ত্রিভুজ এলাকা উপপাদ্য

উপপাদ্য ঘ

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল দুই বাহুর গুণফলের অর্ধেক হয় সেই বাহুর মধ্যবর্তী কোণের সাইনের গুণ।

প্রমাণ।

আমাদের একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ $ABC$ দেওয়া যাক। আসুন এই ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে $BC=a$, $AC=b$ হিসাবে চিহ্নিত করি। আসুন একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা প্রবর্তন করি, যাতে বিন্দু $C=(0,0)$, বিন্দু $B$ ডান সেমিঅ্যাক্সিসে $Ox$, এবং বিন্দু $A$ প্রথম স্থানাঙ্ক চতুর্ভুজে থাকে। বিন্দু $A$ (চিত্র 1) থেকে $h$ উচ্চতা আঁকুন।

চিত্র 1. উপপাদ্য 1 এর চিত্র

উচ্চতা $h$ বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান $A$, তাই

সাইন উপপাদ্য

উপপাদ্য 2

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলি বিপরীত কোণের সাইনের সমানুপাতিক।

প্রমাণ।

আমাদের একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ $ABC$ দেওয়া যাক। আসুন এই ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (চিত্র 2) হিসাবে চিহ্নিত করি।

চিত্র ২.

আসুন প্রমাণ করি

উপপাদ্য 1 দ্বারা, আমরা আছে

তাদের জোড়ায় সমান করে, আমরা সেটা পাই

কোসাইন উপপাদ্য

উপপাদ্য 3

একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর বর্গ ত্রিভুজের অন্য দুটি বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান, সেই বাহুর গুণফলকে সেই বাহুর মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন গুণে দ্বিগুণ না করে।

প্রমাণ।

আমাদের একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ $ABC$ দেওয়া যাক। এর বাহুর দৈর্ঘ্য $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ হিসাবে চিহ্নিত করুন। আসুন আমরা একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা প্রবর্তন করি যাতে বিন্দু $A=(0,0)$, বিন্দু $B$ ধনাত্মক সেমিঅ্যাক্সিস $Ox$ এর উপর থাকে এবং $C$ বিন্দুটি প্রথম স্থানাঙ্ক চতুর্ভুজে থাকে (চিত্র। 3)।

চিত্র 3

আসুন প্রমাণ করি

এই সমন্বয় ব্যবস্থায়, আমরা যে পেতে

বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সূত্রটি ব্যবহার করে $BC$ পাশের দৈর্ঘ্য খুঁজুন

এই উপপাদ্যগুলি ব্যবহার করে সমস্যার একটি উদাহরণ

উদাহরণ 1

প্রমাণ করুন যে একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাস এই বাহুর বিপরীত কোণের সাইনের সাথে ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর অনুপাতের সমান।

সমাধান।

আমাদের একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ $ABC$ দেওয়া যাক। $R$ - পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ। ব্যাস আঁকুন $BD$ (চিত্র 4)।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার বাহুর গুণফলের অর্ধেক এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান।

প্রমাণ:

একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ ABC বিবেচনা করুন। এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল BC = a, বাহুর CA = b এবং S ধরুন। সেটা প্রমাণ করা দরকার S = (1/2)*a*b*sin(C).

শুরুতে, আমরা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা প্রবর্তন করি এবং C বিন্দুতে উৎপত্তি স্থাপন করি। আসুন আমাদের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অবস্থান করি যাতে B বিন্দু Cx অক্ষের ধনাত্মক দিকের উপর থাকে এবং বিন্দু A এর একটি ধনাত্মক অর্ডিনেট থাকে।

সবকিছু সঠিকভাবে সম্পন্ন হলে, আপনি নিম্নলিখিত চিত্র পেতে হবে।

একটি প্রদত্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: S = (1/2)*a*h, যেখানে h হল ত্রিভুজের উচ্চতা। আমাদের ক্ষেত্রে, h ত্রিভুজের উচ্চতা A বিন্দুর অর্ডিনেটের সমান, অর্থাৎ h \u003d b * sin (C)।

প্রাপ্ত ফলাফলের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে: S = (1/2)*a*b*sin(C)। Q.E.D.

সমস্যা সমাধান

টাস্ক 1. ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন যদি ক) AB = 6*√8 সেমি, AC = 4 সেমি, কোণ A = 60 ডিগ্রি খ) BC = 3 সেমি, AB = 18*√2 সেমি, কোণ B= 45 ডিগ্রি c ) AC = 14 সেমি, CB = 7 সেমি, কোণ C = 48 ডিগ্রি।

উপরে প্রমাণিত উপপাদ্য অনুসারে, ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল S সমান:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A)।

আসুন গণনা করা যাক:

ক) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2।

খ) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 সেমি^2।

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2।

আমরা একটি ক্যালকুলেটরে কোণের সাইনের মান গণনা করি বা ত্রিকোণমিতিক কোণের মানের সারণী থেকে মানগুলি ব্যবহার করি। উত্তর:

ক) 12*√6 সেমি^2।

গ) প্রায় 36.41 সেমি^2।

সমস্যা 2. ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 60 সেমি^2। AC = 15 সেমি, কোণ A = 30˚ হলে পাশের AB খুঁজুন।

ধরা যাক S ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল। ত্রিভুজ এলাকা উপপাদ্য দ্বারা, আমাদের আছে:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A)।

এতে আমাদের যে মানগুলি রয়েছে তা প্রতিস্থাপন করুন:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB।

এখান থেকে আমরা বাহুর AB এর দৈর্ঘ্য প্রকাশ করি: AB = (60*4)/15 = 16।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল - সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

নিচে দেওয়া হল একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য সূত্রযেগুলো কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য উপযুক্ত, তার বৈশিষ্ট্য, কোণ বা মাত্রা নির্বিশেষে। সূত্রগুলি একটি ছবির আকারে উপস্থাপিত হয়, এখানে তাদের সঠিকতার প্রয়োগ বা ন্যায্যতার জন্য ব্যাখ্যা রয়েছে। এছাড়াও, একটি পৃথক চিত্র সূত্রে অক্ষর চিহ্ন এবং অঙ্কনের গ্রাফিক চিহ্নগুলির সঙ্গতি দেখায়।

বিঃদ্রঃ . যদি ত্রিভুজটির বিশেষ বৈশিষ্ট্য থাকে (সমদ্বিবাহু, আয়তক্ষেত্রাকার, সমবাহু), আপনি নীচের সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারেন, সেইসাথে বিশেষ সূত্রগুলি যা শুধুমাত্র এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে ত্রিভুজের জন্য সত্য:

• "একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র"

ত্রিভুজ এলাকা সূত্র

সূত্রের ব্যাখ্যা:
a, b, c- ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য যার ক্ষেত্রফল আমরা খুঁজে পেতে চাই
r- ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ
আর- ত্রিভুজের চারপাশে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ
জ- ত্রিভুজের উচ্চতা, পাশে নামানো
পি- একটি ত্রিভুজের সেমিপিরিমিটার, এর বাহুর সমষ্টি 1/2 (ঘের)
α - ত্রিভুজের a এর বিপরীত কোণ
β - ত্রিভুজের বিপরীত বাহুর b কোণ
γ - ত্রিভুজের বিপরীত বাহুর c কোণ
জ ক, জ খ , জ গ- ত্রিভুজের উচ্চতা, a, b, c পাশের দিকে নামানো হয়েছে

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে প্রদত্ত স্বরলিপি উপরের চিত্রের সাথে মিলে যায়, যাতে জ্যামিতিতে একটি বাস্তব সমস্যা সমাধান করার সময়, সূত্রের সঠিক জায়গায় সঠিক মানগুলিকে দৃশ্যতভাবে প্রতিস্থাপন করা আপনার পক্ষে সহজ হবে।

• ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল একটি ত্রিভুজের উচ্চতার অর্ধেক গুণফল এবং যে দিকে এই উচ্চতা কমানো হয়েছে তার দৈর্ঘ্য(1 নং সূত্র). এই সূত্রের যথার্থতা যৌক্তিকভাবে বোঝা যায়। বেসের দিকে নামানো উচ্চতা একটি নির্বিচারে ত্রিভুজকে দুটি আয়তক্ষেত্রাকারে বিভক্ত করবে। যদি আমরা তাদের প্রতিটিকে b এবং h মাত্রা সহ একটি আয়তক্ষেত্রে সম্পূর্ণ করি, তবে স্পষ্টতই, এই ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফল আয়তক্ষেত্রের ঠিক অর্ধেক ক্ষেত্রফলের সমান হবে (Spr = bh)
• ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল এর দুই বাহুর অর্ধেক গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন(সূত্র 2) (নীচের এই সূত্রটি ব্যবহার করে একটি সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ দেখুন)। এটি আগেরটির থেকে আলাদা বলে মনে হওয়া সত্ত্বেও, এটি সহজেই এতে রূপান্তরিত হতে পারে। যদি আমরা B কোণ থেকে B দিকের উচ্চতা কম করি, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাইনের বৈশিষ্ট্য অনুসারে বাহুর a এবং কোণের সাইন γ এর গুণফল অঙ্কিত ত্রিভুজের উচ্চতার সমান। us, যা আমাদের পূর্ববর্তী সূত্র দেবে
• একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে মাধ্যম কাজএকটি বৃত্তের অর্ধেক ব্যাসার্ধ এটির সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি দ্বারা এতে খোদাই করা হয়েছে(সূত্র 3), অন্য কথায়, আপনাকে ত্রিভুজের অর্ধ-ঘেরটি খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বারা গুণ করতে হবে (এটি মনে রাখা সহজ)
• একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাওয়া যেতে পারে তার চারপাশে থাকা বৃত্তের 4টি ব্যাসার্ধ দ্বারা তার সমস্ত বাহুর গুণফলকে ভাগ করে (সূত্র 4)
• সূত্র 5 একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করছে এর বাহুর দৈর্ঘ্য এবং এর অর্ধ-ঘেরের পরিপ্রেক্ষিতে (এর সমস্ত বাহুর সমষ্টির অর্ধেক)
• হেরনের সূত্র(6) একটি সেমিপিরিমিটারের ধারণা ব্যবহার না করে একই সূত্রের একটি উপস্থাপনা, শুধুমাত্র বাহুর দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে
• একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের বাহুর বর্গক্ষেত্রের গুণফলের সমান এবং এই পাশের সংলগ্ন কোণের সাইনগুলিকে এই বাহুর বিপরীত কোণের দ্বৈত সাইন দ্বারা ভাগ করা হয় (সূত্র 7)
• একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার চারপাশে পরিধিকৃত একটি বৃত্তের দুটি বর্গক্ষেত্র এবং এর প্রতিটি কোণের সাইনের গুণফল হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। (সূত্র 8)
• যদি এক বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তার সংলগ্ন দুটি কোণের মাত্রা জানা যায়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই বাহুর বর্গ হিসাবে পাওয়া যাবে, যা এইগুলির কোট্যাঞ্জেন্টের দ্বিগুণ যোগফল দ্বারা বিভক্ত। কোণ (সূত্র 9)
• যদি শুধুমাত্র একটি ত্রিভুজের প্রতিটি উচ্চতার দৈর্ঘ্য জানা যায় (সূত্র 10), তবে এই জাতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এই উচ্চতার দৈর্ঘ্যের বিপরীতভাবে সমানুপাতিক, যেমন হেরনের সূত্র অনুসারে
• সূত্র 11 আপনাকে গণনা করতে দেয় একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক অনুসারে, যা প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর জন্য (x;y) মান হিসাবে দেওয়া হয়। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে ফলাফলের মানটি অবশ্যই মডিউলে নেওয়া উচিত, যেহেতু পৃথক (বা এমনকি সমস্ত) শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি নেতিবাচক মানের ক্ষেত্রে হতে পারে

বিঃদ্রঃ. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে জ্যামিতিতে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ নিচে দেওয়া হল। আপনার যদি জ্যামিতিতে কোনও সমস্যা সমাধানের প্রয়োজন হয়, যার অনুরূপ এখানে নেই - ফোরামে এটি সম্পর্কে লিখুন। সমাধানগুলিতে, sqrt() ফাংশনটি "বর্গমূল" চিহ্নের পরিবর্তে ব্যবহার করা যেতে পারে, যেখানে sqrt হল বর্গমূল প্রতীক, এবং র্যাডিকাল অভিব্যক্তিটি বন্ধনীতে নির্দেশিত হয়.কখনও কখনও প্রতীকটি সাধারণ মৌলিক অভিব্যক্তির জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে √

একটি কাজ. দুটি বাহুর প্রদত্ত ক্ষেত্রফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ খুঁজুন

ত্রিভুজটির বাহুগুলি 5 এবং 6 সেমি। তাদের মধ্যবর্তী কোণটি 60 ডিগ্রি। একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর.

সমাধান.

এই সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা পাঠের তাত্ত্বিক অংশ থেকে সূত্র নম্বর দুই ব্যবহার করি।
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের মাধ্যমে পাওয়া যাবে এবং এর সমান হবে
S=1/2 ab sin γ

যেহেতু আমাদের কাছে সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত ডেটা রয়েছে (সূত্র অনুসারে), আমরা কেবলমাত্র সমস্যা বিবৃতি থেকে সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারি:
S=1/2*5*6*sin60

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানের সারণীতে, আমরা 60 ডিগ্রি সাইনের মান অভিব্যক্তিতে খুঁজে পাই এবং প্রতিস্থাপন করি। এটি তিন বাই দুই এর মূলের সমান হবে।
S = 15 √3 / 2

উত্তর: 7.5 √3 (শিক্ষকের প্রয়োজনীয়তার উপর নির্ভর করে, সম্ভবত 15 √3/2 ছেড়ে দেওয়া সম্ভব)

একটি কাজ. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর

3 সেমি বাহু সহ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান।

হেরনের সূত্র ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

যেহেতু একটি \u003d b \u003d c, একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি রূপ নেবে:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

উত্তর: 9 √3 / 4.

একটি কাজ. পাশের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করার সময় এলাকায় পরিবর্তন করুন

বাহুগুলো চারগুণ হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত গুণ বাড়বে?

সমাধান.

যেহেতু ত্রিভুজের বাহুর মাত্রা আমাদের কাছে অজানা, সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা ধরে নেব যে বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c সংখ্যার সমান। তারপর, সমস্যার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমরা এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই এবং তারপরে আমরা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খুঁজে পাই যার বাহুগুলো চারগুণ বড়। এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত আমাদের সমস্যার উত্তর দেবে।

এর পরে, আমরা ধাপে ধাপে সমস্যার সমাধানের একটি পাঠ্য ব্যাখ্যা দিই। যাইহোক, একেবারে শেষে, একই সমাধানটি একটি গ্রাফিকাল আকারে উপস্থাপন করা হয়েছে যা উপলব্ধির জন্য আরও সুবিধাজনক। যারা ইচ্ছুক তারা সাথে সাথে সমাধানটি নামিয়ে দিতে পারেন।

সমাধান করতে, আমরা হেরন সূত্র ব্যবহার করি (পাঠের তাত্ত্বিক অংশে উপরে দেখুন)। এটি এই মত দেখায়:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(নীচের ছবির প্রথম লাইন দেখুন)

একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c ভেরিয়েবল দ্বারা দেওয়া হয়।
যদি বাহু 4 গুণ বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে নতুন ত্রিভুজ c এর ক্ষেত্রফল হবে:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(নীচের ছবির দ্বিতীয় লাইনটি দেখুন)

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, 4 হল একটি সাধারণ ফ্যাক্টর যা গণিতের সাধারণ নিয়ম অনুসারে চারটি অভিব্যক্তির মধ্যে বন্ধনী করা যেতে পারে।
তারপর

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ছবির তৃতীয় লাইনে
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - চতুর্থ লাইন

256 নম্বর থেকে, বর্গমূলটি পুরোপুরি বের করা হয়েছে, তাই আমরা এটিকে মূলের নীচে থেকে বের করব
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(নীচের চিত্রের পঞ্চম লাইন দেখুন)

