নিবন্ধটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের ধারণাটিকে বিশ্লেষণ করে। আমরা একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজ্যতার উপর উপপাদ্যটি প্রমাণ করব এবং ভাজ্য এবং ভাজক, অসম্পূর্ণ ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশের মধ্যে সংযোগগুলি দেখব। উদাহরণ সহ বিশদভাবে পরীক্ষা করে যখন অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজন করা হয় তখন নিয়মগুলি বিবেচনা করুন। সমাধান শেষে, আমরা একটি চেক সঞ্চালন করা হবে.
অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের সাধারণ ধারণা
একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনটিকে প্রাকৃতিক সংখ্যার অবশিষ্টাংশ সহ একটি সাধারণীকৃত বিভাগ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এটি করা হয়েছে কারণ প্রাকৃতিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যার একটি উপাদান।
একটি নির্বিচারে সংখ্যার অবশিষ্টাংশ দিয়ে বিভাজন বলে যে পূর্ণসংখ্যা a সংখ্যাটি b দ্বারা বিভাজ্য, যা শূন্য থেকে আলাদা। যদি b = 0 হয় তাহলে অবশিষ্টাংশের সাথে কোন বিভাজন করা হয় না।
একটি অবশিষ্টাংশের সাথে প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজনের পাশাপাশি, পূর্ণসংখ্যা a এবং b এর বিভাজন করা হয়, b শূন্য থেকে আলাদা, c এবং d দ্বারা। এই ক্ষেত্রে, a এবং b কে লভ্যাংশ এবং ভাজক বলা হয় এবং d হল ভাগের অবশিষ্টাংশ, c হল একটি পূর্ণসংখ্যা বা আংশিক ভাগফল।
যদি আমরা ধরে নিই যে অবশিষ্টটি একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাহলে এর মান b সংখ্যাটির মডুলাসের চেয়ে বেশি নয়। এইভাবে লিখি: 0 ≤ d ≤ b। 3 বা তার বেশি সংখ্যার তুলনা করার সময় অসমতার এই চেইনটি ব্যবহার করা হয়।
যদি c একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল হয়, তাহলে d হল একটি পূর্ণসংখ্যা a কে b দ্বারা ভাগ করার অবশিষ্টাংশ, আপনি সংক্ষেপে ঠিক করতে পারেন: a: b \u003d c (d থাকবে)।
একটি সংখ্যাকে b দ্বারা ভাগ করার সময় অবশিষ্টাংশ সম্ভব শূন্য, তখন তারা বলে যে a কে সম্পূর্ণরূপে b দ্বারা ভাগ করা হয়েছে, অর্থাৎ একটি অবশিষ্ট ছাড়াই। একটি অবশিষ্ট ছাড়া বিভাজন বিভাজনের বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচিত হয়।
শূন্যকে কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে আমরা শূন্য পাব। বিভাগের বাকি অংশও শূন্য হবে। এটি একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা শূন্যের বিভাজনের তত্ত্ব থেকে দেখা যায়।
এখন অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের অর্থ বিবেচনা করুন।
এটা জানা যায় যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা প্রাকৃতিক, তারপর অবশিষ্টাংশ দিয়ে ভাগ করার সময়, অবশিষ্টাংশের সাথে প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ভাগ করার সময় একই অর্থ পাওয়া যাবে।
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা aকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করা অর্থপূর্ণ। এর একটি উদাহরণ তাকান. এমন একটি পরিস্থিতি কল্পনা করুন যেখানে আমাদের কাছে একটি পরিমাণে আইটেমের ঋণ আছে যা b জনগণকে পরিশোধ করতে হবে। এ জন্য সবাইকে সমানভাবে অবদান রাখতে হবে। প্রত্যেকের জন্য ঋণের পরিমাণ নির্ধারণ করতে, প্রাইভেট গ এর মূল্যের দিকে মনোযোগ দেওয়া প্রয়োজন। অবশিষ্ট d নির্দেশ করে যে ঋণ পরিশোধের পর আইটেমের সংখ্যা জানা যায়।
আসুন আপেলের সাথে একটি উদাহরণ নেওয়া যাক। যদি 2 জনের প্রয়োজন হয় 7 আপেল। যদি আমরা গণনা করি যে প্রত্যেককে অবশ্যই 4টি আপেল ফেরত দিতে হবে, সম্পূর্ণ হিসাবের পরে তাদের 1টি আপেল অবশিষ্ট থাকবে। আসুন এটিকে একটি সমতা হিসাবে লিখি: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1)।
কোনো সংখ্যা aকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে কোনো মানে হয় না, কিন্তু এটি একটি বিকল্প হিসেবে সম্ভব।
অবশিষ্ট সহ পূর্ণসংখ্যার জন্য বিভাজ্যতা উপপাদ্য
আমরা দেখেছি যে a হল লভ্যাংশ, তারপর b হল ভাজক, c হল আংশিক ভাগফল এবং d হল অবশিষ্টাংশ। তারা পরস্পর সংযুক্ত। আমরা সমতা a = b · c + d ব্যবহার করে এই সম্পর্কটি দেখাব। তাদের মধ্যে সম্পর্ক অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজ্য উপপাদ্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
উপপাদ্য
যেকোন পূর্ণসংখ্যাকে শুধুমাত্র একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি অ-শূন্য সংখ্যা b এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: a = b · q + r , যেখানে q এবং r কিছু পূর্ণসংখ্যা। এখানে আমাদের 0 ≤ r ≤ b আছে।
আসুন a = b · q + r এর অস্তিত্বের সম্ভাবনা প্রমাণ করি।
প্রমাণ
যদি দুটি সংখ্যা a এবং b থাকে, এবং a একটি অবশিষ্ট ব্যতীত b দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে একটি সংখ্যা q আছে, যে সমতা a = b · q সত্য হবে। তাহলে সমতাকে সত্য হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে: a = b q + r এর জন্য r = 0।
তাহলে q নিতে হবে যেটা অসমতা b·q দ্বারা প্রদত্ত< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
আমাদের আছে যে a − b · q রাশিটির মান শূন্যের চেয়ে বড় এবং সংখ্যা b এর মানের চেয়ে বেশি নয়, তাই এটি r = a − b · q অনুসরণ করে। আমরা পাই যে a সংখ্যাটিকে a = b · q + r হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।
এখন আমাদের b এর নেতিবাচক মানের জন্য a = b · q + r প্রতিনিধিত্ব করার সম্ভাবনা বিবেচনা করতে হবে।
সংখ্যাটির মডুলাসটি ধনাত্মক হতে দেখা যায়, তারপর আমরা a = b q 1 + r পাব, যেখানে মান q 1 কিছু পূর্ণসংখ্যা, r হল একটি পূর্ণসংখ্যা যা 0 ≤ r শর্তের সাথে মানানসই< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
স্বতন্ত্রতার প্রমাণ
অনুমান করুন যে a = b q + r, q এবং r হল 0 ≤ r শর্ত সহ পূর্ণসংখ্যা< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1এবং r1কিছু সংখ্যা যেখানে q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
যখন বাম এবং ডান দিক থেকে অসমতা বিয়োগ করা হয়, তখন আমরা 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 পাব, যা r - r 1 = b · q 1 - q এর সমতুল্য। যেহেতু মডিউলটি ব্যবহার করা হয়েছে, আমরা সমতা r - r 1 = b · q 1 - q পাই।
প্রদত্ত শর্ত বলে যে 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qএবং q 1- পুরো, এবং q ≠ q 1, তারপর q 1 - q ≥ 1। তাই আমাদের আছে b · q 1 - q ≥ b। ফলে অসমতা r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে সংখ্যাটি a = b · q + r ব্যতীত অন্য কোনও উপায়ে প্রতিনিধিত্ব করা যায় না।
লভ্যাংশ, ভাজক, আংশিক ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশের মধ্যে সম্পর্ক
সমতা a \u003d b c + d ব্যবহার করে, আপনি অজানা লভ্যাংশ a খুঁজে পেতে পারেন যখন ভাজক b একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল c এবং অবশিষ্ট d সহ পরিচিত হয়।
উদাহরণ 1
লভ্যাংশ নির্ধারণ করুন যদি, ভাগ করার সময় আমরা পাই - 21, একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল 5 এবং একটি অবশিষ্ট 12।
সমাধান
একটি পরিচিত ভাজক b = −21, একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল c = 5 এবং একটি অবশিষ্ট d = 12 সহ লভ্যাংশ a গণনা করা প্রয়োজন। আমাদের সমতা a = b c + d উল্লেখ করতে হবে, এখান থেকে আমরা a = (−21) 5 + 12 পাই। অপারেশনের ক্রম সাপেক্ষে, আমরা - 21 কে 5 দ্বারা গুণ করি, তারপরে আমরা (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 পাই।
উত্তর: - 93 .
