Arcsine, arccosine - বৈশিষ্ট্য, গ্রাফ, সূত্র। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের গ্রাফ এবং সূত্র বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রমাণ

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সম্পর্কিত কাজগুলি প্রায়ই স্কুলের চূড়ান্ত পরীক্ষায় এবং কিছু বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রবেশিকা পরীক্ষায় দেওয়া হয়। এই বিষয়ের একটি বিশদ অধ্যয়ন শুধুমাত্র পাঠ্যক্রম বহির্ভূত ক্লাসে বা ইলেকটিভ কোর্সে অর্জন করা যেতে পারে। প্রস্তাবিত কোর্সটি প্রতিটি শিক্ষার্থীর দক্ষতাকে যতটা সম্ভব সম্পূর্ণরূপে বিকাশ করার জন্য, তার গাণিতিক প্রশিক্ষণকে উন্নত করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে।

কোর্সটি 10 ঘন্টার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে:

1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ঘন্টা) এর কাজ।

2. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের উপর অপারেশন (4 ঘন্টা)।

3. ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ক্রিয়াকলাপ (2 ঘন্টা)।

পাঠ 1 (2 ঘন্টা) বিষয়: ফাংশন y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x।

উদ্দেশ্য: এই সমস্যাটির সম্পূর্ণ কভারেজ।

1. ফাংশন y \u003d arcsin x।

ক) সেগমেন্টে y \u003d sin x ফাংশনের জন্য, একটি বিপরীত (একক-মূল্যবান) ফাংশন রয়েছে, যাকে আমরা আর্কসাইন বলতে সম্মত হয়েছি এবং নিম্নোক্তভাবে বোঝাতে সম্মত হয়েছি: y \u003d arcsin x। বিপরীত ফাংশনের গ্রাফটি I - III স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখণ্ডকের সাপেক্ষে প্রধান ফাংশনের গ্রাফের সাথে প্রতিসম।

ফাংশন বৈশিষ্ট্য y = arcsin x।

1) সংজ্ঞার পরিধি: সেগমেন্ট [-1; এক];

2) পরিবর্তনের ক্ষেত্র: কাটা;

3) ফাংশন y = arcsin x odd: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) ফাংশন y = arcsin x একঘেয়ে বাড়ছে;

5) গ্রাফটি উৎপত্তিস্থলে Ox, Oy অক্ষ অতিক্রম করে।

উদাহরণ 1. a = arcsin খুঁজুন। এই উদাহরণটি নিম্নরূপ বিস্তারিতভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে: এই ধরনের একটি যুক্তি খুঁজে বের করুন a , থেকে থেকে পর্যন্ত, যার সাইন সমান।

সমাধান। অগণিত আর্গুমেন্ট আছে যার সাইন হল, উদাহরণস্বরূপ: ইত্যাদি কিন্তু আমরা শুধুমাত্র তর্কের মধ্যে আগ্রহী যে বিরতি হয়. এই যুক্তি হবে। তাই, .

উদাহরণ 2. খুঁজুন .সমাধান।উদাহরণ 1 এর মতো একইভাবে তর্ক করা, আমরা পাই .

খ) মৌখিক ব্যায়াম। খুঁজুন: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 নমুনা উত্তর: , কারণ . অভিব্যক্তি কি অর্থপূর্ণ হয়: ; arcsin 1.5; ?

গ) আরোহী ক্রমে সাজান: আর্কসিন, আর্কসিন (-0.3), আর্কসিন 0.9।

২. ফাংশন y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (একইভাবে)।

পাঠ 2 (2 ঘন্টা) বিষয়: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, তাদের গ্রাফ।

উদ্দেশ্য: এই পাঠে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান নির্ধারণে, D (y), E (y) এবং প্রয়োজনীয় রূপান্তর ব্যবহার করে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন প্লট করার দক্ষতা বিকাশ করা প্রয়োজন।

এই পাঠে, ব্যায়ামগুলি সম্পাদন করুন যাতে সংজ্ঞার ডোমেন, টাইপের ফাংশনগুলির সুযোগ খুঁজে পাওয়া যায়: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos।

ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়: ক) y = arcsin 2x; b) y = 2 আর্কসিন 2x; গ) y \u003d আর্কসিন;

ঘ) y \u003d আর্কসিন; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | আর্কসিন | .

উদাহরণ।চলো y = arccos

আপনি আপনার বাড়ির কাজের মধ্যে নিম্নলিখিত অনুশীলনগুলি অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন: ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করুন: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

বিপরীত ফাংশনের গ্রাফ

পাঠ #3 (2 ঘন্টা) বিষয়:
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের উপর ক্রিয়াকলাপ।

উদ্দেশ্য: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির জন্য মৌলিক সম্পর্কগুলি প্রবর্তন করে গাণিতিক জ্ঞান প্রসারিত করা (আবেদনকারীদের জন্য গাণিতিক প্রস্তুতির জন্য বর্ধিত প্রয়োজনীয়তার সাথে বিশেষত্বের জন্য এটি গুরুত্বপূর্ণ)।

পাঠের উপাদান।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে কিছু সাধারণ ত্রিকোণমিতিক অপারেশন: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? এক; cos (arсcos x) = x, i xi? এক; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

অনুশীলন.

ক) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctgx) =।

b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6)। ধরুন আর্কসিন 0.6 \u003d a, sin a \u003d 0.6;

cos(arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

দ্রষ্টব্য: আমরা রুটের সামনে “+” চিহ্নটি নিই কারণ a = arcsin x সন্তুষ্ট হয়।

গ) পাপ (1.5 + আর্কসিন) উত্তর:;

d) ctg ( + arctg 3) উত্তর: ;

e) tg (- arcctg 4) উত্তর: .

f) cos (0.5 + arccos)। উত্তর: .

গণনা করুন:

ক) পাপ (2 আর্কটান 5)।

ধরুন arctg 5 = a, তারপর sin 2 a = or sin(2 arctan 5) = ;

খ) cos (+ 2 arcsin 0.8) উত্তর: 0.28।

c) arctg + arctg.

