একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে পাওয়া গণিতের অনেক সমস্যার জন্য মোটামুটি সাধারণ শর্ত। একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা আপনাকে অনুরূপ বিষয়গুলির সাথে অন্যান্য, আরও জটিল সমস্যাগুলিতে সাহায্য করবে। এই নিবন্ধে, আমরা একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং বেশ কয়েকটি কাজের জন্য সূত্রটি বিবেচনা করব।
একটি সমতলে ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করা
একটি সমতল কি? একটি সমতল একটি দ্বি-মাত্রিক স্থান, দুটি মাত্রা সহ একটি স্থান (মাত্রা x এবং মাত্রা y)। উদাহরণস্বরূপ, কাগজ সমতল। টেবিলের উপরিভাগ সমতল। যেকোন অ-ভলিউমেট্রিক চিত্র (বর্গক্ষেত্র, ত্রিভুজ, ট্র্যাপিজিয়াম) একটি সমতল। এইভাবে, যদি সমস্যার অবস্থায় সমতলে থাকা একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন হয়, আমরা অবিলম্বে x এবং y স্মরণ করি। আপনি এই ধরনের ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে পারেন: ভেক্টরের AB স্থানাঙ্ক = (xB - xA; yB - xA)। সূত্র থেকে দেখা যায় যে প্রারম্ভিক বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে শেষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে বিয়োগ করতে হবে।
উদাহরণ:
- সিডি ভেক্টরের শুরু (5; 6) এবং শেষ (7; 8) স্থানাঙ্ক রয়েছে।
- ভেক্টর নিজেই স্থানাঙ্ক খুঁজুন।
- উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি পাই: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2)।
- এইভাবে, সিডি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক = (2; 2)।
- তদনুসারে, x স্থানাঙ্ক দুটির সমান, y স্থানাঙ্কটিও দুটি।
মহাকাশে একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক সন্ধান করা
স্থান কি? স্থান ইতিমধ্যে একটি ত্রিমাত্রিক মাত্রা, যেখানে 3টি স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছে: x, y, z। আপনি যদি মহাকাশে অবস্থিত একটি ভেক্টর খুঁজে বের করতে চান তবে সূত্রটি কার্যত পরিবর্তন হয় না। শুধুমাত্র একটি স্থানাঙ্ক যোগ করা হয়. ভেক্টর খুঁজে পেতে, আপনাকে শেষ স্থানাঙ্ক থেকে শুরু স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করতে হবে। AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
উদাহরণ:
- ভেক্টর DF আছে প্রাথমিক (2; 3; 1) এবং চূড়ান্ত (1; 5; 2)।
- উপরের সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা পাই: ভেক্টর স্থানাঙ্ক DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1)।
- মনে রাখবেন, স্থানাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে, এতে কোনো সমস্যা নেই।
কিভাবে অনলাইন ভেক্টর স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে?
যদি কোনো কারণে আপনি নিজেই স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে না চান তবে আপনি অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন। প্রথমে ভেক্টরের মাত্রা নির্বাচন করুন। ভেক্টরের মাত্রা তার মাত্রার জন্য দায়ী। মাত্রা 3 মানে ভেক্টরটি মহাকাশে রয়েছে, মাত্রা 2 মানে এটি সমতলে রয়েছে। এরপরে, উপযুক্ত ক্ষেত্রগুলিতে পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্নিবেশ করান এবং প্রোগ্রামটি নিজেই ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করবে। সবকিছু খুব সহজ.
বোতামে ক্লিক করার মাধ্যমে, পৃষ্ঠাটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে নীচে স্ক্রোল করবে এবং সমাধানের পদক্ষেপগুলি সহ আপনাকে সঠিক উত্তর দেবে।
এই বিষয়টি ভালভাবে অধ্যয়ন করার পরামর্শ দেওয়া হয়, কারণ ভেক্টরের ধারণাটি কেবল গণিতেই নয়, পদার্থবিদ্যাতেও পাওয়া যায়। তথ্য প্রযুক্তি অনুষদের শিক্ষার্থীরাও ভেক্টরের বিষয় অধ্যয়ন করে, তবে আরও জটিল স্তরে।
প্রথমত, একটি ভেক্টরের ধারণাটিকে আলাদা করা প্রয়োজন। একটি জ্যামিতিক ভেক্টরের সংজ্ঞা প্রবর্তন করার জন্য, আসুন একটি সেগমেন্ট কী তা স্মরণ করি। আমরা নিম্নলিখিত সংজ্ঞা প্রবর্তন.
