Нека започнем да изучаваме темата Неопределен интеграл", а също така анализира подробно примери за решения на най-простите (и не съвсем) интеграли. Както обикновено, ще се ограничим до минималната теория, която има в много учебници, нашата задача е да се научим как да решаваме интеграли.
Какво трябва да знаете, за да усвоите успешно материала? За да се справите с интегралното смятане, трябва да можете да намирате производни, поне на средно ниво. Няма да е излишен опит, ако зад гърба си имате няколко десетки или по-добре стотици независимо намерени производни. Най-малкото не трябва да се обърквате от задачата да разграничите най-простите и най-често срещаните функции.
Изглежда, къде изобщо са производните, ако говорим за интеграли в статията?! И ето какво става. Факт е, че намирането на производни и намирането на неопределени интеграли (диференциране и интегриране) са две взаимно обратни действия, като събиране / изваждане или умножение / деление. По този начин, без умение и някакъв опит в намирането на производни, за съжаление, човек не може да напредне по-нататък.
В тази връзка ще ни трябват следните методически материали: Таблица на производнитеи Таблица на интегралите.
Каква е трудността при изучаването на неопределени интеграли? Ако в производните има строго 5 правила за диференциране, таблица с производни и доста ясен алгоритъм на действията, тогава в интегралите всичко е различно. Има десетки методи и техники за интеграция. И ако методът на интегриране първоначално е избран неправилно (тоест не знаете как да го решите), тогава интегралът може буквално да бъде „убоден“ буквално дни, като истински ребус, опитвайки се да забележите различни трикове и трикове . Някои дори го харесват.
Между другото, доста често чухме от студенти (не хуманитаристи) мнение от рода на: „Никога не съм имал интерес да решавам границата или производната, но интегралите са съвсем различен въпрос, вълнуващо е, винаги има желание да „пропукаш „комплексен интеграл”. Спри се. Стига черен хумор, нека да преминем към тези много неопределени интеграли.
Тъй като има много начини за решаване, тогава откъде един чайник започва да изучава неопределени интеграли? В интегралното смятане, според нас, има три стълба или един вид „ос“, около която се върти всичко останало. На първо място, трябва да имате добро разбиране на най-простите интеграли (тази статия).
След това трябва да разработите урока в детайли. ТОВА Е НАЙ-ВАЖНИЯТ ПРИЕМ! Може би дори най-важната статия от всички статии, посветени на интегралите. И трето, не забравяйте да прочетете интегриране по части, тъй като интегрира широк клас функции. Ако овладеете поне тези три урока, тогава вече има „не два“. Може да ти бъде простено, че не знаеш интеграли от тригонометрични функции, интеграли от дроби, интеграли от дробни рационални функции, интеграли от ирационални функции (корени), но ако „попаднете в локва“ при метода за подмяна или метода на интегриране по части, тогава ще бъде много, много лошо.
И така, нека започнем просто. Нека да разгледаме таблицата на интегралите. Както при производните, забелязваме няколко правила за интегриране и таблица с интеграли на някои елементарни функции. Всеки табличен интеграл (и всъщност всеки неопределен интеграл) има формата:
Нека да преминем направо към обозначенията и термините:
- интегрална икона.
- интегрална функция (изписана с буквата "s").
– икона на диференциала. Какво е това, ще разгледаме съвсем скоро. Основното е, че когато пишете интеграла и по време на решението, е важно да не загубите тази икона. Ще има забележим недостатък.
е интегралната функция или "пълнеж" на интеграла.
– антидериватфункция.
– . Няма нужда да се натоварвате силно с термини, най-важното тук е, че във всеки неопределен интеграл към отговора се добавя константа.
Да се реши неопределен интеграл означава да се намеринабор от антипроизводни функцииот дадения интеграл
Нека отново да разгледаме записа:
Нека да разгледаме таблицата на интегралите.
Какво се случва? Нашите леви части се обръщаткъм други функции: .
Нека опростим нашата дефиниция:
Решете неопределения интеграл - означава да го ПРЕВЪРНЕТЕ в неопределена (до постоянна) функция , използвайки някои правила, техники и таблица.
Вземете например интеграла на таблицата 
. Какво стана? Символичният запис се превърна в набор от антипроизводни функции.
Както в случая с производните, за да се научите как да намирате интеграли, не е необходимо да сте наясно какво е интеграл или антипроизводна функция от теоретична гледна точка. Достатъчно е просто да се извършват трансформации по някакви формални правила. Така че в случай изобщо не е необходимо да се разбира защо интегралът се превръща в точно. Можете да приемете тази и други формули за даденост. Всеки използва електричество, но малко хора се замислят как електроните се движат по проводниците.
Тъй като диференцирането и интегрирането са противоположни операции, за всяка антипроизводна, която е намерена правилно, е вярно следното:
С други думи, ако се диференцира правилният отговор, тогава трябва да се получи оригиналният интеграл.
Нека се върнем към същия интеграл на таблицата .
Нека проверим валидността на тази формула. Вземаме производната на дясната страна:
е оригиналната интегрална функция.