ধরুন a = arctg , b = arctg ,

তারপর tan(a + b) = .

ঘ) পাপ (আর্কসিন + আর্কসিন)।

ঙ) প্রমাণ করুন যে সকলের জন্য x I [-1; 1] সত্যিকারের আর্কসিন x + আরকোস x =।

প্রমাণ:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

একটি স্বতন্ত্র সমাধানের জন্য: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos )।

একটি বাড়ির সমাধানের জন্য: 1) sin (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) আর্কসিন + আর্কসিন; 3) ctg ( - arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) পাপ (1.5 - আর্কসিন 0.8); 6) arctg 0.5 - arctg 3।

পাঠ নং 4 (2 ঘন্টা) বিষয়: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের উপর ক্রিয়াকলাপ।

উদ্দেশ্য: এই পাঠে আরও জটিল অভিব্যক্তির রূপান্তরে অনুপাতের ব্যবহার দেখানো।

পাঠের উপাদান।

মৌখিকভাবে:

a) sin (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos())।

লেখা:

1) cos (আর্কসিন + আর্কসিন + আর্কসিন)।

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

স্বাধীন কাজ উপাদানের আত্তীকরণ স্তর নির্ধারণ করতে সাহায্য করবে

1) tg ( arctg 2 - arctg )

2) cos(- arctg2)

3) arcsin + arccos

1) cos (আর্কসিন + আর্কসিন)

2) পাপ (1.5 - arctg 3)

3) arcctg3 - arctg 2

বাড়ির কাজের জন্য, আপনি অফার করতে পারেন:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) পাপ (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) পাপ (2 আর্কটান); 5) টিজি ( (আর্কসিন))

পাঠ নং 5 (2h) বিষয়: ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ক্রিয়াকলাপ।

উদ্দেশ্য: ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পর্কে শিক্ষার্থীদের বোঝার জন্য, অধ্যয়ন করা তত্ত্বের অর্থপূর্ণতা বাড়ানোর দিকে মনোনিবেশ করুন।

এই বিষয় অধ্যয়ন করার সময়, মনে করা হয় যে তাত্ত্বিক উপাদানের পরিমাণ মুখস্থ করা সীমিত।

পাঠের জন্য উপাদান:

আপনি ফাংশন y = arcsin (sin x) পরীক্ষা করে এবং এটি প্লট করে নতুন উপাদান শেখা শুরু করতে পারেন।

3. প্রতিটি x I R y I এর সাথে যুক্ত, অর্থাৎ<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. ফাংশনটি বিজোড়: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x)।

6. গ্রাফ y = arcsin (sin x) on:

ক) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

খ)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

তাই,

y = arcsin (sin x) এর উপর তৈরি করে, আমরা [- ; 0], এই ফাংশনের অদ্ভুততা বিবেচনা করে। পর্যায়ক্রমিকতা ব্যবহার করে, আমরা সম্পূর্ণ সংখ্যাসূচক অক্ষে অবিরত থাকি।

তারপর কিছু অনুপাত লিখুন: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos ক ) = a যদি 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

এবং নিম্নলিখিত অনুশীলনগুলি করুন: ক) আরকোস (সিন 2) উত্তর: 2 - ; খ) আর্কসিন (কারণ 0.6) উত্তর: - 0.1; c) arctg (tg 2). উত্তর: 2 -;

d) arcctg (tg 0.6) উত্তর: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)). উত্তর: 2 -; চ) আর্কসিন (পাপ (- 0.6%)। উত্তর:- 0.6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - ))। উত্তর: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6)। উত্তর:- 0.6; - আর্কট্যানক্স; e) arccos + arccos

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনআর্কসাইন, আর্কোসাইন, আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্ট।

প্রথমে সংজ্ঞা দেওয়া যাক।

arcsineঅথবা, আমরা বলতে পারি যে এটি এমন একটি কোণ যা রেখাংশের অন্তর্গত যার সাইন সংখ্যা a এর সমান।

আর্ক কোসাইনসংখ্যা a কে এমন একটি সংখ্যা বলা হয়

আর্কটেনজেন্টসংখ্যা a কে এমন একটি সংখ্যা বলা হয়

চাপ স্পর্শকসংখ্যা a কে এমন একটি সংখ্যা বলা হয়

আমাদের জন্য এই চারটি নতুন ফাংশন সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা যাক - বিপরীত ত্রিকোণমিতিক।

মনে রাখবেন, আমরা ইতিমধ্যেই সাথে দেখা করেছি।

উদাহরণস্বরূপ, a এর পাটিগণিত বর্গমূল একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা যার বর্গ a।

b সংখ্যার লগারিদম থেকে বেস a একটি সংখ্যা c এরকম

যার মধ্যে

আমরা বুঝতে পারি কেন গণিতবিদদের নতুন ফাংশন "উদ্ভাবন" করতে হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, একটি সমীকরণের সমাধান হল এবং আমরা বিশেষ পাটিগণিত বর্গমূল চিহ্ন ছাড়া সেগুলি লিখতে পারতাম না।

লগারিদমের ধারণাটি সমাধান লেখার জন্য প্রয়োজনীয় বলে প্রমাণিত হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, এই ধরনের একটি সমীকরণের জন্য: এই সমীকরণের সমাধান হল একটি অমূলদ সংখ্যা। এটি হল সূচক যা 7 পেতে হলে 2 বাড়াতে হবে।

এটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাথে একই। উদাহরণস্বরূপ, আমরা সমীকরণটি সমাধান করতে চাই

এটা স্পষ্ট যে এর সমাধানগুলি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের বিন্দুগুলির সাথে মিলে যায়, যার অর্ডিনেট সমান এবং এটি স্পষ্ট যে এটি সাইনের একটি ট্যাবুলার মান নয়। কিভাবে সমাধান লিখতে হয়?

এখানে আমরা একটি নতুন ফাংশন ছাড়া করতে পারি না যে কোণটি নির্দেশ করে যার সাইন একটি প্রদত্ত সংখ্যা a এর সমান। হ্যাঁ, সবাই ইতিমধ্যে অনুমান করেছে। এই আর্কসিন.