সংজ্ঞা 1
একটি সেগমেন্ট হল একটি সরলরেখার একটি অংশ যার বিন্দু আকারে দুটি সীমানা রয়েছে।
সেগমেন্টের 2টি দিক থাকতে পারে। দিক নির্দেশ করার জন্য, আমরা সেগমেন্টের সীমানাগুলির একটিকে তার শুরু বলব এবং অন্য সীমানা - এর শেষ। দিকটি তার শুরু থেকে সেগমেন্টের শেষ পর্যন্ত নির্দেশিত হয়।
সংজ্ঞা 2
একটি ভেক্টর বা নির্দেশিত সেগমেন্ট হল একটি সেগমেন্ট যার জন্য এটি জানা যায় যে সেগমেন্টের সীমানাগুলির মধ্যে কোনটি শুরু এবং কোনটি শেষ।
নোটেশন: দুটি অক্ষর: $\overline(AB)$ – (যেখানে $A$ এর শুরু এবং $B$ এর শেষ)।
একটি ছোট অক্ষরে: $\overline(a)$ (চিত্র 1)।
আমরা এখন সরাসরি, ভেক্টর দৈর্ঘ্যের ধারণা প্রবর্তন করি।
সংজ্ঞা 3
$\overline(a)$ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হল $a$ সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য।
নোটেশন: $|\overline(a)|$
একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের ধারণাটি যুক্ত, উদাহরণস্বরূপ, দুটি ভেক্টরের সমতার মতো ধারণার সাথে।
সংজ্ঞা 4
দুটি ভেক্টরকে সমান বলা হবে যদি তারা দুটি শর্ত পূরণ করে: 1. তারা সহনির্দেশক; 1. তাদের দৈর্ঘ্য সমান (চিত্র 2)।
ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করতে একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করুন এবং প্রবেশ করা সিস্টেমে ভেক্টরের জন্য স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। আমরা জানি, যেকোনো ভেক্টরকে $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ হিসেবে প্রসারিত করা যেতে পারে, যেখানে $m$ এবং $n$ হল বাস্তব সংখ্যা এবং $\overline(i) )$ এবং $\overline(j)$ হল যথাক্রমে $Ox$ এবং $Oy$ অক্ষের একক ভেক্টর।
সংজ্ঞা 5
$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ভেক্টরের সম্প্রসারণ সহগগুলিকে প্রবর্তিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এই ভেক্টরের স্থানাঙ্ক বলা হবে। গাণিতিকভাবে:
$\overline(c)=(m,n)$
কিভাবে একটি ভেক্টর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে?