ভাজক এবং আংশিক ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশের মধ্যে সম্পর্ককে সমতা ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে: b = (a − d): c , c = (a − d): b এবং d = a − b · c। তাদের সাহায্যে, আমরা ভাজক, আংশিক ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ গণনা করতে পারি। এটি একটি পরিচিত লভ্যাংশ, ভাজক এবং আংশিক ভাগফলের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যা aকে b দ্বারা বিভক্ত করার অবশিষ্টাংশকে ক্রমাগত খুঁজে বের করে। সূত্র d = a − b · c প্রয়োগ করা হয়। এর সমাধানটি বিস্তারিতভাবে বিবেচনা করা যাক।
উদাহরণ 2
একটি পূর্ণসংখ্যা - 19 কে একটি পূর্ণসংখ্যা 3 দ্বারা ভাগ করার অবশিষ্টাংশটি - 7 এর সমান একটি পরিচিত অসম্পূর্ণ ভাগফলের সাথে খুঁজুন।
সমাধান
একটি ভাগের অবশিষ্টাংশ গণনা করতে, আমরা d = a − b c ফর্মের একটি সূত্র প্রয়োগ করি। শর্ত অনুসারে, সমস্ত ডেটা a = − 19 , b = 3 , c = − 7 উপলব্ধ। এখান থেকে আমরা পাই d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (পার্থক্য - 19 - (- 21)... এই উদাহরণটি বিয়োগের নিয়ম সম্পূর্ণ ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গণনা করা হয়।
উত্তর: 2 .
সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা প্রাকৃতিক। এটি অনুসরণ করে যে বিভাজনটি প্রাকৃতিক সংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজনের সমস্ত নিয়ম অনুসারে সঞ্চালিত হয়। প্রাকৃতিক সংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজনের গতি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যার বিভাজনই এর উপর ভিত্তি করে নয়, বরং নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা ভাগ করার নিয়মও রয়েছে।
সবচেয়ে সুবিধাজনক বিভাগ পদ্ধতি হল একটি কলাম, যেহেতু এটি একটি অসম্পূর্ণ বা একটি অবশিষ্টাংশের সাথে একটি ভাগফল পাওয়া সহজ এবং দ্রুত। আসুন আরো বিস্তারিতভাবে সমাধান বিবেচনা করা যাক।
উদাহরণ 3
14671 কে 54 দ্বারা ভাগ করুন।
সমাধান
এই বিভাগটি একটি কলামে করা আবশ্যক:
অর্থাৎ, অসম্পূর্ণ ভাগফল 271 এর সমান, এবং অবশিষ্টটি 37।
উত্তর: 14671: 54 = 271। (বাকি 37)
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ সহ বিভাজনের নিয়ম, উদাহরণ
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ধনাত্মক সংখ্যার অবশিষ্টাংশ দিয়ে ভাগ করার জন্য, একটি নিয়ম প্রণয়ন করা প্রয়োজন।
সংজ্ঞা 1
একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা aকে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করার অসম্পূর্ণ ভাগফল একটি সংখ্যা দেয় যা একটি সংখ্যার মডিউলগুলিকে b দ্বারা ভাগ করার অসম্পূর্ণ ভাগফলের বিপরীত। তারপর a কে b দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্টাংশ অবশিষ্ট থাকে।
তাই আমাদের আছে যে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করার অসম্পূর্ণ ভাগফলকে একটি অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা হয়।
আমরা অ্যালগরিদম পাই:
- ভাজকের মডুলাস দ্বারা লভ্যাংশের মডুলাসকে ভাগ করলে আমরা একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল পাই এবং
- অবশিষ্ট
- বিপরীত সংখ্যা লিখুন।
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার জন্য অ্যালগরিদমের উদাহরণটি বিবেচনা করুন।
উদাহরণ 4
17 এর অবশিষ্ট অংশ দিয়ে - 5 দ্বারা বিভাজন করুন।
সমাধান
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগ অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা যাক। 17 কে - 5 মডিউল দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন। এখান থেকে আমরা পাই যে অসম্পূর্ণ ভাগফল হল 3, এবং অবশিষ্টটি হল 2।
17 কে - 5 \u003d - 3 দ্বারা ভাগ করলে 2 এর সমান অবশিষ্টাংশের সাথে আমরা কাঙ্খিত সংখ্যাটি পাই।
উত্তর: 17: (−5) = −3 (বাকি 2)।
উদাহরণ 5
45 কে - 15 দ্বারা ভাগ করুন।
সমাধান
এটি সংখ্যা মডিউল ভাগ করা প্রয়োজন. আমরা 45 সংখ্যাটিকে 15 দ্বারা ভাগ করি, আমরা অবশিষ্টাংশ ছাড়াই ভাগফল 3 পাই। সুতরাং 45 সংখ্যাটি একটি অবশিষ্ট ছাড়া 15 দ্বারা বিভাজ্য। উত্তরে আমরা পাই - 3, যেহেতু বিভাগটি মডুলো করা হয়েছিল।
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
উত্তর: 45: (− 15) = − 3 .
একটি অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজনের নিয়মটি নিম্নরূপ।
সংজ্ঞা 2
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা a কে ধনাত্মক b দ্বারা ভাগ করার সময় একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল c পেতে, আপনাকে এই সংখ্যার বিপরীতটি প্রয়োগ করতে হবে এবং এটি থেকে 1 বিয়োগ করতে হবে, তারপর অবশিষ্ট dটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হবে: d = a − b · গ.
নিয়মের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে ভাগ করার সময়, আমরা একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা পাই। সমাধানের নির্ভুলতার জন্য, একটি অবশিষ্টাংশের সাথে b দ্বারা ভাগ করার জন্য অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়:
- লভ্যাংশ এবং ভাজকের মডিউলগুলি সন্ধান করুন;
- বিভাজন মডিউল;
- প্রদত্ত সংখ্যার বিপরীত লিখুন এবং 1 বিয়োগ করুন;
- অবশিষ্ট d = a − b c এর জন্য সূত্রটি ব্যবহার করুন।
একটি সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করুন যেখানে এই অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা হয়।
উদাহরণ 6
অসম্পূর্ণ ভাগফল এবং ভাগের অবশিষ্টাংশ খুঁজুন - 17 বাই 5।
সমাধান
আমরা প্রদত্ত সংখ্যা মডিউল ভাগ. আমরা ভাগ করার সময় পাই যে ভাগফল 3 এবং অবশিষ্টটি 2। যেহেতু আমরা 3 পেয়েছি, বিপরীতটি 3। 1 বিয়োগ করা আবশ্যক।
− 3 − 1 = − 4 .
পছন্দসই মান সমান - 4।
অবশিষ্ট গণনা করতে, আপনার প্রয়োজন a = − 17 , b = 5 , c = − 4, তারপর d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3
এর মানে হল যে বিভাজনের অসম্পূর্ণ ভাগফল হল সংখ্যা - 4 যার অবশিষ্টাংশ 3 এর সমান।
উত্তর:(− 17) : 5 = − 4 (বাকি 3)।
উদাহরণ 7
ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা - 1404 কে ধনাত্মক 26 দ্বারা ভাগ করুন।
সমাধান
এটি একটি কলাম এবং মডুলাস দ্বারা ভাগ করা প্রয়োজন।
আমরা অবশিষ্টাংশ ছাড়া সংখ্যার মডিউলগুলির বিভাজন পেয়েছি। এর মানে হল যে বিভাজনটি একটি অবশিষ্ট ছাড়াই সঞ্চালিত হয়, এবং পছন্দসই ভাগফল = - 54।
উত্তর: (− 1 404) : 26 = − 54 .
অবশিষ্ট ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, উদাহরণ সহ বিভাগের নিয়ম
পূর্ণসংখ্যা ঋণাত্মক সংখ্যার অবশিষ্টাংশ দিয়ে একটি বিভাজনের নিয়ম প্রণয়ন করা প্রয়োজন।
সংজ্ঞা 3
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা a কে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করে একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল পেতে, মডুলো গণনা করা প্রয়োজন, তারপরে 1 যোগ করুন, তারপর আমরা d = a − b · c সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করতে পারি।
এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলির বিভাজনের অসম্পূর্ণ ভাগফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে।
আমরা একটি অ্যালগরিদম আকারে এই নিয়ম প্রণয়ন:
- লভ্যাংশ এবং ভাজকের মডিউলগুলি সন্ধান করুন;
- একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল পেতে ভাজকের মডুলাস দ্বারা লভ্যাংশের মডুলাসকে ভাগ করুন
- অবশিষ্ট
- অসম্পূর্ণ ভাগফলের সাথে 1 যোগ করা;
- d = a − b c সূত্রের উপর ভিত্তি করে অবশিষ্টাংশের গণনা।
আসুন একটি উদাহরণ সহ এই অ্যালগরিদম বিবেচনা করা যাক।
উদাহরণ 8
- 17 দ্বারা - 5 ভাগ করার সময় অসম্পূর্ণ ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ খুঁজুন।
সমাধান
সমাধানের সঠিকতার জন্য, আমরা একটি অবশিষ্টাংশ দিয়ে ভাগ করার জন্য অ্যালগরিদম প্রয়োগ করি। প্রথমে সংখ্যাগুলোকে ভাগ করুন। এখান থেকে আমরা পাই যে অসম্পূর্ণ ভাগফল \u003d 3, এবং অবশিষ্টটি হল 2। নিয়ম অনুযায়ী অসম্পূর্ণ ভাগফল যোগ করতে হবে এবং ১. আমরা পাই যে 3 + 1 = 4। এখান থেকে আমরা পাই যে প্রদত্ত সংখ্যাগুলিকে ভাগ করলে অসম্পূর্ণ ভাগফল হল 4।
অবশিষ্ট গণনা করতে, আমরা সূত্রটি প্রয়োগ করব। শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে যে a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, তারপর, সূত্র ব্যবহার করে, আমরা d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3। কাঙ্খিত উত্তর, অর্থাৎ, অবশিষ্টাংশ হল 3, এবং অসম্পূর্ণ ভাগফল হল 4।
উত্তর:(− 17) : (− 5) = 4 (বাকি 3)।
একটি অবশিষ্টাংশ দিয়ে পূর্ণসংখ্যা ভাগ করার ফলাফল পরীক্ষা করা হচ্ছে
একটি অবশিষ্টাংশের সাথে সংখ্যার বিভাজন করার পরে, একটি চেক সঞ্চালন করা প্রয়োজন। এই চেক 2 ধাপ জড়িত. প্রথমে, অবশিষ্ট d অ-নেতিবাচকতার জন্য পরীক্ষা করা হয়, শর্ত 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
এর উদাহরণ তাকান.
উদাহরণ 9
উত্পাদিত বিভাগ - 521 দ্বারা - 12। ভাগফল 44, বাকি 7। একটি চেক চালান.
সমাধান
যেহেতু অবশিষ্টাংশ একটি ধনাত্মক সংখ্যা, এর মান ভাজকের মডুলাস থেকে কম। ভাজক হল -12, তাই এর মডুলাস হল 12। আপনি পরবর্তী চেকপয়েন্টে যেতে পারেন।
শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7। এখান থেকে আমরা b c + d গণনা করি, যেখানে b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 । এটি অনুসরণ করে যে সমতা সত্য। চেক পাস হয়েছে।
উদাহরণ 10
বিভাজন চেক করুন (− 17) : 5 = − 3 (বাকি −2)। সমতা কি সত্য?
সমাধান
প্রথম পর্যায়ের অর্থ হল একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজন পরীক্ষা করা প্রয়োজন। এটি দেখায় যে ক্রিয়াটি ভুলভাবে সম্পাদিত হয়েছিল, যেহেতু অবশিষ্টটি দেওয়া হয়েছে, সমান - 2। অবশিষ্ট একটি ঋণাত্মক সংখ্যা নয়.
আমরা যে দ্বিতীয় শর্ত সন্তুষ্ট, কিন্তু এই ক্ষেত্রে অপর্যাপ্ত.
উত্তর:না
উদাহরণ 11
সংখ্যা - 19 ভাগ - 3 . আংশিক ভাগফল 7 এবং অবশিষ্টাংশ 1। এই হিসাব সঠিক কিনা পরীক্ষা করুন।
সমাধান
বাকি ১টি দেওয়া হয়েছে। তিনি ইতিবাচক। মান বিভাজক মডিউল থেকে কম, যার মানে প্রথম পর্যায়ে সঞ্চালিত হয়। চলুন দ্বিতীয় পর্যায়ে চলে যাই।
আসুন b · c + d রাশিটির মান নির্ণয় করি। শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, অতএব, সংখ্যাসূচক মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20। এটি অনুসরণ করে যে a = b · c + d সমতা সন্তুষ্ট নয়, যেহেতু শর্তটি a = - 19 দেওয়া হয়েছে।
এটি বোঝায় যে বিভাজনটি একটি ত্রুটির সাথে করা হয়েছিল।
উত্তর:না
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
এই নিবন্ধে, আমরা বিশ্লেষণ করব অবশিষ্ট সহ পূর্ণসংখ্যা বিভাজন. চলুন একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার সাধারণ নীতি দিয়ে শুরু করি, একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজ্যতার উপর একটি উপপাদ্য প্রণয়ন এবং প্রমাণ করি এবং লভ্যাংশ, ভাজক, আংশিক ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশের মধ্যে সংযোগগুলি ট্রেস করি। এর পরে, আমরা সেই নিয়মগুলি ঘোষণা করব যার দ্বারা একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজন করা হয় এবং উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় এই নিয়মগুলির প্রয়োগ বিবেচনা করব। এর পরে, আমরা শিখব কিভাবে একটি অবশিষ্টাংশ দিয়ে পূর্ণসংখ্যা ভাগ করার ফলাফল পরীক্ষা করা যায়।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের সাধারণ ধারণা
একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনটিকে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগের সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করব। এটি এই কারণে যে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যার একটি উপাদান।
বর্ণনায় ব্যবহৃত পদ এবং স্বরলিপি দিয়ে শুরু করা যাক।
একটি অবশিষ্টাংশের সাথে প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজনের সাদৃশ্য দ্বারা, আমরা অনুমান করি যে দুটি পূর্ণসংখ্যা a এবং b (b শূন্যের সমান নয়) অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগের ফলাফল হল দুটি পূর্ণসংখ্যা c এবং d। a এবং b সংখ্যা বলা হয় বিভাজ্যএবং বিভাজকযথাক্রমে, d সংখ্যা অবশিষ্ট a কে b দ্বারা ভাগ করলে এবং পূর্ণসংখ্যাকে c বলা হয় অসম্পূর্ণ ব্যক্তিগত(বা সহজভাবে ব্যক্তিগতযদি অবশিষ্ট শূন্য হয়)।
