>>ম্যাট্রিক্স র‍্যাঙ্ক

ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণ করা

একটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন। যদি এই ম্যাট্রিক্সে আমরা নির্বিচারে নির্বাচন করি kলাইন এবং kকলাম, তারপর নির্বাচিত সারি এবং কলামগুলির সংযোগস্থলে থাকা উপাদানগুলি kth ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তৈরি করে। এই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারককে বলা হয় k-ম অর্ডার ছোটম্যাট্রিক্স A. স্পষ্টতই, ম্যাট্রিক্স A-তে 1 থেকে m এবং n সংখ্যাগুলির মধ্যে ক্ষুদ্রতম পর্যন্ত যেকোনো ক্রমে অপ্রাপ্তবয়স্ক রয়েছে। ম্যাট্রিক্স A-এর সমস্ত অ-শূন্য অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে, অন্তত একজন নাবালক আছে যার ক্রমটি সবচেয়ে বড়। প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের অপ্রাপ্তবয়স্কদের অ-শূন্য ক্রমগুলির মধ্যে বৃহত্তমটিকে বলা হয় পদমর্যাদাম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স A এর র‍্যাঙ্ক হলে r, তাহলে এর মানে হল যে ম্যাট্রিক্স A-এর ক্রম-শূন্য একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক আছে r, কিন্তু অর্ডারের প্রতিটি ছোট এর চেয়ে বেশি r, শূন্য সমান। একটি ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ক r(A) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটা স্পষ্ট যে সম্পর্ক

অপ্রাপ্তবয়স্কদের ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক গণনা করা হচ্ছে

একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক নাবালকদের সীমানার পদ্ধতি বা প্রাথমিক রূপান্তরের পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়। প্রথম উপায়ে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক গণনা করার সময়, একজনকে নিম্নক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের থেকে উচ্চ ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের কাছে পাস করা উচিত। যদি ম্যাট্রিক্স A-এর kth ক্রমটির একটি অ-শূন্য মাইনর ডি পাওয়া যায়, তবে শুধুমাত্র (k + 1) তম ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক D-এর সীমানা গণনা করা আবশ্যক, যেমন একটি নাবালক হিসাবে এটি ধারণকারী. যদি তারা সব শূন্য হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক k.

উদাহরণ 1অপ্রাপ্তবয়স্কদের বর্ডারিং পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

.

সমাধান।আমরা 1ম আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের সাথে শুরু করি, যেমন ম্যাট্রিক্স A-এর উপাদানগুলি থেকে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম সারি এবং প্রথম কলামে অবস্থিত ক্ষুদ্র (উপাদান) М 1 = 1 বেছে নেওয়া যাক। দ্বিতীয় সারি এবং তৃতীয় কলামের সাহায্যে সীমানা দেওয়া, আমরা ক্ষুদ্র M 2 = প্রাপ্ত করি, যা শূন্য থেকে আলাদা। আমরা এখন M 2 এর সীমান্তবর্তী 3য় আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের দিকে ফিরে যাই। তাদের মধ্যে শুধুমাত্র দুটি আছে (আপনি একটি দ্বিতীয় কলাম বা একটি চতুর্থ যোগ করতে পারেন)। আমরা তাদের গণনা করি: = 0. এইভাবে, তৃতীয় আদেশের সমস্ত সীমানা নাবালক শূন্যের সমান হয়ে উঠেছে। ম্যাট্রিক্স A এর র‍্যাঙ্ক দুটি।

প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক গণনা করা

প্রাথমিকনিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স রূপান্তর বলা হয়:

1) যেকোনো দুটি সারি (বা কলাম) এর স্থানান্তর,

2) একটি সারি (বা কলাম) একটি অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ করা,

3) একটি সারিতে (বা কলাম) অন্য সারি (বা কলাম) যোগ করে কিছু সংখ্যা দিয়ে গুণ করা।

দুটি ম্যাট্রিক্স বলা হয় সমতুল্য, যদি তাদের একটি প্রাথমিক রূপান্তরের একটি সীমিত সেটের সাহায্যে অন্যটি থেকে প্রাপ্ত হয়।

সমতুল্য ম্যাট্রিক্স, সাধারণভাবে বলতে গেলে, সমান নয়, কিন্তু তাদের পদমর্যাদা সমান। যদি ম্যাট্রিক্স A এবং B সমতুল্য হয়, তাহলে এটি নিম্নরূপ লেখা হয়: A~ খ.

ক্যানোনিকালএকটি ম্যাট্রিক্স হল এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার মূল কর্ণের শুরুতে একটি সারিতে বেশ কয়েকটি 1s রয়েছে (যার সংখ্যা শূন্য হতে পারে), এবং অন্যান্য সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান, উদাহরণস্বরূপ,

.

সারি এবং কলামের প্রাথমিক রূপান্তরের সাহায্যে, যেকোন ম্যাট্রিক্সকে একটি ক্যানোনিকাল হিসাবে কমিয়ে আনা যায়। একটি ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার প্রধান কর্ণের সংখ্যার সমান।

উদাহরণ 2একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

ক =

এবং এটি ক্যানোনিকাল ফর্মে আনুন।

সমাধান।দ্বিতীয় সারি থেকে প্রথম সারি বিয়োগ করুন এবং এই সারিগুলি পুনরায় সাজান:

.

এখন, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারি থেকে, যথাক্রমে 2 এবং 5 দ্বারা গুণিত প্রথমটি বিয়োগ করুন:

;

তৃতীয় সারি থেকে প্রথমটি বিয়োগ করুন; আমরা ম্যাট্রিক্স পেতে

খ = ,

যা ম্যাট্রিক্স A এর সমতুল্য, যেহেতু এটি প্রাথমিক রূপান্তরের একটি সীমিত সেট ব্যবহার করে এটি থেকে প্রাপ্ত হয়। স্পষ্টতই, ম্যাট্রিক্স B-এর র‍্যাঙ্ক হল 2, এবং তাই r(A)=2। ম্যাট্রিক্স B কে সহজে ক্যানোনিকাল এ হ্রাস করা যেতে পারে। প্রথম কলামটি বিয়োগ করে, উপযুক্ত সংখ্যা দ্বারা গুণ করে, পরবর্তী সমস্তগুলি থেকে, আমরা প্রথমটি ব্যতীত প্রথম সারির সমস্ত উপাদানকে শূন্যে পরিণত করি এবং অবশিষ্ট সারির উপাদানগুলি পরিবর্তন হয় না। তারপরে, দ্বিতীয় কলামটি বিয়োগ করে, যথাযথ সংখ্যা দ্বারা গুণিত করে, পরবর্তী সমস্তগুলি থেকে, আমরা দ্বিতীয়টি ব্যতীত দ্বিতীয় সারির সমস্ত উপাদানকে শূন্যে পরিণত করি এবং ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্স পাই:

.

যেকোনো ম্যাট্রিক্স কআদেশ m×nসংগ্রহ হিসাবে দেখা যেতে পারে মিসারি ভেক্টর বা nকলাম ভেক্টর

পদমর্যাদাম্যাট্রিক্স কআদেশ m×nরৈখিকভাবে স্বাধীন কলাম ভেক্টর বা সারি ভেক্টরের সর্বাধিক সংখ্যা।

ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হলে কসমান r, তারপর লেখা আছে:

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খোঁজা

দিন কনির্বিচারে আদেশ ম্যাট্রিক্স মি× n. একটি ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক খুঁজে বের করতে কএটিতে গাউসিয়ান নির্মূল পদ্ধতি প্রয়োগ করুন।

মনে রাখবেন যে যদি নির্মূলের কিছু পর্যায়ে অগ্রণী উপাদানটি শূন্যের সমান হয়, তাহলে আমরা প্রদত্ত স্ট্রিংটিকে সেই স্ট্রিংয়ের সাথে অদলবদল করি যেখানে অগ্রণী উপাদানটি শূন্য থেকে আলাদা। যদি দেখা যায় যে এই জাতীয় কোনও সারি নেই, তবে আমরা পরবর্তী কলামে চলে যাই এবং আরও অনেক কিছু।

গাউসিয়ান নির্মূলের অগ্রগতির পরে, আমরা একটি ম্যাট্রিক্স পাই যার মূল কর্ণের নীচের উপাদানগুলি শূন্যের সমান। এছাড়াও, নাল সারি ভেক্টর থাকতে পারে।

নন-জিরো সারি ভেক্টরের সংখ্যা ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হবে ক.