সমস্যাটিতে উত্থাপিত প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আসল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করাই আমাদের পক্ষে যথেষ্ট।
আমরা এক্সপ্রেশনগুলিকে একে অপরের মধ্যে ভাগ করে এবং ফলস্বরূপ ভগ্নাংশকে হ্রাস করে ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ধারণ করি।

সহজভাবে বলতে গেলে, এগুলি একটি বিশেষ রেসিপি অনুসারে জলে রান্না করা সবজি। আমি দুটি প্রাথমিক উপাদান (সবজি সালাদ এবং জল) এবং সমাপ্ত ফলাফল বিবেচনা করব - borscht। জ্যামিতিকভাবে, এটি একটি আয়তক্ষেত্র হিসাবে উপস্থাপিত হতে পারে যার একটি দিক লেটুসকে নির্দেশ করে, অন্য দিকটি জলকে নির্দেশ করে। এই দুই বাহুর যোগফল বোর্শটকে নির্দেশ করবে। এই জাতীয় "বোর্শট" আয়তক্ষেত্রের তির্যক এবং ক্ষেত্রফল সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক ধারণা এবং বোর্শট রেসিপিগুলিতে কখনও ব্যবহৃত হয় না।

গণিতের পরিপ্রেক্ষিতে লেটুস এবং জল কীভাবে বোর্স্টে পরিণত হয়? কিভাবে দুটি অংশের যোগফল ত্রিকোণমিতিতে পরিণত হতে পারে? এটি বুঝতে, আমাদের রৈখিক কোণ ফাংশন প্রয়োজন।

আপনি গণিত পাঠ্যপুস্তকে রৈখিক কোণ ফাংশন সম্পর্কে কিছুই পাবেন না। কিন্তু তাদের ছাড়া গণিত হতে পারে না। গণিতের নিয়মগুলি, প্রকৃতির নিয়মের মতো, আমরা জানি যে তারা বিদ্যমান বা নেই তা কাজ করে।

রৈখিক কৌণিক ফাংশন যোগের নিয়ম।দেখুন কিভাবে বীজগণিত জ্যামিতিতে পরিণত হয় এবং জ্যামিতি ত্রিকোণমিতিতে পরিণত হয়।

রৈখিক কৌণিক ফাংশন ছাড়া কি করা সম্ভব? আপনি পারেন, কারণ গণিতবিদরা এখনও তাদের ছাড়া পরিচালনা করে। গণিতবিদদের কৌশলটি এই সত্যের মধ্যে রয়েছে যে তারা সর্বদা আমাদের কেবল সেই সমস্যাগুলি সম্পর্কে বলে যা তারা নিজেরাই সমাধান করতে পারে এবং সেই সমস্যাগুলি সম্পর্কে কখনই আমাদের বলে না যা তারা সমাধান করতে পারে না। দেখা. যদি আমরা যোগ এবং একটি পদের ফলাফল জানি, আমরা অন্য পদ খুঁজে পেতে বিয়োগ ব্যবহার করি। সবকিছু। আমরা অন্যান্য সমস্যা জানি না এবং আমরা তাদের সমাধান করতে সক্ষম নই। আমরা যদি শুধুমাত্র যোগের ফলাফল জানি এবং উভয় পদই না জানি তবে কী করবেন? এই ক্ষেত্রে, যোগের ফলাফলকে রৈখিক কৌণিক ফাংশন ব্যবহার করে দুটি পদে পচতে হবে। আরও, আমরা নিজেরাই বেছে নিই একটি পদ কী হতে পারে, এবং রৈখিক কৌণিক ফাংশনগুলি দেখায় যে যোগের ফলাফল ঠিক আমাদের যা প্রয়োজন তা হওয়ার জন্য দ্বিতীয় পদটি কী হওয়া উচিত। এই ধরনের পদের জোড়া অসীম সংখ্যক হতে পারে। দৈনন্দিন জীবনে, আমরা যোগফলকে পচা না করে খুব ভাল করি; বিয়োগই আমাদের জন্য যথেষ্ট। কিন্তু প্রকৃতির নিয়মের বৈজ্ঞানিক গবেষণায়, যোগফলকে পদে সম্প্রসারণ করা খুবই উপযোগী হতে পারে।

সংযোজনের আরেকটি আইন যা গণিতবিদরা কথা বলতে পছন্দ করেন না (তাদের আরেকটি কৌশল) পরিমাপের একই একক থাকা শর্তগুলির প্রয়োজন। লেটুস, জল এবং বোর্শটের জন্য, এগুলি ওজন, আয়তন, খরচ বা পরিমাপের একক হতে পারে।

চিত্রটি গণিতের জন্য দুটি স্তরের পার্থক্য দেখায়। প্রথম স্তরটি সংখ্যার ক্ষেত্রের পার্থক্য, যা নির্দেশিত হয় ক, খ, গ. গণিতবিদরা এটাই করেন। দ্বিতীয় স্তরটি পরিমাপের এককের ক্ষেত্রের পার্থক্য, যা বর্গাকার বন্ধনীতে দেখানো হয় এবং অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয় উ. পদার্থবিদরা এটাই করেন। আমরা তৃতীয় স্তর বুঝতে পারি - বর্ণিত বস্তুর সুযোগের পার্থক্য। বিভিন্ন বস্তুর পরিমাপের একই এককের একই সংখ্যা থাকতে পারে। এটি কতটা গুরুত্বপূর্ণ, আমরা বোর্শট ত্রিকোণমিতির উদাহরণে দেখতে পারি। যদি আমরা বিভিন্ন বস্তুর পরিমাপের এককের জন্য একই স্বরলিপিতে সাবস্ক্রিপ্ট যোগ করি, তাহলে আমরা বলতে পারি যে গাণিতিক পরিমাণ কোন নির্দিষ্ট বস্তুকে বর্ণনা করে এবং সময়ের সাথে বা আমাদের ক্রিয়াকলাপের সাথে কীভাবে এটি পরিবর্তিত হয়। চিঠি ডব্লিউআমি চিঠি দিয়ে জল চিহ্নিত করব এসআমি চিঠি দিয়ে সালাদ চিহ্নিত করব খ- বোর্শ বোর্স্টের রৈখিক কোণ ফাংশনগুলি দেখতে কেমন হবে তা এখানে।

যদি আমরা জলের কিছু অংশ এবং সালাদের কিছু অংশ গ্রহণ করি তবে তারা একসাথে বোর্শটের একটি পরিবেশনে পরিণত হবে। এখানে আমি আপনাকে borscht থেকে একটু বিরতি নিতে এবং আপনার দূরবর্তী শৈশব মনে করার পরামর্শ দিচ্ছি। মনে আছে কিভাবে আমাদের খরগোশ এবং হাঁস একসাথে রাখতে শেখানো হয়েছিল? কত প্রাণী বের হবে তা খুঁজে বের করা দরকার ছিল। তাহলে আমাদের কী করতে শেখানো হয়েছিল? আমাদেরকে সংখ্যা থেকে ইউনিট আলাদা করতে এবং সংখ্যা যোগ করতে শেখানো হয়েছিল। হ্যাঁ, অন্য যেকোনো নম্বরে যেকোনো নম্বর যোগ করা যাবে। এটি আধুনিক গণিতের অটিজমের একটি প্রত্যক্ষ পথ - আমরা কী বুঝতে পারি না, কেন এটি পরিষ্কার নয় এবং আমরা খুব খারাপভাবে বুঝতে পারি যে এটি বাস্তবতার সাথে কীভাবে সম্পর্কিত, কারণ তিনটি স্তরের পার্থক্যের কারণে, গণিতবিদরা শুধুমাত্র একটিতে কাজ করে। পরিমাপের এক ইউনিট থেকে অন্য ইউনিটে কীভাবে যেতে হয় তা শিখতে আরও সঠিক হবে।

এবং খরগোশ, এবং হাঁস এবং ছোট প্রাণীগুলিকে টুকরো টুকরো করে গণনা করা যেতে পারে। বিভিন্ন বস্তুর পরিমাপের একটি সাধারণ একক আমাদেরকে সেগুলি একসাথে যোগ করতে দেয়। এটি সমস্যার একটি শিশুদের সংস্করণ। আসুন প্রাপ্তবয়স্কদের জন্য একটি অনুরূপ সমস্যা তাকান. আপনি খরগোশ এবং টাকা যোগ করার সময় আপনি কি পাবেন? এখানে দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে।

