এর বিষয় অধ্যয়ন শুরু করা যাক অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য", এবং সহজতম (এবং পুরোপুরি নয়) পূর্ণাঙ্গগুলির সমাধানগুলির বিশদ উদাহরণগুলি বিশ্লেষণ করুন। যথারীতি, আমরা নিজেদেরকে ন্যূনতম তত্ত্বের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখব যা অসংখ্য পাঠ্যপুস্তকে রয়েছে, আমাদের কাজ হল কীভাবে পূর্ণাঙ্গ সমাধান করতে হয় তা শেখা।

উপাদানটি সফলভাবে আয়ত্ত করতে আপনার কী জানা দরকার? ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের সাথে মোকাবিলা করার জন্য, আপনাকে অন্তত একটি গড় স্তরে ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে। আপনার পিছনে কয়েক ডজন, বা আরও ভাল, একশো স্বাধীনভাবে পাওয়া ডেরিভেটিভস থাকলে এটি অতিরিক্ত অভিজ্ঞতা হবে না। খুব অন্তত, আপনি সহজ এবং সবচেয়ে সাধারণ ফাংশন পার্থক্য করার কাজ দ্বারা বিভ্রান্ত করা উচিত নয়.

দেখে মনে হবে, ডেরিভেটিভগুলি কোথায়, যদি আমরা নিবন্ধে অবিচ্ছেদ্য সম্পর্কে কথা বলি?! এবং এখানে জিনিস. আসল বিষয়টি হ'ল ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করা এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য (পার্থক্য এবং সংহতকরণ) সন্ধান করা দুটি পারস্পরিক বিপরীত ক্রিয়া, যেমন যোগ / বিয়োগ বা গুণ / ভাগ। সুতরাং, ডেরিভেটিভস খুঁজে বের করার দক্ষতা এবং একধরনের অভিজ্ঞতা ছাড়া, দুর্ভাগ্যবশত, কেউ আরও অগ্রসর হতে পারে না।

এই বিষয়ে, আমাদের নিম্নলিখিত পদ্ধতিগত উপকরণগুলির প্রয়োজন হবে: ডেরিভেটিভ টেবিলএবং অখণ্ডের সারণী.

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য অধ্যয়ন করতে অসুবিধা কি? যদি ডেরিভেটিভগুলিতে পার্থক্যের কঠোরভাবে 5 টি নিয়ম থাকে, ডেরিভেটিভগুলির একটি টেবিল এবং কর্মের একটি মোটামুটি স্পষ্ট অ্যালগরিদম থাকে, তবে অবিচ্ছেদ্যগুলিতে সবকিছুই আলাদা। একীকরণের কয়েক ডজন পদ্ধতি এবং কৌশল রয়েছে। এবং, যদি ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতিটি প্রাথমিকভাবে ভুলভাবে বেছে নেওয়া হয় (অর্থাৎ, আপনি কীভাবে এটি সমাধান করবেন তা জানেন না), তাহলে ইন্টিগ্রালটি আক্ষরিক অর্থে "প্রিকড" হতে পারে, একটি বাস্তব রিবাসের মতো, বিভিন্ন কৌশল এবং কৌশলগুলি লক্ষ্য করার চেষ্টা করে। . কেউ কেউ এটাও পছন্দ করেন।

যাইহোক, আমরা প্রায়শই ছাত্রদের কাছ থেকে (মানবিক নয়) একটি মতামত শুনেছি: "সীমা বা ডেরিভেটিভ সমাধানে আমার কখনই আগ্রহ ছিল না, তবে পূর্ণাঙ্গ একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন বিষয়, এটি উত্তেজনাপূর্ণ, সবসময় ইচ্ছা থাকে " ক্র্যাক "একটি জটিল অবিচ্ছেদ্য"। থামুন। যথেষ্ট ব্ল্যাক হিউমার, আসুন এই খুব অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যগুলিতে চলে যাই।

যেহেতু সমাধান করার অনেক উপায় আছে, তাহলে একটি চাপানি কোথায় অনির্দিষ্ট অখণ্ড অধ্যয়ন শুরু করে? অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসে, আমাদের মতে, তিনটি স্তম্ভ বা এক ধরণের "অক্ষ" রয়েছে যার চারপাশে অন্য সবকিছু ঘোরে। প্রথমত, আপনার সহজতম অখণ্ডগুলি (এই নিবন্ধ) সম্পর্কে ভাল ধারণা থাকা উচিত।

তারপরে আপনাকে পাঠটি বিস্তারিতভাবে কাজ করতে হবে। এটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অভ্যর্থনা! সম্ভবত সমস্ত নিবন্ধগুলির মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিবন্ধটি অখণ্ডের জন্য উত্সর্গীকৃত। এবং তৃতীয়ত, পড়তে ভুলবেন না অংশ দ্বারা একীকরণ, কারণ এটি একটি বিস্তৃত শ্রেণীর ফাংশন সংহত করে। আপনি যদি কমপক্ষে এই তিনটি পাঠ আয়ত্ত করেন তবে ইতিমধ্যেই "দুটি নয়" রয়েছে। আপনি না জানার জন্য ক্ষমা করা যেতে পারে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য, ভগ্নাংশের অবিচ্ছেদ্য, ভগ্নাংশ মূলদ ফাংশন অবিচ্ছেদ্য, অযৌক্তিক ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য (মূল), কিন্তু আপনি যদি প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে বা যন্ত্রাংশ পদ্ধতি দ্বারা একীকরণে "একটি পুড্ডায় প্রবেশ করেন", তাহলে এটি খুব, খুব খারাপ হবে৷

সুতরাং, এর সহজ শুরু করা যাক. চলুন অখণ্ডের সারণী দেখি। ডেরিভেটিভের মতো, আমরা বেশ কয়েকটি একীকরণের নিয়ম এবং কিছু প্রাথমিক ফাংশনের অখণ্ডের একটি টেবিল লক্ষ্য করি। যেকোন টেবুলার ইন্টিগ্রাল (এবং প্রকৃতপক্ষে যেকোন অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য) ফর্ম আছে:

আসুন সরাসরি স্বরলিপি এবং শর্তাবলীতে আসা যাক:

- অবিচ্ছেদ্য আইকন।

- ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন ("s" অক্ষর দিয়ে লেখা)।

- ডিফারেনশিয়াল আইকন। এটা কি, আমরা খুব শীঘ্রই বিবেচনা করা হবে. মূল জিনিসটি হল যখন অবিচ্ছেদ্য লেখার সময় এবং সমাধানের সময়, এই আইকনটি না হারানো গুরুত্বপূর্ণ। একটি লক্ষণীয় ত্রুটি থাকবে।

integrand বা integral এর "স্টাফিং"।

– অ্যান্টিডেরিভেটিভফাংশন

– . পদগুলির সাথে খুব বেশি লোড হওয়ার দরকার নেই, এখানে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যে কোনও অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, উত্তরের সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করা হয়।

একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করার অর্থ খুঁজে বের করাঅ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনের সেটপ্রদত্ত ইন্টিগ্র্যান্ড থেকে

আসুন আবার এন্ট্রিটি একবার দেখে নেওয়া যাক:

চলুন অখণ্ডের সারণী দেখি।

কি হচ্ছে? আমাদের বাম অংশ ঘুরছেঅন্যান্য ফাংশন থেকে:

আসুন আমাদের সংজ্ঞা সহজ করা যাক:

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করুন - এর অর্থ এটিকে একটি অনির্দিষ্ট (একটি ধ্রুবক পর্যন্ত) ফাংশনে পরিণত করা , কিছু নিয়ম, কৌশল এবং একটি টেবিল ব্যবহার করে।

উদাহরণস্বরূপ, টেবিল ইন্টিগ্রাল নিন . কি হলো? প্রতীকী রেকর্ডটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনের একটি সেটে পরিণত হয়েছে।

ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে যেমন, ইন্টিগ্রেলগুলি কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা শেখার জন্য, একটি পূর্ণাঙ্গ কী, বা একটি তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন সম্পর্কে সচেতন হওয়ার প্রয়োজন নেই। কিছু আনুষ্ঠানিক নিয়ম অনুসারে রূপান্তরগুলি চালানোর জন্য এটি যথেষ্ট। সুতরাং, ক্ষেত্রে অবিচ্ছেদ্য ঠিক কেন পরিণত হয় তা বোঝার প্রয়োজন নেই। আপনি মঞ্জুর জন্য এটি এবং অন্যান্য সূত্র নিতে পারেন. সবাই বিদ্যুত ব্যবহার করে, কিন্তু খুব কম লোকই ভাবে যে কীভাবে ইলেকট্রন তারের সাথে চলে।

যেহেতু পার্থক্য এবং একীকরণ বিপরীত ক্রিয়াকলাপ, তাই সঠিকভাবে পাওয়া যে কোনো অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য, নিম্নলিখিতটি সত্য:

অন্য কথায়, যদি সঠিক উত্তরটি আলাদা করা হয়, তাহলে মূল ইন্টিগ্র্যান্ড অবশ্যই পেতে হবে।

এর একই টেবিল অবিচ্ছেদ্য ফিরে যান .