আসুন সম্মত হই যে অবশিষ্টটি একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং এর মান b-এর বেশি হয় না, অর্থাৎ, (যখন আমরা তিন বা ততোধিক পূর্ণসংখ্যার তুলনা করার কথা বলেছিলাম তখন আমরা বৈষম্যের অনুরূপ চেইনগুলি পূরণ করেছি)।
যদি c সংখ্যাটি একটি আংশিক ভাগফল হয়, এবং d সংখ্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যা a কে একটি পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করার অবশিষ্টাংশ হয়, তাহলে আমরা সংক্ষেপে এই সত্যটিকে a:b=c (অবশিষ্ট d) ফর্মের সমতা হিসাবে লিখব।
লক্ষ্য করুন যে যখন একটি পূর্ণসংখ্যা a কে একটি পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন অবশিষ্টাংশ শূন্য হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে a হল b দ্বারা বিভাজ্য একটি ট্রেস ছাড়া(বা সম্পূর্ণরূপে) সুতরাং, অবশিষ্টাংশ ছাড়া পূর্ণসংখ্যার বিভাজন একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।
এটাও বলা উচিত যে শূন্যকে কিছু পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করার সময়, আমরা সর্বদা অবশিষ্টাংশ ছাড়াই ভাগের সাথে মোকাবিলা করি, যেহেতু এই ক্ষেত্রে ভাগফল শূন্যের সমান হবে (একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা শূন্যকে ভাগ করার তত্ত্বের বিভাগটি দেখুন), এবং অবশিষ্টাংশও শূন্যের সমান হবে।
আমরা পরিভাষা এবং স্বরলিপির বিষয়ে সিদ্ধান্ত নিয়েছি, এখন আসুন একটি অবশিষ্টাংশ দিয়ে পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার অর্থ বের করা যাক।
একটি নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা aকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করাও অর্থপূর্ণ হতে পারে। এটি করার জন্য, ঋণ হিসাবে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বিবেচনা করুন। আসুন এমন পরিস্থিতি কল্পনা করি। আইটেম আপ করে যে ঋণ b মানুষ দ্বারা পরিশোধ করা আবশ্যক, একই অবদান করা. এই ক্ষেত্রে অসম্পূর্ণ ভাগফল c এর পরম মান এই ব্যক্তির প্রত্যেকের ঋণের পরিমাণ নির্ধারণ করবে, এবং অবশিষ্ট d দেখাবে ঋণ পরিশোধ করার পরে কতগুলি আইটেম অবশিষ্ট থাকবে। একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। ধরা যাক 2 জনের কাছে 7টি আপেল ঋণী। যদি আমরা ধরে নিই যে তাদের প্রত্যেকের কাছে 4টি আপেল রয়েছে, তাহলে ঋণ পরিশোধ করার পরে তাদের 1টি আপেল অবশিষ্ট থাকবে। এই অবস্থাটি সমতার সাথে মিলে যায় (−7):2=−4 (বাকি 1)।
আমরা একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যার একটি অবশিষ্টাংশের সাথে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা বিভাজনের কোন অর্থ সংযুক্ত করব না, তবে আমরা এটিকে অস্তিত্বের অধিকার ছেড়ে দেব।
অবশিষ্ট সহ পূর্ণসংখ্যার জন্য বিভাজ্যতা উপপাদ্য
যখন আমরা একটি অবশিষ্টাংশ দিয়ে প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ভাগ করার কথা বলেছিলাম, তখন আমরা জানতে পেরেছিলাম যে লভ্যাংশ a, ভাজক b, অসম্পূর্ণ ভাগফল c এবং অবশিষ্ট d সমতা a=b c+d দ্বারা সম্পর্কিত। পূর্ণসংখ্যা a, b, c এবং d একই সম্পর্ক ভাগ করে। এই সংযোগ নিম্নলিখিত দ্বারা নিশ্চিত করা হয় অবশিষ্ট সহ বিভাজ্যতা উপপাদ্য.
উপপাদ্য।
যেকোন পূর্ণসংখ্যা a কে একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি অ-শূন্য সংখ্যা b এর মাধ্যমে a=b q+r আকারে একটি অনন্য উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে q এবং r কিছু পূর্ণসংখ্যা এবং .
প্রমাণ।
আসুন প্রথমে a=b·q+r প্রতিনিধিত্ব করার সম্ভাবনা প্রমাণ করি।
যদি a এবং b পূর্ণসংখ্যা এমন হয় যে a সমানভাবে b দ্বারা বিভাজ্য, তবে সংজ্ঞা অনুসারে একটি পূর্ণসংখ্যা q আছে যেমন a=b q। এই ক্ষেত্রে, সমতা a=b q+r ধরে r=0 এর জন্য।
এখন আমরা অনুমান করব যে b একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। আমরা একটি পূর্ণসংখ্যা q এমনভাবে বেছে নিই যাতে গুণফল b·q সংখ্যাটি a এর বেশি না হয় এবং গুণফল b·(q+1) ইতিমধ্যেই a থেকে বড় হয়। অর্থাৎ, আমরা qকে এমনভাবে নিই যে অসমতাগুলি b q এটা প্রমাণ করা বাকি আছে যে a=b q+r কে ঋণাত্মক b এর জন্য উপস্থাপন করা যেতে পারে। যেহেতু এই ক্ষেত্রে b সংখ্যাটির মডুলাসটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাহলে q 1 হল কিছু পূর্ণসংখ্যা, এবং r হল একটি পূর্ণসংখ্যা যা শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে। তারপর, q=−q 1 ধরে নিলাম, আমরা ঋণাত্মক b এর জন্য প্রয়োজনীয় উপস্থাপনা a=b q+r পাই। আমরা স্বতন্ত্রতার প্রমাণের দিকে ফিরে যাই। ধরুন a=b q+r উপস্থাপনা ছাড়াও, q এবং r হল পূর্ণসংখ্যা এবং, আরেকটি উপস্থাপনা আছে a=b q 1 +r 1, যেখানে q 1 এবং r 1 হল কিছু পূর্ণসংখ্যা, এবং q 1 ≠ q এবং . প্রথম সমতার বাম এবং ডান অংশগুলি থেকে, যথাক্রমে, দ্বিতীয় সমতার বাম এবং ডান অংশগুলি থেকে বিয়োগ করার পরে, আমরা 0=b (q−q 1)+r−r 1 পাই, যা সমতা r− এর সমতুল্য। r 1 =b (q 1 − q)। তখন রূপের সমতা শর্ত থেকে এবং আমরা যে উপসংহার করতে পারেন. যেহেতু q এবং q 1 হল পূর্ণসংখ্যা এবং q≠q 1, তাহলে, যেখান থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি সমতা a=b c+d আপনাকে একটি অজানা লভ্যাংশ খুঁজে পেতে দেয় a যদি ভাজক b, আংশিক ভাগফল c এবং অবশিষ্ট d জানা থাকে। একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। উদাহরণ। পূর্ণসংখ্যা −21 দ্বারা বিভাজনের ফলে 5 এর একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল এবং 12 এর অবশিষ্টাংশ হলে লভ্যাংশের সমান হবে? সমাধান। আমাদের লভ্যাংশ গণনা করতে হবে a যখন আমরা জানি ভাজক b=−21, আংশিক ভাগফল c=5 এবং অবশিষ্ট d=12। সমতার দিকে বাঁক a=b c+d, আমরা a=(−21) 5+12 পাব। পর্যবেক্ষণ করে, প্রথমে আমরা বিভিন্ন চিহ্ন সহ পূর্ণসংখ্যার গুণনের নিয়ম অনুসারে −21 এবং 5 পূর্ণসংখ্যার গুণন করি, তারপরে আমরা বিভিন্ন চিহ্ন সহ পূর্ণসংখ্যা যোগ করি: (−21) 5+12=−105+12 =−93। উত্তর: −93
.