Между другото, стана по-ясно защо константа винаги се приписва на функция. При диференциране константата винаги се превръща в нула.
Решете неопределения интегралозначава да намериш Много всичкоантипроизводни, а не някаква отделна функция. В разглеждания табличен пример, , , , и т.н. - всички тези функции са решението на интеграла . Има безкрайно много решения, така че те пишат накратко:
По този начин всеки неопределен интеграл е достатъчно лесен за проверка. Това е известна компенсация за голям брой интеграли от различни видове.
Нека да преминем към конкретни примери. Нека започнем, както при изследването на производната, с две правила за интегриране:
- постоянно ° Сможе (и трябва) да бъде извадено от интегралния знак.
– интегралът от сбора (разликата) на две функции е равен на сбора (разликата) от два интеграла. Това правило е валидно за произволен брой термини.
Както можете да видите, правилата са по същество същите като за деривати. Понякога се наричат свойства на линейностинтегрална.
Пример 1
Намерете неопределения интеграл.
.
Извършете проверка.
Решение:По-удобно е да го конвертирате като.
(1) Прилагане на правилото . Не забравяйте да запишете иконата на диференциала dxпод всеки интеграл. Защо под всеки? dxе пълен множител.Ако рисувате подробно, тогава първата стъпка трябва да бъде написана, както следва:
.
(2) Съгласно правилото изваждаме всички константи от знаците на интегралите. Имайте предвид, че в последния мандат tg 5 е константа, ние също го изваждаме.
Освен това на тази стъпка подготвяме корените и степените за интегриране. По същия начин, както при диференциацията, корените трябва да бъдат представени във формата . Корените и степените, които се намират в знаменателя - се движат нагоре.
Забележка:за разлика от производните, корените в интегралите не винаги трябва да се свеждат до формата , и преместете градусите нагоре.
Например, - това е готов табличен интеграл, който вече е изчислен преди вас, и всякакви китайски трикове като 
напълно ненужни. По същия начин: - това също е табличен интеграл, няма смисъл да представяме дроб във формата . Проучете внимателно таблицата!
(3) Всички интеграли са таблични. Извършваме трансформацията с помощта на таблицата, използвайки формулите: 
, и
за мощностна функция - 
.
Трябва да се отбележи, че интегралът на таблицата е специален случай на формулата за степенна функция: 
.
Постоянна° С просто го добавете веднъж в края на израза
(вместо да ги поставяме след всеки интеграл).
(4) Записваме получения резултат в по-компактен вид, когато всички степени на формата
отново се представят като корени и степените с отрицателен показател се връщат обратно към знаменателя.
Преглед. За да извършите проверката, трябва да разграничите получения отговор:
Първоначално интегрална функция, т.е. интегралът е намерен правилно. От това, което танцуваха, към това се върнаха. Хубаво е, когато историята с интеграла свърши просто така.
От време на време има малко по-различен подход за проверка на неопределения интеграл, когато не производната, а диференциалът се взема от отговора:
.
В резултат на това получаваме не интегрална функция, а интегрална функция.
Не се страхувайте от концепцията за диференциал.
Диференциалът е производната, умножена по dx.
За нас обаче не са важни теоретичните тънкости, а какво да правим по-нататък с този диференциал. Диференциалът се разкрива, както следва: икона д премахнете, поставете черта вдясно над скобата, задайте множител в края на израза dx :
Получен оригинал интегрална функция, тоест интегралът е намерен правилно.
Както можете да видите, диференциалът се свежда до намирането на производната. По-малко харесвам втория начин за проверка, тъй като трябва допълнително да начертая големи скоби и да плъзгам иконата на диференциала dx до края на теста. Въпреки че е по-правилно, или "по-солидно", или нещо подобно.
Всъщност беше възможно да се премълчи за втория метод за проверка. Въпросът не е в метода, а във факта, че сме се научили да отваряме диференциала. Отново.
Разликата се разкрива, както следва:
1) икона дПремахване;
2) поставете черта вдясно над скобата (означението на производната);
3) в края на израза присвояваме фактор dx .
Например:
Запомни това. Обмислената техника ще ни трябва много скоро.
Пример 2
.
Когато намерим неопределен интеграл, ВИНАГИ се опитваме да проверимОсвен това има страхотна възможност за това. Не всички видове задачи във висшата математика са дар от тази гледна точка. Няма значение, че проверката често не се изисква при контролни задачи, никой и нищо не пречи да се извърши на чернова. Изключение може да се направи само когато няма достатъчно време (например на тест, изпит). Лично аз винаги проверявам интегралите и смятам липсата на проверка за хак и лошо изпълнена задача.
Пример 3
Намерете неопределения интеграл:
. Извършете проверка.
Решение: Анализирайки интеграла, виждаме, че под интеграла имаме произведението на две функции и дори степенуването на целия израз. За съжаление, в полето на интегралната битка Недобър и удобен формули за интегриране на продукта и частнотокато: 
или 
.
Следователно, когато е дадено произведение или частно, винаги има смисъл да се види дали е възможно да се трансформира интегралната функция в сума? Разгледания пример е случаят, когато е възможно.