আসুন এই সূত্রটির বৈধতা যাচাই করি। আমরা ডান দিকের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি:

মূল ইন্টিগ্র্যান্ড।

যাইহোক, এটি পরিষ্কার হয়ে গেছে কেন একটি ধ্রুবক সবসময় একটি ফাংশনে বরাদ্দ করা হয়। পার্থক্য করার সময়, একটি ধ্রুবক সর্বদা শূন্যে পরিণত হয়।

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করুনএর মানে খুঁজে পাওয়া প্রচুর সব antiderivatives, এবং কিছু একক ফাংশন না. বিবেচিত টেবুলার উদাহরণে, , , , ইত্যাদি - এই সমস্ত ফাংশনগুলি হল অখণ্ডের সমাধান। অসীমভাবে অনেক সমাধান আছে, তাই তারা সংক্ষেপে লিখুন:

এইভাবে, যেকোনো অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য চেক করা যথেষ্ট সহজ। এটি বিভিন্ন ধরণের বিপুল সংখ্যক অখণ্ডের জন্য কিছু ক্ষতিপূরণ।

আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণে এগিয়ে যাই। চলুন শুরু করা যাক, ডেরিভেটিভের অধ্যয়নের মতো, একীকরণের দুটি নিয়ম দিয়ে:

- ধ্রুবক গঅবিচ্ছেদ্য চিহ্ন থেকে (এবং উচিত) নেওয়া যেতে পারে।

- দুটি ফাংশনের যোগফলের (পার্থক্য) অখণ্ড দুটি অখণ্ডের সমষ্টির (পার্থক্য) সমান। এই নিয়ম যেকোন সংখ্যক পদের জন্য বৈধ।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, নিয়মগুলি মূলত ডেরিভেটিভের মতোই। মাঝে মাঝে তাদের ডাকা হয় রৈখিক বৈশিষ্ট্যঅবিচ্ছেদ্য

উদাহরণ 1

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন।

.

একটি চেক চালান.

সমাধান:এটা মত রূপান্তর আরো সুবিধাজনক.

(1) নিয়ম প্রয়োগ করা . ডিফারেনশিয়াল আইকন লিখতে ভুলবেন না dxপ্রতিটি অবিচ্ছেদ্য অধীনে। কেন প্রতিটি অধীনে? dxএকটি সম্পূর্ণ গুণক।আপনি যদি বিস্তারিতভাবে আঁকেন, তাহলে প্রথম ধাপটি নিম্নরূপ লিখতে হবে:

.

(2) নিয়ম অনুযায়ী আমরা অখণ্ডের চিহ্ন থেকে সমস্ত ধ্রুবক বের করি। উল্লেখ্য, গত মেয়াদে ড tg 5 একটি ধ্রুবক, আমরা এটিও বের করি।

উপরন্তু, এই ধাপে আমরা একীকরণের জন্য শিকড় এবং ডিগ্রী প্রস্তুত করি। পার্থক্যের মতো একইভাবে, শিকড়গুলিকে আকারে উপস্থাপন করতে হবে . শিকড় এবং ডিগ্রী যা হরতে অবস্থিত - উপরে সরান।

বিঃদ্রঃ:ডেরিভেটিভের বিপরীতে, অবিচ্ছেদ্য শিকড়গুলিকে সর্বদা আকারে হ্রাস করার প্রয়োজন হয় না , এবং ডিগ্রী উপরে সরান.

উদাহরণ স্বরূপ, - এটি একটি রেডিমেড ট্যাবুলার ইন্টিগ্রাল, যা ইতিমধ্যে আপনার আগে গণনা করা হয়েছে এবং সমস্ত ধরণের চাইনিজ কৌশল যেমন সম্পূর্ণ অপ্রয়োজনীয়। একইভাবে: - এটিও একটি সারণী অবিচ্ছেদ্য, ফর্মটিতে একটি ভগ্নাংশকে উপস্থাপন করার কোনও অর্থ নেই . সাবধানে টেবিল অধ্যয়ন!

(3) সমস্ত অখণ্ড সারণী। আমরা সূত্রগুলি ব্যবহার করে টেবিল ব্যবহার করে রূপান্তরটি সম্পাদন করি: , এবং

পাওয়ার ফাংশনের জন্য - .

এটি লক্ষ করা উচিত যে টেবিল ইন্টিগ্রাল একটি পাওয়ার ফাংশনের সূত্রের একটি বিশেষ কেস: .

ধ্রুবকগ এক্সপ্রেশনের শেষে একবার এটি যোগ করুন

(বরং প্রতিটি অবিচ্ছেদ্য পরে তাদের নির্বাণ).

(4) আমরা প্রাপ্ত ফলাফলটিকে আরও কমপ্যাক্ট আকারে লিখি, যখন ফর্মের সমস্ত ডিগ্রি

আবার মূল হিসাবে উপস্থাপন করে, এবং একটি ঋণাত্মক সূচক সহ শক্তিগুলিকে হর-এ পুনরায় সেট করা হয়।

পরীক্ষা। চেকটি সম্পাদন করার জন্য, আপনাকে প্রাপ্ত উত্তরটি আলাদা করতে হবে:

প্রাথমিক ইন্টিগ্র্যান্ড, অর্থাৎ, অবিচ্ছেদ্যটি সঠিকভাবে পাওয়া গেছে। তারা যা নাচছিল, তা থেকে তারা ফিরে এসেছে। অখণ্ডের সাথে গল্পটা ঠিক এভাবেই শেষ হলে ভালো হয়।

সময়ে সময়ে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য পরীক্ষা করার জন্য একটি সামান্য ভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে, যখন ডেরিভেটিভ নয়, তবে উত্তর থেকে পার্থক্য নেওয়া হয়:

.

ফলস্বরূপ, আমরা একটি ইন্টিগ্র্যান্ড নয়, কিন্তু একটি ইন্টিগ্র্যান্ড পাই।

ডিফারেনশিয়াল ধারণা ভয় পাবেন না.

ডিফারেনশিয়াল হল ডেরিভেটিভকে গুণিত করে dx.

যাইহোক, এটি তাত্ত্বিক সূক্ষ্মতা নয় যা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ, তবে এই পার্থক্যের সাথে পরবর্তী কী করতে হবে। ডিফারেনশিয়ালটি নিম্নরূপ প্রকাশিত হয়: আইকন d অপসারণ করুন, বন্ধনীর উপরে ডানদিকে একটি স্ট্রোক রাখুন, অভিব্যক্তির শেষে একটি গুণক বরাদ্দ করুন dx :

মূল প্রাপ্ত ইন্টিগ্র্যান্ড, অর্থাৎ, অবিচ্ছেদ্য সঠিকভাবে পাওয়া যায়।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ডিফারেনশিয়ালটি ডেরিভেটিভ খোঁজার জন্য নেমে আসে। আমি কম পরীক্ষা করার দ্বিতীয় উপায় পছন্দ করি, যেহেতু আমাকে অতিরিক্ত বড় বন্ধনী আঁকতে হবে এবং ডিফারেনশিয়াল আইকনটি টেনে আনতে হবে dx পরীক্ষা শেষ না হওয়া পর্যন্ত। যদিও এটি আরও সঠিক, বা "আরও কঠিন", বা কিছু।

প্রকৃতপক্ষে, যাচাইয়ের দ্বিতীয় পদ্ধতি সম্পর্কে নীরব থাকা সম্ভব ছিল। বিন্দুটি পদ্ধতিতে নয়, তবে আমরা ডিফারেনশিয়াল খুলতে শিখেছি। আবার।

পার্থক্যটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়:

1) আইকন dঅপসারণ;

2) বন্ধনীর উপরে ডানদিকে একটি স্ট্রোক রাখুন (ডেরিভেটিভের উপাধি);

3) অভিব্যক্তির শেষে আমরা একটি ফ্যাক্টর বরাদ্দ করি dx .

উদাহরণ স্বরূপ:

এই মনে রাখবেন. আমরা খুব শীঘ্রই বিবেচনা কৌশল প্রয়োজন হবে.

উদাহরণ 2

.

যখন আমরা একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজে পাই, আমরা সর্বদা চেক করার চেষ্টা করিতাছাড়া এর জন্য রয়েছে দারুণ সুযোগ। উচ্চতর গণিতে সব ধরনের সমস্যা এই দৃষ্টিকোণ থেকে উপহার নয়। এটা কোন ব্যাপার না যে নিয়ন্ত্রণের কাজগুলিতে যাচাইকরণের প্রায়শই প্রয়োজন হয় না, কেউ নেই, এবং কিছুই এটিকে খসড়াতে বাহিত হতে বাধা দেয় না। পর্যাপ্ত সময় না থাকলেই একটি ব্যতিক্রম করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, পরীক্ষায়, পরীক্ষায়)। ব্যক্তিগতভাবে, আমি সর্বদা ইন্টিগ্রেলগুলি পরীক্ষা করি এবং আমি যাচাইয়ের অভাবকে একটি হ্যাক এবং একটি খারাপভাবে সম্পন্ন করা কাজ বলে মনে করি।

উদাহরণ 3

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন:

. একটি চেক চালান.

সমাধান: অখণ্ডকে বিশ্লেষণ করলে, আমরা দেখতে পাই যে অখণ্ডের অধীনে আমাদের দুটি ফাংশনের গুণফল আছে, এমনকি পুরো রাশিটির ব্যাখ্যাও রয়েছে। দুর্ভাগ্যবশত, অবিচ্ছেদ্য যুদ্ধের ময়দানে নাভাল এবং আরামদায়ক পণ্য এবং ভাগফলকে একত্রিত করার জন্য সূত্রযেমন: বা .

