দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ। দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণটি অনলাইনে 2টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে সরলরেখার সমীকরণ লিখুন

এই নিবন্ধটি একটি সমতলে অবস্থিত একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণের উদ্ভব প্রকাশ করে। আমরা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ বের করি। আমরা কভার করা উপাদান সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি উদাহরণ দৃশ্যত দেখাব এবং সমাধান করব।

দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ পাওয়ার আগে, কিছু তথ্যের দিকে মনোযোগ দেওয়া প্রয়োজন। একটি স্বতঃসিদ্ধ আছে যেটি বলে যে একটি সমতলে দুটি অ-মিলিত বিন্দুর মাধ্যমে একটি সরল রেখা আঁকা সম্ভব এবং শুধুমাত্র একটি। অন্য কথায়, সমতলের দুটি প্রদত্ত বিন্দু এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা দ্বারা নির্ধারিত হয়।

যদি সমতলটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি দ্বারা দেওয়া হয়, তবে এতে চিত্রিত যে কোনও সরল রেখা সমতলের সরলরেখার সমীকরণের সাথে মিলে যাবে। সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের সাথেও একটি সংযোগ রয়েছে এই তথ্য দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ আঁকতে যথেষ্ট।

অনুরূপ সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অবস্থিত দুটি অমিল বিন্দু M 1 (x 1, y 1) এবং M 2 (x 2, y 2) এর মধ্য দিয়ে একটি সরলরেখার সমীকরণ রচনা করা প্রয়োজন।

একটি সমতলে সরলরেখার প্রামাণিক সমীকরণে, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ফর্ম ধারণ করে, একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম O x y একটি সরল রেখা দিয়ে নির্দিষ্ট করা হয়েছে যা স্থানাঙ্ক M সহ একটি বিন্দুতে এটির সাথে ছেদ করে। 1 (x 1, y 1) একটি গাইড ভেক্টর সহ a → = (a x , a y)।

সরলরেখা a-এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করা প্রয়োজন, যা স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1) এবং M 2 (x 2, y 2) সহ দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে।

সরলরেখা a-তে স্থানাঙ্ক সহ একটি নির্দেশক ভেক্টর M 1 M 2 → রয়েছে (x 2 - x 1, y 2 - y 1), যেহেতু এটি M 1 এবং M 2 বিন্দুকে ছেদ করে। অভিমুখ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) এবং তাদের উপর থাকা বিন্দু M 1 এর স্থানাঙ্কগুলির সাথে ক্যানোনিকাল সমীকরণকে রূপান্তর করার জন্য আমরা প্রয়োজনীয় ডেটা পেয়েছি (x 1, y 1) এবং M 2 (x 2, y 2)। আমরা x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 বা x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ফর্মের একটি সমীকরণ পাই।

নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।

গণনাগুলি অনুসরণ করে, আমরা একটি সমতলে একটি সরলরেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি লিখি যা স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1) এবং M 2 (x 2, y 2) সহ দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। আমরা x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ বা x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ ফর্মের একটি সমীকরণ পাই y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ।

আসুন কয়েকটি উদাহরণ ঘনিষ্ঠভাবে বিবেচনা করি।

উদাহরণ 1

স্থানাঙ্ক M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 সহ 2টি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণটি লেখ।

সমাধান

স্থানাঙ্ক x 1 , y 1 এবং x 2 , y 2 সহ দুটি বিন্দুতে ছেদ করা একটি সরলরেখার জন্য প্রামাণিক সমীকরণ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 রূপ নেয়। সমস্যার শর্ত অনুসারে, আমাদের কাছে আছে x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6। x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 সমীকরণে সংখ্যাসূচক মানগুলি প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন। এখান থেকে আমরা পাই যে ক্যানোনিকাল সমীকরণটি x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ফর্ম নেবে।

উত্তর: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6।

যদি একটি ভিন্ন ধরণের সমীকরণের সাথে একটি সমস্যা সমাধানের প্রয়োজন হয়, তবে শুরু করার জন্য আপনি ক্যানোনিকালটিতে যেতে পারেন, কারণ এটি থেকে অন্য কোনওটিতে আসা সহজ।

উদাহরণ 2

O x y স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানাঙ্ক M 1 (1, 1) এবং M 2 (4, 2) সহ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ রচনা করুন।

সমাধান

প্রথমে আপনাকে একটি প্রদত্ত লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণটি লিখতে হবে যা প্রদত্ত দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। আমরা x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ফর্মটির একটি সমীকরণ পাই।

আমরা ক্যানোনিকাল সমীকরণটি পছন্দসই আকারে নিয়ে আসি, তারপর আমরা পাই:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

উত্তর: x - 3 y + 2 = 0।

বীজগণিত পাঠে স্কুলের পাঠ্যপুস্তকে এই ধরনের কাজের উদাহরণ বিবেচনা করা হয়েছিল। স্কুলের কাজগুলি ভিন্ন ছিল যে একটি ঢাল সহগ সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ জানা ছিল, যার ফর্ম y \u003d k x + b ছিল। আপনি যদি ঢাল k এবং সংখ্যা b এর মান খুঁজে বের করতে চান, যেখানে y \u003d k x + b সমীকরণটি O x y সিস্টেমের একটি লাইনকে সংজ্ঞায়িত করে যা M 1 (x 1, y 1) এবং M বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় 2 (x 2, y 2), যেখানে x 1 ≠ x 2। যখন x 1 = x 2 , তারপর ঢালটি অসীমতার মান নেয়, এবং সরলরেখা M 1 M 2টি x - x 1 = 0 ফর্মের একটি সাধারণ অসম্পূর্ণ সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় .

কারণ বিন্দু এম ঘএবং এম 2একটি সরল রেখায় থাকে, তাহলে তাদের স্থানাঙ্কগুলি y 1 = k x 1 + b এবং y 2 = k x 2 + b সমীকরণটি পূরণ করে। k এবং b সাপেক্ষে y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা প্রয়োজন।

এটি করার জন্য, আমরা k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 বা k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x খুঁজে পাই 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2।

k এবং b এর এই ধরনের মানের সাথে, প্রদত্ত দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণটি নিম্নলিখিত ফর্মটি y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 বা y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2।

একবারে এত বিপুল সংখ্যক সূত্র মুখস্ত করা কাজ করবে না। এটি করার জন্য, সমস্যা সমাধানে পুনরাবৃত্তির সংখ্যা বাড়ানো প্রয়োজন।

উদাহরণ 3

স্থানাঙ্ক M 2 (2, 1) এবং y = k x + b সহ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি ঢাল সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ লিখ।

সমাধান

সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা একটি ঢাল সহ একটি সূত্র ব্যবহার করি যার ফর্ম y \u003d k x + b আছে। k এবং b সহগগুলিকে অবশ্যই এমন একটি মান নিতে হবে যে এই সমীকরণটি স্থানাঙ্ক M 1 (- 7 , - 5) এবং M 2 (2 , 1) সহ দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সাথে মিলে যায়।

পয়েন্ট এম ঘএবং এম 2একটি সরল রেখায় অবস্থিত, তাহলে তাদের স্থানাঙ্কগুলি y = k x + b সমীকরণটিকে সঠিক সমতা উল্টাতে হবে। এখান থেকে আমরা পাই যে - 5 = k · (- 7) + b এবং 1 = k · 2 + b। আসুন সিস্টেমে সমীকরণটি একত্রিত করি - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b এবং সমাধান করি।

প্রতিস্থাপনের পরে, আমরা এটি পেতে পারি

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

এখন k = 2 3 এবং b = - 1 3 মানগুলি y = k x + b সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়। আমরা পেয়েছি যে প্রদত্ত বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া পছন্দসই সমীকরণটি হবে একটি সমীকরণ যার ফর্ম y = 2 3 x - 1 3।