যে রেখাংশের সাইন সমান সেই কোণটি হল এক চতুর্থাংশের আর্কসাইন। এবং তাই, ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের সঠিক বিন্দুর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ আমাদের সমীকরণের সমাধানের সিরিজ হল

এবং আমাদের সমীকরণের সমাধানের দ্বিতীয় সিরিজ

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান সম্পর্কে আরও -।

এটি স্পষ্ট করা বাকি আছে - কেন এটি আর্কসিনের সংজ্ঞায় নির্দেশিত হয়েছে যে এটি সেগমেন্টের অন্তর্গত একটি কোণ?

আসল বিষয়টি হল যে অসীমভাবে অনেকগুলি কোণ রয়েছে যার সাইন হল, উদাহরণস্বরূপ, . আমাদের তাদের মধ্যে একটি বেছে নিতে হবে। আমরা সেগমেন্টের উপর থাকা একটি নির্বাচন করি।

ত্রিকোণমিতিক বৃত্তটি একবার দেখুন। আপনি দেখতে পাবেন যে সেগমেন্টে, প্রতিটি কোণ সাইনের একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায় এবং শুধুমাত্র একটি। এবং তদ্বিপরীত, সেগমেন্ট থেকে সাইনের যেকোনো মান সেগমেন্টের কোণের একক মানের সাথে মিলে যায়। এর মানে হল যে সেগমেন্টে আপনি একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারেন যা থেকে মান নেয়

আবার সংজ্ঞা পুনরাবৃত্তি করা যাক:

a এর আর্কসাইন হল সংখ্যা , যেমন যে

উপাধি: আর্কসিনের সংজ্ঞার ক্ষেত্র হল একটি সেগমেন্ট। মানের পরিসীমা হল একটি সেগমেন্ট।

আপনি "আরক্সিন ডানদিকে বাস করে" শব্দটি মনে রাখতে পারেন। আমরা ভুলে যাই না যে শুধু ডানদিকে নয়, সেগমেন্টেও।

আমরা ফাংশন গ্রাফ করতে প্রস্তুত

যথারীতি, আমরা অনুভূমিক অক্ষে x-মানগুলি এবং উল্লম্ব অক্ষে y-মানগুলি চিহ্নিত করি।

যেহেতু, তাই, x -1 এবং 1 এর মধ্যে অবস্থিত।

তাই, y = arcsin x ফাংশনের ডোমেইন হল সেগমেন্ট

আমরা বলেছিলাম যে y সেগমেন্টের অন্তর্গত। এর মানে হল y = arcsin x ফাংশনের পরিসর হল সেগমেন্ট।

লক্ষ্য করুন যে y=arcsinx ফাংশনের গ্রাফটি সমস্ত লাইন দ্বারা আবদ্ধ এলাকায় স্থাপন করা হয়েছে এবং

একটি অপরিচিত ফাংশন প্লট করার সময় সর্বদা হিসাবে, আসুন একটি টেবিল দিয়ে শুরু করা যাক।

সংজ্ঞা অনুসারে, শূন্যের আর্কসাইন হল সেগমেন্টের একটি সংখ্যা যার সাইন শূন্য। এই সংখ্যা কি? - এটা স্পষ্ট যে এটি শূন্য।

একইভাবে, একের আর্কসাইন হল সেগমেন্টের সংখ্যা যার সাইন একের সমান। স্পষ্টতই এই

আমরা চালিয়ে যাচ্ছি: - এটি সেগমেন্ট থেকে একটি সংখ্যা, যার সাইন সমান। হ্যা এটি

			0
			0

আমরা একটি ফাংশন গ্রাফ তৈরি করি

ফাংশন বৈশিষ্ট্য

1. সংজ্ঞার ডোমেন

2. মান পরিসীমা

3. , অর্থাৎ এই ফাংশনটি বিজোড়। এর গ্রাফ উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম।

4. ফাংশন একঘেয়েভাবে বাড়ছে। এর ক্ষুদ্রতম মান, - এর সমান, , এ অর্জিত হয় এবং এর বৃহত্তম মান, , এর সমান

5. ফাংশন এবং গ্রাফের মধ্যে কি মিল আছে? আপনি কি মনে করেন না যে তারা "একই প্যাটার্ন অনুসারে তৈরি" - ঠিক ফাংশনের ডান শাখা এবং ফাংশনের গ্রাফের মতো, বা সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফের মতো?

কল্পনা করুন যে আমরা একটি সাধারণ সাইন তরঙ্গ থেকে একটি ছোট টুকরো কেটেছি এবং তারপরে এটি উল্লম্বভাবে ঘুরিয়েছি - এবং আমরা আর্কসিন গ্রাফটি পাই।

সত্য যে এই ব্যবধানে ফাংশনের জন্য আর্গুমেন্টের মান, তারপর আর্কসিনের জন্য ফাংশনের মান থাকবে। এমনই হওয়া উচিত! সর্বোপরি, সাইন এবং আর্কসাইন পারস্পরিক বিপরীত ফাংশন। পারস্পরিক বিপরীত ফাংশনের জোড়ার অন্যান্য উদাহরণ হল এবং এর জন্য এবং সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশন।

মনে রাখবেন যে পারস্পরিক বিপরীত ফাংশনের গ্রাফগুলি সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম

একইভাবে, আমরা ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করি। শুধুমাত্র আমাদের প্রয়োজন একটি সেগমেন্ট যার উপর কোণের প্রতিটি মান তার নিজস্ব কোসাইন মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং কোসাইনটি জেনে, আমরা অনন্যভাবে কোণটি খুঁজে পেতে পারি। আমরা একটি কাটা প্রয়োজন

a এর আর্ক কোসাইন হল সংখ্যা , যেমন যে

এটি মনে রাখা সহজ: "আর্ক কোসাইনগুলি উপরে থেকে বাস করে", এবং শুধুমাত্র উপরে থেকে নয়, একটি অংশে