আসুন সহজ উদাহরণ দিয়ে এই সব তাকান.

উদাহরণ 1

প্রথম সারিটিকে 4 দ্বারা গুণ করা এবং দ্বিতীয় সারিতে যোগ করা এবং প্রথম সারিটিকে 2 দ্বারা গুণ করা এবং তৃতীয় সারিতে যোগ করা আমাদের আছে:

দ্বিতীয় সারিটিকে -1 দ্বারা গুণ করুন এবং তৃতীয় সারিতে যোগ করুন:

আমরা দুটি অ-শূন্য সারি পেয়েছি এবং তাই, ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 2।

উদাহরণ 2

নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন:

প্রথম সারিটিকে -2 দ্বারা গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সারিতে যোগ করুন। একইভাবে, প্রথম কলামের তৃতীয় এবং চতুর্থ সারির উপাদানগুলিকে শূন্যে সেট করুন:

দ্বিতীয় কলামের তৃতীয় এবং চতুর্থ সারির উপাদানগুলিকে -1 সংখ্যা দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় সারিতে সংশ্লিষ্ট সারিগুলি যোগ করে পুনরায় সেট করি।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক একটি গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য। ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজার জন্য সবচেয়ে সাধারণ সমস্যা হল রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি সিস্টেমের সামঞ্জস্যতা পরীক্ষা করা। এই নিবন্ধে, আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের ধারণা দেব এবং এটি খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলি বিবেচনা করব। উপাদানটির আরও ভাল আত্তীকরণের জন্য, আমরা কয়েকটি উদাহরণের সমাধানগুলি বিশদভাবে বিশ্লেষণ করব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

একটি ম্যাট্রিক্সের পদ নির্ধারণ এবং প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত ধারণা।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সংজ্ঞাটি বলার আগে, একজনের একটি নাবালকের ধারণা সম্পর্কে ভাল ধারণা থাকা উচিত এবং একটি ম্যাট্রিক্সের অপ্রাপ্তবয়স্কদের খুঁজে বের করা নির্ধারক গণনা করার ক্ষমতা বোঝায়। তাই আমরা সুপারিশ করি, যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধের তত্ত্ব, ম্যাট্রিক্স নির্ধারক, নির্ধারকের বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করার পদ্ধতিগুলি স্মরণ করার জন্য।

অর্ডারের একটি ম্যাট্রিক্স A নিন। ধরা যাক k হল এমন কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা যা m এবং n সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বেশি নয়, অর্থাৎ, .

সংজ্ঞা।

গৌণ k-তম আদেশম্যাট্রিক্স A হল অর্ডারের বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক, ম্যাট্রিক্স A এর উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত, যা পূর্ব-নির্বাচিত k সারি এবং k কলামে থাকে এবং ম্যাট্রিক্স A-এর উপাদানগুলির অবস্থান সংরক্ষিত থাকে।

অন্য কথায়, যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A-তে (p–k) সারি এবং (n–k) কলামগুলি মুছে ফেলি এবং ম্যাট্রিক্স উপাদান A-এর বিন্যাস বজায় রেখে অবশিষ্ট উপাদানগুলি থেকে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি, তাহলে ফলাফল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হবে ম্যাট্রিক্স A-এর ক্রম k-এর একটি নাবালক।

আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স মাইনর এর সংজ্ঞা দেখি।

ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন .

আসুন আমরা এই ম্যাট্রিক্সের বেশ কয়েকটি প্রথম-ক্রম নাবালককে লিখি। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A-এর তৃতীয় সারি এবং দ্বিতীয় কলামটি বেছে নিই, তাহলে আমাদের পছন্দটি প্রথম-ক্রম নাবালকের সাথে মিলে যায়। . অন্য কথায়, এই গৌণটি পেতে, আমরা ম্যাট্রিক্স A থেকে প্রথম এবং দ্বিতীয় সারিগুলির পাশাপাশি প্রথম, তৃতীয় এবং চতুর্থ কলামগুলিকে অতিক্রম করেছি এবং অবশিষ্ট উপাদান থেকে নির্ধারক তৈরি করেছি। যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A এর প্রথম সারি এবং তৃতীয় কলামটি বেছে নিই, তাহলে আমরা একটি মাইনর পাব .

আসুন আমরা বিবেচিত প্রথম-ক্রম নাবালকদের প্রাপ্ত করার পদ্ধতিটি ব্যাখ্যা করি
এবং .

এইভাবে, একটি ম্যাট্রিক্সের প্রথম-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কগুলি হল ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি।

আমাদের দ্বিতীয় ক্রম কিছু নাবালক দেখান. দুটি সারি এবং দুটি কলাম নির্বাচন করুন। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি এবং তৃতীয় এবং চতুর্থ কলাম নিন। এই পছন্দের সাথে, আমাদের কাছে দ্বিতীয়-ক্রমের নাবালক আছে . ম্যাট্রিক্স A থেকে তৃতীয় সারি, প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম মুছে দিয়েও এই মাইনরটি তৈরি করা যেতে পারে।

ম্যাট্রিক্স A এর আরেকটি দ্বিতীয়-ক্রম মাইনর হল।

আসুন এই দ্বিতীয়-ক্রম নাবালকদের নির্মাণ চিত্রিত করা যাক
এবং .

ম্যাট্রিক্স A-এর তৃতীয় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের একইভাবে পাওয়া যাবে। যেহেতু ম্যাট্রিক্স A-তে শুধুমাত্র তিনটি সারি আছে, আমরা সেগুলি সব নির্বাচন করি। যদি আমরা এই সারিগুলির জন্য প্রথম তিনটি কলাম নির্বাচন করি, তাহলে আমরা তৃতীয় ক্রমটির একটি ছোটো পাই

এটি ম্যাট্রিক্স A এর শেষ কলামটি মুছে দিয়েও তৈরি করা যেতে পারে।

আরেকটি তৃতীয় ক্রম নাবালক হয়

ম্যাট্রিক্স A এর তৃতীয় কলাম মুছে ফেলার মাধ্যমে প্রাপ্ত।

এখানে এই তৃতীয় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের নির্মাণ দেখানো একটি অঙ্কন আছে
এবং .

একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, তৃতীয়টির চেয়ে বেশি ক্রম নেই, যেহেতু।

অর্ডারের ম্যাট্রিক্স A-এর কয়টি k-th ক্রম নাবালক বিদ্যমান?

ক্রম k অপ্রাপ্তবয়স্কদের সংখ্যা হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, যেখানে এবং - যথাক্রমে p থেকে k এবং n থেকে k পর্যন্ত সংমিশ্রণের সংখ্যা।

n-এর উপর p অর্ডারের ম্যাট্রিক্স A-এর ক্রম k-এর সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক কীভাবে তৈরি করবেন?

আমাদের ম্যাট্রিক্স সারি সংখ্যার একটি সেট এবং কলাম সংখ্যার একটি সেট প্রয়োজন। সবকিছু রেকর্ডিং k দ্বারা p উপাদানগুলির সংমিশ্রণ(ক-এর একটি ছোটখাট ক্রম তৈরি করার সময় তারা ম্যাট্রিক্স A-এর নির্বাচিত সারিগুলির সাথে মিলে যাবে)। সারি সংখ্যার প্রতিটি সংমিশ্রণে, আমরা ক্রমানুসারে k কলাম সংখ্যা দ্বারা n উপাদানের সমস্ত সমন্বয় যোগ করি। ম্যাট্রিক্স A এর সারি সংখ্যা এবং কলাম সংখ্যার সংমিশ্রণের এই সেটগুলি k ক্রমের সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক রচনা করতে সহায়তা করবে।

একটা উদাহরণ নেওয়া যাক।

উদাহরণ।

ম্যাট্রিক্সের সমস্ত দ্বিতীয় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক খুঁজুন।

সমাধান।

যেহেতু মূল ম্যাট্রিক্সের ক্রম 3 বাই 3, তাহলে মোট দ্বিতীয়-ক্রম নাবালক হবে .