Първо, ние даваме цялостното решение, коментарите ще бъдат по-долу.
Първоначално интегрална функция, което означава, че интегралът е намерен правилно.
По време на проверката винаги е желателно функцията да се „опакова” в оригиналния й вид, като в този случай се изваждат скоби и се прилага съкратената формула за умножение в обратна посока: .
Пример 4
Намерете неопределения интеграл
Извършете проверка.
Това е пример за самостоятелно решаване. Отговор и пълно решение в края на урока.
Пример 5
Намерете неопределения интеграл
. Извършете проверка.
В този пример интегралната функция е дроб. Когато видим дроб в интегранта, първата мисъл трябва да бъде въпросът: „Възможно ли е някак да се отървем от тази дроб или поне да я опростим?“.
Забелязваме, че знаменателят съдържа самотен корен от "x". Един в полето не е воин, което означава, че можете да разделите числителя на член по член на знаменателя:
Не коментираме действия с дробни степени, тъй като те многократно са обсъждани в статии за производната на функция.
Ако все още сте объркани от такъв пример като
и никой не получава правилния отговор,
Също така имайте предвид, че решението пропуска една стъпка, а именно прилагане на правилата , . Обикновено, с известен опит в решаването на интеграли, тези правила се считат за очевиден факт и не са описани подробно.
Пример 6
Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.
Това е пример за самостоятелно решаване. Отговор и пълно решение в края на урока.
В общия случай с дроби в интеграли всичко не е толкова просто, допълнителен материал за интегрирането на дроби от някои видове може да се намери в статията: Интегриране на някои дроби. Но преди да преминете към горната статия, трябва да прочетете урока: Метод на заместване в неопределен интеграл. Факт е, че сумирането на функция под диференциален или променлив метод за промяна е ключова точкав изучаването на темата, тъй като се среща не само "в чисти задачи за метода на заместване", но и в много други разновидности на интеграли.
Решения и отговори:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
В този пример използвахме формулата за намалено умножение
Пример 6: Решение:
Интеграли онлайн към сайта за консолидиране на материала, обхванат от студенти и ученици. Всеки път, веднага щом започнете да решавате интеграла, трябва да идентифицирате неговия тип, без това не можете да използвате никакъв метод, освен неговия табличен. Не всеки интеграл на таблицата е ясно видим от даден пример, понякога трябва да трансформирате оригиналната функция, за да намерите антипроизводната. На практика решението на интегралите се свежда до тълкуване на проблема за намиране на оригинала, тоест антипроизводната от безкрайно семейство функции, но ако са дадени границите на интегриране, тогава според формулата на Нютон-Лайбниц остава само една единствена функция, към която ще трябва да се приложат изчисления. Неформално онлайн интегралът е областта между графиката на функцията и оста x в рамките на интеграцията. Нека изчислим комплексния интеграл върху една променлива и да свържем неговия отговор с по-нататъшното решение на задачата. Можете, както се казва, директно да го намерите от интегрираното. Според основната теорема на анализа, интегрирането е обратната операция на диференцирането, която помага за решаването на диференциални уравнения. Има няколко различни дефиниции на операцията на интеграция, които се различават в технически детайли. Всички те обаче са съвместими, тоест всеки два метода на интеграция, ако могат да бъдат приложени към дадена функция, ще дадат същия резултат. Най-простият е интегралът на Риман - той е определен интеграл или неопределен интеграл. Неформално, интегралът от една променлива може да бъде въведен като площ под графиката (фигурата, затворена между графиката на функцията и оста x). Опитвайки се да намерим тази област, може да се разгледат фигури, състоящи се от редица вертикални правоъгълници, чиито основи заедно образуват интегриращ сегмент и се получават чрез разделяне на сегмента на съответния брой малки сегменти. Калкулаторът решава интеграли с описание на действията подробно и безплатно! Онлайн неопределеният интеграл за функция е съвкупността от всички първопроизводни на дадената функция. Ако функцията е дефинирана и непрекъсната на интервал, тогава тя има антипроизводна функция (или семейство от антипроизводни). По-добре е внимателно да подхождате към този въпрос и да изпитате вътрешно удовлетворение от свършената работа. Но изчисляването на интеграла по начин, различен от класическия, понякога води до неочаквани резултати и това не бива да се учудва. Доволен от факта, че това ще има положително въздействие върху случващото се. Списък на определени интеграли и неопределени интеграли с пълно подробно решение стъпка по стъпка. Намирането на неопределен интеграл онлайн е много често срещана задача във висшата математика и други технически клонове на науката. Основни методи на интеграция. Помислете за завършените сгради, преди да бъдат открити грешки. Решаване на интеграли онлайн - ще получите подробно решение за различни видове интеграли: неопределени, определени, неправилни. Интегралът от функция е аналогичен на сумата от последователност. Неформално казано, определен интеграл е площта на част от графиката на функция. Често такъв интеграл определя колко тялото е по-тежко от обект със същата плътност в сравнение с него и няма значение каква е формата му, тъй като повърхността не абсорбира