Обяснение на уравнението на темата и неговите корени. Ирационални уравнения. Изчерпателно ръководство. Събиране и използване на лична информация

Тема на урока: "Уравнението и неговите корени."

7 клас

Учител по математика: Кобиза Татяна Василиевна

цели:

Образователни . Да даде на учениците концепцията за уравнението и неговите корени; задълбочаване на уменията за прилагане на свойствата при решаване на уравнения.

Развиващи се. Продължете формирането на елементи на алгоритмична култура, развийте логическото мислене, паметта, формирайте компетентна математическа реч, способността за анализиране и самооценка.

Образователни . Да продължи формирането на общителност, толерантност, отговорност към своите преценки.

Предвидени студентски цели: запомнете от 6 клас решението на уравнения, използвайки свойства; разбере връзката между вида на най-простото уравнение и неговия корен, научете как да решавате еквивалентни уравнения.

Технически средства за обучение : мултимедиен проектор, разпечатки.

По време на занятията

Организация на началото на урока.

Поставяне на цели.

2. Математически диктовка

Завършете изречението: „Изразът 2x – 5 е…“ (буква/цифрово)

Числовият израз е запис, състоящ се от ________________________________________________________________

Алгебричният израз е запис, състоящ се от ________________________________________________________________

Направете израз според условието на задачата: „Молив струва х рубли, а тетрадката струва 25 рубли. Колко струват 3 молива и 1 тетрадка? (3x + 25 / x + +225)

Решете уравнението

5x - 4 = 6

(x=2)

Задачите, дадени в квадратни скоби, са за втория вариант.

3. Съобщение на темата на урока.

Коя беше последната задача в диктовката? (Решете уравнението).

Започнахте да се учите да решавате уравнения в началното училище. Срещнахме тази тема в 5 и 6 клас, като всеки път научавахме нещо ново за уравненията. Задачата на днешния ни урок е да обобщим и систематизираме знанията за уравненията.

4. Усвояване на нов материал (с помощта на компютърна презентация).

– Отворете тетрадките и запишете темата на нашия урок „Уравнение и неговите корени“. (Слайд 1)

– Нека се опитаме да дефинираме уравнението. Какво е? (Слайд 2)

Уравнение, съдържащо променлива, се нарича уравнение с една променлива или уравнение с една неизвестна.

3) Имайки предвид дефиницията на уравнение, определете дали даденият запис е уравнение:

а) х + 2 = 1,3;

б) 3y - 4;

в) х = - 8,1;

г) 16 * 5 - 8 = 72;

д) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Слайд 3)

Децата обясняват отговорите си, като подчертават дали записът е равенство и дали съдържа променлива.

4) - Моля, запомнете какво се нарича корен на уравнението.

Коренът на уравнението е стойността на променливата, при която уравнението се превръща в истинско равенство.

Нека проверим вашите отговори. (Слайд 4)

5) - Как да разберем дали дадено число е корен на уравнение или не? (Необходимо е да замените числото в уравнението вместо променливата, вижте дали уравнението се превръща в правилно равенство или не.)

Разберете дали числото 2 е коренът на уравнението:

а) 4 + 3x = 10;

б) (x - 5) (x + 1) = 11;

в) 6 (3x - 1) = 12x + 6. (Слайд 5)

Учениците включват числото 2 във всяко уравнение, за да видят дали това прави даденото уравнение правилното. Направете правилното заключение.

6) - Следващата задача ще бъде изпълнена писмено.

Определете кои от числата - 2, - 1, 0, 2, 3 са корен на уравнението x2 + 3x \u003d 10. (Слайд 6)

Задачата се изпълнява от учениците в тетрадка. Някои ученици се редуват да пишат на черната дъска.

Пример за изпълнение на задача:

Коренът на уравнението е x2 + 3x = 10 число

а) -2 не е, тъй като (-2)2 + 3 * (-2) \u003d 4 - 6 \u003d - 2 и -2 10;

б) - 1 не е, тъй като (- 1) 2 + 3 * (- 1) \u003d 1 - 3 \u003d -2 и - 2 10;

в) 0 не е, тъй като 02 + 3 * 0 = 0, а 0 е 10;

г) 2 е, тъй като 22 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10 и 10 = 10;

д) 3 не е, тъй като 32 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 е 10.

7) Физ. пауза.

А сега да си починем малко. Седнете удобно.

Начертайте триъгълник с очите си.

