যৌক্তিক অসমতা অনলাইন ক্যালকুলেটর. রৈখিক অসমতা। বিভিন্ন ধরনের বৈষম্য সমাধানের উদাহরণ

অনলাইনে বৈষম্য সমাধান

বৈষম্য সমাধান করার আগে, সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করা হয় তা ভালভাবে বুঝতে হবে।

অসমতা কঠোর () বা অ-কঠোর (≤, ≥) তা বিবেচ্য নয়, প্রথম ধাপটি হল সমতা (=) দিয়ে অসমতার চিহ্ন প্রতিস্থাপন করে সমীকরণটি সমাধান করা।

একটি অসমতা সমাধানের অর্থ কী ব্যাখ্যা কর?

সমীকরণগুলি অধ্যয়ন করার পরে, শিক্ষার্থীর মাথায় নিম্নলিখিত ছবি রয়েছে: আপনাকে পরিবর্তনশীলের এমন মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যার জন্য সমীকরণের উভয় অংশ একই মান গ্রহণ করে। অন্য কথায়, সমতা ধারণ করে এমন সমস্ত পয়েন্ট খুঁজুন। সবকিছু ঠিক আছে!

বৈষম্য সম্পর্কে কথা বলার সময়, তাদের মানে সেই ব্যবধানগুলি (সেগমেন্ট) খুঁজে বের করা যেখানে অসমতা ধারণ করে। যদি অসমতার মধ্যে দুটি ভেরিয়েবল থাকে, তাহলে সমাধানটি আর বিরতি হবে না, তবে সমতলের কিছু এলাকায়। অনুমান করুন তিনটি চলকের অসমতার সমাধান কী হবে?

কিভাবে বৈষম্য সমাধান?

ব্যবধানের পদ্ধতি (ওরফে ব্যবধানের পদ্ধতি) বৈষম্য সমাধানের একটি সর্বজনীন উপায় হিসাবে বিবেচিত হয়, যা প্রদত্ত অসমতা পূরণ করা হবে এমন সমস্ত ব্যবধান নির্ধারণ করে।

বৈষম্যের ধরণে না গিয়ে, এই ক্ষেত্রে এটি সারমর্ম নয়, এটি সংশ্লিষ্ট সমীকরণটি সমাধান করতে এবং এর শিকড়গুলি নির্ধারণ করতে হবে, তারপরে সংখ্যাসূচক অক্ষের উপর এই সমাধানগুলির উপাধিটি অনুসরণ করতে হবে।

একটি অসমতার সমাধান লিখতে সঠিক উপায় কি?

আপনি যখন অসমতা সমাধানের জন্য ব্যবধান নির্ধারণ করেছেন, তখন আপনাকে সঠিকভাবে সমাধানটি লিখতে হবে। একটি গুরুত্বপূর্ণ সূক্ষ্মতা রয়েছে - ব্যবধানের সীমানাগুলি কি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে?

এখানে সবকিছু সহজ. যদি সমীকরণের সমাধান ODZ-কে সন্তুষ্ট করে এবং অসমতা কঠোর না হয়, তাহলে ব্যবধানের সীমা অসমতার সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। অন্যথায়, না.

প্রতিটি ব্যবধান বিবেচনা করে, অসমতার সমাধান হতে পারে ব্যবধান নিজেই, অথবা অর্ধ-ব্যবধান (যখন এর সীমানাগুলির একটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে), বা একটি বিভাগ - এর সীমানা সহ একটি ব্যবধান।

গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট

মনে করবেন না যে শুধুমাত্র বিরতি, অর্ধ-ব্যবধান এবং বিভাগগুলি একটি অসমতার সমাধান হতে পারে। না, পৃথক পয়েন্টগুলিও সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, অসমতা |x|≤0 এর একটি মাত্র সমাধান আছে - পয়েন্ট 0।

এবং অসমতা |x|

অসমতা ক্যালকুলেটর কি জন্য?

অসমতা ক্যালকুলেটর সঠিক চূড়ান্ত উত্তর দেয়। এই ক্ষেত্রে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, একটি সংখ্যাসূচক অক্ষ বা সমতলের একটি চিত্র দেওয়া হয়। আপনি ব্যবধানের সীমানাগুলি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে কিনা তা দেখতে পারেন - বিন্দুগুলি ভরা বা ছিদ্র প্রদর্শিত হয়।

অনলাইন অসমতা ক্যালকুলেটরকে ধন্যবাদ, আপনি পরীক্ষা করতে পারেন যে আপনি সমীকরণের শিকড়গুলি সঠিকভাবে খুঁজে পেয়েছেন, সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করেছেন এবং ব্যবধানে (এবং সীমানা) অসমতার শর্তগুলি পরীক্ষা করেছেন?