вода. Всеки студент знае как да намери интеграла онлайн. На базата на училищната програма този раздел по математика също се изучава, но не подробно, а само основите на толкова сложна и важна тема. В повечето случаи студентите започват да изучават интеграли с обширна теория, която също е предшествана от важни теми, като производната и пасажите до предела – те също са граници. Решаването на интегралите постепенно започва с най-елементарните примери от прости функции и завършва с използването на много подходи и правила, предложени през миналия век и дори много по-рано. Интегралното смятане е с проучвателен характер в лицеите и училищата, тоест в средните учебни заведения. Нашият сайт винаги ще ви помага и решаването на интеграли онлайн ще се превърне в обикновена и най-важното, разбираема задача за вас. Въз основа на този ресурс можете лесно да постигнете съвършенство в този математически раздел. Разбирайки стъпка по стъпка изучаваните правила, например, като интегриране, по части или прилагане на метода на Чебишев, можете лесно да решите всеки тест за максимален брой точки. И така, как все пак можем да изчислим интеграла, използвайки таблицата на интегралите, известна на всички, но по такъв начин, че решението да е правилно, правилно и с възможно най-точния отговор? Как да се научи това и възможно ли е обикновен първокурсник да го направи в най-кратки срокове? На този въпрос отговаряме утвърдително - възможно е! В този случай не само ще можете да решите всеки пример, но и да достигнете нивото на инженер от висок клас. Тайната е толкова проста, колкото винаги - трябва да положите максимални усилия, да отделите необходимото време за самоподготовка. За съжаление, все още никой не е измислил различен начин! Но не всичко е толкова облачно, колкото изглежда на пръв поглед. Ако се обърнете към услугата на нашия сайт с този въпрос, тогава ние ще улесним живота ви, защото нашият сайт може да изчисли интегралите онлайн в детайли, с много висока скорост и с безупречно точен отговор. В основата си интегралът не определя как съотношението на аргументите влияе върху стабилността на системата като цяло. Механичният смисъл на интеграла се крие в много приложни задачи, това е определянето на обема на телата и изчисляването на телесната маса. Тройни и двойни интеграли участват точно в тези изчисления. Настояваме онлайн интегралите да се решават само под наблюдението на опитни преподаватели и чрез множество проверки.Често ни питат за напредъка на студентите, които не ходят на лекции, пропускат ги без причина, как успяват сами да намерят интеграла. Отговаряме, че студентите са свободни хора и може да се обучават външно, подготвяйки се за тест или изпит в удобни домашни условия. За броени секунди нашата услуга ще помогне на всеки, който иска да изчисли интеграла на дадена функция по отношение на променлива. Проверете получения резултат, като вземете производната на антипроизводната функция. В този случай константата от решението на интеграла изчезва. Това правило очевидно е за всички. Няма много такива сайтове, които дават стъпка по стъпка отговор за секунди и най-важното с висока точност и в удобна форма. Но не бива да забравяме как е възможно да се намери интеграла с помощта на готова услуга, изпитана във времето и тествана върху хиляди решени примери онлайн.
Сложни интеграли
Тази статия завършва темата за неопределените интеграли и включва интеграли, които смятам за доста трудни. Урокът е създаден по многократна молба на посетители, изразили желание в сайта да бъдат анализирани по-трудни примери.
Предполага се, че читателят на този текст е добре подготвен и знае как да прилага основните техники на интеграция. Манекени и хора, които не са много уверени в интегралите, трябва да се обърнат към първия урок - Неопределен интеграл. Примери за решениекъдето можете да научите темата почти от нулата. По-опитните студенти могат да се запознаят с техниките и методите на интеграция, които все още не са срещали в моите статии.
Какви интеграли ще бъдат разгледани?
Първо разглеждаме интеграли с корени, за решението на които последователно използваме променлива замянаи интегриране по части. Тоест в един пример два метода са комбинирани наведнъж. И дори повече.
След това ще се запознаем с интересен и оригинален метод за редуциране на интеграла към себе си. Не толкова малко интеграли се решават по този начин.
Третият номер на програмата ще бъдат интеграли от сложни дроби, които прелетяха покрай касата в предишни статии.
Четвърто, ще бъдат анализирани допълнителни интеграли от тригонометрични функции. По-специално, има методи, които избягват отнемащото време универсално тригонометрично заместване.
(2) В интегралната функция разделяме числителя на знаменателя, член по член.
(3) Използваме свойството на линейност на неопределения интеграл. В последния интеграл, веднага привеждане на функцията под знака на диференциала.
(4) Вземаме останалите интеграли. Имайте предвид, че можете да използвате скоби в логаритъма, а не в модула, защото .
(5) Извършваме обратното заместване, изразявайки от прякото заместване "te":
Студентите-мазохисти могат да разграничат отговора и да получат оригиналния интегран, както току-що направих. Не, не, направих проверката в правилния смисъл =)
Както можете да видите, в хода на решението трябваше да се използват дори повече от два метода за решаване, така че за да се справите с такива интеграли, се нуждаете от уверени умения за интегриране и не на последно място опит.
