>>Матричен ранг

Матричен ранг

Определяне на ранга на матрица

Помислете за правоъгълна матрица. Ако в тази матрица избираме произволно клинии и кколони, тогава елементите в пресечната точка на избраните редове и колони образуват квадратна матрица от k-ти ред. Детерминантата на тази матрица се нарича k-ти ред второстепененматрица A. Очевидно матрицата A има минори от произволен порядък от 1 до най-малкото от числата m и n. Сред всички ненулеви минорни числа на матрицата A има поне един минор, чийто ред е най-голям. Най-големият от ненулевите порядки на минорите на дадена матрица се нарича рангматрици. Ако рангът на матрица A е r, то това означава, че матрицата A има ненулев минор на ред r, но всеки минор от порядък по-голям от r, равно на нула. Рангът на матрица A се означава с r(A). Очевидно е, че връзката

Изчисляване на ранга на матрица с помощта на минор

Рангът на матрица се намира или по границата на минорите, или по метода на елементарни трансформации. При изчисляване на ранга на матрица по първия начин трябва да се премине от минорите от по-нисък порядък към минорите от по-висок порядък. Ако вече е намерен ненулев минор D от k-тия ред на матрицата A, тогава трябва да се изчислят само минорите (k + 1)-ти ред, граничещи с минор D, т.е. съдържащ го като непълнолетен. Ако всички те са нула, тогава рангът на матрицата е к.

Пример 1Намерете ранга на матрица по метода на граничещи малки

Решение.Започваме с непълнолетни от 1-ви ред, т.е. от елементите на матрицата A. Нека изберем например минорния (елемент) М 1 = 1, разположен в първия ред и първата колона. Граничайки с помощта на втория ред и третата колона, получаваме минорното M 2 = , което е различно от нула. Сега се обръщаме към непълнолетните от 3-ти порядък, граничещи с M 2 . Има само две от тях (можете да добавите втора колона или четвърта). Ние ги изчисляваме: = 0. Така всички граничещи минорни от трети ред се оказаха равни на нула. Рангът на матрицата А е два.

Изчисляване на ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации

ЕлементарноСледните матрични трансформации се наричат:

1) пермутация на всеки два реда (или колони),

2) умножаване на ред (или колона) по число, различно от нула,

3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножено по някакво число.

Двете матрици се извикват еквивалентен, ако едно от тях се получава от другото с помощта на краен набор от елементарни трансформации.

Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но техните рангове са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, това се записва по следния начин: A~б.

Канониченматрица е матрица, която има няколко 1 в ред в началото на главния диагонал (чият брой може да бъде нула), а всички други елементи са равни на нула, например,

С помощта на елементарни трансформации на редове и колони всяка матрица може да бъде сведена до канонична. Рангът на каноничната матрица е равен на броя на единиците на главния й диагонал.

Пример 2Намерете ранга на матрица

и го приведе до канонична форма.

Решение.Извадете първия ред от втория ред и пренаредете тези редове:

Сега, от втория и третия ред, извадете първия, умножен съответно по 2 и 5:

;

извадете първия от третия ред; получаваме матрицата

B = ,

което е еквивалентно на матрицата A, тъй като се получава от нея с помощта на краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрица B е 2 и следователно r(A)=2. Матрицата B може лесно да бъде сведена до каноничната. Изваждайки първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, ние обръщаме на нула всички елементи от първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по съответните числа, от всички следващи, обръщаме на нула всички елементи от втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:

Всякаква матрица Апоръчка m×nможе да се разглежда като колекция мвектори ред или нколонни вектори.

рангматрици Апоръчка m×nе максималният брой линейно независими вектори колони или вектори редове.

Ако рангът на матрицата Асе равнява r, тогава пише:

Намиране на ранга на матрица

Позволявам Аматрица на произволен ред м× н. За намиране на ранга на матрица Априложете към него метода на елиминиране на Гаус.

Забележете, че ако на някакъв етап от елиминирането водещият елемент се окаже равен на нула, тогава разменяме дадения низ с низа, в който водещият елемент е различен от нула. Ако се окаже, че няма такъв ред, тогава преминаваме към следващата колона и т.н.

След движението напред на елиминирането на Гаус получаваме матрица, чиито елементи под главния диагонал са равни на нула. Освен това може да има нулеви вектори-редове.

Броят на ненулевите вектори-редове ще бъде рангът на матрицата А.

Нека разгледаме всичко това с прости примери.

Пример 1

Умножавайки първия ред по 4 и добавяйки към втория ред и умножавайки първия ред по 2 и добавяйки към третия ред, имаме:

Умножете втория ред по -1 и го добавете към третия ред:

Получихме два различни от нула реда и следователно рангът на матрицата е 2.

Пример 2

Намерете ранга на следната матрица:

Умножете първия ред по -2 и добавете към втория ред. По същия начин задайте елементите на третия и четвъртия ред на първата колона на нула:

Нека нулираме елементите на третия и четвъртия ред на втората колона, като добавим съответните редове към втория ред, умножени по числото -1.

Рангът на матрицата е важна числена характеристика. Най-типичният проблем, който изисква намиране на ранга на матрица, е проверката на съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения. В тази статия ще дадем концепцията за ранга на матрица и ще разгледаме методите за намирането й. За по-добро усвояване на материала ще анализираме подробно решенията на няколко примера.

Навигация в страницата.

Определяне на ранга на матрица и необходимите допълнителни понятия.

Преди да се изрече дефиницията на ранга на матрица, човек трябва да има добро разбиране на концепцията за минор, а намирането на минорите на матрица предполага способността да се изчисли детерминантата. Затова препоръчваме, ако е необходимо, да си припомним теорията на статията, методите за намиране на детерминанта на матрицата, свойствата на детерминантата.

Вземете матрица A от порядък. Нека k е някакво естествено число, което не надвишава най-малкото от числата m и n , т.е. .

Определение.

Малък k-ти редматрица A е детерминантата на квадратната матрица на порядъка, съставена от елементите на матрицата A, които са в предварително избрани k реда и k колони, като местоположението на елементите на матрицата A е запазено.

С други думи, ако изтрием (p–k) редове и (n–k) колони в матрица A и формираме матрица от останалите елементи, запазвайки подредбата на матричните елементи A, тогава детерминантата на получената матрица е минор от порядък k на матрица A.

Нека разгледаме дефиницията на матричен минор, използвайки пример.

Помислете за матрицата .

Нека запишем няколко минорни от първи ред на тази матрица. Например, ако изберем третия ред и втората колона на матрицата A, тогава нашият избор съответства на минор от първи ред . С други думи, за да получим този минор, зачеркнахме първия и втория ред, както и първата, третата и четвъртата колона от матрицата A и съставихме детерминантата от останалия елемент. Ако изберем първия ред и третата колона на матрицата A, тогава получаваме минор .

Нека илюстрираме процедурата за получаване на разглежданите непълнолетни от първи ред
и .

По този начин минорите от първи ред на матрица са самите матрични елементи.

Нека покажем няколко непълнолетни от втори ред. Изберете два реда и две колони. Например вземете първия и втория ред и третата и четвъртата колона. С този избор имаме второстепенен ред . Този минор може да се формира и чрез изтриване на третия ред, първата и втората колона от матрица A.

Друг минор от втори ред на матрица A е .

Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни минорни
и .

По подобен начин могат да се намерят минорите от трети порядък на матрицата A. Тъй като в матрица А има само три реда, ние ги избираме всички. Ако изберем първите три колони за тези редове, тогава получаваме минор от трети порядък

Може да се конструира и чрез изтриване на последната колона от матрицата A.

Друго второстепенно лице от трети ред е

получено чрез изтриване на третата колона от матрицата A.

Ето чертеж, показващ конструкцията на тези непълнолетни от трети порядък
и .

За дадена матрица A няма минорни от порядък по-висок от третия, тъй като .

Колко k-ти минора от порядъка на матрицата A съществуват?

Броят на ред k минорите може да се изчисли като , където и - броят на комбинациите от p до k и от n до k, съответно.

Как да построим всички минорни от порядък k на матрица A от порядък p на n?

Нуждаем се от набор от номера на редове на матрица и набор от номера на колони. Записване на всичко комбинации от p елементи от k(те ще съответстват на избраните редове от матрицата A при конструиране на минор от порядък k). Към всяка комбинация от номера на редове последователно добавяме всички комбинации от n елемента по k номера на колони. Тези набори от комбинации от номера на редове и колони на матрица A ще помогнат за съставянето на всички минорни числа от ред k.

Да вземем пример.

Пример.

Намерете всички второстепенни минорни числа на матрицата.

Решение.

Тъй като редът на оригиналната матрица е 3 на 3, тогава общият минор от втори ред ще бъде .

Нека запишем всички комбинации от 3 до 2 номера на реда на матрицата A: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Всички комбинации от номера на колони 3 по 2 са 1, 2; 1, 3 и 2, 3.

Вземете първия и втория ред на матрица А. Избирайки първата и втората колона за тези редове, първата и третата колона, втората и третата колона, получаваме съответно второстепенните

За първия и третия ред, с подобен избор на колони, имаме

Остава да добавите първата и втората, първа и трета, втора и трета колона към втория и третия ред:

И така, всички девет минора от втори порядък на матрицата A са намерени.

Сега можем да преминем към определяне на ранга на матрицата.

Определение.

Матричен ранге най-високият порядък на ненулевата минорна матрица.

Рангът на матрицата A се обозначава като Rank(A) . Можете също да видите обозначенията Rg(A) или Rang(A) .

От дефинициите на ранга на матрица и минора на матрица можем да заключим, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е поне един.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция.

И така, първият метод за намиране на ранга на матрица е второстепенен метод на изброяване. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата.

Нека трябва да намерим ранга на матрица A от ред.

Опишете накратко алгоритъмрешение на този проблем чрез метода на изброяване на непълнолетните.

Ако има поне един матричен елемент, който е различен от нула, тогава рангът на матрицата е поне равен на единица (тъй като има минор от първи ред, който не е равен на нула).

След това преглеждаме минорите от втори ред. Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако съществува поне един ненулев минор от втори ред, тогава преминаваме към изброяването на минорите от трети ред и рангът на матрицата е най-малко равен на две.

По същия начин, ако всички минорни от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е два. Ако има поне един ненулев минор от трети порядък, тогава рангът на матрицата е най-малко три и преминаваме към изброяването на минорите от четвърти ред.

Забележете, че рангът на матрица не може да надвишава най-малкото от p и n.

Пример.

Намерете ранга на матрица .

Решение.

Тъй като матрицата не е нула, нейният ранг е не по-малък от единица.

Минор от втори ред е различно от нула, следователно рангът на матрицата A е най-малко два. Преминаваме към изброяването на непълнолетните от трети ред. Всички тях неща.

Всички минорни от трети ред са равни на нула. Следователно рангът на матрицата е два.

Отговор:

Ранг(A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на ресни непълнолетни.

Има и други методи за намиране на ранга на матрица, които ви позволяват да получите резултата с по-малко изчислителна работа.

Един от тези методи е ресни второстепенен метод.

Да се справим с понятието граничещ непълнолетен.

Казва се, че минорното M ok от (k+1)-тия ред на матрицата A заобикаля минорното M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, съответстваща на минорното M ok "съдържа" матрицата, съответстваща на минорната М .

С други думи, матрицата, съответстваща на граничния минор M, се получава от матрицата, съответстваща на граничния минор M ok чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.

Например, помислете за матрицата и вземете непълнолетен от втори ред. Нека запишем всички граничещи непълнолетни:

Методът на граничещи минорите е обоснован със следната теорема (представяме нейната формулировка без доказателство).

Теорема.

Ако всички минори, граничещи с k-тия минор на матрица A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минори от порядък (k + 1) на матрица A са равни на нула.

По този начин, за да се намери ранга на матрица, не е необходимо да се изброяват всички малки, които са достатъчно гранични. Броят на минорите, граничещи с k-тия минор на матрицата A от порядъка, се намира по формулата . Забележете, че няма повече минорни числа, граничещи с минорите на k-тия порядък на матрицата A, отколкото има (k + 1)-ти минори на матрицата A. Следователно, в повечето случаи използването на метода за граничене на непълнолетни е по-изгодно от простото изброяване на всички непълнолетни.

Нека да продължим с намирането на ранга на матрица по метода на минорните ръбове. Опишете накратко алгоритъмтози метод.

Ако матрицата A е различна от нула, тогава приемаме всеки елемент от матрицата A, който е различен от нула, като минор от първи ред. Ние считаме неговите граничещи непълнолетни. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един граничещ минор, различен от нула (нейният ред е равен на два), тогава преминаваме към разглеждането на неговите граничещи минорни. Ако всички са нула, тогава Rank(A) = 2. Ако поне един граничещ минор е различен от нула (нейният ред е равен на три), тогава разглеждаме неговите граничещи минорни. И така нататък. В резултат на това Rank(A) = k, ако всички граничещи минорни елементи от (k + 1)-ия ред на матрица A са равни на нула, или Rank(A) = min(p, n), ако съществува ненула минор, граничещ с минор от порядък (min( p, n) – 1) .

Нека анализираме метода за гранични малки за намиране на ранга на матрица, като използваме пример.

Пример.

Намерете ранга на матрица по метода на граничните непълнолетни.

Решение.

Тъй като елементът a 1 1 от матрицата A е различен от нула, ние го приемаме като минор от първи ред. Нека започнем да търсим граничещ минор, различен от нула:

Открит е ненулев граничещ минор от втори ред. Нека изброим неговите граничещи непълнолетни (техн неща):

Всички минорни, граничещи с второстепенния минор, са равни на нула, следователно рангът на матрица A е равен на две.

Отговор:

Ранг(A) = 2.

Пример.

Намерете ранга на матрица с помощта на граничещи непълнолетни.

Решение.

Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 1 от матрицата A . Ограничаването му второстепенно не е равно на нула. Тази непълнолетна граничи с непълнолетна от трети порядък
. Тъй като тя не е равна на нула и за нея няма граничещ минор, рангът на матрицата A е равен на три.

Отговор:

Ранг(A) = 3.

Намиране на ранга с помощта на елементарни трансформации на матрицата (по метода на Гаус).

Помислете за друг начин за намиране на ранга на матрица.

Следните матрични трансформации се наричат елементарни:

пермутация на редовете (или колоните) на матрицата;
умножение на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което е различно от нула;
добавяне към елементите на произволен ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по произволно число k.

Матрица B се нарича еквивалентна на матрица A, ако B се получава от A с помощта на краен брой елементарни трансформации. Еквивалентността на матриците се обозначава със символа "~", тоест се пише A ~ B.

Намирането на ранга на матрица с помощта на елементарни матрични трансформации се основава на твърдението: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B) .

Валидността на това твърдение следва от свойствата на детерминанта на матрицата:

Когато редовете (или колоните) на матрицата са пермутирани, нейният детерминант променя знака. Ако е равно на нула, тогава при пермутиране на редовете (колони) остава равно на нула.
При умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, различно от нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, умножена по k. Ако детерминантът на оригиналната матрица е равен на нула, тогава след умножаване на всички елементи на всеки ред или колона по числото k, детерминантът на получената матрица също ще бъде равен на нула.
Добавянето към елементите на определен ред (колона) от матрицата на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по определено число k, не променя нейната детерминанта.

Същността на метода на елементарните трансформациие да приведем матрицата, чийто ранг трябва да намерим, до трапец (в конкретен случай до горен триъгълен) с помощта на елементарни трансформации.

За какво е? Рангът на матрици от този вид е много лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, съдържащи поне един ненулев елемент. И тъй като рангът на матрицата не се променя по време на елементарни трансформации, получената стойност ще бъде рангът на оригиналната матрица.

Даваме илюстрации на матрици, една от които трябва да се получи след трансформации. Тяхната форма зависи от реда на матрицата.

Тези илюстрации са шаблони, към които ще трансформираме матрицата A.

Да опишем алгоритъм на метода.

Да предположим, че трябва да намерим ранга на ненулева матрица A от порядък (p може да бъде равно на n).

Така, . Нека умножим всички елементи от първия ред на матрица A по . В този случай получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я A (1) :

Към елементите на втория ред на получената матрица A (1) добавяме съответните елементи от първия ред, умножени по . Към елементите на третия ред добавете съответните елементи от първия ред, умножени по . И така до p-тия ред. Получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я A (2) :

Ако всички елементи на получената матрица в редове от втория до p-тия са равни на нула, тогава рангът на тази матрица е равен на единица и следователно рангът на оригиналната матрица е равен на единица .

Ако има поне един ненулев елемент в редовете от втория до p-тия, тогава продължаваме да извършваме трансформации. Освен това, ние действаме по абсолютно същия начин, но само с частта от матрицата А, отбелязана на фигурата (2)

Ако , тогава пренареждаме редовете и (или) колоните на матрицата A (2), така че "новият" елемент да стане различен от нула.

За да работим с понятието ранг на матрица, се нуждаем от информация от темата "Алгебрични допълнения и минорни. Видове минорни и алгебрични допълнения" . На първо място, това се отнася до термина "матрична минор", тъй като ще определим ранга на матрица именно чрез минорите.

Матричен рангназовете максималния ред на неговите минорни, сред които има поне един, който не е равен на нула.

Еквивалентни матрициса матрици, чиито ранги са равни един на друг.

Нека обясним по-подробно. Да предположим, че има поне един сред минорите от втори ред, който е различен от нула. И всички непълнолетни, чийто ред е по-висок от две, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 2. Или, например, сред минорите от десети ред има поне един, който не е равен на нула. И всички непълнолетни, чийто порядък е по-висок от 10, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 10.

Рангът на матрицата $A$ се обозначава по следния начин: $\rang A$ или $r(A)$. Рангът на нулевата матрица $O$ е равен на нула, $\rang O=0$. Нека ви напомня, че за да се образува минор на матрица, е необходимо да се зачеркнат редове и колони, но е невъзможно да се зачертаят повече редове и колони, отколкото съдържа самата матрица. Например, ако матрицата $F$ има размер $5\ пъти 4$ (т.е. съдържа 5 реда и 4 колони), тогава максималният ред на нейните минорни е четири. Вече няма да е възможно да се формират второстепенни от пети ред, тъй като те ще изискват 5 колони (а ние имаме само 4). Това означава, че рангът на матрицата $F$ не може да бъде по-голям от четири, т.е. $\rang F≤4$.

В по-общ вид горното означава, че ако матрицата съдържа $m$ редове и $n$ колони, тогава нейният ранг не може да надвишава най-малкото от числата $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

По принцип начинът за намирането му следва от самото определение на ранга. Процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция може да бъде схематично представен по следния начин:

Нека обясня тази диаграма по-подробно. Да започнем да разсъждаваме от самото начало, т.е. с минорите от първи ред на някаква матрица $A$.

Ако всички минорни елементи от първи ред (т.е. елементи от матрицата $A$) са равни на нула, тогава $\rang A=0$. Ако сред минорите от първи ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 1$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от втори ред.
Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава $\rang A=1$. Ако сред минорите от втори ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 2$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от трети ред.
Ако всички минорни от трети ред са равни на нула, тогава $\rang A=2$. Ако сред минорите от трети порядък има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверка на непълнолетните от четвърти ред.
Ако всички минорни от четвърти ред са равни на нула, тогава $\rang A=3$. Ако има поне един ненулев минор от четвърти ред, тогава $\rang A≥ 4$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от пети ред и т.н.

Какво ни очаква в края на тази процедура? Възможно е сред минорите от k-тия ред да има поне един, който е различен от нула, и всички минорни от (k + 1)-ти ред ще бъдат равни на нула. Това означава, че k е максималният ред на минорите, сред които има поне един, който не е равен на нула, т.е. рангът ще бъде равен на k. Може да има различна ситуация: сред минорите от k-ти ред ще има поне един, който не е равен на нула, а минорите от (k + 1)-ти ред не могат да се образуват. В този случай рангът на матрицата също е равен на k. Накратко казано, реда на последния съставен ненулев минор и ще бъде равен на ранга на матрицата.

Нека да преминем към примери, в които процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция ще бъде илюстриран ясно. Още веднъж подчертавам, че в примерите на тази тема ще намерим ранга на матриците, използвайки само дефиницията на ранга. Други методи (изчисляване на ранга на матрица по метода на граничните минорни, изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации) са разгледани в следващите теми.

Между другото, изобщо не е необходимо да се започва процедурата за намиране на ранга от непълнолетни от най-малкия ред, както беше направено в примери № 1 и № 2. Можете веднага да отидете при непълнолетни от по-високи порядки (вижте пример № 3).

Пример №1

Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\right)$.

Тази матрица има размер $3\ пъти 5$, т.е. съдържа три реда и пет колони. От числата 3 и 5 3 е минимумът, така че рангът на матрицата $A$ е най-много 3, т.е. $\ранг A≤ 3$. И това неравенство е очевидно, тъй като вече не можем да формираме минорите от четвърти ред - те се нуждаят от 4 реда, а ние имаме само 3. Нека да преминем директно към процеса на намиране на ранга на дадена матрица.

Сред минорите от първи ред (тоест сред елементите на матрицата $A$) има ненулеви. Например 5, -3, 2, 7. Като цяло не ни интересува общият брой ненулеви елементи. Има поне един ненулев елемент - и това е достатъчно. Тъй като сред минорите от първи ред има поне един ненулев, ние заключаваме, че $\rang A≥ 1$ и продължаваме да проверяваме минорите от втори ред.

Нека започнем да изследваме непълнолетните от втори ред. Например, в пресечната точка на редове #1, #2 и колони #1, #4 има елементи от следния минор: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (масив) \вдясно| $. За този детерминант всички елементи от втората колона са равни на нула, следователно самият детерминант е равен на нула, т.е. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (вижте свойство #3 в свойството на детерминантите). Или можете просто да изчислите този детерминант, като използвате формула № 1 от раздела за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Първият минор от втория ред, който проверихме, се оказа равен на нула. Какво пише? Относно необходимостта от допълнителна проверка на непълнолетни от втори ред. Или всички те се оказват нула (и тогава рангът ще бъде равен на 1), или сред тях има поне едно второстепенно, което е различно от нула. Нека се опитаме да направим по-добър избор, като напишем минор от втори ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове #1, #2 и колони #1 и #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Нека намерим стойността на този минор от втори ред:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Този минор не е равен на нула. Заключение: сред непълнолетните от втори ред има поне един различен от нула. Следователно $\rank A≥ 2$. Необходимо е да се пристъпи към изследване на непълнолетни от трети ред.

Ако за формиране на минорите от трети ред ще изберем колона No 2 или колона No 4, тогава такива минорни ще бъдат равни на нула (защото ще съдържат нулева колона). Остава да се провери само една непълнолетна от трети ред, чиито елементи са разположени на пресечната точка на колони No 1, No 3, No 5 и редове No 1, No 2, No 3. Нека напишем този минор и да намерим неговата стойност:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

И така, всички минорни от трети ред са равни на нула. Последният ненулев минор, който компилирахме, беше от втори ред. Заключение: максималният ред на минорите, сред които има поне един различен от нула, е равен на 2. Следователно, $\rang A=2$.

Отговор: $\ранг A=2$.

Пример №2

Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(масив) \вдясно)$.

Имаме квадратна матрица от четвърти ред. Веднага отбелязваме, че рангът на тази матрица не надвишава 4, т.е. $\ранг A≤ 4$. Нека започнем да намираме ранга на матрица.

Сред минорите от първи ред (тоест сред елементите на матрицата $A$) има поне един, който не е равен на нула, така че $\rang A≥ 1$. Преминаваме към проверката на непълнолетни от втори ред. Например при пресечната точка на редове № 2, № 3 и колони № 1 и № 2 получаваме следния минор от втори ред: $\left| \begin(масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Нека го изчислим:

$$ \вляво| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Сред минорите от втори ред има поне един, който не е равен на нула, така че $\rang A≥ 2$.

Да преминем към непълнолетни от трети ред. Нека намерим например непълнолетен, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове No 1, No 3, No 4 и колони No 1, No 2, No 4:

$$ \вляво | \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Тъй като този минор от трети порядък се оказа равен на нула, е необходимо да се изследва друг минор от трети ред. Или всички те ще бъдат равни на нула (тогава рангът ще бъде равен на 2), или сред тях ще има поне един, който не е равен на нула (тогава ще започнем да изучаваме непълнолетни от четвърти ред). Помислете за минор от трети ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 2, № 3, № 4 и колони № 2, № 3, № 4:

$$ \вляво| \begin(масив) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Има поне един ненулев минор сред минорите от трети ред, така че $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверка на непълнолетните от четвърти ред.

Всеки минор от четвърти ред се намира в пресечната точка на четири реда и четири колони на матрицата $A$. С други думи, минорът от четвърти ред е детерминантата на матрицата $A$, тъй като тази матрица съдържа само 4 реда и 4 колони. Детерминантата на тази матрица е изчислена в пример № 2 от темата "Намаляване на реда на детерминантата. Разлагане на детерминанта в ред (колона)" , така че нека просто вземем готовия резултат:

$$ \вляво| \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (масив)\вдясно|=86. $$

И така, минорът от четвърти ред не е равен на нула. Вече не можем да образуваме непълнолетни от пети ред. Заключение: най-високият ред на непълнолетните, сред които има поне един различен от нула, е 4. Резултат: $\rang A=4$.

Отговор: $\ранг A=4$.

Пример №3

Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( масив)\вдясно)$.

Забележете веднага, че тази матрица съдържа 3 реда и 4 колони, така че $\rang A≤ 3$. В предишните примери започнахме процеса на намиране на ранга, като разгледахме непълнолетните от най-малкия (първи) ред. Тук ще се опитаме незабавно да проверим непълнолетните от най-високия възможен ред. За матрицата $A$ това са минорите от трети ред. Помислете за минор от трети ред, чиито елементи лежат в пресечната точка на редове № 1, № 2, № 3 и колони № 2, № 3, № 4:

$$ \вляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

И така, най-високият ред на минорите, сред които има поне един, който не е равен на нула, е 3. Следователно рангът на матрицата е 3, т.е. $\ранг A=3$.

Отговор: $\ранг A=3$.

Като цяло, намирането на ранга на матрица по дефиниция е, в общия случай, доста отнемаща време задача. Например, сравнително малка матрица $5\x4$ има 60 второстепенни минорни числа. И дори ако 59 от тях са равни на нула, тогава 60-ият минор може да се окаже различен от нула. След това трябва да проучите второстепенните от трети порядък, от които тази матрица има 40 части. Обикновено човек се опитва да използва по-малко тромави методи, като метода на граничещи непълнолетни или метода на еквивалентни трансформации.

Тази статия ще обсъди такова понятие като ранг на матрица и необходимите допълнителни понятия. Ще дадем примери и доказателства за намиране на ранга на матрица, а също така ще ви кажем какво е матричен минор и защо е толкова важен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Матричен минор

За да разберем какъв е рангът на матрицата, е необходимо да разберем такова понятие като минор на матрицата.

Определение 1

Незначителенкматрица от порядък - детерминантата на квадратна матрица от порядъка k × k, която е съставена от елементите на матрицата A, разположени в предварително избрани k-редове и k-колони, като се запазва позицията на елементите на матрицата A.

Просто казано, ако изтрием (p-k) редове и (n-k) колони в матрица A и направим матрица от тези елементи, които остават, запазвайки подредбата на елементите на матрица A, тогава детерминантата на получената матрица е минор от порядък k на матрица A.

От примера следва, че минорите от първи ред на матрицата A са самите матрични елементи.

Можем да дадем няколко примера за непълнолетни от 2-ри ред. Нека изберем два реда и две колони. Например 1-ви и 2-ри ред, 3-та и 4-та колона.

При този избор на елементи минорът от втори ред ще бъде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Друг минор от 2-ри порядък на матрица A е 0 0 1 1 = 0

Нека предоставим илюстрации на конструкцията на минорите от втори ред на матрицата A:

Минорът от 3-ти порядък се получава чрез изтриване на третата колона от матрица A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Илюстрация на това как се получава минор от 3-ти порядък на матрица A:

За дадена матрица няма минорни по-високи от 3-ти ред, т.к

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3, 4) = 3

Колко k-ти порядък минор има за матрица A от порядък p×n?

Броят на непълнолетните се изчислява по следната формула:

C p k × C n k , g e C p k = p ! к! (р - к)! и C nk = n ! к! (n - k) ! - броят на комбинациите от p до k, от n до k, съответно.

След като решим какви са минорите на матрицата A, можем да пристъпим към определяне на ранга на матрицата A.

Матричен ранг: методи за намиране

Определение 2

Матричен ранг - най-високият ред на матрицата, различен от нула.

Обозначение 1

ранг (A), Rg(A), Rang(A).

От дефиницията на ранга на матрица и минор на матрица става ясно, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е различен от нула.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция

Определение 3

Малък метод на изброяване - метод, базиран на определяне на ранга на матрица.

Алгоритъм на действията чрез изброяване на непълнолетни :

Необходимо е да се намери ранга на матрицата A от порядък стр× н. Ако има поне един ненулев елемент, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица ( защото е минор от 1-ви ред, който не е равен на нула).

След това следва изброяване на непълнолетните от 2-ри ред. Ако всички минорни от 2-ри ред са равни на нула, тогава рангът е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от 2-ри ред, е необходимо да се премине към изброяването на минорите от 3-ти ред и рангът на матрицата в този случай ще бъде равен на поне две.

Нека направим същото с ранга от 3-ти ред: ако всички минорни числа на матрицата са равни на нула, тогава рангът ще бъде равен на две. Ако има поне един ненулев минор от трети ред, тогава рангът на матрицата е поне три. И така нататък, по аналогия.

Пример 2

Намерете ранга на матрица:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Тъй като матрицата не е нула, нейният ранг е най-малко равен на единица.

Минорът от 2-ри ред - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 е различен от нула. Това означава, че рангът на матрицата A е най-малко два.

Подреждаме непълнолетните от 3-ти ред: C 3 3 × C 5 3 = 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 бр.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Минорите от 3-ти порядък са нула, така че рангът на матрицата е два.

Отговор : Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на ресни малки

Определение 3

Малък метод на ресни - метод, който ви позволява да получите резултат с по-малко изчислителна работа.

Ренни минор - минор M o k (k + 1) -ти ред на матрицата A, който граничи с минорния M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, която отговаря на минорното M o k "съдържа" матрицата, която съответства на минорната М.

Най-просто казано, матрицата, съответстваща на ограниченото второстепенно M o k, се получава от матрицата, съответстваща на граничното второстепенно M o k, чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.

Пример 3

Намерете ранга на матрица:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

За да намерим ранга, вземаме минор от 2-ри ред M = 2 - 1 4 1

Записваме всички граничещи непълнолетни:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

За да обосноваме метода на граничещи минорите, представяме теорема, чието формулиране не изисква доказателствена основа.

Теорема 1

Алгоритъм за действие :

За да намерите ранга на матрица, не е необходимо да преминавате през всички непълнолетни, просто погледнете границите.

Ако граничещите малки са равни на нула, тогава рангът на матрицата е нула. Ако има поне един минор, който не е равен на нула, тогава ние считаме граничещи минор.

Ако всички са нула, тогава ранг(A) е две. Ако има поне един граничещ минор, различен от нула, тогава продължаваме да разглеждаме неговите граничещи минорни. И така нататък, по подобен начин.

Пример 4

Намерете ранга на матрица по метода на индикация на минорите

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 от матрицата A не е равен на нула, тогава вземаме минор от 1-ви ред. Нека започнем да търсим граничещ минор, различен от нула:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Намерихме граничещ минор от 2-ри ред, който не е равен на нула 2 0 4 1 .

Нека изброим граничещите минори - (има (4 - 2) × (5 - 2) = 6 броя).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Отговор : Ранг(A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус (с помощта на елементарни трансформации)

Припомнете си какви са елементарните трансформации.

Елементарни трансформации:

чрез пренареждане на редовете (колони) на матрицата;
чрез умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата по произволно ненулево число k;

чрез добавяне към елементите на всеки ред (колона) елементи, които съответстват на друг ред (колона) от матрицата, които се умножават по произволно число k.

Определение 5

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус - метод, базиран на теорията за еквивалентността на матриците: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B).

Валидността на това твърдение следва от дефиницията на матрицата:

в случай на пермутация на редове или колони на матрица, нейната детерминанта променя знака. Ако е равно на нула, тогава при пермутиране на редове или колони остава равно на нула;
в случай на умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което не е равно на нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, която се умножава от k;

в случай на добавяне към елементите на определен ред или колона от матрицата на съответните елементи от друг ред или колона, които се умножават по числото k, не променя неговия детерминант.

Същността на метода на елементарните трансформации : редуцираме матрицата, чийто ранг се намира, до трапецовидна, използвайки елементарни трансформации.

За какво?

Рангът на матрици от този вид е доста лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, които имат поне един ненулев елемент. И тъй като рангът не се променя по време на елементарни трансформации, това ще бъде рангът на матрицата.

Нека илюстрираме този процес:

за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-голям от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-малък от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

за квадратни матрици A от порядък n по n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 0 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k ,< n

Пример 5

Намерете ранга на матрица A с помощта на елементарни трансформации:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 е различен от нула, е необходимо да се умножат елементите от първия ред на матрицата A по 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Към елементите на 2-ри ред добавяме съответните елементи от 1-ви ред, които се умножават по (-3). Към елементите на 3-ти ред добавяме елементите от 1-ви ред, които се умножават по (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елементът a 22 (2) е различен от нула, така че умножаваме елементите на 2-рия ред на матрицата A по A (2) по a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Към елементите от 3-тия ред на получената матрица добавяме съответните елементи от 2-рия ред, които се умножават по 3 2 ;
към елементите от 4-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 9 2 ;
към елементите на 5-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 3 2 .

Всички елементи на реда са нула. Така с помощта на елементарни трансформации сме свели матрицата до трапецовидна форма, от която се вижда, че R a n k (A (4)) = 2 . От това следва, че рангът на оригиналната матрица също е равен на две.

Коментирайте

Ако извършвате елементарни трансформации, тогава приблизителни стойности не са разрешени!

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter