প্রাচীনকাল থেকে আজ অবধি, পরিসংখ্যানের সমতার চিহ্নগুলির অনুসন্ধান একটি মৌলিক কাজ হিসাবে বিবেচিত হয়, যা জ্যামিতির ভিত্তির ভিত্তি; সমতা পরীক্ষা ব্যবহার করে শত শত উপপাদ্য প্রমাণিত হয়। পরিসংখ্যানের সমতা এবং সাদৃশ্য প্রমাণ করার ক্ষমতা নির্মাণের সমস্ত ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ কাজ।
সঙ্গে যোগাযোগ
দক্ষতা অনুশীলন করা
ধরুন আমাদের কাছে একটি কাগজের টুকরোতে আঁকা একটি চিত্র আছে। একই সময়ে, আমাদের একটি শাসক এবং একটি প্রটেক্টর রয়েছে, যার সাহায্যে আমরা সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যে কোণগুলি পরিমাপ করতে পারি। কীভাবে একই আকারের একটি চিত্রকে কাগজের দ্বিতীয় শীটে স্থানান্তর করা যায় বা এর স্কেল দ্বিগুণ করা যায়।
আমরা জানি যে একটি ত্রিভুজ একটি চিত্র যা তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত, যাকে বাহু বলা হয়, কোণ গঠন করে। এইভাবে, ছয়টি পরামিতি রয়েছে - তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ - যা এই আকৃতিটিকে সংজ্ঞায়িত করে।
যাইহোক, তিনটি বাহু এবং কোণের আকার পরিমাপ করে, এই চিত্রটিকে অন্য পৃষ্ঠে স্থানান্তর করা একটি কঠিন কাজ হবে। উপরন্তু, প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা অর্থপূর্ণ: এটা কি দুই পক্ষের এবং এক কোণার পরামিতি জানা যথেষ্ট নয়, বা মাত্র তিনটি পক্ষ।
দুই পক্ষের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যে পরিমাপ করার পরে, তারপরে এই কোণটি একটি নতুন কাগজের টুকরোতে রাখুন, যাতে আমরা ত্রিভুজটিকে সম্পূর্ণরূপে পুনরায় তৈরি করতে পারি। আসুন এটি কীভাবে করা যায় তা খুঁজে বের করা যাক, কীভাবে চিহ্নগুলিকে একই হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে তা প্রমাণ করতে শিখুন এবং ত্রিভুজগুলি একই বলে আত্মবিশ্বাস পাওয়ার জন্য ন্যূনতম কতগুলি প্যারামিটার রয়েছে তা নির্ধারণ করুন।
গুরুত্বপূর্ণ !পরিসংখ্যানগুলিকে একই বলা হয় যদি তাদের বাহু এবং কোণগুলি তৈরি করা অংশগুলি একে অপরের সমান হয়। অনুরূপ পরিসংখ্যান যাদের বাহু এবং কোণ সমানুপাতিক। এইভাবে, সমতা হল 1-এর আনুপাতিকতা ফ্যাক্টরের সাথে একটি মিল।
ত্রিভুজগুলির সমতার লক্ষণগুলি কী কী, আমরা তাদের সংজ্ঞা দেব:
- সমতার প্রথম চিহ্ন: দুটি ত্রিভুজকে একই হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যদি তাদের দুটি বাহু সমান হয়, পাশাপাশি তাদের মধ্যে কোণ।
- ত্রিভুজগুলির সমতার দ্বিতীয় চিহ্ন: দুটি ত্রিভুজ একই হবে যদি দুটি কোণ একই হয়, পাশাপাশি তাদের মধ্যে সংশ্লিষ্ট দিকও।
- ত্রিভুজের সমতার তৃতীয় চিহ্ন : ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয় যখন তাদের সমস্ত বাহু সমান দৈর্ঘ্যের হয়।
কিভাবে প্রমাণ করা যায় যে ত্রিভুজগুলি সঙ্গতিপূর্ণ। আমরা ত্রিভুজের সমতার প্রমাণ উপস্থাপন করি।
প্রমাণ 1 চিহ্ন
দীর্ঘকাল ধরে, প্রথম গণিতবিদদের মধ্যে, এই বৈশিষ্ট্যটি একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল, তবে এটি পরিণত হয়েছে, এটি আরও মৌলিক স্বতঃসিদ্ধের উপর ভিত্তি করে জ্যামিতিকভাবে প্রমাণিত হতে পারে।
দুটি ত্রিভুজ বিবেচনা করুন - KMN এবং K 1 M 1 N 1। KM দিকের দৈর্ঘ্য K 1 M 1, এবং KN = K 1 N 1 এর সমান। এবং MKN কোণটি KMN এবং M 1 K 1 N 1 কোণের সমান।
যদি আমরা KM এবং K 1 M 1, KN এবং K 1 N 1 দুটি রশ্মি হিসাবে বিবেচনা করি যা একটি বিন্দু থেকে বেরিয়ে যায়, তবে আমরা বলতে পারি যে এই জোড়া রশ্মির মধ্যে কোণগুলি একই (এটি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয় উপপাদ্য)। আসুন K 1 বিন্দু থেকে K বিন্দুতে K 1 M 1 এবং K 1 N 1 রশ্মির সমান্তরাল অনুবাদ করি। এই স্থানান্তরের ফলে, K 1 M 1 এবং K 1 N 1 সম্পূর্ণরূপে মিলিত হবে। আসুন K 1 M 1 রশ্মির উপর প্লট করি KM দৈর্ঘ্যের একটি সেগমেন্ট, K বিন্দু থেকে উৎপন্ন। যেহেতু, শর্ত অনুসারে, ফলের রেখাংশ এবং K 1 M 1 সেগমেন্টের সমান হবে, তারপর বিন্দু M এবং M 1 মিলে যায়। একইভাবে KN এবং K 1 N 1 অংশগুলির সাথে। এইভাবে, K 1 M 1 N 1 সরানো যাতে K 1 এবং K বিন্দু মিলে যায় এবং দুটি দিক ওভারল্যাপ হয়, আমরা নিজেরাই পরিসংখ্যানগুলির সম্পূর্ণ কাকতালীয়তা পাই।