একটি নির্বিচারে ভেক্টরের স্থানাঙ্কের দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য একটি সূত্র বের করার জন্য, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন:
উদাহরণ 1
প্রদত্ত: স্থানাঙ্ক $(x,y)$ সহ ভেক্টর $\overline(α)$। খুঁজুন: এই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য।
প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেম $xOy$ চালু করা যাক। প্রবর্তিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তি থেকে $\overline(OA)=\overline(a)$ আলাদা করে রাখুন। আসুন আমরা যথাক্রমে $Ox$ এবং $Oy$ অক্ষের উপর নির্মিত ভেক্টরের $OA_1$ এবং $OA_2$ অনুমান নির্মাণ করি (চিত্র 3)।
আমাদের দ্বারা নির্মিত ভেক্টর $\overline(OA)$ হবে $A$ বিন্দুর জন্য ব্যাসার্ধ ভেক্টর, অতএব, এতে স্থানাঙ্ক থাকবে $(x,y)$, যার মানে
$=x$, $[OA_2]=y$
এখন আমরা সহজেই পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে কাঙ্ক্ষিত দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পারি, আমরা পাই
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
উত্তর: $\sqrt(x^2+y^2)$।
উপসংহার:একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য যার স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়েছে, আপনাকে এই স্থানাঙ্কগুলির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের মূল খুঁজে বের করতে হবে।
টাস্ক উদাহরণ
উদাহরণ 2
$X$ এবং $Y$ বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন, যার নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক রয়েছে: যথাক্রমে $(-1,5)$ এবং $(7,3)$।
যেকোনো দুটি বিন্দু সহজেই ভেক্টর ধারণার সাথে যুক্ত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর $\overline(XY)$ বিবেচনা করুন। আমরা ইতিমধ্যেই জানি, শেষ বিন্দু ($Y$) এর স্থানাঙ্ক থেকে প্রারম্ভিক বিন্দু ($X$) এর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলিকে বিয়োগ করে এই ধরনের ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাওয়া যেতে পারে। আমরা যে পেতে
1. ভেক্টরের সংজ্ঞা। ভেক্টরের দৈর্ঘ্য। সমসাময়িকতা, ভেক্টরের কমপ্ল্যানারিটি।
একটি নির্দেশিত অংশকে ভেক্টর বলা হয়। একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মডুলাস হল সংশ্লিষ্ট নির্দেশিত অংশের দৈর্ঘ্য।
ভেক্টর মডুলাস কনির্দেশ করা আছে. ভেক্টর কএকবচন যদি বলা হয়। ভেক্টর একই রেখার সমান্তরাল হলে তাদের সমান্তরাল বলা হয়। ভেক্টরকে কপ্ল্যানার বলা হয় যদি তারা একই সমতলের সমান্তরাল থাকে।
2. একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা। অপারেশন বৈশিষ্ট্য.
একটি ভেক্টরকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে একটি বিপরীত দিক নির্দেশিত ভেক্টর পাওয়া যায় যা দ্বিগুণ দীর্ঘ। স্থানাঙ্ক আকারে একটি সংখ্যা দ্বারা একটি ভেক্টরকে গুণ করা হয় সেই সংখ্যা দ্বারা সমস্ত স্থানাঙ্ককে গুণ করে:
সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, একটি সংখ্যা দ্বারা গুণিত ভেক্টরের মডুলাসের জন্য একটি অভিব্যক্তি প্রাপ্ত হয়:
সংখ্যার মতই, নিজের সাথে একটি ভেক্টর যোগ করার কাজগুলিকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ হিসাবে লেখা যেতে পারে:
এবং ভেক্টরের বিয়োগ যোগ এবং গুণের মাধ্যমে পুনরায় লেখা যেতে পারে:
এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে দ্বারা গুন ভেক্টরের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে না, তবে শুধুমাত্র দিক পরিবর্তন করে এবং ভেক্টরের সংজ্ঞা দেওয়া হলে, আমরা পাই:
3. ভেক্টরের যোগ, ভেক্টরের বিয়োগ।
স্থানাঙ্ক উপস্থাপনে, পদগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলিকে যোগ করে যোগফল ভেক্টর পাওয়া যায়:
যোগফল ভেক্টর জ্যামিতিকভাবে তৈরি করতে বিভিন্ন নিয়ম (পদ্ধতি) ব্যবহার করা হয়, কিন্তু তারা সব একই ফলাফল দেয়। এই বা সেই নিয়মের ব্যবহার সমস্যার সমাধান হওয়ার দ্বারা ন্যায়সঙ্গত।
ত্রিভুজ নিয়ম
ত্রিভুজ নিয়মটি একটি ভেক্টরকে অনুবাদ হিসাবে বোঝার থেকে সবচেয়ে স্বাভাবিকভাবে অনুসরণ করে। এটা স্পষ্ট যে দুটি স্থানান্তরের পরপর প্রয়োগের ফলাফল এবং কোনো কোনো সময়ে এই নিয়মের সাথে সামঞ্জস্য রেখে একবারে একটি স্থানান্তরের আবেদনের মতোই হবে৷ দুটি ভেক্টর যোগ করতে এবং নিয়ম অনুযায়ী ত্রিভুজএই দুটি ভেক্টরই সমান্তরালভাবে স্থানান্তরিত হয় যাতে তাদের একটির শুরু অন্যটির শেষের সাথে মিলে যায়। তারপর যোগফল ভেক্টরটি গঠিত ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর দ্বারা দেওয়া হয় এবং এর শুরুটি প্রথম ভেক্টরের শুরুর সাথে এবং শেষটি দ্বিতীয় ভেক্টরের শেষের সাথে মিলে যায়।
এই নিয়মটি সরাসরি এবং স্বাভাবিকভাবে যেকোন সংখ্যক ভেক্টর যোগ করার জন্য সাধারণীকরণ করা হয়, পরিণত হয় ভাঙা লাইন নিয়ম:
বহুভুজ নিয়ম
দ্বিতীয় ভেক্টরের শুরুটি প্রথমটির শেষের সাথে, তৃতীয়টির শুরুর সাথে মিলে যায় - দ্বিতীয়টির শেষের সাথে এবং তাই, ভেক্টরগুলির যোগফল একটি ভেক্টর, যার শুরুটি প্রথমটির শুরুর সাথে মিলে যায় এবং শেষটি প্রথমটির শেষের সাথে মিলে যায় (অর্থাৎ, এটি একটি নির্দেশিত অংশ দ্বারা চিত্রিত হয় যা ভাঙা লাইনটি বন্ধ করে)। ভাঙা লাইনের নিয়মও বলা হয়।
সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম
দুটি ভেক্টর যোগ করতে এবং নিয়ম অনুযায়ী সমান্তরাল বৃত্তএই উভয় ভেক্টর নিজেদের সমান্তরালে স্থানান্তরিত হয় যাতে তাদের উৎপত্তি মিলে যায়। তারপর সমষ্টি ভেক্টর তাদের উপর নির্মিত সমান্তরালগ্রামের কর্ণ দ্বারা দেওয়া হয়, তাদের সাধারণ উত্স থেকে আসছে। (ত্রিভুজ নিয়ম ব্যবহার করার সময় এই তির্যকটি ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর মতো দেখতে সহজ)।
সমান্তরালগ্রামের নিয়মটি বিশেষত সুবিধাজনক যখন একই বিন্দুতে যোগফল ভেক্টরকে অবিলম্বে চিত্রিত করার প্রয়োজন হয় যেখানে উভয় পদ সংযুক্ত রয়েছে - অর্থাৎ, একটি সাধারণ উৎসের তিনটি ভেক্টরকে চিত্রিত করার জন্য।
ভেক্টর সমষ্টি মডুলাস
দুটি ভেক্টরের সমষ্টির মডুলাসব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে কোসাইন উপপাদ্য:
ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন কোথায়।
যদি ভেক্টরগুলি ত্রিভুজ নিয়ম অনুসারে আঁকা হয় এবং চিত্র অনুসারে একটি কোণ নেওয়া হয় - ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে - যা ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণের সাধারণ সংজ্ঞার সাথে মিলে না এবং তাই কোণের সাথে উপরের সূত্রে, তারপর শেষ পদটি একটি বিয়োগ চিহ্ন অর্জন করে, যা সরাসরি শব্দে কোসাইন উপপাদ্যের সাথে মিলে যায়।
ভেক্টরের নির্বিচারে সংখ্যার যোগফলের জন্যএকটি অনুরূপ সূত্র প্রযোজ্য, যেখানে কোসাইন সহ আরও পদ রয়েছে: সমষ্টিগত সেট থেকে প্রতিটি ভেক্টরের জন্য এইরকম একটি শব্দ বিদ্যমান। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি ভেক্টরের জন্য, সূত্রটি এইরকম দেখায়:
ভেক্টর বিয়োগ
দুটি ভেক্টর এবং তাদের পার্থক্য ভেক্টর
স্থানাঙ্ক আকারে পার্থক্য পেতে, ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করুন:
একটি পার্থক্য ভেক্টর পেতে, ভেক্টরের শুরু সংযুক্ত করা হয় এবং ভেক্টরের শুরু হবে শেষ, এবং শেষ হবে শেষ। যদি ভেক্টরের বিন্দু ব্যবহার করে লেখা হয়, তাহলে।
ভেক্টর পার্থক্যের মডিউল
তিনটি ভেক্টর, উপরন্তু, একটি ত্রিভুজ গঠন করে, এবং পার্থক্য মডুলাসের অভিব্যক্তি একই রকম:
ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন কোথায়
কোসাইনের সামনের চিহ্নে যোগ মডুলাস সূত্র থেকে পার্থক্য, যখন কোন কোণটি নেওয়া হয়েছে তা সাবধানে পর্যবেক্ষণ করা প্রয়োজন (ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে কোণ সহ যোগ মডুলাস সূত্রের বৈকল্পিক, যখন সমষ্টি অনুযায়ী যোগ করা হয় ত্রিভুজ নিয়ম, পার্থক্য মডুলাসের জন্য এই সূত্র থেকে চেহারাতে ভিন্ন নয়, তবে আপনার অবশ্যই বোঝা উচিত যে এখানে বিভিন্ন কোণ নেওয়া হয়েছে: যোগফলের ক্ষেত্রে, কোণটি নেওয়া হয় যখন ভেক্টরটি এর শেষে স্থানান্তরিত হয় ভেক্টর, যখন পার্থক্য মডেলটি অনুসন্ধান করা হয়, তখন একটি বিন্দুতে প্রয়োগ করা ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ নেওয়া হয়; সমষ্টি মডুলাসের জন্য অভিব্যক্তিটি একই কোণ ব্যবহার করে পার্থক্যের মডুলাসের জন্য প্রদত্ত অভিব্যক্তির মতো, সামনের চিহ্নে ভিন্ন কোসাইন)।
| " |
প্রথমত, একটি ভেক্টরের ধারণাটিকে আলাদা করা প্রয়োজন। একটি জ্যামিতিক ভেক্টরের সংজ্ঞা প্রবর্তন করার জন্য, আসুন একটি সেগমেন্ট কী তা স্মরণ করি। আমরা নিম্নলিখিত সংজ্ঞা প্রবর্তন.
সংজ্ঞা 1
একটি সেগমেন্ট হল একটি সরলরেখার একটি অংশ যার বিন্দু আকারে দুটি সীমানা রয়েছে।
সেগমেন্টের 2টি দিক থাকতে পারে। দিক নির্দেশ করার জন্য, আমরা সেগমেন্টের সীমানাগুলির একটিকে তার শুরু বলব এবং অন্য সীমানা - এর শেষ। দিকটি তার শুরু থেকে সেগমেন্টের শেষ পর্যন্ত নির্দেশিত হয়।
সংজ্ঞা 2
একটি ভেক্টর বা নির্দেশিত সেগমেন্ট হল একটি সেগমেন্ট যার জন্য এটি জানা যায় যে সেগমেন্টের সীমানাগুলির মধ্যে কোনটি শুরু এবং কোনটি শেষ।
নোটেশন: দুটি অক্ষর: $\overline(AB)$ – (যেখানে $A$ এর শুরু এবং $B$ এর শেষ)।
একটি ছোট অক্ষরে: $\overline(a)$ (চিত্র 1)।
আমরা এখন সরাসরি, ভেক্টর দৈর্ঘ্যের ধারণা প্রবর্তন করি।
সংজ্ঞা 3
$\overline(a)$ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হল $a$ সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য।
নোটেশন: $|\overline(a)|$
একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের ধারণাটি যুক্ত, উদাহরণস্বরূপ, দুটি ভেক্টরের সমতার মতো ধারণার সাথে।
সংজ্ঞা 4
দুটি ভেক্টরকে সমান বলা হবে যদি তারা দুটি শর্ত পূরণ করে: 1. তারা সহনির্দেশক; 1. তাদের দৈর্ঘ্য সমান (চিত্র 2)।
ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করতে একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করুন এবং প্রবেশ করা সিস্টেমে ভেক্টরের জন্য স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন। আমরা জানি, যেকোনো ভেক্টরকে $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ হিসেবে প্রসারিত করা যেতে পারে, যেখানে $m$ এবং $n$ হল বাস্তব সংখ্যা এবং $\overline(i) )$ এবং $\overline(j)$ হল যথাক্রমে $Ox$ এবং $Oy$ অক্ষের একক ভেক্টর।
সংজ্ঞা 5
$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ভেক্টরের সম্প্রসারণ সহগগুলিকে প্রবর্তিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এই ভেক্টরের স্থানাঙ্ক বলা হবে। গাণিতিকভাবে:
$\overline(c)=(m,n)$
কিভাবে একটি ভেক্টর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে?
