Класическата дефиниция на вероятността за случайно събитие. Вероятност, случайно събитие, случайна променлива. Статистическо определение на вероятността

Основи на теорията на вероятностите

План:

1. Случайни събития

2. Класическо определениевероятности

3. Изчисляване на вероятности за събития и комбинаторика

4. Геометрична вероятност

Теоретична информация

Случайни събития.

случайно явление- явление, чийто изход е недвусмислено определен. Това понятие може да се тълкува в доста широк смисъл. А именно: всичко в природата е съвсем случайно, появата и раждането на всеки индивид е случаен феномен, изборът на стоки в магазин също е случаен феномен, получаването на оценка на изпит е случаен феномен, болестта и възстановяването са случайни явления и др.

Примери за случайни явления:

~ Стрелбата се извършва от пистолет, поставен под определен ъгъл спрямо хоризонта. Попадането му в целта е случайно, но удрянето на снаряд в определена "вилица" е шаблон. Можете да посочите разстоянието по-близо от и отвъд което снарядът няма да лети. Вземете малко "вилица разпръскване на черупки"

~ Едно и също тяло се претегля няколко пъти. Строго погледнато, всеки път ще се получават различни резултати, макар и да се различават с пренебрежимо малко количество, но различни.

~ Самолет, който лети по същия маршрут, има определен полетен коридор, в който самолетът може да маневрира, но никога няма да има точно същия маршрут

~ Един атлет никога няма да може да пробяга еднакво разстояние с едно и също време. Резултатите му също ще бъдат в определен числов диапазон.

Опитът, експериментът, наблюдението са тестове

Пробен период- наблюдение или изпълнение на определен набор от условия, които се изпълняват многократно и редовно се повтарят в същата последователност, продължителност, при спазване на други идентични параметри.

Нека разгледаме изпълнението от спортиста на изстрел в мишена. За да бъде произведен, е необходимо да се изпълнят условия като подготовка на спортиста, зареждане на оръжието, прицелване и др. "Удар" и "пропускане" са събития в резултат на изстрел.

Събитие– резултат от качествен тест.

Събитие може да се случи или не. Събитията се обозначават с главни латински букви. Например: D ="Стрелецът уцели целта". S="Изтеглена бяла топка". K="Случаен лотариен билет без печалба.".

Хвърлянето на монета е изпитание. Падането на нейния „герб“ е едно събитие, падането на нейния „номер“ е второто събитие.

Всеки тест включва появата на няколко събития. Някои от тях може да са необходими този моментвреме за изследователя, други са ненужни.

Събитието се нарича случайно, ако при изпълнение на определен набор от условия Сможе или да се случи, или да не се случи. По-нататък, вместо да кажем „наборът от условия S е изпълнен“, ще кажем накратко: „тестът беше проведен“. По този начин събитието ще се счита за резултат от теста.

~ Стрелецът стреля по цел, разделена на четири зони. Изстрелът е изпитание. Попадането на определена област от целта е събитие.

~ В урната има цветни топки. Една топка се изтегля на случаен принцип от урната. Изваждането на топка от урна е тест. Появата на топка с определен цвят е събитие.

Видове случайни събития

1. Казват, че събитията са несъвместимиако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други събития в същия опит.

~ Част е взета на случаен принцип от кутия с части. Появата на стандартна част изключва появата на нестандартна част. Събития € се появи стандартна част" и се появи нестандартна част" - несъвместимо.

~ Хвърли се монета. Появата на "герба" ​​изключва появата на надписа. Събитията "появи се герб" и "появи се надпис" са несъвместими.

Оформят се няколко събития пълна група,ако поне един от тях се появи в резултат на теста. С други думи, настъпването на поне едно от събитията от пълната група е определено събитие.

По-специално, ако събитията, които образуват пълна група, са двойно несъвместими, тогава в резултат на теста ще се появи едно и само едно от тези събития. Този специален случай представлява най-голям интерес за нас, тъй като се използва по-долу.

~ Закупени са два билета от лотарията за пари и дрехи. Трябва да се случи едно и само едно от следните събития:

1. "печалбите паднаха на първия билет и не паднаха на втория",

2. "печалбите не паднаха на първия билет и паднаха на втория",

3. "печалбите паднаха и на двата билета",

4. "и двата билета не са спечелени."

Тези събития образуват пълна група от несъвместими по двойки събития,

~ Стрелецът стреля в целта. Едно от следните две събития със сигурност ще се случи: удар, пропуск. Тези две несвързани събития също образуват пълна група.

2. Събитията се наричат еднакво възможноако има основание да се смята, че нито едно от тях не е по-възможно от другото.

~ Появата на "герб" и появата на надпис при хвърляне на монета са еднакво възможни събития. Всъщност се приема, че монетата е изработена от хомогенен материал, има правилна цилиндрична форма и наличието на монета не влияе на загубата на една или друга страна на монетата.

~ Появата на един или друг брой точки върху хвърлен зар е еднакво вероятно събитие. Всъщност се приема, че матрицата е направена от хомогенен материал, има формата на правилен полиедър и наличието на точки не влияе на загубата на лице.

3. Събитието се нарича автентичен,ако не може да се случи

4. Събитието се нарича не е надежденако не може да се случи.

5. Събитието се нарича противоположнокъм някакво събитие, ако се състои от ненастъпване на даденото събитие. Противоположните събития не са съвместими, но едно от тях задължително трябва да се случи. Противоположните събития обикновено се наричат ​​отрицания, т.е. над буквата е изписано тире. Събитията са противоположни: A и Ā; U и Ū и др. .

Класическата дефиниция на вероятността

Вероятността е едно от основните понятия на теорията на вероятностите.

Има няколко дефиниции на това понятие. Нека дадем определение, което се нарича класическо. След това посочваме слабостите на тази дефиниция и даваме други дефиниции, които дават възможност за преодоляване на недостатъците на класическата дефиниция.

Помислете за ситуацията: кутия съдържа 6 еднакви топки, 2 са червени, 3 са сини и 1 е бяла. Очевидно възможността за изтегляне на произволно цветна (т.е. червена или синя) топка от урна е по-голяма от възможността за изтегляне на бяла топка. Тази възможност може да се характеризира с число, което се нарича вероятност за събитие (появата на цветна топка).

Вероятност- число, характеризиращо степента на възможност за настъпване на събитието.

В разглежданата ситуация означаваме:

Събитие A = "Изваждане на цветна топка".

Всеки от възможните резултати от теста (тестът се състои в извличане на топка от урната) се нарича елементарен (възможен) резултат и събитие.Елементарните резултати могат да бъдат обозначени с букви с индекси по-долу, например: k 1 , k 2 .

В нашия пример има 6 топки, така че има 6 възможни изхода: появи се бяла топка; се появи червена топка; се появи синя топка и т.н. Лесно е да се види, че тези резултати образуват пълна група от несъвместими по двойки събития (задължително ще се появи само една топка) и те са еднакво вероятни (топката е извадена на случаен принцип, топките са еднакви и добре смесени).

Елементарни резултати, при които се случва събитието, което ни интересува, ще извикаме благоприятни резултатитова събитие. В нашия пример събитието е предпочитано НО(появата на цветна топка) следните 5 резултата:

Така събитието НОнаблюдава се, ако се появи в теста, без значение кой, от елементарните резултати, които благоприятстват НО.Така изглежда всяка цветна топка, от която в кутията има 5 броя

В разглеждания пример за елементарни резултати 6; от които 5 благоприятстват събитието НО.следователно, P(A)= 5/6. Това число дава тази количествена оценка на степента на възможност за появата на цветна топка.

Определение на вероятността:

Вероятност за събитие Ае съотношението на броя на благоприятните резултати за това събитие към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълна група.

P(A)=m/n или P(A)=m: n, където:

m е броят на елементарните резултати, които благоприятстват НО;

П- броят на всички възможни елементарни резултати от теста.

Тук се приема, че елементарните резултати са несъвместими, еднакво вероятни и образуват пълна група.

Следните свойства следват от дефиницията на вероятността:

1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Всъщност, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста благоприятства събитието. В такъв случай m = nследователно p=1

2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Всъщност, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от изпитанието не благоприятства събитието. В този случай m=0, следователно p=0.

3.Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно. 0т< n.

В следващите теми ще бъдат дадени теореми, които ни позволяват да намерим вероятностите на други събития от известните вероятности на някои събития.

Измерване. В групата ученици има 6 момичета и 4 момчета. Каква е вероятността случайно избран ученик да бъде момиче? ще бъде ли млад мъж?

p dev = 6 / 10 = 0,6 p jun = 4 / 10 = 0,4

Концепцията за "вероятност" в съвременните строги курсове по теория на вероятностите е изградена на база теория на множествата. Нека да разгледаме някои от този подход.

Да предположим, че в резултат на теста се случва едно и само едно от следните събития: w i(i=1, 2, .... n). Развития w i, е наречен елементарни събития (елементарни резултати). ОТНОСНОот това следва, че елементарните събития са двойно несъвместими. Наборът от всички елементарни събития, които могат да се появят в едно изпитание, се нарича елементарно пространство за събитияΩ (гръцка буква омега главна) и самите елементарни събития - точки в това пространство..

Събитие НОидентифицирани с подмножество (от пространството Ω), чиито елементи са елементарни резултати, благоприятстващи НО;събитие INе подмножество Ω, чиито елементи са резултати, които благоприятстват В,По този начин наборът от всички събития, които могат да възникнат в теста, е множеството от всички подмножества на Ω. Самото Ω възниква за всеки резултат от теста, следователно Ω е определено събитие; празно подмножество на пространството Ω е -невъзможно събитие (то не се случва за нито един резултат от теста).

Елементарните събития се разграничават от всички събития по теми, „всяко от тях съдържа само един елемент Ω

Към всеки елементарен резултат w iсъвпада с положително число п ие вероятността за този резултат и сумата от всички п иравен на 1 или със знака на сбора, този факт ще бъде записан като израз:

По дефиниция, вероятността P(A)разработки НОе равна на сумата от вероятностите за благоприятни елементарни резултати НО.Следователно, вероятността за определено събитие е равна на единица, невъзможното - на нула, произволно - е между нула и единица.

Нека разгледаме важен частен случай, когато всички резултати са еднакво вероятни.Броят на резултатите е равен на l, сумата от вероятностите на всички резултати е равна на единица; следователно вероятността за всеки изход е 1/n. Нека събитието НОблагоприятства m резултати.

Вероятност за събитие НОе равно на сбора от вероятностите за благоприятни резултати НО:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Получава се класическата дефиниция на вероятността.

Все още има аксиоматиченподход към понятието "вероятност". В предложената система от аксиоми. Колмогоров А.Н., недефинираните понятия са елементарно събитие и вероятност. Изграждането на логически завършена теория на вероятностите се основава на аксиоматичното определение на случайно събитие и неговата вероятност.

Ето аксиомите, които определят вероятността:

1. Всяко събитие НОприсвоено неотрицателно реално число P(A).Това число се нарича вероятност за събитието. НО.

2. Вероятността за определено събитие е равна на единица:

3. Вероятността за възникване на поне едно от несъвместимите по двойки събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Въз основа на тези аксиоми, свойствата на вероятностите за връзката между тях се извеждат като теореми.

За да се съпоставят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-възможно е събитието. Наричаме това число вероятността за събитието. По този начин, вероятност за събитиее числена мярка за степента на обективна възможност за това събитие.

Класическата дефиниция на вероятността, която възникна от анализа на хазарта и първоначално беше приложена интуитивно, трябва да се счита за първата дефиниция на вероятността.

Класическият метод за определяне на вероятността се основава на концепцията за еднакво вероятни и несъвместими събития, които са резултат от даден опит и образуват пълна група от несъвместими събития.

Най-простият пример за еднакво възможни и несъвместими събития, които образуват пълна група, е появата на една или друга топка от урна, съдържаща няколко топки с еднакъв размер, тегло и други осезаеми характеристики, различаващи се само по цвят, добре смесени преди да бъдат извадени .

Поради това се казва, че едно изпитание, резултатите от което образуват пълна група от несъвместими и еднакво вероятни събития, се свежда до схемата на урните, или схемата на случаите, или се вписва в класическата схема.

Еднакво възможни и несъвместими събития, които съставляват пълна група, ще се наричат ​​просто случаи или шансове. Освен това във всеки експеримент, наред със случаите, могат да възникнат по-сложни събития.

Пример: При хвърляне на зар, заедно със случаи A i - i-точки, падащи върху горната част, събития като B - четен брой точки, изпадащи, C - кратно на три точки, падащи ...

По отношение на всяко събитие, което може да се случи по време на провеждането на експеримента, случаите се разделят на благоприятен, при който настъпва това събитие, и неблагоприятни, при които събитието не настъпва. В предишния пример събитие B се предпочита от случаите A 2 , A 4 , A 6 ; събитие C - случаи A 3 , A 6 .

класическа вероятностнастъпването на някакво събитие е съотношението на броя на случаите, които благоприятстват появата на това събитие, към общия брой случаи на еднакво възможни, несъвместими, съставляващи пълна група в даден опит:

където P(A)- вероятност за настъпване на събитие А; м- брой случаи, благоприятни за събитие А; не общият брой на случаите.

Примери:

1) (виж примера по-горе) P(B)= , P(C) =.

2) Една урна съдържа 9 червени и 6 сини топки. Намерете вероятността една или две топки, изтеглени на случаен принцип, да бъдат червени.

НО- червена топка, изтеглена на случаен принцип:

м= 9, н= 9 + 6 = 15, P(A)=

Б- две червени топки, изтеглени на случаен принцип:

Следните свойства следват от класическата дефиниция на вероятността (покажете себе си):

1) Вероятността за невъзможно събитие е 0;

2) Вероятността за определено събитие е 1;

3) Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1;

4) Вероятността за събитие, противоположно на събитие А,

Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на резултатите от едно изпитание е краен. На практика обаче много често има процеси, чийто брой възможни случаи е безкраен. В допълнение, слабостта на класическата дефиниция е, че много често е невъзможно да се представи резултатът от тест под формата на набор от елементарни събития. Още по-трудно е да се посочи основанието да се считат елементарните резултати от теста за еднакво вероятни. Обикновено равенството на елементарните резултати от теста се заключава от съображения за симетрия. Такива задачи обаче са много редки на практика. Поради тези причини, наред с класическата дефиниция на вероятността, се използват и други дефиниции на вероятността.

Статистическа вероятностсъбитие А е относителната честота на възникване на това събитие в извършените тестове:

където е вероятността за настъпване на събитие А;

Относителна честота на поява на събитие А;

Броят на опитите, в които се е появило събитие А;

Общият брой опити.

За разлика от класическата вероятност, статистическата вероятност е характеристика на експерименталната, експерименталната.

Пример: За контрол на качеството на продуктите от партида бяха избрани на случаен принцип 100 продукта, сред които 3 продукта се оказаха дефектни. Определете вероятността за брак.

Статистическият метод за определяне на вероятността е приложим само за онези събития, които имат следните свойства:

Разглежданите събития трябва да бъдат резултати само от онези опити, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти при един и същи набор от условия.

Събитията трябва да имат статистическа стабилност (или стабилност на относителните честоти). Това означава, че в различни серии от тестове относителната честота на събитието не се променя значително.

Броят на опитите, които водят до събитие А, трябва да бъде достатъчно голям.

Лесно е да се провери, че свойствата на вероятността, които следват от класическото определение, също са запазени в статистическата дефиниция на вероятността.

Първоначално, като просто колекция от информация и емпирични наблюдения на играта на зарове, теорията на вероятността се превърна в солидна наука. Ферма и Паскал са първите, които му дават математическа рамка.

От разсъждения за вечното до теорията на вероятностите

Двете личности, на които теорията на вероятностите дължи много фундаментални формули, Блез Паскал и Томас Байес, са известни като дълбоко религиозни хора, последният е бил презвитериански служител. Очевидно желанието на тези двама учени да докажат погрешността на мнението за определена Фортуна, даряваща късмет на нейните фаворити, даде тласък на изследванията в тази област. В крайна сметка, всъщност всяка игра на късмета, с нейните печалби и загуби, е просто симфония от математически принципи.

Благодарение на вълнението на шевалие дьо Мер, който беше еднакво комарджия и човек, който не беше безразличен към науката, Паскал беше принуден да намери начин да изчисли вероятността. Де Мере се интересуваше от този въпрос: „Колко пъти трябва да хвърлите два зара по двойки, така че вероятността да получите 12 точки да надхвърли 50%?“. Вторият въпрос, който изключително заинтригува господина: "Как да разделим залога между участниците в недовършената игра?" Разбира се, Паскал успешно отговори и на двата въпроса на дьо Мер, който стана неволен инициатор на развитието на теорията на вероятностите. Интересно е, че личността на дьо Мере остана известна в тази област, а не в литературата.

Преди това никой математик все още не е правил опит да изчисли вероятностите на събитията, тъй като се смяташе, че това е само решение за догадки. Блез Паскал даде първата дефиниция на вероятността за събитие и показа, че това е конкретна цифра, която може да бъде обоснована математически. Теорията на вероятностите се превърна в основа на статистиката и се използва широко в съвременната наука.

Какво е случайност

Ако разгледаме тест, който може да се повтори безкраен брой пъти, тогава можем да дефинираме случайно събитие. Това е един от възможните резултати от опита.

Опитът е изпълнението на конкретни действия в постоянни условия.

За да можете да работите с резултатите от опита, събитията обикновено се обозначават с буквите A, B, C, D, E ...

Вероятност за случайно събитие

За да може да се премине към математическата част на вероятността, е необходимо да се дефинират всички нейни компоненти.

Вероятността за събитие е числена мярка за възможността за настъпване на някакво събитие (A или B) в резултат на преживяване. Вероятността се обозначава като P(A) или P(B).

Теорията на вероятностите е:

• надежденсъбитието е гарантирано да настъпи в резултат на експеримента Р(Ω) = 1;
• невъзможенсъбитието никога не може да се случи Р(Ø) = 0;
• произволенсъбитието се намира между сигурно и невъзможно, тоест вероятността за възникването му е възможна, но не е гарантирана (вероятността за случайно събитие винаги е в рамките на 0≤P(A)≤1).

Връзки между събития

Както едното, така и сборът от събития A + B се вземат предвид, когато събитието се отчита при изпълнението на поне един от компонентите, A или B, или и двете - A и B.

Във връзка едно с друго събитията могат да бъдат:

• Еднакво възможно.
• съвместими.
• Несъвместими.
• Противоположни (взаимно изключващи се).
• Зависим.

Ако две събития могат да се случат с еднаква вероятност, тогава те еднакво възможно.

Ако настъпването на събитие А не анулира вероятността за настъпване на събитие Б, тогава те съвместими.

Ако събития A и B никога не се случват по едно и също време в един и същи експеримент, тогава те се наричат несъвместими. Хвърлянето на монета е добър пример: издигането на опашки автоматично не е нагоре.

Вероятността за сбора на такива несъвместими събития се състои от сбора на вероятностите за всяко от събитията:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ако настъпването на едно събитие прави невъзможно възникването на друго, тогава те се наричат ​​противоположни. Тогава единият от тях се обозначава като A, а другият - Ā (чете се като "не A"). Настъпването на събитие А означава, че Ā не се е случило. Тези две събития образуват пълна група със сума от вероятности, равна на 1.

Зависимите събития имат взаимно влияние, намалявайки или увеличавайки вероятността взаимно.

Връзки между събития. Примери

Много по-лесно е да се разберат принципите на теорията на вероятностите и комбинацията от събития, като се използват примери.

Експериментът, който ще се проведе, е да се извадят топките от кутията, като резултатът от всеки експеримент е елементарен резултат.

Събитие е един от възможните резултати от преживяване - червена топка, синя топка, топка с числото шест и т.н.

Тест номер 1. Има 6 топки, три от които са сини с нечетни числа, а останалите три са червени с четни.

Тест номер 2. Има 6 сини топки с числа от едно до шест.

Въз основа на този пример можем да назовем комбинации:

• Надеждно събитие.На Испански № 2, събитието "получи синята топка" е надеждно, тъй като вероятността за възникването му е 1, тъй като всички топки са сини и не може да има пропуск. Докато събитието „вземете топката с номер 1“ е произволно.
• Невъзможно събитие.На Испански № 1 със сини и червени топки, събитието "получи лилавата топка" е невъзможно, тъй като вероятността за възникването му е 0.
• Еквивалентни събития.На Испански № 1, събитията „вземете топката с числото 2“ и „получете топката с числото 3“ са еднакво вероятни, а събитията „вземете топката с четно число“ и „вземете топката с числото 2 ” имат различни вероятности.
• Съвместими събития.Получаването на шестица в процеса на хвърляне на зар два пъти подред са съвместими събития.
• Несъвместими събития.На същия испански Събития № 1 „получете червената топка“ и „получете топката с нечетен номер“ не могат да се комбинират в едно и също преживяване.
• противоположни събития.Най-яркият пример за това е хвърлянето на монети, при което тегленето на глави е същото като не тегленето на опашките и сумата от техните вероятности винаги е 1 (пълна група).
• Зависими събития. И така, на испански No1, можете да си поставите за цел да извадите червена топка два пъти подред. Извличането или не извличането му първия път влияе върху вероятността да го извлечете втория път.

Вижда се, че първото събитие значително влияе върху вероятността за второто (40% и 60%).

Формула за вероятност за събитие

Преходът от гадаене към точни данни става чрез пренасяне на темата в математическата равнина. Тоест, преценките за случайно събитие като "висока вероятност" или "минимална вероятност" могат да бъдат преведени в конкретни числови данни. Вече е допустимо да се оценява, сравнява и въвежда такъв материал в по-сложни изчисления.

От гледна точка на изчислението, дефиницията на вероятността за събитие е съотношението на броя на елементарните положителни резултати към броя на всички възможни резултати от опит по отношение на определено събитие. Вероятността се обозначава с P (A), където P означава думата "вероятност", която се превежда от френски като "вероятност".

И така, формулата за вероятността за събитие е:

Където m е броят на благоприятните резултати за събитие А, n е сумата от всички възможни резултати за това преживяване. Вероятността за събитие винаги е между 0 и 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Изчисляване на вероятността за събитие. Пример

Да вземем испански. № 1 с топки, който е описан по-рано: 3 сини топки с номера 1/3/5 и 3 червени топки с номера 2/4/6.

Въз основа на този тест могат да бъдат разгледани няколко различни задачи:

• A - падане на червена топка. Има 3 червени топки, а вариантите са общо 6. Това е най-простият пример, при който вероятността за събитие е P(A)=3/6=0.5.
• B - отпадане на четно число. Има общо 3 (2,4,6) четни числа, а общият брой възможни числови опции е 6. Вероятността за това събитие е P(B)=3/6=0.5.
• C - загуба на число по-голямо от 2. Има 4 такива опции (3,4,5,6) от общия брой възможни изходи 6. Вероятността за събитието C е P(C)=4/6= 0,67.

Както се вижда от изчисленията, събитие C има по-голяма вероятност, тъй като броят на възможните положителни резултати е по-голям, отколкото в A и B.

Несъвместими събития

Такива събития не могат да се появят едновременно в едно и също преживяване. Като на испански No1, невъзможно е да се получи едновременно синя и червена топка. Тоест можете да получите или синя, или червена топка. По същия начин четно и нечетно число не могат да се появят в зар по едно и също време.

Вероятността за две събития се счита за вероятност за тяхната сума или продукт. Сборът от такива събития A + B се счита за събитие, което се състои в появата на събитие A или B, а произведението на техните AB - в появата и на двете. Например, появата на две шестици наведнъж на лицата на два зара при едно хвърляне.

Сборът от няколко събития е събитие, което предполага настъпването на поне едно от тях. Продуктът на няколко събития е съвместната проява на всички тях.

В теорията на вероятностите, като правило, използването на съюза "и" означава сумата, съюзът "или" - умножение. Формули с примери ще ви помогнат да разберете логиката на събиране и умножение в теорията на вероятностите.

Вероятност на сбора от несъвместими събития

Ако се вземе предвид вероятността за несъвместими събития, тогава вероятността от сбора на събитията е равна на сумата от техните вероятности:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например: изчисляваме вероятността, че на испански. Номер 1 със сини и червени топки ще изпусне число между 1 и 4. Ще изчислим не с едно действие, а чрез сбора на вероятностите на елементарните компоненти. Така че в такъв експеримент има само 6 топки или 6 от всички възможни резултати. Числата, които отговарят на условието са 2 и 3. Вероятността да се получи числото 2 е 1/6, вероятността за числото 3 също е 1/6. Вероятността да се получи число между 1 и 4 е:

Вероятността за сбора от несъвместими събития на пълна група е 1.

Така че, ако в експеримента с куб сумираме вероятностите да получим всички числа, тогава в резултат получаваме едно.

Това важи и за противоположни събития, например в експеримента с монета, където едната му страна е събитието A, а другата е противоположното събитие Ā, както е известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятност за генериране на несъвместими събития

Умножението на вероятностите се използва, когато се разглежда настъпването на две или повече несъвместими събития в едно наблюдение. Вероятността събития A и B да се появят в него едновременно е равна на произведението на техните вероятности, или:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Например, вероятността в No 1 в резултат на два опита, два пъти ще се появи синя топка, равна на

Тоест, вероятността да се случи събитие, когато в резултат на два опита с извличане на топки ще бъдат извлечени само сини топки, е 25%. Много е лесно да направите практически експерименти по този проблем и да видите дали това наистина е така.

Съвместни събития

Събитията се считат за съвместни, когато появата на едно от тях може да съвпадне с появата на другото. Въпреки факта, че те са съвместни, се взема предвид вероятността от независими събития. Например хвърлянето на два зара може да даде резултат, когато и на двамата падне числото 6. Въпреки че събитията съвпаднаха и се появиха едновременно, те са независими едно от друго - може да изпадне само една шестица, вторият зар няма влияние върху него .

Вероятността за съвместни събития се счита за вероятността от тяхната сума.

Вероятността на сбора от съвместни събития. Пример

Вероятността на сбора от събития A и B, които са съвместни едно спрямо друго, е равна на сумата от вероятностите за събитието минус вероятността за техния продукт (тоест съвместното им изпълнение):

R става. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Да приемем, че вероятността да се улучи целта с един изстрел е 0,4. След това събитие А - удряне на целта при първия опит, Б - във втория. Тези събития са съвместни, тъй като е възможно да се порази целта както от първия, така и от втория изстрел. Но събитията не са зависими. Каква е вероятността събитието да попадне целта с два изстрела (поне един)? по формулата:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Отговорът на въпроса е: "Вероятността да се удари целта с два изстрела е 64%."

Тази формула за вероятността за събитие може да се приложи и към несъвместими събития, където вероятността за съвместно настъпване на събитие P(AB) = 0. Това означава, че вероятността от сбора от несъвместими събития може да се счита за специален случай от предложената формула.

Вероятна геометрия за яснота

Интересно е, че вероятността от сбора от съвместни събития може да бъде представена като две области A и B, които се пресичат една с друга. Както можете да видите от снимката, площта на тяхното обединение е равна на общата площ минус площта на тяхното пресичане. Това геометрично обяснение прави привидно нелогичната формула по-разбираема. Имайте предвид, че геометричните решения не са необичайни в теорията на вероятностите.

Дефиницията на вероятността от сбора на набор (повече от две) от съвместни събития е доста тромава. За да го изчислите, трябва да използвате формулите, които са предоставени за тези случаи.

Зависими събития

Зависими събития се наричат, ако настъпването на едното (А) от тях влияе върху вероятността за настъпване на другото (В). Освен това се взема предвид влиянието както на настъпването на събитие А, така и на неговото ненастъпване. Въпреки че събитията се наричат ​​зависими по дефиниция, само едно от тях е зависимо (B). Обичайната вероятност беше обозначена като P(B) или вероятността за независими събития. При зависимите се въвежда ново понятие - условната вероятност P A (B), която е вероятността за зависимо събитие B при условие, че е настъпило събитието A (хипотеза), от което зависи.

Но събитие А също е случайно, така че има и вероятност, която трябва и може да бъде взета предвид при изчисленията. Следващият пример ще покаже как да работите със зависими събития и хипотеза.

Пример за изчисляване на вероятността от зависими събития

Добър пример за изчисляване на зависими събития е стандартното тесте карти.

На примера на тесте от 36 карти, помислете за зависими събития. Необходимо е да се определи вероятността втората изтеглена карта от тестето да бъде с диаманти, ако първата изтеглена карта е:

1. Тамбура.
2. Друг костюм.

Очевидно вероятността за второто събитие B зависи от първото A. Така че, ако първата опция е вярна, която е с 1 карта (35) и 1 диамант (8) по-малко в тестето, вероятността за събитие B:

P A (B) = 8 / 35 = 0,23

Ако втората опция е вярна, тогава в тестето има 35 карти и общият брой тамбури (9) все още е запазен, тогава вероятността за следното събитие е B:

P A (B) \u003d 9/35 = 0,26.

Може да се види, че ако събитие А е обусловено от факта, че първата карта е диамант, тогава вероятността за събитие В намалява и обратно.

Умножение на зависими събития

Въз основа на предишната глава приемаме първото събитие (А) като факт, но по същество то има случаен характер. Вероятността за това събитие, а именно извличането на тамбурина от тесте карти, е равна на:

P(A) = 9/36=1/4

Тъй като теорията не съществува сама по себе си, а е призвана да служи за практически цели, справедливо е да се отбележи, че най-често е необходима вероятността за генериране на зависими събития.

Съгласно теоремата за произведението на вероятностите за зависими събития, вероятността за възникване на съвместно зависими събития A и B е равна на вероятността за едно събитие A, умножена по условната вероятност за събитие B (в зависимост от A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Тогава в примера с тесте, вероятността да изтеглите две карти с костюм от диаманти е:

9/36*8/35=0,0571 или 5,7%

И вероятността първо да се извлекат не диаманти, а след това диаманти, е равна на:

27/36*9/35=0,19 или 19%

Вижда се, че вероятността за настъпване на събитие B е по-голяма, при условие че първо се изтегли картата от боя, различна от диамант. Този резултат е съвсем логичен и разбираем.

Пълна вероятност за събитие

Когато проблемът с условни вероятности стане многостранен, той не може да бъде изчислен с конвенционални методи. Когато има повече от две хипотези, а именно A1, A2, ..., A n , .. образува пълна група от събития при условие:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

И така, формулата за общата вероятност за събитие B с пълна група от случайни събития A1, A2, ..., A n е:

Поглед в бъдещето

Вероятността за случайно събитие е от съществено значение в много области на науката: иконометрия, статистика, физика и т.н. Тъй като някои процеси не могат да бъдат описани детерминистично, тъй като самите те са вероятностни, са необходими специални методи на работа. Теорията за вероятността за събитие може да се използва във всяка технологична област като начин за определяне на възможността за грешка или неизправност.

Може да се каже, че признавайки вероятността, ние по някакъв начин правим теоретична стъпка в бъдещето, гледайки го през призмата на формулите.

„Случайността не е случайна“... Звучи така, както е казал философ, но всъщност изучаването на случайностите е съдба на великата наука математика. В математиката случайността е теория на вероятностите. В статията ще бъдат представени формули и примери за задачи, както и основните дефиниции на тази наука.

Какво е теория на вероятностите?

Теорията на вероятностите е една от математическите дисциплини, която изучава случайни събития.

За да стане малко по-ясно, нека дадем малък пример: ако хвърлите монета нагоре, тя може да падне глави или опашки. Докато монетата е във въздуха, и двете възможности са възможни. Тоест, вероятността от възможни последствия корелира 1:1. Ако една е изтеглена от тесте с 36 карти, тогава вероятността ще бъде посочена като 1:36. Изглежда, че няма какво да се изследва и прогнозира, особено с помощта на математически формули. Въпреки това, ако повтаряте определено действие много пъти, тогава можете да идентифицирате определен модел и въз основа на него да предскажете резултата от събития при други условия.

За да обобщим всичко по-горе, теорията на вероятностите в класическия смисъл изучава възможността за настъпване на едно от възможните събития в числов смисъл.

От страниците на историята

Теорията на вероятностите, формулите и примерите за първите задачи се появяват в далечното Средновековие, когато за първи път възникват опитите да се предскаже резултата от игрите с карти.

Първоначално теорията на вероятностите нямаше нищо общо с математиката. То беше обосновано с емпирични факти или свойства на събитие, които биха могли да бъдат възпроизведени на практика. Първите трудове в тази област като математическа дисциплина се появяват през 17 век. Основатели са Блез Паскал и Пиер Ферма. Дълго време изучаваха хазарта и виждаха определени закономерности, за които решиха да разкажат на обществеността.

Същата техника е изобретена от Кристиан Хюйгенс, въпреки че не е запознат с резултатите от изследванията на Паскал и Ферма. Понятието "теория на вероятностите", формули и примери, които се считат за първи в историята на дисциплината, са въведени от него.

Не малко значение имат трудовете на Якоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон. Те направиха теорията на вероятностите повече като математическа дисциплина. Теорията на вероятностите, формулите и примерите за основни задачи придобиват сегашния си вид благодарение на аксиомите на Колмогоров. В резултат на всички промени теорията на вероятностите се превърна в един от математическите клонове.

Основни понятия на теорията на вероятностите. Развития

Основната концепция на тази дисциплина е „събитие“. Събитията са три вида:

• Надежден.Тези, които така или иначе ще се случат (монетата ще падне).
• Невъзможен.Събития, които няма да се случат по никакъв сценарий (монетата ще остане да виси във въздуха).
• Случаен.Тези, които ще се случат или няма да се случат. Те могат да бъдат повлияни от различни фактори, които са много трудни за прогнозиране. Ако говорим за монета, тогава произволни фактори, които могат да повлияят на резултата: физическите характеристики на монетата, нейната форма, начална позиция, сила на хвърляне и т.н.

Всички събития в примерите са обозначени с главни латински букви, с изключение на R, който има различна роля. Например:

• A = "студентите дойдоха на лекцията."
• Ā = „студентите не дойдоха на лекцията“.

В практическите задачи събитията обикновено се записват с думи.

Една от най-важните характеристики на събитията е тяхната равна възможност. Тоест, ако хвърлите монета, всички варианти на първоначалното падане са възможни, докато падне. Но събитията също не са еднакво вероятни. Това се случва, когато някой умишлено влияе на резултата. Например, "маркирани" карти за игра или зарове, при които центърът на тежестта е изместен.

Събитията също са съвместими и несъвместими. Съвместимите събития не изключват възникването едно на друго. Например:

• A = "студентът дойде на лекцията."
• B = "студентът дойде на лекцията."

Тези събития са независими едно от друго и появата на едно от тях не оказва влияние върху появата на другото. Несъвместимите събития се определят от факта, че настъпването на едното изключва настъпването на другото. Ако говорим за една и съща монета, тогава загубата на "опашки" прави невъзможно появата на "глави" в същия експеримент.

Действия по събития

Събитията могат да се умножават и добавят, съответно в дисциплината се въвеждат логически връзки „И“ и „ИЛИ“.

Сумата се определя от факта, че едно събитие А, или Б, или и двете могат да се случат едновременно. В случай, че са несъвместими, последният вариант е невъзможен, А или Б ще отпаднат.

Умножаването на събитията се състои в появата на А и В едновременно.

Сега можете да дадете няколко примера, за да запомните по-добре основите, теорията на вероятностите и формулите. Примери за решаване на проблеми по-долу.

Упражнение 1: Фирмата наддава за договори за три вида работа. Възможни събития, които могат да възникнат:

• A = "фирмата ще получи първия договор."
• A 1 = "фирмата няма да получи първия договор."
• B = "фирмата ще получи втори договор."
• B 1 = "фирмата няма да получи втори договор"
• C = "фирмата ще получи трети договор."
• C 1 = "фирмата няма да получи трети договор."

Нека се опитаме да изразим следните ситуации с помощта на действия върху събития:

• K = "фирмата ще получи всички договори."

В математическа форма уравнението ще изглежда така: K = ABC.

• M = "фирмата няма да получи нито един договор."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Ние усложняваме задачата: H = "фирмата ще получи един договор." Тъй като не е известно кой договор ще получи фирмата (първи, втори или трети), е необходимо да се запише целия набор от възможни събития:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 BC 1 е поредица от събития, при които фирмата не получава първия и третия договор, а получава втория. Други възможни събития също се записват по съответния метод. Символът υ в дисциплината обозначава куп "ИЛИ". Ако преведем горния пример на човешки език, тогава компанията ще получи или третия договор, или втория, или първия. По същия начин можете да напишете и други условия в дисциплината "Теория на вероятностите". Представените по-горе формули и примери за решаване на проблеми ще ви помогнат да го направите сами.

Всъщност, вероятността

Може би в тази математическа дисциплина вероятността за събитие е централно понятие. Има 3 дефиниции на вероятността:

• класически;
• статистически;
• геометрична.

Всеки има своето място в изследването на вероятностите. Теорията на вероятностите, формулите и примерите (9 клас) използват предимно класическата дефиниция, която звучи така:

• Вероятността за ситуация А е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват нейното възникване, към броя на всички възможни резултати.

Формулата изглежда така: P (A) \u003d m / n.

И всъщност събитие. Ако се случи обратното на A, то може да се запише като Ā или A 1 .

m е броят на възможните благоприятни случаи.

n - всички събития, които могат да се случат.

Например, A \u003d "извадете карта със сърдечен костюм." В стандартното тесте има 36 карти, 9 от които са със сърца. Съответно, формулата за решаване на проблема ще изглежда така:

Р(А)=9/36=0,25.

В резултат на това вероятността от тестето да бъде изтеглена карта със сърце ще бъде 0,25.

към висшата математика

Сега стана малко известно какво е теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на задачи, които се срещат в училищната програма. Теорията на вероятностите обаче се намира и във висшата математика, която се преподава в университетите. Най-често те оперират с геометрични и статистически дефиниции на теорията и сложни формули.

Теорията на вероятностите е много интересна. Формули и примери (висша математика) е по-добре да започнете да учите от малко - от статистическа (или честотна) дефиниция на вероятността.

Статистическият подход не противоречи на класическия, а леко го разширява. Ако в първия случай беше необходимо да се определи с каква степен на вероятност ще се случи събитие, тогава в този метод е необходимо да се посочи колко често ще се случи. Тук се въвежда ново понятие за “относителна честота”, което може да бъде обозначено с W n (A). Формулата не се различава от класическата:

Ако класическата формула се изчислява за прогнозиране, тогава статистическата се изчислява според резултатите от експеримента. Вземете например една малка задача.

Отделът за технологичен контрол проверява продуктите за качество. От 100 продукта 3 са с лошо качество. Как да намерим честотната вероятност на качествен продукт?

A = "външният вид на качествен продукт."

W n (A)=97/100=0,97

Така честотата на качествен продукт е 0,97. Откъде взе 97? От 100 проверени продукта 3 се оказаха с лошо качество. Изваждаме 3 от 100, получаваме 97, това е количеството на качествен продукт.

Малко за комбинаториката

Друг метод на теорията на вероятностите се нарича комбинаторика. Неговият основен принцип е, че ако определен избор А може да бъде направен по m различни начина, а избор B по n различни начина, тогава изборът на A и B може да бъде направен чрез умножение.

Например, има 5 пътя от град А до град Б. Има 4 маршрута от град B до град C. Колко начина има да стигнете от град А до град В?

Просто е: 5x4 = 20, тоест има двадесет различни начина да стигнете от точка А до точка C.

Нека усложним задачата. Колко начина има за игра на карти в пасианс? В тесте от 36 карти това е отправната точка. За да разберете броя на начините, трябва да „извадите“ една карта от началната точка и да умножите.

Тоест, 36x35x34x33x32…x2x1= резултатът не се побира на екрана на калкулатора, така че може просто да бъде обозначен като 36!. Знак "!" до числото показва, че цялата серия от числа се умножава помежду си.

В комбинаториката има такива понятия като пермутация, разположение и комбинация. Всеки от тях има своя собствена формула.

Подреден набор от множество елементи се нарича оформление. Разположенията могат да се повтарят, което означава, че един елемент може да се използва няколко пъти. И без повторение, когато елементите не се повтарят. n е всички елементи, m са елементите, които участват в поставянето. Формулата за поставяне без повторения ще изглежда така:

A n m =n!/(n-m)!

Връзките на n елемента, които се различават само по реда на разположение, се наричат ​​пермутации. В математиката това изглежда така: P n = n!

Комбинации от n елемента по m са такива съединения, в които е важно кои елементи са били и какъв е общият им брой. Формулата ще изглежда така:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула на Бернули

В теорията на вероятностите, както и във всяка дисциплина, има трудове на изключителни изследователи в своята област, които я издигнаха на ново ниво. Една от тези работи е формулата на Бернули, която ви позволява да определите вероятността определено събитие да се случи при независими условия. Това предполага, че появата на А в експеримент не зависи от появата или невъзникването на същото събитие в предишни или последващи тестове.

уравнение на Бернули:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятността (p) за настъпване на събитието (A) е непроменена за всеки опит. Вероятността ситуацията да се случи точно m пъти в n брой експеримента ще бъде изчислена по формулата, която е представена по-горе. Съответно възниква въпросът как да се намери числото q.

Ако събитие А се случи p брой пъти, съответно, то може да не се случи. Единицата е число, което се използва за обозначаване на всички резултати от ситуация в дадена дисциплина. Следователно q е число, което показва възможността събитието да не се случи.

Сега знаете формулата на Бернули (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми (първо ниво) ще бъдат разгледани по-долу.

Задача 2:Посетител на магазина ще направи покупка с вероятност 0,2. 6 посетители влязоха самостоятелно в магазина. Каква е вероятността посетител да направи покупка?

Решение: Тъй като не е известно колко посетители трябва да направят покупка, един или всичките шест, е необходимо да се изчислят всички възможни вероятности по формулата на Бернули.

A = "посетителят ще направи покупка."

В този случай: p = 0,2 (както е посочено в задачата). Съответно q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (защото в магазина има 6 клиенти). Числото m ще се промени от 0 (нито един клиент няма да направи покупка) на 6 (всички посетители на магазина ще закупят нещо). В резултат получаваме решението:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Никой от купувачите няма да направи покупка с вероятност 0,2621.

Как иначе се използва формулата на Бернули (теория на вероятностите)? Примери за решаване на проблеми (второ ниво) по-долу.

След горния пример възникват въпроси къде са отишли ​​C и p. По отношение на p число на степен 0 ще бъде равно на единица. Що се отнася до C, той може да бъде намерен по формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Тъй като в първия пример m = 0, съответно C=1, което по принцип не влияе на резултата. Използвайки новата формула, нека се опитаме да разберем каква е вероятността да закупят стоки от двама посетители.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теорията на вероятностите не е толкова сложна. Формулата на Бернули, примери за която са представени по-горе, е пряко доказателство за това.

Поасонова формула

Уравнението на Поасон се използва за изчисляване на малко вероятни случайни ситуации.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

В този случай λ = n x p. Ето такава проста формула на Поасон (теория на вероятностите). По-долу ще бъдат разгледани примери за решаване на проблеми.

Задача 3О: Фабриката произвежда 100 000 части. Появата на дефектна част = 0,0001. Каква е вероятността да има 5 дефектни части в една партида?

Както можете да видите, бракът е малко вероятно събитие и затова за изчисление се използва формулата на Поасон (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми от този вид не се различават от другите задачи на дисциплината, ние заместваме необходимите данни в горната формула:

A = "случайно избрана част ще бъде дефектна."

p = 0,0001 (според условието за присвояване).

n = 100000 (брой части).

m = 5 (дефектни части). Заместваме данните във формулата и получаваме:

100 000 R (5) = 10 5 / 5! Xe -10 = 0,0375.

Точно като формулата на Бернули (теория на вероятностите), примери за решения, които се използват, са написани по-горе, уравнението на Поасон има неизвестно е. По същество може да се намери по формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Има обаче специални таблици, които съдържат почти всички стойности на e.

Теорема на Де Муавр-Лаплас

Ако в схемата на Бернули броят на опитите е достатъчно голям и вероятността за възникване на събитие А във всички схеми е една и съща, тогава вероятността за настъпване на събитие А определен брой пъти в поредица от опити може да бъде намерена чрез формулата на Лаплас:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

За да запомните по-добре формулата на Лаплас (теория на вероятностите), примери за задачи в помощ по-долу.

Първо намираме X m , заместваме данните (всички те са посочени по-горе) във формулата и получаваме 0,025. С помощта на таблици намираме числото ϕ (0,025), чиято стойност е 0,3988. Сега можете да замените всички данни във формулата:

P 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Така че вероятността флаерът да удари точно 267 пъти е 0,03.

формула на Байес

Формулата на Байес (теория на вероятностите), примери за решаване на задачи с помощта на която ще бъдат дадени по-долу, е уравнение, което описва вероятността за събитие въз основа на обстоятелствата, които биха могли да бъдат свързани с него. Основната формула е както следва:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A и B са определени събития.

P(A|B) - условна вероятност, тоест събитие A може да се случи, при условие че събитие B е вярно.

Р (В|А) - условна вероятност за събитие В.

И така, последната част от краткия курс "Теория на вероятностите" е формулата на Байес, примери за решаване на проблеми с която са по-долу.

Задача 5: В склада бяха донесени телефони от три фирми. В същото време част от телефоните, които се произвеждат в първия завод са 25%, във втория - 60%, в третия - 15%. Известно е също, че средният процент на дефектни продукти в първия завод е 2%, във втория - 4%, а в третия - 1%. Необходимо е да се намери вероятността случайно избран телефон да бъде дефектен.

A = "случайно взет телефон."

B 1 - телефонът, който направи първата фабрика. Съответно ще се появят въвеждащи B 2 и B 3 (за втората и третата фабрика).

В резултат на това получаваме:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - така че открихме вероятността за всяка опция.

Сега трябва да намерите условните вероятности на желаното събитие, тоест вероятността от дефектни продукти във фирмите:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Сега заместваме данните във формулата на Байес и получаваме:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Статията представя теорията на вероятностите, формулите и примерите за решаване на проблеми, но това е само върхът на айсберга на една обширна дисциплина. И след всичко написано ще бъде логично да си зададем въпроса дали теорията на вероятностите е необходима в живота. За прост човек е трудно да отговори, по-добре е да попитате някой, който е ударил джакпота повече от веднъж с нейна помощ.

Главааз. СЛУЧАЙНИ СЪБИТИЯ. ВЕРОЯТНОСТ

1.1. Редовност и случайност, случайна променливост в точните науки, в биологията и медицината

Теорията на вероятностите е клон на математиката, който изучава модели в случайни явления. Случайно явление е явление, което при многократно възпроизвеждане на едно и също преживяване може да протича всеки път по малко по-различен начин.

Очевидно няма нито едно явление в природата, в което елементите на случайността да не присъстват в една или друга степен, но в различни ситуации ги отчитаме по различен начин. Така в редица практически задачи те могат да бъдат пренебрегнати и вместо реално явление да се разглежда неговата опростена схема - „моделът“, като се приеме, че при дадените експериментални условия явлението протича по напълно определен начин. В същото време се открояват най-важните, решаващи фактори, характеризиращи явлението. Именно тази схема за изучаване на явления се използва най-често във физиката, техниката и механиката; така се разкрива основният модел , характеристика на дадено явление и даваща възможност да се предвиди резултатът от експеримент според дадени начални условия. И влиянието на случайни, вторични фактори върху резултата от експеримента се взема предвид тук чрез произволни грешки при измерване (по-долу ще разгледаме метода на тяхното изчисляване).

Въпреки това, описаната класическа схема на така наречените точни науки е слабо приспособена за решаване на много проблеми, в които многобройни, тясно преплетени случайни фактори играят забележима (често решаваща) роля. Тук на преден план излиза случайният характер на явлението, който вече не може да бъде пренебрегван. Това явление трябва да се изследва именно от гледна точка на присъщите му закони като случайно явление. Във физиката примери за такива явления са Брауново движение, радиоактивен разпад, редица квантовомеханични процеси и т.н.

Предмет на изследване на биолозите и лекарите е жив организъм, чийто произход, развитие и съществуване се определя от много много и разнообразни, често случайни външни и вътрешни фактори. Ето защо явленията и събитията в живия свят също са до голяма степен случайни по природа.

Елементите на неопределеност, сложност, многопричинност, присъщи на случайните явления, налагат създаването на специални математически методи за изследване на тези явления. Разработването на такива методи, установяването на специфични модели, присъщи на случайни явления, са основните задачи на теорията на вероятностите. Характерно е, че тези закономерности се изпълняват само когато случайните явления са масови. Нещо повече, индивидуалните особености на отделните случаи като че ли се отменят взаимно и средният резултат за маса от случайни явления се оказва вече не случаен, а съвсем естествен. . До голяма степен това обстоятелство е причината за широкото използване на вероятностни методи на изследване в биологията и медицината.

Помислете за основните понятия на теорията на вероятностите.

1.2. Вероятност за случайно събитие

Всяка наука, която разработва обща теория за определен кръг от явления, се основава на редица основни понятия. Например в геометрията това са понятията за точка, права линия; в механиката - понятията за сила, маса, скорост и т.н. Основни понятия съществуват в теорията на вероятностите, едно от тях е случайно събитие.

Случайно събитие е всяко явление (факт), което в резултат на опит (тестване) може или не може да се случи.

Случайните събития се обозначават с букви А, Б, В… и т.н. Ето някои примери за случайни събития:

НО- загуба на орел (герб) при хвърляне на стандартна монета;

IN- раждането на момиче в това семейство;

ОТ– раждане на дете с предварително определено телесно тегло;

д- възникване на епидемично заболяване в даден регион в определен период от време и др.

Основната количествена характеристика на случайно събитие е неговата вероятност. Нека бъде НОнякакво случайно събитие. Вероятността за случайно събитие А е математическа стойност, която определя възможността за възникването му.То е обозначено Р(НО).

Помислете за два основни метода за определяне на тази стойност.

Класическата дефиниция на вероятността за случайно събитиеобикновено се основава на резултатите от анализа на спекулативни експерименти (тестове), чиято същност се определя от условието на задачата. В този случай вероятността за случайно събитие P(A)е равно на:

където м- броят на случаите, благоприятни за настъпване на събитието НО; не общият брой на еднакво вероятните случаи.

Пример 1 Лабораторен плъх е поставен в лабиринт, в който само един от четирите възможни пътя води до награда за храна. Определете вероятността плъхът да избере такъв път.

Решение: според условието на задачата от четири еднакво възможни случая ( н=4) събитие НО(плъх намира храна)
предпочита само един, т.е. м= 1 Тогава Р(НО) = Р(плъх намира храна) = = 0,25 = 25%.

Пример 2. В урна има 20 черни и 80 бели топки. От него произволно се изтегля една топка. Определете вероятността тази топка да е черна.

Решение: броят на всички топки в урната е общият брой на еднакво вероятните случаи н, т.е. н = 20 + 80 = 100, от които събитие НО(теглене на черната топка) е възможно само при 20, т.е. м= 20. Тогава Р(НО) = Р(H.W.) = = 0,2 = 20%.

Изброяваме свойствата на вероятността, следващи от нейното класическо определение - формула (1):

1. Вероятността за случайно събитие е безразмерна величина.

2. Вероятността за случайно събитие винаги е положителна и по-малка от единица, т.е. 0< П (А) < 1.

3. Вероятността за определено събитие, т.е. събитие, което определено ще се случи в резултат на опит ( м = н) е равно на единица.

4. Вероятност за невъзможно събитие ( м= 0) е равно на нула.

5. Вероятността за всяко събитие не е отрицателна и не надвишава единица:
0 £ П (А) £1.

Статистическо определяне на вероятността за случайно събитиеизползва се, когато не е възможно да се използва класическата дефиниция (1). Това често се случва в биологията и медицината. В този случай вероятността Р(НО) се определя чрез обобщаване на резултатите от реално проведени серии от тестове (експерименти).

Нека представим концепцията за относителната честота на възникване на случайно събитие. Да предположим серия от нпреживявания (брой нможе да бъде предварително избран) събитие, което ни интересува НОсе случи в Мот тях ( М < н). Съотношението на броя на експериментите М, в който се е случило това събитие, към общия брой извършени експерименти нсе нарича относителна честота на възникване на случайно събитие НОв тази серия от експерименти Р* (НО)

R*(НО) = .

Експериментално е установено, че ако поредица от тестове (експерименти) се извършат при едни и същи условия и във всеки от тях броят не достатъчно голяма, тогава относителната честота проявява свойството на стабилност : не се променя много от епизод на епизод. , приближавайки се с увеличаване на броя на експериментите до определена постоянна стойност . Приема се като статистическа вероятност за случайно събитие НО:

Р(НО)= lim , когато н , (2)

Така че статистическата вероятност Р(НО) случайно събитие НОнаричайте границата, до която относителната честота на възникване на това събитие клони с неограничено увеличаване на броя на опитите (за н → ∞).

Приблизително статистическата вероятност за случайно събитие е равна на относителната честота на възникване на това събитие при голям брой опити:

Р(НО)≈ R*(НО)= (за големи н) (3)

Например, при експерименти с хвърляне на монета, относителната честота на изпадане на герба при 12 000 хвърляния се оказва 0,5016, а при 24 000 хвърляния - 0,5005. Съгласно формула (1):

П(герб) == 0,5 = 50%

Пример . При медицински преглед на 500 души е открит тумор в белия дроб (о.л.) при 5 от тях. Определете относителната честота и вероятността от това заболяване.

Решение: според състоянието на проблема М = 5, н= 500, относителна честота Р*(o.l.) = М/н= 5/500 = 0,01; дотолкова доколкото не достатъчно голям, може да се счита с добра точност, че вероятността от тумор в белите дробове е равна на относителната честота на това събитие:

Р(o.l.) = Р* (o.l.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

Изброените по-рано свойства на вероятността за случайно събитие също се запазват при статистическото определяне на тази величина.

1.3. Видове случайни събития. Основни теореми на теорията на вероятностите

Всички случайни събития могат да бъдат разделени на:

¾ несъвместими;

¾ независим;

¾ зависим.

Всеки тип събитие има свои собствени характеристики и теореми на теорията на вероятностите.

1.3.1. Несъвместими случайни събития. Теорема за събиране

Случайни събития (A, B, C,д...) се наричат ​​непоследователни , ако настъпването на едно от тях изключва настъпването на други събития в същия опит.

Пример1 . Хвърлена монета. Когато пада, появата на „герб“ изключва появата на „опашки“ (надпис, който определя цената на монетата). Събитията „изпадна герб” и „паднаха опашки” са несъвместими.

Пример 2 . Получаване от студент на един изпит на оценка "2", или "3", или "4", или "5" - събитията са несъвместими, тъй като една от тези оценки изключва другата на същия изпит.

За несъвместими случайни събития, теорема за добавяне: вероятност за поява едно, но все пак кое от няколко несъвместими събития A1, A2, A3 ... Aк е равна на сбора от техните вероятности:

P(A1 или A2 ... или Aк) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Ак). (4)

Пример 3. В една урна има 50 топки: 20 бели, 20 черни и 10 червени. Намерете вероятността за появата на бяло (събитие НО) или червена топка (събитие IN), когато произволно се изтегля топка от урната.

Решение: П(А или Б)= П(НО)+ П(IN);

Р(НО) = 20/50 = 0,4;

Р(IN) = 10/50 = 0,2;

Р(НОили IN)= П(б. ш. или к. ш.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Пример 4 . В класа има 40 деца. От тях на възраст от 7 до 7,5 години 8 момчета ( НО) и 10 момичета ( IN). Намерете вероятността в класа да има деца на тази възраст.

Решение: П(НО)= 8/40 = 0,2; Р(IN) = 10/40 = 0,25.

P(A или B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

Следващата важна концепция е пълна група от събития: няколко несъвместими събития образуват пълна група от събития, ако всяко изпитване може да доведе само до едно от събитията в тази група и нито едно друго.

Пример 5 . Стрелецът стреля по целта. Едно от следните събития определено ще се случи: удряне на "десет", "девет", "осем", .., "едно" или пропускане. Тези 11 несвързани събития образуват пълна група.

Пример 6 . На изпита в университета студентът може да получи една от следните четири оценки: 2, 3, 4 или 5. Тези четири несъвместни събития също образуват пълна група.

Ако несъвместими събития A1, A2 ... Aкобразуват пълна група, тогава сумата от вероятностите за тези събития винаги е равна на едно:

Р(A1)+ П(A2)+ … П(НОк) = 1, (5)

Това твърдение често се използва при решаване на много приложни проблеми.

Ако две събития са уникални и несъвместими, тогава те се наричат ​​противоположни и се обозначават НОИ . Такива събития съставляват пълна група, така че сумата от техните вероятности винаги е равна на едно:

Р(НО)+ П() = 1. (6)

Пример 7. Нека Р(НО) е вероятността за летален изход при определено заболяване; той е известен и равен на 2%. Тогава вероятността за успешен изход при това заболяване е 98% ( Р() = 1 – Р(НО) = 0,98), тъй като Р(НО) + Р() = 1.

1.3.2. независими случайни събития. Теорема за умножение на вероятностите

Случайните събития се наричат ​​независими, ако настъпването на едно от тях не влияе на вероятността за възникване на други събития.

Пример 1 . Ако има две или повече урни с цветни топки, тогава изтеглянето на която и да е топка от една урна не влияе на вероятността за изтегляне на други топки от останалите урни.

За независими събития, теорема за умножение на вероятностите: съвместна вероятност(едновременно)възникването на няколко независими случайни събития е равно на произведението на техните вероятности:

P(A1 и A2 и A3 ... и Aк) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Aк). (7)

Съвместното (едновременно) възникване на събития означава, че събитията се случват и A1,И A2,И A3… И НОк .

Пример 2 . Има две урни. Едната съдържа 2 черни и 8 бели топки, другата съдържа 6 черни и 4 бели. Нека събитието НО- произволен избор на бяла топка от първата урна, IN- от втория. Каква е вероятността да изберем произволно от тези урни бяла топка, т.е. Р (НОИ IN)?

Решение:вероятността да се изтегли бяла топка от първата урна
Р(НО) = = 0,8 от втория – Р(IN) = = 0,4. Вероятността да се получи бяла топка от двете урни едновременно е
Р(НОИ IN) = Р(НО)· Р(IN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Пример 3 Диета с намален йод причинява увеличаване на щитовидната жлеза при 60% от животните в голяма популация. За експеримента са необходими 4 увеличени жлези. Намерете вероятността 4 произволно избрани животни да имат увеличена щитовидна жлеза.

Решение: Случайно събитие НО- произволен избор на животно с увеличена щитовидна жлеза. Според условието на задачата, вероятността за това събитие Р(НО) = 0,6 = 60%. Тогава вероятността за съвместна поява на четири независими събития - произволен избор на 4 животни с увеличена щитовидна жлеза - ще бъде равна на:

Р(НО 1 и НО 2 и НО 3 и НО 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. зависими събития. Теорема за умножение на вероятностите за зависими събития

Случайни събития A и B се наричат ​​зависими, ако настъпването на едно от тях, например A променя вероятността за настъпване на другото събитие - B.Следователно, две стойности на вероятността се използват за зависими събития: безусловни и условни вероятности .

Ако НОИ INзависими събития, след това вероятността събитието да се случи INпърво (т.е. преди събитието НО) е наречен безусловен вероятностна това събитие и е определен Р(IN). Вероятност за събитие INпри условие, че събитието НОвече се случи, се нарича условна вероятностразработки INи означени Р(IN/НО) или РА(IN).

Безусловното - Р(НО) и условно - Р(A/B) вероятности за събитието НО.

Теоремата за умножение на вероятностите за две зависими събития: вероятността за едновременно възникване на две зависими събития A и B е равна на произведението на безусловната вероятност за първото събитие на условната вероятност на второто:

Р(А и Б)= П(НО)∙П(B/A) , (8)

НО, или

Р(А и Б)= П(IN)∙П(A/B), (9)

ако събитието се случи първо IN.

Пример 1. В урна има 3 черни и 7 бели топки. Намерете вероятността 2 бели топки да бъдат извадени от тази урна една по една (и първата топка да не бъде върната в урната).

Решение: вероятност за изтегляне на първата бяла топка (събитие НО) е равно на 7/10. След изваждането му в урната остават 9 топчета, от които 6 бели. Тогава вероятността за появата на втората бяла топка (събитието IN) е равно на Р(IN/НО) = 6/9, а вероятността да се получат две бели топки подред е

Р(НОИ IN) = Р(НО)∙Р(IN/НО) = = 0,47 = 47%.

Дадената теорема за умножение на вероятностите за зависими събития може да бъде обобщена за произволен брой събития. По-специално, за три събития, свързани помежду си:

Р(НОИ INИ ОТ)= П(НО)∙ Р(B/A)∙ Р(ТАКСИ). (10)

Пример 2. В две детски градини, всяка посещавана от по 100 деца, имаше огнище на инфекциозно заболяване. Делът на случаите е съответно 1/5 и 1/4, като в първата институция 70%, а във втората - 60% от случаите са деца до 3-годишна възраст. Едно дете е избрано на случаен принцип. Определете вероятността, че:

1) избраното дете принадлежи към първата детска градина (събитие НО) и болни (събитие IN).

2) е избрано дете от втората детска градина (събитие ОТ), болен (събитие д) и по-стари от 3 години (събитие Е).

Решение. 1) желаната вероятност -

Р(НОИ IN) = Р(НО) ∙ Р(IN/НО) = = 0,1 = 10%.

2) желаната вероятност:

Р(ОТИ дИ Е) = Р(ОТ) ∙ Р(д/° С) ∙ Р(Е/CD) = = 5%.

1.4. формула на Байес

Ако вероятността за съвместно възникване на зависими събития НОИ INтогава не зависи от реда, в който се появяват Р(НОИ IN)= П(НО)∙П(B/A)= П(IN) × Р(A/B). В този случай условната вероятност за едно от събитията може да бъде намерена, като се знаят вероятностите на двете събития и условната вероятност за второто:

Р(B/A) = (11)

Обобщението на тази формула за случая на много събития е формулата на Байес.

нека бъде " н» несъвместими случайни събития H1, H2, …, Hн, образуват пълна група от събития. Вероятностите за тези събития са Р(H1), Р(H2), …, Р(Хн) са известни и тъй като образуват пълна група, тогава = 1.

някакво случайно събитие НОсвързани със събития H1, H2, …, Hн, а условните вероятности за настъпване на събитието са известни НОс всяко събитие Хи, тоест известен Р(A/H1), Р(A/H2), …, Р(A/Nн). В този случай сумата от условни вероятности Р(A/Nи) може да не е равно на единица, т.е. ≠ 1.

Тогава условната вероятност за настъпване на събитието Хикогато събитието се реализира НО(т.е. при условие, че събитието НОсе случи) се определя от формулата на Байес :

И за тези условни вероятности .

Формулата на Байес е намерила широко приложение не само в математиката, но и в медицината. Например, той се използва за изчисляване на вероятностите от определени заболявания. Така че, ако Х 1,…, Хн- прогнозни диагнози за този пациент, НО- някакъв признак, свързан с тях (симптом, определен индикатор от кръвен тест, урина, детайл от рентгенова снимка и др.), и условните вероятности Р(A/Nи) прояви на този симптом при всяка диагноза Хи (и = 1,2,3,…н) са известни предварително, тогава формулата на Байес (12) ни позволява да изчислим условните вероятности на заболявания (диагнози) Р(Хи/НО) след като се установи, че характерната особеност НОприсъства в пациента.

Пример1. При първоначалния преглед на пациента се предполагат 3 диагнози Х 1, Х 2, Х 3. Техните вероятности според лекаря се разпределят по следния начин: Р(Х 1) = 0,5; Р(Х 2) = 0,17; Р(Х 3) = 0,33. Следователно първата диагноза изглежда ориентировъчно най-вероятна. За да се изясни, например, се предписва кръвен тест, при който се очаква повишаване на ESR (събитие НО). Известно е предварително (въз основа на резултатите от изследванията), че вероятностите за повишаване на ESR при съмнение за заболявания са равни на:

Р(НО/Х 1) = 0,1; Р(НО/Х 2) = 0,2; Р(НО/Х 3) = 0,9.

В получения анализ е регистрирано увеличение на ESR (събитие НОсе случи). Тогава изчислението по формулата на Байес (12) дава стойностите на вероятностите за предполагаемите заболявания с повишена стойност на ESR: Р(Х 1/НО) = 0,13; Р(Х 2/НО) = 0,09;
Р(Х 3/НО) = 0,78. Тези цифри показват, че като се вземат предвид лабораторните данни, не първата, а третата диагноза, вероятността за която сега се оказа доста висока, е най-реалистична.

Горният пример е най-простата илюстрация на това как с помощта на формулата на Байес може да се формализира логиката на лекаря при поставяне на диагноза и благодарение на това да се създават компютърни диагностични методи.

Пример 2. Определете вероятността, която оценява степента на риск от перинатална* смърт на дете при жени с анатомично тесен таз.

Решение: нека събитие Х 1 - безопасна доставка. Според клиничните доклади, Р(Х 1) = 0,975 = 97,5%, тогава ако H2- фактът на перинаталната смъртност, значи Р(Х 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Означете НО- фактът на наличието на тесен таз при родилка. От проведените проучвания е известно: а) Р(НО/Х 1) - вероятността за тесен таз с благоприятно раждане, Р(НО/Х 1) = 0,029, б) Р(НО/Х 2) - вероятността за тесен таз при перинатална смъртност,
Р(НО/Х 2) = 0,051. Тогава желаната вероятност за перинатална смъртност в тесен таз при раждаща жена се изчислява по формулата на Bays (12) и е равна на:

Така рискът от перинатална смъртност при анатомично тесен таз е значително по-висок (почти два пъти) от средния риск (4,4% срещу 2,5%).

Такива изчисления, обикновено извършвани с помощта на компютър, са в основата на методите за формиране на групи пациенти с повишен риск, свързан с наличието на един или друг утежняващ фактор.

Формулата на Байес е много полезна за оценка на много други биомедицински ситуации, което ще стане очевидно при решаване на задачите, дадени в ръководството.

1.5. За случайни събития с вероятности, близки до 0 или 1

При решаване на много практически задачи трябва да се работи със събития, чиято вероятност е много малка, тоест близка до нула. Въз основа на опита с подобни събития е възприет следният принцип. Ако случайно събитие има много малка вероятност, тогава на практика можем да приемем, че то няма да се случи в едно изпитание, с други думи, възможността за възникването му може да се пренебрегне. Отговорът на въпроса колко малка трябва да бъде тази вероятност се определя от същността на решаваните задачи, от това колко важен е резултатът от прогнозата за нас. Например, ако вероятността парашут да не се отвори по време на скок е 0,01, тогава използването на такива парашути е неприемливо. Въпреки това, същата вероятност от 0,01 влак за дълги разстояния да пристигне със закъснение ни прави почти сигурни, че ще пристигне навреме.

Нарича се достатъчно малка вероятност, при която (в даден специфичен проблем) дадено събитие може да се счита за практически невъзможно ниво на значимост.На практика нивото на значимост обикновено се приема за 0,01 (ниво на значимост от един процент) или 0,05 (ниво на значимост от пет процента), много по-рядко се приема за 0,001.

Въвеждането на ниво на значимост ни позволява да твърдим, че ако някакво събитие НОпрактически невъзможно, тогава обратното събитие - практически надежден, т.е. за него Р() » 1.

ГлаваII. СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

2.1. Случайни променливи, техните видове

В математиката количеството е общо наименование за различни количествени характеристики на обекти и явления. Дължина, площ, температура, налягане и т.н. са примери за различни количества.

Стойност, която приема различни числовите стойности под влияние на случайни обстоятелства се наричат ​​случайна променлива. Примери за случайни променливи: броят на пациентите в лекарския кабинет; точните размери на вътрешните органи на хората и др.

Правете разлика между дискретни и непрекъснати случайни променливи .

Случайна променлива се нарича дискретна, ако приема само определени стойности, разделени една от друга, които могат да бъдат зададени и изброени.

Примери за дискретна случайна променлива са:

– броят на учениците в аудиторията – може да бъде само положително число: 0,1,2,3,4….. 20…..;

- числото, което се появява на горното лице при хвърляне на зар - може да приема само цели числа от 1 до 6;

- относителна честота на попадение в целта с 10 изстрела - нейните стойности: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

- броят на събитията, които се случват в едни и същи интервали от време: честота на пулса, брой повиквания на линейка на час, брой операции на месец с фатален изход и др.

Случайна променлива се нарича непрекъсната, ако може да приеме всякакви стойности в рамките на определен интервал, който понякога има рязко определени граници, а понякога не.*. Непрекъснатите произволни променливи включват например телесно тегло и височина на възрастните, телесно тегло и обем на мозъка, количествено съдържание на ензими при здрави хора, размер на кръвните клетки, Р H кръв и др.

Концепцията за случайна променлива играе решаваща роля в съвременната теория на вероятностите, която е разработила специални техники за преход от случайни събития към случайни променливи.

Ако една случайна променлива зависи от времето, тогава можем да говорим за случаен процес.

2.2. Закон за разпределението на дискретна случайна величина

За да се даде пълно описание на дискретна случайна променлива, е необходимо да се посочат всички нейни възможни стойности и техните вероятности.

Съответствието между възможните стойности на дискретна случайна променлива и техните вероятности се нарича закон за разпределение на тази променлива.

Означете възможните стойности на произволната променлива хпрез хи, и съответните вероятности чрез Ри *. Тогава законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде определен по три начина: под формата на таблица, графика или формула.

В таблица, наречена серия за разпределение,са изброени всички възможни стойности на дискретна случайна променлива хи вероятностите, съответстващи на тези стойности Р(х):

х

…..

…..

П(х)

…..

…..

В този случай сумата от всички вероятности Ритрябва да е равно на едно (условие за нормализиране):

Ри = стр1 + стр2 + ... + пн = 1. (13)

Графичнозаконът е представен с прекъсната линия, която обикновено се нарича многоъгълник на разпределението (фиг. 1). Тук по хоризонталната ос са нанесени всички възможни стойности на произволната променлива хи, , а по вертикалната ос - съответните вероятности Ри

Аналитичнозаконът се изразява с формула. Например, ако вероятността да уцелите целта с един изстрел е R,след това вероятността за уцелване на целта 1 път при нснимки се дава по формулата Р(н) = н qn-1 × стр, където q= 1 - стр- вероятността за пропускане с един удар.

2.3. Законът за разпределението на непрекъсната случайна величина. Плътност на вероятностите

За непрекъснати случайни променливи е невъзможно да се приложи законът за разпределение във формите, дадени по-горе, тъй като такава променлива има неизброим („неизброим“) набор от възможни стойности, които напълно запълват определен интервал. Следователно е невъзможно да се направи таблица, в която да са изброени всички възможни стойности, или да се изгради полигон за разпределение. В допълнение, вероятността за всяка конкретна стойност е много малка (близо до 0)*. В същото време различни области (интервали) на възможни стойности на непрекъсната случайна променлива не са еднакво вероятни. Така и в този случай действа определен закон за разпределението, макар и не в предишния смисъл.

Помислете за непрекъсната случайна променлива х, чиито възможни стойности напълно запълват определен интервал (но, б)**. Законът за разпределението на вероятностите за такава стойност трябва да ни позволи да намерим вероятността нейната стойност да попадне във всеки даден интервал ( x1, x2) лежи вътре ( но,б), Фиг.2.

Тази вероятност е Р(x1< Х < х2 ), или
Р(x1£ х£ x2).

Помислете първо за много малък диапазон от стойности х- от хпреди ( х +дх); виж фиг.2. ниска вероятност дРче случайната променлива хще вземе някаква стойност от интервала ( х, х +дх), ще бъде пропорционален на стойността на този интервал дХ:дР~ дх, или чрез въвеждане на коефициента на пропорционалност е, което само по себе си може да зависи от х, получаваме:

дP =е(х) × д х =е(х) × dx (14)

Функцията е представена тук е(х) е наречен плътност на вероятносттаслучайна величина Х,или, накратко, плътност на вероятността, плътност на разпределение. Уравнение (13) е диференциално уравнение, чието решение дава вероятността за достигане на стойността хв интервала ( x1,x2):

Р(x1<х<x2) = е(х) дХ. (15)

Графично вероятност Р(x1<х<x2) е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен от оста на абсцисата, кривата е(х) и директно X = x1 и X = x2(фиг. 3). Това следва от геометричния смисъл на кривата на определения интеграл (15). е(х) се нарича крива на разпределение.

От (15) следва, че ако функцията е(х), тогава, като променим границите на интегриране, можем да намерим вероятността за всеки интервал, който ни интересува. Следователно това е задачата на функцията е(х) напълно определя закона на разпределението за непрекъснати случайни величини.

За плътността на вероятността е(х) условието за нормализиране трябва да бъде изпълнено във формата:

е(х) дх = 1, (16)

ако е известно, че всички стойности хлежи в интервала ( но,б), или във формата:

е(х) дх = 1, (17)

ако интервалът ограничава стойностите хточно неопределено. Условията за нормализиране на плътността на вероятността (16) или (17) са следствие от факта, че стойностите на произволната променлива хлежи надеждно в ( но,б) или (-¥, +¥). От (16) и (17) следва, че площта на фигурата, ограничена от кривата на разпределение и оста x, винаги е равна на 1 .

2.4. Основни числени характеристики на случайни величини

Резултатите, представени в раздели 2.2 и 2.3, показват, че пълна характеристика на дискретни и непрекъснати случайни променливи може да бъде получена чрез познаване на законите на тяхното разпределение. Въпреки това, в много практически значими ситуации се използват така наречените числени характеристики на случайни променливи, като основната цел на тези характеристики е да изразят в сбита форма най-значимите характеристики на разпределението на случайните променливи. Важно е тези параметри да са специфични (постоянни) стойности, които могат да бъдат оценени с помощта на данните, получени в експериментите. Тези оценки се обработват от описателна статистика.

В теорията на вероятностите и математическата статистика се използват доста различни характеристики, но ще разгледаме само най-използваните. И само за някои от тях ще дадем формулите, по които се изчисляват техните стойности, в други случаи ще оставим изчисленията на компютъра.

Обмисли характеристики на позицията -математическо очакване, модус, медиана.

Те характеризират позицията на произволна променлива по оста на числата , т.е. те показват някаква приблизителна стойност, около която са групирани всички възможни стойности на произволната променлива. Сред тях математическото очакване играе най-важна роля. М(х).