আসুন ম্যাট্রিক্স A: 1, 2 এর 3 থেকে 2টি সারি সংখ্যার সমস্ত সংমিশ্রণ লিখি; 1, 3 এবং 2, 3। 3 বাই 2 কলাম সংখ্যার সমস্ত সমন্বয় হল 1, 2; 1, 3 এবং 2, 3।

ম্যাট্রিক্স A এর প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি নিন। এই সারিগুলির জন্য প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম নির্বাচন করে, প্রথম এবং তৃতীয় কলাম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কলাম, আমরা যথাক্রমে, অপ্রাপ্তবয়স্কগুলি পাই

প্রথম এবং তৃতীয় সারির জন্য, কলামের অনুরূপ পছন্দ সহ, আমাদের আছে

এটি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারিতে প্রথম এবং দ্বিতীয়, প্রথম এবং তৃতীয়, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কলাম যোগ করার জন্য অবশেষ:

সুতরাং, ম্যাট্রিক্স A-এর দ্বিতীয় ক্রমে নয়টি অপ্রাপ্তবয়স্ক পাওয়া যায়।

এখন আমরা ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক নির্ধারণে এগিয়ে যেতে পারি।

সংজ্ঞা।

ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্কনন-জিরো ম্যাট্রিক্স মাইনর এর সর্বোচ্চ ক্রম।

ম্যাট্রিক্স A এর র‍্যাঙ্ককে Rank(A) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। আপনি Rg(A) বা Rang(A) উপাধিগুলিও দেখতে পারেন।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সংজ্ঞা এবং একটি ম্যাট্রিক্সের মাইনর থেকে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক শূন্যের সমান এবং একটি ননজিরো ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক কমপক্ষে একটি।

সংজ্ঞা অনুসারে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজা।

সুতরাং, ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক বের করার প্রথম পদ্ধতি হল ক্ষুদ্র গণনা পদ্ধতি. এই পদ্ধতিটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণের উপর ভিত্তি করে।

আমাদের একটি ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম খুঁজে বের করতে হবে।

সংক্ষেপে বর্ণনা অ্যালগরিদমঅপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনার পদ্ধতি দ্বারা এই সমস্যার সমাধান।

যদি শূন্য ব্যতীত কমপক্ষে একটি ম্যাট্রিক্স উপাদান থাকে, তবে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কটি কমপক্ষে একটির সমান হবে (যেহেতু একটি প্রথম-ক্রম মাইনর রয়েছে যা শূন্যের সমান নয়)।

এর পরে, আমরা দ্বিতীয় অর্ডারের অপ্রাপ্তবয়স্কদের উপর পুনরাবৃত্তি করি। যদি সমস্ত দ্বিতীয়-ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্যের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক একের সমান। যদি কমপক্ষে একটি নন-জিরো সেকেন্ড-অর্ডার মাইনর থাকে, তাহলে আমরা থার্ড-অর্ডার অপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনায় পাস করি এবং ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক কমপক্ষে দুইটির সমান।

একইভাবে, যদি সমস্ত তৃতীয়-ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্য হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল দুই। যদি কমপক্ষে একটি নন-জিরো থার্ড-অর্ডার নাবালক থাকে, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক কমপক্ষে তিন, এবং আমরা চতুর্থ-ক্রম নাবালকদের গণনার দিকে এগিয়ে যাই।

মনে রাখবেন যে একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক p এবং n-এর ক্ষুদ্রতম সীমা অতিক্রম করতে পারে না।

উদাহরণ।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন .

সমাধান।

যেহেতু ম্যাট্রিক্স অ-শূন্য, তাই এর র‌্যাঙ্ক একের কম নয়।

দ্বিতীয় আদেশের নাবালক শূন্য থেকে আলাদা, তাই, ম্যাট্রিক্স A-এর র‌্যাঙ্ক কমপক্ষে দুই। আমরা তৃতীয় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনা পাস. তাদের সবাই জিনিস

সমস্ত তৃতীয়-ক্রম নাবালক শূন্যের সমান। অতএব, ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল দুই।

উত্তর:

র‍্যাঙ্ক(A) = 2।

অপ্রাপ্তবয়স্কদের ফ্রিং করার পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজা।

একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজার জন্য অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে যা আপনাকে কম গণনামূলক কাজের ফলাফল পেতে দেয়।

এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হল ছোট পদ্ধতি fringing.

এর মোকাবেলা করা যাক একটি সীমান্তবর্তী নাবালকের ধারণা.

বলা হয় যে ম্যাট্রিক্স A-এর (k+1) তম ক্রম-এর অপ্রাপ্তবয়স্ক M ok ম্যাট্রিক্স A-এর ক্রম k-এর অপ্রধান M-কে সীমানা দেয় যদি নাবালক M ok-এর সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্সে নাবালকের অনুরূপ ম্যাট্রিক্স "ধারণ করে" এম

অন্য কথায়, একটি সারি এবং একটি কলামের উপাদানগুলি মুছে ফেলার মাধ্যমে বর্ডারিং মাইনর M এর সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্সটি বর্ডারিং মাইনর M ok এর সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স থেকে পাওয়া যায়।

উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন এবং দ্বিতীয় আদেশ একটি নাবালক নিতে. আসুন সমস্ত সীমানা নাবালকদের লিখুন:

অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানা নির্ধারণের পদ্ধতিটি নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হয় (আমরা প্রমাণ ছাড়াই এর গঠন উপস্থাপন করি)।

উপপাদ্য।

যদি একটি ম্যাট্রিক্স A-এর k-th ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানাযুক্ত সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্কগুলি n দ্বারা ক্রম শূন্যের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্স A-এর সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক ক্রম (k + 1) শূন্যের সমান।

এইভাবে, একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করার জন্য, যথেষ্ট সীমানায় থাকা সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনা করার প্রয়োজন নেই। অর্ডারের ম্যাট্রিক্স A-এর k-th ক্রম নাবালকের সীমানায় অপ্রাপ্তবয়স্কদের সংখ্যা সূত্র দ্বারা পাওয়া যায় . উল্লেখ্য যে ম্যাট্রিক্স A-এর (k + 1)-ম ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের চেয়ে ম্যাট্রিক্স A-এর k-th ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানায় আর কোনো নাবালক নেই। অতএব, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, অপ্রাপ্তবয়স্কদের বর্ডারিং পদ্ধতি ব্যবহার করা সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্কদের সহজভাবে গণনা করার চেয়ে বেশি লাভজনক।

আসুন নাবালকদের ফ্রিং করার পদ্ধতির মাধ্যমে একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খুঁজে বের করা যাক। সংক্ষেপে বর্ণনা অ্যালগরিদমএই পদ্ধতি।

যদি ম্যাট্রিক্স A অ-শূন্য হয়, তাহলে আমরা ম্যাট্রিক্স A-এর যে কোনো উপাদান নিই যেটি শূন্য থেকে ভিন্ন প্রথম-ক্রম মাইনর হিসেবে। আমরা তার সীমানা অপ্রাপ্তবয়স্ক বিবেচনা. যদি তারা সবাই শূন্যের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক একের সমান। যদি কমপক্ষে একটি নন-জিরো বর্ডারিং নাবালক থাকে (এর ক্রম দুটির সমান), তবে আমরা এর সীমানাযুক্ত নাবালকের বিবেচনায় চলে যাই। যদি তারা সব শূন্য হয়, তাহলে Rank(A) = 2। যদি কমপক্ষে একটি সীমানা নাবালক অশূন্য হয় (এর ক্রম তিনটির সমান), তাহলে আমরা এর সীমানা নাবালক বিবেচনা করি। ইত্যাদি। ফলস্বরূপ, র‌্যাঙ্ক(এ) = k যদি ম্যাট্রিক্স A-এর (k + 1)তম ক্রম-এর সমস্ত সীমানাযুক্ত অপ্রাপ্তবয়স্করা শূন্যের সমান হয়, অথবা Rank(A) = min(p, n) থাকে যদি একটি অ- শূন্য সংখ্যার সীমানা ছোট অর্ডারের (মিনিট(p, n) – 1)।

আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খুঁজে বের করার জন্য অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানা নির্ধারণের পদ্ধতিটি বিশ্লেষণ করা যাক।

উদাহরণ।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন বর্ডারিং নাবালক পদ্ধতি দ্বারা।