অতএব, যখন একটি পণ্য বা ভাগফল দেওয়া হয়, তখন এটি সর্বদা বোঝা যায় যে এটি একটি সমষ্টিতে রূপান্তর করা সম্ভব কিনা? বিবেচনা করা উদাহরণ হল ক্ষেত্রে যখন এটি সম্ভব।

প্রথমত, আমরা সম্পূর্ণ সমাধান দিই, মন্তব্যগুলি নীচে থাকবে।

প্রাথমিক ইন্টিগ্র্যান্ড, যার মানে হল অবিচ্ছেদ্য সঠিকভাবে পাওয়া যায়।

পরীক্ষা করার সময়, ফাংশনটিকে তার আসল ফর্মে "প্যাক" করা সর্বদা বাঞ্ছনীয়, এই ক্ষেত্রে, বন্ধনীর বাইরে নিয়ে এবং বিপরীত দিকে সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র প্রয়োগ করে: .

উদাহরণ 4

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

একটি চেক চালান.

এটি স্ব-সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ। পাঠের শেষে উত্তর এবং সম্পূর্ণ সমাধান।

উদাহরণ 5

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

. একটি চেক চালান.

এই উদাহরণে, ইন্টিগ্র্যান্ড একটি ভগ্নাংশ। যখন আমরা ইন্টিগ্র্যান্ডে একটি ভগ্নাংশ দেখি, তখন প্রথম চিন্তার প্রশ্নটি হওয়া উচিত: "এই ভগ্নাংশ থেকে কি কোনভাবে পরিত্রাণ পাওয়া সম্ভব, বা অন্তত এটি সরলীকরণ করা সম্ভব?"।

আমরা লক্ষ্য করেছি যে হরটিতে "x" এর একটি একাকী মূল রয়েছে। ক্ষেত্রটিতে একজন যোদ্ধা নয়, যার অর্থ হল আপনি লবটিকে পদ দ্বারা হর পদে ভাগ করতে পারেন:

আমরা ভগ্নাংশের ক্ষমতা সহ ক্রিয়া সম্পর্কে মন্তব্য করি না, যেহেতু সেগুলি একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ সম্পর্কিত নিবন্ধগুলিতে বারবার আলোচনা করা হয়েছে।

আপনি যদি এখনও যেমন একটি উদাহরণ দ্বারা বিভ্রান্ত হয়

এবং কেউ সঠিক উত্তর পায় না,

এছাড়াও নোট করুন যে সমাধানটি এক ধাপ এড়িয়ে যায়, যথা নিয়ম প্রয়োগ করে , . সাধারণত, পূর্ণাঙ্গ সমাধানের একটি নির্দিষ্ট অভিজ্ঞতার সাথে, এই নিয়মগুলিকে একটি সুস্পষ্ট সত্য হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা হয় না।

উদাহরণ 6

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন। একটি চেক চালান.

এটি স্ব-সমাধানের জন্য একটি উদাহরণ। পাঠের শেষে উত্তর এবং সম্পূর্ণ সমাধান।

সাধারণ ক্ষেত্রে, অখণ্ডের ভগ্নাংশের সাথে, সবকিছু এত সহজ নয়, কিছু ধরণের ভগ্নাংশের একীকরণের অতিরিক্ত উপাদান নিবন্ধে পাওয়া যাবে: কিছু ভগ্নাংশের একীকরণ. কিন্তু, উপরের নিবন্ধে যাওয়ার আগে, আপনাকে পাঠটি পড়তে হবে: অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য মধ্যে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি. ঘটনাটি হল যে একটি ডিফারেনশিয়াল বা একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন পদ্ধতির অধীনে একটি ফাংশনকে যোগ করা মূলবিন্দুবিষয়টির অধ্যয়নের ক্ষেত্রে, যেহেতু এটি শুধুমাত্র "প্রতিস্থাপন পদ্ধতির জন্য বিশুদ্ধ অ্যাসাইনমেন্টে" পাওয়া যায় না, তবে অন্যান্য অনেক ধরণের ইন্টিগ্রেলগুলিতেও পাওয়া যায়।

সমাধান এবং উত্তর:

উদাহরণ 2: সমাধান:

উদাহরণ 4: সমাধান:

এই উদাহরণে, আমরা হ্রাসকৃত গুণন সূত্র ব্যবহার করেছি

উদাহরণ 6: সমাধান:

ছাত্র এবং স্কুলছাত্রীদের দ্বারা আচ্ছাদিত উপাদান একত্রীকরণ সাইটের অনলাইন ইন্টিগ্রেল. প্রতিবার, যত তাড়াতাড়ি আপনি অবিচ্ছেদ্য সমাধান করা শুরু করেন, আপনাকে এর ধরন সনাক্ত করতে হবে, এটি ছাড়া আপনি এর সারণী ব্যতীত কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারবেন না। প্রদত্ত উদাহরণ থেকে প্রতিটি টেবিল ইন্টিগ্রাল স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান নয়, কখনও কখনও আপনাকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে মূল ফাংশনটি রূপান্তর করতে হবে। বাস্তবে, ইন্টিগ্রেলের সমাধানটি আসল, অর্থাৎ অসীম ফাংশন পরিবার থেকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সমস্যাকে ব্যাখ্যা করার জন্য নেমে আসে, কিন্তু যদি ইন্টিগ্রেশনের সীমা দেওয়া হয়, তবে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র অনুসারে, সেখানে অবশিষ্ট থাকে। শুধুমাত্র একটি একক ফাংশন যার জন্য গণনা প্রয়োগ করতে হবে। অনানুষ্ঠানিকভাবে, অনলাইন ইন্টিগ্রাল হল ফাংশনের গ্রাফ এবং ইন্টিগ্রেশনের মধ্যে থাকা x-অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্র। আসুন আমরা একটি চলকের উপর জটিল অখণ্ডের গণনা করি এবং এর উত্তরটিকে সমস্যার পরবর্তী সমাধানের সাথে যুক্ত করি। আপনি, যেমন তারা বলে, সরাসরি ইন্টিগ্র্যান্ড থেকে এটি খুঁজে পেতে পারেন। বিশ্লেষণের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, ইন্টিগ্রেশন হল পার্থক্যের বিপরীত ক্রিয়াকলাপ, যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে সহায়তা করে। ইন্টিগ্রেশন অপারেশনের বিভিন্ন সংজ্ঞা রয়েছে, প্রযুক্তিগত বিবরণে ভিন্ন। যাইহোক, এগুলি সবই সামঞ্জস্যপূর্ণ, যে কোনও দুটি একীকরণ পদ্ধতি, যদি সেগুলি একটি প্রদত্ত ফাংশনে প্রয়োগ করা যায় তবে একই ফলাফল দেবে। সবচেয়ে সহজ হল রিম্যান ইন্টিগ্রাল - এটি একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড বা একটি অনির্দিষ্ট অখণ্ড। অনানুষ্ঠানিকভাবে, একটি ভেরিয়েবলের ইন্টিগ্রাল গ্রাফের অধীনে ক্ষেত্র হিসাবে প্রবেশ করা যেতে পারে (ফাংশনের গ্রাফ এবং x-অক্ষের মধ্যে আবদ্ধ চিত্র)। এই ক্ষেত্রটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করে, কেউ বেশ কয়েকটি উল্লম্ব আয়তক্ষেত্র নিয়ে গঠিত পরিসংখ্যান বিবেচনা করতে পারে, যার ভিত্তিগুলি একসাথে একটি ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্ট তৈরি করে এবং সেগমেন্টটিকে ছোট ছোট অংশগুলির অনুরূপ সংখ্যায় ভাগ করে প্রাপ্ত হয়। ক্যালকুলেটরটি বিশদভাবে এবং বিনামূল্যের ক্রিয়াগুলির বর্ণনা সহ অবিচ্ছেদ্য সমাধান করে! একটি ফাংশনের জন্য অনলাইন অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হল প্রদত্ত ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সামগ্রিকতা। যদি একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং একটি ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে এটির একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন (বা অ্যান্টিডেরিভেটিভের একটি পরিবার) থাকে। এই বিষয়ে সাবধানে যোগাযোগ করা এবং সম্পন্ন কাজ থেকে অভ্যন্তরীণ সন্তুষ্টি অনুভব করা ভাল। কিন্তু ক্লাসিক্যাল থেকে ভিন্নভাবে ইন্টিগ্রাল গণনা করা, কখনও কখনও অপ্রত্যাশিত ফলাফলের দিকে নিয়ে যায় এবং এতে অবাক হওয়া উচিত নয়। যা ঘটছে তার উপর ইতিবাচক প্রভাব ফেলবে এই সত্য নিয়ে সন্তুষ্ট। সম্পূর্ণ বিশদ ধাপে ধাপে সমাধান সহ নির্দিষ্ট অখণ্ড এবং অনির্দিষ্ট অখণ্ডের তালিকা। উচ্চতর গণিত এবং বিজ্ঞানের অন্যান্য প্রযুক্তিগত শাখায় অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য অনলাইন খুঁজে পাওয়া খুবই সাধারণ কাজ। একীকরণের প্রাথমিক পদ্ধতি। ভুল খুঁজে পাওয়ার আগে সম্পূর্ণ বিল্ডিং সম্পর্কে চিন্তা করুন। অনলাইনে অখণ্ডগুলি সমাধান করা - আপনি বিভিন্ন ধরণের পূর্ণাঙ্গগুলির জন্য একটি বিশদ সমাধান পাবেন: অনির্দিষ্ট, নির্দিষ্ট, অনুপযুক্ত৷ একটি ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য একটি অনুক্রমের যোগফলের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, একটি নির্দিষ্ট অখণ্ড হল একটি ফাংশনের গ্রাফের একটি অংশের ক্ষেত্রফল। প্রায়শই, এই জাতীয় অবিচ্ছেদ্য নির্ধারণ করে যে একই ঘনত্বের একটি বস্তুর তুলনায় একটি দেহ কতটা ভারী, এবং এটি কোন আকৃতির তা বিবেচ্য নয়, কারণ পৃষ্ঠটি জল শোষণ করে না। প্রতিটি স্নাতক শিক্ষার্থী জানে কিভাবে অনলাইনে অবিচ্ছেদ্য খুঁজে বের করতে হয়। স্কুল পাঠ্যক্রমের ভিত্তিতে, গণিতের এই বিভাগটিও অধ্যয়ন করা হয়, তবে বিশদভাবে নয়, তবে এই জাতীয় জটিল এবং গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ের মূল বিষয়গুলি। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, শিক্ষার্থীরা একটি বিস্তৃত তত্ত্বের সাথে অখণ্ড বিষয়গুলি অধ্যয়ন করা শুরু করে, যা গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলি যেমন ডেরিভেটিভ এবং সীমার প্যাসেজগুলির পূর্বে থাকে - তারাও সীমা। অখণ্ডের সমাধান ধীরে ধীরে সহজ ফাংশন থেকে সবচেয়ে প্রাথমিক উদাহরণ দিয়ে শুরু হয়, এবং গত শতাব্দীতে এবং এমনকি অনেক আগে প্রস্তাবিত অনেক পদ্ধতি এবং নিয়ম ব্যবহার করে শেষ হয়। লিসিয়াম এবং স্কুলে, অর্থাৎ মাধ্যমিক শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস একটি অনুসন্ধানমূলক প্রকৃতির। আমাদের সাইটের সাইট সবসময় আপনাকে সাহায্য করবে এবং অনলাইনে ইন্টিগ্রেলগুলি সমাধান করা আপনার জন্য একটি সাধারণ, এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, বোধগম্য কাজ হয়ে উঠবে। এই সম্পদের উপর ভিত্তি করে, আপনি সহজেই এই গাণিতিক বিভাগে শ্রেষ্ঠত্ব অর্জন করতে পারেন। ধাপে ধাপে অধ্যয়নকৃত নিয়মগুলি বোঝা, উদাহরণস্বরূপ, যেমন একীকরণ, অংশ দ্বারা বা চেবিশেভ পদ্ধতির প্রয়োগ, আপনি সর্বাধিক পয়েন্টের জন্য যেকোনো পরীক্ষা সহজেই সমাধান করতে পারেন। তাহলে কিভাবে আমরা এখনও সকলের কাছে পরিচিত অখণ্ডের সারণী ব্যবহার করে অখণ্ড গণনা করতে পারি, কিন্তু এমনভাবে যাতে সমাধানটি সঠিক, সঠিক এবং সম্ভাব্য সবচেয়ে সঠিক উত্তর সহ? এটি কীভাবে শিখবেন এবং একজন সাধারণ নবীন ব্যক্তির পক্ষে এটি কি সম্ভব কম সময়ে করা সম্ভব? আমরা এই প্রশ্নের উত্তর ইতিবাচকভাবে দিই - এটা সম্ভব! এই ক্ষেত্রে, আপনি শুধুমাত্র কোন উদাহরণ সমাধান করতে সক্ষম হবেন না, কিন্তু একটি উচ্চ-শ্রেণীর প্রকৌশলী স্তরে পৌঁছাতে পারবেন। গোপনটি আগের মতোই সহজ - আপনাকে সর্বাধিক প্রচেষ্টা করতে হবে, স্ব-প্রস্তুতির জন্য প্রয়োজনীয় সময় ব্যয় করতে হবে। দুর্ভাগ্যবশত, কেউ এখনও একটি ভিন্ন উপায় সঙ্গে আসা! তবে প্রথম নজরে যতটা মনে হচ্ছে সবকিছু ততটা মেঘলা নয়। আপনি যদি এই প্রশ্নের সাথে আমাদের সাইটের পরিষেবাটি উল্লেখ করেন, তাহলে আমরা আপনার জীবনকে আরও সহজ করে তুলব, কারণ আমাদের সাইটটি খুব উচ্চ গতিতে এবং একটি নির্ভুলভাবে সঠিক উত্তর সহ বিস্তারিতভাবে অনলাইনে ইন্টিগ্রেলগুলি গণনা করতে পারে। এর মূল অংশে, ইন্টিগ্রাল নির্ধারণ করে না কিভাবে আর্গুমেন্টের অনুপাত সামগ্রিকভাবে সিস্টেমের স্থায়িত্বকে প্রভাবিত করে। অখণ্ডের যান্ত্রিক অর্থ অনেক প্রয়োগিত সমস্যার মধ্যে রয়েছে, এটি দেহের আয়তনের সংকল্প এবং শরীরের ভরের গণনা। ট্রিপল এবং ডবল ইন্টিগ্রেলগুলি শুধুমাত্র এই গণনার সাথে জড়িত। আমরা জোর দিয়েছি যে অনলাইন ইন্টিগ্রেলগুলি শুধুমাত্র অভিজ্ঞ শিক্ষকদের তত্ত্বাবধানে এবং অসংখ্য চেকের মাধ্যমে সমাধান করা হবে৷ আমাদের প্রায়ই এমন ছাত্রদের অগ্রগতি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হয় যারা বক্তৃতাগুলিতে উপস্থিত হন না, তাদের বিনা কারণে এড়িয়ে যান, কীভাবে তারা নিজেরাই অখণ্ডটি খুঁজে পেতে পরিচালনা করেন৷ আমরা উত্তর দিচ্ছি যে শিক্ষার্থীরা মুক্ত মানুষ এবং তারা বাহ্যিকভাবে প্রশিক্ষিত হতে পারে, আরামদায়ক বাড়িতে একটি পরীক্ষা বা পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নিচ্ছে। কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে, আমাদের পরিষেবা যে কাউকে সাহায্য করবে যে কোনো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে যে কোনো প্রদত্ত ফাংশনের ইন্টিগ্রাল গণনা করতে চায়। অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করে প্রাপ্ত ফলাফল পরীক্ষা করুন। এই ক্ষেত্রে, অবিচ্ছেদ্য সমাধান থেকে ধ্রুবক অদৃশ্য হয়ে যায়। এই নিয়ম অবশ্যই সবার জন্য। এমন অনেক সাইট নেই যেগুলি কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে একটি ধাপে ধাপে উত্তর দেয় এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে উচ্চ নির্ভুলতার সাথে এবং সুবিধাজনক আকারে। কিন্তু আমাদের ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে কীভাবে একটি তৈরি পরিষেবা ব্যবহার করে অবিচ্ছেদ্য খুঁজে বের করা সম্ভব, সময়-পরীক্ষিত এবং অনলাইনে হাজার হাজার সমাধান করা উদাহরণে পরীক্ষিত।

জটিল অখণ্ড

এই নিবন্ধটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিষয় সম্পূর্ণ করে, এবং এতে অখণ্ডগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা আমি বেশ কঠিন বলে মনে করি। পাঠটি দর্শকদের বারবার অনুরোধে তৈরি করা হয়েছিল যারা তাদের ইচ্ছা প্রকাশ করেছিলেন যে সাইটে আরও কঠিন উদাহরণ বিশ্লেষণ করা হবে।

ধারণা করা হয় যে এই পাঠ্যটির পাঠক ভালভাবে প্রস্তুত এবং একীকরণের প্রাথমিক কৌশলগুলি কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা জানেন। ডামি এবং যারা অবিচ্ছেদ্য বিষয়ে খুব আত্মবিশ্বাসী নয় তাদের প্রথম পাঠটি উল্লেখ করা উচিত - অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য. সমাধান উদাহরণযেখানে আপনি প্রথম থেকেই বিষয়টি শিখতে পারেন। আরও অভিজ্ঞ শিক্ষার্থীরা একীকরণের কৌশল এবং পদ্ধতিগুলির সাথে পরিচিত হতে পারে, যা এখনও আমার নিবন্ধগুলিতে আসেনি।

কি অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করা হবে?

প্রথমত, আমরা শিকড় সহ অবিচ্ছেদ্যগুলি বিবেচনা করি, যার সমাধানের জন্য আমরা ধারাবাহিকভাবে ব্যবহার করি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপনএবং অংশ দ্বারা একীকরণ. অর্থাৎ, একটি উদাহরণে, দুটি পদ্ধতি একবারে একত্রিত হয়। এবং আরও বেশি.

