Изчислете ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации. Матричен ранг. Какъв метод да използвате за намиране на ранга на матрица

И също така помислете за важно практическо приложение на темата: изследване на система от линейни уравнения за съвместимост.

Какъв е рангът на матрицата?

Хумористичният епиграф на статията съдържа много истина. Самата дума "ранг" обикновено се свързва с някаква йерархия, най-често с кариерната стълбица. Колкото повече знания, опит, способности, връзки и т.н. има човек. - толкова по-висока е неговата позиция и диапазон от възможности. В младежки термини, рангът се отнася до общата степен на "твърдост".

И нашите математически братя живеят по същите принципи. Да вземем на разходка няколко произволни нулеви матрици:

Нека помислим дали в матрицата само нули, тогава за какъв ранг можем да говорим? Всеки е запознат с неформалния израз "обща нула". В матричното общество всичко е абсолютно същото:

Нулев матричен рангвсеки размер е нула.

Забележка : нулевата матрица се обозначава с гръцката буква "тета"

За да разбера по-добре ранга на матрицата, по-нататък ще използвам материалите аналитична геометрия. Помислете за нула векторна нашето триизмерно пространство, което не задава определена посока и е безполезно за изграждане афинна основа. От алгебрична гледна точка координатите на даден вектор се записват матрица"едно по три" и логично (в определения геометричен смисъл)приемем, че рангът на тази матрица е нула.

Сега нека разгледаме няколко различен от нула колонни вектории редови вектори:

Всеки екземпляр има поне един ненулев елемент и това е нещо!

Рангът на всеки ненулев вектор-ред (вектор колона) е равен на единица

И най-общо казано - ако е в матрица произволни размериима поне един ненулев елемент, след което неговият ранг не по-малкоединици.

Алгебричните вектори на редове и колони са абстрактни до известна степен, така че нека се обърнем отново към геометричната асоциация. различен от нула векторзадава добре дефинирана посока в пространството и е подходящ за конструиране основа, така че рангът на матрицата ще се приеме, че е равен на единица.

Теоретична подготовка : в линейната алгебра векторът е елемент от векторно пространство (дефинирано чрез 8 аксиоми), което по-специално може да бъде подреден ред (или колона) от реални числа с операциите събиране и умножение с дефинирано реално число за тях. За повече информация относно векторите вижте статията Линейни трансформации.

линейно зависими(изразени един през друг). От геометрична гледна точка, вторият ред съдържа координатите на колинеарния вектор , което не напредна въпроса в строителството триизмерна основа, което е излишно в този смисъл. По този начин рангът на тази матрица също е равен на единица.

Пренаписваме координатите на векторите в колони ( транспониране на матрицата):

Какво се промени по отношение на ранга? Нищо. Колоните са пропорционални, което означава, че рангът е равен на единица. Между другото, имайте предвид, че и трите реда също са пропорционални. Те могат да бъдат идентифицирани с координатите триколинеарни вектори на равнината, от които само единполезно за изграждане на "плоска" основа. И това е в пълно съответствие с нашето геометрично чувство за ранг.

Важно твърдение следва от горния пример:

Рангът на матрица по редове е равен на ранга на матрица по колони. Вече споменах това малко в урока за ефективност методи за изчисляване на детерминанта.

Забележка : линейната зависимост на редовете води до линейна зависимост на колоните (и обратно). Но за да спестя време и по навик почти винаги ще говоря за линейната зависимост на струните.

Нека продължим да обучаваме любимия си домашен любимец. Добавете координатите на друг колинеарен вектор към матрицата в третия ред :

Той помогна ли ни в изграждането на триизмерна основа? Разбира се, че не. И трите вектора се движат напред-назад по един и същи път, а рангът на матрицата е един. Можете да вземете колкото искате колинеарни вектори, да речем 100, да поставите техните координати в матрица 100 на 3 и рангът на такъв небостъргач все още ще остане един.

Нека се запознаем с матрицата, чиито редове линейно независими. Двойка неколинеарни вектори е подходяща за конструиране на триизмерна основа. Рангът на тази матрица е два.