সমাধানের এই উপায়টি একটি বড় পরিমাণের ব্যয়কে পূর্বনির্ধারিত করে। একটি উপায় আছে যেখানে কাজটি আক্ষরিকভাবে দুটি ধাপে সমাধান করা হয়।

আসুন M 2 (2, 1) এবং M 1 (- 7, - 5) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ লিখি, যার ফর্মটি x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6।

এখন ঢাল সমীকরণে যাওয়া যাক। আমরা পাই যে: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 ।

উত্তর: y = 2 3 x - 1 3।

যদি ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা O x y z থাকে যেখানে স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) এবং M 2 (x 2, y 2, z 2) সহ দুটি প্রদত্ত নন-কোনসিডেন্ট বিন্দু থাকে, তাদের মধ্য দিয়ে সরল রেখা M 1 M 2 , এই রেখার সমীকরণ প্রাপ্ত করা প্রয়োজন।

আমাদের কাছে x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ফর্মের প্রামাণিক সমীকরণ রয়েছে এবং x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + ফর্মের প্যারামেট্রিক সমীকরণ রয়েছে। a z λ একটি নির্দেশক ভেক্টর a → = (a x, a y, a z) সহ স্থানাঙ্ক (x 1, y 1, z 1) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া O x y z স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একটি লাইন সেট করতে সক্ষম।

সোজা M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) ফর্মের একটি দিক ভেক্টর রয়েছে, যেখানে লাইনটি M 1 (x 1 , y 1 , z) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় 1) এবং M 2 (x 2, y 2, z 2), তাই ক্যানোনিকাল সমীকরণটি x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z আকারে হতে পারে 2 - z 1 বা x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, ঘুরে, প্যারামেট্রিক x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ বা x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ।

একটি চিত্র বিবেচনা করুন যা স্থানের 2টি প্রদত্ত বিন্দু এবং একটি সরল রেখার সমীকরণ দেখায়।

উদাহরণ 4

ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম O x y z-এ সংজ্ঞায়িত একটি সরল রেখার সমীকরণ লিখুন, স্থানাঙ্ক M 1 (2, - 3, 0) এবং M 2 (1, - 3, - 5) সহ প্রদত্ত দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করুন )

সমাধান

আমাদের ক্যানোনিকাল সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে। যেহেতু আমরা ত্রিমাত্রিক স্থান সম্পর্কে কথা বলছি, এর মানে হল যে যখন একটি সরল রেখা প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তখন কাঙ্খিত প্রামাণিক সমীকরণটি x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = রূপ নেবে। z - z 1 z 2 - z 1।

শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে যে x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5। এটি অনুসরণ করে যে প্রয়োজনীয় সমীকরণগুলি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

উত্তরঃ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

উদাহরণ ব্যবহার করে দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ কীভাবে লিখবেন তা বিবেচনা করুন।

উদাহরণ 1

A(-3; 9) এবং B(2;-1) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ লেখ।

1 উপায় - আমরা একটি ঢাল সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ রচনা করব।

একটি ঢাল সহ একটি সরল রেখার সমীকরণের ফর্ম আছে। একটি সরলরেখার সমীকরণে A এবং B বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করে (x= -3 এবং y=9 - প্রথম ক্ষেত্রে, x=2 এবং y= -1 - দ্বিতীয় ক্ষেত্রে), আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই , যা থেকে আমরা k এবং b এর মান খুঁজে পাই:

১ম এবং ২য় সমীকরণের সাথে টার্ম যোগ করলে আমরা পাই: -10=5k, যেখান থেকে k= -2। দ্বিতীয় সমীকরণে k= -2 প্রতিস্থাপন করলে আমরা b পাই: -1=2 (-2)+b, b=3।