যদি আপনার উত্তর ক্যালকুলেটরের উত্তর থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে আপনাকে অবশ্যই আপনার সমাধানটি দুবার পরীক্ষা করতে হবে এবং ভুলটি চিহ্নিত করতে হবে।

অসমতা হল একটি সাংখ্যিক অনুপাত যা একে অপরের সাপেক্ষে সংখ্যার বিশালতাকে চিত্রিত করে। ফলিত বিজ্ঞানে পরিমাণের অনুসন্ধানে অসমতা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। আমাদের ক্যালকুলেটর আপনাকে রৈখিক অসমতা সমাধানের মতো একটি কঠিন বিষয় মোকাবেলা করতে সহায়তা করবে।

বৈষম্য কাকে বলে

বাস্তব জীবনে অসম অনুপাত বিভিন্ন বস্তুর ধ্রুবক তুলনার সাথে মিলে যায়: উচ্চ বা নিম্ন, দূরে বা কাছাকাছি, ভারী বা হালকা। স্বজ্ঞাত বা চাক্ষুষভাবে, আমরা বুঝতে পারি যে একটি বস্তু অন্যটির চেয়ে বড়, উচ্চতর বা ভারী, তবে প্রকৃতপক্ষে এটি সর্বদা সংখ্যার তুলনা করার বিষয় যা সংশ্লিষ্ট পরিমাণের বৈশিষ্ট্য। আপনি যে কোনো ভিত্তিতে বস্তুর তুলনা করতে পারেন, এবং যে কোনো ক্ষেত্রে, আমরা একটি সংখ্যাগত অসমতা করতে পারি।

যদি নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে অজানা পরিমাণ সমান হয়, তাহলে তাদের সংখ্যাগত নির্ধারণের জন্য আমরা একটি সমীকরণ তৈরি করি। যদি না হয়, তাহলে "সমান" চিহ্নের পরিবর্তে, আমরা এই পরিমাণের মধ্যে অন্য কোনো অনুপাত নির্দেশ করতে পারি। দুটি সংখ্যা বা গাণিতিক বস্তু "> এর চেয়ে বড় হতে পারে, "এর চেয়ে কম<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

তাদের আধুনিক আকারে অসমতার লক্ষণগুলি ব্রিটিশ গণিতবিদ টমাস হ্যারিয়ট দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল, যিনি 1631 সালে অসম অনুপাতের উপর একটি বই প্রকাশ করেছিলেন। ">" এর থেকে বড় এবং "এর চেয়ে কম<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

বৈষম্য সমাধান

বৈষম্য, সমীকরণের মতো, বিভিন্ন ধরনের আসে। রৈখিক, বর্গক্ষেত্র, লগারিদমিক বা সূচকীয় অসম অনুপাত বিভিন্ন পদ্ধতি দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যাইহোক, পদ্ধতি যাই হোক না কেন, যেকোন অসমতাকে প্রথমে একটি প্রমিত আকারে কমিয়ে আনতে হবে। এর জন্য, অভিন্ন রূপান্তরগুলি ব্যবহার করা হয়, যা সমতার পরিবর্তনগুলির সাথে অভিন্ন।

অসমতার পরিচয় রূপান্তর

অভিব্যক্তির এই ধরনের রূপান্তরগুলি সমীকরণের ভূতের সাথে খুব সাদৃশ্যপূর্ণ, তবে তাদের মধ্যে এমন সূক্ষ্মতা রয়েছে যা অসমতা মুক্ত করার সময় বিবেচনা করা গুরুত্বপূর্ণ।

প্রথম পরিচয় রূপান্তরটি সমতা সহ সাদৃশ্যপূর্ণ অপারেশনের অনুরূপ। অসম অনুপাতের উভয় দিকে, আপনি একটি অজানা x দিয়ে একই সংখ্যা বা রাশি যোগ বা বিয়োগ করতে পারেন, যখন অসমতা চিহ্নটি একই থাকে। প্রায়শই, এই পদ্ধতিটি একটি সরলীকৃত আকারে ব্যবহার করা হয় অসমতা চিহ্নের মাধ্যমে অভিব্যক্তির শর্তাবলীর স্থানান্তর হিসাবে সংখ্যার চিহ্নের বিপরীতে পরিবর্তনের সাথে। এটি শব্দের স্বয়ং চিহ্নের পরিবর্তনকে বোঝায়, অর্থাৎ, + R যখন কোনো অসমতার চিহ্নের মাধ্যমে স্থানান্তরিত হয় - R-এ পরিবর্তিত হবে এবং এর বিপরীতে।

দ্বিতীয় রূপান্তরের দুটি পয়েন্ট রয়েছে:

1. একটি অসম অনুপাতের উভয় বাহুকে একই ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করার অনুমতি দেওয়া হয়। বৈষম্যের চিহ্ন নিজেই বদলাবে না।
2. অসমতার উভয় পক্ষকে একই ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ বা গুণ করার অনুমতি দেওয়া হয়। বৈষম্যের চিহ্ন নিজেই বিপরীতে পরিবর্তিত হবে।

বৈষম্যের দ্বিতীয় অভিন্ন রূপান্তরটি সমীকরণের পরিবর্তনের সাথে গুরুতর পার্থক্য রয়েছে। প্রথমত, একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ/ভাগ করার সময়, একটি অসম রাশির চিহ্ন সর্বদা বিপরীত হয়। দ্বিতীয়ত, একটি সম্পর্কের অংশগুলিকে ভাগ বা গুণ করা শুধুমাত্র একটি সংখ্যা দ্বারা অনুমোদিত, এবং একটি অজানা ধারণকারী কোনো অভিব্যক্তি দ্বারা নয়। আসল বিষয়টি হ'ল আমরা নিশ্চিতভাবে জানতে পারি না যে শূন্যের চেয়ে বড় বা কম একটি সংখ্যা অজানার পিছনে লুকিয়ে আছে, তাই দ্বিতীয় অভিন্ন রূপান্তরটি কেবলমাত্র সংখ্যার সাথে অসমতার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। আসুন উদাহরণ সহ এই নিয়মগুলি দেখি।

উন্মুক্ত বৈষম্যের উদাহরণ

বীজগণিত অ্যাসাইনমেন্টে, বৈষম্যের বিষয়ে বিভিন্ন ধরনের অ্যাসাইনমেন্ট রয়েছে। আসুন আমাদের একটি অভিব্যক্তি দিন:

6x − 3(4x + 1) > 6।

প্রথমে, বন্ধনী খুলুন এবং সমস্ত অজানা বাম দিকে এবং সমস্ত সংখ্যা ডানদিকে সরান।

6x − 12x > 6 + 3

আমাদের অভিব্যক্তির উভয় অংশকে −6 দ্বারা ভাগ করতে হবে, তাই একটি অজানা x খুঁজে বের করার সময়, অসমতার চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হবে।

এই অসমতা সমাধান করার সময়, আমরা উভয় অভিন্ন রূপান্তর ব্যবহার করেছি: আমরা সমস্ত সংখ্যাকে চিহ্নের ডানদিকে সরিয়েছি এবং অনুপাতের উভয় দিককে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করেছি।

আমাদের প্রোগ্রামটি সংখ্যাগত অসমতাগুলি সমাধান করার জন্য একটি ক্যালকুলেটর যা অজানা ধারণ করে না। প্রোগ্রামটিতে তিনটি সংখ্যার অনুপাতের জন্য নিম্নলিখিত উপপাদ্য রয়েছে:

• যদি একটি< B то A–C< B–C;
• যদি A > B, তাহলে A-C > B-C।

A-C পদ বিয়োগের পরিবর্তে, আপনি যেকোন গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ নির্দিষ্ট করতে পারেন: যোগ, গুণ বা ভাগ। এইভাবে, ক্যালকুলেটর স্বয়ংক্রিয়ভাবে যোগফল, পার্থক্য, পণ্য বা ভগ্নাংশের অসমতা উপস্থাপন করবে।

উপসংহার

বাস্তব জীবনে, বৈষম্য সমীকরণের মতোই সাধারণ। স্বাভাবিকভাবেই, দৈনন্দিন জীবনে, বৈষম্যের সমাধান সম্পর্কে জ্ঞানের প্রয়োজন নাও হতে পারে। যাইহোক, ফলিত বিজ্ঞানে, অসমতা এবং তাদের সিস্টেমগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, বৈশ্বিক অর্থনীতির সমস্যাগুলির বিভিন্ন অধ্যয়নগুলি রৈখিক বা বর্গাকার অসমতার সিস্টেমগুলির সংকলন এবং প্রকাশে হ্রাস করা হয় এবং কিছু অসম সম্পর্ক নির্দিষ্ট বস্তুর অস্তিত্ব প্রমাণের একটি দ্ব্যর্থহীন উপায় হিসাবে কাজ করে। রৈখিক অসমতা সমাধান করতে বা আপনার নিজস্ব গণনা পরীক্ষা করতে আমাদের প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করুন।

ফর্ম ax 2 + bx + 0 0, যেখানে (> চিহ্নের পরিবর্তে, অবশ্যই, অন্য কোনো অসমতার চিহ্ন হতে পারে)। আমাদের কাছে এই ধরনের অসমতা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় তত্ত্বের সমস্ত তথ্য রয়েছে, যা আমরা এখন যাচাই করব।