গুরুত্বপূর্ণ !ইন্টারনেটে, বাহু এবং কোণের সংখ্যাসূচক মানের সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে দুটি বাহু এবং একটি কোণে ত্রিভুজের সমতার প্রমাণ রয়েছে। যাইহোক, ঐতিহাসিক এবং গাণিতিকভাবে, এই উপপাদ্যটি বীজগণিতের অনেক আগে এবং ত্রিকোণমিতির আগে প্রণয়ন করা হয়েছিল। উপপাদ্যটির এই বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করার জন্য, মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ ছাড়া অন্য কিছু ব্যবহার করা ভুল।
প্রমাণ 2 লক্ষণ
আসুন প্রথমটির উপর ভিত্তি করে দুটি কোণ এবং একটি বাহুর সমতার দ্বিতীয় মানদণ্ডটি প্রমাণ করি।
প্রমাণ 2 লক্ষণ
KMN এবং PRS বিবেচনা করুন। K এর সমান P, N সমান S। KN এর বাহুর দৈর্ঘ্য PS এর সমান। এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন যে KMN এবং PRS একই।
রশ্মি KN এর সাপেক্ষে M বিন্দু প্রতিফলিত করি। ফলস্বরূপ বিন্দুকে বলা হবে L। এই ক্ষেত্রে, পাশের দৈর্ঘ্য KM = KL। NKL সমান PRS। KNL সমান RSP.
যেহেতু কোণের যোগফল 180 ডিগ্রী, তাহলে KLN হল PRS এর সমান, যার অর্থ হল PRS এবং KLN উভয় পাশে এবং কোণ একই (সদৃশ), প্রথম বৈশিষ্ট্য অনুসারে।
কিন্তু, যেহেতু KNL KMN এর সমান, তাহলে KMN এবং PRS দুটি অভিন্ন চিত্র।
প্রমাণ 3 লক্ষণ
ত্রিভুজগুলি সমান তা কীভাবে প্রতিষ্ঠিত করবেন। এটি দ্বিতীয় মানদণ্ডের প্রমাণ থেকে সরাসরি অনুসরণ করে।
দৈর্ঘ্য KN = PS। যেহেতু K = P, N = S, KL=KM, যখন KN = KS, MN=ML, তারপর:
এর মানে হল যে উভয় পরিসংখ্যান একে অপরের অনুরূপ। কিন্তু যেহেতু তাদের দিক একই, তারাও সমান।
অনেক পরিণতি সমতা এবং সাদৃশ্য লক্ষণ থেকে অনুসরণ করে. তাদের মধ্যে একটি হল যে দুটি ত্রিভুজ সমান কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি জানতে হবে, তারা একই কিনা:
- তিনটি পক্ষই;
- উভয় পক্ষ এবং তাদের মধ্যে কোণ;
- উভয় কোণ এবং তাদের মধ্যে পাশ.
সমস্যা সমাধানের জন্য ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন ব্যবহার করা
প্রথম লক্ষণের পরিণতি
প্রমাণের সময়, কেউ বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় এবং দরকারী ফলাফলে পৌঁছাতে পারে।
- . সত্য যে একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণের ছেদ বিন্দু তাদের দুটি অভিন্ন অংশে বিভক্ত করে তা সমতার চিহ্নগুলির একটি ফলাফল এবং প্রমাণের জন্য যথেষ্ট উপযুক্ত। অতিরিক্ত ত্রিভুজের বাহুগুলি (প্রমাণগুলির মতো একটি আয়না নির্মাণ সহ যা আমরা সম্পাদন করেছি) হল প্রধান একের বাহু (সমান্তরালগ্রামের দিক)।
- যদি দুটি সমকোণী ত্রিভুজ থাকে যাদের একই তীক্ষ্ণ কোণ থাকে, তাহলে তারা একই রকম। যদি একই সময়ে প্রথমটির পা দ্বিতীয়টির পায়ের সমান হয়, তবে তারা সমান। এটি বোঝা বেশ সহজ - যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের একটি সমকোণ থাকে। অতএব, তাদের জন্য সমতার লক্ষণ সহজতর।
- সমকোণ বিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজ, যেখানে দুটি পায়ের দৈর্ঘ্য একই, একই বিবেচনা করা যেতে পারে। এটি এই কারণে যে দুটি পায়ের মধ্যে কোণ সর্বদা 90 ডিগ্রি। অতএব, প্রথম চিহ্ন অনুসারে (দুই পাশে এবং তাদের মধ্যে কোণ), সমকোণ এবং একই পা সহ সমস্ত ত্রিভুজ সমান।
- যদি দুটি সমকোণী ত্রিভুজ থাকে এবং তাদের একটি পা থাকে এবং কর্ণ সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজগুলি একই।
এই সহজ উপপাদ্য প্রমাণ করা যাক.
দুটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে। এক পাশে a, b, c আছে, যেখানে c কর্ণ; a, b - পা। দ্বিতীয় পাশে n, m, l আছে, যেখানে l হল কর্ণ; m, n - পা।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, একটি পা এর সমান:
;
.
এইভাবে, যথাক্রমে n \u003d a, l \u003d c (পা এবং কর্ণের সমতা) হলে, দ্বিতীয় পা সমান হবে। পরিসংখ্যান, যথাক্রমে, তৃতীয় মানদণ্ড (তিন দিকে) অনুযায়ী সমান হবে।
আসুন আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল নোট করি। যদি দুটি সমান ত্রিভুজ থাকে এবং সেগুলি সাদৃশ্য সহগ k এর সাথে সমান হয়, অর্থাৎ, তাদের সমস্ত বাহুর জোড়া অনুপাত k এর সমান হয়, তাহলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত k2 এর সমান।
ত্রিভুজের সমতার প্রথম চিহ্ন। জ্যামিতি গ্রেড 7 এর ভিডিও পাঠ
জ্যামিতি 7 ত্রিভুজের সমতার প্রথম চিহ্ন
উপসংহার
আমরা যে বিষয়টি বিবেচনা করেছি তা যেকোনো শিক্ষার্থীকে মৌলিক জ্যামিতিক ধারণাগুলি আরও ভালভাবে বুঝতে এবং গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিশ্বে তাদের দক্ষতা উন্নত করতে সাহায্য করবে।
আমি এইবার প্রস্তাব করছি একটি "প্রমাণ-ভিত্তিক ম্যারাথন"-এর মতো কিছু ব্যবস্থা করার জন্য যে সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য যা নবম-গ্রেডারের জন্য গণিতের GIA-এর ভেরিয়েন্টগুলিতে দেওয়া হয়। তারা সহজ প্রমাণের সাথে সংযুক্ত, কিন্তু একই সময়ে খুব দরকারী জ্যামিতিক তথ্য. নিবন্ধটি ইচ্ছাকৃতভাবে সমস্যার বিস্তারিত সমাধান প্রদান করে না, শুধুমাত্র কিছু রূপরেখা এবং টিপস। এই ম্যারাথন দূরত্বটি নিজেরাই, ভুল ছাড়া এবং এক সেটে অতিক্রম করার চেষ্টা করুন।
কার্যক্রম 1.প্রমাণ কর যে সন্নিহিত কোণের দ্বিখণ্ডকগুলি লম্ব।
কোণ α একটি চাপ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, β দুটি দ্বারা
প্রমাণ:এটা চিত্র থেকে স্পষ্ট যে α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (চ্যাপ্টা কোণ), অতএব, α + β = 90 0 . Q.E.D.
টাস্ক 2।দুটি সেগমেন্ট এসিএবং বিডিএকটি বিন্দুতে ছেদ করুন ও, যা তাদের প্রত্যেকের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে ত্রিভুজ সমান এসিডিএবং ট্যাক্সি.
ABCD, অবশ্যই, একটি সমান্তরালগ্রাম হবে, কিন্তু এটি শর্তে দেওয়া হয় না
প্রমাণ:বাহু ত্রিভুজ দুটি বাহুর সমান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ ( বিও = OD- শর্ত অনুসারে, AO = ওসি— শর্ত অনুসারে, ∠ DOC = ∠AOB- উল্লম্ব), অর্থাৎ, ∠ এসিডি = ∠ট্যাক্সি, এবং যেহেতু তারা লাইনের নিচে ক্রস-শুয়ে আছে এবি, সিডিএবং সেক্যান্ট এসি, তারপর এবিসমান্তরাল ডিসি. একইভাবে, আমরা রেখাগুলির সমান্তরালতা প্রমাণ করি বিসিএবং বিজ্ঞাপন.তাই, এ বি সি ডিসংজ্ঞা দ্বারা একটি সমান্তরালগ্রাম। বিসি = বিজ্ঞাপন, এবি = সিডি(একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুগুলি সমান) এসি- ত্রিভুজের জন্য সাধারণ এসিডিএবং ট্যাক্সি, তাই তারা তিন দিকে সমান। Q.E.D.