একটি নির্বিচারে ভেক্টরের স্থানাঙ্কের দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য একটি সূত্র বের করার জন্য, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন:
উদাহরণ 1
প্রদত্ত: স্থানাঙ্ক $(x,y)$ সহ ভেক্টর $\overline(α)$। খুঁজুন: এই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য।
প্লেনে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট সিস্টেম $xOy$ চালু করা যাক। প্রবর্তিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উৎপত্তি থেকে $\overline(OA)=\overline(a)$ আলাদা করে রাখুন। আসুন আমরা যথাক্রমে $Ox$ এবং $Oy$ অক্ষের উপর নির্মিত ভেক্টরের $OA_1$ এবং $OA_2$ অনুমান নির্মাণ করি (চিত্র 3)।
আমাদের দ্বারা নির্মিত ভেক্টর $\overline(OA)$ হবে $A$ বিন্দুর জন্য ব্যাসার্ধ ভেক্টর, অতএব, এতে স্থানাঙ্ক থাকবে $(x,y)$, যার মানে
$=x$, $[OA_2]=y$
এখন আমরা সহজেই পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে কাঙ্ক্ষিত দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পারি, আমরা পাই
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
উত্তর: $\sqrt(x^2+y^2)$।
উপসংহার:একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য যার স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়েছে, আপনাকে এই স্থানাঙ্কগুলির যোগফলের বর্গক্ষেত্রের মূল খুঁজে বের করতে হবে।
টাস্ক উদাহরণ
উদাহরণ 2
$X$ এবং $Y$ বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন, যার নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক রয়েছে: যথাক্রমে $(-1,5)$ এবং $(7,3)$।
যেকোনো দুটি বিন্দু সহজেই ভেক্টর ধারণার সাথে যুক্ত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর $\overline(XY)$ বিবেচনা করুন। আমরা ইতিমধ্যেই জানি, শেষ বিন্দু ($Y$) এর স্থানাঙ্ক থেকে প্রারম্ভিক বিন্দু ($X$) এর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলিকে বিয়োগ করে এই ধরনের ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাওয়া যেতে পারে। আমরা যে পেতে
অক্সি
ও কিন্তু OA.
, কোথায় 
OA 
.
এইভাবে, 
.
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।
উদাহরণ।
সমাধান।
:
উত্তর:
অক্সিজস্থান.
কিন্তু OAএকটি তির্যক হবে।
এই ক্ষেত্রে (কারণ OA 
OA 
.
এইভাবে, ভেক্টর দৈর্ঘ্য 
.
উদাহরণ।
ভেক্টর দৈর্ঘ্য গণনা করুন 
সমাধান।
, অতএব, 
উত্তর:
একটি প্লেনে সরল রেখা
সাধারণ সমীকরণ
Ax + by + C ( > 0)।
ভেক্টর = (A; B)একটি সাধারণ লাইন ভেক্টর।
ভেক্টর আকারে: + সি = 0, যেখানে একটি সরল রেখায় একটি নির্বিচারী বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর (চিত্র 4.11)।
বিশেষ ক্ষেত্রে:
1) + C = 0 দ্বারা- অক্ষের সমান্তরাল সরল রেখা বলদ;
2) Ax+C=0- অক্ষের সমান্তরাল সরল রেখা ওয়;
3) Ax + By = 0- লাইনটি উত্সের মধ্য দিয়ে যায়;
4) y=0- অক্ষ বলদ;
5) x=0- অক্ষ ওয়.
অংশে সরলরেখার সমীকরণ
কোথায় ক, খ- স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর একটি সরল রেখা দ্বারা কাটা অংশগুলির আকার।
সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ(চিত্র 4.11)
কোণটি সাধারণত লাইন এবং অক্ষের সাথে কোথায় গঠিত হয় বলদ; পিস্থানাঙ্কের উৎপত্তি থেকে রেখার দূরত্ব।
সরলরেখার সাধারণ সমীকরণকে স্বাভাবিক আকারে নিয়ে আসা:
এখানে প্রত্যক্ষ লাইনের স্বাভাবিকীকৃত ফ্যাক্টর; চিহ্নটি চিহ্নের বিপরীতে নির্বাচিত হয় গ, যদি এবং নির্বিচারে, যদি C=0.
স্থানাঙ্ক দ্বারা একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা।
ভেক্টরের দৈর্ঘ্য দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। এই স্বরলিপির কারণে, একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্যকে প্রায়শই ভেক্টরের মডুলাস হিসাবে উল্লেখ করা হয়।
চলুন শুরু করা যাক স্থানাঙ্ক দ্বারা সমতলে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার মাধ্যমে।
আমরা সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা প্রবর্তন করি অক্সি. এটিতে একটি ভেক্টর দেওয়া যাক এবং এতে স্থানাঙ্ক রয়েছে। আসুন একটি সূত্র পাই যা আপনাকে স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে দেয়।
স্থানাঙ্কের উত্স থেকে আলাদা করুন (বিন্দু থেকে ও) ভেক্টর। বিন্দুর অনুমানগুলি নির্দেশ করুন কিন্তুস্থানাঙ্ক অক্ষগুলিতে যথাক্রমে এবং একটি তির্যক সহ একটি আয়তক্ষেত্র বিবেচনা করুন OA.
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের গুণে, সমতা , কোথায় . একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্কের সংজ্ঞা থেকে, আমরা দাবি করতে পারি যে এবং, এবং নির্মাণের মাধ্যমে, দৈর্ঘ্য OAভেক্টরের দৈর্ঘ্যের সমান, তাই, .
এইভাবে, একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার সূত্রসমতলে এর স্থানাঙ্কে ফর্ম আছে .
যদি ভেক্টরকে স্থানাঙ্ক ভেক্টরে একটি পচন হিসাবে উপস্থাপন করা হয় , তারপর এর দৈর্ঘ্য একই সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় , যেহেতু এই ক্ষেত্রে সহগ এবং প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ভেক্টরের স্থানাঙ্ক।
একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।
উদাহরণ।
কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে প্রদত্ত ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজুন।
সমাধান।
স্থানাঙ্ক দ্বারা ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য অবিলম্বে সূত্রটি প্রয়োগ করুন :
উত্তর:
এখন আমরা একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র পেয়েছি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে এর স্থানাঙ্ক দ্বারা অক্সিজস্থান.
উৎপত্তি থেকে ভেক্টরকে একপাশে রাখুন এবং বিন্দুর অনুমানগুলি নির্দেশ করুন কিন্তুস্থানাঙ্ক অক্ষের পাশাপাশি তারপর আমরা পাশ এবং একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল যা মধ্যে নির্মাণ করতে পারেন OAএকটি তির্যক হবে।
এই ক্ষেত্রে (কারণ OAএকটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ এর তির্যক), যেখান থেকে . ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা আমাদের সমতা এবং দৈর্ঘ্য লিখতে দেয় OAভেক্টরের কাঙ্ক্ষিত দৈর্ঘ্যের সমান, তাই, .
এইভাবে, ভেক্টর দৈর্ঘ্য স্থানাঙ্কের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির বর্গমূলের সমান, অর্থাৎ, সূত্র দ্বারা পাওয়া যায় .
উদাহরণ।
ভেক্টর দৈর্ঘ্য গণনা করুন , আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের orts কোথায় আছে.
সমাধান।
ফর্মের সমন্বয়কারী ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে আমাদের একটি ভেক্টরের প্রসারণ দেওয়া হয়েছে , অতএব, . তারপর, স্থানাঙ্ক দ্বারা একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার সূত্র অনুসারে, আমাদের আছে।