উদাহরণ 1. অসমতা সমাধান করুন:

ক) x 2 - 2x - 3 > 0; খ) x 2 - 2x - 3< 0;
গ) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
সমাধান,

ক) ডুমুরে দেখানো প্যারাবোলা y \u003d x 2 - 2x - 3 বিবেচনা করুন। 117।

অসমতা সমাধান করতে x 2 - 2x - 3 > 0 - এর অর্থ হল প্রশ্নের উত্তর দেওয়া, যার জন্য প্যারাবোলার বিন্দুগুলির অর্ডিনেট x এর মানগুলি ইতিবাচক।

আমরা লক্ষ্য করি যে y > 0, অর্থাৎ, ফাংশনের গ্রাফটি x-অক্ষের উপরে, x এ অবস্থিত< -1 или при х > 3.

অত:পর, অসমতার সমাধান সবই প্রকাশ্য বিষয় মরীচি(- 00 , - 1), পাশাপাশি খোলা মরীচির সমস্ত পয়েন্ট (3, +00)।

U (সেটগুলির মিলনের চিহ্ন) চিহ্নটি ব্যবহার করে উত্তরটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: (-00 , - 1) U (3, +00)। যাইহোক, উত্তরটি এভাবেও লেখা যেতে পারে:< - 1; х > 3.

খ) অসমতা x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: সময়সূচী x-অক্ষের নিচে অবস্থিত যদি -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

গ) অসমতা x 2 - 2x - 3 > 0 অসমতা x 2 - 2x - 3 > 0 থেকে পৃথক যে উত্তরটিতে অবশ্যই x 2 - 2x - 3 = 0, অর্থাৎ পয়েন্ট x = - সমীকরণের মূল অন্তর্ভুক্ত করতে হবে। 1

এবং x \u003d 3. এইভাবে, এই অ-কঠোর অসমতার সমাধানগুলি রশ্মির সমস্ত বিন্দু (-00, - 1], সেইসাথে বিমের সমস্ত বিন্দু।

ব্যবহারিক গণিতবিদরা সাধারণত এটি বলেন: কেন আমরা অসমতা ax 2 + bx + c > 0 সমাধান করে সাবধানে একটি দ্বিঘাত ফাংশনের প্যারাবোলা গ্রাফ তৈরি করি?

y \u003d ax 2 + bx + c (যেমনটি 1 উদাহরণে করা হয়েছিল)? গ্রাফের একটি পরিকল্পিত স্কেচ তৈরি করার জন্য এটি যথেষ্ট, যার জন্য আপনাকে কেবল খুঁজে বের করতে হবে শিকড়বর্গাকার ত্রিনমিক (x-অক্ষ সহ প্যারাবোলার ছেদ বিন্দু) এবং প্যারাবোলার শাখাগুলি কোথায় নির্দেশিত - উপরে বা নীচে নির্ধারণ করুন। এই পরিকল্পিত স্কেচটি অসমতার সমাধানের একটি চাক্ষুষ ব্যাখ্যা দেবে।

উদাহরণ 2অসমতা সমাধান করুন - 2x 2 + 3x + 9< 0.
সমাধান।

1) বর্গাকার ত্রিনয়কের মূল খুঁজুন - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1.5।

2) প্যারাবোলা, যা y \u003d -2x 2 + Zx + 9 ফাংশনের একটি গ্রাফ হিসাবে কাজ করে, x-অক্ষকে 3 এবং - 1.5 বিন্দুতে ছেদ করে এবং প্যারাবোলার শাখাগুলি নীচের দিকে পরিচালিত হয়, যেহেতু পুরোনো গুণাঙ্ক- নেতিবাচক সংখ্যা - 2. ডুমুরে। 118 একটি গ্রাফের একটি স্কেচ।

3) ডুমুর ব্যবহার। 118, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
উত্তরঃ x< -1,5; х > 3.

উদাহরণ 3অসমতা 4x 2 - 4x + 1 সমাধান করুন< 0.
সমাধান।

1) 4x 2 - 4x + 1 = 0 সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাই।

2) বর্গাকার ত্রিনয়কের একটি মূল আছে; এর মানে হল যে প্যারাবোলা একটি বর্গাকার ত্রিনাময়ের গ্রাফ হিসাবে পরিবেশন করছে x-অক্ষকে ছেদ করে না, তবে বিন্দুতে এটি স্পর্শ করে। প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয় (চিত্র 119।)