প্রথম বিকল্প. আমরা খরগোশের বাজার মূল্য নির্ধারণ করি এবং উপলব্ধ নগদে যোগ করি। আমরা টাকার পরিপ্রেক্ষিতে আমাদের সম্পদের মোট মূল্য পেয়েছি।

দ্বিতীয় বিকল্প. আপনি আমাদের কাছে থাকা ব্যাঙ্কনোটের সংখ্যার সাথে খরগোশের সংখ্যা যোগ করতে পারেন। আমরা অস্থাবর সম্পত্তির পরিমাণ টুকরো টুকরো করে পাব।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একই সংযোজন আইন আপনাকে বিভিন্ন ফলাফল পেতে দেয়। এটা সব নির্ভর করে আমরা ঠিক কি জানতে চাই।

কিন্তু আমাদের borscht ফিরে. এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে রৈখিক কোণ ফাংশনের কোণের বিভিন্ন মানের জন্য কী ঘটবে।

কোণটি শূন্য। আমাদের সালাদ আছে কিন্তু পানি নেই। আমরা বোর্শট রান্না করতে পারি না। বোর্স্টের পরিমাণও শূন্য। এর মানে এই নয় যে শূন্য বোর্শট শূন্য জলের সমান। জিরো বোর্শ শূন্য সালাদ (সঠিক কোণ) এও হতে পারে।

আমার জন্য ব্যক্তিগতভাবে, এটি এই সত্যের প্রধান গাণিতিক প্রমাণ। শূন্য যোগ করলে সংখ্যা পরিবর্তন হয় না। এর কারণ হল শুধুমাত্র একটি পদ থাকলে এবং দ্বিতীয় পদটি অনুপস্থিত থাকলে যোগ করা অসম্ভব। আপনি আপনার পছন্দ মতো এটির সাথে সম্পর্কিত করতে পারেন, তবে মনে রাখবেন - শূন্য সহ সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ নিজেই গণিতবিদদের দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল, তাই আপনার যুক্তি বাদ দিন এবং গণিতবিদদের দ্বারা উদ্ভাবিত সংজ্ঞাগুলিকে বোকামি করুন: "শূন্য দ্বারা বিভাজন অসম্ভব", "শূন্য দ্বারা গুণিত যে কোনও সংখ্যা শূন্যের সমান" , "বিন্দু শূন্যের পিছনে" এবং অন্যান্য বাজে কথা। একবার মনে রাখা যথেষ্ট যে শূন্য একটি সংখ্যা নয়, এবং আপনার কাছে কখনই প্রশ্ন থাকবে না যে শূন্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা বা না, কারণ এই জাতীয় প্রশ্ন সাধারণত সমস্ত অর্থ হারিয়ে ফেলে: কীভাবে কেউ একটি সংখ্যাকে বিবেচনা করতে পারে যা একটি সংখ্যা নয়? . এটি একটি অদৃশ্য রঙের জন্য কোন রঙকে দায়ী করবেন তা জিজ্ঞাসা করার মতো। একটি সংখ্যার সাথে শূন্য যোগ করা পেইন্ট দিয়ে আঁকার মতো যা বিদ্যমান নেই। তারা একটি শুকনো ব্রাশ নেড়ে সবাইকে বলে যে "আমরা রং করেছি।" কিন্তু আমি একটু বিমুখ।

কোণটি শূন্যের চেয়ে বড় কিন্তু পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রির কম। আমরা লেটুস অনেক আছে, কিন্তু সামান্য জল. ফলস্বরূপ, আমরা একটি পুরু borscht পেতে।

কোণটি পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রি। আমরা সমান পরিমাণ জল এবং লেটুস আছে. এটি নিখুঁত বোর্শট (রাধুনিরা আমাকে ক্ষমা করুন, এটি কেবল গণিত)।

কোণটি পঁয়তাল্লিশ ডিগ্রির বেশি কিন্তু নব্বই ডিগ্রির কম। আমরা অনেক জল এবং সামান্য লেটুস আছে. তরল borscht পান.

সমকোণ. আমাদের পানি আছে। লেটুসটির কেবল স্মৃতিই রয়ে গেছে, যেহেতু আমরা লেটুসটিকে একবার চিহ্নিত করা লাইন থেকে কোণ পরিমাপ করতে থাকি। আমরা বোর্শট রান্না করতে পারি না। বোর্স্টের পরিমাণ শূন্য। সেক্ষেত্রে, পানি পাওয়া পর্যন্ত ধরে রাখুন এবং পান করুন)))

এখানে. এটার মতো কিছু. আমি এখানে অন্যান্য গল্প বলতে পারি যা এখানে উপযুক্ত হবে না।

দুই বন্ধুর সাধারণ ব্যবসায় তাদের শেয়ার ছিল। তাদের একজনকে হত্যার পর সবকিছু অন্যের হাতে চলে যায়।

আমাদের গ্রহে গণিতের আবির্ভাব।

এই সমস্ত গল্প রৈখিক কৌণিক ফাংশন ব্যবহার করে গণিতের ভাষায় বলা হয়। অন্য কোন সময় আমি আপনাকে গণিতের কাঠামোতে এই ফাংশনগুলির আসল স্থান দেখাব। এর মধ্যে, আসুন বোর্স্টের ত্রিকোণমিতিতে ফিরে যাই এবং অনুমানগুলি বিবেচনা করি।

শনিবার, অক্টোবর 26, 2019

আমি সম্পর্কে একটি আকর্ষণীয় ভিডিও দেখেছি গ্র্যান্ডির সারি এক বিয়োগ এক যোগ এক বিয়োগ এক - নম্বরফাইল. গণিতবিদরা মিথ্যা বলেন। তারা তাদের যুক্তিতে সমতা পরীক্ষা করেনি।

এই সম্পর্কে আমার যুক্তি সঙ্গে অনুরণিত.

আসুন গণিতবিদরা আমাদের প্রতারণা করছেন এমন লক্ষণগুলি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক। যুক্তির একেবারে শুরুতে, গণিতবিদরা বলেছেন যে অনুক্রমের যোগফল নির্ভর করে এতে উপাদানের সংখ্যা জোড় কি না। এটি একটি উদ্দেশ্যমূলকভাবে প্রতিষ্ঠিত সত্য। এরপরে কি হবে?

এরপর, গণিতবিদরা ঐক্য থেকে ক্রম বিয়োগ করেন। এই নেতৃত্ব কি? এটি অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যার পরিবর্তনের দিকে নিয়ে যায় - একটি জোড় সংখ্যা একটি বিজোড় সংখ্যায় পরিবর্তিত হয়, একটি বিজোড় সংখ্যা একটি জোড় সংখ্যায় পরিবর্তিত হয়। সর্বোপরি, আমরা ক্রমটিতে একটির সমান একটি উপাদান যুক্ত করেছি। সমস্ত বাহ্যিক সাদৃশ্য থাকা সত্ত্বেও, রূপান্তরের পূর্বের ক্রমটি রূপান্তরের পরের অনুক্রমের সমান নয়। এমনকি যদি আমরা একটি অসীম ক্রম সম্পর্কে কথা বলি, তবে আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি বিজোড় সংখ্যক উপাদান সহ একটি অসীম ক্রম একটি জোড় সংখ্যক উপাদান সহ একটি অসীম অনুক্রমের সমান নয়।

উপাদানের সংখ্যায় ভিন্ন দুটি অনুক্রমের মধ্যে একটি সমান চিহ্ন রেখে, গণিতবিদরা দাবি করেন যে অনুক্রমের যোগফল অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যার উপর নির্ভর করে না, যা একটি উদ্দেশ্যমূলকভাবে প্রতিষ্ঠিত সত্যের বিরোধিতা করে। একটি অসীম অনুক্রমের যোগফল সম্পর্কে আরও যুক্তি মিথ্যা, কারণ এটি একটি মিথ্যা সমতার উপর ভিত্তি করে।