উপাধি: আর্ক কোসাইনের সংজ্ঞার ক্ষেত্র - সেগমেন্ট মানের রেঞ্জ - সেগমেন্ট

স্পষ্টতই, সেগমেন্টটি বেছে নেওয়া হয়েছে কারণ এতে প্রতিটি কোসাইন মান শুধুমাত্র একবার নেওয়া হয়। অন্য কথায়, প্রতিটি কোসাইন মান, -1 থেকে 1 পর্যন্ত, ব্যবধান থেকে একটি একক কোণ মানের সাথে মিলে যায়

আর্কোসাইন একটি জোড় বা বিজোড় ফাংশন নয়। পরিবর্তে, আমরা নিম্নলিখিত সুস্পষ্ট সম্পর্ক ব্যবহার করতে পারি:

এর ফাংশন প্লট করা যাক

আমাদের ফাংশনের একটি অংশ দরকার যেখানে এটি একঘেয়ে, অর্থাৎ, এটি তার প্রতিটি মান ঠিক একবার নেয়।

একটি সেগমেন্ট নির্বাচন করা যাক. এই সেগমেন্টে, ফাংশনটি একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়, অর্থাৎ সেটগুলির মধ্যে চিঠিপত্র এবং এক থেকে এক হয়৷ প্রতিটি x মান এর নিজস্ব y মান আছে। এই সেগমেন্টে, কোসাইনের বিপরীতে একটি ফাংশন আছে, অর্থাৎ ফাংশন y \u003d arccosx।

চাপ কোসাইনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে টেবিলটি পূরণ করুন।

ব্যবধানের অন্তর্গত x সংখ্যাটির আর্কোসাইনটি ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত y সংখ্যা হবে

তাই, কারণ;

কারণ ;

কারণ ,

			0
					0

এখানে আর্কোসিনের প্লট রয়েছে:

ফাংশন বৈশিষ্ট্য

1. সংজ্ঞার ডোমেন

2. মান পরিসীমা

এটি একটি জেনেরিক ফাংশন - এটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

4. ফাংশন কঠোরভাবে হ্রাস করা হয়. ফাংশন y \u003d arccosx সবচেয়ে বড় মান নেয়, সমান , at , এবং ক্ষুদ্রতম মান, শূন্যের সমান, নেয়

5. ফাংশন এবং পারস্পরিক বিপরীত.

পরেরগুলো হল আর্কটেনজেন্ট এবং আর্কোট্যাঞ্জেন্ট।

a এর চাপ স্পর্শক হল সংখ্যা , যেমন যে

উপাধি: . আর্ক ট্যানজেন্টের সংজ্ঞার ক্ষেত্র হল ব্যবধান। মানের পরিসীমা হল ব্যবধান।

আর্ক ট্যানজেন্টের সংজ্ঞায় ব্যবধানের শেষ - বিন্দু বাদ দেওয়া হয় কেন? অবশ্যই, কারণ এই বিন্দুতে স্পর্শক সংজ্ঞায়িত করা হয় না। এই কোণের কোনটির স্পর্শকের সমান কোন সংখ্যা নেই।

আসুন আর্ক ট্যানজেন্ট প্লট করি। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সংখ্যা x এর চাপ স্পর্শক হল একটি সংখ্যা y যা ব্যবধানের অন্তর্গত, যেমন

কিভাবে একটি গ্রাফ তৈরি করতে হয় তা ইতিমধ্যেই পরিষ্কার। যেহেতু arctangent হল স্পর্শকের বিপরীত ফাংশন, আমরা নিম্নরূপ এগিয়ে যাই:

আমরা ফাংশন গ্রাফের এমন একটি বিভাগ বেছে নিই, যেখানে x এবং y-এর মধ্যে চিঠিপত্র এক-টু-ওয়ান। এটি হল ব্যবধান C। এই বিভাগে, ফাংশন থেকে মান নেয়

তারপর ইনভার্স ফাংশন, অর্থাৎ, ফাংশন, সংজ্ঞার ডোমেন হবে সম্পূর্ণ সংখ্যা রেখা, থেকে এবং মানের পরিসীমা হল ব্যবধান।

মানে,

কিন্তু x অসীম বড় হলে কি হবে? অন্য কথায়, কিভাবে এই ফাংশনটি x এর সাথে অসীম প্লাস করে?

আমরা নিজেদেরকে প্রশ্ন করতে পারি: ব্যবধানে কোন সংখ্যার জন্য স্পর্শকের মান অসীমতার দিকে ঝোঁক? - স্পষ্টতই, এই

সুতরাং, x এর অসীম বৃহৎ মানের জন্য, চাপ স্পর্শকের প্লট অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটের কাছে আসে

একইভাবে, যেমন x বিয়োগ অসীম দিকে প্রবণ হয়, তাই চাপ স্পর্শকের প্লট অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোটের কাছে আসে

চিত্রে - ফাংশনের একটি গ্রাফ

ফাংশন বৈশিষ্ট্য

1. সংজ্ঞার ডোমেন

2. মান পরিসীমা

3. ফাংশনটি বিজোড়।

4. ফাংশন কঠোরভাবে বাড়ছে.

6. ফাংশনগুলি এবং পারস্পরিকভাবে বিপরীত - অবশ্যই, যখন ফাংশনটি ব্যবধানে বিবেচনা করা হয়

একইভাবে, আমরা আর্ক কোট্যাঞ্জেন্টের কাজ সংজ্ঞায়িত করি এবং এর গ্রাফ প্লট করি।

a এর চাপ স্পর্শক হল সংখ্যা , যেমন যে

ফাংশন গ্রাফ:

ফাংশন বৈশিষ্ট্য

1. সংজ্ঞার ডোমেন

2. মান পরিসীমা

3. ফাংশনটি একটি সাধারণ ফর্মের, অর্থাৎ, জোড় বা বিজোড় নয়।

4. ফাংশন কঠোরভাবে হ্রাস করা হয়.