3) ডুমুরে দেখানো জ্যামিতিক মডেল ব্যবহার করে। 119, আমরা প্রতিষ্ঠিত করি যে নির্দিষ্ট অসমতা শুধুমাত্র বিন্দুতে সন্তুষ্ট হয়, যেহেতু x এর অন্যান্য সমস্ত মানের জন্য, গ্রাফের অর্ডিনেটগুলি ইতিবাচক।
উত্তর: .
আপনি সম্ভবত লক্ষ্য করেছেন যে আসলে, উদাহরণ 1, 2, 3, একটি ভাল-সংজ্ঞায়িত অ্যালগরিদমদ্বিঘাত বৈষম্য সমাধান করে, আমরা এটিকে আনুষ্ঠানিক রূপ দেব।

দ্বিঘাত অসমতা ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c) সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম< 0)

এই অ্যালগরিদমের প্রথম ধাপ হল একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের মূল খুঁজে বের করা। কিন্তু শিকড় নাও থাকতে পারে, তাই কী করবেন? তারপরে অ্যালগরিদমটি প্রযোজ্য নয়, যার মানে এটি ভিন্নভাবে যুক্তি করা প্রয়োজন। এই আর্গুমেন্টের চাবিকাঠি নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়.

অন্য কথায়, যদি ডি< 0, а >0, তারপর অসমতা ax 2 + bx + c > 0 সমস্ত x এর জন্য সন্তুষ্ট হয়; বিপরীতে, অসমতা ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
প্রমাণ। সময়সূচী ফাংশন y \u003d ax 2 + bx + c হল একটি প্যারাবোলা যার শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত (a > 0 থেকে) এবং যেটি x অক্ষকে ছেদ করে না, যেহেতু বর্গক্ষেত্র ত্রিনয়কের শর্ত অনুসারে কোনো শিকড় নেই। গ্রাফটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 120. আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সমস্ত x এর জন্য গ্রাফটি x অক্ষের উপরে অবস্থিত, যার মানে হল যে সমস্ত x এর জন্য অসমতা ax 2 + bx + c > 0 সন্তুষ্ট, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল।

অন্য কথায়, যদি ডি< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 এর কোন সমাধান নেই।

প্রমাণ। y \u003d ax 2 + bx + c ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা, যার শাখাগুলি নীচের দিকে পরিচালিত হয় (যেহেতু a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

উদাহরণ 4. অসমতা সমাধান করুন:

ক) 2x 2 - x + 4 > 0; খ) -x 2 + Zx - 8 > 0।

ক) 2x 2 - x + 4 বর্গক্ষেত্রের বৈষম্য নির্ণয় করুন। আমাদের কাছে D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31 আছে< 0.
ত্রিনয়কের সিনিয়র সহগ (সংখ্যা 2) ধনাত্মক।

তাই, উপপাদ্য 1 দ্বারা, সমস্ত x-এর জন্য, অসমতা 2x 2 - x + 4 > 0 সন্তুষ্ট, অর্থাৎ, প্রদত্ত অসমতার সমাধান হল সমগ্র (-00, + 00)।

b) বর্গক্ষেত্রের বৈষম্য নির্ণয় করুন - x 2 + Zx - 8। আমাদের কাছে D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23 আছে< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

উত্তর: ক) (-00, + 00); খ) কোন সমাধান নেই।

নিম্নলিখিত উদাহরণে, আমরা যুক্তির আরেকটি উপায়ের সাথে পরিচিত হব, যা দ্বিঘাত অসমতা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ 5অসমতা 3x 2 - 10x + 3 সমাধান করুন< 0.
সমাধান। আসুন আমরা 3x 2 - 10x + 3 বর্গক্ষেত্রের গুণিতক করি। ত্রিনয়কের মূল হল সংখ্যা 3 এবং তাই, ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) ব্যবহার করে, আমরা Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
আমরা সংখ্যা রেখায় ত্রিনয়কের শিকড়গুলি নোট করি: 3 এবং (চিত্র 122)।

যাক x > 3; তারপর x-3>0 এবং x->0, এবং তাই গুণফল 3(x - 3)(x - ) ধনাত্মক। পরবর্তী, যাক< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. অতএব, গুণফল 3(x-3)(x-) ঋণাত্মক। অবশেষে, যাক x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) ধনাত্মক।

যুক্তির সংক্ষিপ্তসারে, আমরা উপসংহারে উপনীত হই: বর্গাকার ত্রিনমিক Zx 2 - 10x + 3-এর চিহ্নগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 122. আমরা x বর্গক্ষেত্র ত্রিনামিক নেতিবাচক মান নিতে আগ্রহী। ডুমুর থেকে। 122 আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি: বর্গক্ষেত্র ত্রিনয়িক 3x 2 - 10x + 3 ব্যবধান থেকে x এর যেকোনো মানের জন্য ঋণাত্মক মান নেয় (, 3)
উত্তর (, 3), বা< х < 3.

মন্তব্য করুন। আমরা উদাহরণ 5 এ যে যুক্তির পদ্ধতি প্রয়োগ করেছি তাকে সাধারণত বিরতির পদ্ধতি (বা বিরতির পদ্ধতি) বলা হয়। এটি সক্রিয়ভাবে সমাধান করতে গণিতে ব্যবহৃত হয় যুক্তিসঙ্গতঅসমতা 9ম শ্রেণীতে, আমরা আরও বিস্তারিতভাবে ব্যবধান পদ্ধতি অধ্যয়ন করব।

উদাহরণ 6. p প্যারামিটারের কোন মানের দ্বিঘাত সমীকরণ x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
ক) দুটি ভিন্ন শিকড় আছে;

খ) একটি মূল আছে;

গ) কোন -মূল আছে?

সমাধান। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সংখ্যা তার বৈষম্যকারী D-এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। এই ক্ষেত্রে, আমরা D \u003d 25 - 4p 2 পাই।

ক) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূল রয়েছে, যদি D> 0 হয়, তাহলে সমস্যাটি অসমতা সমাধানে হ্রাস পাবে 25 - 4p 2 > 0। আমরা এই অসমতার উভয় অংশকে -1 দ্বারা গুণ করি (বৈষম্য চিহ্নটি পরিবর্তন করার কথা মনে রেখে)। আমরা একটি সমতুল্য অসমতা 4p 2 - 25 পাই< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

4(p - 2.5) (p + 2.5) অভিব্যক্তির চিহ্নগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 123।

আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে অসমতা 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

খ) দ্বিঘাত সমীকরণএকটি মূল আছে যদি D 0 হয়।
আমরা উপরে বলেছি, D = 0 এ p = 2.5 বা p = -2.5।

প্যারামিটার p এর এই মানগুলির জন্য এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মাত্র মূল রয়েছে।

c) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের কোন মূল নেই যদি D হয়< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

আমরা 4p 2 - 25 > 0 পাই; 4 (p-2.5) (p + 2.5)> 0, যেখান থেকে (চিত্র 123 দেখুন) p< -2,5; р >2.5। p প্যারামিটারের এই মানের জন্য, এই দ্বিঘাত সমীকরণের কোন মূল নেই।

উত্তর: ক) p এ (-2.5, 2.5);

b) p = 2.5 বা p = -2.5 এ;
গ) r এ< - 2,5 или р > 2,5.

মর্ডকোভিচ এ.জি., বীজগণিত. গ্রেড 8: Proc. সাধারণ শিক্ষার জন্য প্রতিষ্ঠান। - 3য় সংস্করণ, চূড়ান্ত করা হয়েছে। - এম.: মেমোসিন, 2001। - 223 পি।: অসুস্থ।

একজন শিক্ষার্থীকে অনলাইনে সাহায্য করুন, গ্রেড 8 ডাউনলোডের জন্য গণিত, ক্যালেন্ডার-থিম্যাটিক পরিকল্পনা

রৈখিক অসমতা বলা হয়যার বাম এবং ডান অংশগুলি অজানা মানের সাপেক্ষে রৈখিক ফাংশন। এর মধ্যে রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, অসমতা:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- এক্স< x + 5 .

1) কঠোর অসমতা: ax+b>0বা ax+b<0

2) অ-কঠোর অসমতা: ax+b≤0বা ax+b≫ 0

আসুন এই কাজটি নেওয়া যাক. একটি সমান্তরালগ্রামের এক বাহু 7 সেমি। অপর পাশের দৈর্ঘ্য কত হওয়া উচিত যাতে সমান্তরালগ্রামের পরিধি 44 সেন্টিমিটারের বেশি হয়?

কাঙ্খিত দিক হতে দিন এক্সদেখুন এই ক্ষেত্রে, সমান্তরালগ্রামের পরিধিটি (14 + 2x) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হবে দেখুন। অসমতা 14 + 2x > 44 হল একটি সমান্তরালগ্রামের পরিধির সমস্যার একটি গাণিতিক মডেল। এই অসমতা হলে আমরা পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন করি এক্সউদাহরণস্বরূপ, 16 নম্বরে, তারপরে আমরা সঠিক সংখ্যাগত অসমতা 14 + 32\u003e 44 পাই। এই ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে 16 নম্বরটি অসমতার সমাধান 14 + 2x\u003e 44।

অসমতার সমাধানভেরিয়েবলের মানের নাম দিন যা এটিকে সত্যিকারের সংখ্যাগত অসমতায় পরিণত করে।

অতএব, প্রতিটি সংখ্যা 15.1; 20;73 অসমতার সমাধান হিসাবে কাজ করে 14 + 2x > 44, এবং সংখ্যা 10, উদাহরণস্বরূপ, এটির সমাধান নয়।