Сега го обърнете

Отгоре надолу.

И пак с очите

Водиш по периметъра.

Начертайте вертикално осмица.

Не обръщайте главата си

Но с внимателни очи

Вие сте по линията на водата.

И го сложете отстрани.

Сега следвайте хоризонтално

И спрете в центъра.

Затворете добре очи, не бъдете мързеливи.

Най-накрая отваряме очи

Зареждането приключи.

Много добре!

Опитайте се сами да съставите уравнение, чийто корен ще бъде числото 3. (Слайд 7)

След като изпълнят задачата самостоятелно, някои ученици четат получените уравнения, класът определя дали задачата е изпълнена правилно.

9) Какво според вас означава да се реши уравнението?

Решаването на уравнение означава намиране на неговите корени или доказване, че няма корени. (Слайд 8)

10) - Кое от тези уравнения няма корени:

а) 3x = 5x;

б) 4(x + 1) = 4x + 7;

в) 3x + 12 = 3(x + 4). (Слайд 9)

Децата дават отговори, като ги обосновават.

11) - Какво се нарича модул на число?

Какъв е модулът на положително число?

Нулев модул? Отрицателно число?

Може ли абсолютната стойност на число да бъде отрицателна?

Какво мислите, тези уравнения имат ли корени и ако да, колко:

а) l x l \u003d 7;

б) l x l \u003d 0;

в) l x l \u003d - 1;

г) l x l = 2,5. (Слайд 10)

12) - Днес се запознаваме с една нова концепция за вас - товаеквивалентно уравнение . Опитайте се да познаете кои уравнения се наричат еквивалентни.

Уравнения, които имат еднакви корени, се наричат еквивалентни уравнения. (Слайд 11)

13) - Кое уравнение е еквивалентно на уравнението 3x - 10 = 50? (Слайд 12)

Учениците пишат уравнения, които са еквивалентни на даденото, записват ги в тетрадка, някои от съставените от тях уравнения се четат и обсъждат от класа.

14) - При решаване на уравнения се използват свойствата, които научихме в 6 клас. Нека си ги припомним. (Слайд 13)

1) Ако в уравнението прехвърлим члена от една част в друга, променяйки знака му на противоположния, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

2) Ако и двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, различно от нула, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото.

15) - Заменете уравненията с еквивалентни уравнения с целочислени коефициенти:

а) 0,1x = - 5;

б) - 0,19 y = 3;

в) - 0,7x = - 4,9. (Слайд 14)

Заменете уравненията с еквивалентни уравнения от вида ax = b:

а) 8x + 15 = 39;

б) 16 - 2x \u003d 10. (Слайд 15)

5. Обобщаване на урока. (Слайд 16)

Дефинирайте уравнение с една променлива.

Какъв е коренът на уравнение?

Всички уравнения имат ли корени?

Какво означава да се реши уравнение?

Кои уравнения се наричат еквивалентни?

Назовете свойствата, които се използват при решаването на уравнения.

Домашна работа.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В предложеното видео говорим за концепцията за уравнение и неговите корени. Като начало се разглежда проблемът с гъските. В задачата ято гъски отговаря на гъската, че ако имаше толкова много от тях, колкото са сега, и дори толкова, и дори половин дузина, и дори една четвърт толкова, и дори той, тогава щеше да има сто гъски. Въпрос: Колко гъски има в стадо?

Неизвестният брой гъски в стадото беше обозначен с X.

В резултат получаваме: X + X + 1/2X + 1/4X + 1 = 100.

В това равенство има неизвестна величина X, чиято стойност търсим. Можем да намерим тази стойност от уравнението, което съставихме. Такива равенства се наричат уравнения с една променлива или уравнения с една неизвестна.

Желаното неизвестно количество обикновено се обозначава с буквата X, въпреки че може да се обозначи с всяка буква. За първи път неизвестна величина е обозначена с буква и направено изрично уравнение с неизвестното от древногръцкия математик Диофант в неговия труд Аритметика.

Във формулираното уравнение е необходимо да се намери такава стойност на променливата, която превръща уравнението в правилно числово равенство. Тази стойност на неизвестното се нарича корен на уравнението.

Заключаваме, че коренът на уравнението е стойността на променливата, която превръща уравнението в истинско числово равенство. Да се реши уравнение означава да се намери множеството от неговите корени, чийто брой може да бъде различен. Може да има един корен, може да има няколко, а може и да няма нито един. В крайна сметка, за да се реши едно уравнение, е необходимо да се определят всичките му корени или да се уверите, че уравнението няма корени.

Броят на корените на уравнението може да бъде различен в зависимост от вида на уравнението. В някои случаи броят може да бъде безкраен или равен на нула. За убедителност авторът предлага да се разгледат примери за уравнения, които имат различен брой корени. Това са уравненията X + 1 = 6, (X - 1) (X - 5) (X - 8) = 0, X = X + 4, 3 (X + 5) \u003d 3X + 15. В първият случай, коренът е един, така че веднага щом в случая, когато X = 5, уравнението става правилно числово равенство 6 = 6. Второто уравнение има три корена. Това са числата 1, 5, 8. Именно с тези стойности на променливата изразите в скобите на свой ред приемат стойност 0. Когато се умножи по 0, целият израз става равен на 0. Получаваме равенството 0 = 0. Третото уравнение няма корени, тъй като за всяка стойност на X дясната страна приема стойност, по-голяма от лявата. Четвъртото уравнение от своя страна има безкраен брой корени поради прилагането на асоциативното свойство на умножението. След отваряне на скобите, лявата и дясната страна на уравнението имат еднакъв вид: 3X + 15 = 3X = 15.

Освен това авторът въвежда понятието за допустими стойности на неизвестното. За това се разглеждат уравненията 17 - 3X = 2X - 2 и (25 - X) / (X - 2) \u003d X + 9. Ако в първия случай неизвестният X може да приеме всякакви стойности, то във втория случай при X = 2 получаваме деление на 0 Следователно стойностите на променливата, които могат да бъдат заместени в уравнението в първия случай, са всички числа, а във втория - всички числа с изключение на 2.

Областта на уравнението е набор от стойности на променливите, за които и двете страни на уравнението имат смисъл.

След това се въвежда концепцията за еквивалентност на уравненията. Разглеждат се уравненията X 2 = 36 и (X - 6) (X + 6) \u003d 0. Тези уравнения имат едни и същи корени; такива уравнения се наричат еквивалентни.

При решаване на уравнения те се заменят с еквивалентни уравнения, но по-прости по форма. Необходимо е да запомните някои правила за замяна на уравнение с еквивалентно уравнение. При прехвърляне на члена през знака за равенство знакът на термина се обръща. При умножение или разделяне на двете страни на уравнението на едно и също число, което не е равно на 0, уравнението остава еквивалентно. Можете да извършвате идентични трансформации, стига те да не засягат областта на уравнението.

\(2x+1=x+4\) намираме отговора: \(x=3\). Ако замените тройка вместо х, получавате същите стойности на ляво и дясно:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

И никое друго число, освен тройното, няма да ни даде такова равенство. Следователно числото \(3\) е единственият корен на уравнението.

Още веднъж: коренът НЕ е X!x е променлива , а коренът е число , което превръща уравнението в истинско равенство (в примера по-горе - тройка). И когато решаваме уравнения, ние търсим това неизвестно число (или числа).

Пример : Дали \(5\) е коренът на уравнението \(x^(2)-2x-15=0\)?
Решение : Заместете \(5\) за x:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

От двете страни на равни - една и съща стойност (нула), така че 5 наистина е корен.

Mathak: на контролата по този начин можете да проверите дали сте намерили правилно корените.

Пример : Кое от числата \(0, \pm1, \pm2\), е коренът на \(2x^(2)+15x+22=0\)?
Решение : Нека проверим всяко от числата чрез заместване:

проверете \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) - не съвпада, така че \(0\) не съвпада

проверете \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) - отново не съвпада, тоест \(1\) също не е корен

проверете \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) - отново равенството е грешно, \(-1\)също от

проверете \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - отново грешно, \(2\) също не работи

проверете \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) - сближи, така че \(-2\) е коренът на уравнението

Очевидно е, че решаването на уравнения чрез изброяване на всички възможни стойности е лудост, защото има безкрайно много числа. Затова бяха разработени специални методи за намиране на корени. Така, например, за само един е достатъчен, за - вече използвани формули и т.н. Всеки тип уравнения има свой собствен метод.

Отговори на често задавани въпроси

въпрос: Може ли коренът на уравнението да бъде нула?
Отговор: Разбира се. Например, уравнението \(3x=0\) има един корен - нула. Можете да проверите чрез замяна.