লভ্যাংশ, ভাজক, আংশিক ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশের মধ্যে সম্পর্কগুলিও b=(a−d):c , c=(a−d):b এবং d=a−b·c ফর্মের সমতা দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এই সমতাগুলো আমাদের যথাক্রমে ভাজক, আংশিক ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশ গণনা করতে দেয়। d=a−b·c সূত্র ব্যবহার করে আমাদের প্রায়শই একটি পূর্ণসংখ্যা a কে একটি পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করার অবশিষ্টাংশ খুঁজে বের করতে হয় যখন লভ্যাংশ, ভাজক এবং আংশিক ভাগফল জানা যায়। আরও প্রশ্ন এড়াতে, আমরা অবশিষ্টগুলি গণনা করার একটি উদাহরণ বিশ্লেষণ করব। উদাহরণ। আংশিক ভাগফল −7 বলে পরিচিত হলে পূর্ণসংখ্যা −19 কে পূর্ণসংখ্যা 3 দ্বারা ভাগ করার অবশিষ্টাংশ খুঁজুন। সমাধান। ভাগের অবশিষ্টাংশ গণনা করতে, আমরা d=a−b·c ফর্মের একটি সূত্র ব্যবহার করি। শর্ত থেকে আমাদের কাছে সমস্ত প্রয়োজনীয় তথ্য আছে a=−19 , b=3 , c=−7। আমরা পাই d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (পার্থক্য −19−(−21) আমরা একটি ঋণাত্মক বিয়োগের নিয়ম দ্বারা গণনা করেছি পূর্ণসংখ্যা)। উত্তর: আমরা ইতিমধ্যে একাধিকবার উল্লেখ করেছি, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হল প্রাকৃতিক সংখ্যা। অতএব, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ সহ ভাগ করা হয় প্রাকৃতিক সংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগ করার সমস্ত নিয়ম অনুসারে। প্রাকৃতিক সংখ্যার অবশিষ্টাংশ দিয়ে সহজেই ভাগ করতে সক্ষম হওয়া খুবই গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটিই কেবল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের অন্তর্নিহিত নয়, বরং নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে সমস্ত বিভাজনের নিয়মের ভিত্তি। আমাদের দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি কলাম দ্বারা বিভাজন সম্পাদন করা সবচেয়ে সুবিধাজনক, এই পদ্ধতিটি আপনাকে একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল (বা শুধুমাত্র একটি ভাগফল) এবং অবশিষ্টাংশ উভয়ই পেতে দেয়। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ সহ বিভাজনের একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন। উদাহরণ। 54 দ্বারা 14671 এর অবশিষ্ট অংশ নিয়ে একটি বিভাগ সম্পাদন করুন। সমাধান। আসুন একটি কলাম দ্বারা এই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলির বিভাজন সম্পাদন করি: অসম্পূর্ণ ভাগফল হল 271, এবং অবশিষ্ট হল 37। উত্তর: 14 671:54=271 (বাকি 37)। আসুন একটি নিয়ম প্রণয়ন করি যা আপনাকে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ দিয়ে ভাগ করতে দেয়। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a কে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করার আংশিক ভাগফল হল b এর মডুলাস দ্বারা aকে ভাগ করার আংশিক ভাগফলের বিপরীত এবং a কে b দ্বারা ভাগ করার অবশিষ্টাংশ হল . এটি এই নিয়ম থেকে অনুসরণ করে যে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করার অসম্পূর্ণ ভাগফল একটি অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। আসুন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশকে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করার জন্য একটি অ্যালগরিদমে ভয়েসড নিয়মটি পুনরায় তৈরি করি: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করার জন্য অ্যালগরিদম ব্যবহারের একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। উদাহরণ। একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −5 দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 17 এর অবশিষ্টাংশ দিয়ে ভাগ করুন। সমাধান। একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগ অ্যালগরিদম ব্যবহার করা যাক। বিভাজন 3 এর বিপরীত সংখ্যা হল −3। সুতরাং, 17 কে −5 দ্বারা ভাগ করার প্রয়োজনীয় আংশিক ভাগফল হল −3, এবং অবশিষ্টটি হল 2। উত্তর: 17 :(−5)=−3 (বাকি 2). উদাহরণ। বিভক্ত করা 45 by -15। সমাধান। লভ্যাংশ এবং ভাজকের মডিউল যথাক্রমে 45 এবং 15। 45 সংখ্যাটি একটি অবশিষ্ট ছাড়া 15 দ্বারা বিভাজ্য, যখন ভাগফল 3। অতএব, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 45 একটি অবশিষ্ট ছাড়া ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −15 দ্বারা বিভাজ্য, যখন ভাগফলটি 3 এর বিপরীত সংখ্যার সমান, অর্থাৎ −3। প্রকৃতপক্ষে, বিভিন্ন চিহ্ন সহ পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের নিয়ম অনুসারে, আমাদের আছে। উত্তর: 45:(−15)=−3
.
আসুন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ দিয়ে ভাগের নিয়ম তৈরি করি। একটি নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা a কে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করা থেকে একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল c পেতে, আপনাকে মূল সংখ্যাগুলির মডিউলগুলিকে ভাগ করে অসম্পূর্ণ ভাগফলের বিপরীত সংখ্যাটি নিতে হবে এবং এটি থেকে একটি বিয়োগ করতে হবে, যার পরে অবশিষ্ট dটি গণনা করা হবে d=a−b c সূত্র ব্যবহার করে। একটি অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগ করার এই নিয়ম থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করার অসম্পূর্ণ ভাগফলটি একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ভয়েসড নিয়ম থেকে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাগ অ্যালগরিদম অনুসরণ করে: আসুন উদাহরণের সমাধান বিশ্লেষণ করি, যেখানে আমরা অবশিষ্টাংশের সাথে লিখিত বিভাগ অ্যালগরিদম ব্যবহার করি। উদাহরণ। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 5 দ্বারা ভাগ করলে আংশিক ভাগফল এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −17-এর অবশিষ্টাংশ খুঁজুন। সমাধান। লভ্যাংশ −17-এর মডুলাস হল 17, এবং ভাজক 5-এর মডুলাস হল 5। বিভাজন 17 দ্বারা 5 , আমরা 3 এর একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল এবং 2 এর অবশিষ্টাংশ পাই। 3 এর বিপরীত হল −3। −3 থেকে একটি বিয়োগ করুন: −3−1=−4। সুতরাং, কাঙ্ক্ষিত অসম্পূর্ণ ভাগফল হল −4। এটা বাকি গণনা অবশেষ. আমাদের উদাহরণে a=−17 , b=5 , c=−4 , তারপর d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3। এইভাবে, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 5 দ্বারা ভাগ করলে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −17-এর আংশিক ভাগফল হল −4, এবং অবশিষ্টাংশ হল 3। উত্তর: (−17):5=−4 (বাকি। 3)। উদাহরণ। ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −1 404 কে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 26 দ্বারা ভাগ করুন। সমাধান। লভ্যাংশ মডুলাস হল 1404, ভাজক মডুলাস হল 26। একটি কলামে 1404 কে 26 দ্বারা ভাগ করুন: যেহেতু লভ্যাংশের মডুলাসটি একটি অবশিষ্ট ছাড়াই ভাজকের মডুলাস দ্বারা ভাগ করা হয়েছিল, তাই মূল পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি অবশিষ্ট ছাড়াই ভাগ করা হয় এবং পছন্দসই ভাগফলটি 54 এর বিপরীত সংখ্যার সমান, অর্থাৎ −54। উত্তর: (−1 404):26=−54
.