Какъв е рангът на матрицата? Изглежда, че линиите не са пропорционални ... така че на теория три. Въпреки това, рангът на тази матрица също е равен на две. Добавих първите два реда и записах резултата отдолу, т.е. линейно изразентрети ред през първите две. Геометрично, редовете на матрицата съответстват на координатите на три компланарни вектори, а сред тази тройка има двойка другари не-колинеарни.

Както виждаш линейна зависимоств разглежданата матрица не е очевидно и днес просто ще научим как да го доведем „до чиста вода“.

Мисля, че много хора се досещат какъв е рангът на матрицата!

Да разгледаме матрица, чиито редове линейно независими. Формират се вектори афинна основа, а рангът на тази матрица е три.

Както знаете, всеки четвърти, пети, десети вектор на триизмерното пространство ще бъде линейно изразен чрез основни вектори. Следователно, ако към матрицата се добави някакъв брой редове, тогава нейният ранг пак ще са три.

Подобни разсъждения могат да бъдат извършени за матрици с по-големи размери (ясно, вече без геометричен смисъл).

Определение : рангът на матрицата е максималният брой линейно независими редове. Или: рангът на матрицата е максималният брой линейно независими колони. Да, винаги съвпадат.

Важна практическа насока следва от горното: рангът на матрицата не надвишава минималното й измерение. Например в матрицата четири реда и пет колони. Минималното измерение е четири, следователно рангът на тази матрица със сигурност няма да надвишава 4.

Нотация: в световната теория и практика няма общоприет стандарт за определяне на ранга на матрицата, може да се намери най-често срещаният: - както се казва, англичанин пише едно, германец друго. Ето защо, въз основа на добре познатия анекдот за американския и руския ад, нека обозначим ранга на матрицата с родна дума. Например: . И ако матрицата е "безименна", от които има много, тогава можете просто да напишете .

Как да намерим ранга на матрица, използвайки минорите?

Ако нашата баба имаше пета колона в матрицата, тогава трябваше да се изчисли още един минор от 4-ти ред („синьо“, „малина“ + 5-та колона).

Заключение: максималният ред на ненулев минор е три, така че .

Може би не всички са разбрали напълно тази фраза: минорът от 4-ти порядък е равен на нула, но сред минорите от 3-ти порядък имаше ненулев един - следователно, максималният ред различен от нуламинор и равен на три.

Възниква въпросът защо не се изчисли веднага детерминантата? Е, първо, в повечето задачи матрицата не е квадратна, и второ, дори ако получите ненулева стойност, тогава задачата ще бъде отхвърлена с голяма вероятност, тъй като обикновено предполага стандартно решение отдолу нагоре. И в разглеждания пример нулевият детерминант от 4-ти ред дори ни позволява да твърдим, че рангът на матрицата е само по-малък от четири.

Трябва да призная, че аз сам измислих анализирания проблем, за да обясня по-добре метода на граничене на непълнолетните. В реалната практика всичко е по-просто:

Пример 2

Намерете ранга на матрица по метода на индикация на минорите

Решение и отговор в края на урока.

Кога алгоритъмът работи най-бързо? Нека се върнем към същата матрица четири по четири . Очевидно решението ще бъде най-краткото в случай на "добро" ъгъл непълнолетни:

И, ако , тогава , иначе - .

Мисленето изобщо не е хипотетично - има много примери, в които цялото нещо се ограничава само до ъглови малки.

В някои случаи обаче друг метод е по-ефективен и за предпочитане:

Как да намерим ранга на матрица по метода на Гаус?

Този раздел е предназначен за читатели, които вече са запознати Метод на Гауси малко по малко се хванаха за него.

От техническа гледна точка методът не е нов:

1) използвайки елементарни трансформации, привеждаме матрицата в стъпаловидна форма;

2) рангът на матрицата е равен на броя на редовете.

Това е съвсем ясно използването на метода на Гаус не променя ранга на матрицата, а същността тук е изключително проста: според алгоритъма в хода на елементарните трансформации се откриват и отстраняват всички ненужни пропорционални (линейно зависими) линии, в резултат на което остава „сух остатък“ - максималният брой линейно независими линии.

Нека трансформираме старата позната матрица с координатите на три колинеарни вектора:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред.

(2) Нулевите линии се премахват.