5. প্রদত্ত ফাংশনের প্রত্যক্ষ এবং - অনুভূমিক উপসর্গ।

6. ব্যবধানে বিবেচনা করা হলে ফাংশন এবং পারস্পরিক বিপরীত

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন(বৃত্তাকার ফাংশন, চাপ ফাংশন) - গাণিতিক ফাংশন যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত।

এই সাধারণত 6 ফাংশন অন্তর্ভুক্ত:

arcsine(প্রতীক: arcsin x; arcsin xকোণ হয় পাপযা সমান এক্স),
আর্কোসিন(প্রতীক: আরকোস এক্স; আরকোস এক্সকোণ যার কোসাইন সমান এক্সইত্যাদি),
চাপ স্পর্শক(প্রতীক: arctg xবা আর্কটান এক্স),
চাপ স্পর্শক(প্রতীক: arcctg xবা আরকোট এক্সবা আরকোটান এক্স),
আর্কসেক্যান্ট(প্রতীক: arcsec x),
আর্কোসেক্যান্ট(প্রতীক: আরকোসেক এক্সবা arccsc x).

আর্কসিন (y = arcsin x) এর বিপরীত ফাংশন পাপ (x = সাইনি . অন্য কথায়, কোণটিকে তার মান দ্বারা প্রদান করে পাপ.

আর্ক কোসাইন (y = arccos x) এর বিপরীত ফাংশন কারণ (x = cos y কারণ.

আর্কটেনজেন্ট (y = আর্কটান x) এর বিপরীত ফাংশন tg (x = tgy), যার সংজ্ঞার একটি ডোমেন এবং মানগুলির একটি সেট রয়েছে৷ . অন্য কথায়, কোণটিকে তার মান দ্বারা প্রদান করে tg.

চাপ স্পর্শক (y = arcctg x) এর বিপরীত ফাংশন ctg (x = ctg y), যার সংজ্ঞার একটি ডোমেন এবং মানগুলির একটি সেট রয়েছে। অন্য কথায়, কোণটিকে তার মান দ্বারা প্রদান করে ctg.

arcsec- arcsecant, এর সেক্যান্টের মান দ্বারা কোণ প্রদান করে।

আরকোসেক- arccosecant, এর cosecant এর মান দ্বারা কোণ প্রদান করে।

যখন বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নির্দিষ্ট বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তখন এর মান ফলাফল সারণিতে প্রদর্শিত হবে না। ফাংশন arcsecএবং আরকোসেকসেগমেন্টে সংজ্ঞায়িত করা হয় না (-1,1), কিন্তু arc sinএবং আর্কোসশুধুমাত্র ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় [-1,1]।

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের নামটি "আর্ক-" উপসর্গ যোগ করে সংশ্লিষ্ট ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের নাম থেকে গঠিত হয় (ল্যাট থেকে। চাপ আমাদের- চাপ)। এটি এই কারণে যে জ্যামিতিকভাবে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান একটি একক বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্যের সাথে যুক্ত (অথবা কোণ যা এই চাপকে সাবটেন করে), যা এক বা অন্য অংশের সাথে মিলে যায়।

কখনও কখনও বিদেশী সাহিত্যে, সেইসাথে বৈজ্ঞানিক / প্রকৌশল ক্যালকুলেটরগুলিতে, তারা স্বরলিপি ব্যবহার করে পাপ −1, cos -1আর্কসিন, আর্কোসাইন এবং এর মতো - এটি সম্পূর্ণরূপে সঠিক নয় বলে বিবেচিত হয় একটি ক্ষমতা একটি ফাংশন উত্থাপন সঙ্গে সম্ভবত বিভ্রান্তি −1 (« −1 » (প্রথম শক্তি বিয়োগ) ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে x=f-1(y), ফাংশনের বিপরীত y=f(x)).

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মৌলিক সম্পর্ক।

এখানে যে ব্যবধানগুলির জন্য সূত্রগুলি বৈধ তা মনোযোগ দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ৷

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সম্পর্কিত সূত্র।

এর মাধ্যমে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যেকোনো মান নির্দেশ করুন আর্কসিন এক্স, আরকোস এক্স, আর্কটান এক্স, আরকোট এক্সএবং স্বরলিপি রাখুন: arcsin x, আরকোস এক্স, আর্কটান এক্স, আরকোট এক্সতাদের প্রধান মূল্যবোধের জন্য, তারপর তাদের মধ্যে সম্পর্ক এই ধরনের সম্পর্ক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

পাঠ 32-33। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

09.07.2015 8936 0

লক্ষ্য: বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বিবেচনা করুন, ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান লেখার জন্য তাদের ব্যবহার।

I. পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্য সম্পর্কে যোগাযোগ

২. নতুন উপাদান শেখা

1. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

নিচের উদাহরণ দিয়ে এই বিষয়টি শুরু করা যাক।

উদাহরণ 1

আসুন সমীকরণটি সমাধান করি:ক) পাপ x = 1/2; খ) পাপ x \u003d ক।

ক) অর্ডিনেট অক্ষে, মান 1/2 আলাদা করুন এবং কোণগুলি প্লট করুন x 1 এবং x2, যার জন্যপাপ x = 1/2। এই ক্ষেত্রে, x1 + x2 = π, যেখান থেকে x2 = π – x 1 . ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানের সারণী অনুসারে, আমরা x1 = π/6 মান খুঁজে পাই, তারপরআমরা সাইন ফাংশনের পর্যায়ক্রমিকতা বিবেচনা করি এবং এই সমীকরণের সমাধানগুলি লিখি:যেখানে k ∈ Z।

খ) এটা স্পষ্ট যে সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদমপাপ x = a আগের অনুচ্ছেদের মতই। অবশ্যই, এখন a এর মান y-অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়েছে। কোনভাবে কোণ x1 নির্ধারণ করার প্রয়োজন আছে। আমরা প্রতীক দ্বারা এই ধরনের একটি কোণ বোঝাতে সম্মত হয়েছি arc sin ক তাহলে এই সমীকরণের সমাধানগুলো এভাবে লেখা যাবেএই দুটি সূত্র একটিতে একত্রিত করা যেতে পারে:যেখানে

অন্যান্য বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একইভাবে চালু করা হয়।

প্রায়শই এটির ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পরিচিত মান থেকে একটি কোণের মান নির্ধারণ করা প্রয়োজন। এই ধরনের একটি সমস্যা বহুমূল্য - এখানে অসীম সংখ্যক কোণ রয়েছে যার ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একই মানের সমান। তাই, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের একঘেয়েতার উপর ভিত্তি করে, কোণগুলিকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করতে নিম্নলিখিত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি চালু করা হয়েছে।

a (আর্কসিন , যার সাইন a এর সমান, i.e.