টাস্ক 3।প্রমাণ করুন যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তির দিকে আঁকা মধ্যমাটি ভিত্তিটির বিপরীত কোণের দ্বিখণ্ডক এবং এটি ভিত্তিটির সাথে লম্বও।
মধ্যমা এবং ভিত্তি দ্বারা গঠিত কোণগুলিকে "নিম্ন" বলা হবে, মধ্যমা এবং বাহুগুলি - "উপরের"
প্রমাণ:চিত্রের পার্শ্ব ত্রিভুজগুলি তিনটি বাহুর সমান, যা সমতা বোঝায়, প্রথমত, "উপরের" কোণগুলির (প্রমাণিত যে দ্বিখণ্ডক), এবং দ্বিতীয়ত, "নিম্ন" কোণগুলির, মোট সংলগ্ন হিসাবে 180 0 , এবং তাই সমান 90 0 প্রতিটি (লম্বতা প্রমাণিত)। Q.E.D.
টাস্ক 4।প্রমাণ করুন যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহুতে আঁকা মধ্যমা সমান।
মূল ত্রিভুজের বাহুর মধ্যক, ভিত্তি এবং নীচের অংশগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজগুলিকে "নিম্ন" বলা হবে
প্রমাণ:একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের গোড়ার কোণগুলি সমান, তাই "নিম্ন" ত্রিভুজ দুটি বাহুর সমান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ, যা অঙ্কিত মধ্যকার সমতা বোঝায়। Q.E.D.
টাস্ক 5।প্রমাণ কর যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তির শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত দ্বিখন্ডগুলি সমান।
চিত্রে চিহ্নিত সমস্ত কোণ অবশ্যই সমান, যদিও সেগুলি বিভিন্ন আর্ক দ্বারা নির্দেশিত।
প্রমাণ:"নিম্ন" ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, যা তার গোড়ায় কোণগুলির সমতা থেকে অনুসরণ করে, "পার্শ্ব" ত্রিভুজগুলি পাশে সমান (উপরে প্রমাণিত দ্বিখণ্ডকগুলির কণা থেকে সমান) এবং দুটি কোণ (প্রথমটি শর্ত অনুসারে সমান) , দ্বিতীয়টি উল্লম্ব হিসাবে), তাই দ্বিখণ্ডকগুলির অবশিষ্ট কণাগুলিও একে অপরের সমান, যার অর্থ হল দ্বিখণ্ডকগুলি সম্পূর্ণরূপে সমান। Q.E.D.
টাস্ক 6।প্রমাণ করুন যে একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযোগকারী রেখাখণ্ডের দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর অর্ধেক সমান।
আমরা পরিষ্কার দিকগুলিকে "বেস" বলি, আড়াআড়ি দিকগুলি - "পার্শ্ব"
প্রমাণ:চিত্রে ছোট এবং বড় ত্রিভুজের বাহুগুলি 1: 2 হিসাবে সম্পর্কিত, উপরন্তু, তাদের একটি সাধারণ কোণ রয়েছে, যার মানে তারা 1: 2 এর সাদৃশ্য সহগ সহ দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যে একই রকম, তাই, ভিত্তিগুলি হল 1:2 হিসাবে সম্পর্কিত। যা প্রমাণ করার প্রয়োজন ছিল।
টাস্ক 7।প্রমাণ করুন যে সমান্তরালগ্রামের কর্ণ দুটি সমান ত্রিভুজে বিভক্ত।
একটি তির্যক সহ একটি সমান্তরালগ্রাম, সম্ভবত যোগ করার আর কিছুই নেই
প্রমাণ:একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহুগুলি সমান, তির্যকটি এই ত্রিভুজের জন্য একটি সাধারণ বাহু, তাই তারা তিনটি বাহুর সমান। Q.E.D.
টাস্ক 8।প্রমাণ করুন যে কর্ণের দিকে আঁকা একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যক অর্ধেক কর্ণের সমান।
অন্য কথায়, মধ্যকটি সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা হয়
প্রমাণ:যদি একটি প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজের চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা হয়, তবে এই বৃত্তে খোদিত ত্রিভুজের সমকোণটি একটি অর্ধবৃত্ত দ্বারা বর্ণিত হবে, তাই কর্ণের ব্যাস হবে এই বৃত্তের, এবং কর্ণের অর্ধাংশ এবং আমাদের প্রবলেম দেওয়া মধ্যমা radii হবে, তাই তারা সবাই সমান। Q.E.D.
টাস্ক 9।প্রমাণ করুন যে একটি বিন্দু থেকে বৃত্তে টানা স্পর্শকগুলির অংশগুলি সমান।
অতিরিক্ত নির্মাণ: পয়েন্ট C এর সাথে O বিন্দুর সাথে সংযোগ করুন (মানসিকভাবে)
প্রমাণ:কোণ খএবং কসরলরেখা (সুইং পয়েন্টে টানা বৃত্তের ব্যাসার্ধ স্পর্শকগুলির সাথে লম্ব), তারপর সমকোণী ত্রিভুজ এওসিএবং বিওসিকর্ণের সমান (তাদের জন্য একটি সাধারণ কাল্পনিক দিক ওসি) এবং পা (বৃত্ত ব্যাসার্ধ ওবি = OA), যার অর্থ এসি = সিবি. Q.E.D.