সমাধান।

যেহেতু ম্যাট্রিক্স A-এর 1 1 মৌলটি অ-শূন্য, তাই আমরা এটিকে প্রথম ক্রম ছোট হিসাবে গ্রহণ করি। শূন্য ব্যতীত অন্য একটি বর্ডারিং মাইনর অনুসন্ধান করা শুরু করা যাক:

একটি নন-জিরো বর্ডারিং সেকেন্ড অর্ডার নাবালক পাওয়া গেছে। আসুন আমরা এর সীমান্তবর্তী নাবালকদের গণনা করি (তাদের জিনিস):

সেকেন্ড-অর্ডার নাবালকের সীমানায় থাকা সমস্ত নাবালক শূন্যের সমান, তাই, ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক দুইটির সমান।

উত্তর:

র‍্যাঙ্ক(A) = 2।

উদাহরণ।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন সীমান্তবর্তী নাবালকদের সাহায্যে।

সমাধান।

প্রথম ক্রমটির একটি নন-জিরো মাইনর হিসাবে, আমরা ম্যাট্রিক্স A এর একটি 1 1 = 1 উপাদানটি নিই। এটি দ্বিতীয় আদেশের ছোট ছোট fringing শূন্যের সমান নয়। এই নাবালকটি তৃতীয় আদেশের একটি নাবালকের দ্বারা সীমাবদ্ধ
. যেহেতু এটি শূন্যের সমান নয় এবং এটির জন্য কোন সীমানা ছোটো নেই, তাই ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক তিনটির সমান।

উত্তর:

র‍্যাঙ্ক(A) = 3।

ম্যাট্রিক্সের প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে র‌্যাঙ্ক খোঁজা (গাউস পদ্ধতিতে)।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করার আরেকটি উপায় বিবেচনা করুন।

নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স রূপান্তরগুলিকে প্রাথমিক বলা হয়:

• ম্যাট্রিক্সের সারি (বা কলাম) এর স্থানান্তর;
• ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারির (কলাম) সমস্ত উপাদানের একটি নির্বিচারে সংখ্যা k দ্বারা গুণন যা শূন্য থেকে আলাদা;
• ম্যাট্রিক্সের অন্য সারির (কলাম) সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির যেকোনো সারির (কলাম) উপাদানগুলির সাথে, একটি নির্বিচারে সংখ্যা k দ্বারা গুণিত।

ম্যাট্রিক্স B কে ম্যাট্রিক্স A এর সমতুল্য বলা হয়, যদি একটি সীমিত সংখ্যক প্রাথমিক রূপান্তরের সাহায্যে A থেকে B প্রাপ্ত হয়। ম্যাট্রিক্সের সমতা "~" চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, অর্থাৎ এটি A ~ B লেখা হয়।

প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স ট্রান্সফরমেশন ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজা বিবৃতির উপর ভিত্তি করে: যদি ম্যাট্রিক্স A থেকে ম্যাট্রিক্স B পাওয়া যায় প্রাথমিক ট্রান্সফর্মেশনের একটি সীমিত সংখ্যক ব্যবহার করে, তাহলে Rank(A) = Rank(B)।

এই বিবৃতিটির বৈধতা ম্যাট্রিক্স নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য থেকে অনুসরণ করে:

• যখন একটি ম্যাট্রিক্সের সারি (বা কলাম) অনুমতি দেওয়া হয়, তখন এর নির্ধারক পরিবর্তন চিহ্ন। যদি এটি শূন্যের সমান হয়, তবে সারিগুলি (কলাম) স্থানান্তর করার সময়, এটি শূন্যের সমান থাকে।
• ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারির (কলাম) সমস্ত উপাদানকে শূন্য থেকে ভিন্ন একটি নির্বিচারী সংখ্যা k দ্বারা গুণ করার সময়, ফলাফল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান, k দ্বারা গুণ করা হয়। যদি মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি শূন্যের সমান হয়, তাহলে যেকোন সারি বা কলামের সমস্ত উপাদানকে k সংখ্যা দ্বারা গুণ করার পরে, ফলাফল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটিও শূন্যের সমান হবে।
• ম্যাট্রিক্সের একটি নির্দিষ্ট সারির (কলাম) উপাদানগুলির সাথে ম্যাট্রিক্সের অন্য সারির (কলাম) সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিকে কিছু সংখ্যা k দ্বারা গুণ করলে এর নির্ধারক পরিবর্তন হয় না।

প্রাথমিক রূপান্তর পদ্ধতির সারমর্মপ্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স, যে র‍্যাঙ্কটি আমাদের খুঁজে বের করতে হবে, একটি ট্র্যাপিজয়েডে (একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, একটি উপরের ত্রিভুজাকারে) নিয়ে আসা।

এটি কিসের জন্যে? এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খুঁজে পাওয়া খুব সহজ। এটি কমপক্ষে একটি নন-নাল উপাদান ধারণকারী সারির সংখ্যার সমান। এবং যেহেতু ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক প্রাথমিক রূপান্তরের সময় পরিবর্তিত হয় না, ফলে প্রাপ্ত মানটি হবে মূল ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক।

আমরা ম্যাট্রিক্সের দৃষ্টান্ত দিই, যার মধ্যে একটি রূপান্তরের পরে পাওয়া উচিত। তাদের ফর্ম ম্যাট্রিক্সের ক্রম উপর নির্ভর করে।

এই চিত্রগুলি হল টেমপ্লেট যা আমরা ম্যাট্রিক্স A রূপান্তর করব।

আসুন বর্ণনা করি পদ্ধতি অ্যালগরিদম.

ধরুন আমাদের একটি নন-জিরো ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম খুঁজে বের করতে হবে (p এর সমান হতে পারে n)।

তাই, . ম্যাট্রিক্স A এর প্রথম সারির সমস্ত উপাদানকে গুন করি। এই ক্ষেত্রে, আমরা একটি সমতুল্য ম্যাট্রিক্স পাই, এটি A (1) নির্দেশ করুন :

ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্স A (1) এর দ্বিতীয় সারির উপাদানগুলিতে, আমরা প্রথম সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিকে গুন করে যোগ করি। তৃতীয় সারির উপাদানগুলিতে, প্রথম সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি যোগ করুন, দ্বারা গুণিত করুন। এবং তাই p-ম লাইন পর্যন্ত। আমরা একটি সমতুল্য ম্যাট্রিক্স পাই, এটি A (2) নির্দেশ করুন :

দ্বিতীয় থেকে p-th পর্যন্ত সারিতে থাকা ফলাফলের ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান যদি শূন্যের সমান হয়, তাহলে এই ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক একের সমান, এবং ফলস্বরূপ, মূল ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল একের সমান

যদি দ্বিতীয় থেকে p-th পর্যন্ত সারিতে কমপক্ষে একটি অ-শূন্য উপাদান থাকে, তবে আমরা রূপান্তরগুলি চালিয়ে যাই। তদুপরি, আমরা ঠিক একইভাবে কাজ করি, তবে শুধুমাত্র চিত্রে চিহ্নিত ম্যাট্রিক্স A এর অংশের সাথে (2)

যদি , তাহলে আমরা ম্যাট্রিক্স A (2) এর সারি এবং (বা) কলামগুলিকে পুনর্বিন্যাস করি যাতে "নতুন" উপাদানটি অ-শূন্য হয়ে যায়।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের ধারণা নিয়ে কাজ করার জন্য, আমাদের "বীজগণিতিক পরিপূরক এবং অপ্রাপ্তবয়স্ক। অপ্রাপ্তবয়স্ক এবং বীজগণিতের পরিপূরকগুলির প্রকার" বিষয় থেকে তথ্য প্রয়োজন। প্রথমত, এটি "ম্যাট্রিক্স মাইনর" শব্দটিকে উদ্বেগ করে, যেহেতু আমরা অপ্রাপ্তবয়স্কদের মাধ্যমে একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক নির্ধারণ করব।

ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্কএর অপ্রাপ্তবয়স্কদের সর্বাধিক ক্রমটির নাম দিন, যার মধ্যে কমপক্ষে একটি রয়েছে যা শূন্যের সমান নয়।