На практика, разбира се, квадратният корен е по-често срещан, ето три примера за независимо решение:
Пример 2
Намерете неопределения интеграл
Пример 3
Намерете неопределения интеграл
Пример 4
Намерете неопределения интеграл
Тези примери са от същия тип, така че пълното решение в края на статията ще бъде само за Пример 2, в Примери 3-4 - един отговор. Коя замяна да използвате в началото на решенията, мисля, че е очевидно. Защо избрах същия тип примери? Често се срещат в техните роли. По-често, може би, просто нещо подобно 
.
Но не винаги, когато коренът на линейна функция е под дъговата тангенс, синус, косинус, експонента и други функции, трябва да се прилагат няколко метода наведнъж. В редица случаи е възможно да се „сляза лесно“, тоест веднага след подмяната се получава прост интеграл, който се взема елементарно. Най-лесната от предложените по-горе задачи е Пример 4, в който след замяната се получава относително прост интеграл.
Методът за редуциране на интеграла към себе си
Умен и красив метод. Нека да разгледаме класиката на жанра:
Пример 5
Намерете неопределения интеграл
Под корена има квадратен бином и когато се опитвате да интегрирате този пример, чайникът може да страда с часове. Такъв интеграл се взема от части и се свежда до себе си. По принцип не е трудно. Ако знаете как.
Нека да обозначим разглеждания интеграл с латинска буква и да започнем решението: 
Интегриране по части: 
(1) Подготвяме интегралната функция за деление член по член.
(2) Разделяме интегралния член на член. Може би не всеки разбира, ще напиша по-подробно:
(3) Използваме свойството на линейност на неопределения интеграл.
(4) Вземаме последния интеграл („дълъг“ логаритъм).
Сега нека разгледаме самото начало на решението: 
И за края: 
Какво стана? В резултат на нашите манипулации интегралът се е свел до себе си!
Приравнете началото и края: 
Прехвърляме се от лявата страна с промяна на знака: 
И ние събаряме двойката от дясната страна. Като резултат: 
Константата, строго погледнато, трябваше да се добави по-рано, но аз я добавих накрая. Силно препоръчвам да прочетете каква е тежестта тук:
Забележка:
По-строго, крайният етап на решението изглежда така:
По този начин:
Константата може да бъде преименувана с . Защо можете да преименувате? Защото все още отнема всякаквистойности и в този смисъл няма разлика между константи и.
Като резултат:
Подобен трик с постоянно преименуване се използва широко в диференциални уравнения. И там ще бъда строг. И тук такива свободи са позволени от мен само за да не ви бъркам с ненужни неща и да се съсредоточа върху самия метод на интеграция.
Пример 6
Намерете неопределения интеграл
Друг типичен интеграл за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока. Разликата с отговора на предишния пример ще бъде!
Ако под корен квадратен има квадратен трином, то решението във всеки случай се свежда до двата анализирани примера.
Например, разгледайте интеграла 
. Всичко, което трябва да направите, е предварително изберете пълен квадрат:
.
След това се извършва линейна подмяна, която управлява "без никакви последствия":
, което води до интеграл . Нещо познато, нали?
Или този пример, с квадратен бином:
Избиране на пълен квадрат:
И след линейна замяна получаваме интеграла, който също се решава от вече разгледания алгоритъм.
Помислете за още два типични примера за това как да намалите интеграла до себе си:
е интегралът на степента, умножен по синуса;
е интегралът на степента, умножен по косинус.
В изброените интеграли по части ще трябва да интегрирате вече два пъти:
Пример 7
Намерете неопределения интеграл
Интегрантът е степента, умножена по синуса.
Интегрираме по части два пъти и намаляваме интеграла до себе си: 
В резултат на двойното интегриране по части интегралът се свежда до себе си. Приравнете началото и края на решението:
Прехвърляме се в лявата страна с промяна на знака и изразяваме нашия интеграл: 
Готов. По пътя е желателно да срешете дясната страна, т.е. извадете степента от скоби и поставете синуса и косинуса в скоби в „красив“ ред.
Сега нека се върнем към началото на примера или по-скоро към интегрирането по части: 
Защото ние определихме изложителя. Възниква въпросът, експонентът винаги трябва да се означава с ? Не е задължително. Всъщност в разглеждания интеграл фундаментално няма значение, какво да означава, може да се отиде по друг начин: 
Защо това е възможно? Тъй като степента се превръща в себе си (при диференциране и интегриране), синусът и косинусът взаимно се превръщат един в друг (отново, както при диференциране, така и при интегриране).
Тоест, тригонометричната функция също може да бъде обозначена. Но в разглеждания пример това е по-малко рационално, тъй като ще се появят дроби. Ако желаете, можете да опитате да решите този пример по втория начин, като отговорите трябва да са еднакви.
Пример 8
Намерете неопределения интеграл
Това е пример "направи си сам". Преди да решите, помислете какво е по-изгодно в този случай да определите за експоненциална или тригонометрична функция? Пълно решение и отговор в края на урока.