একটি সংখ্যার আর্ক কোসাইন a(আরকোস ক) - ব্যবধান থেকে এমন একটি কোণ a, যার কোসাইন a এর সমান, অর্থাৎ

একটি সংখ্যার চাপ স্পর্শক a(arctg ক) - ব্যবধান থেকে এমন একটি কোণ aযার স্পর্শক a, i.e.tg a = a.

একটি সংখ্যার চাপ স্পর্শক a(arctg ক) - ব্যবধান (0; π) থেকে এমন একটি কোণ a, যার কোট্যাঞ্জেন্ট a এর সমান, অর্থাৎ ctg a = a.

উদাহরণ 2

চল খুঁজি:

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা দেওয়া হলে, আমরা পাই:

উদাহরণ 3

গণনা

ধরুন কোণ a = arcsin 3/5, তারপর সংজ্ঞা অনুসারে sin a = 3/5 এবং . অতএব, আমাদের খুঁজে বের করতে হবেকারণ ক মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে, আমরা পাই:এটি বিবেচনায় নেওয়া হয় যে cos a ≥ 0. সুতরাং,

ফাংশন বৈশিষ্ট্য	ফাংশন
ফাংশন বৈশিষ্ট্য	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
ডোমেইন	x ∈ [-1; এক]	x ∈ [-1; এক]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
মান পরিসীমা	y ∈ [-π/2; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2; π /2)	y ∈ (0; π)
সমতা	অস্বাভাবিক	জোড় বা বিজোড়ও নয়	অস্বাভাবিক	জোড় বা বিজোড়ও নয়
ফাংশন শূন্য (y = 0)	যখন x = 0	x = 1 এর জন্য	যখন x = 0	y ≠ 0
স্থিরতার ব্যবধান	x ∈ (0; 1] এর জন্য y > 0, এ< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1 এর জন্য y > 0; এক)	x ∈ (0; +∞) এর জন্য y > 0, এ< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ (-∞; +∞) এর জন্য y > 0
একঘেয়ে	ক্রমবর্ধমান	কমে যায়	ক্রমবর্ধমান	কমে যায়
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সাথে সম্পর্ক	sin y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
সময়সূচী

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ দেওয়া যাক।

উদাহরণ 4

ফাংশনের ডোমেইন খুঁজুন

ফাংশন y সংজ্ঞায়িত করার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে অসমতাযা বৈষম্যের ব্যবস্থার সমতুল্যপ্রথম অসমতার সমাধান হল ব্যবধান x∈ (-∞; +∞), দ্বিতীয়টি -এই ব্যবধান এবং অসমতার সিস্টেমের একটি সমাধান, এবং তাই ফাংশনের ডোমেইন

উদাহরণ 5

ফাংশনের পরিবর্তনের ক্ষেত্রটি সন্ধান করুন

ফাংশনের আচরণ বিবেচনা করুন z \u003d 2x - x2 (চিত্র দেখুন)।

দেখা যায় যে z ∈ (-∞; 1]। যুক্তি দেওয়া হল z বিপরীত স্পর্শকের কাজ নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে পরিবর্তিত হয়, টেবিলের ডেটা থেকে আমরা তা পাইএভাবে পরিবর্তনের ক্ষেত্র

উদাহরণ 6

আসুন প্রমাণ করি যে ফাংশন y = arctg x বিজোড়। দিনতারপর tg a \u003d -x বা x \u003d - tg a \u003d tg (- a), এবং অতএব, - a \u003d arctg x বা a \u003d - arctg এক্স. সুতরাং, আমরা যে দেখতেঅর্থাৎ, y(x) একটি বিজোড় ফাংশন।

উদাহরণ 7

আমরা সমস্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করি

দিন এটা স্পষ্ট যে তারপর থেকে

একটি কোণ পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক কারণ তারপর

একইভাবে, তাই এবং

তাই,

উদাহরণ 8

আসুন y \u003d ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি cos (আর্কসিন এক্স)।

তারপর একটি \u003d arcsin x নির্দেশ করুন আমরা বিবেচনা করি যে x \u003d sin a এবং y \u003d cos a, অর্থাৎ x 2 + y2 = 1, এবং x এর উপর সীমাবদ্ধতা (x∈ [-এক; 1]) এবং y (y ≥ 0)। তারপর y = ফাংশনের গ্রাফ cos(আর্কসিন x) একটি অর্ধবৃত্ত।

উদাহরণ 9

আসুন y \u003d ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি arccos(cosx)।

যেহেতু ফাংশন cos x অংশে পরিবর্তন হয় [-1; 1], তারপর y ফাংশনটি সম্পূর্ণ বাস্তব অক্ষে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং ব্যবধানে পরিবর্তন হয়। আমরা মনে রাখব যে y = arccos(cosx) সেগমেন্টে \u003d x; y ফাংশনটি জোড় এবং পর্যায়ক্রমিক 2π এর পর্যায়ক্রমিক। ফাংশন এই বৈশিষ্ট্য আছে যে বিবেচনাকারণ x, এখন প্লট করা সহজ।

আমরা কিছু দরকারী সমতা নোট করি:

উদাহরণ 10

ফাংশনের ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম মান খুঁজুনবোঝান তারপর একটি ফাংশন পান এই ফাংশন পয়েন্ট এ একটি সর্বনিম্ন আছে z = π/4, এবং এটি সমান ফাংশনের সর্বোচ্চ মান বিন্দুতে পৌঁছেছে z = -π/2, এবং এটি সমান এইভাবে, এবং

উদাহরণ 11

সমীকরণটি সমাধান করা যাক

আমরা সেটা আমলে নিই তারপর সমীকরণটি এরকম দেখাচ্ছে:বা কোথায় আর্ক ট্যানজেন্টের সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা পাই:

2. সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান

একইভাবে উদাহরণ 1, আপনি সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান পেতে পারেন।

সমীকরণটি	সমাধান


tgx = a
ctg x = a

উদাহরণ 12

সমীকরণটি সমাধান করা যাক

সাইন ফাংশনটি বিজোড় হওয়ায় আমরা সমীকরণটি আকারে লিখিএই সমীকরণের সমাধান:আমরা কোথায় খুঁজে পাই

উদাহরণ 13

সমীকরণটি সমাধান করা যাক

উপরের সূত্র অনুসারে, আমরা সমীকরণের সমাধানগুলি লিখি:এবং খুঁজো

লক্ষ্য করুন যে বিশেষ ক্ষেত্রে (a = 0; ±1) সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় sin x = a এবং cos x \u003d তবে সাধারণ সূত্রগুলি ব্যবহার করা সহজ এবং আরও সুবিধাজনক নয়, তবে একটি ইউনিট বৃত্তের উপর ভিত্তি করে সমাধান লিখুন:

sin x = 1 সমাধান সমীকরণের জন্য

sin x \u003d 0 সমাধান x \u003d π k সমীকরণের জন্য;

sin x = -1 সমাধান সমীকরণের জন্য

সমীকরণ cos জন্য x = 1 সমাধান x = 2π k;

সমীকরণের জন্য cos x = 0 সমাধান

সমীকরণের জন্য cos x = -1 সমাধান

উদাহরণ 14

সমীকরণটি সমাধান করা যাক

যেহেতু এই উদাহরণে সমীকরণের একটি বিশেষ কেস রয়েছে, আমরা উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে সমাধানটি লিখি:আমরা কোথায় খুঁজে পাই

III. কন্ট্রোল প্রশ্ন (ফ্রন্টাল সার্ভে)

1. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রধান বৈশিষ্ট্য সংজ্ঞায়িত করুন এবং তালিকাভুক্ত করুন।

2. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গ্রাফ দিন।

3. সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান।

IV পাঠে অ্যাসাইনমেন্ট

§ 15, নং 3 (a, b); 4 (গ, ঘ); 7(ক); 8(ক); 12(খ); 13(ক); 15 (গ); 16(ক); 18 (ক, খ); 19 (গ); 21;

§ 16, নং 4 (a, b); 7(ক); 8 (খ); 16 (ক, খ); 18(ক); 19 (গ, ঘ);

§ 17, নং 3 (a, b); 4 (গ, ঘ); 5 (ক, খ); 7 (গ, ঘ); 9 (খ); 10 (ক, গ)।

V. বাড়ির কাজ

§ 15, নং 3 (c, d); 4 (ক, খ); 7 (গ); 8 (খ); 12(ক); 13(খ); 15 (ঘ); 16(খ); 18 (গ, ঘ); 19 (ঘ); 22;

§ 16, নং 4 (c, d); 7(খ); 8(ক); 16 (গ, ঘ); 18(খ); 19 (ক, খ);

§ 17, নং 3 (c, d); 4 (ক, খ); 5 (গ, ঘ); 7 (ক, খ); 9 (ঘ); 10 (খ, ঘ)।

VI. সৃজনশীল কাজ

1. ফাংশনের সুযোগ খুঁজুন:

উত্তর:

2. ফাংশনের পরিসর খুঁজুন:

উত্তর:

3. ফাংশন গ্রাফ করুন:

VII. পাঠ সারসংক্ষেপ

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন হল গাণিতিক ফাংশন যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত।

ফাংশন y = arcsin(x)

α সংখ্যাটির আর্কসাইন হল ব্যবধান [-π/2; π/2] থেকে এমন একটি সংখ্যা α, যার সাইন α এর সমান।
ফাংশন গ্রাফ
ব্যবধানে y \u003d sin⁡ (x) ফাংশন [-π / 2; π / 2], কঠোরভাবে বৃদ্ধি এবং ক্রমাগত; অতএব, এটির একটি বিপরীত ফাংশন রয়েছে যা কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান এবং ক্রমাগত।
y= sin⁡(x) ফাংশনের বিপরীত ফাংশন, যেখানে x ∈[-π/2;π/2], তাকে আর্কসাইন বলা হয় এবং y=arcsin(x), যেখানে x∈[-1;1 চিহ্নিত করা হয় ]।
সুতরাং, ইনভার্স ফাংশনের সংজ্ঞা অনুসারে, আর্কসিনের সংজ্ঞার ডোমেন হল সেগমেন্ট [-1; 1], এবং মানের সেট হল সেগমেন্ট [-π/2; π/2]।
লক্ষ্য করুন যে ফাংশনের y=arcsin(x), যেখানে x ∈[-1;1]. ফাংশন y= sin(⁡x) এর গ্রাফের সাথে প্রতিসম, যেখানে x∈[-π/2;π /2], প্রথম এবং তৃতীয় ত্রৈমাসিকের স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখন্ডের সাপেক্ষে।

ফাংশনের সুযোগ y=arcsin(x)।

উদাহরণ নম্বর 1।

arcsin (1/2) খুঁজুন?

যেহেতু আর্কসিন(x) ফাংশনের পরিসরটি ইন্টারভালের অন্তর্গত [-π/2;π/2], শুধুমাত্র মান π/6 উপযুক্ত। অতএব, arcsin(1/2) = π/6।
উত্তর: π/6

উদাহরণ #2।
arcsin(-(√3)/2) খুঁজুন?