সমতুল্য ম্যাট্রিক্সম্যাট্রিক্স হল যার ক্রম একে অপরের সমান।

এর আরো বিস্তারিত ব্যাখ্যা করা যাক. ধরুন দ্বিতীয়-ক্রম নাবালকের মধ্যে অন্তত একজন আছে যা শূন্য থেকে আলাদা। এবং সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক, যার ক্রম দুটির চেয়ে বেশি, শূন্যের সমান। উপসংহার: ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল 2। অথবা, উদাহরণস্বরূপ, দশম ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে অন্তত একটি আছে যা শূন্যের সমান নয়। এবং সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক, যার ক্রম 10 এর বেশি, শূন্যের সমান। উপসংহার: ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 10।

$A$ ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক নিম্নরূপ: $\rang A$ বা $r(A)$। শূন্য ম্যাট্রিক্স $O$ এর র্যাঙ্ক শূন্যের সমান সেট করা হয়েছে, $\rang O=0$। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে একটি ম্যাট্রিক্স মাইনর গঠন করার জন্য, সারি এবং কলামগুলিকে ক্রস আউট করতে হবে, তবে ম্যাট্রিক্সে থাকা তার চেয়ে বেশি সারি এবং কলামগুলিকে অতিক্রম করা অসম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, যদি ম্যাট্রিক্স $F$ এর আকার $5\times 4$ হয় (অর্থাৎ এতে 5টি সারি এবং 4টি কলাম থাকে), তাহলে এর অপ্রাপ্তবয়স্কদের সর্বোচ্চ ক্রম হল চারটি। পঞ্চম-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের গঠন করা আর সম্ভব হবে না, কারণ তাদের 5টি কলামের প্রয়োজন হবে (এবং আমাদের কাছে মাত্র 4টি আছে)। এর মানে হল যে $F$ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক চারটির বেশি হতে পারে না, অর্থাৎ $\rang F≤4$।

আরও সাধারণ আকারে, উপরেরটির অর্থ হল যে ম্যাট্রিক্সে যদি $m$ সারি এবং $n$ কলাম থাকে, তাহলে এর র‍্যাঙ্কটি $m$ এবং $n$ সংখ্যাগুলির মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে অতিক্রম করতে পারবে না, অর্থাৎ। $\rang A≤\min(m,n)$।

নীতিগতভাবে, এটি খুঁজে বের করার পদ্ধতিটি র্যাঙ্কের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে। সংজ্ঞা দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খোঁজার প্রক্রিয়াটি পরিকল্পনাগতভাবে নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে:

আমাকে আরো বিস্তারিতভাবে এই চিত্র ব্যাখ্যা করা যাক. আসুন প্রথম থেকেই যুক্তি শুরু করি, অর্থাৎ কিছু ম্যাট্রিক্স $A$ এর প্রথম-ক্রম নাবালকের সাথে।

1. যদি সমস্ত প্রথম-ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক (অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স $A$ এর উপাদান) শূন্যের সমান হয়, তাহলে $\rang A=0$। যদি প্রথম-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে অন্তত একজন থাকে যা শূন্যের সমান না হয়, তাহলে $\rang A≥ 1$। আমরা দ্বিতীয় আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের যাচাইকরণে পাস করি।
2. যদি সমস্ত দ্বিতীয়-ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্যের সমান হয়, তাহলে $\rang A=1$। যদি দ্বিতীয়-ক্রম নাবালকদের মধ্যে অন্তত একজন থাকে যা শূন্যের সমান নয়, তাহলে $\rang A≥ 2$। আমরা তৃতীয় আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের যাচাইকরণে পাস করি।
3. যদি সমস্ত তৃতীয়-ক্রম নাবালক শূন্যের সমান হয়, তাহলে $\rang A=2$। যদি তৃতীয় অর্ডারের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে অন্তত একটি থাকে যা শূন্যের সমান নয়, তাহলে $\rang A≥ 3$। চতুর্থ অর্ডারের নাবালকদের পরীক্ষা করার দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক।
4. যদি সকল চতুর্থ ক্রম নাবালক শূন্যের সমান হয়, তাহলে $\rang A=3$। যদি চতুর্থ ক্রমটির অন্তত একটি অ-শূন্য নাবালক থাকে, তাহলে $\rang A≥ 4$। আমরা পঞ্চম আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের যাচাইকরণে পাস করি এবং আরও অনেক কিছু।

এই পদ্ধতির শেষে আমাদের জন্য কী অপেক্ষা করছে? এটা সম্ভব যে kth ক্রমটির অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে অন্তত একটি আছে যা শূন্য থেকে আলাদা, এবং (k + 1) তম ক্রমের সমস্ত নাবালক শূন্যের সমান হবে৷ এর মানে হল k হল অপ্রাপ্তবয়স্কদের সর্বোচ্চ ক্রম যার মধ্যে অন্তত একটি আছে যা শূন্যের সমান নয়, অর্থাৎ পদমর্যাদা k এর সমান হবে। একটি ভিন্ন পরিস্থিতি হতে পারে: kth ক্রমটির অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে কমপক্ষে একটি থাকবে যা শূন্যের সমান নয় এবং (k + 1) তম ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের গঠন করা যাবে না৷ এই ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কও k এর সমান। সংক্ষেপে বলছি, শেষ রচিত নন-জিরো মাইনর এর ক্রম এবং ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হবে.

আসুন উদাহরণগুলিতে এগিয়ে যাই যেখানে সংজ্ঞা অনুসারে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটি স্পষ্টভাবে চিত্রিত করা হবে। আবারও, আমি জোর দিচ্ছি যে এই বিষয়ের উদাহরণগুলিতে, আমরা শুধুমাত্র র‌্যাঙ্কের সংজ্ঞা ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খুঁজে পাব। অন্যান্য পদ্ধতি (অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমান্তের পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের গণনা, প্রাথমিক রূপান্তরের পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের গণনা) নিম্নলিখিত বিষয়গুলিতে বিবেচনা করা হয়।

যাইহোক, ক্ষুদ্রতম অর্ডারের অপ্রাপ্তবয়স্কদের থেকে পদমর্যাদা খুঁজে বের করার পদ্ধতিটি শুরু করা মোটেই প্রয়োজনীয় নয়, যেমনটি উদাহরণ নং 1 এবং নং 2 এ করা হয়েছিল। আপনি অবিলম্বে উচ্চ আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের কাছে যেতে পারেন (উদাহরণ নং 3 দেখুন)।

উদাহরণ # 1

একটি ম্যাট্রিক্স $A=\left(\begin(array)(cccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 এর র্যাঙ্ক খুঁজুন & 0 এবং 1 \শেষ(অ্যারে)\right)$।

এই ম্যাট্রিক্সের আকার $3\গুন 5$, অর্থাৎ তিনটি সারি এবং পাঁচটি কলাম রয়েছে। 3 এবং 5 সংখ্যার মধ্যে 3 হল সর্বনিম্ন, তাই ম্যাট্রিক্স $A$-এর র্যাঙ্ক হল সর্বাধিক 3, অর্থাৎ $\rank A≤ 3$। এবং এই অসমতা সুস্পষ্ট, যেহেতু আমরা আর চতুর্থ ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের গঠন করতে পারি না - তাদের 4টি সারি প্রয়োজন, এবং আমাদের শুধুমাত্র 3টি আছে। আসুন সরাসরি একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াতে এগিয়ে যাই।

প্রথম ক্রমটির অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে (অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স $A$ এর উপাদানগুলির মধ্যে) অ-শূন্য রয়েছে৷ উদাহরণস্বরূপ, 5, -3, 2, 7। সাধারণভাবে, আমরা মোট সংখ্যার অ-শূন্য মৌলগুলিতে আগ্রহী নই। অন্তত একটি অ-শূন্য উপাদান আছে - এবং এটি যথেষ্ট। যেহেতু প্রথম-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে অন্তত একটি শূন্য নেই, তাই আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে $\rang A≥ 1$ এবং দ্বিতীয়-ক্রম নাবালকদের পরীক্ষা করতে এগিয়ে যাই।

দ্বিতীয় অর্ডারের নাবালকদের অন্বেষণ শুরু করা যাক। উদাহরণস্বরূপ, সারি # 1, # 2 এবং কলাম # 1, # 4 এর সংযোগস্থলে নিম্নলিখিত ছোট ছোট উপাদান রয়েছে: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (অ্যারে) \right| $। এই নির্ধারকের জন্য, দ্বিতীয় কলামের সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান, তাই নির্ধারক নিজেই শূন্যের সমান, অর্থাৎ $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (নির্ধারকের বৈশিষ্ট্যে প্রপার্টি #3 দেখুন)। অথবা আপনি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ক্রম নির্ধারক গণনার বিভাগ থেকে সূত্র নং 1 ব্যবহার করে এই নির্ধারকটি গণনা করতে পারেন:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0। $$