И, разбира се, не забравяйте, че повечето от отговорите в този урок са сравнително лесни за проверка чрез диференциране!
Примерите се смятаха за не най-трудните. На практика по-често срещани са интегралите, където константата е както в експонента, така и в аргумента на тригонометричната функция, например: . Много хора ще трябва да се объркат в такъв интеграл, а аз самият често се обърквам. Факт е, че в разтвора има голяма вероятност от появата на фракции и е много лесно да загубите нещо поради невнимание. Освен това има голяма вероятност от грешка в знаците, имайте предвид, че в степента има знак минус и това създава допълнителни затруднения.
На последния етап често се оказва нещо подобно:
Дори в края на решението трябва да бъдете изключително внимателни и правилно да се справяте с дробите: 
Интегриране на сложни дроби
Бавно се приближаваме към екватора на урока и започваме да разглеждаме интеграли от дроби. Отново, не всички от тях са супер сложни, само по една или друга причина, примерите бяха малко „не по темата“ в други статии.
Продължаване на темата за корените
Пример 9
Намерете неопределения интеграл
В знаменателя под корена има квадратен тричлен плюс извън корена "придатък" под формата на "x". Интеграл от тази форма се решава с помощта на стандартно заместване.
Ние решаваме: 
Замяната тук е проста: 
Разглеждане на живота след смяната: 
(1) След заместване свеждаме членовете под корена до общ знаменател.
(2) Изваждаме го изпод корена.
(3) Намаляваме числителя и знаменателя с . В същото време под корена пренаредих термините в удобен ред. С известен опит, стъпки (1), (2) могат да бъдат пропуснати чрез извършване на коментираните действия устно.
(4) Полученият интеграл, както си спомняте от урока Интегриране на някои дроби, е решено метод за избор на пълен квадрат. Изберете пълен квадрат.
(5) Чрез интегриране получаваме обикновен "дълъг" логаритъм.
(6) Извършваме обратната подмяна. Ако първоначално , след това обратно: .
(7) Окончателното действие е насочено към прическа на резултата: под корена отново привеждаме термините в общ знаменател и ги изваждаме изпод корена.
Пример 10
Намерете неопределения интеграл 
Това е пример "направи си сам". Тук се добавя константа към единствения x, а замяната е почти същата: 
Единственото нещо, което трябва да се направи допълнително, е да се изрази "x" от замяната: 
Пълно решение и отговор в края на урока.
Понякога в такъв интеграл може да има квадратен бином под корена, това не променя начина на решаване на решението, дори ще бъде още по-просто. Почувствай разликата:
Пример 11
Намерете неопределения интеграл
Пример 12
Намерете неопределения интеграл
Кратки решения и отговори в края на урока. Трябва да се отбележи, че Пример 11 е точно биномен интеграл, чийто метод на решение беше разгледан в урока Интеграли от ирационални функции.
Интеграл от неразложим полином от 2-ра степен до степен
(полином в знаменател)
По-рядка, но все пак срещаща се в практически примери форма на интеграла.
Пример 13
Намерете неопределения интеграл
Но да се върнем на примера с щастливото число 13 (честно казано, не се досетих). Този интеграл също е от категорията на тези, с които можете доста да страдате, ако не знаете как да решите.
Решението започва с изкуствена трансформация: 
Мисля, че всички вече разбират как да разделят числителя на знаменателя член по член.
Полученият интеграл се взема на части: 
За интеграл от формата ( е естествено число), ние сме извели повтарящи сеформула за понижаване:
, където 
е интеграл от по-ниска степен.
Нека проверим валидността на тази формула за решения интеграл.
В този случай: , , ние използваме формулата: 
Както виждате, отговорите са едни и същи.
Пример 14
Намерете неопределения интеграл
Това е пример "направи си сам". Разтворът на пробата използва горната формула два пъти последователно.
Ако под степента е неразложимквадратен трином, тогава решението се редуцира до бином чрез извличане на пълния квадрат, например:
Ами ако има допълнителен полином в числителя? В този случай се използва методът на неопределените коефициенти, а подинтегралната функция се разширява в сбор от дроби. Но в моята практика на такъв пример никога не се срещали, затова пропуснах този случай в статията Интеграли на дробно-рационална функция, сега ще го пропусна. Ако все пак се появи такъв интеграл, вижте учебника - там всичко е просто. Не смятам за целесъобразно да включвам материал (дори прост), вероятността за среща с който клони към нула.
Интегриране на сложни тригонометрични функции
Прилагателното "трудно" за повечето примери отново е до голяма степен условно. Нека започнем с тангенси и котангенси във високи степени. От гледна точка на методите, използвани за решаване на допирателната и котангенса, са почти еднакви, така че ще говоря повече за допирателната, което означава, че демонстрираният метод за решаване на интеграла е валиден и за котангенса.
В горния урок разгледахме универсално тригонометрично заместванеза решаване на определен тип интеграли от тригонометрични функции. Недостатъкът на универсалното тригонометрично заместване е, че неговото прилагане често води до тромави интеграли с трудни изчисления. А в някои случаи универсалното тригонометрично заместване може да бъде избегнато!