টাস্ক 10।প্রমাণ কর যে বৃত্তের জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া ব্যাসটি তার লম্ব।
চিত্রের দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী রেখাটি ত্রিভুজের মধ্যক যা আমরা বিবেচনা করব।
প্রমাণ:একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে একটি জ্যার ছেদ বিন্দু দ্বারা গঠিত, চিত্রিত মধ্যকটি হবে উচ্চতা, যার মানে এই উচ্চতা ধারণকারী ব্যাসটি জ্যাটির লম্ব। Q.E.D.
টাস্ক 11।প্রমাণ করুন যে যদি দুটি বৃত্তের একটি সাধারণ জ্যা থাকে, তবে এই বৃত্তগুলির কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটি প্রদত্ত জ্যাটির সাথে লম্ব।
আমরা মানসিকভাবে চিত্রে চিহ্নিত সমস্ত বিন্দুকে একসাথে সংযুক্ত করি, আমরা অনুভূমিক এবং উল্লম্ব H এর ছেদ বিন্দুকে বলব।
প্রমাণ:ত্রিভুজ ও 1 AO 2 এবং ও 1 বিও 2 তিন দিকে সমান, তাই ∠ HO 2 ক = ∠HO 2 খ, তারপর ত্রিভুজ HAO 2 এবং এইচবিও 2 দুটি বাহুর সমান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ, তাই ∠ AHO 2 = ∠বিএইচও 2 , এবং দুটি সমান কোণের সমষ্টি 180 0 দিতে পারে যদি তাদের প্রতিটি 90 0 এর সমান হয়। Q.E.D.
টাস্ক 12।প্রমাণ করুন যে যদি একটি বৃত্ত চতুর্ভুজে খোদাই করা যায়, তাহলে তার বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল সমান।
বর্ণিত চতুর্ভুজ। একে ABCD বলি। M, E, X এবং L যোগাযোগের বিন্দু হতে দিন
প্রমাণ:আমরা স্পর্শক সেগমেন্ট উপপাদ্য ব্যবহার করি (সমস্যা 9)। ভিসি = ভিআর, এসআর = সিএইচ, ডিএক্স = ডিএলএবং AT = এ.কে. পক্ষের যোগফল এবিএবং সিডি: এবি + সিডি= (এএম+ এমবি) + (ডিএক্স+ এক্সসি) = এ.এল+ থাকা+ ডিএল+ সিই= (এ.এল+ এলডি) + (থাকা+ ই ইউ) = বিজ্ঞাপন+ বিসি। Q.E.D.
টাস্ক 13।প্রমাণ করুন যে যদি একটি বৃত্তকে একটি চতুর্ভুজের চারপাশে পরিক্রমা করা যায়, তাহলে এর বিপরীত কোণের যোগফল সমান।
পরিক্রমা বৃত্ত
প্রমাণ:খোদাই করা কোণ উপপাদ্য দ্বারা, এই চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের যোগফল হল 180 0, যেহেতু তারা একসাথে একটি পূর্ণ বৃত্তের উপর ভিত্তি করে, যার মাত্রা পরিমাপ 360 0। Q.E.D.
টাস্ক 14।প্রমাণ করুন যে যদি একটি বৃত্তকে একটি ট্র্যাপিজয়েডের কাছাকাছি ঘোরা যায়, তবে ট্র্যাপিজয়েডটি সমদ্বিবাহু।
প্রমাণ:একটি বৃত্তে উৎকীর্ণ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি α + β = 180 0 (সমস্যা 13 দেখুন), ট্র্যাপিজয়েডের পার্শ্বীয় দিকের কোণের সমষ্টিও α + γ \u003d 180 0 (এই কোণগুলি সমান্তরাল ভিত্তিগুলির সাথে একতরফা এবং একটি সেকেন্ট পার্শ্বীয় দিক), এই সূত্রগুলির তুলনা থেকে আমরা এটি পাই β = γ , অর্থাৎ, এই ধরনের ট্র্যাপিজয়েডের গোড়ার কোণগুলি সমান এবং এটি প্রকৃতপক্ষে সমদ্বিবাহু। Q.E.D.
টাস্ক 15।বর্গক্ষেত্র এ বি সি ডিপয়েন্ট প্রতিএবং ই- পক্ষের মধ্যবিন্দু এবিএবং বিজ্ঞাপনযথাক্রমে প্রমাণ কর যে কেডিখাড়া সিই.