Така че остава един ред, следователно . Излишно е да казвам, че това е много по-бързо, отколкото да се изчислят девет нулеви минор от 2-ри ред и едва след това да се направи заключение.

Напомням ви това само по себе си алгебрична матрицанищо не може да се промени, а трансформациите се извършват само с цел установяване на ранга! Между другото, нека се спрем отново на въпроса, защо не? Матрица на източника носи информация, която е фундаментално различна от информацията за матрица и ред. В някои математически модели (без преувеличение) разликата в едно число може да бъде въпрос на живот и смърт. ... Спомних си училищни учители по математика от начални и средни класове, които безмилостно отрязваха оценката с 1-2 точки за най-малката неточност или отклонение от алгоритъма. И беше страшно разочароващо, когато вместо привидно гарантираната „петица“ се оказа „добро“ или дори по-лошо. Разбирането дойде много по-късно - как иначе да се повери на човек сателити, ядрени бойни глави и електроцентрали? Но не се притеснявайте, аз не работя в тези области =)

Нека да преминем към по-смислени задачи, където между другото ще се запознаем и с важни изчислителни техники Метод на Гаус:

Пример 3

Намерете ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации

Решение: дадена матрица четири на пет, което означава, че нейният ранг със сигурност е не повече от 4.

В първата колона няма 1 или -1, следователно са необходими допълнителни стъпки за получаване на поне една единица. През цялото съществуване на сайта многократно ми е задаван въпросът: „Възможно ли е да се пренаредят колоните по време на елементарни трансформации?“. Ето - пренаредена първата или втората колона и всичко е наред! В повечето задачи къде Метод на Гаус, колоните наистина могат да бъдат пренаредени. НО НЕ. И въпросът дори не е възможно объркване с променливи, въпросът е, че в класическия курс на преподаване на висша математика това действие традиционно не се разглежда, следователно, такъв реверанс ще бъде гледан МНОГО криво (или дори принуден да преработи всичко) .

Втората точка се отнася до числата. В процеса на вземане на решение е полезно да се ръководите от следното правило: елементарните трансформации трябва, ако е възможно, да намалят числата на матрицата. В крайна сметка е много по-лесно да се работи с едно-две-три, отколкото например с 23, 45 и 97. И първото действие е насочено не само към получаване на единица в първата колона, но и към елиминиране на номера 7 и 11.

Първо пълното решение, след това коментарите:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -3. И към купчината: 1-вият ред, умножен по -1, беше добавен към 4-ия ред.

(2) Последните три реда са пропорционални. 3-ти и 4-ти ред бяха изтрити, вторият ред беше преместен на първо място.

(3) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -3.

Матрицата, намалена до стъпаловидна форма, има два реда.

Отговор:

Сега е ваш ред да измъчвате матрицата четири по четири:

Пример 4

Намерете ранга на матрица по метода на Гаус

напомням ти това Метод на Гаусне предполага недвусмислена твърдост и вашето решение най-вероятно ще бъде различно от моето решение. Кратка извадка от задачата в края на урока.

Какъв метод да използвате за намиране на ранга на матрица?

На практика често изобщо не се казва кой метод трябва да се използва за намиране на ранга. В такава ситуация трябва да се анализира условието - за някои матрици е по-рационално решението да се извърши чрез минорни, докато за други е много по-изгодно да се прилагат елементарни трансформации:

Пример 5

Намерете ранга на матрица

Решение: първият начин някак си веднага изчезва =)

Малко по-високо посъветвах да не докосвате колоните на матрицата, но когато има нулева колона или пропорционални / съвпадащи колони, тогава все пак си струва да ампутирате:

(1) Петата колона е нула, премахваме я от матрицата. По този начин рангът на матрицата е най-много четири. Първият ред се умножава по -1. Това е друга характерна черта на метода на Гаус, която прави следното действие приятна разходка:

(2) Към всички редове, като се започне от втория, е добавен първият ред.

(3) Първият ред беше умножен по -1, третият ред беше разделен на 2, четвъртият ред беше разделен на 3. Вторият ред, умножен по -1, беше добавен към петия ред.

(4) Третият ред беше добавен към петия ред, умножен по -2.

(5) Последните два реда са пропорционални, изтриваме петия.