Помислете за друг каноничен пример, интегралът от единство, разделен на синуса:
Пример 17
Намерете неопределения интеграл
Тук можете да използвате универсалното тригонометрично заместване и да получите отговора, но има по-рационален начин. Ще предоставя цялостно решение с коментари за всяка стъпка:
(1) Използваме тригонометричната формула за синуса на двоен ъгъл.
(2) Извършваме изкуствено преобразуване: В знаменателя делим и умножаваме по .
(3) Съгласно добре познатата формула в знаменателя превръщаме дробта в допирателна.
(4) Подвеждаме функцията под знака на диференциала.
(5) Вземаме интеграла.
Няколко прости примера, които да решите сами:
Пример 18
Намерете неопределения интеграл
Съвет: Първата стъпка е да използвате формулата за намаляване 
и внимателно извършвайте действия, подобни на предишния пример.
Пример 19
Намерете неопределения интеграл
Е, това е много прост пример.
Пълни решения и отговори в края на урока.
Мисля, че сега никой няма да има проблеми с интегралите: 
и т.н.
Каква е идеята зад метода? Идеята е да се използват трансформации, тригонометрични формули, за да се организират само допирателните и производната на допирателната в интегралната функция. Тоест говорим за замяна на: 
. В примери 17-19 всъщност използвахме тази замяна, но интегралите бяха толкова прости, че беше направено с еквивалентно действие - подвеждане на функцията под диференциалния знак.
Подобни разсъждения, както вече споменах, могат да бъдат извършени за котангенса.
Съществува и формална предпоставка за прилагане на горното заместване:
Сборът от степени на косинус и синус е отрицателно цяло число ЧЕТНО число, например:
за интеграл, цяло число отрицателно ЧЕТНО число.
! Забележка : ако подинтегралната функция съдържа САМО синус или САМО косинус, тогава интегралът се приема четен с отрицателна нечетна степен (най-простите случаи са в примери № 17, 18).
Помислете за няколко по-смислени задачи за това правило:
Пример 20
Намерете неопределения интеграл
Сборът от градусите на синуса и косинуса: 2 - 6 = -4 - отрицателно цяло число ЧЕТНО число, което означава, че интегралът може да бъде намален до допирателни и неговата производна: 
(1) Нека преобразуваме знаменателя.
(2) Съгласно добре познатата формула получаваме .
(3) Нека преобразуваме знаменателя.
(4) Използваме формулата 
.
(5) Подвеждаме функцията под диференциалния знак.
(6) Ние извършваме подмяната. По-опитните ученици може да не извършат подмяната, но все пак е по-добре да замените допирателната с една буква - има по-малък риск от объркване.
Пример 21
Намерете неопределения интеграл
Това е пример "направи си сам".
Чакайте, шампионатните кръгове започват =)
Често в интегрираното число има "кошарка":
Пример 22
Намерете неопределения интеграл 
Този интеграл първоначално съдържа допирателна, която веднага подсказва вече позната мисъл:
Ще оставя изкуствената трансформация в самото начало и останалите стъпки без коментар, тъй като всичко вече беше казано по-горе.
Няколко креативни примера за независимо решение:
Пример 23
Намерете неопределения интеграл 
Пример 24
Намерете неопределения интеграл 
Да, в тях, разбира се, можете да намалите градусите на синуса, косинуса, да използвате универсалното тригонометрично заместване, но решението ще бъде много по-ефективно и по-кратко, ако се изтегля през тангенси. Пълно решение и отговори в края на урока
определен интеграл от непрекъсната функция е(х) на крайния интервал [ а, б] (където ) е приращението на някои от неговите антипроизводни на този сегмент. (Като цяло разбирането ще бъде значително по-лесно, ако повторите темата за неопределения интеграл) В този случай нотацията
Както може да се види на графиките по-долу (увеличението на антипроизводната функция е обозначено с ), Определеният интеграл може да бъде положителен или отрицателен.(Изчислява се като разлика между стойността на антидеривата в горната граница и стойността му в долната граница, т.е. Ф(б) - Ф(а)).
Числа аи бсе наричат съответно долна и горна граница на интегриране и интервалът [ а, б] е сегментът на интеграцията.
По този начин, ако Ф(х) е някаква антипроизводна функция за е(х), тогава, според определението,
(38)
Равенство (38) се нарича Формула на Нютон-Лайбниц . Разликата Ф(б) – Ф(а) се пише накратко така:
Следователно формулата на Нютон-Лайбниц ще бъде написана, както следва:
(39)
Нека докажем, че определеният интеграл не зависи от това коя антипроизводна на подинтегралната функция е взета при изчисляването му. Позволявам Ф(х) и F( х) са произволни първопроизводни на интегралната функция. Тъй като това са антипроизводни с една и съща функция, те се различават с постоянен член: Ф( х) = Ф(х) + ° С. Ето защо
Така се установява, че на отсечката [ а, б] инкременти на всички първопроизводни на функцията е(х) съвпада.