দুটি কোণকে সন্নিহিত বলা হয় যদি তাদের একটি বাহু মিল থাকে এবং এই কোণের অন্য বাহুগুলি সম্পূরক রশ্মি হয়। চিত্র 20-এ, AOB এবং BOC কোণগুলি সন্নিহিত।
সন্নিহিত কোণের সমষ্টি হল 180°
উপপাদ্য 1. সন্নিহিত কোণের সমষ্টি হল 180°।
প্রমাণ। OB মরীচি (চিত্র 1 দেখুন) উন্নত কোণের পাশের মধ্য দিয়ে যায়। এই জন্য ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.
উপপাদ্য 1 থেকে এটি অনুসরণ করে যে দুটি কোণ সমান হলে, তাদের সংলগ্ন কোণগুলি সমান।
উল্লম্ব কোণগুলি সমান
দুটি কোণকে উল্লম্ব বলা হয় যদি একটি কোণের বাহু অন্য কোণের বাহুর পরিপূরক রশ্মি হয়। দুটি সরল রেখার সংযোগস্থলে গঠিত AOB এবং COD, BOD এবং AOC কোণগুলি উল্লম্ব (চিত্র 2)।
উপপাদ্য 2. উল্লম্ব কোণগুলি সমান।
প্রমাণ। উল্লম্ব কোণ AOB এবং COD বিবেচনা করুন (চিত্র 2 দেখুন)। কোণ BOD প্রতিটি কোণ AOB এবং COD এর সংলগ্ন। উপপাদ্য 1 দ্বারা, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°।
তাই আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে ∠ AOB = ∠ COD।
সমকোণ 1. সমকোণ সংলগ্ন একটি কোণ একটি সমকোণ।
দুটি ছেদকারী সরলরেখা AC এবং BD বিবেচনা করুন (চিত্র 3)। তারা চার কোণ গঠন করে। যদি তাদের একটি সঠিক হয় (চিত্র 3 এ কোণ 1), তবে অন্যান্য কোণগুলিও সঠিক (কোণ 1 এবং 2, 1 এবং 4 সংলগ্ন, কোণ 1 এবং 3 উল্লম্ব)। এই ক্ষেত্রে, এই রেখাগুলিকে সমকোণে ছেদ করতে বলা হয় এবং বলা হয় লম্ব (বা পারস্পরিক লম্ব)। AC এবং BD রেখাগুলির লম্বতা নিম্নরূপ নির্দেশিত হয়: AC ⊥ BD।
একটি রেখাংশের লম্ব দ্বিখণ্ডক হল একটি রেখা যা এই অংশের লম্ব এবং এর মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে।
AN - রেখার লম্ব
একটি লাইন a এবং একটি বিন্দু A বিবেচনা করুন যে এটিতে পড়ে না (চিত্র 4)। একটি সরলরেখা a দিয়ে H বিন্দুতে একটি সেগমেন্ট সহ বিন্দু Aকে সংযুক্ত করুন। রেখা AN এবং a লম্ব হলে A বিন্দু থেকে রেখা পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বকে AH বলে। H বিন্দুটিকে লম্বের ভিত্তি বলা হয়।
অঙ্কন বর্গক্ষেত্র
নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি সত্য।
উপপাদ্য 3. যেকোন বিন্দু থেকে যেটি একটি রেখার উপর থাকে না, কেউ এই রেখায় একটি লম্ব আঁকতে পারে এবং উপরন্তু, শুধুমাত্র একটি।
অঙ্কনে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় একটি লম্ব আঁকতে, একটি অঙ্কন বর্গ ব্যবহার করা হয় (চিত্র 5)।
মন্তব্য করুন। উপপাদ্যের বিবৃতি সাধারণত দুটি অংশ নিয়ে গঠিত। একটি অংশ যা দেওয়া হয় তা নিয়ে কথা বলে। এই অংশটিকে উপপাদ্যের অবস্থা বলা হয়। অন্য অংশ কি প্রমাণ করা প্রয়োজন সে সম্পর্কে কথা বলে. এই অংশটিকে উপপাদ্যের উপসংহার বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, উপপাদ্য 2-এর শর্তটি হল উল্লম্ব কোণ; উপসংহার - এই কোণগুলি সমান।
যেকোন উপপাদ্যটি শব্দে বিস্তারিতভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যাতে এর অবস্থা "যদি" শব্দ দিয়ে শুরু হয় এবং "তারপর" শব্দ দিয়ে শেষ হয়। উদাহরণ স্বরূপ, উপপাদ্য 2কে নিম্নরূপ বিস্তারিতভাবে বলা যেতে পারে: "যদি দুটি কোণ উল্লম্ব হয়, তাহলে তারা সমান।"
উদাহরণ 1সন্নিহিত কোণগুলির একটি হল 44°। অন্য কি সমান?
সমাধান।
অন্য কোণের ডিগ্রী পরিমাপকে x দ্বারা চিহ্নিত করুন, তারপর উপপাদ্য 1 অনুসারে।
44° + x = 180°।
ফলস্বরূপ সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা পাই যে x \u003d 136 °। অতএব, অন্য কোণ হল 136°।
উদাহরণ 2চিত্র 21-এর COD কোণটি 45° হতে দিন। AOB এবং AOC কোণ কি?