Резултатът е 4 реда.

Отговор:

Стандартна пететажна сграда за самостоятелно изследване:

Пример 6

Намерете ранга на матрица

Кратко решение и отговор в края на урока.

Трябва да се отбележи, че фразата "матричен ранг" не е толкова често срещана на практика и при повечето проблеми можете да се справите без нея. Но има една задача, при която разглежданата концепция е главният герой и в заключение на статията ще разгледаме това практическо приложение:

Как да изследваме системата от линейни уравнения за съвместимост?

Често в допълнение към решаването системи от линейни уравненияспоред условието първо се изисква да се провери за съвместимост, тоест да се докаже, че изобщо съществува някакво решение. Ключова роля в тази проверка играе Теорема на Кронекер-Капели, който ще формулирам в необходимия вид:

Ако ранг системни матрициравен на ранг разширена матрична система, тогава системата е последователна и ако даденото число съвпада с броя на неизвестните, тогава решението е уникално.

По този начин, за да се проучи системата за съвместимост, е необходимо да се провери равенството , където - системна матрица(запомнете терминологията от урока Метод на Гаус), а - разширена матрична система(т.е. матрица с коефициенти при променливи + колона със свободни термини).

Теорема (за правилността на дефиницията на ранговете).Нека всички матрични минорни A m × n (\displaystyle A_(m\times n))поръчка k (\displaystyle k)са равни на нула ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Тогава ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)ако съществуват. Модел: / рамка

Свързани дефиниции

Имоти

Теорема (на база минор):Позволявам r = звънене ⁡ A , M r (\displaystyle r=\име на оператор (ранг) A,M_(r))- базисен минор на матрицата A (\displaystyle A), тогава:
Последствия:
Теорема (за инвариантността на ранга при елементарни трансформации):Нека въведем нотация за матрици, получени една от друга чрез елементарни трансформации. Тогава твърдението е вярно: Ако A ∼ B (\displaystyle A\sim B), то техните редици са равни.
Теорема Кронекер - Капели:Система от линейни алгебрични уравнения е последователна, ако и само ако рангът на нейната главна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица. По-специално:
- Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.
- Съвместима система ще бъде дефинирана (нейното решение е уникално), ако рангът на системата е равен на броя на всички нейни променливи.
Неравенство Силвестър:Ако Аи Бматрици с размери m x nи n x k, тогава

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B − n (\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

Това е специален случай на следното неравенство.

Неравенство Фробениус:Ако AB, BC, ABC са добре дефинирани, тогава

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C − r a n k B (\displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB)

Линейна трансформация и ранг на матрицата

Позволявам A (\displaystyle A)- матрица на размерите m × n (\displaystyle m\times n)над полето C (\displaystyle C)(или R (\displaystyle R)). Позволявам T (\displaystyle T)е линейна трансформация, съответстваща на A (\displaystyle A)в стандартната база; означава, че T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Матричен ранг A (\displaystyle A) е измерението на диапазона на трансформиране T (\displaystyle T).

Методи

Има няколко метода за намиране на ранга на матрица:

Метод на елементарни трансформации

Рангът на матрицата е равен на броя на ненулевите редове в матрицата, след като тя е намалена до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации върху редовете на матрицата.

Малък метод на ресни

Нека в матрицата A (\displaystyle A)открит ненулев минор k (\displaystyle k)-та поръчка M (\displaystyle M). Помислете за всички непълнолетни (k + 1) (\displaystyle (k+1))ред, включително (околните) непълнолетни M (\displaystyle M); ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е k (\displaystyle k). В противен случай сред граничещите непълнолетни има ненулева единица и цялата процедура се повтаря.

Всякаква матрица Апоръчка m×nможе да се разглежда като колекция мвектори ред или нколонни вектори.

рангматрици Апоръчка m×nе максималният брой линейно независими вектори колони или вектори редове.

Ако рангът на матрицата Асе равнява r, тогава пише:

Намиране на ранга на матрица

Позволявам Аматрица на произволен ред м× н. За намиране на ранга на матрица Априложете към него метода на елиминиране на Гаус.