По този начин, за да се изчисли определеният интеграл, е необходимо да се намери произволна антипроизводна на интегралната функция, т.е. Първо трябва да намерите неопределения интеграл. Постоянна ОТ изключени от последващи изчисления. След това се прилага формулата на Нютон-Лайбниц: стойността на горната граница се замества в антипроизводната функция б , по-нататък - стойността на долната граница а и изчислете разликата F(b) - F(a) . Полученото число ще бъде определен интеграл..
В а = бприето по дефиниция
Пример 1
Решение. Нека първо намерим неопределения интеграл:
Прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц към антипроизводната
(при ОТ= 0), получаваме
Въпреки това, когато се изчислява определен интеграл, е по-добре да не се намира антипроизводната отделно, а веднага да се запише интеграла във формата (39).
Пример 2Изчислете определен интеграл
Решение. Използване на формулата
Свойства на определения интеграл
Теорема 2.Стойността на определения интеграл не зависи от обозначението на променливата за интегриране, т.е.
(40)
Позволявам Ф(х) е антипроизводно за е(х). За е(T) антипроизводната е същата функция Ф(T), в който независимата променлива е обозначена по различен начин. следователно,
Въз основа на формула (39) последното равенство означава равенство на интегралите
Теорема 3.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл, т.е.
(41)
Теорема 4.Определеният интеграл от алгебричния сбор на краен брой функции е равен на алгебричния сбор от определените интеграли на тези функции, т.е.
(42)
Теорема 5.Ако интегриращият сегмент е разделен на части, тогава определеният интеграл по целия сегмент е равен на сумата от определените интеграли по неговите части, т.е. ако
(43)
Теорема 6.При пренареждане на границите на интегриране абсолютната стойност на определения интеграл не се променя, а се променя само неговият знак, т.е.
(44)
Теорема 7(теорема за средната стойност). Определеният интеграл е равен на произведението от дължината на отсечката за интегриране и стойността на интегралната функция в някаква точка вътре в него, т.е.
(45)
Теорема 8.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната и интегралната функция е неотрицателна (положителна), то определеният интеграл също е неотрицателен (положителен), т.е. ако
Теорема 9.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната граница и функциите и са непрекъснати, тогава неравенството
може да се интегрира термин по термин, т.е.
(46)
Свойствата на определения интеграл ни позволяват да опростим директното изчисляване на интеграли.
Пример 5Изчислете определен интеграл
Използвайки теореми 4 и 3, и при намиране на антипроизводни - таблични интеграли (7) и (6), получаваме
Определен интеграл с променлива горна граница
Позволявам е(х) е непрекъснат на отсечката [ а, б] функция и Ф(х) е негов прототип. Помислете за определения интеграл
(47)
и през Tинтегриращата променлива се обозначава, за да не се бърка с горната граница. Когато се промени хопределеният интеграл (47) също се променя, т.е. тя е функция на горната граница на интегриране х, което означаваме с Ф(х), т.е.
(48)
Нека докажем, че функцията Ф(х) е антипроизводно за е(х) = е(T). Наистина, диференциране Ф(х), получаваме
защото Ф(х) е антипроизводно за е(х), а Ф(а) е постоянна стойност.
Функция Ф(х) е един от безкрайния набор от антипроизводни за е(х), а именно този, който х = аотива на нула. Това твърдение се получава, ако в равенство (48) поставим х = аи използвайте теорема 1 от предишния раздел.
Изчисляване на определени интеграли чрез метода на интегриране по части и метода на промяна на променливата
където, по дефиниция, Ф(х) е антипроизводно за е(х). Ако в интегралната функция направим промяната на променливата
тогава, в съответствие с формула (16), можем да запишем
В този израз
антидеривна функция за
Наистина, неговата производна, според правилото за диференциране на сложна функция, е равно на
Нека α и β са стойностите на променливата T, за което функцията
приема съответно стойностите аи б, т.е.
Но, според формулата на Нютон-Лайбниц, разликата Ф(б) – Ф(а) има
Ако дефинициите в учебника са твърде сложни и неразбираеми, прочетете нашата статия. Ще се опитаме да обясним възможно най-просто, „на пръсти“, основните точки на такъв раздел на математиката като определени интеграли. Как да изчислим интеграла, прочетете в това ръководство.
От геометрична гледна точка интегралът на функцията е площта на фигурата, образувана от графиката на тази функция и оста в рамките на интегрирането. Запишете интеграла, анализирайте функцията под интеграла: ако подинтегралната функция може да бъде опростена (намалете, разложете знака на интеграла, разделете на два прости интеграла), направете го. Отворете интегралната таблица, за да определите коя производна на функцията е под интеграла. Отговорът е намерен? Запишете фактора, изваден от интеграла (ако се случи), запишете функцията, намерена от таблицата, заменете границите на интеграла.
Разбира се, тук се разглеждат само най-простите версии на интегралите - определени, всъщност, има много разновидности на интеграли, те се изучават в курса на висша математика, математически анализ и диференциални уравнения в университети за студенти от технически специалности.