যেহেতু arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] এর পরিসর, শুধুমাত্র মান -π/3 উপযুক্ত। অতএব, arcsin(-(√3)/2) =- π/3।

ফাংশন y = arccos(x)

একটি সংখ্যা α এর arccosine হল একটি সংখ্যা α ব্যবধান থেকে যার কোসাইন α এর সমান।

ফাংশন গ্রাফ

ব্যবধানে ফাংশন y= cos(⁡x) কঠোরভাবে হ্রাস এবং ক্রমাগত; অতএব, এটির একটি বিপরীত ফাংশন রয়েছে যা কঠোরভাবে হ্রাস এবং ক্রমাগত।
y= cos⁡x ফাংশনের বিপরীত ফাংশন, যেখানে x ∈ বলা হয় চাপ কোসাইনএবং চিহ্নিত করা হয়েছে y=arccos(x), যেখানে x ∈[-1;1]।
সুতরাং, বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা অনুসারে, আর্কোসিনের সংজ্ঞার ডোমেন হল সেগমেন্ট [-1; 1], এবং মানগুলির সেট হল সেগমেন্ট।
লক্ষ্য করুন যে ফাংশনের গ্রাফটি y=arccos(x), যেখানে x ∈[-1;1] ফাংশনের গ্রাফের সাথে প্রতিসম y= cos(⁡x), যেখানে x ∈, এর দ্বিখণ্ডকের সাপেক্ষে প্রথম এবং তৃতীয় ত্রৈমাসিকের সমন্বয় কোণ।

ফাংশনের সুযোগ y=arccos(x)।

উদাহরণ #3।

আরকোস (1/2) খুঁজুন?

যেহেতু arccos(x) এর পরিসর হল x∈, শুধুমাত্র মান π/3 উপযুক্ত। অতএব, arccos(1/2) =π/3।
উদাহরণ নম্বর 4।
arccos(-(√2)/2) খুঁজুন?

যেহেতু arccos(x) ফাংশনের ব্যাপ্তি ইন্টারভালের অন্তর্গত, তাহলে শুধুমাত্র মান 3π/4 উপযুক্ত। অতএব, arccos(-(√2)/2) =3π/4।

উত্তর: 3π/4

ফাংশন y=arctg(x)

একটি সংখ্যা α এর চাপ স্পর্শক হল ব্যবধান [-π/2; π/2] থেকে এমন একটি সংখ্যা α, যার স্পর্শক α এর সমান।

ফাংশন গ্রাফ

স্পর্শক ফাংশন ক্রমাগত এবং কঠোরভাবে ব্যবধানে বৃদ্ধি পায় (-π/2; π/2); অতএব, এটির একটি বিপরীত ফাংশন রয়েছে যা ক্রমাগত এবং কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
y= tg⁡(x) ফাংশনের বিপরীত ফাংশন, যেখানে x∈(-π/2;π/2); বলা হয় arctangent এবং চিহ্নিত করা হয় y=arctg(x), যেখানে x∈R।
সুতরাং, ইনভার্স ফাংশনের সংজ্ঞা অনুসারে, আর্কটেনজেন্টের সংজ্ঞার ডোমেন হল ব্যবধান (-∞;+∞), এবং মানের সেট হল ব্যবধান
(-π/2;π/2)।
লক্ষ্য করুন যে ফাংশনের গ্রাফটি y=arctg(x), যেখানে x∈R, ফাংশন y=tg⁡x এর গ্রাফের সাথে প্রতিসম, যেখানে x ∈ (-π/2;π/2), সাপেক্ষে প্রথম এবং তৃতীয় চতুর্থাংশের স্থানাঙ্ক কোণের দ্বিখণ্ডক।

ফাংশনের সুযোগ y=arctg(x)।

উদাহরণ #5?

arctg((√3)/3) খুঁজুন।

যেহেতু arctan(x) x ∈(-π/2;π/2) এর পরিসর, শুধুমাত্র মান π/6 উপযুক্ত। অতএব, arctg((√3)/3) =π/6।
উদাহরণ নম্বর 6।
arctg(-1) খুঁজুন?

যেহেতু arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), শুধুমাত্র মান -π/4 উপযুক্ত। অতএব, arctg(-1) = - π/4।

ফাংশন y=arctg(x)

একটি সংখ্যা α এর চাপ স্পর্শক হল ব্যবধান (0; π) থেকে এমন একটি সংখ্যা α যার কোট্যাঞ্জেন্ট α এর সমান।

ফাংশন গ্রাফ

ব্যবধানে (0;π), কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশন কঠোরভাবে হ্রাস পায়; অধিকন্তু, এই ব্যবধানের প্রতিটি বিন্দুতে এটি অবিচ্ছিন্ন; সুতরাং, ব্যবধানে (0;π), এই ফাংশনের একটি বিপরীত ফাংশন রয়েছে যা কঠোরভাবে হ্রাস এবং ক্রমাগত।
y=ctg(x) ফাংশনের বিপরীত ফাংশন, যেখানে x ∈(0;π), চাপ কোট্যাঞ্জেন্ট বলা হয় এবং y=arcctg(x), যেখানে x∈R চিহ্নিত করা হয়।
সুতরাং, বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা অনুসারে, চাপ স্পর্শকের সংজ্ঞার ডোমেন হবে R, এবং মানের সেট হবে ব্যবধান (0; π)। ;π), এর দ্বিখণ্ডকের সাপেক্ষে প্রথম এবং তৃতীয় চতুর্থাংশের স্থানাঙ্ক কোণ।

ফাংশনের সুযোগ y=arcctg(x)।

উদাহরণ নম্বর 7।
arcctg((√3)/3) খুঁজুন?

যেহেতু arcctg(x) x ∈(0;π), শুধুমাত্র মান π/3 উপযুক্ত। অতএব, arccos((√3)/3) =π/3।

উদাহরণ নম্বর 8।
arcctg(-(√3)/3) খুঁজুন?

যেহেতু arcctg(x) x∈(0;π), শুধুমাত্র মান 2π/3 উপযুক্ত। অতএব, arccos(-(√3)/3) =2π/3।

সম্পাদক: Ageeva Lyubov আলেকজান্দ্রোভনা, Gavrilina Anna Viktorovna