Забележете, че ако на някакъв етап от елиминирането водещият елемент се окаже равен на нула, тогава разменяме дадения низ с низа, в който водещият елемент е различен от нула. Ако се окаже, че няма такъв ред, тогава преминаваме към следващата колона и т.н.

След движението напред на елиминирането на Гаус получаваме матрица, чиито елементи под главния диагонал са равни на нула. Освен това може да има нулеви вектори-редове.

Броят на ненулевите вектори-редове ще бъде рангът на матрицата А.

Нека разгледаме всичко това с прости примери.

Пример 1

Умножавайки първия ред по 4 и добавяйки към втория ред и умножавайки първия ред по 2 и добавяйки към третия ред, имаме:

Умножете втория ред по -1 и го добавете към третия ред:

Получихме два различни от нула реда и следователно рангът на матрицата е 2.

Пример 2

Намерете ранга на следната матрица:

Умножете първия ред по -2 и добавете към втория ред. По същия начин задайте елементите на третия и четвъртия ред на първата колона на нула:

Нека нулираме елементите на третия и четвъртия ред на втората колона, като добавим съответните редове към втория ред, умножени по числото -1.

Нека бъде дадена някаква матрица:

Изберете в тази матрица произволни линии и произволни колони
. Тогава детерминантата порядък, съставен от матрични елементи
разположен в пресечната точка на избрани редове и колони се нарича второстепенен -тия ред матрица
.

Определение 1.13.Матричен ранг
е най-големият ред на ненулевия минор на тази матрица.

За да се изчисли ранга на матрица, трябва да се вземат предвид всички нейни минорни от най-малкия ред и, ако поне един от тях е различен от нула, да се премине към разглеждането на минорите от най-висок ред. Този подход за определяне на ранга на матрица се нарича граничния метод (или метода на граничните малки).

Задача 1.4.По метода на обграждане на непълнолетни определете ранга на матрица
.

Помислете за граничене от първи ред, например,
. След това преминаваме към разглеждането на някаква граница от втори ред.

Например,
.

И накрая, нека анализираме границата на третия ред.

Така че най-високият ред на ненулев минор е 2, следователно
.

При решаване на задача 1.4 може да се забележи, че поредицата от граничещи минори от втори ред са различни от нула. В тази връзка възниква следната представа.

Определение 1.14.Базисният минор на матрицата е всеки ненулев минор, чийто ред е равен на ранга на матрицата.

Теорема 1.2.(Основна минорна теорема). Основните редове (основните колони) са линейно независими.

Забележете, че редовете (колоните) на матрицата са линейно зависими, ако и само ако поне един от тях може да бъде представен като линейна комбинация от останалите.

Теорема 1.3.Броят на линейно независимите матрични редове е равен на броя на линейно независимите матрични колони и е равен на ранга на матрицата.

Теорема 1.4.(Необходимо и достатъчно условие детерминантата да е равна на нула). За да се определи детерминанта -та поръчка е равно на нула, е необходимо и достатъчно неговите редове (колони) да бъдат линейно зависими.

Изчисляването на ранга на матрица въз основа на нейната дефиниция е твърде тромаво. Това става особено важно за матрици от висок порядък. В тази връзка на практика рангът на матрица се изчислява въз основа на прилагането на теореми 10.2 - 10.4, както и използването на концепциите за еквивалентност на матрицата и елементарни трансформации.

Определение 1.15.Две матрици
и се наричат еквивалентни, ако ранговете им са равни, т.е.
.

Ако матрици
и са еквивалентни, тогава забележете
 .

Теорема 1.5.Рангът на матрица не се променя от елементарни трансформации.

Ще наречем елементарни трансформации на матрицата
някое от следните действия върху матрицата:

Замяна на редове с колони и колони със съответни редове;

Пермутация на матрични редове;

Зачеркване на линия, всички елементи на която са равни на нула;

Умножаване на произволен низ по число, различно от нула;

Добавяне към елементите на един ред на съответните елементи от друг ред, умножени по същото число
.

Следствие от теорема 1.5.Ако матрицата
получени от матрицата използвайки краен брой елементарни трансформации, след това матриците
и са еквивалентни.

При изчисляване на ранга на матрица, тя трябва да бъде намалена до трапецовидна форма, като се използва краен брой елементарни трансформации.