বৈষম্য সমাধান করুনএর অর্থ হল এর সমস্ত সমাধান প্রতিষ্ঠা করা বা প্রমাণ করা যে সমাধানের অস্তিত্ব নেই।

অসমতার সমাধানের গঠন সমীকরণের মূল গঠনের অনুরূপ। এবং তবুও এটি "বৈষম্যের মূল" মনোনীত করা প্রথাগত নয়।

সংখ্যাসূচক সমতার বৈশিষ্ট্য আমাদের সমীকরণ সমাধান করতে সাহায্য করেছে। একইভাবে, সংখ্যাগত বৈষম্যের বৈশিষ্ট্য বৈষম্য সমাধানে সাহায্য করবে।

সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা এটিকে অন্য, সহজ সমীকরণে পরিবর্তন করি, তবে প্রদত্ত একটির সমতুল্য। একইভাবে, অসমতার জন্য উত্তর পাওয়া যায়। সমীকরণটিকে এটির সমতুল্য সমীকরণে পরিবর্তন করার সময়, তারা সমীকরণের একটি অংশ থেকে বিপরীতে পদ স্থানান্তর এবং একই নন-শূন্য সংখ্যা দ্বারা সমীকরণের উভয় অংশের গুণনের ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি ব্যবহার করে। একটি অসমতা সমাধান করার সময়, এটি এবং একটি সমীকরণের মধ্যে একটি উল্লেখযোগ্য পার্থক্য রয়েছে, যা এই সত্যের মধ্যে রয়েছে যে একটি সমীকরণের যে কোনও সমাধানকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে পরীক্ষা করা যেতে পারে। অসমতার ক্ষেত্রে, এমন কোন পদ্ধতি নেই, যেহেতু অসীম সংখ্যক সমাধানকে মূল অসমতার সাথে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব নয়। অতএব, একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা আছে, এই তীর<=>সমতুল্য, বা সমতুল্য, রূপান্তরের চিহ্ন। রূপান্তর বলা হয় সমতুল্যবা সমতুল্যযদি তারা সিদ্ধান্ত পরিবর্তন না করে।

অসমতা সমাধানের জন্য অনুরূপ নিয়ম।

কোনো পদ যদি অসমতার এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তরিত হয়, তার চিহ্নটিকে বিপরীতটির সাথে প্রতিস্থাপন করার সময়, তাহলে আমরা প্রদত্তটির সমতুল্য একটি অসমতা পাই।

যদি অসমতার উভয় অংশকে একই ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় (ভাগ করা হয়), তাহলে আমরা প্রদত্ত একটির সমতুল্য একটি অসমতা পাই।

যদি অসমতার উভয় অংশকে একই ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় (ভাগ করা হয়), যখন অসমতা চিহ্নটিকে বিপরীত একটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়, তাহলে আমরা প্রদত্ত একটির সমান একটি অসমতা পাই।

এগুলো ব্যবহার করে আইনআমরা নিম্নলিখিত অসমতা গণনা করি।

1) আসুন বৈষম্য বিশ্লেষণ করা যাক 2x - 5 > 9.

এটা রৈখিক অসমতা, এর সমাধান খুঁজুন এবং মৌলিক ধারণা নিয়ে আলোচনা করুন।

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 বিপরীত চিহ্ন সহ বাম দিকে সরানো হয়েছিল), তারপর আমরা সবকিছুকে 2 দ্বারা ভাগ করেছি এবং আমাদের আছে x > 7. আমরা অক্ষে সমাধানের একটি সেট প্রয়োগ করি এক্স

আমরা একটি ইতিবাচক নির্দেশিত মরীচি প্রাপ্ত করেছি. আমরা অসমতার আকারে সমাধানের সেটটি নোট করি x > 7, অথবা একটি ব্যবধান হিসাবে x(7; ∞)। এবং এই অসমতার একটি বিশেষ সমাধান কি? উদাহরণ স্বরূপ, x=10এই অসমতার একটি বিশেষ সমাধান, x=12এই অসমতার একটি বিশেষ সমাধানও।

অনেক নির্দিষ্ট সমাধান আছে, কিন্তু আমাদের কাজ হল সব সমাধান খুঁজে বের করা। এবং সমাধান সাধারণত অসীম হয়.

এর বিশ্লেষণ করা যাক উদাহরণ 2:

2) অসমতা সমাধান করুন 4a - 11 > a + 13.

এর সমাধান করা যাক: কএকপাশে সরান 11 অন্য দিকে যান, আমরা 3a পাই< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 অসমতার রূপ আছে ক<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>ক< 8 .

আমরা সেটটিও প্রদর্শন করব ক< 8 , কিন্তু ইতিমধ্যেই অক্ষে ক.