দ্বিতীয় অর্ডারের প্রথম নাবালকটি আমরা পরীক্ষা করে দেখেছি শূন্যের সমান। এটা কি বলে? দ্বিতীয় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের আরও চেক করার প্রয়োজন সম্পর্কে। হয় তারা সকলেই শূন্য হয়ে যায় (এবং তারপরে র্যাঙ্কটি 1 এর সমান হবে), বা তাদের মধ্যে কমপক্ষে একটি নাবালক রয়েছে যা শূন্য থেকে আলাদা। আসুন একটি সেকেন্ড-অর্ডার মাইনর লিখে একটি ভাল পছন্দ করার চেষ্টা করি যার উপাদানগুলি সারি #1, #2 এবং কলাম #1 এবং #5 এর সংযোগস্থলে অবস্থিত: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 এবং 3 \end(অ্যারে)\right|$। আসুন দ্বিতীয় ক্রমটির এই অপ্রাপ্তবয়স্কটির মান খুঁজে বের করি:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

এই নাবালকটি শূন্যের সমান নয়। উপসংহার: দ্বিতীয় আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে শূন্য ছাড়া অন্তত একটি আছে। তাই $\rank A≥ 2$। তৃতীয় আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের গবেষণায় এগিয়ে যাওয়া প্রয়োজন।

যদি তৃতীয় ক্রমে অপ্রাপ্তবয়স্কদের গঠনের জন্য আমরা কলাম # 2 বা কলাম # 4 বেছে নিই, তাহলে এই ধরনের অপ্রাপ্তবয়স্করা শূন্যের সমান হবে (কারণ তাদের একটি শূন্য কলাম থাকবে)। এটি তৃতীয় ক্রমটির শুধুমাত্র একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক চেক করতে রয়ে গেছে, যার উপাদানগুলি কলাম নং 1, নং 3, নং 5 এবং সারি নং 1, নং 2, নং 3 এর সংযোগস্থলে অবস্থিত। আসুন এই গৌণটি লিখি এবং এর মান খুঁজে পাই:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0। $$

সুতরাং, সমস্ত তৃতীয়-ক্রম নাবালক শূন্যের সমান। আমরা কম্পাইল করা শেষ অ-শূন্য মাইনর দ্বিতীয় ক্রম ছিল. উপসংহার: অপ্রাপ্তবয়স্কদের সর্বোচ্চ ক্রম, যার মধ্যে শূন্য ব্যতীত কমপক্ষে একটি রয়েছে, 2 এর সমান। অতএব, $\rang A=2$।

উত্তর: $\rank A=2$।

উদাহরণ #2

একটি ম্যাট্রিক্স $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 এর র‍্যাঙ্ক খুঁজুন \\ 9 এবং 7 এবং 8 এবং -7 \end(অ্যারে) \right)$।

আমরা চতুর্থ ক্রম একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স আছে. আমরা এখনই নোট করি যে এই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক 4 এর বেশি নয়, অর্থাৎ $\rank A≤ 4$। আসুন একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করা শুরু করি।

প্রথম ক্রমটির অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে (অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স $A$ এর উপাদানগুলির মধ্যে) অন্তত একটি আছে যা শূন্যের সমান নয়, তাই $\rang A≥ 1$। আমরা দ্বিতীয় আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের যাচাইকরণে পাস করি। উদাহরণস্বরূপ, সারি নং 2, নং 3 এবং কলাম নং 1 এবং নং 2 এর সংযোগস্থলে, আমরা দ্বিতীয় ক্রমটির নিম্নোক্ত ছোটখাটটি পাই: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$। আসুন এটি গণনা করা যাক:

$$ \বাম| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10। $$

দ্বিতীয়-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে, অন্তত একটি আছে যা শূন্যের সমান নয়, তাই $\rang A≥ 2$।

চলুন তৃতীয় আদেশের অপ্রাপ্তবয়স্কদের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। আসুন, উদাহরণস্বরূপ, একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক ব্যক্তিকে খুঁজে বের করি যার উপাদানগুলি সারি নং 1, নং 3, নং 4 এবং কলাম নং 1, নং 2, নং 4 এর সংযোগস্থলে অবস্থিত:

$$ \বাম | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

যেহেতু এই তৃতীয়-ক্রম নাবালকটি শূন্যের সমান হয়ে উঠেছে, তাই আরেকটি তৃতীয়-ক্রম নাবালকের তদন্ত করা প্রয়োজন। হয় তাদের সকলেই শূন্যের সমান হবে (তারপর র্যাঙ্কটি 2 এর সমান হবে), বা তাদের মধ্যে কমপক্ষে একজন থাকবে যা শূন্যের সমান নয় (তখন আমরা চতুর্থ ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের অধ্যয়ন শুরু করব)। একটি তৃতীয়-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্ককে বিবেচনা করুন যার উপাদানগুলি সারি নং 2, নং 3, নং 4 এবং কলাম নং 2, নং 3, নং 4 এর সংযোগস্থলে অবস্থিত:

$$ \বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(অ্যারে) \right|=-28। $$

থার্ড-অর্ডার নাবালকদের মধ্যে অন্তত একটি অ-শূন্য নাবালক আছে, তাই $\rang A≥ 3$। চতুর্থ অর্ডারের নাবালকদের পরীক্ষা করার দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক।

চতুর্থ ক্রমটির যেকোনো অপ্রাপ্তবয়স্ক $A$ ম্যাট্রিক্সের চারটি সারি এবং চারটি কলামের সংযোগস্থলে অবস্থিত। অন্য কথায়, চতুর্থ ক্রম মাইনর হল $A$ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক, যেহেতু এই ম্যাট্রিক্সে মাত্র 4টি সারি এবং 4টি কলাম রয়েছে৷ এই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি "নির্ধারকের ক্রম হ্রাস করা। এক সারিতে নির্ধারকের পচন (কলাম)" বিষয়ের নং 2 নং উদাহরণে গণনা করা হয়েছিল , তাই আসুন সমাপ্ত ফলাফলটি নেওয়া যাক:

$$ \বাম| শুরু(অ্যারে) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \শেষ (অ্যারে)\right|=86. $$

সুতরাং, চতুর্থ ক্রম নাবালক শূন্যের সমান নয়। আমরা আর পঞ্চম অর্ডারের নাবালক হতে পারি না। উপসংহার: অপ্রাপ্তবয়স্কদের সর্বোচ্চ ক্রম, যার মধ্যে শূন্য ব্যতীত অন্তত একটি আছে, হল 4। ফলাফল: $\rang A=4$।

উত্তর: $\rank A=4$।

উদাহরণ #3

একটি ম্যাট্রিক্স $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 এর র‍্যাঙ্ক খুঁজুন \end( অ্যারে) \ ডান)$।

এখনই লক্ষ্য করুন যে এই ম্যাট্রিক্সে 3টি সারি এবং 4টি কলাম রয়েছে, তাই $\rang A≤ 3$। পূর্ববর্তী উদাহরণগুলিতে, আমরা ক্ষুদ্রতম (প্রথম) ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের বিবেচনা করে র‌্যাঙ্ক খোঁজার প্রক্রিয়া শুরু করেছি। এখানে আমরা অবিলম্বে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য অর্ডারের অপ্রাপ্তবয়স্কদের চেক করার চেষ্টা করব। ম্যাট্রিক্স $A$ এর জন্য, এরা তৃতীয় ক্রম নাবালক। একটি তৃতীয়-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্ককে বিবেচনা করুন যার উপাদানগুলি সারি নং 1, নং 2, নং 3 এবং কলাম নং 2, নং 3, নং 4 এর সংযোগস্থলে অবস্থিত:

$$ \বাম| \begin(অ্যারে) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

সুতরাং, অপ্রাপ্তবয়স্কদের সর্বোচ্চ ক্রম, যার মধ্যে কমপক্ষে একটি আছে যা শূন্যের সমান নয়, হল 3। অতএব, ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 3, অর্থাৎ $\rank A=3$।

উত্তর: $\rank A=3$।

সাধারণভাবে, সংজ্ঞা অনুসারে একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক খোঁজা, সাধারণ ক্ষেত্রে, একটি বরং সময়সাপেক্ষ কাজ। উদাহরণস্বরূপ, একটি অপেক্ষাকৃত ছোট $5\times 4$ ম্যাট্রিক্সে 60টি সেকেন্ড-অর্ডার নাবালক রয়েছে। এবং এমনকি যদি তাদের মধ্যে 59টি শূন্যের সমান হয়, তবে 60 তম নাবালকটি অ-শূন্য হতে পারে। তারপরে আপনাকে তৃতীয়-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কদের অন্বেষণ করতে হবে, যার মধ্যে এই ম্যাট্রিক্সে 40 টি অংশ রয়েছে। সাধারণত একজন কম কষ্টকর পদ্ধতি ব্যবহার করার চেষ্টা করে, যেমন অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমান্তের পদ্ধতি বা সমতুল্য রূপান্তরের পদ্ধতি।

এই নিবন্ধটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক এবং প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত ধারণাগুলির মতো একটি ধারণা নিয়ে আলোচনা করবে। আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করার উদাহরণ এবং প্রমাণ দেব, এবং আপনাকেও বলব যে একটি ম্যাট্রিক্স মাইনর কী এবং কেন এটি এত গুরুত্বপূর্ণ।

Yandex.RTB R-A-339285-1

ম্যাট্রিক্স মাইনর

ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক কী তা বোঝার জন্য, ম্যাট্রিক্স মাইনর হিসাবে এই জাতীয় ধারণাটি বোঝা প্রয়োজন।

সংজ্ঞা 1

গৌণkতম ক্রম ম্যাট্রিক্স - k × k ক্রমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক, যা ম্যাট্রিক্স A-এর উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত, ম্যাট্রিক্স A-এর উপাদানগুলির অবস্থান বজায় রেখে পূর্ব-নির্বাচিত k-সারি এবং k-কলামগুলিতে অবস্থিত।

সহজ কথায়, যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A-তে (p-k) সারি এবং (n-k) কলামগুলি মুছে ফেলি এবং ম্যাট্রিক্স A-এর উপাদানগুলির বিন্যাস বজায় রেখে অবশিষ্ট উপাদানগুলির একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করি, তাহলে ফলাফল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হবে ম্যাট্রিক্স A-এর ক্রম k-এর নাবালক।

এটি উদাহরণ থেকে অনুসরণ করে যে ম্যাট্রিক্স A-এর প্রথম-ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্করা ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি নিজেই।

আমরা ২য় ক্রমে অপ্রাপ্তবয়স্কদের বেশ কয়েকটি উদাহরণ দিতে পারি। দুটি সারি এবং দুটি কলাম বেছে নেওয়া যাক। উদাহরণস্বরূপ, ১ম ও ২য় সারি, ৩য় ও ৪র্থ কলাম।

উপাদানগুলির এই পছন্দের সাথে, দ্বিতীয় ক্রমটির অপ্রধান হবে - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

ম্যাট্রিক্স A-এর আরেকটি 2য় ক্রম মাইনর হল 0 0 1 1 = 0

ম্যাট্রিক্স A-এর দ্বিতীয়-ক্রম নাবালকদের নির্মাণের উদাহরণ দেওয়া যাক:

ম্যাট্রিক্স A-এর তৃতীয় কলামটি মুছে দিয়ে 3য় অর্ডার মাইনর পাওয়া যায়:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

ম্যাট্রিক্স A-এর 3য় অর্ডার মাইনর কীভাবে পাওয়া যায় তার একটি চিত্র:

একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের জন্য, 3য় ক্রম থেকে উচ্চতর কোন অপ্রাপ্তবয়স্ক নেই, কারণ

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

pxn অর্ডারের একটি ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য কত k-th ক্রম নাবালক আছে?

অপ্রাপ্তবয়স্কদের সংখ্যা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k)! এবং C nk = n! k! (n - k)! - যথাক্রমে p থেকে k, n থেকে k পর্যন্ত সংমিশ্রণের সংখ্যা।

ম্যাট্রিক্স A-এর অপ্রাপ্তবয়স্করা কী তা আমরা সিদ্ধান্ত নেওয়ার পরে, আমরা ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক নির্ধারণে এগিয়ে যেতে পারি।

ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক: খোঁজার পদ্ধতি

সংজ্ঞা 2

ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক - শূন্য ছাড়া ম্যাট্রিক্সের সর্বোচ্চ ক্রম।

পদবী ১

পদমর্যাদা (A), Rg(A), Rang(A)।

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক এবং একটি ম্যাট্রিক্সের মাইনর এর সংজ্ঞা থেকে, এটি পরিষ্কার হয়ে যায় যে একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক শূন্যের সমান এবং একটি নন-জিরো ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক শূন্য থেকে আলাদা।

সংজ্ঞা অনুসারে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজা

সংজ্ঞা 3

ক্ষুদ্র গণনা পদ্ধতি - একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণের উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি।

অপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনা দ্বারা কর্মের অ্যালগরিদম :

অর্ডারের ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ক খুঁজে বের করা প্রয়োজন পি× n. যদি কমপক্ষে একটি অ-শূন্য উপাদান থাকে, তবে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কটি কমপক্ষে একটি ( কারণ একটি 1ম ক্রম ছোট যা শূন্যের সমান নয়৷).

তারপর 2য় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনা অনুসরণ করে. যদি সমস্ত 2য় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্যের সমান হয়, তাহলে র্যাঙ্কটি একের সমান। যদি 2য় ক্রমটির কমপক্ষে একটি অ-শূন্য নাবালক থাকে, তবে 3য় ক্রমটির অপ্রাপ্তবয়স্কদের গণনায় যেতে হবে এবং এই ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কটি কমপক্ষে দুটির সমান হবে৷

আসুন 3য় ক্রমটির র্যাঙ্কের সাথে একই কাজ করি: যদি ম্যাট্রিক্সের সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্যের সমান হয়, তাহলে র্যাঙ্কটি দুইটির সমান হবে। যদি কমপক্ষে একটি নন-জিরো থার্ড-অর্ডার মাইনর থাকে, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক কমপক্ষে তিনটি। এবং তাই, উপমা দ্বারা.

উদাহরণ 2

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

যেহেতু ম্যাট্রিক্স অ-শূন্য, তার র্যাঙ্ক কমপক্ষে একের সমান।

২য় ক্রম অপ্রধান - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 অ-শূন্য। এটি বোঝায় যে ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক কমপক্ষে দুটি।

আমরা 3য় অর্ডারের অপ্রাপ্তবয়স্কদের মাধ্যমে সাজাই: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3)! = 10 টুকরা।

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

3য় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্য, তাই ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল দুই।

উত্তর : র‍্যাঙ্ক (A) = 2।

অপ্রাপ্তবয়স্কদের ফ্রিং করার পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজা

সংজ্ঞা 3

ফ্রিংিং মাইনর পদ্ধতি - একটি পদ্ধতি যা আপনাকে কম গণনামূলক কাজের সাথে ফলাফল পেতে দেয়।

ছোট ছোট fringing - অপ্রাপ্তবয়স্ক M o k (k + 1)- ম্যাট্রিক্স A-এর তম ক্রম, যা ম্যাট্রিক্স A-এর ক্রম k-এর গৌণ M-এর সীমানা, যদি নাবালক M o k-এর সাথে মিলিত ম্যাট্রিক্সে "ধারণ" থাকে যা নাবালকের সাথে মিলে যায় এম.