বাকি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগের নিয়ম প্রণয়ন করা যাক। একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা b দ্বারা ভাগ করা থেকে একটি অসম্পূর্ণ ভাগফল c পেতে, আপনাকে মূল সংখ্যাগুলির মডিউলগুলিকে ভাগ করার থেকে অসম্পূর্ণ ভাগফল গণনা করতে হবে এবং এতে একটি যোগ করতে হবে, তারপরে, d সূত্রটি ব্যবহার করে অবশিষ্ট dটি গণনা করতে হবে। =a−b গ. এই নিয়ম থেকে এটি অনুসরণ করে যে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলির বিভাজনের অসম্পূর্ণ ভাগফল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করার জন্য একটি অ্যালগরিদম আকারে ভয়েসড নিয়মটি আবার লিখি: একটি উদাহরণ সমাধান করার সময় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ভাগ করার জন্য অ্যালগরিদমের প্রয়োগ বিবেচনা করুন। উদাহরণ। আংশিক ভাগফল এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −17-এর অবশিষ্টাংশটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −5 দ্বারা বিভক্ত করুন। সমাধান। আমরা অবশিষ্টাংশের সাথে উপযুক্ত বিভাগ অ্যালগরিদম ব্যবহার করি। লভ্যাংশ মডুলাস হল 17, ভাজক মডুলাস হল 5। বিভাগ 17 গুণ 5 অসম্পূর্ণ ভাগফল 3 এবং অবশিষ্ট 2 দেয়। আমরা অসম্পূর্ণ ভাগফল 3: 3+1=4 এ একটি যোগ করি। অতএব, −17 কে −5 দ্বারা ভাগ করার কাঙ্ক্ষিত অসম্পূর্ণ ভাগফল হল 4। এটা বাকি গণনা অবশেষ. এই উদাহরণে a=−17 , b=−5 , c=4 , তারপর d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3। সুতরাং, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −17 এর আংশিক ভাগফল ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা −5 দ্বারা বিভক্ত 4, এবং অবশিষ্টটি 3। উত্তর: (−17):(−5)=4 (বাকি 3)। একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজন সঞ্চালিত হওয়ার পরে, ফলাফলটি পরীক্ষা করা দরকারী। যাচাইকরণ দুটি পর্যায়ে বাহিত হয়। প্রথম পর্যায়ে, অবশিষ্ট d একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা কিনা তা পরীক্ষা করা হয় এবং শর্তটিও পরীক্ষা করা হয়। যদি যাচাইকরণের প্রথম পর্যায়ের সমস্ত শর্ত পূরণ করা হয়, তাহলে আপনি যাচাইয়ের দ্বিতীয় পর্যায়ে যেতে পারেন, অন্যথায় এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে একটি অবশিষ্টাংশের সাথে ভাগ করার সময় কোথাও একটি ত্রুটি হয়েছিল। দ্বিতীয় পর্যায়ে, সমতা a=b·c+d এর বৈধতা পরীক্ষা করা হয়। যদি এই সমতা সত্য হয়, তাহলে অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজনটি সঠিকভাবে করা হয়েছিল, অন্যথায়, কোথাও একটি ত্রুটি তৈরি হয়েছিল। আসুন উদাহরণগুলির সমাধানগুলি বিবেচনা করি যেখানে একটি অবশিষ্টাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যার বিভাজনের ফলাফল পরীক্ষা করা হয়। উদাহরণ। -521 সংখ্যাটিকে -12 দ্বারা ভাগ করার সময়, আংশিক ভাগফল ছিল 44 এবং অবশিষ্ট ছিল 7, ফলাফলটি পরীক্ষা করুন। সমাধান। b=−3 , c=7 , d=1 এর জন্য −2। আমাদের আছে b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. সুতরাং, সমতা a=b c+d ভুল (আমাদের উদাহরণে a=−19)। অতএব, অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজনটি ভুলভাবে করা হয়েছিল। একটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করুন: কখনও কখনও একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা সম্পূর্ণরূপে ভাগ করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, সমস্যাটি বিবেচনা করুন: সমাধান: আমরা জানি যে 16 গুণ 5 বিভাজ্য নয়। 5 দ্বারা বিভাজ্য নিকটতম ছোট সংখ্যাটি হল 15 এর সাথে অবশিষ্ট 1। আমরা 15 নম্বরটিকে 5⋅3 হিসাবে লিখতে পারি। ফলস্বরূপ (16 - লভ্যাংশ, 5 - ভাজক, 3 - আংশিক ভাগফল, 1 - অবশিষ্ট)। পেয়েছি সূত্র অবশিষ্টাংশের সাথে বিভাজনযা করা যেতে পারে সমাধান যাচাইকরণ. ক=
খ⋅
গ+
d উত্তর: প্রতিটি শিশু 3টি খেলনা নেবে এবং একটি খেলনা থাকবে। অবশিষ্টাংশ সবসময় ভাজকের থেকে কম হতে হবে। ভাগ করার সময় অবশিষ্টাংশ শূন্য হলে, লভ্যাংশ বিভাজ্য। সম্পূর্ণরূপেবা ভাজক প্রতি কোন অবশিষ্ট নেই। যদি, ভাগ করার সময়, অবশিষ্টাংশটি ভাজকের থেকে বড় হয়, তাহলে এর অর্থ হল যে সংখ্যাটি পাওয়া গেছে তা বৃহত্তম নয়। একটি বড় সংখ্যা আছে যা লভ্যাংশকে ভাগ করবে এবং অবশিষ্টাংশটি ভাজকের থেকে কম হবে। "অবশিষ্ট সহ বিভাগ" বিষয়ের প্রশ্ন:
অবশিষ্টাংশ কি ভাজকের সমান হতে পারে? কিভাবে অসম্পূর্ণ ভাগফল, ভাজক এবং অবশিষ্টাংশ দ্বারা লভ্যাংশ বের করবেন? উদাহরণ #1:
সমাধান: 258 - বিভাজ্য, খ) একটি কলামে ভাগ করুন: 1873 - বিভাজ্য, সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন এবং আমরা উদাহরণটি সঠিকভাবে সমাধান করেছি কিনা তা পরীক্ষা করুন: উদাহরণ #2:
উত্তর: উদাহরণ #3:
উত্তর: উদাহরণ #4:
সমাধান: খ) সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করুন: একটি কাজ:
তার 4 মি. 13 সেমি টুকরা মধ্যে কাটা আবশ্যক. এই টুকরা কয়টি হবে? সমাধান: উত্তর: 30টি টুকরো বের হবে এবং 10 সেন্টিমিটার তার থাকবে। সংখ্যার বিভাজ্যতার চিহ্ন- এগুলি এমন নিয়ম যা ভাগ না করেই তুলনামূলকভাবে দ্রুত খুঁজে বের করার অনুমতি দেয় যে এই সংখ্যাটি অবশিষ্ট ছাড়া একটি প্রদত্ত সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য কিনা। এটি বিভাজনের সহজ লক্ষণগুলির মধ্যে একটি। এটি এইরকম শোনাচ্ছে: যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার রেকর্ডটি একটি জোড় সংখ্যা দিয়ে শেষ হয়, তবে এটি জোড় (2 দ্বারা একটি অবশিষ্ট ছাড়া ভাগ করা হয়), এবং যদি একটি সংখ্যার রেকর্ড একটি বিজোড় সংখ্যা দিয়ে শেষ হয়, তাহলে এই সংখ্যাটি বিজোড়। বিভাজ্যতার এই চিহ্নটির সম্পূর্ণ ভিন্ন নিয়ম রয়েছে: যদি একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটিও 3 দ্বারা বিভাজ্য; একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়। বিভাজ্যতার এই পরীক্ষা আরও জটিল হবে। যদি সংখ্যাটির শেষ 2টি সংখ্যা একটি সংখ্যা গঠন করে যা 4 দ্বারা বিভাজ্য বা এটি 00 হয়, তাহলে সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য, অন্যথায় এই সংখ্যাটি অবশিষ্ট ছাড়া 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়। এবং আবার, আমাদের কাছে বিভাজ্যতার একটি বরং সাধারণ চিহ্ন রয়েছে: যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার রেকর্ড 0 বা 5 দিয়ে শেষ হয়, তবে এই সংখ্যাটি 5 দ্বারা অবশিষ্ট ছাড়াই বিভাজ্য। যদি সংখ্যাটির রেকর্ডটি একটি ভিন্ন অঙ্কের সাথে শেষ হয়, তাহলে অবশিষ্টাংশ ছাড়া সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য নয়। আমাদের আগে একটি যৌগিক সংখ্যা 6, যেটি সংখ্যা 2 এবং 3 এর গুণফল। অতএব, 6 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নটিও যৌগিক: একটি সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার জন্য, এটি অবশ্যই বিভাজ্যতার দুটি চিহ্নের সাথে মিল থাকতে হবে। একই সময়ে: 2 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন এবং 3 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন। একই সময়ে, মনে রাখবেন যে 4 এর মতো একটি যৌগিক সংখ্যার বিভাজ্যতার একটি পৃথক চিহ্ন রয়েছে, কারণ এটি নিজেই 2 সংখ্যার একটি গুণফল। . কিন্তু 6 দ্বারা বিভাজ্যতার জন্য পরীক্ষায় ফিরে যান। এই বিভাজ্যতার মানদণ্ডটি আরও জটিল: একটি সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য যদি এই সংখ্যার দশ সংখ্যা থেকে শেষ অঙ্কটি বিয়োগের ফলাফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হয় বা 0 এর সমান হয়। 8 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নটি এরকম শোনাচ্ছে: যদি শেষ 3টি সংখ্যা একটি সংখ্যা গঠন করে যা 8 দ্বারা বিভাজ্য, বা এটি 000 হয়, তাহলে প্রদত্ত সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য। বিভাজ্যতার এই চিহ্নটি 3 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নের অনুরূপ: যদি একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটিও 9 দ্বারা বিভাজ্য; যদি একটি সংখ্যার অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তাহলে সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়। আমি এই বিভাজ্যতার মানদণ্ডগুলিকে একত্রিত করেছি কারণ সেগুলিকে একইভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে: একটি সংখ্যা একটি বিট ইউনিট দ্বারা বিভাজ্য হয় যদি সংখ্যার শেষে শূন্যের সংখ্যা একটি প্রদত্ত বিট ইউনিটে শূন্যের সংখ্যার চেয়ে বেশি বা সমান হয়। একটি সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে এই সংখ্যার জোড় এবং বিজোড় সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য পেতে হবে। যদি এই পার্থক্যটি 0 এর সমান হয় বা অবশিষ্টাংশ ছাড়া 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটি নিজেই একটি অবশিষ্ট ছাড়া 11 দ্বারা বিভাজ্য। 12 নম্বরটি যৌগিক। এর বিভাজ্যতার চিহ্ন হল একই সময়ে 3 এবং 4 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নের সাথে মিল। 13 দ্বারা বিভাজ্যতার একটি চিহ্ন হল যে যদি একটি সংখ্যার দশের সংখ্যা, এই সংখ্যার এককের সাথে 4 দ্বারা গুণ করা হয়, যদি 13 এর গুণিতক বা 0 এর সমান হয়, তাহলে সংখ্যাটি নিজেই 13 দ্বারা বিভাজ্য। উপরোক্ত থেকে দেখা যায়, এটা অনুমান করা যেতে পারে যে যেকোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে তার নিজস্ব বিভাজ্যতার স্বতন্ত্র চিহ্ন বা একটি "যৌগিক" চিহ্নের সাথে মিলে যেতে পারে যদি সংখ্যাটি বিভিন্ন সংখ্যার একাধিক হয়। কিন্তু অনুশীলন দেখায়, মূলত সংখ্যাটি যত বড়, তার বৈশিষ্ট্য তত জটিল। সম্ভবত বিভাজ্যতার মাপকাঠি পরীক্ষা করার জন্য ব্যয় করা সময় বিভাজনের সমান বা তার চেয়ে বেশি হতে পারে। সেজন্য আমরা সাধারণত বিভাজ্যতার সহজতম মানদণ্ড ব্যবহার করি।
, এবং সংখ্যার মডুলাসের বৈশিষ্ট্যের কারণে - এবং সমতা 
.