উত্তর হয় একটি অসমতা হিসাবে লেখা হয় a< 8, либо ক(-∞;8), 8 চালু হয় না।

অসমতার সমাধানমোডে অনলাইন সমাধানপ্রায় কোনো প্রদত্ত অসমতা অনলাইন. গাণিতিক অনলাইনে বৈষম্যগণিত সমাধান করতে। দ্রুত খুঁজে নিন অসমতার সমাধানমোডে অনলাইন. সাইট www.site আপনি খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় সমাধানপ্রায় কোনো দেওয়া বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিকবা অনলাইনে অতিক্রান্ত বৈষম্য. বিভিন্ন পর্যায়ে গণিতের প্রায় যেকোনো বিভাগ অধ্যয়ন করার সময়, একজনকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে অনলাইনে বৈষম্য. অবিলম্বে একটি উত্তর পেতে, এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে একটি সঠিক উত্তর, আপনার একটি সংস্থান প্রয়োজন যা আপনাকে এটি করতে দেয়। www.site কে ধন্যবাদ অনলাইনে বৈষম্য সমাধান করুনকয়েক মিনিট সময় লাগবে। গাণিতিক সমাধান করার সময় www.site এর প্রধান সুবিধা অনলাইনে বৈষম্য- জারি করা প্রতিক্রিয়ার গতি এবং নির্ভুলতা। সাইটটি যেকোনো সমাধান করতে সক্ষম বীজগণিত বৈষম্য অনলাইন, ত্রিকোণমিতিক অসমতা অনলাইন, অনলাইনে অতিক্রান্ত অসমতা, সেইসাথে অসমতামোডে অজানা পরামিতি সহ অনলাইন. অসমতাএকটি শক্তিশালী গাণিতিক যন্ত্রপাতি হিসাবে পরিবেশন করা সমাধানব্যবহারিক কাজ। সাহায্যে গাণিতিক অসমতাএমন তথ্য এবং সম্পর্ক প্রকাশ করা সম্ভব যা প্রথম নজরে বিভ্রান্তিকর এবং জটিল বলে মনে হতে পারে। অজানা পরিমাণ অসমতামধ্যে সমস্যা প্রণয়ন দ্বারা পাওয়া যেতে পারে গাণিতিকআকারে ভাষা অসমতাএবং সিদ্ধান্তমোডে প্রাপ্ত টাস্ক অনলাইনওয়েবসাইটে www.site. যে কোন বীজগণিত বৈষম্য, ত্রিকোণমিতিক অসমতাবা অসমতাধারণকারী অতীন্দ্রিয়আপনি সহজেই বৈশিষ্ট্য সিদ্ধান্তঅনলাইন এবং সঠিক উত্তর পান। প্রাকৃতিক বিজ্ঞান অধ্যয়ন, একজন অনিবার্যভাবে প্রয়োজন সম্মুখীন হয় অসমতার সমাধান. এই ক্ষেত্রে, উত্তরটি অবশ্যই সঠিক হতে হবে এবং এটি অবশ্যই মোডে অবিলম্বে গ্রহণ করতে হবে অনলাইন. অতএব, জন্য অনলাইনে গাণিতিক অসমতা সমাধান করুনআমরা www.site সাইটটি সুপারিশ করি, যা আপনার অপরিহার্য ক্যালকুলেটর হয়ে উঠবে অনলাইনে বীজগণিতীয় অসমতা সমাধান করুন, ত্রিকোণমিতিক অসমতা অনলাইন, সেইসাথে অনলাইনে অতিক্রান্ত অসমতাবা অসমতাঅজানা পরামিতি সহ। বিভিন্ন ধরনের ইন্ট্রাভোল সমাধান খোঁজার ব্যবহারিক সমস্যার জন্য গাণিতিক অসমতাসম্পদ www.. সমাধান করা অনলাইনে বৈষম্যনিজে, এটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত উত্তর পরীক্ষা করা দরকারী অসমতার অনলাইন সমাধানওয়েবসাইটে www.site. অসমতা সঠিকভাবে লিখতে হবে এবং তাৎক্ষণিকভাবে পেতে হবে অনলাইন সমাধান, যার পরে এটি শুধুমাত্র অসমতার সাথে আপনার সমাধানের সাথে উত্তরের তুলনা করা বাকি থাকে। উত্তর পরীক্ষা করতে এক মিনিটের বেশি সময় লাগবে না, যথেষ্ট অনলাইনে বৈষম্য সমাধান করুনএবং উত্তর তুলনা করুন। এটি আপনাকে ভুলগুলি এড়াতে সহায়তা করবে সিদ্ধান্তএবং সময়মত উত্তর সংশোধন করুন অনলাইনে বৈষম্য সমাধানকিনা বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিক, অতিক্রান্তবা অসমতাঅজানা পরামিতি সহ।