সমাধান।
কোণ COD এবং AOB উল্লম্ব, অতএব, উপপাদ্য 1.2 দ্বারা তারা সমান, যেমন, ∠ AOB = 45°। কোণ AOC কোণ COD এর সংলগ্ন, তাই, উপপাদ্য 1 দ্বারা।
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°।
উদাহরণ 3সন্নিহিত কোণগুলি সন্ধান করুন যদি তাদের একটি অন্যটির 3 গুণ হয়।
সমাধান।
x দ্বারা ছোট কোণের ডিগ্রি পরিমাপ নির্দেশ করুন। তাহলে বড় কোণের ডিগ্রি পরিমাপ হবে Zx। যেহেতু সন্নিহিত কোণের যোগফল 180° (উপাদ্য 1), তারপর x + 3x = 180°, যেখান থেকে x = 45°।
সুতরাং সন্নিহিত কোণগুলি হল 45° এবং 135°৷
উদাহরণ 4দুটি উল্লম্ব কোণের যোগফল 100°। চারটি কোণের প্রতিটির মান নির্ণয় কর।
সমাধান।
চলুন চিত্র 2 সমস্যাটির অবস্থার সাথে মিলে যায়। উল্লম্ব কোণ COD থেকে AOB সমান (থিওরেম 2), যার মানে তাদের ডিগ্রি পরিমাপও সমান। অতএব, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (তাদের যোগফল শর্ত অনুসারে 100°)। কোণ BOD (এছাড়াও কোণ AOC) কোণ COD এর সংলগ্ন, এবং তাই, উপপাদ্য 1 দ্বারা
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°।
জ্যামিতি একটি পৃথক বিষয় হিসাবে 7 ম শ্রেণীতে স্কুলছাত্রীদের সাথে শুরু হয়। সেই সময় পর্যন্ত, তারা মোটামুটি হালকা আকারের জ্যামিতিক সমস্যাগুলির সাথে মোকাবিলা করেছিল এবং মূলত যা দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণগুলিতে দেখা যায়: একটি ঘরের ক্ষেত্রফল, একটি জমির প্লট, কক্ষের দেয়ালের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা, সমতল বস্তু, এবং তাই জ্যামিতি নিজেই অধ্যয়নের শুরুতে, প্রথম অসুবিধাগুলি উপস্থিত হয়, যেমন, উদাহরণস্বরূপ, একটি সরল রেখার ধারণা, যেহেতু আপনার হাত দিয়ে এই সরল রেখাটিকে স্পর্শ করা সম্ভব নয়। ত্রিভুজগুলির জন্য, এটি হল সবচেয়ে সহজ ধরনের বহুভুজ, যেখানে শুধুমাত্র তিনটি কোণ এবং তিনটি বাহু রয়েছে।
সঙ্গে যোগাযোগ
সহপাঠী
ত্রিভুজ বিষয় প্রধান এক গুরুত্বপূর্ণএবং জ্যামিতি গ্রেড 7-9-এ স্কুল পাঠ্যক্রমের বড় বিষয়। এটি ভালভাবে আয়ত্ত করার পরে, খুব জটিল সমস্যাগুলি সমাধান করা সম্ভব। এই ক্ষেত্রে, আপনি প্রাথমিকভাবে একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন জ্যামিতিক চিত্র বিবেচনা করতে পারেন, এবং তারপর সুবিধার জন্য উপযুক্ত ত্রিভুজাকার অংশে বিভক্ত করতে পারেন।
সমতার প্রমাণে কাজ করা ∆ ABCএবং ∆A1B1C1আপনাকে পরিসংখ্যানের সমতার লক্ষণগুলি ভালভাবে আয়ত্ত করতে হবে এবং সেগুলি ব্যবহার করতে সক্ষম হতে হবে। লক্ষণগুলি অধ্যয়ন করার আগে, আপনাকে শিখতে হবে সমতা সংজ্ঞায়িত করুনসরল বহুভুজের বাহু এবং কোণ।
ত্রিভুজগুলির কোণগুলি সমান তা প্রমাণ করতে, নিম্নলিখিত বিকল্পগুলি সাহায্য করবে:
- ∠ α = ∠ β পরিসংখ্যান নির্মাণের উপর ভিত্তি করে।
- অ্যাসাইনমেন্টে দেওয়া হয়েছে।
- দুটি সমান্তরাল রেখা এবং একটি সেকেন্টের উপস্থিতি সহ, অভ্যন্তরীণ ক্রস-লাইং এবং সংশ্লিষ্ট ∠ α = ∠ β উভয়ই গঠিত হতে পারে।
- (থেকে) ∠ α = ∠ β সমান কোণে যোগ (বিয়োগ) করে।
- সর্বদা অনুরূপ উল্লম্ব ∠ α এবং ∠ β
- সাধারণ ∠ α, একই সাথে এর অন্তর্গত ∆MNKএবং ∆MNH .
- দ্বিখণ্ডকটি ∠ α কে দুটি সমতুল্য ভাগে ভাগ করে।
- নিকটে ∠ 90°- মূলের সমান কোণ।
- সন্নিহিত সমান কোণগুলি সমান।
- উচ্চতা দুটি সংলগ্ন গঠন করে ∠ 90° .