. প্রাপ্ত অসমতা থেকে এবং এটি ফর্মের একটি সমতা অনুসরণ করে আমাদের অনুমান অনুযায়ী অসম্ভব। অতএব, a=b·q+r ব্যতীত a সংখ্যাটির অন্য কোনো উপস্থাপনা নেই।লভ্যাংশ, ভাজক, আংশিক ভাগফল এবং অবশিষ্টাংশের মধ্যে সম্পর্ক
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ সহ বিভাগ, উদাহরণ
একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ সহ বিভাজনের নিয়ম, উদাহরণ
একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার অবশিষ্টাংশ সহ, উদাহরণ
অবশিষ্ট ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, উদাহরণ সহ বিভাগের নিয়ম
একটি অবশিষ্টাংশ দিয়ে পূর্ণসংখ্যা ভাগ করার ফলাফল পরীক্ষা করা হচ্ছে
15:5=3
এই উদাহরণে, আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যা 15 ভাগ করেছি সম্পূর্ণরূপে 3, অবশিষ্ট নেই।
আলমারিতে 16টি খেলনা ছিল। দলে পাঁচ শিশু ছিল। প্রতিটি শিশু একই সংখ্যক খেলনা নিয়েছিল। প্রতিটি শিশুর কত খেলনা আছে?
একটি কলাম দ্বারা 16 নম্বরটিকে 5 দ্বারা ভাগ করুন এবং পান:
ক - বিভাজ্য
খ - বিভাজক,
গ - অসম্পূর্ণ ভাগফল,
d - অবশিষ্টবিভাগের অবশিষ্টাংশ
অবশিষ্টাংশ কি ভাজকের চেয়ে বড় হতে পারে?
উত্তরঃ না।
উত্তরঃ না।
উত্তর: আমরা অসম্পূর্ণ ভাগফল, ভাজক এবং অবশিষ্টাংশের মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং লভ্যাংশ খুঁজে পাই। সূত্র:
a=b⋅c+d
একটি অবশিষ্টাংশ দিয়ে বিভাগ সম্পাদন করুন এবং পরীক্ষা করুন: ক) 258:7 খ) 1873:8
ক) একটি কলামে ভাগ করুন: 
7 - বিভাজক,
36 - অসম্পূর্ণ ভাগফল,
6 - অবশিষ্ট। ভাজক 6 থেকে কম অবশিষ্ট<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - বিভাজক,
234 - অসম্পূর্ণ ভাগফল,
1 বাকি। ভাজক ১ থেকে কম অবশিষ্ট<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ভাগ করলে কোন অবশিষ্টাংশ পাওয়া যায়: ক) 3 খ) 8?
ক) অবশিষ্টাংশ ভাজকের থেকে কম, তাই 3 থেকে কম। আমাদের ক্ষেত্রে, অবশিষ্টাংশ 0, 1 বা 2 হতে পারে।
b) অবশিষ্টাংশ ভাজকের থেকে কম, তাই, 8 এর কম। আমাদের ক্ষেত্রে, অবশিষ্টাংশ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 বা 7 হতে পারে।
প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলিকে ভাগ করে সবচেয়ে বড় অবশিষ্টাংশ কী পাওয়া যায়: ক) 9 খ) 15?
ক) অবশিষ্টাংশটি ভাজকের থেকে কম, অতএব, 9 এর কম। কিন্তু আমাদের বৃহত্তম অবশিষ্টাংশ নির্দেশ করতে হবে। অর্থাৎ ভাজকের নিকটতম সংখ্যা। এই সংখ্যা 8।
b) অবশিষ্টাংশটি ভাজকের থেকে কম, তাই, 15 এর কম। কিন্তু আমাদের বৃহত্তম অবশিষ্টাংশ নির্দেশ করতে হবে। অর্থাৎ ভাজকের নিকটতম সংখ্যা। এই সংখ্যা 14।
লভ্যাংশ খুঁজুন: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)
ক) সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করুন:
a=b⋅c+d
(a হল লভ্যাংশ, b হল ভাজক, c হল আংশিক ভাগফল, d হল অবশিষ্ট।)
a:6=3(বাকি.4)
(a হল লভ্যাংশ, 6 হল ভাজক, 3 হল অসম্পূর্ণ ভাগফল, 4 হল অবশিষ্ট।) সূত্রে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন:
a=6⋅3+4=22
উত্তর: a=22
a=b⋅c+d
(a হল লভ্যাংশ, b হল ভাজক, c হল আংশিক ভাগফল, d হল অবশিষ্ট।)
s:24=4(বাকি.11)
(c হল লভ্যাংশ, 24 হল ভাজক, 4 হল অসম্পূর্ণ ভাগফল, 11 হল অবশিষ্ট।) সূত্রে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন:
c=24⋅4+11=107
উত্তর: s=107
প্রথমে আপনাকে মিটারকে সেন্টিমিটারে রূপান্তর করতে হবে।
4 মি. = 400 সেমি।
আপনি একটি কলাম দ্বারা ভাগ করতে পারেন বা আপনার মনে আমরা পাই:
400:13=30 (বাকি 10)
আসুন পরীক্ষা করা যাক:
13⋅30+10=390+10=400
কিছুটা বিভাজ্যতার লক্ষণবেশ সহজ, কিছু আরো কঠিন। এই পৃষ্ঠায় আপনি মৌলিক সংখ্যার বিভাজ্যতার উভয় চিহ্ন পাবেন, যেমন, উদাহরণস্বরূপ, 2, 3, 5, 7, 11 এবং যৌগিক সংখ্যার বিভাজ্যতার চিহ্ন, যেমন 6 বা 12।
আমি এই তথ্য আপনার জন্য দরকারী হবে আশা করি.