Определение 1.16.Ще наречем трапец такава форма на представяне на матрица, когато в граничния минор от най-големия ненулев ред всички елементи под диагоналните изчезват. Например:

Тук
, матрични елементи
обърнете на нула. Тогава формата на представяне на такава матрица ще бъде трапецовидна.

Като правило матриците се редуцират до трапецовидна форма с помощта на алгоритъма на Гаус. Идеята на алгоритъма на Гаус е, че чрез умножаване на елементите от първия ред на матрицата по съответните фактори се постига, че всички елементи от първата колона се намират под елемента
, ще се превърне в нула. След това, умножавайки елементите на втората колона по съответните множители, постигаме, че всички елементи от втората колона се намират под елемента
, ще се превърне в нула. По-нататък продължете по същия начин.

Задача 1.5.Определете ранга на матрица, като я намалите до трапецовидна форма.

За удобство на прилагането на алгоритъма на Гаус можете да размените първия и третия ред.








.

Очевидно тук
. Въпреки това, за да приведете резултата в по-елегантен вид, по-нататъшните трансформации върху колоните могат да бъдат продължени.










.

Числото r се нарича ранг на матрицата A, ако:
1) матрицата A съдържа ненулев минор от порядък r;
2) всички минорни от порядък (r + 1) и по-високи, ако съществуват, са равни на нула.
В противен случай рангът на матрицата е най-високият ред на ненулев минор.
Обозначения: rangA , r A или r .
От дефиницията следва, че r е цяло положително число. За нулева матрица рангът се счита за нула.

Възлагане на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен за намиране матричен ранг. Решението се запазва във формат Word и Excel. виж пример за решение.

Инструкция. Изберете измерението на матрицата, щракнете върху Напред.

Определение . Нека е дадена матрица с ранг r. Всяка минорна матрица, различна от нула и имаща порядък r, се нарича основна, а редовете и колоните на нейните компоненти се наричат основни редове и колони.
Съгласно тази дефиниция, матрицата A може да има няколко базисни минор.

Рангът на матрицата за идентичност E е n (брой редове).

Пример 1 . Дадени са две матрици, и техните непълнолетни , . Кое от тях може да се вземе за основа?
Решение. Минорното M 1 =0, така че не може да бъде основа за нито една от матриците. Минор M 2 =-9≠0 и има ред 2, така че може да се вземе като базисни матрици на A или / и B, при условие че те имат ранг, равен на 2. Тъй като detB=0 (като детерминанта с две пропорционални колони), тогава rangB=2 и M 2 могат да бъдат взети като базисен минор на матрица B. Рангът на матрица A е 3, поради факта, че detA=-27≠ 0 и следователно редът на базисния минор на тази матрица трябва да бъде 3, т.е. M 2 не е основа за матрицата A . Забележете, че матрицата A има уникален базисен минор, равен на детерминантата на матрицата A.

Теорема (за основния минор). Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от основните й редове (колони).
Следствия от теоремата.

Всички (r+1) колони (редове) на матрица с ранг r са линейно зависими.
Ако рангът на една матрица е по-малък от броя на нейните редове (колони), тогава нейните редове (колони) са линейно зависими. Ако rangA е равен на броя на неговите редове (колони), тогава редовете (колони) са линейно независими.
Детерминантата на матрица A е равна на нула, ако и само ако нейните редове (колони) са линейно зависими.
Ако към реда (колоната) на матрицата се добави друг ред (колона), умножен по произволно число, различно от нула, тогава рангът на матрицата няма да се промени.
Ако зачеркнете ред (колона) в матрицата, която е линейна комбинация от други редове (колони), тогава рангът на матрицата няма да се промени.
Рангът на матрицата е равен на максималния брой на нейните линейно независими редове (колони).
Максималният брой линейно независими редове е същият като максималния брой линейно независими колони.

Пример 2. Намерете ранга на матрица .
Решение. Въз основа на дефиницията на ранга на матрица ще търсим минор от най-висок порядък, който е различен от нула. Първо, трансформираме матрицата в по-проста форма. За да направите това, умножете първия ред на матрицата по (-2) и добавете към втория, след това го умножете по (-1) и добавете към третия.