- সমদ্বিবাহু মধ্যে ∆MNKবেসে ∠ α = ∠ β।
- সমান ∆MNKএবং ∆SDHঅনুরূপ ∠α = ∠β।
- পূর্বে প্রমাণিত সমতা ∆MNKএবং ∆SDH .
এটি আকর্ষণীয়: একটি ত্রিভুজের পরিধি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়।
ত্রিভুজের সমতার 3টি চিহ্ন
সমতা প্রমাণ ∆ ABCএবং ∆A1B1C1মৌলিক উপর ভিত্তি করে উত্পাদন খুব সুবিধাজনক লক্ষণএই সহজ বহুভুজের পরিচয়। এরকম তিনটি লক্ষণ আছে। অনেক জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানে এগুলো খুবই গুরুত্বপূর্ণ। প্রতিটি এক বিবেচনা মূল্য.
উপরে তালিকাভুক্ত চিহ্নগুলি উপপাদ্য এবং একটি চিত্র অন্যটির উপর আরোপ করার পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণিত হয়, সংশ্লিষ্ট কোণগুলির শীর্ষবিন্দু এবং রশ্মির শুরুতে সংযোগ স্থাপন করে। 7 ম গ্রেডে ত্রিভুজগুলির সমতার প্রমাণগুলি খুব অ্যাক্সেসযোগ্য আকারে বর্ণনা করা হয়েছে, তবে স্কুলছাত্রীদের জন্য অনুশীলনে অধ্যয়ন করা কঠিন, কারণ এতে বড় সংখ্যক ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত উপাদান রয়েছে। বিষয়ের অধ্যয়নের শুরুর সময় অনেক শিক্ষার্থীর পক্ষে এটি খুব স্বাভাবিক নয়। কিশোররা বাহু, রশ্মি, কোণের নামে বিভ্রান্ত হয়।
একটু পরে, আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় "ত্রিভুজের সাদৃশ্য" উপস্থিত হয়। জ্যামিতিতে "সাদৃশ্য" এর খুব সংজ্ঞা মানে আকৃতির মিলবিভিন্ন আকারের সঙ্গে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি দুটি বর্গক্ষেত্র নিতে পারেন, প্রথমটি 4 সেন্টিমিটার এবং দ্বিতীয়টি 10 সেমি। এই ধরণের চতুর্ভুজগুলি একই রকম হবে এবং একই সময়ে, একটি পার্থক্য থাকবে, যেহেতু দ্বিতীয়টি বড় হবে এবং প্রতিটি পাশ একই সংখ্যক বার দ্বারা প্রসারিত হয়।
মিলের বিষয়টি বিবেচনায়, 3টি লক্ষণও দেওয়া হয়েছে:
- প্রথমটি বিবেচনাধীন দুটি ত্রিভুজাকার চিত্রের প্রায় দুটি অনুরূপভাবে সমান কোণ।
- দ্বিতীয়টি কোণ এবং এটি গঠনকারী পক্ষগুলি সম্পর্কে। ∆MNK, যা সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সমান ∆SDH .
- তৃতীয় - দুটি পছন্দসই পরিসংখ্যানের সমস্ত সংশ্লিষ্ট পক্ষের সমানুপাতিকতা নির্দেশ করে।
আপনি কিভাবে প্রমাণ করতে পারেন যে ত্রিভুজগুলি একই রকম? উপরের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করা এবং কার্যটি প্রমাণ করার সম্পূর্ণ প্রক্রিয়াটি সঠিকভাবে বর্ণনা করা যথেষ্ট। সাদৃশ্য থিম ∆MNKএবং ∆SDHএটি অধ্যয়ন করার সময়, শিক্ষার্থীরা ইতিমধ্যেই অবাধে জ্যামিতিক নির্মাণের উপাদানগুলির উপাধি ব্যবহার করে, বিপুল সংখ্যক নামে বিভ্রান্ত হয় না এবং অঙ্কনগুলি কীভাবে পড়তে হয় তার ভিত্তিতে স্কুলছাত্রীদের দ্বারা উপলব্ধি করা সহজ।
ত্রিভুজাকার জ্যামিতিক আকারের বিস্তৃত বিষয়ের উত্তরণ সম্পূর্ণ করে, শিক্ষার্থীদের ইতিমধ্যেই পুরোপুরি জানা উচিত কিভাবে সমতা প্রমাণ করতে হয় ∆MNK = ∆SDHদুই পাশে, দুটি ত্রিভুজ সমান বা না সেট করুন। ঠিক তিনটি কোণ সহ একটি বহুভুজ হল সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক চিত্রগুলির মধ্যে একটি বিবেচনা করে, উপাদানটির আত্তীকরণকে গুরুত্ব সহকারে নেওয়া উচিত, এমনকি তত্ত্বের ক্ষুদ্রতম তথ্যের দিকেও বিশেষ মনোযোগ দেওয়া উচিত।