въпрос: Кога в уравнението няма корени?
Отговор: Едно уравнение може да няма корени, ако няма стойности за x, които биха направили уравнението истинско равенство. Поразителен пример тук е уравнението \(0\cdot x=5\). Това уравнение няма корени, тъй като стойността на x не играе роля тук (поради умножение по нула) - така или иначе лявата страна винаги ще бъде равна на нула. Нулата не е равна на пет. Така че няма корени.

въпрос: Как да напишем уравнение, така че коренът на това уравнение да е равен на някакво дадено число (например три)?
Отговор: ще се появи по-късно.

въпрос: Какво означава "намерете най-малкия корен на уравнението"?
Отговор: Това означава, че трябва да решите уравнението и в отговор да посочите неговия по-малък корен. Например, уравнението \(x^2-5x-6=0\) има два корена: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Най-малък корен: \(-1\). Тук също трябва да бъде записано в отговора. Ако питате за по-голям корен, тогава ще трябва да напишете \(6\).

Назад напред

Внимание! Предварителният преглед на слайда е само за информационни цели и може да не представлява пълния обхват на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

цели:

обобщават и систематизират знанията по темата “Уравнения”;
да насърчава развитието на логическото мислене и речта на учениците.

Технически средства за обучение:мултимедиен проектор.

По време на занятията

1. Домашна работа:т.6, бр.113, 117, 120.

2. Математически диктовка(под чертежа).

Децата взимат диктовки, разменят си тетрадки, проверяват си работата. Отговорите се проектират на дъската.

3. Съобщение на темата на урока.

Коя беше последната задача в диктовката? (Решете уравнението).

4. Усвояване на нов материал(с помощта на компютърна презентация).

1) - Запишете темата на нашия урок „Уравнението и неговите корени“. (Слайд 1)

2) - Нека се опитаме да дефинираме уравнението. Какво е? (Слайд 2)

Равенство, съдържащо променлива,се нарича уравнение с една променлива или уравнение с една неизвестна.

3) Имайки предвид дефиницията на уравнение, определете дали даденият запис е уравнение:

а) х + 2 = 1,3;

г) 16 * 5 - 8 = 72;

д) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Слайд 3)

Децата обясняват отговорите си, като подчертават дали записът е равенство и дали съдържа променлива.

4) - Моля, запомнете какво се нарича корен на уравнението.

Коренът на уравнениетое стойността на променливата, при която уравнението се превръща в истинско равенство.

Нека проверим вашите отговори. (Слайд 4)

5) - Как да разберем дали дадено число е корен на уравнение или не? (Трябва да замените число в уравнението вместо променлива, вижте дали това превръща уравнението в правилното равенство или не.)

Разберете дали числото 2 е коренът на уравнението:

а) 4 + 3x = 10;

б) (x - 5) (x + 1) = 11;

в) 6 (3x - 1) = 12x + 6. (Слайд 5)

6) - Следващата задача ще бъде изпълнена писмено.

Определете кои от числата - 2, - 1, 0, 2, 3 са корен на уравнението x 2 + 3x \u003d 10. (Слайд 6)

Задачата се изпълнява от учениците в тетрадка. Някои ученици се редуват да пишат на черната дъска.

Пример за изпълнение на задача:

Коренът на уравнението е x 2 + 3x = 10 число

а) -2 не е, тъй като (-2) 2 + 3 * (-2) \u003d 4 - 6 \u003d - 2 и -2 10;

б) - 1 не е, тъй като (- 1) 2 + 3 * (- 1) \u003d 1 - 3 \u003d -2 и - 2 10;

в) 0 не е, тъй като 0 2 + 3 * 0 = 0 и 0 10;

г) 2 е, тъй като 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10 и 10 = 10;

д) 3 не е, тъй като 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 е 10.

7) Физ. пауза.

А сега да си починем малко. Седнете удобно.

1. Правим вертикални движения на очите нагоре и надолу.

2. Хоризонтални движения на очите надясно - наляво.

3. „Да начертаем линия с очите си” (на плаката са показани няколко линии, децата „водят” по тях с очи от точка до точка).

Следните упражнения се изпълняват в изправено положение.

4. - Първо повдигаме дясното рамо нагоре, после лявото, спускаме първо дясното рамо, после лявото. Така че продължаваме последователно.

5. „Изпускаме ръцете си.“

6. „Отърсете водата от ръцете“.