সুতরাং, y= -2x+3 হল কাঙ্ক্ষিত সমীকরণ।

2 উপায় - আমরা একটি সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ রচনা করব।

সরলরেখার সাধারণ সমীকরণের ফর্ম আছে। সমীকরণে A এবং B পয়েন্টের স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করে, আমরা সিস্টেমটি পাই:

যেহেতু অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার চেয়ে বেশি, সিস্টেমটি সমাধানযোগ্য নয়। কিন্তু একটির মাধ্যমে সব ভেরিয়েবল প্রকাশ করা সম্ভব। যেমন খ এর মাধ্যমে।

সিস্টেমের প্রথম সমীকরণকে -1 দ্বারা গুণ করা এবং দ্বিতীয়টিতে পদ দ্বারা পদ যোগ করা:

আমরা পাই: 5a-10b=0। তাই a=2b.

দ্বিতীয় সমীকরণে প্রাপ্ত রাশিটিকে প্রতিস্থাপন করা যাক: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c=-3 খ.
ax+by+c=0 সমীকরণে a=2b, c= -3b প্রতিস্থাপন করুন:

2bx+বাই-3b=0। উভয় অংশকে বি দ্বারা ভাগ করা বাকি আছে:

একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ সহজেই একটি ঢাল সহ একটি সরলরেখার সমীকরণে কমে যায়:

3 উপায় - আমরা 2 পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখার সমীকরণ রচনা করব।

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ হল:

এই সমীকরণে A(-3; 9) এবং B(2;-1) বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করুন

(যেমন x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

এবং সরলীকরণ:

যেখান থেকে 2x+y-3=0।

স্কুল কোর্সে, একটি ঢাল সহগ সহ একটি সরল রেখার সমীকরণটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। কিন্তু সবচেয়ে সহজ উপায় হল দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণের সূত্রটি বের করা এবং ব্যবহার করা।

মন্তব্য করুন।

যদি, প্রদত্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করার সময়, সমীকরণের হরগুলির মধ্যে একটি

শূন্যের সমান হতে দেখা যায়, তারপর সংশ্লিষ্ট লবকে শূন্যের সমান করে কাঙ্ক্ষিত সমীকরণ পাওয়া যায়।

উদাহরণ 2

C(5; -2) এবং D(7; -2) দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ লেখ।

2 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন, C এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক।

দুই পয়েন্ট দেওয়া যাক M 1 (x 1, y 1)এবং M 2 (x 2, y 2). আমরা একটি সরল রেখার সমীকরণটি আকারে লিখি (5), যেখানে kএখনও অজানা সহগ হিসাবে:

বিন্দু থেকে এম 2একটি প্রদত্ত রেখার অন্তর্গত, তারপর এর স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণ (5): . এখান থেকে প্রকাশ করে এবং এটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে (5), আমরা পছন্দসই সমীকরণ পাই:

যদি একটি এই সমীকরণটি এমন একটি আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে যা মনে রাখা সহজ:

(6)

উদাহরণ। M 1 (1.2) এবং M 2 (-2.3) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ লেখ।

সমাধান. . অনুপাতের সম্পত্তি ব্যবহার করে, এবং প্রয়োজনীয় রূপান্তরগুলি সম্পাদন করে, আমরা একটি সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ পাই:

দুই লাইনের মধ্যে কোণ

দুটি লাইন বিবেচনা করুন l 1এবং l 2:

l 1: , , এবং

l 2: , ,

φ তাদের মধ্যবর্তী কোণ ()। চিত্র 4 দেখায়: .

এখান থেকে , বা

সূত্র ব্যবহার করে (7), রেখাগুলির মধ্যে একটি কোণ নির্ধারণ করা যেতে পারে। দ্বিতীয় কোণ হল।

উদাহরণ. y=2x+3 এবং y=-3x+2 সমীকরণ দ্বারা দুটি সরলরেখা দেওয়া হয়েছে। এই লাইনগুলির মধ্যে কোণটি সন্ধান করুন।

সমাধান. k 1 \u003d 2 এবং k 2 \u003d-3 সমীকরণ থেকে দেখা যায়। এই মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করে (7), আমরা খুঁজে পাই

. সুতরাং এই লাইনগুলির মধ্যে কোণ হল .

