বৈশিষ্ট্য: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

অতএব, আমরা মডুলাস থেকে পরিত্রাণ পেতে এবং স্বাভাবিক ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করতে অসমতার উভয় দিকে বর্গ করতে পারি:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

শেষ ধাপে, আমি একটু প্রতারণা করেছি: আমি মডুলাসের সমতা ব্যবহার করে পদের ক্রম পরিবর্তন করেছি (আসলে, আমি −1 দ্বারা $1-2x$ গুন করেছি)।

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-(\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ডান)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

আমরা ব্যবধান পদ্ধতি দ্বারা সমাধান. আসুন অসমতা থেকে সমীকরণে চলে যাই:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমরা সংখ্যা লাইনে পাওয়া শিকড় চিহ্নিত করি। আবারও: সমস্ত পয়েন্ট ছায়াময় কারণ মূল অসমতা কঠোর নয়!

মডিউল চিহ্ন পরিত্রাণ পাওয়া

আমি আপনাকে বিশেষভাবে একগুঁয়েদের জন্য মনে করিয়ে দিই: আমরা শেষ অসমতা থেকে লক্ষণগুলি গ্রহণ করি, যা সমীকরণে যাওয়ার আগে লেখা হয়েছিল। এবং আমরা একই অসমতার প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রগুলির উপর রঙ করি। আমাদের ক্ষেত্রে, এটি হল $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$।

ঠিক আছে এখন সব শেষ। সমস্যা সমাধান.

উত্তর: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$।

একটি কাজ. অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

সমাধান। আমরা সবকিছু একই করি। আমি মন্তব্য করব না - শুধু কর্মের ক্রম দেখুন।

এর বর্গক্ষেত্র করা যাক:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ডান))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))-(\left(((x)^(2))+3x+4 \ ডান))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

ব্যবধান পদ্ধতি:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং \left(-2x-3 \right)\left(2(x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সংখ্যা রেখায় শুধুমাত্র একটি মূল আছে:

উত্তর একটি সম্পূর্ণ পরিসীমা

উত্তর: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$।

শেষ কাজ সম্পর্কে একটি ছোট নোট. আমার ছাত্রদের মধ্যে একজন সঠিকভাবে উল্লেখ করেছেন, এই অসমতার উভয় সাবমডিউল অভিব্যক্তি স্পষ্টতই ইতিবাচক, তাই স্বাস্থ্যের ক্ষতি ছাড়াই মডুলাস চিহ্নটি বাদ দেওয়া যেতে পারে।

তবে এটি ইতিমধ্যে একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন স্তরের চিন্তাভাবনা এবং একটি ভিন্ন পদ্ধতি - এটি শর্তসাপেক্ষে পরিণতির পদ্ধতি বলা যেতে পারে। তার সম্পর্কে - একটি পৃথক পাঠে। এবং এখন আসুন আজকের পাঠের চূড়ান্ত অংশে যাওয়া যাক এবং একটি সর্বজনীন অ্যালগরিদম বিবেচনা করি যা সর্বদা কাজ করে। এমনকি যখন পূর্ববর্তী সমস্ত পন্থা শক্তিহীন ছিল। :)

4. বিকল্প গণনার পদ্ধতি

এই সব কৌশল কাজ না হলে কি? অসমতা যদি অ-নেতিবাচক লেজে না কমায়, যদি মডিউলটি বিচ্ছিন্ন করা অসম্ভব হয়, যদি সব ব্যথা-দুঃখ-আকাঙ্ক্ষা?

তারপরে সমস্ত গণিতের "ভারী কামান" দৃশ্যে প্রবেশ করে - গণনা পদ্ধতি। মডুলাসের সাথে বৈষম্যের ক্ষেত্রে, এটি এইরকম দেখায়:

1. সমস্ত সাবমডিউল এক্সপ্রেশন লিখুন এবং তাদের শূন্যের সমান করুন;
2. ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি সমাধান করুন এবং একটি সংখ্যা লাইনে পাওয়া মূলগুলি চিহ্নিত করুন;
3. সরলরেখাটি কয়েকটি বিভাগে বিভক্ত হবে, যার মধ্যে প্রতিটি মডিউলের একটি নির্দিষ্ট চিহ্ন রয়েছে এবং তাই দ্ব্যর্থহীনভাবে প্রসারিত হয়;
4. এই ধরনের প্রতিটি বিভাগে অসমতা সমাধান করুন (আপনি আলাদাভাবে অনুচ্ছেদ 2 এ প্রাপ্ত সীমানা মূল বিবেচনা করতে পারেন - নির্ভরযোগ্যতার জন্য)। ফলাফল একত্রিত করুন - এটি হবে উত্তর। :)

আচ্ছা, কিভাবে? দুর্বল? সহজে ! শুধু দীর্ঘ সময়ের জন্য। চলুন অনুশীলনে দেখা যাক:

একটি কাজ. অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| x+2 \right| \lt\বাম| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

সমাধান। এই বাজে কথা $\left| এর মত অসাম্যের জন্য ফুটে ওঠে না f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ বা $\left| f\right| \lt\বাম| g \right|$, তাই আসুন এগিয়ে যাই।

আমরা সাবমডিউল এক্সপ্রেশন লিখি, সেগুলিকে শূন্যের সমান করি এবং শিকড়গুলি খুঁজে পাই:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

মোট, আমাদের দুটি মূল রয়েছে যা সংখ্যারেখাটিকে তিনটি বিভাগে বিভক্ত করে, যার ভিতরে প্রতিটি মডিউল অনন্যভাবে প্রকাশিত হয়:

সাবমডুলার ফাংশনের শূন্য দ্বারা সংখ্যারেখাকে বিভক্ত করা

আসুন প্রতিটি বিভাগ আলাদাভাবে বিবেচনা করুন।

1. যাক $x \lt -2$। তারপর উভয় সাবমডিউল এক্সপ্রেশনই নেতিবাচক, এবং মূল অসমতা নিম্নরূপ পুনরায় লেখা হয়:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

আমরা একটি মোটামুটি সহজ সীমাবদ্ধতা পেয়েছিলাম. আসুন এটিকে মূল অনুমানের সাথে ছেদ করি যে $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

স্পষ্টতই, ভেরিয়েবল $x$ একই সাথে −2 এর কম কিন্তু 1.5 এর বেশি হতে পারে না। এই এলাকায় কোন সমাধান আছে.

1.1। আসুন আলাদাভাবে সীমানা কেসটি বিবেচনা করি: $x=-2$। আসুন এই সংখ্যাটিকে মূল অসমতার সাথে প্রতিস্থাপন করি এবং পরীক্ষা করি: এটি কি ধরে?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

স্পষ্টতই, গণনার শৃঙ্খল আমাদের ভুল বৈষম্যের দিকে নিয়ে গেছে। অতএব, মূল অসমতাও মিথ্যা, এবং $x=-2$ উত্তরটিতে অন্তর্ভুক্ত নয়।

2. এখন যাক $-2 \lt x \lt 1$। বাম মডিউলটি ইতিমধ্যে একটি "প্লাস" দিয়ে খুলবে, কিন্তু ডানটি এখনও একটি "বিয়োগ" সহ রয়েছে। আমাদের আছে:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আবার আমরা মূল প্রয়োজনীয়তার সাথে ছেদ করি:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

এবং আবার, সমাধানের খালি সেট, যেহেতু −2.5-এর চেয়ে কম এবং −2-এর চেয়ে বড় কোনও সংখ্যা নেই।

2.1। এবং আবার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: $x=1$। আমরা মূল অসমতার প্রতিস্থাপন করি:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \বাম| 3\right| \lt\বাম| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

একইভাবে পূর্ববর্তী "বিশেষ ক্ষেত্রে", $x=1$ নম্বরটি স্পষ্টভাবে উত্তরটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি।

3. লাইনের শেষ অংশ: $x \gt 1$। এখানে সমস্ত মডিউল একটি প্লাস চিহ্ন দিয়ে প্রসারিত করা হয়েছে:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(সারিবদ্ধ)\ ]

এবং আবার আমরা পাওয়া সেটটিকে মূল সীমাবদ্ধতার সাথে ছেদ করি:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \ঠিক)\]

অবশেষে ! আমরা ব্যবধান খুঁজে পেয়েছি, যা উত্তর হবে।

উত্তর: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

অবশেষে, একটি নোট যা আপনাকে বাস্তব সমস্যা সমাধান করার সময় বোকা ভুল থেকে বাঁচাতে পারে:

মডিউলগুলির সাথে অসমতার সমাধানগুলি সাধারণত সংখ্যারেখার অবিচ্ছিন্ন সেট - ব্যবধান এবং সেগমেন্ট। বিচ্ছিন্ন পয়েন্ট অনেক বিরল। এবং আরও কদাচিৎ, এটি ঘটে যে সমাধানের সীমানা (সেগমেন্টের শেষ) বিবেচনাধীন পরিসরের সীমানার সাথে মিলে যায়।

অতএব, যদি সীমানাগুলি (যেগুলি খুব "বিশেষ ক্ষেত্রে") উত্তরে অন্তর্ভুক্ত না হয়, তাহলে এই সীমানার বাম-ডান দিকের এলাকাগুলিও উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করা হবে না। এবং তদ্বিপরীত: উত্তরে সীমানা প্রবেশ করেছে, যার অর্থ হল এর আশেপাশের কিছু এলাকাও প্রতিক্রিয়া হবে।

আপনি আপনার সমাধান চেক করার সময় এটি মনে রাখবেন।