সুখী শেখার! 2 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
অন্য কথায়, যদি একটি সংখ্যার শেষ সংখ্যা হয় 2
, 4
, 6
, 8
বা 0
- সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য, যদি না হয় তবে এটি বিভাজ্য নয়
উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
2 দ্বারা বিভাজ্য কারণ তারা জোড়।
একটি সংখ্যা: 23 5
, 137
, 2303
2 দ্বারা বিভাজ্য নয় কারণ তারা বিজোড়। 3 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
সুতরাং, একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা বোঝার জন্য, আপনাকে কেবল এটি তৈরি করা সংখ্যাগুলিকে একত্রে যোগ করতে হবে।
এটি এইরকম দেখাচ্ছে: 3987 এবং 141 3 দ্বারা বিভক্ত, কারণ প্রথম ক্ষেত্রে 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - অবশিষ্টাংশ ছাড়া 3 দ্বারা বিভাজ্য), এবং দ্বিতীয় 1+4+1= 6
(6:3=2 - অবশিষ্ট ছাড়া 3 দ্বারা বিভাজ্য)।
কিন্তু সংখ্যা: 235 এবং 566 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়, কারণ 2+3+5= 10
এবং 5+6+6= 17
(এবং আমরা জানি যে 10 বা 17 কোনটিই অবশিষ্টাংশ ছাড়া 3 দ্বারা ভাগ করা যায় না)। 4 চিহ্ন দ্বারা বিভাজ্যতা
যেমনঃ ১ 00
এবং 3 64
4 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ প্রথম ক্ষেত্রে সংখ্যাটি শেষ হয় 00
, এবং দ্বিতীয়টিতে 64
, যা পরিবর্তিতভাবে একটি অবশিষ্ট ছাড়া 4 দ্বারা বিভাজ্য (64:4=16)
সংখ্যা 3 57
এবং 8 86
4 দ্বারা বিভাজ্য নয় কারণ উভয়ই নয় 57
না 86
4 দ্বারা বিভাজ্য নয়, এবং তাই বিভাজ্যতার এই মানদণ্ডের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়। 5 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
এর মানে হল যে কোন সংখ্যার শেষ সংখ্যা 0
এবং 5
, উদাহরণস্বরূপ 1235 5
এবং 43 0
, নিয়মের অধীনে পড়ে এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য।
এবং, উদাহরণস্বরূপ, 1549 3
এবং 56 4
5 বা 0 তে শেষ হয় না, যার মানে তারা অবশিষ্টাংশ ছাড়া 5 দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে না। 6 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
138 এবং 474 সংখ্যাগুলি জোড় এবং 3 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নের সাথে মিলে যায় (1+3+8=12, 12:3=4 এবং 4+7+4=15, 15:3=5), যার মানে তারা 6 দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু 123 এবং 447, যদিও তারা 3 দ্বারা বিভাজ্য (1+2+3=6, 6:3=2 এবং 4+4+7=15, 15:3=5), কিন্তু তারা বিজোড়, এবং তাই 2 দ্বারা বিভাজ্যতার মানদণ্ডের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয় এবং তাই 6 দ্বারা বিভাজ্যতার মানদণ্ডের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়৷ 7 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
এটি বরং বিভ্রান্তিকর শোনাচ্ছে, কিন্তু বাস্তবে এটি সহজ। নিজের জন্য দেখুন: সংখ্যা 95
9 7 দ্বারা বিভাজ্য কারণ 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 7 দ্বারা বিভাজ্য)। তদুপরি, যদি রূপান্তরের সময় প্রাপ্ত সংখ্যার সাথে অসুবিধা হয় (এর আকারের কারণে, এটি 7 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা বোঝা কঠিন, তাহলে এই পদ্ধতিটি যতবার আপনি উপযুক্ত মনে করেন ততবার চালিয়ে যেতে পারেন)।
উদাহরণ স্বরূপ, 45
5 এবং 4580
1 এর 7 দ্বারা বিভাজ্যতার লক্ষণ রয়েছে। প্রথম ক্ষেত্রে, সবকিছু বেশ সহজ: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, আমরা এটি করব: 4580
-2*1=4580-2=4578। কিনা তা বোঝা আমাদের পক্ষে কঠিন 457
8 দ্বারা 7, তাই আসুন প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করি: 457
-2*8=457-16=441। এবং আবার আমরা বিভাজ্যতার চিহ্ন ব্যবহার করব, যেহেতু আমাদের সামনে এখনও একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা রয়েছে 44
1. তাই, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, অর্থাৎ 42 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 7 দ্বারা বিভাজ্য, যার মানে হল 45801 7 দ্বারা বিভাজ্য।
এবং এখানে সংখ্যা আছে 11
1 এবং 34
5 7 দ্বারা বিভাজ্য নয় কারণ 11
-2*1=11-2=9 (9 সমানভাবে 7 দ্বারা বিভাজ্য নয়) এবং 34
-2*5=34-10=24 (24 সমানভাবে 7 দ্বারা বিভাজ্য নয়)। 8 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
সংখ্যা 1 000
বা 1 088
8 দ্বারা বিভাজ্য: প্রথমটি শেষ হয় 000
, দ্বিতীয় 88
:8=11 (একটি অবশিষ্ট ছাড়া 8 দ্বারা বিভাজ্য)।
এবং এখানে সংখ্যা 1 100
বা 4 757
সংখ্যাগুলি 8 দ্বারা বিভাজ্য নয় 100
এবং 757
অবশিষ্টাংশ ছাড়া 8 দ্বারা বিভাজ্য নয়। 9 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
উদাহরণস্বরূপ: 3987 এবং 144 9 দ্বারা বিভাজ্য কারণ প্রথম ক্ষেত্রে 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - 9 দ্বারা অবশিষ্ট ছাড়া বিভাজ্য), এবং দ্বিতীয় 1+4+4= 9
(9:9=1 - এছাড়াও 9 দ্বারা অবশিষ্টাংশ ছাড়া বিভাজ্য)।
কিন্তু সংখ্যা: 235 এবং 141 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়, কারণ 2+3+5= 10
এবং 1+4+1= 6
(এবং আমরা জানি যে 10 বা 6 কোনটিই 9 দিয়ে ভাগ করা যায় না একটি অবশিষ্ট ছাড়া)। 10, 100, 1000 এবং অন্যান্য বিট ইউনিট দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
অন্য কথায়, উদাহরণস্বরূপ, আমাদের এই জাতীয় সংখ্যা রয়েছে: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. যার সবগুলোই ১ দ্বারা বিভাজ্য 0
; 46400
এবং 867 000
এছাড়াও 1 দ্বারা বিভাজ্য 00
; এবং তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি - 867 000
1 দ্বারা বিভাজ্য 000
.
যে কোন সংখ্যার শেষে একটি বিট ইউনিটের চেয়ে কম শূন্য রয়েছে সেই বিট ইউনিট দ্বারা বিভাজ্য নয়, যেমন 600 30
এবং 7 93
শেয়ার করবেন না 1 00
.11 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
এটি পরিষ্কার করার জন্য, আমি উদাহরণ বিবেচনা করার প্রস্তাব দিই: 2
35
4 11 দ্বারা বিভাজ্য কারণ ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4ও 11 দ্বারা বিভাজ্য কারণ ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
এবং এখানে 1 1
1 বা 4
35
4 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়, যেহেতু প্রথম ক্ষেত্রে আমরা (1 + 1) পাই - 1
=1, এবং দ্বিতীয়টিতে ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.12 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
উদাহরণস্বরূপ, 300 এবং 636 উভয়ই 4 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নের সাথে মিলে যায় (শেষ 2টি সংখ্যা শূন্য বা 4 দ্বারা বিভাজ্য) এবং 3 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন (অঙ্কগুলির যোগফল এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যাগুলি 3 দ্বারা বিভাজ্য) ), এবং তাই, তারা একটি অবশিষ্ট ছাড়া 12 দ্বারা বিভাজ্য।
কিন্তু 200 বা 630 12 দ্বারা বিভাজ্য নয়, কারণ প্রথম ক্ষেত্রে সংখ্যাটি শুধুমাত্র 4 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নের সাথে মিলে যায়, এবং দ্বিতীয়টিতে - শুধুমাত্র 3 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নের সাথে। কিন্তু একই সময়ে উভয় চিহ্ন নয়। 13 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্ন
যেমন ধরুন 70
2. তাই 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 সমানভাবে 13 দ্বারা বিভাজ্য), তাই 70
2 একটি অবশিষ্ট ছাড়া 13 দ্বারা বিভাজ্য। আরেকটি উদাহরণ হল সংখ্যা 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10। 130 সংখ্যাটি একটি অবশিষ্ট ছাড়া 13 দ্বারা বিভাজ্য, যার মানে প্রদত্ত সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্যতার চিহ্নের সাথে মিলে যায়।
আমরা যদি সংখ্যা নিই 12
5 বা 21
2, তারপর আমরা পেতে 12
+4*5=32 এবং 21
+4*2=29 যথাক্রমে, এবং 32 বা 29 কোনটিই অবশিষ্টাংশ ছাড়া 13 দ্বারা বিভাজ্য নয়, যার মানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলি অবশিষ্টাংশ ছাড়া 13 দ্বারা বিভাজ্য নয়।সংখ্যার বিভাজ্যতা