দুটি রেখার সমান্তরালতা এবং লম্বতার শর্ত

সোজা হলে l 1এবং l 2সমান্তরাল, তারপর φ=0 এবং tgφ=0. সূত্র (7) থেকে এটি অনুসরণ করে যে, কোথা থেকে k 2 \u003d k 1. সুতরাং, দুটি রেখার সমান্তরালতার শর্ত হল তাদের ঢালের সমতা।

সোজা হলে l 1এবং l 2লম্ব, তারপর φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1। . এইভাবে, দুটি সরল রেখাকে লম্ব হওয়ার শর্ত হল যে তাদের ঢালগুলি আকারে পারস্পরিক এবং চিহ্নে বিপরীত।

বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্ব

উপপাদ্য। যদি একটি বিন্দু M(x 0, y 0) দেওয়া হয়, তাহলে Ax + Vy + C \u003d 0 রেখার দূরত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

প্রমাণ। বিন্দু M 1 (x 1, y 1) বিন্দুটি M বিন্দু থেকে প্রদত্ত রেখায় নেমে যাওয়া লম্বের ভিত্তি। তারপর পয়েন্ট M এবং M 1 এর মধ্যে দূরত্ব:

x 1 এবং y 1 স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান হিসাবে পাওয়া যেতে পারে:

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ হল একটি প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব M 0 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখার সমীকরণ।

যদি আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটিকে ফর্মে রূপান্তর করি:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

তারপর, সমাধান করে, আমরা পাই:

এই অভিব্যক্তিগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে (1), আমরা পাই:

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উদাহরণ।রেখাগুলির মধ্যে কোণ নির্ণয় করুন: y = -3x + 7; y = 2x + 1।

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj = ; j = p/4.

উদাহরণ।দেখাও যে রেখা 3x - 5y + 7 = 0 এবং 10x + 6y - 3 = 0 লম্ব।

আমরা খুঁজে পাই: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, অতএব, রেখাগুলি লম্ব।

উদাহরণ। A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দেওয়া আছে। শীর্ষবিন্দু C থেকে অঙ্কিত উচ্চতার সমীকরণ খুঁজুন।

আমরা পাশের AB এর সমীকরণটি খুঁজে পাই: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

কাঙ্ক্ষিত উচ্চতা সমীকরণ হল: Ax + By + C = 0 বা y = kx + b।

k= তারপর y = . কারণ উচ্চতা C বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তারপর এর স্থানাঙ্কগুলি এই সমীকরণটি পূরণ করে: যেখান থেকে b \u003d 17. মোট: .

উত্তরঃ 3x + 2y - 34 = 0।

একটি বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব বিন্দু থেকে রেখায় নেমে যাওয়া লম্বের দৈর্ঘ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়।

রেখাটি অভিক্ষেপ সমতলের সমান্তরাল হলে (h | | P 1), তারপর বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করার জন্য কিন্তুসোজা জবিন্দু থেকে একটি লম্ব ড্রপ করা প্রয়োজন কিন্তুঅনুভূমিক পর্যন্ত জ.

আমাদের একটি আরও জটিল উদাহরণ বিবেচনা করা যাক, যখন লাইনটি একটি সাধারণ অবস্থান দখল করে। বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করার জন্য এটি প্রয়োজনীয় হতে দিন এমসোজা কসাধারণ অবস্থান।

সংজ্ঞা টাস্ক সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্বআগের মতই সমাধান করা হয়েছে। একটি বিন্দু একটি লাইনে নেওয়া হয় এবং এটি থেকে অন্য লাইনে একটি লম্ব টানা হয়। লম্বের দৈর্ঘ্য সমান্তরাল রেখাগুলির মধ্যে দূরত্বের সমান।

দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখাবর্তমান কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি রেখা। সাধারণ ক্ষেত্রে, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

যেখানে A, B, C, D, E, F হল বাস্তব সংখ্যা এবং কমপক্ষে একটি সংখ্যা A 2 + B 2 + C 2 ≠0।

বৃত্ত

বৃত্ত কেন্দ্র- এটি সমতলের C (a, b) বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির অবস্থান।

বৃত্তটি নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়:

যেখানে x, y হল বৃত্তের একটি নির্বিচারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক, R হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

বৃত্ত সমীকরণের চিহ্ন

1. x, y এর সাথে কোন পদ নেই

2. x 2 এবং y 2 এ সহগ সমান

উপবৃত্ত

উপবৃত্তএকটি সমতলে বিন্দুগুলির অবস্থানকে বলা হয়, এই সমতলের দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে প্রতিটির দূরত্বের সমষ্টিকে ফোসি (একটি ধ্রুবক মান) বলা হয়।

একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ:

X এবং y একটি উপবৃত্তের অন্তর্গত।

a হল উপবৃত্তের প্রধান সেমিঅ্যাক্সিস

b হল উপবৃত্তের ক্ষুদ্র সেমিঅ্যাক্সিস

উপবৃত্তে প্রতিসাম্য OX এবং OY এর 2টি অক্ষ রয়েছে। উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের অক্ষগুলি হল এর অক্ষ, তাদের ছেদ বিন্দুটি উপবৃত্তের কেন্দ্র। যে অক্ষের উপর ফোসি অবস্থিত তাকে বলা হয় ফোকাল অক্ষ. অক্ষগুলির সাথে উপবৃত্তের ছেদ বিন্দুটি উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু।

কম্প্রেশন (স্ট্রেচিং) অনুপাত: ε = c/a- অকেন্দ্রিকতা (উপবৃত্তের আকৃতিকে চিহ্নিত করে), এটি যত ছোট হয়, উপবৃত্তটি ফোকাল অক্ষ বরাবর প্রসারিত হয় তত কম।

উপবৃত্তের কেন্দ্রগুলি С(α, β) কেন্দ্রে না থাকলে

অধিবৃত্ত

হাইপারবোলএকটি সমতলে বিন্দুর অবস্থান বলা হয়, দূরত্বের পার্থক্যের পরম মান, যার প্রত্যেকটি এই সমতলের দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে, ফোসি বলা হয়, একটি ধ্রুবক মান শূন্য থেকে আলাদা।

হাইপারবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ

একটি হাইপারবোলার প্রতিসাম্যের 2টি অক্ষ রয়েছে:

a - প্রতিসাম্যের বাস্তব সেমিঅ্যাক্সিস

b - প্রতিসাম্যের কাল্পনিক সেমিঅ্যাক্সিস

হাইপারবোলার উপসর্গ:

পরাবৃত্ত

পরাবৃত্তএকটি প্রদত্ত বিন্দু F থেকে সমতলে অবস্থিত বিন্দুগুলির অবস্থান, যাকে ফোকাস বলা হয় এবং একটি প্রদত্ত রেখা, যাকে বলা হয় ডাইরেক্টরিক্স৷

ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণ:

Y 2 \u003d 2px, যেখানে p হল ফোকাস থেকে ডিরেক্ট্রিক্সের দূরত্ব (প্যারাবোলা প্যারামিটার)

যদি প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু C (α, β) হয়, তাহলে প্যারাবোলার সমীকরণ (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

যদি ফোকাল অক্ষকে y-অক্ষ হিসাবে নেওয়া হয়, তাহলে প্যারাবোলা সমীকরণটি রূপ নেবে: x 2 \u003d 2qy