আপনি যদি দেখেন যে গণিতবিদরা প্রমাণের কোর্সে বন্ধনী স্থাপন করেন, একটি গাণিতিক অভিব্যক্তির উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করেন, কিছু যোগ করেন বা সরান, খুব সতর্ক থাকুন, সম্ভবত তারা আপনাকে প্রতারণা করার চেষ্টা করছে। কার্ড কনজুরারদের মতো, গণিতবিদরা আপনাকে একটি মিথ্যা ফলাফল দেওয়ার জন্য অভিব্যক্তির বিভিন্ন হেরফের দিয়ে আপনার মনোযোগ সরিয়ে দেয়। আপনি যদি প্রতারণার গোপনীয়তা না জেনে কার্ডের কৌশলটি পুনরাবৃত্তি করতে না পারেন, তবে গণিতে সবকিছুই অনেক সহজ: আপনি প্রতারণা সম্পর্কে কিছু সন্দেহও করেন না, তবে একটি গাণিতিক অভিব্যক্তির সাথে সমস্ত ম্যানিপুলেশন পুনরাবৃত্তি করা আপনাকে অন্যদের বোঝাতে দেয়। ফলাফলের শুদ্ধতা, ঠিক যেমন কখন আপনাকে বিশ্বাস করা হয়েছে।

শ্রোতাদের কাছ থেকে প্রশ্ন: এবং অসীম (S অনুক্রমের উপাদানের সংখ্যা হিসাবে), এটি কি জোড় বা বিজোড়? কোন সমতা নেই এমন কিছুর সমতা কিভাবে পরিবর্তন করতে পারেন?

গণিতবিদদের জন্য অসীম যাজকদের জন্য স্বর্গের রাজ্যের মতো - সেখানে কেউ কখনও আসেনি, তবে সবাই জানে যে সেখানে কীভাবে সবকিছু কাজ করে))) আমি সম্মত, মৃত্যুর পরে আপনি একটি জোড় বা বিজোড় সংখ্যক দিন বেঁচে ছিলেন কিনা তা আপনি একেবারে উদাসীন হবেন। , কিন্তু ... আপনার জীবনের শুরুতে মাত্র একটি দিন যোগ করলে, আমরা একজন সম্পূর্ণ ভিন্ন ব্যক্তিকে পাব: তার শেষ নাম, প্রথম নাম এবং পৃষ্ঠপোষকতা ঠিক একই, শুধুমাত্র জন্ম তারিখ সম্পূর্ণ ভিন্ন - তিনি একজন জন্মগ্রহণ করেছিলেন তোমার আগের দিন।

এবং এখন বিন্দুতে))) ধরুন একটি সীমিত ক্রম যার সমতা আছে অসীমে যাওয়ার সময় এই সমতা হারায়। তাহলে অসীম ক্রম-এর যেকোন সীমিত অংশকেও সমতা হারাতে হবে। আমরা এটা পালন করি না। আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি না যে অসীম অনুক্রমের উপাদানের সংখ্যা জোড় বা বিজোড় তার মানে এই নয় যে সমতা অদৃশ্য হয়ে গেছে। প্যারিটি, যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে একটি চিহ্ন ছাড়াই অসীমে অদৃশ্য হতে পারে না, যেমন একটি কার্ডের হাতা ধারালো। এই ক্ষেত্রে একটি খুব ভাল উপমা আছে.

ঘড়িতে বসে থাকা কোকিলকে কি কখনো জিজ্ঞেস করেছেন ঘড়ির কাঁটা কোন দিকে ঘোরে? তার জন্য, তীরটি আমরা "ঘড়ির কাঁটার দিকে" বলি তার বিপরীত দিকে ঘোরে। এটি বিরোধিতাপূর্ণ শোনাতে পারে, কিন্তু ঘূর্ণনের দিকটি নির্ভর করে আমরা কোন দিক থেকে ঘূর্ণন পর্যবেক্ষণ করি তার উপর। এবং তাই, আমাদের একটি চাকা আছে যা ঘোরে। কোন দিকে ঘূর্ণন ঘটে তা আমরা বলতে পারি না, যেহেতু আমরা ঘূর্ণনের সমতলের একপাশ থেকে এবং অন্য দিক থেকে এটি পর্যবেক্ষণ করতে পারি। আমরা শুধুমাত্র ঘূর্ণন আছে যে সত্য সাক্ষ্য দিতে পারেন. একটি অসীম অনুক্রমের সমতার সাথে সম্পূর্ণ সাদৃশ্য এস.

এখন একটি দ্বিতীয় ঘূর্ণন চাকা যোগ করা যাক, যার ঘূর্ণনের সমতলটি প্রথম ঘূর্ণন চাকার ঘূর্ণনের সমতলের সমান্তরাল। আমরা এখনও বলতে পারি না যে এই চাকাগুলো কোন দিকে ঘুরছে, তবে আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি যে উভয় চাকা একই দিকে ঘুরছে নাকি বিপরীত দিকে। দুটি অসীম ক্রম তুলনা এসএবং 1-এস, আমি গণিতের সাহায্যে দেখিয়েছি যে এই ক্রমগুলির বিভিন্ন সমতা রয়েছে এবং তাদের মধ্যে একটি সমান চিহ্ন স্থাপন করা একটি ভুল। ব্যক্তিগতভাবে, আমি গণিতে বিশ্বাস করি, আমি গণিতবিদদের বিশ্বাস করি না))) যাইহোক, অসীম ক্রমগুলির রূপান্তরের জ্যামিতি সম্পূর্ণরূপে বোঝার জন্য, ধারণাটি প্রবর্তন করা প্রয়োজন "একযোগে". এই আঁকা প্রয়োজন হবে.

বুধবার, 7 আগস্ট, 2019

সম্পর্কে কথোপকথন উপসংহার, আমরা একটি অসীম সেট বিবেচনা করা প্রয়োজন. যে "ইনফিনিটি" ধারণাটি গণিতবিদদের উপর কাজ করে, যেমন খরগোশের উপর বোয়া কনস্ট্রাক্টর। অসীমের কাঁপানো ভয়াবহতা গণিতবিদদের সাধারণ জ্ঞান থেকে বঞ্চিত করে। এখানে একটি উদাহরণ:

মূল উৎস অবস্থিত. আলফা একটি বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে। উপরের অভিব্যক্তিতে সমান চিহ্নটি নির্দেশ করে যে আপনি যদি অসীমের সাথে একটি সংখ্যা বা অসীম যোগ করেন তবে কিছুই পরিবর্তন হবে না, ফলাফলটি একই অসীম হবে। যদি আমরা উদাহরণ হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম সেট নিই, তাহলে বিবেচনা করা উদাহরণগুলি নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে:

তাদের কেস দৃশ্যত প্রমাণ করার জন্য, গণিতবিদরা বিভিন্ন পদ্ধতি নিয়ে এসেছেন। ব্যক্তিগতভাবে, আমি এই সমস্ত পদ্ধতিকে দফের সাথে শামানদের নাচ হিসাবে দেখি। সংক্ষেপে, তারা সবাই এই সত্যে নেমে আসে যে হয় কিছু কক্ষ দখল করা হয়নি এবং সেগুলিতে নতুন অতিথিদের বসতি স্থাপন করা হয়েছে, বা অতিথিদের জন্য জায়গা তৈরি করার জন্য কিছু দর্শককে করিডোরে ফেলে দেওয়া হয়েছে (খুব মানবিকভাবে)। আমি স্বর্ণকেশী সম্পর্কে একটি চমত্কার গল্প আকারে এই ধরনের সিদ্ধান্ত সম্পর্কে আমার মতামত উপস্থাপন. আমার যুক্তি কি উপর ভিত্তি করে? অসীম সংখ্যক দর্শক স্থানান্তরিত করতে অসীম সময় লাগে। আমরা প্রথম গেস্ট রুম খালি করার পরে, দর্শকদের একজন সর্বদা তার রুম থেকে পরের ঘরে করিডোর বরাবর হাঁটবে সময় শেষ না হওয়া পর্যন্ত। অবশ্যই, সময় ফ্যাক্টরটি নির্বোধভাবে উপেক্ষা করা যেতে পারে, তবে এটি ইতিমধ্যে "আইন বোকাদের জন্য লেখা নয়" এর বিভাগ থেকে হবে। এটা সব আমরা কি করছি তার উপর নির্ভর করে: গাণিতিক তত্ত্বের সাথে বাস্তবতাকে সামঞ্জস্য করা বা এর বিপরীতে।

একটি "অসীম হোটেল" কি? একটি ইনফিনিটি সরাই হল এমন একটি সরাই যেখানে সর্বদা যে কোন সংখ্যক খালি পদ থাকে, যত রুমই থাকুক না কেন। যদি "দর্শকদের জন্য" অন্তহীন হলওয়ের সমস্ত কক্ষ দখল করা হয়, তবে "অতিথিদের" জন্য কক্ষ সহ আরেকটি অন্তহীন হলওয়ে রয়েছে। এই ধরনের করিডোর অসীম সংখ্যক হবে। একই সময়ে, "অসীম হোটেল" অসীম সংখ্যক বিল্ডিংগুলিতে অসীম সংখ্যক মেঝে রয়েছে অসীম সংখ্যক গ্রহের অসীম সংখ্যক মহাবিশ্বের অসীম সংখ্যক ঈশ্বরের দ্বারা সৃষ্ট। অন্যদিকে, গণিতবিদরা সাধারণ দৈনন্দিন সমস্যা থেকে দূরে সরে যেতে পারছেন না: ঈশ্বর-আল্লাহ-বুদ্ধ সর্বদা এক, হোটেল এক, করিডোর কেবল একটি। তাই গণিতবিদরা হোটেল কক্ষের সিরিয়াল নম্বরগুলিকে ধামাচাপা দেওয়ার চেষ্টা করছেন, আমাদের বোঝাচ্ছেন যে এটি "আনপুশ করা" সম্ভব।

আমি প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীম সেটের উদাহরণ ব্যবহার করে আপনার কাছে আমার যুক্তির যুক্তি প্রদর্শন করব। প্রথমে আপনাকে একটি খুব সাধারণ প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে: প্রাকৃতিক সংখ্যার কত সেট বিদ্যমান - এক বা অনেক? এই প্রশ্নের কোন সঠিক উত্তর নেই, যেহেতু আমরা নিজেরাই সংখ্যা আবিষ্কার করেছি, তাই প্রকৃতিতে কোন সংখ্যা নেই। হ্যাঁ, প্রকৃতি জানে কিভাবে নিখুঁতভাবে গণনা করতে হয়, তবে এর জন্য তিনি অন্যান্য গাণিতিক সরঞ্জাম ব্যবহার করেন যা আমাদের কাছে পরিচিত নয়। প্রকৃতি যেমন মনে করে, আমি আপনাকে অন্য সময় বলব। যেহেতু আমরা সংখ্যাগুলি আবিষ্কার করেছি, তাই আমরা নিজেরাই সিদ্ধান্ত নেব কত সেট প্রাকৃতিক সংখ্যা বিদ্যমান। উভয় বিকল্প বিবেচনা করুন, একজন প্রকৃত বিজ্ঞানীর জন্য উপযুক্ত।

বিকল্প এক. "আমাদের দেওয়া হোক" প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি একক সেট, যা একটি শেলফে নিশ্চিন্তে থাকে। আমরা তাক থেকে এই সেট নিতে. এটিই, শেলফে অন্য কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা অবশিষ্ট নেই এবং সেগুলি নেওয়ার কোথাও নেই। আমরা এই সেটটিতে একটি যোগ করতে পারি না, যেহেতু আমাদের এটি ইতিমধ্যেই আছে৷ আপনি যদি সত্যিই চান? সমস্যা নেই. আমরা ইতিমধ্যে যে সেটটি নিয়েছি তা থেকে আমরা একটি ইউনিট নিতে পারি এবং তা তাকে ফেরত দিতে পারি। এর পরে, আমরা তাক থেকে একটি ইউনিট নিতে পারি এবং আমরা যা রেখেছি তাতে এটি যোগ করতে পারি। ফলস্বরূপ, আমরা আবার প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি অসীম সেট পাই। আপনি এই মত আমাদের সব ম্যানিপুলেশন লিখতে পারেন:

আমি বীজগণিতীয় স্বরলিপি এবং সেট তত্ত্বের স্বরলিপিতে ক্রিয়াকলাপগুলি লিখে রেখেছি, সেটের উপাদানগুলি বিস্তারিতভাবে তালিকাভুক্ত করেছি। সাবস্ক্রিপ্টটি নির্দেশ করে যে আমাদের কাছে প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি এবং একমাত্র সেট রয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি অপরিবর্তিত থাকবে শুধুমাত্র যদি এটি থেকে একটি বিয়োগ করা হয় এবং একইটি যোগ করা হয়।

বিকল্প দুই. আমাদের তাকটিতে প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভিন্ন অসীম সেট রয়েছে। আমি জোর দিচ্ছি - ভিন্ন, যদিও তারা কার্যত আলাদা নয়। আমরা এই সেট এক নিতে. তারপরে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার অন্য সেট থেকে একটি গ্রহণ করি এবং আমরা ইতিমধ্যে যে সেটটি নিয়েছি তাতে এটি যোগ করি। এমনকি আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার দুটি সেট যোগ করতে পারি। আমরা যা পাই তা এখানে:

"এক" এবং "দুই" সাবস্ক্রিপ্টগুলি নির্দেশ করে যে এই উপাদানগুলি বিভিন্ন সেটের অন্তর্গত। হ্যাঁ, যদি আপনি একটি অসীম সেটে একটি যোগ করেন, ফলাফলটিও একটি অসীম সেট হবে, তবে এটি মূল সেটের মতো হবে না। যদি একটি অসীম সেট অন্য অসীম সেট যোগ করা হয়, ফলাফল প্রথম দুটি সেট উপাদান সমন্বিত একটি নতুন অসীম সেট.

প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটটি পরিমাপের জন্য শাসকের মতো একইভাবে গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়। এখন কল্পনা করুন যে আপনি শাসকের সাথে এক সেন্টিমিটার যোগ করেছেন। এটি ইতিমধ্যেই একটি ভিন্ন লাইন হবে, মূলের সমান নয়।

আপনি আমার যুক্তি গ্রহণ করতে পারেন বা না মানতে পারেন - এটি আপনার নিজের ব্যবসা। কিন্তু আপনি যদি কখনও গাণিতিক সমস্যায় পড়েন, তাহলে বিবেচনা করুন যে আপনি গণিতবিদদের প্রজন্মের দ্বারা পদদলিত মিথ্যা যুক্তির পথে আছেন কিনা। সর্বোপরি, গণিতের ক্লাস, প্রথমত, আমাদের মধ্যে চিন্তার একটি স্থিতিশীল স্টেরিওটাইপ তৈরি করে এবং শুধুমাত্র তখনই তারা আমাদের মানসিক ক্ষমতা যোগ করে (বা বিপরীতভাবে, তারা আমাদের মুক্ত চিন্তা থেকে বঞ্চিত করে)।

pozg.ru

রবিবার, আগস্ট 4, 2019

আমি একটি নিবন্ধে একটি পোস্টস্ক্রিপ্ট লিখছিলাম এবং উইকিপিডিয়াতে এই চমৎকার লেখাটি দেখেছিলাম:

আমরা পড়ি: "... ব্যাবিলনের গণিতের সমৃদ্ধ তাত্ত্বিক ভিত্তির একটি সামগ্রিক চরিত্র ছিল না এবং এটি একটি ভিন্ন কৌশলের সেটে পরিণত হয়েছিল, একটি সাধারণ সিস্টেম এবং প্রমাণের ভিত্তি ছাড়াই।"

কি দারুন! আমরা কতটা স্মার্ট এবং আমরা কতটা ভালোভাবে অন্যের ত্রুটি দেখতে পারি। আধুনিক গণিতকে একই প্রসঙ্গে দেখা কি আমাদের জন্য দুর্বল? উপরোক্ত টেক্সটটি সামান্য ব্যাখ্যা করে, ব্যক্তিগতভাবে আমি নিম্নলিখিতটি পেয়েছি:

আধুনিক গণিতের সমৃদ্ধ তাত্ত্বিক ভিত্তির একটি সামগ্রিক চরিত্র নেই এবং এটি একটি সাধারণ সিস্টেম এবং প্রমাণের ভিত্তি ব্যতীত ভিন্ন ভিন্ন বিভাগের একটি সেটে হ্রাস পেয়েছে।

আমি আমার কথাগুলি নিশ্চিত করতে বেশিদূর যাব না - এটিতে একটি ভাষা এবং নিয়ম রয়েছে যা গণিতের অন্যান্য অনেক শাখার ভাষা এবং নিয়মাবলী থেকে আলাদা। গণিতের বিভিন্ন শাখায় একই নামের বিভিন্ন অর্থ হতে পারে। আমি আধুনিক গণিতের সবচেয়ে স্পষ্ট ভুলের জন্য প্রকাশনার একটি সম্পূর্ণ চক্র উৎসর্গ করতে চাই। শীঘ্রই আবার দেখা হবে.

শনিবার, 3 আগস্ট, 2019

কিভাবে একটি সেটকে উপসেটে ভাগ করবেন? এটি করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই পরিমাপের একটি নতুন ইউনিট লিখতে হবে, যা নির্বাচিত সেটের কিছু উপাদানে উপস্থিত রয়েছে। একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

আমরা অনেক থাকতে পারে কিন্তুচার জনের সমন্বয়ে গঠিত। এই সেটটি "মানুষ" এর ভিত্তিতে গঠিত হয়েছে আসুন চিঠির মাধ্যমে এই সেটের উপাদানগুলিকে মনোনীত করি ক, একটি সংখ্যা সহ সাবস্ক্রিপ্ট এই সেটের প্রতিটি ব্যক্তির ক্রমিক সংখ্যা নির্দেশ করবে। আসুন পরিমাপের একটি নতুন একক "যৌন বৈশিষ্ট্য" প্রবর্তন করি এবং এটি অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করি খ. যেহেতু যৌন বৈশিষ্ট্য সমস্ত মানুষের অন্তর্নিহিত, তাই আমরা সেটের প্রতিটি উপাদানকে গুণ করি কিন্তুলিঙ্গ উপর খ. লক্ষ্য করুন যে আমাদের "মানুষ" সেটটি এখন "লিঙ্গ সহ মানুষ" সেটে পরিণত হয়েছে। এর পরে, আমরা পুরুষদের মধ্যে যৌন বৈশিষ্ট্যগুলিকে ভাগ করতে পারি bmএবং মহিলাদের bwলিঙ্গ বৈশিষ্ট্য। এখন আমরা একটি গাণিতিক ফিল্টার প্রয়োগ করতে পারি: আমরা এই যৌন বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি নির্বাচন করি, কোনটি পুরুষ বা মহিলা তা বিবেচ্য নয়। যদি এটি একজন ব্যক্তির মধ্যে উপস্থিত থাকে, তবে আমরা এটিকে এক দ্বারা গুণ করি, যদি এমন কোন চিহ্ন না থাকে তবে আমরা এটিকে শূন্য দ্বারা গুণ করি। এবং তারপরে আমরা স্বাভাবিক স্কুল গণিত প্রয়োগ করি। দেখুন কি হয়েছে।

গুণ, হ্রাস এবং পুনর্বিন্যাস করার পরে, আমরা দুটি উপসেট পেয়েছি: পুরুষ উপসেট bmএবং মহিলাদের একটি উপসেট bw. প্রায় একইভাবে গণিতবিদরা যুক্তি দেন যখন তারা অনুশীলনে সেট তত্ত্ব প্রয়োগ করেন। কিন্তু তারা আমাদের বিশদ বিবরণে প্রবেশ করতে দেয় না, তবে আমাদের সমাপ্ত ফলাফল দেয় - "অনেক মানুষ পুরুষদের একটি উপসেট এবং মহিলাদের একটি উপসেট নিয়ে গঠিত।" স্বাভাবিকভাবেই, আপনার একটি প্রশ্ন থাকতে পারে, উপরের রূপান্তরে গণিত কীভাবে সঠিকভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে? আমি আপনাকে আশ্বস্ত করার সাহস করছি যে প্রকৃতপক্ষে রূপান্তরগুলি সঠিকভাবে করা হয়েছে, পাটিগণিত, বুলিয়ান বীজগণিত এবং গণিতের অন্যান্য বিভাগগুলির গাণিতিক ন্যায্যতা জানা যথেষ্ট। এটা কি? অন্য কোন সময় আমি আপনাকে এটি সম্পর্কে বলব।

সুপারসেটের ক্ষেত্রে, এই দুটি সেটের উপাদানে উপস্থিত পরিমাপের একক বেছে নিয়ে দুটি সেটকে একটি সুপারসেটে একত্রিত করা সম্ভব।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পরিমাপের একক এবং সাধারণ গণিত সেট তত্ত্বকে অতীতের জিনিস করে তোলে। সেট তত্ত্বের সাথে সবকিছু ঠিকঠাক নয় এমন একটি লক্ষণ হল যে গণিতবিদরা সেট তত্ত্বের জন্য তাদের নিজস্ব ভাষা এবং স্বরলিপি নিয়ে এসেছেন। একসময় শামানরা যা করত গণিতবিদরা তাই করত। শুধুমাত্র শামানরা জানে কিভাবে "সঠিকভাবে" তাদের "জ্ঞান" প্রয়োগ করতে হয়। এই "জ্ঞান" তারা আমাদের শেখায়.

উপসংহারে, আমি আপনাকে দেখাতে চাই কিভাবে গণিতবিদরা ম্যানিপুলেট করে
ধরা যাক অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে দশগুণ দ্রুত দৌড়ায় এবং তার পিছনে এক হাজার গতি। যে সময়ে অ্যাকিলিস এই দূরত্বটি চালায়, কচ্ছপটি একই দিকে একশো ধাপ হামাগুড়ি দেয়। অ্যাকিলিস যখন একশো কদম দৌড়াবে, তখন কচ্ছপ আরও দশ ধাপ হামাগুড়ি দেবে, ইত্যাদি। প্রক্রিয়াটি অনির্দিষ্টকালের জন্য চলতে থাকবে, অ্যাকিলিস কখনই কচ্ছপের সাথে ধরা দেবে না।

এই যুক্তি পরবর্তী সমস্ত প্রজন্মের জন্য একটি যৌক্তিক শক হয়ে ওঠে। অ্যারিস্টটল, ডায়োজেনিস, কান্ট, হেগেল, গিলবার্ট... এরা সকলেই, এক বা অন্যভাবে, জেনোর অ্যাপোরিয়াস হিসাবে বিবেচিত। ধাক্কাটা এতটাই শক্তিশালী ছিল যে " ... বর্তমান সময়ে আলোচনা চলতে থাকে, বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায় এখনও প্যারাডক্সের সারাংশ সম্পর্কে একটি সাধারণ মতামতে আসতে পারেনি ... গাণিতিক বিশ্লেষণ, সেট তত্ত্ব, নতুন শারীরিক এবং দার্শনিক পদ্ধতিগুলি সমস্যাটির অধ্যয়নের সাথে জড়িত ছিল ; তাদের কেউই সমস্যার সার্বজনীনভাবে স্বীকৃত সমাধান হয়ে ওঠেনি..."[উইকিপিডিয়া," জেনো'স অ্যাপোরিয়াস"]। সবাই বোঝে যে তাদের বোকা বানানো হচ্ছে, কিন্তু কেউ বোঝে না প্রতারণা কি।

গণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, জেনো তার অ্যাপোরিয়াতে মান থেকে রূপান্তরটি স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করেছেন। এই রূপান্তরটি ধ্রুবকের পরিবর্তে প্রয়োগ বোঝায়। যতদূর আমি বুঝতে পারি, পরিমাপের পরিবর্তনশীল একক প্রয়োগের জন্য গাণিতিক যন্ত্রপাতি হয় এখনও তৈরি হয়নি, বা এটি জেনোর অ্যাপোরিয়াতে প্রয়োগ করা হয়নি। আমাদের স্বাভাবিক যুক্তির প্রয়োগ আমাদের একটি ফাঁদে নিয়ে যায়। আমরা, চিন্তার জড়তা দ্বারা, পারস্পরিক সময়ের ধ্রুবক একক প্রয়োগ করি। দৈহিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি অ্যাকিলিস কচ্ছপের সাথে ধরা পড়ার মুহুর্তে পুরোপুরি বন্ধ না হওয়া পর্যন্ত সময়ের মধ্যে একটি ধীরগতির মতো দেখায়। সময় থেমে গেলে, অ্যাকিলিস আর কচ্ছপকে ছাড়িয়ে যেতে পারবে না।

আমরা যে যুক্তিতে অভ্যস্ত তা যদি ঘুরিয়ে দেই, তবে সবকিছুই জায়গায় পড়ে। অ্যাকিলিস একটা স্থির গতিতে দৌড়ায়। এর পথের প্রতিটি পরবর্তী সেগমেন্ট আগেরটির চেয়ে দশগুণ ছোট। তদনুসারে, এটি কাটিয়ে উঠতে ব্যয় করা সময় আগেরটির চেয়ে দশগুণ কম। আমরা যদি এই পরিস্থিতিতে "অনন্ত" ধারণাটি প্রয়োগ করি, তবে এটি বলা সঠিক হবে "অ্যাকিলিস অসীমভাবে দ্রুত কচ্ছপকে ছাড়িয়ে যাবে।"

কিভাবে এই যৌক্তিক ফাঁদ এড়াতে? সময়ের অবিচ্ছিন্ন এককগুলিতে থাকুন এবং পারস্পরিক মানগুলিতে স্যুইচ করবেন না। জেনোর ভাষায়, এটি এইরকম দেখায়:

অ্যাকিলিসকে এক হাজার কদম দৌড়াতে যে সময় লাগে, কচ্ছপ একই দিকে একশো কদম হামাগুড়ি দেয়। পরের সময়ের ব্যবধানে, প্রথমটির সমান, অ্যাকিলিস আরও হাজার কদম চালাবে এবং কচ্ছপটি একশো ধাপ হাঁটবে। এখন অ্যাকিলিস কচ্ছপের চেয়ে আটশত পা এগিয়ে।

এই পন্থা কোন যৌক্তিক প্যারাডক্স ছাড়াই বাস্তবতাকে যথাযথভাবে বর্ণনা করে। কিন্তু এটি সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান নয়। আলোর গতির অদম্যতা সম্পর্কে আইনস্টাইনের বিবৃতি জেনোর অ্যাপোরিয়া "অ্যাকিলিস এবং কচ্ছপ" এর সাথে খুব মিল। আমরা এখনও এই সমস্যার অধ্যয়ন, পুনর্বিবেচনা এবং সমাধান করতে পারিনি। এবং সমাধানটি অসীমভাবে বড় সংখ্যায় নয়, পরিমাপের এককের মধ্যে চাওয়া উচিত।

জেনোর আরেকটি আকর্ষণীয় অ্যাপোরিয়া একটি উড়ন্ত তীর সম্পর্কে বলে:

একটি উড়ন্ত তীর গতিহীন, যেহেতু সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে এটি বিশ্রামে থাকে এবং যেহেতু এটি সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে বিশ্রামে থাকে, তাই এটি সর্বদা বিশ্রামে থাকে।

এই অপোরিয়াতে, লজিক্যাল প্যারাডক্সটি খুব সহজভাবে কাটিয়ে উঠতে পারে - এটি স্পষ্ট করার জন্য যথেষ্ট যে সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে উড়ন্ত তীরটি মহাকাশের বিভিন্ন পয়েন্টে বিশ্রামে থাকে, যা আসলে নড়াচড়া। এখানে আরেকটি বিষয় উল্লেখ্য। রাস্তায় একটি গাড়ির একটি ছবি থেকে, এটির গতিবিধি বা এটির দূরত্ব নির্ণয় করা অসম্ভব। গাড়ির গতিবিধির সত্যতা নির্ধারণের জন্য, একই বিন্দু থেকে বিভিন্ন সময়ে তোলা দুটি ফটোগ্রাফ প্রয়োজন, তবে দূরত্ব নির্ধারণ করতে সেগুলি ব্যবহার করা যায় না। গাড়ির দূরত্ব নির্ধারণ করতে, আপনার একই সময়ে মহাকাশের বিভিন্ন বিন্দু থেকে তোলা দুটি ফটোগ্রাফ প্রয়োজন, তবে আপনি সেগুলি থেকে চলাচলের সত্যতা নির্ধারণ করতে পারবেন না (অবশ্যই, আপনার এখনও গণনার জন্য অতিরিক্ত ডেটা প্রয়োজন, ত্রিকোণমিতি আপনাকে সাহায্য করবে) . আমি বিশেষভাবে যে বিষয়টি উল্লেখ করতে চাই তা হল যে সময়ের মধ্যে দুটি বিন্দু এবং স্থানের দুটি বিন্দু দুটি ভিন্ন জিনিস যা বিভ্রান্ত করা উচিত নয় কারণ তারা অনুসন্ধানের জন্য বিভিন্ন সুযোগ প্রদান করে।
আমি একটি উদাহরণ সহ প্রক্রিয়া দেখাব। আমরা "একটি পিম্পলে লাল কঠিন" নির্বাচন করি - এটি আমাদের "পুরো"। একই সময়ে, আমরা দেখতে পাই যে এই জিনিসগুলি একটি ধনুকের সাথে রয়েছে এবং একটি ধনুক ছাড়াই রয়েছে। এর পরে, আমরা "পুরো" এর একটি অংশ নির্বাচন করি এবং "একটি নম দিয়ে" একটি সেট তৈরি করি। এভাবেই শামানরা তাদের সেট তত্ত্বকে বাস্তবের সাথে বেঁধে নিজেদের খাওয়ায়।

এবার একটু কৌশল করা যাক। আসুন "একটি ধনুকের সাথে একটি পিম্পলে কঠিন" নিন এবং লাল উপাদানগুলি নির্বাচন করে রঙের দ্বারা এই "সমগ্র" একত্রিত করি। আমরা অনেক "লাল" পেয়েছি। এখন একটি জটিল প্রশ্ন: প্রাপ্ত সেটগুলি কি "ধনুক সহ" এবং "লাল" একই সেট নাকি দুটি ভিন্ন সেট? উত্তরটা শুধু শামানরাই জানে। আরও স্পষ্টভাবে, তারা নিজেরাই কিছু জানে না, তবে তারা যেমন বলে, তাই হোক।

এই সাধারণ উদাহরণটি দেখায় যে সেট তত্ত্বটি বাস্তবে আসলে সম্পূর্ণরূপে অকেজো। রহস্য কি? আমরা "একটি ধনুক দিয়ে লাল কঠিন পিম্পলি" এর একটি সেট তৈরি করেছি। গঠনটি পরিমাপের চারটি ভিন্ন একক অনুসারে সংঘটিত হয়েছিল: রঙ (লাল), শক্তি (কঠিন), রুক্ষতা (একটি পিম্পলে), সজ্জা (ধনুক সহ)। শুধুমাত্র পরিমাপের এককগুলির একটি সেট গণিতের ভাষায় প্রকৃত বস্তুগুলিকে পর্যাপ্তভাবে বর্ণনা করা সম্ভব করে তোলে. এটি দেখতে কেমন তা এখানে।

বিভিন্ন সূচক সহ "a" অক্ষরটি পরিমাপের বিভিন্ন একককে নির্দেশ করে। বন্ধনীতে, পরিমাপের এককগুলি হাইলাইট করা হয়, যা অনুসারে প্রাথমিক পর্যায়ে "পুরো" বরাদ্দ করা হয়। পরিমাপের একক, যা অনুসারে সেটটি তৈরি হয়, বন্ধনী থেকে নেওয়া হয়। শেষ লাইনটি চূড়ান্ত ফলাফল দেখায় - সেটের একটি উপাদান। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, যদি আমরা একটি সেট তৈরি করতে পরিমাপের একক ব্যবহার করি, তাহলে ফলাফল আমাদের কর্মের ক্রম উপর নির্ভর করে না। এবং এটি গণিত, এবং দফের সাথে শামানদের নাচ নয়। শামানরা "স্বজ্ঞাতভাবে" একই ফলাফলে আসতে পারে, এটিকে "স্পষ্টতা" দিয়ে তর্ক করে, কারণ পরিমাপের এককগুলি তাদের "বৈজ্ঞানিক" অস্ত্রাগারে অন্তর্ভুক্ত নয়।

পরিমাপের এককের সাহায্যে, একটিকে ভাঙা বা একাধিক সেটকে এক সুপারসেটে একত্রিত করা খুব সহজ। আসুন এই প্রক্রিয়াটির বীজগণিতটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।