তারপর আমরা একটি আকর্ষণীয় এবং মূল সঙ্গে পরিচিত হবে নিজের সাথে অবিচ্ছেদ্য হ্রাস করার পদ্ধতি. এত কম ইন্টিগ্রেল এই ভাবে সমাধান করা হয় না।

প্রোগ্রামের তৃতীয় সংখ্যাটি জটিল ভগ্নাংশের অবিচ্ছেদ্য অংশ হবে, যা পূর্ববর্তী নিবন্ধগুলিতে নগদ নিবন্ধন অতিক্রম করেছে।

চতুর্থত, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থেকে অতিরিক্ত পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ করা হবে। বিশেষ করে, এমন পদ্ধতি রয়েছে যা সময়সাপেক্ষ সার্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন এড়ায়।

(2) ইন্টিগ্র্যান্ডে, আমরা লবকে হর পদ দ্বারা পদ দ্বারা ভাগ করি।

(3) আমরা অনির্দিষ্ট অখণ্ডের রৈখিকতার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি। শেষ অবিচ্ছেদ্য, অবিলম্বে ফাংশনটিকে ডিফারেনশিয়ালের চিহ্নের অধীনে আনুন.

(4) আমরা অবশিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গ্রহণ করি। মনে রাখবেন যে আপনি লগারিদমে বন্ধনী ব্যবহার করতে পারেন এবং মডুলাস নয়, কারণ .

(5) আমরা সরাসরি প্রতিস্থাপন "te" থেকে প্রকাশ করে বিপরীত প্রতিস্থাপন করি:

Masochistic ছাত্ররা উত্তর আলাদা করতে পারে এবং আসল ইন্টিগ্র্যান্ড পেতে পারে, যেমনটা আমি করেছি। না, না, আমি সঠিক অর্থে চেক করেছি =)

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সমাধানের সময়, এমনকি দুটিরও বেশি সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করতে হয়েছিল, তাই এই জাতীয় অখণ্ডগুলির সাথে মোকাবিলা করার জন্য, আপনার আত্মবিশ্বাসী ইন্টিগ্রেশন দক্ষতা প্রয়োজন এবং ন্যূনতম অভিজ্ঞতা নয়।

অনুশীলনে, অবশ্যই, বর্গমূল বেশি সাধারণ, এখানে একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য তিনটি উদাহরণ রয়েছে:

উদাহরণ 2

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

উদাহরণ 3

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

উদাহরণ 4

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এই উদাহরণগুলি একই ধরণের, তাই নিবন্ধের শেষে সম্পূর্ণ সমাধানটি শুধুমাত্র উদাহরণ 2-এর জন্য, উদাহরণ 3-4-এ একটি উত্তর হবে৷ সিদ্ধান্তের শুরুতে কোন প্রতিস্থাপন ব্যবহার করতে হবে, আমি মনে করি, সুস্পষ্ট। কেন আমি একই ধরনের উদাহরণ নির্বাচন করেছি? প্রায়ই তাদের ভূমিকা পাওয়া যায়. আরো প্রায়ই, সম্ভবত, ঠিক মত কিছু .

কিন্তু সবসময় নয়, যখন একটি রৈখিক ফাংশনের মূল চাপ স্পর্শক, সাইন, কোসাইন, এক্সপোনেন্ট এবং অন্যান্য ফাংশনের অধীনে থাকে, তখন একাধিক পদ্ধতি একবারে প্রয়োগ করতে হয়। বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে, "সহজে নামানো" সম্ভব, অর্থাৎ প্রতিস্থাপনের পরপরই, একটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত হয়, যা প্রাথমিকভাবে নেওয়া হয়। উপরে প্রস্তাবিত কাজগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল উদাহরণ 4, যেখানে, প্রতিস্থাপনের পরে, একটি তুলনামূলকভাবে সহজ অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত হয়।

নিজেই অবিচ্ছেদ্য হ্রাস করার পদ্ধতি

চতুর এবং সুন্দর পদ্ধতি। আসুন জেনারের ক্লাসিকগুলি একবার দেখে নেওয়া যাক:

উদাহরণ 5

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

মূলের নীচে একটি বর্গাকার দ্বিপদী রয়েছে এবং এই উদাহরণটি একত্রিত করার চেষ্টা করার সময়, চাপানিটি ঘন্টার জন্য ভুগতে পারে। এই ধরনের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ দ্বারা নেওয়া হয় এবং নিজেই হ্রাস করা হয়। নীতিগতভাবে, এটা কঠিন নয়। যদি আপনি জানেন কিভাবে.

আসুন আমরা একটি ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা বিবেচিত অবিচ্ছেদ্যটিকে চিহ্নিত করি এবং সমাধানটি শুরু করি:

অংশ দ্বারা সংহতকরণ:

(1) আমরা টার্ম-বাই-টার্ম ডিভিশনের জন্য ইন্টিগ্র্যান্ড প্রস্তুত করি।

(2) আমরা integrand শব্দটিকে পদ দ্বারা ভাগ করি। সম্ভবত সবাই বুঝতে পারে না, আমি আরও বিস্তারিত লিখব:

(3) আমরা অনির্দিষ্ট অখণ্ডের রৈখিকতার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করি।

(4) আমরা শেষ অবিচ্ছেদ্য ("লং" লগারিদম) গ্রহণ করি।

এখন সমাধানের একেবারে শুরুতে দেখা যাক:

এবং শেষের জন্য:

কি হলো? আমাদের কারসাজির ফলে অখণ্ড নিজের কাছেই কমে গেছে!

শুরু এবং শেষ সমান করুন:

আমরা চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে বাম দিকে স্থানান্তর করি:

এবং আমরা ডান দিকে ডিউস ভেঙে ফেলি। ফলস্বরূপ:

ধ্রুবক, কঠোরভাবে বলতে গেলে, আগে যোগ করা উচিত ছিল, কিন্তু আমি এটি শেষে যোগ করেছি। আমি এখানে তীব্রতা কী তা পড়ার সুপারিশ করছি:

বিঃদ্রঃ: আরও কঠোরভাবে, সমাধানের চূড়ান্ত পর্যায়টি এইরকম দেখায়:

এইভাবে:

ধ্রুবকের সাথে পুনরায় নামকরণ করা যেতে পারে। কেন আপনি নাম পরিবর্তন করতে পারেন? কারণ এখনও লাগে যেকোনোমান, এবং এই অর্থে ধ্রুবক এবং এর মধ্যে কোন পার্থক্য নেই।
ফলস্বরূপ:

ধ্রুবক নামকরণের সাথে একটি অনুরূপ কৌশল ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. এবং সেখানে আমি কঠোর হব। এবং এখানে এই ধরনের স্বাধীনতা শুধুমাত্র আমার দ্বারা অনুমোদিত হয় যাতে আপনি অপ্রয়োজনীয় জিনিসগুলির সাথে বিভ্রান্ত না হন এবং ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতিতে নিজেই ফোকাস করেন।

উদাহরণ 6

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

স্বাধীন সমাধানের জন্য আরেকটি সাধারণ অবিচ্ছেদ্য। পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর। আগের উদাহরণের সাথে উত্তরের পার্থক্য তো হবেই!

যদি বর্গমূলের নীচে একটি বর্গ ত্রিনামিক থাকে, তবে সমাধানটি যেকোনো ক্ষেত্রেই দুটি বিশ্লেষণ করা উদাহরণে হ্রাস পাবে।

উদাহরণস্বরূপ, অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করুন . আপনাকে যা করতে হবে তা অগ্রিম একটি পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন:
.
এর পরে, একটি রৈখিক প্রতিস্থাপন করা হয়, যা "কোনও পরিণতি ছাড়াই" পরিচালনা করে:
, একটি অবিচ্ছেদ্য ফলে . পরিচিত কিছু, তাই না?

অথবা এই উদাহরণ, একটি বর্গ দ্বিপদ সহ:
একটি পূর্ণ বর্গ নির্বাচন:
এবং, একটি রৈখিক প্রতিস্থাপনের পরে, আমরা পূর্ণাঙ্গ পাই, যা ইতিমধ্যেই বিবেচনা করা অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধান করা হয়।

কীভাবে নিজের সাথে একটি অবিচ্ছেদ্য হ্রাস করা যায় তার আরও দুটি সাধারণ উদাহরণ বিবেচনা করুন:
সাইন দ্বারা গুণিত সূচকের অবিচ্ছেদ্য;
কোসাইন দ্বারা গুণিত সূচকের অবিচ্ছেদ্য অংশ।

অংশ দ্বারা তালিকাভুক্ত অখণ্ডগুলিতে, আপনাকে ইতিমধ্যেই দুবার সংহত করতে হবে:

উদাহরণ 7

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

ইন্টিগ্র্যান্ড হল সাইন দ্বারা গুণিত সূচক।

আমরা দুইবার অংশ দ্বারা সংহত করি এবং অবিচ্ছেদ্যকে নিজের সাথে কমিয়ে দিই:

অংশ দ্বারা দ্বিগুণ একীকরণের ফলে, অখণ্ডটি নিজেই হ্রাস পায়। সমাধানের শুরু এবং শেষ সমান করুন:

আমরা চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে বাম দিকে স্থানান্তর করি এবং আমাদের অবিচ্ছেদ্য প্রকাশ করি:

প্রস্তুত. পথ বরাবর, ডান দিকে চিরুনি করা বাঞ্ছনীয়, i.e. বন্ধনী থেকে সূচকটি বের করুন এবং সাইন এবং কোসাইনকে বন্ধনীতে একটি "সুন্দর" ক্রমে রাখুন।

এখন উদাহরণের শুরুতে ফিরে যাওয়া যাক, অথবা বরং, অংশ দ্বারা একীকরণের জন্য:

আমরা প্রদর্শক মনোনীত জন্য. প্রশ্ন জাগে, সূচকটি সর্বদা দ্বারা চিহ্নিত করা উচিত? জরুরী না. আসলে, বিবেচিত অবিচ্ছেদ্য মধ্যে মৌলিকভাবে কোন ব্যাপার না, কি জন্য বোঝাতে হবে, একজন অন্যভাবে যেতে পারে:

কেন এটা সম্ভব? কারণ সূচকটি নিজের মধ্যে পরিণত হয় (পার্থক্য এবং সংহত করার সময়), সাইন এবং কোসাইন পারস্পরিকভাবে একে অপরের মধ্যে পরিণত হয় (আবার, উভয়ই যখন পার্থক্য এবং একীভূত হয়)।

অর্থাৎ, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকেও বোঝানো যেতে পারে। কিন্তু, বিবেচিত উদাহরণে, এটি কম যুক্তিসঙ্গত, যেহেতু ভগ্নাংশ উপস্থিত হবে। আপনি যদি চান, আপনি এই উদাহরণটি দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান করার চেষ্টা করতে পারেন, উত্তরগুলি অবশ্যই একই হতে হবে।

উদাহরণ 8

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এটি একটি করণীয় উদাহরণ। সিদ্ধান্ত নেওয়ার আগে, ভাবুন যে এই ক্ষেত্রে সূচকীয় বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য মনোনীত করা আরও লাভজনক কী? পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

এবং, অবশ্যই, ভুলে যাবেন না যে এই পাঠের বেশিরভাগ উত্তর পার্থক্য দ্বারা পরীক্ষা করা মোটামুটি সহজ!

উদাহরণগুলি সবচেয়ে কঠিন বলে বিবেচিত হয়নি। অনুশীলনে, অখণ্ডগুলি আরও সাধারণ, যেখানে ধ্রুবকটি সূচক এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যুক্তিতে উভয়ই থাকে, উদাহরণস্বরূপ: . এমন অখণ্ডতায় অনেককে বিভ্রান্ত হতে হবে, আমি নিজেও প্রায়ই বিভ্রান্ত হই। আসল বিষয়টি হ'ল সমাধানটিতে ভগ্নাংশের উপস্থিতির উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে এবং অসাবধানতার কারণে কিছু হারানো খুব সহজ। এছাড়াও, চিহ্নগুলিতে ত্রুটির একটি উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে, মনে রাখবেন যে সূচকটিতে একটি বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে এবং এটি অতিরিক্ত অসুবিধার পরিচয় দেয়।

চূড়ান্ত পর্যায়ে, এটি প্রায়শই এরকম কিছু পরিণত হয়:

এমনকি সমাধানের শেষে, আপনাকে অত্যন্ত সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত এবং ভগ্নাংশগুলির সাথে সঠিকভাবে মোকাবিলা করা উচিত:

জটিল ভগ্নাংশের একীকরণ

আমরা ধীরে ধীরে পাঠের বিষুবরেখার কাছে যাচ্ছি এবং ভগ্নাংশের অবিচ্ছেদ্যগুলি বিবেচনা করতে শুরু করছি। আবার, তাদের সবগুলোই খুব জটিল নয়, শুধু একটি কারণে বা অন্য কারণে, উদাহরণগুলি অন্যান্য নিবন্ধে একটু "অফ টপিক" ছিল।

শিকড় থিম অব্যাহত

উদাহরণ 9

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

মূলের নীচে হরটিতে "X" আকারে মূল "অ্যাপেন্ডেজ" এর বাইরে একটি বর্গাকার ত্রিনামিক প্লাস রয়েছে। এই ফর্মের একটি অবিচ্ছেদ্য একটি স্ট্যান্ডার্ড প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।

আমরা সিদ্ধান্ত নিই:

এখানে প্রতিস্থাপন সহজ:

প্রতিস্থাপনের পরে জীবনের দিকে তাকানো:

(1) প্রতিস্থাপনের পরে, আমরা মূলের নীচের পদগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ কমিয়ে দেই।
(2) আমরা এটি মূলের নিচ থেকে বের করি।
(3) আমরা লব এবং হরকে দ্বারা হ্রাস করি। একই সময়ে, রুটের নীচে, আমি শর্তগুলিকে একটি সুবিধাজনক ক্রমে পুনর্বিন্যাস করেছি। কিছু অভিজ্ঞতার সাথে, মৌখিকভাবে মন্তব্য করা ক্রিয়া সম্পাদন করে পদক্ষেপ (1), (2) এড়িয়ে যেতে পারে।
(4) ফলস্বরূপ অবিচ্ছেদ্য, আপনি পাঠ থেকে মনে রাখবেন কিছু ভগ্নাংশের একীকরণ, মীমাংসিত হয় সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন পদ্ধতি. একটি পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন।
(5) একীকরণের মাধ্যমে, আমরা একটি সাধারণ "দীর্ঘ" লগারিদম পাই।
(6) আমরা বিপরীত প্রতিস্থাপন চালায়। যদি প্রাথমিকভাবে, তারপর ফিরে: .
(7) চূড়ান্ত ক্রিয়াটি ফলাফলকে হেয়ারড্রেসিং করার লক্ষ্যে করা হয়েছে: মূলের নীচে, আমরা আবার শর্তগুলিকে একটি সাধারণ হর-এ নিয়ে আসি এবং মূলের নীচে থেকে তাদের বের করে দিই৷

উদাহরণ 10

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এটি একটি করণীয় উদাহরণ। এখানে, lone x এর সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করা হয়েছে এবং প্রতিস্থাপন প্রায় একই:

শুধুমাত্র যে জিনিসটি অতিরিক্ত করা দরকার তা হল প্রতিস্থাপন থেকে "x" প্রকাশ করা:

পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

কখনও কখনও এই ধরনের একটি অবিচ্ছেদ্য মধ্যে মূলের নীচে একটি বর্গ দ্বিপদ থাকতে পারে, এটি সমাধানটি সমাধান করার উপায় পরিবর্তন করে না, এটি এমনকি আরও সহজ হবে। পার্থক্য অনুভব:

উদাহরণ 11

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

উদাহরণ 12

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

পাঠের শেষে সংক্ষিপ্ত সমাধান এবং উত্তর। এটা উল্লেখ করা উচিত যে উদাহরণ 11 ঠিক আছে দ্বিপদ অবিচ্ছেদ্য, যার সমাধান পদ্ধতি পাঠে বিবেচনা করা হয়েছিল অযৌক্তিক ফাংশনের অখণ্ড.

2য় ডিগ্রী থেকে ডিগ্রী পর্যন্ত একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদীর অখণ্ড

(হরে বহুপদ)

একটি বিরল, কিন্তু, তবুও, অখণ্ডের ব্যবহারিক উদাহরণ আকারে ঘটছে।

উদাহরণ 13

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

তবে আসুন ভাগ্যবান 13 নম্বরের উদাহরণে ফিরে যাই (সত্যি, আমি অনুমান করিনি)। এই অবিচ্ছেদ্যটিও সেইগুলির বিভাগ থেকে যার সাথে আপনি যদি সমাধান করতে না জানেন তবে আপনি খুব বেশি কষ্ট পেতে পারেন।

সমাধানটি একটি কৃত্রিম রূপান্তর দিয়ে শুরু হয়:

আমি মনে করি সবাই ইতিমধ্যে বুঝতে পেরেছে কিভাবে লবকে হর পদ দ্বারা পদ দ্বারা ভাগ করা যায়।

ফলস্বরূপ অবিচ্ছেদ্য অংশে নেওয়া হয়:

ফর্মের একটি অবিচ্ছেদ্য জন্য ( একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা), আমরা প্রাপ্ত করেছি পৌনঃপুনিকডাউনগ্রেডিং সূত্র:
, কোথায় একটি নিম্ন ডিগ্রী একটি অবিচ্ছেদ্য.

চলুন আমরা সমাধান করা অখণ্ডের জন্য এই সূত্রটির বৈধতা যাচাই করি।
এই ক্ষেত্রে: , , আমরা সূত্র ব্যবহার করি:

আপনি দেখতে পারেন, উত্তর একই.

উদাহরণ 14

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এটি একটি করণীয় উদাহরণ। নমুনা সমাধানটি পরপর দুবার উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে।

ডিগ্রির নিচে থাকলে indecomposableবর্গাকার ত্রিনমিক, তারপর পূর্ণ বর্গ নিষ্কাশন করে সমাধানটিকে দ্বিপদে পরিণত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ:

লবটিতে একটি অতিরিক্ত বহুপদী থাকলে কী হবে? এই ক্ষেত্রে, অনির্ধারিত সহগ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, এবং ইন্টিগ্র্যান্ডটি ভগ্নাংশের সমষ্টিতে প্রসারিত হয়। কিন্তু আমার অনুশীলনে এমন উদাহরণ দেখা হয়নি, তাই আমি নিবন্ধে এই কেস এড়িয়ে গেছে একটি ভগ্নাংশ-মূলদ ফাংশনের অখণ্ড, আমি এখন এটা এড়িয়ে যাব. যদি এমন একটি অবিচ্ছেদ্য এখনও ঘটে তবে পাঠ্যপুস্তকটি দেখুন - সেখানে সবকিছু সহজ। আমি উপাদান অন্তর্ভুক্ত করা সমীচীন মনে করি না (এমনকি সহজ), যার সাথে মিলিত হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য।

জটিল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের একীকরণ

বেশিরভাগ উদাহরণের জন্য বিশেষণ "কঠিন" আবার মূলত শর্তসাপেক্ষ। চলুন শুরু করা যাক উচ্চ ক্ষমতার স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট দিয়ে। ট্যানজেন্ট এবং কোট্যাঞ্জেন্ট সমাধানের জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলির দৃষ্টিকোণ থেকে প্রায় একই, তাই আমি স্পর্শক সম্পর্কে আরও কথা বলব, যার অর্থ অখণ্ড সমাধানের প্রদর্শিত পদ্ধতিটি কোট্যাঞ্জেন্টের জন্যও বৈধ।

উপরের পাঠে, আমরা দেখেছি সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপনত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির একটি নির্দিষ্ট ধরণের অখণ্ড সমাধানের জন্য। সার্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপনের অসুবিধা হল যে এটির প্রয়োগ প্রায়শই কঠিন গণনার সাথে জটিল অখণ্ডের দিকে নিয়ে যায়। এবং কিছু ক্ষেত্রে, সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন এড়ানো যেতে পারে!

আরেকটি ক্যানোনিকাল উদাহরণ বিবেচনা করুন, সাইন দ্বারা বিভক্ত ঐক্যের অবিচ্ছেদ্য অংশ:

উদাহরণ 17

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এখানে আপনি সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করতে পারেন এবং উত্তর পেতে পারেন, তবে আরও যুক্তিযুক্ত উপায় আছে। আমি প্রতিটি পদক্ষেপের জন্য মন্তব্য সহ একটি সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করব:

(1) আমরা একটি দ্বিকোণের সাইনের জন্য ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করি।
(2) আমরা একটি কৃত্রিম রূপান্তর চালাই: হরকে আমরা ভাগ করি এবং গুন করি।
(3) হর-এর সুপরিচিত সূত্র অনুসারে, আমরা ভগ্নাংশটিকে স্পর্শক-এ পরিণত করি।
(4) আমরা ফাংশনটিকে ডিফারেনশিয়ালের চিহ্নের অধীনে নিয়ে আসি।
(5) আমরা অবিচ্ছেদ্য গ্রহণ করি।

আপনার নিজের সমাধান করার জন্য কয়েকটি সহজ উদাহরণ:

উদাহরণ 18

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

ইঙ্গিত: খুব প্রথম ধাপ হল হ্রাস সূত্র ব্যবহার করা এবং সাবধানে পূর্ববর্তী উদাহরণের অনুরূপ ক্রিয়া সম্পাদন করুন।

উদাহরণ 19

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

ওয়েল, এটি একটি খুব সহজ উদাহরণ.

পাঠের শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

আমি মনে করি এখন পূর্ণাঙ্গ নিয়ে কারও সমস্যা হবে না:
ইত্যাদি

পদ্ধতির পিছনে ধারণা কি? ধারণাটি শুধুমাত্র স্পর্শকগুলিকে সংগঠিত করতে রূপান্তর, ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করা এবং ইন্টিগ্র্যান্ডে ট্যানজেন্টের ডেরিভেটিভ। অর্থাৎ, আমরা প্রতিস্থাপন সম্পর্কে কথা বলছি: . উদাহরণ 17-19-এ, আমরা আসলে এই প্রতিস্থাপনটি ব্যবহার করেছি, কিন্তু অখণ্ডগুলি এতই সহজ যে এটি একটি সমতুল্য ক্রিয়া দিয়ে করা হয়েছিল - ফাংশনটিকে ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে নিয়ে আসা।

অনুরূপ যুক্তি, আমি ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, cotangent জন্য বাহিত হতে পারে.

উপরোক্ত প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করার জন্য একটি আনুষ্ঠানিক পূর্বশর্তও রয়েছে:

কোসাইন এবং সাইনের শক্তির যোগফল একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা EVEN সংখ্যা, উদাহরণ স্বরূপ:

একটি পূর্ণসংখ্যার জন্য, একটি পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক EVEN সংখ্যা।

! বিঃদ্রঃ : যদি ইন্টিগ্র্যান্ডে শুধুমাত্র সাইন বা শুধুমাত্র কোসাইন থাকে, তাহলে ইন্টিগ্র্যালটি নেতিবাচক বিজোড় ডিগ্রির সাথেও নেওয়া হয় (সরলতম ক্ষেত্রে উদাহরণ নং 17, 18 এ রয়েছে)।

এই নিয়মের জন্য আরও কিছু অর্থপূর্ণ কাজ বিবেচনা করুন:

উদাহরণ 20

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

সাইন এবং কোসাইনের ডিগ্রীর যোগফল: 2 - 6 \u003d -4 - একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা EVEN সংখ্যা, যার অর্থ হল অখণ্ডটিকে স্পর্শক এবং এর ডেরিভেটিভগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে:

(1) এর হরকে রূপান্তর করা যাক।
(2) সুপরিচিত সূত্র অনুযায়ী, আমরা প্রাপ্ত.
(3) এর হরকে রূপান্তর করা যাক।
(4) আমরা সূত্র ব্যবহার করি .
(5) আমরা ফাংশনটিকে ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে নিয়ে আসি।
(6) আমরা প্রতিস্থাপন করা. আরও অভিজ্ঞ শিক্ষার্থীরা প্রতিস্থাপনটি নাও চালাতে পারে, তবে তবুও একটি অক্ষর দিয়ে স্পর্শক প্রতিস্থাপন করা ভাল - বিভ্রান্তির ঝুঁকি কম।

উদাহরণ 21

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এটি একটি করণীয় উদাহরণ।

অপেক্ষা করুন, চ্যাম্পিয়নশিপ রাউন্ড শুরু হবে =)

প্রায়শই ইন্টিগ্র্যান্ডে একটি "হজপজ" থাকে:

উদাহরণ 22

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

এই অবিচ্ছেদ্য প্রাথমিকভাবে একটি স্পর্শক ধারণ করে, যা অবিলম্বে একটি পরিচিত চিন্তার পরামর্শ দেয়:

আমি কৃত্রিম রূপান্তরটি একেবারে শুরুতে এবং বাকী পদক্ষেপগুলি মন্তব্য ছাড়াই ছেড়ে দেব, যেহেতু সবকিছু ইতিমধ্যে উপরে বলা হয়েছে।

একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য কয়েকটি সৃজনশীল উদাহরণ:

উদাহরণ 23

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

উদাহরণ 24

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজুন

হ্যাঁ, তাদের মধ্যে, অবশ্যই, আপনি সাইন, কোসাইন এর ডিগ্রী কমাতে পারেন, সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করতে পারেন, তবে সমাধানটি আরও বেশি দক্ষ এবং ছোট হবে যদি এটি স্পর্শকের মাধ্যমে আঁকা হয়। পাঠের শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য একটানা ফাংশন থেকে চ(এক্স) সীমিত ব্যবধানে [ ক, খ] (যেখানে ) হল এই সেগমেন্টে এর কিছু অ্যান্টিডেরিভেটিভের বৃদ্ধি। (সাধারণভাবে, আপনি যদি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিষয়ের পুনরাবৃত্তি করেন তবে বোঝা লক্ষণীয়ভাবে সহজ হবে) এই ক্ষেত্রে, স্বরলিপি

নীচের গ্রাফগুলিতে দেখা যেতে পারে (অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনের বৃদ্ধি দ্বারা নির্দেশিত হয়), সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ইতিবাচক বা নেতিবাচক হতে পারে।(এটি ঊর্ধ্ব সীমাতে অ্যান্টিডেরিভেটিভের মান এবং নিম্ন সীমাতে এর মানের মধ্যে পার্থক্য হিসাবে গণনা করা হয়, যেমন চ(খ) - চ(ক)).

সংখ্যা কএবং খএকে বলা হয় যথাক্রমে একীকরণের নিম্ন এবং উপরের সীমা, এবং ব্যবধান [ ক, খ] হল একীকরণের সেগমেন্ট।

এইভাবে, যদি চ(এক্স) জন্য কিছু antiderivative ফাংশন চ(এক্স), তারপর, সংজ্ঞা অনুযায়ী,

(38)

সমতা (38) বলা হয় নিউটন-লাইবনিজ সূত্র . পার্থক্য চ(খ) – চ(ক) সংক্ষেপে এভাবে লেখা হয়েছে:

অতএব, নিউটন-লাইবনিজ সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা হবে:

(39)

আসুন প্রমাণ করি যে সুনির্দিষ্ট ইন্টিগ্র্যাল গণনা করার সময় ইন্টিগ্র্যান্ডের কোন অ্যান্টিডেরিভেটিভ নেওয়া হয় তার উপর নির্ভর করে না। দিন চ(এক্স) এবং F( এক্স) ইন্টিগ্র্যান্ডের নির্বিচারে অ্যান্টিডেরিভেটিভস। যেহেতু এগুলি একই ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভস, তাই তারা একটি ধ্রুবক পদ দ্বারা পৃথক হয়: Ф( এক্স) = চ(এক্স) + গ. এই জন্য

সুতরাং, এটি প্রতিষ্ঠিত হয় যে সেগমেন্টে [ ক, খ] ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের বৃদ্ধি চ(এক্স) ম্যাচ.

এইভাবে, সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার জন্য, ইন্টিগ্র্যান্ডের যেকোনো অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যেমন প্রথমে আপনাকে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজে বের করতে হবে। ধ্রুবক থেকে পরবর্তী গণনা থেকে বাদ। তারপরে নিউটন-লাইবনিজ সূত্র প্রয়োগ করা হয়: ঊর্ধ্বসীমার মানটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনে প্রতিস্থাপিত হয় খ , আরও - নিম্ন সীমার মান ক এবং পার্থক্য গণনা F(b)- F(a) . ফলাফল সংখ্যা একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হবে..

এ ক = খসংজ্ঞা দ্বারা গৃহীত

উদাহরণ 1

সমাধান। আসুন প্রথমে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যটি সন্ধান করি:

অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য নিউটন-লাইবনিজ সূত্র প্রয়োগ করা

(এ থেকে= 0), আমরা পাই

যাইহোক, একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার সময়, আলাদাভাবে অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে না পাওয়াই ভাল, তবে অবিলম্বে পূর্ণাঙ্গটিকে ফর্মে লিখুন (39)।

উদাহরণ 2একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন

সমাধান। সূত্র ব্যবহার করে

নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের বৈশিষ্ট্য

উপপাদ্য 2।সুনির্দিষ্ট অখণ্ডের মান ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবলের উপাধির উপর নির্ভর করে না, অর্থাৎ

(40)

দিন চ(এক্স) এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ(এক্স) জন্য চ(t) অ্যান্টিডেরিভেটিভ একই ফাংশন চ(t), যেখানে স্বাধীন পরিবর্তনশীলকে ভিন্নভাবে চিহ্নিত করা হয়। অতএব,

সূত্রের (39) উপর ভিত্তি করে, শেষ সমতা মানে অখণ্ডের সমতা

উপপাদ্য 3.ধ্রুবক গুণনীয়কটিকে একটি নির্দিষ্ট অখণ্ডের চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে, অর্থাৎ

(41)

উপপাদ্য 4.একটি সীমিত সংখ্যক ফাংশনের বীজগণিতীয় যোগফলের সুনির্দিষ্ট অখণ্ডতা এই ফাংশনের নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যার বীজগাণিতিক যোগফলের সমান, অর্থাৎ

(42)

উপপাদ্য 5।যদি ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টকে ভাগে ভাগ করা হয়, তাহলে পুরো সেগমেন্টের নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রেল তার অংশের নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রেলের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ যদি

(43)

উপপাদ্য 6.ইন্টিগ্রেশনের সীমা পুনর্বিন্যাস করার সময়, নির্দিষ্ট অখণ্ডের পরম মান পরিবর্তন হয় না, তবে শুধুমাত্র এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ

(44)

উপপাদ্য 7(মান উপপাদ্য)। সুনির্দিষ্ট ইন্টিগ্র্যালটি ইন্টিগ্রেশন সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান এবং এর ভিতরের কিছু সময়ে ইন্টিগ্র্যান্ডের মানের সমান, অর্থাৎ

(45)

উপপাদ্য 8.যদি উপরের একীকরণের সীমা নীচেরটির থেকে বেশি হয় এবং ইন্টিগ্র্যান্ডটি অ-ঋণাত্মক (ধনাত্মক) হয়, তবে নির্দিষ্ট অখণ্ডটিও অ-নেতিবাচক (ধনাত্মক), অর্থাৎ যদি

উপপাদ্য 9।যদি একীকরণের উপরের সীমা নিম্ন সীমা এবং ফাংশনগুলির চেয়ে বেশি হয় এবং অবিচ্ছিন্ন থাকে, তাহলে অসমতা

শব্দ দ্বারা একত্রিত করা যেতে পারে, অর্থাৎ

(46)

সুনির্দিষ্ট অখণ্ডের বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের অখণ্ডগুলির সরাসরি গণনাকে সরল করার অনুমতি দেয়।

উদাহরণ 5একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন

উপপাদ্য 4 এবং 3 ব্যবহার করে, এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার সময় - ট্যাবুলার ইন্টিগ্রেল (7) এবং (6), আমরা পাই

পরিবর্তনশীল ঊর্ধ্ব সীমা সহ নির্দিষ্ট অখণ্ড

দিন চ(এক্স) বিরতিতে একটানা থাকে [ ক, খ] ফাংশন, এবং চ(এক্স) এর প্রোটোটাইপ। সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিবেচনা করুন

(47)

এবং মাধ্যমে tইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবলটিকে চিহ্নিত করা হয় যাতে এটি উপরের সীমার সাথে বিভ্রান্ত না হয়। যখন এটি পরিবর্তন হয় এক্সনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য (47)ও পরিবর্তিত হয়, যেমন, এটি ইন্টিগ্রেশনের উপরের সীমার একটি ফাংশন এক্স, যা আমরা দ্বারা বোঝাই চ(এক্স), i.e.

(48)

আসুন প্রমাণ করি যে ফাংশনটি চ(এক্স) এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ(এক্স) = চ(t) প্রকৃতপক্ষে, পার্থক্য চ(এক্স), আমরা পেতে

কারণ চ(এক্স) এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ(এক্স), ক চ(ক) একটি ধ্রুবক মান।

ফাংশন চ(এক্স) হল অ্যান্টিডেরিভেটিভের অসীম সেটগুলির মধ্যে একটি চ(এক্স), যথা যে এক এক্স = কশূন্যে যায়। এই বিবৃতিটি প্রাপ্ত হয় যদি আমরা সমতা (48) রাখি এক্স = কএবং পূর্ববর্তী বিভাগের উপপাদ্য 1 ব্যবহার করুন।

অংশ দ্বারা একীকরণের পদ্ধতি এবং পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের পদ্ধতি দ্বারা নির্দিষ্ট অখণ্ডের গণনা

যেখানে, সংজ্ঞা অনুসারে, চ(এক্স) এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ(এক্স) যদি ইন্টিগ্র্যান্ডে আমরা পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করি

তারপর, সূত্র (16) অনুসারে, আমরা লিখতে পারি

এই অভিব্যক্তিতে

জন্য antiderivative ফাংশন

প্রকৃতপক্ষে, এর ডেরিভেটিভ, অনুযায়ী একটি জটিল ফাংশনের পার্থক্যের নিয়ম, সমান

α এবং β চলকের মান হতে দিন t, যার জন্য ফাংশন

যথাক্রমে মান নেয় কএবং খ, অর্থাৎ

কিন্তু, নিউটন-লাইবনিজ সূত্র অনুযায়ী পার্থক্য চ(খ) – চ(ক) এখানে

পাঠ্যপুস্তকের সংজ্ঞাগুলি যদি খুব জটিল এবং বোধগম্য হয় তবে আমাদের নিবন্ধটি পড়ুন। আমরা যতটা সম্ভব সহজভাবে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব, "আঙ্গুলের উপর", গণিতের এই ধরনের একটি বিভাগের প্রধান পয়েন্টগুলিকে সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হিসাবে। কিভাবে অখণ্ড গণনা করতে হয়, এই ম্যানুয়াল পড়ুন.

জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি ফাংশনের পূর্ণাঙ্গ হল এই ফাংশনের গ্রাফ এবং ইন্টিগ্রেশনের মধ্যে অক্ষ দ্বারা গঠিত চিত্রের ক্ষেত্রফল। অখণ্ডটি লিখুন, অখণ্ডের অধীনে ফাংশনটি বিশ্লেষণ করুন: যদি ইন্টিগ্র্যান্ডকে সরলীকরণ করা যায় (কমানো, অখণ্ড চিহ্নটিকে ফ্যাক্টর আউট করা, দুটি সরল অখণ্ডে বিভক্ত করা), এটি করুন। কোন ফাংশনের ডেরিভেটিভটি অখণ্ডের অধীনে রয়েছে তা নির্ধারণ করতে অখণ্ড সারণীটি খুলুন। উত্তর পাওয়া গেছে? অখণ্ড থেকে নেওয়া ফ্যাক্টরটি লিখুন (যদি এটি ঘটে থাকে), টেবিল থেকে পাওয়া ফাংশনটি লিখুন, অখণ্ডের সীমানাগুলি প্রতিস্থাপন করুন।

একটি অখণ্ডের মান গণনা করতে, উপরের সীমাতে এর মান গণনা করুন এবং নিম্ন সীমাতে এর মান বিয়োগ করুন। পার্থক্য হল পছন্দসই মান।

নিজেকে পরীক্ষা করতে বা অন্তত ইন্টিগ্রেলের সমস্যা সমাধানের কোর্সটি বুঝতে, ইন্টিগ্রেলগুলি খুঁজে বের করার জন্য অনলাইন পরিষেবাটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক, তবে, সমাধানের সাথে এগিয়ে যাওয়ার আগে, ফাংশনগুলি প্রবেশের নিয়মগুলি পড়ুন। এর সবচেয়ে বড় সুবিধা হল এখানে ইন্টিগ্রালের সাথে সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান ধাপে ধাপে বর্ণনা করা হয়েছে।

অবশ্যই, কেবলমাত্র অখণ্ডগুলির সহজতম সংস্করণগুলি এখানে বিবেচনা করা হয় - নিশ্চিতভাবে, প্রকৃতপক্ষে, অখণ্ডের প্রচুর বৈচিত্র্য রয়েছে, এগুলি প্রযুক্তিগত বিশেষত্বের শিক্ষার্থীদের জন্য বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে উচ্চতর গণিত, গাণিতিক বিশ্লেষণ এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কোর্সে অধ্যয়ন করা হয়।