সহজ কথায়, একটি সারি এবং একটি কলামের উপাদানগুলি মুছে ফেলার মাধ্যমে সীমানাযুক্ত মাইনর M-এর সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্সটি বর্ডারিং মাইনর M o k-এর সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স থেকে পাওয়া যায়।

উদাহরণ 3

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

র‍্যাঙ্ক খুঁজে বের করতে, আমরা ২য় ক্রম ছোট M = 2 - 1 4 1 নিই

আমরা সমস্ত সীমান্তবর্তী নাবালকদের লিখি:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানা নির্ধারণের পদ্ধতিকে প্রমাণ করার জন্য, আমরা একটি উপপাদ্য উপস্থাপন করি যার প্রণয়নের জন্য প্রমাণ ভিত্তির প্রয়োজন নেই।

উপপাদ্য ঘ

যদি একটি ম্যাট্রিক্স A-এর k-th ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানাযুক্ত সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্কগুলি n দ্বারা ক্রম শূন্যের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্স A-এর সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক ক্রম (k + 1) শূন্যের সমান।

অ্যাকশন অ্যালগরিদম :

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে পেতে, সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্য দিয়ে যেতে হবে না, শুধু সীমানাগুলি দেখুন।

যদি সীমান্তবর্তী অপ্রাপ্তবয়স্করা শূন্যের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক শূন্য। যদি কমপক্ষে একটি নাবালক থাকে যা শূন্যের সমান নয়, তাহলে আমরা সীমানাযুক্ত নাবালকদের বিবেচনা করি।

যদি তারা সব শূন্য হয়, তাহলে র‍্যাঙ্ক(A) হল দুটি। যদি অন্তত একটি অশূন্য সীমানা নাবালক থাকে, তাহলে আমরা এর সীমানা নাবালক বিবেচনা করতে এগিয়ে যাই। এবং তাই, একটি অনুরূপ ভাবে.

উদাহরণ 4

অপ্রাপ্তবয়স্কদের ফ্রিং করার পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

কিভাবে সিদ্ধান্ত নিতে?

যেহেতু ম্যাট্রিক্স A-এর 11 উপাদানটি শূন্যের সমান নয়, তাই আমরা 1ম ক্রমটির অপ্রাপ্তবয়স্ক নিই। শূন্য ব্যতীত অন্য একটি বর্ডারিং মাইনর খোঁজা শুরু করা যাক:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

আমরা 2য় ক্রমটির একটি বর্ডারিং মাইনর পেয়েছি যা শূন্য 2 0 4 1 এর সমান নয়।

বর্ডারিং নাবালকদের গণনা করা যাক - (এখানে (4 - 2) × (5 - 2) = 6 টুকরা আছে)।

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

উত্তর : র‍্যাঙ্ক(A) = 2।

গাউস পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খোঁজা (প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে)

প্রাথমিক রূপান্তরগুলি কী তা স্মরণ করুন।

প্রাথমিক রূপান্তর:

• ম্যাট্রিক্সের সারি (কলাম) পুনর্বিন্যাস করে;
• ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারির (কলাম) সমস্ত উপাদানকে একটি নির্বিচারে অ-শূন্য সংখ্যা k দ্বারা গুণ করে;

ম্যাট্রিক্সের অন্য সারি (কলাম) এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেকোন সারি (কলাম) উপাদানগুলির উপাদানগুলির সাথে যোগ করে, যা একটি নির্বিচারে সংখ্যা k দ্বারা গুণিত হয়৷

সংজ্ঞা 5

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খোঁজা - ম্যাট্রিক্স সমতুলতার তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি: যদি একটি সীমিত সংখ্যক প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স A থেকে ম্যাট্রিক্স B পাওয়া যায়, তাহলে Rank(A) = Rank(B)।

এই বিবৃতিটির বৈধতা ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে:

• একটি ম্যাট্রিক্সের সারি বা কলামের স্থানান্তরের ক্ষেত্রে, এর নির্ধারক পরিবর্তন চিহ্ন। যদি এটি শূন্যের সমান হয়, তবে সারি বা কলামগুলিকে অনুমতি দেওয়ার সময় এটি শূন্যের সমান থাকে;
• ম্যাট্রিক্সের যেকোন সারির (কলাম) সমস্ত উপাদানকে একটি নির্বিচারে সংখ্যা k দ্বারা গুণ করার ক্ষেত্রে, যা শূন্যের সমান নয়, ফলাফলপ্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান, যা গুণিত হয় k দ্বারা;

ম্যাট্রিক্সের একটি নির্দিষ্ট সারি বা কলামের উপাদানগুলির সাথে যোগ করার ক্ষেত্রে অন্য সারি বা কলামের সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি, যা k সংখ্যা দ্বারা গুণিত হয়, তার নির্ধারক পরিবর্তন করে না।

প্রাথমিক রূপান্তর পদ্ধতির সারমর্ম : প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সকে কম করুন, যার র‌্যাঙ্ক খুঁজে পাওয়া যাবে।

কি জন্য?

এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক খুঁজে পাওয়া বেশ সহজ। এটি অন্তত একটি নন-নাল উপাদান আছে এমন সারির সংখ্যার সমান। এবং যেহেতু প্রাথমিক রূপান্তরের সময় র‌্যাঙ্ক পরিবর্তন হয় না, তাই এটি হবে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক।

আসুন এই প্রক্রিয়াটি ব্যাখ্যা করি:

• আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য A এর ক্রম p দ্বারা n, যার সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে বেশি:

A ~ 1 খ 12 খ 13 ⋯ b 1 n - 1 খ 1 n 0 1 খ 23 ⋯ b 2 n - 2 খ 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 খ n - 1 0 0 01 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 , R a n k (A) = n

ক ~ 1 খ 12 খ 13 √ খ 1 কে খ 1 কে + 1 খ 1 এন 0 1 খ 23 ⋯ খ 2 কে খ 2 কে + 1 ⋯ বি 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k + 0 k + 10 1 ⋯ b k n 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 , R a n k (A) = k

• আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য A এর ক্রম p দ্বারা n, যার সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে কম:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 p + 100 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

ক ~ 1 খ 12 খ 13 √ খ 1 কে খ 1 কে + 1 খ 1 এন 0 1 খ 23 ⋯ খ 2 কে খ 2 কে + 1 ⋯ বি 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k + 0 k + 10 1 ⋯ b k n 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 0

• বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A এর ক্রম n দ্বারা n:

A ~ 1 খ 12 খ 13 ⋯ b 1 n - 1 খ 1 n 0 1 খ 23 ⋯ খ 2 n - 1 খ 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 খ n - 1 0 0 01 , R a n k (A) = n

ক ~ 1 খ 12 খ 13 √ খ 1 কে খ 1 কে + 1 খ 1 এন 0 1 খ 23 ⋯ খ 2 কে খ 2 কে + 1 ⋯ বি 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k + 0 k + 10 1 ⋯ b k n 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 , R a n k (A) = k, k< n

উদাহরণ 5

প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ক খুঁজুন:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

কিভাবে সিদ্ধান্ত নিতে?

যেহেতু একটি 11 উপাদানটি অ-শূন্য, তাই ম্যাট্রিক্স A এর প্রথম সারির উপাদানগুলিকে 1 a 11 \u003d 1 2 দ্বারা গুণ করতে হবে:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

আমরা ২য় সারির উপাদানে ১ম সারির সংশ্লিষ্ট উপাদান যোগ করি, যেগুলোকে (-৩) দ্বারা গুণ করা হয়। 3য় সারির উপাদানগুলিতে আমরা 1ম সারির উপাদানগুলি যোগ করি, যা (-1) দ্বারা গুণিত হয়:

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

একটি 22 (2) উপাদানটি অ-শূন্য, তাই আমরা ম্যাট্রিক্স A এর 2য় সারির উপাদানগুলিকে A (2) দ্বারা 1 a 22 (2) = - 2 3 দ্বারা গুণ করি:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সের 3য় সারির উপাদানগুলিতে, আমরা 2য় সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলি যোগ করি, যা 3 2 দ্বারা গুণিত হয়;
• 4র্থ সারির উপাদানগুলিতে - 2য় সারির উপাদানগুলি, যা 9 2 দ্বারা গুণিত হয়;
• 5 তম সারির উপাদানগুলিতে - 2য় সারির উপাদানগুলি, যা 3 2 দ্বারা গুণ করা হয়।

সমস্ত সারি উপাদান শূন্য. এইভাবে, প্রাথমিক রূপান্তরের সাহায্যে, আমরা ম্যাট্রিক্সকে একটি ট্র্যাপিজয়েডাল আকারে হ্রাস করেছি, যেখান থেকে দেখা যায় যে R a n k (A (4)) = 2। এটি অনুসরণ করে যে মূল ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কও দুইটির সমান।

মন্তব্য করুন

আপনি যদি প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করেন, তাহলে আনুমানিক মান অনুমোদিত নয়!

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, অনুগ্রহ করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন