একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব গণনা করার সূত্র
যদি Ax + By + C = 0 রেখাটির সমীকরণ দেওয়া হয়, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে M(M x , M y) বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব পাওয়া যাবে
একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব গণনা করার জন্য কাজের উদাহরণ
উদাহরণ 1
রেখা 3x + 4y - 6 = 0 এবং বিন্দু M(-1, 3) এর মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন।
সমাধান।সূত্রে রেখার সহগ এবং বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করুন
উত্তর:একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব হল 0.6।
একটি সমতলের সমীকরণ একটি ভেক্টরের লম্ব বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের সাধারণ সমীকরণ
একটি প্রদত্ত তলকে লম্বহীন একটি শূন্য ভেক্টর বলা হয় স্বাভাবিক ভেক্টর (বা, সংক্ষেপে, স্বাভাবিক ) এই প্লেনের জন্য।
স্থানাঙ্ক স্থান (একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে) দেওয়া যাক:
একটি বিন্দু 
;
খ) একটি অ-শূন্য ভেক্টর (চিত্র 4.8, ক)।
একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতলের জন্য একটি সমীকরণ লিখতে হবে 
ভেক্টরের সাথে লম্ব প্রমাণের শেষ।
আসুন এখন সমতলে সরলরেখার বিভিন্ন ধরনের সমীকরণ বিবেচনা করি।
1) সমতলের সাধারণ সমীকরণপৃ .
সমীকরণের উৎপত্তি থেকে এটি একই সময়ে অনুসরণ করে ক, খএবং গ 0 এর সমান নয় (কেন ব্যাখ্যা করুন)।
পয়েন্ট প্লেনের অন্তর্গত পৃশুধুমাত্র যদি এর স্থানাঙ্কগুলি সমতলের সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। সহগ উপর নির্ভর করে ক, খ, গএবং ডিসমতল পৃএক বা অন্য অবস্থান দখল করে।
- সমতল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের মধ্য দিয়ে যায়, - সমতল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের মধ্য দিয়ে যায় না,
- সমতলটি অক্ষের সমান্তরাল এক্স,
এক্স,
- সমতলটি অক্ষের সমান্তরাল Y,
- সমতল অক্ষের সমান্তরাল নয় Y,
- সমতলটি অক্ষের সমান্তরাল জেড,
- সমতল অক্ষের সমান্তরাল নয় জেড.
এই বিবৃতি নিজেই প্রমাণ করুন।
সমীকরণ (6) সহজেই সমীকরণ (5) থেকে উদ্ভূত হয়। প্রকৃতপক্ষে, বিন্দু সমতলে থাকা যাক পৃ. তারপর এর স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণ (5) থেকে সমীকরণ (7) বিয়োগ করে এবং পদগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করে, আমরা সমীকরণ (6) পাই। এখন যথাক্রমে স্থানাঙ্ক সহ দুটি ভেক্টর বিবেচনা করুন। এটি সূত্র (6) থেকে অনুসরণ করে যে তাদের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান। অতএব, ভেক্টরটি ভেক্টরের লম্ব পৃ. অতএব, ভেক্টরটি সমতলে লম্ব পৃ. বিন্দু থেকে সমতল দূরত্ব পৃ, যার সাধারণ সমীকরণ 
সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় 
এই সূত্রের প্রমাণ একটি বিন্দু এবং একটি রেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রের প্রমাণের সাথে সম্পূর্ণ মিল রয়েছে (চিত্র 2 দেখুন)। 
ভাত। 2. একটি সমতল এবং একটি সরল রেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রের উদ্ভবের জন্য।
প্রকৃতপক্ষে, দূরত্ব dএকটি লাইন এবং একটি সমতল মধ্যে হয়
যেখানে একটি বিন্দু একটি প্লেনে শুয়ে আছে। এখান থেকে, 11 নং লেকচারের মতো, উপরের সূত্রটি পাওয়া যায়। দুটি সমতল সমান্তরাল হয় যদি তাদের স্বাভাবিক ভেক্টর সমান্তরাল হয়। এখান থেকে আমরা দুটি সমতলের সমান্তরালতার শর্ত পাই 
- প্লেনের সাধারণ সমীকরণের সহগ। দুটি সমতল লম্ব হয় যদি তাদের স্বাভাবিক ভেক্টর লম্ব হয়, তাই আমরা দুটি সমতলের লম্বতার অবস্থা পেতে পারি যদি তাদের সাধারণ সমীকরণ জানা যায়
কোণ চদুটি সমতলের মধ্যে তাদের স্বাভাবিক ভেক্টরের মধ্যে কোণের সমান (চিত্র 3 দেখুন) এবং তাই সূত্র থেকে গণনা করা যেতে পারে 
প্লেন মধ্যে কোণ নির্ধারণ.
(11)
একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব এবং এটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়
বিন্দু থেকে দূরত্ব 
সমতলএকটি বিন্দু থেকে এই সমতলে নেমে যাওয়া লম্বের দৈর্ঘ্য। একটি বিন্দু থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করার কমপক্ষে দুটি উপায় রয়েছে: জ্যামিতিকএবং বীজগণিত.
জ্যামিতিক পদ্ধতির সাথেআপনাকে প্রথমে বুঝতে হবে কিভাবে লম্বটি একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলে অবস্থিত: সম্ভবত এটি কিছু সুবিধাজনক সমতলে অবস্থিত, এটি কিছু সুবিধাজনক (বা তাই নয়) ত্রিভুজের উচ্চতা, অথবা এই লম্বটি সাধারণত কিছু পিরামিডের একটি উচ্চতা। .
এই প্রথম এবং সবচেয়ে কঠিন পর্যায়ের পরে, সমস্যাটি বেশ কয়েকটি নির্দিষ্ট প্ল্যানমেট্রিক সমস্যায় বিভক্ত হয় (সম্ভবত বিভিন্ন প্লেনে)।
বীজগণিত পদ্ধতির সাথেএকটি বিন্দু থেকে সমতলের দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করতে হবে, বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সমতলের সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে এবং তারপর বিন্দু থেকে সমতলে দূরত্বের সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।
এই নিবন্ধটি বিষয় সম্পর্কে কথা বলে « বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্ব », একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের সংজ্ঞা স্থানাঙ্কের পদ্ধতি দ্বারা সচিত্র উদাহরণ সহ বিবেচনা করা হয়। শেষে তত্ত্বের প্রতিটি ব্লক একই ধরনের সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখিয়েছে।
একটি বিন্দু থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করে একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব পাওয়া যায়। এর আরো বিস্তারিত বিবেচনা করা যাক।
একটি লাইন a এবং একটি বিন্দু M 1 প্রদত্ত রেখার অন্তর্গত নয়। এটির মধ্য দিয়ে একটি রেখা আঁকুন a রেখার লম্ব অবরুদ্ধ। রেখাগুলির ছেদ বিন্দুটিকে H 1 হিসাবে নিন। আমরা পাই যে M 1 H 1 হল একটি লম্ব, যা M 1 বিন্দু থেকে a লাইনে নামানো হয়েছে।
সংজ্ঞা 1
বিন্দু M 1 থেকে সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব M 1 এবং H 1 বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে বলে।
লম্বের দৈর্ঘ্যের চিত্র সহ সংজ্ঞার রেকর্ড রয়েছে।
সংজ্ঞা 2
বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্বএকটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত রেখায় অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।
সংজ্ঞাগুলি সমতুল্য। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।
এটি জানা যায় যে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্বটি সম্ভাব্য সব থেকে ছোট। আসুন একটি উদাহরণ সহ এটি দেখি।
যদি আমরা লাইনের উপর অবস্থিত Q বিন্দুটিকে M 1 বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ না করে নিই, তাহলে আমরা দেখতে পাই যে M 1 Q অংশটিকে তির্যক বলা হয়, M 1 থেকে A লাইনে নামানো হয়েছে। এটি নির্দেশ করা প্রয়োজন যে বিন্দু M 1 থেকে লম্বটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় আঁকা অন্য যেকোন তির্যক থেকে কম।
এটি প্রমাণ করতে, M 1 Q 1 H 1 ত্রিভুজটি বিবেচনা করুন, যেখানে M 1 Q 1 হল কর্ণ। এটি জানা যায় যে এর দৈর্ঘ্য সর্বদা যে কোনও পায়ের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি। সুতরাং, আমাদের কাছে সেই M 1 H 1 আছে< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
একটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় খোঁজার জন্য প্রাথমিক ডেটা বিভিন্ন সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়: পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, সাইন, কোসাইন, একটি কোণের স্পর্শক এবং অন্যান্যগুলির সংজ্ঞার মাধ্যমে। এই ধরনের বেশিরভাগ কাজ স্কুলে জ্যামিতি পাঠে সমাধান করা হয়।
যখন, একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার সময়, আপনি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করতে পারেন, তখন স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এই অনুচ্ছেদে, আমরা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে পছন্দসই দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য প্রধান দুটি পদ্ধতি বিবেচনা করি।
প্রথম পদ্ধতিতে M 1 থেকে a রেখায় অঙ্কিত লম্ব হিসাবে দূরত্ব খুঁজে বের করা জড়িত। দ্বিতীয় পদ্ধতিটি প্রয়োজনীয় দূরত্ব খুঁজে পেতে সরলরেখা a-এর স্বাভাবিক সমীকরণ ব্যবহার করে।
যদি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে অবস্থিত স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1) সমতলে একটি বিন্দু থাকে, একটি সরল রেখা a, এবং আপনাকে M 1 H 1 দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে, আপনি দুটি উপায়ে গণনা করতে পারেন। তাদের বিবেচনা করা যাক.
প্রথম উপায়
যদি x 2, y 2 এর সমান H 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক থাকে, তাহলে বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) সূত্র থেকে স্থানাঙ্ক থেকে গণনা করা হয় 2 - y 1) 2.
এখন আসুন H 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার দিকে এগিয়ে যাই।
এটি জানা যায় যে O x y তে একটি সরল রেখা একটি সমতলের একটি সরল রেখার সমীকরণের সাথে মিলে যায়। আসুন একটি সরলরেখার একটি সাধারণ সমীকরণ বা ঢাল সহ একটি সমীকরণ লেখার মাধ্যমে একটি সরলরেখা a সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায় নেওয়া যাক। আমরা একটি সরলরেখার সমীকরণ রচনা করি যা একটি প্রদত্ত রেখা a-এর লম্ব M 1 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। বিচ বি দ্বারা রেখাটি বোঝাই। H 1 হল a এবং b রেখার ছেদ বিন্দু, তাই স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করতে, আপনাকে অবশ্যই নিবন্ধটি ব্যবহার করতে হবে, যা দুটি লাইনের ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলির সাথে সম্পর্কিত।
এটি দেখা যায় যে প্রদত্ত বিন্দু M 1 (x 1, y 1) থেকে সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য অ্যালগরিদমটি বিন্দু অনুসারে পরিচালিত হয়:
সংজ্ঞা 3
- সরলরেখা a এর সাধারণ সমীকরণ খুঁজে বের করা, ফর্ম A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, অথবা একটি ঢাল সহগ সহ একটি সমীকরণ, ফর্ম y \u003d k 1 x + b 1;
- লাইন b এর সাধারণ সমীকরণ প্রাপ্ত করা, যার ফর্ম A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 বা একটি ঢাল y \u003d k 2 x + b 2 সহ একটি সমীকরণ যদি রেখা b বিন্দু M 1 কে ছেদ করে এবং প্রদত্ত রেখা a এর লম্ব;
- H 1 বিন্দুর x 2, y 2 স্থানাঙ্কের নির্ণয়, যা a এবং b এর ছেদ বিন্দু, এর জন্য, রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x সমাধান করা হয়েছে + B 2 y + C 2 = 0 বা y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
- সূত্র M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 ব্যবহার করে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখা পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্বের গণনা।
দ্বিতীয় উপায়
উপপাদ্যটি একটি সমতলে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত রেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার প্রশ্নের উত্তর দিতে সাহায্য করতে পারে।
উপপাদ্য
একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় O x y এর একটি বিন্দু M 1 (x 1, y 1) রয়েছে, যেখান থেকে সমতলের সাধারণ সমীকরণ দ্বারা সমতলের দিকে একটি সরল রেখা টানা হয়, যার ফর্ম cos α x + cos β থাকে y - p \u003d 0, স্বাভাবিক সরলরেখা সমীকরণের বাম দিকে প্রাপ্ত মানটির মডিউলের সমান, x = x 1, y = y 1 এ গণনা করা হয়, মানে M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - পি।
প্রমাণ
লাইন a সমতলের স্বাভাবিক সমীকরণের সাথে মিলে যায়, যার ফর্ম cos α x + cos β y - p = 0, তারপর n → = (cos α , cos β) a লাইনের একটি সাধারণ ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত হয়। উৎপত্তি থেকে p একক সহ লাইন a পর্যন্ত দূরত্ব। চিত্রে সমস্ত ডেটা চিত্রিত করা প্রয়োজন, স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1) সহ একটি বিন্দু যোগ করুন, যেখানে বিন্দু M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর। একটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় একটি সরলরেখা আঁকতে হবে, যা আমরা M 1 H 1 দ্বারা বোঝাব। n → = (cos α , cos β) ফর্মের একটি নির্দেশক ভেক্টর দিয়ে O বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখায় M 1 এবং H 2 বিন্দুর M 2 এবং H 2 অনুমানগুলি দেখানো প্রয়োজন, এবং সংখ্যাসূচক অভিক্ষেপ ভেক্টরের দিকটিকে O M 1 → = (x 1 , y 1) n → = (cos α , cos β) n p n → O M 1 → হিসাবে চিহ্নিত করা হবে।
পরিবর্তনগুলি M 1 বিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।
আমরা M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p সূত্র ব্যবহার করে ফলাফলগুলি ঠিক করি। তারপর n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 পাওয়ার জন্য আমরা এই ফর্ম M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p এ সমতা আনব।
ভেক্টরের স্কেলার গুনফল n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ফর্মুলার রূপান্তরিত সূত্রে পরিণত হয়, যা সমন্বিত আকারে একটি গুণফল। ফর্ম n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1। সুতরাং, আমরা পাই যে n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1। এটি অনুসরণ করে যে M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
আমরা পাই যে বিন্দু M 1 (x 1, y 1) থেকে সমতলের সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে পেতে, বেশ কয়েকটি ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে:
সংজ্ঞা 4
- লাইনের স্বাভাবিক সমীকরণ a cos α · x + cos β · y - p = 0 প্রাপ্ত করা, শর্ত থাকে যে এটি টাস্কে না থাকে;
- অভিব্যক্তির গণনা cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , যেখানে ফলাফলের মানটি M 1 H 1 নেয়।
একটি বিন্দু থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধানের জন্য এই পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করা যাক।
উদাহরণ 1
স্থানাঙ্ক M 1 (- 1 , 2) দিয়ে বিন্দু থেকে রেখা 4 x - 3 y + 35 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব নির্ণয় করুন।
সমাধান
সমাধানের প্রথম পদ্ধতি ব্যবহার করা যাক।
এটি করার জন্য, আপনাকে লাইন b এর সাধারণ সমীকরণটি খুঁজে বের করতে হবে, যা একটি প্রদত্ত বিন্দু M 1 (- 1 , 2) লাইন 4 x - 3 y + 35 = 0 এর লম্বের মধ্য দিয়ে যায়। এই অবস্থা থেকে দেখা যায় যে রেখা b লাইন a এর লম্ব, তারপর এর দিক ভেক্টরের সমান স্থানাঙ্ক রয়েছে (4, - 3)। সুতরাং, আমাদের সমতলে b লাইনের প্রামাণিক সমীকরণ লেখার সুযোগ রয়েছে, যেহেতু এখানে M 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে, লাইন b এর অন্তর্গত। সরলরেখা b এর নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যাক। আমরা পাই যে x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3। ফলাফল প্রামাণিক সমীকরণ একটি সাধারণ এক রূপান্তর করা আবশ্যক. তারপর আমরা যে পেতে
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
চলুন রেখাগুলির ছেদ বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করি, যা আমরা H 1 হিসাবে গ্রহণ করব। রূপান্তরগুলি দেখতে এইরকম:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
উপরের থেকে, আমাদের কাছে রয়েছে যে বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্কগুলি হল (- 5; 5)।
বিন্দু M 1 থেকে সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করা প্রয়োজন। আমাদের কাছে বিন্দু M 1 (- 1, 2) এবং H 1 (- 5, 5) এর স্থানাঙ্ক রয়েছে, তারপর আমরা দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য সূত্রে প্রতিস্থাপিত করি এবং আমরা তা পাই
M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5
দ্বিতীয় সমাধান।
অন্য উপায়ে সমাধান করার জন্য, একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণ প্রাপ্ত করা প্রয়োজন। আমরা নর্মালাইজিং ফ্যাক্টরের মান গণনা করি এবং 4 x - 3 y + 35 = 0 সমীকরণের উভয় পাশে গুণ করি। এখান থেকে আমরা পাই যে স্বাভাবিককরণের ফ্যাক্টর হল - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , এবং স্বাভাবিক সমীকরণটি ফর্ম হবে - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0।
গণনার অ্যালগরিদম অনুসারে, একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণ প্রাপ্ত করা এবং x = - 1 , y = 2 মান দিয়ে এটি গণনা করা প্রয়োজন। তারপর আমরা যে পেতে
4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5
এখান থেকে আমরা পাই যে বিন্দু M 1 (- 1 , 2) থেকে প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব 4 x - 3 y + 35 = 0 এর মান আছে - 5 = 5।
উত্তর: 5 .
এটি দেখা যায় যে এই পদ্ধতিতে একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণ ব্যবহার করা গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু এই পদ্ধতিটি সবচেয়ে ছোট। তবে প্রথম পদ্ধতিটি সুবিধাজনক যে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং যৌক্তিক, যদিও এতে আরও গণনা পয়েন্ট রয়েছে।
উদাহরণ 2
সমতলে রয়েছে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা O x y একটি বিন্দু M 1 (8, 0) এবং একটি সরল রেখা y = 1 2 x + 1। প্রদত্ত বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব নির্ণয় করুন।
সমাধান
প্রথম উপায়ে সমাধানটি একটি সাধারণ সমীকরণে একটি ঢাল সহগ সহ একটি প্রদত্ত সমীকরণের হ্রাস বোঝায়। সহজ করার জন্য, আপনি এটি ভিন্নভাবে করতে পারেন।
যদি লম্ব রেখার ঢালের গুণফল - 1 হয়, তাহলে প্রদত্ত y = 1 2 x + 1 এর লম্ব রেখার ঢাল 2 হয়। এখন আমরা স্থানাঙ্ক M 1 (8, 0) সহ একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ পেয়েছি। আমাদের কাছে y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 আছে।
আমরা বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে এগিয়ে যাই, অর্থাৎ ছেদ বিন্দু y \u003d - 2 x + 16 এবং y \u003d 1 2 x + 1। আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি এবং পাই:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)
এটি অনুসরণ করে যে স্থানাঙ্ক M 1 (8 , 0) বিন্দু থেকে y = 1 2 x + 1 রেখার দূরত্বটি স্থানাঙ্ক M 1 (8 , 0) এবং H সহ প্রারম্ভ বিন্দু এবং শেষ বিন্দু থেকে দূরত্বের সমান 1 (6, 4)। আসুন গণনা করি এবং পাই যে M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5।
দ্বিতীয় উপায়ে সমাধান হল একটি সহগ সহ সমীকরণ থেকে তার স্বাভাবিক আকারে পাস করা। অর্থাৎ, আমরা পাই y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, তাহলে স্বাভাবিককরণের গুণকের মান হবে - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . এটি অনুসরণ করে যে একটি সরল রেখার স্বাভাবিক সমীকরণটি রূপ নেয় - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 । চলুন বিন্দু M 1 8 , 0 থেকে ফর্মের একটি সরল রেখা পর্যন্ত গণনা করা যাক - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0। আমরা পেতে:
M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5
উত্তর: 2 5 .
উদাহরণ 3
স্থানাঙ্ক M 1 (- 2 , 4) দিয়ে বিন্দু থেকে সরলরেখা 2 x - 3 = 0 এবং y + 1 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করা প্রয়োজন।
সমাধান
আমরা 2 x - 3 = 0 সরলরেখার স্বাভাবিক ফর্মের সমীকরণ পাই:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
তারপরে আমরা বিন্দু M 1 - 2, 4 থেকে সরলরেখা x - 3 2 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করতে এগিয়ে যাই। আমরা পেতে:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
সরলরেখার সমীকরণ y + 1 = 0 এর একটি স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর রয়েছে যার মান -1। এর মানে হল সমীকরণটি রূপ নেবে - y - 1 = 0। আমরা বিন্দু M 1 (- 2 , 4) থেকে সরলরেখা - y - 1 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করতে এগিয়ে যাই। আমরা পাই যে এটি সমান - 4 - 1 = 5।
উত্তর: 3 1 2 এবং 5।
সমতলের একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে স্থানাঙ্ক অক্ষ O x এবং O y পর্যন্ত দূরত্ব নির্ণয়ের বিস্তারিত বিবেচনা করা যাক।
একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, অক্ষ O y এর একটি সরল রেখার সমীকরণ রয়েছে, যা অসম্পূর্ণ এবং x \u003d 0 এবং O x - y \u003d 0 ফর্ম রয়েছে। সমীকরণগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির জন্য স্বাভাবিক, তারপর স্থানাঙ্ক M 1 x 1 , y 1 সহ বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে। এটি M 1 H 1 = x 1 এবং M 1 H 1 = y 1 সূত্রের উপর ভিত্তি করে করা হয়। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।
উদাহরণ 4
বিন্দু M 1 (6, - 7) থেকে O x y সমতলে অবস্থিত স্থানাঙ্ক রেখার দূরত্ব খুঁজুন।
সমাধান
যেহেতু y \u003d 0 সমীকরণটি O x লাইনকে নির্দেশ করে, আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে এই লাইনের প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সহ M 1 থেকে দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন। আমরা 6 = 6 পাই।
যেহেতু x \u003d 0 সমীকরণটি O y লাইনকে নির্দেশ করে, আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে M 1 থেকে এই লাইনের দূরত্ব খুঁজে পেতে পারেন। তাহলে আমরা পাই - 7 = 7।
উত্তর: M 1 থেকে O x এর দূরত্বের মান 6 এবং M 1 থেকে O y এর মান 7।
যখন ত্রিমাত্রিক স্থানে আমাদের স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) সহ একটি বিন্দু থাকে, তখন A বিন্দু থেকে a লাইনের দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে।
দুটি উপায় বিবেচনা করুন যা আপনাকে মহাকাশে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব গণনা করতে দেয়। প্রথম ক্ষেত্রে বিন্দু M 1 থেকে রেখার দূরত্ব বিবেচনা করে, যেখানে রেখার বিন্দুটিকে H 1 বলা হয় এবং এটি M 1 বিন্দু থেকে লাইন a পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বের ভিত্তি। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে পরামর্শ দেওয়া হয়েছে যে এই সমতলের বিন্দুগুলিকে সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা হিসাবে চাওয়া উচিত।
প্রথম উপায়
সংজ্ঞা থেকে, আমাদের কাছে রয়েছে যে সরলরেখা a তে অবস্থিত বিন্দু M 1 থেকে দূরত্ব হল লম্ব M 1 H 1 এর দৈর্ঘ্য, তারপর আমরা H 1 বিন্দুর পাওয়া স্থানাঙ্কের সাথে এটি পাই, তারপর আমরা দূরত্বটি খুঁজে পাই M 1 (x 1, y 1, z 1 ) এবং H 1 (x 1, y 1, z 1) সূত্র M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z এর উপর ভিত্তি করে 2 - z 1 2।
আমরা পাই যে সম্পূর্ণ সমাধানটি M 1 থেকে a রেখা পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বের বেসের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করতে যায়। এটি নিম্নরূপ করা হয়: H 1 হল সেই বিন্দু যেখানে একটি লাইন একটি সমতলের সাথে ছেদ করে যা প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
এর মানে হল বিন্দু M 1 (x 1, y 1, z 1) থেকে স্থানের সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব নির্ধারণের অ্যালগরিদমটি বেশ কয়েকটি বিন্দুকে বোঝায়:
সংজ্ঞা 5
- সমতলের সমীকরণ অঙ্কন χ একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে রেখার লম্ব দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণ হিসাবে;
- স্থানাঙ্কের নির্ণয় (x 2 , y 2 , z 2) বিন্দু H 1 এর অন্তর্গত যা a লাইন এবং সমতল χ এর ছেদ বিন্দু;
- M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 সূত্রটি ব্যবহার করে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের গণনা।
দ্বিতীয় উপায়
যে শর্তে আমাদের একটি লাইন a আছে, তারপরে আমরা a → = a x, a y, a z স্থানাঙ্ক সহ x 3, y 3, z 3 এবং একটি লাইনের অন্তর্গত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু M 3 ভেক্টর নির্ধারণ করতে পারি। M 1 (x 1 , y 1) এবং M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা যেতে পারে:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
M 3 বিন্দু থেকে ভেক্টর a → \u003d a x, a y, a z এবং M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 স্থগিত করা প্রয়োজন, সংযোগ করুন এবং পান একটি সমান্তরাল চিত্র। M 1 H 1 হল সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা।
নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।
আমাদের আছে যে উচ্চতা M 1 H 1 হল কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব, তাহলে আপনাকে সূত্রটি ব্যবহার করে এটি খুঁজে বের করতে হবে। অর্থাৎ, আমরা M 1 H 1 খুঁজছি।
S অক্ষর দ্বারা সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল চিহ্নিত করুন, a → = (a x, a y, a z) এবং M 3 M 1 → = x 1 - x 3 ভেক্টর ব্যবহার করে সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়। y 1 - y 3 , z 1 - z 3 । এলাকা সূত্রে S = a → × M 3 M 1 → ফর্ম আছে। এছাড়াও, চিত্রটির ক্ষেত্রফল এর বাহুর দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার গুণফলের সমান, আমরা পাই যে S \u003d a → M 1 H 1 সঙ্গে a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, যা ভেক্টরের দৈর্ঘ্য a → \u003d (a x, a y, a z) , যা সমান্তরালগ্রামের পাশের সমান। তাই, M 1 H 1 হল বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব। এটি M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়।
স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) সহ একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখা a পর্যন্ত দূরত্ব খুঁজে বের করতে, আপনাকে অ্যালগরিদমের কয়েকটি বিন্দু সম্পাদন করতে হবে:
সংজ্ঞা 6
- সরলরেখার অভিমুখ ভেক্টর নির্ণয় a - a → = (a x , a y , a z) ;
- a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 দিক ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের গণনা ;
- a লাইনে অবস্থিত M 3 বিন্দুর অন্তর্গত x 3 , y 3 , z 3 স্থানাঙ্ক প্রাপ্ত করা;
- ভেক্টরের স্থানাঙ্কের গণনা M 3 M 1 → ;
- a → (a x, a y, a z) এবং M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 একটি → × M 3 M 1 → = i হিসাবে ভেক্টরের ক্রস গুণফল খুঁজে বের করা → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 সূত্র অনুযায়ী দৈর্ঘ্য পেতে a → × M 3 M 1 → ;
- একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্বের গণনা M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
মহাকাশে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করা
উদাহরণ 5স্থানাঙ্ক M 1 2 , - 4 , - 1 রেখা থেকে x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 দিয়ে বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ণয় করুন।
সমাধান
প্রথম পদ্ধতিটি M 1 এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতল χ এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্ব লেখার মাধ্যমে শুরু হয়। আমরা একটি অভিব্যক্তি পেতে যেমন:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যা শর্ত দ্বারা প্রদত্ত সরলরেখার সমতল χ এর সাথে ছেদ বিন্দু। ক্যানোনিকাল ফর্ম থেকে ছেদকারীতে সরানো প্রয়োজন। তারপরে আমরা ফর্মের সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
সিস্টেম x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 গণনা করা প্রয়োজন ক্র্যামারের পদ্ধতি দ্বারা 2 x - y + 5 z = 3, তারপর আমরা এটি পাই:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z = 0 - 60 = 0
তাই আমাদের আছে যে H 1 (1, - 1, 0)।
M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11
দ্বিতীয় পদ্ধতিটি অবশ্যই প্রামাণিক সমীকরণে স্থানাঙ্ক অনুসন্ধান করে শুরু করতে হবে। এটি করার জন্য, ভগ্নাংশের হরগুলির দিকে মনোযোগ দিন। তারপর a → = 2 , - 1 , 5 হল x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 রেখাটির দিক ভেক্টর। a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 সূত্রটি ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য গণনা করা প্রয়োজন।
এটা স্পষ্ট যে রেখা x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 বিন্দু M 3 (- 1 , 0 , - 5) কে ছেদ করে, তাই আমাদের কাছে রয়েছে যে ভেক্টরটি M 3 (- 1 , 0) এর সাথে , - 5) এবং M 1 2 , - 4 , - 1 বিন্দুতে এর শেষ হল M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 । ভেক্টর গুণফল a → = (2, - 1, 5) এবং M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) খুঁজুন।
আমরা a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j ফর্মের একটি অভিব্যক্তি পাই → = 16 i → + 7 j → - 5 k →
আমরা পাই যে ক্রস পণ্যের দৈর্ঘ্য একটি → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330।
একটি সরল রেখার জন্য একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব গণনা করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য আমাদের কাছে সমস্ত ডেটা রয়েছে, তাই আমরা এটি প্রয়োগ করি এবং পাই:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
উত্তর: 11 .
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে ত্রিমাত্রিক স্থানে স্থির করা যাক অক্সিজ, প্রদত্ত বিন্দু, লাইন কএবং বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করতে হবে কিন্তুসোজা ক.
আমরা মহাকাশে একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব গণনা করার দুটি উপায় দেখাব। প্রথম ক্ষেত্রে, একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করা এম 1 সোজা কএকটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজতে নেমে আসে এম 1 যথাযথ এইচ 1 , কোথায় এইচ 1 - লম্বের ভিত্তি বিন্দু থেকে নেমে গেছে এম 1 সরাসরি ক. দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলের দূরত্ব একটি সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা হিসাবে পাওয়া যাবে।
চল শুরু করা যাক.
মহাশূন্যে একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব খুঁজে বের করার প্রথম উপায়।
যেহেতু, সংজ্ঞা অনুসারে, একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব এম 1
সোজা কলম্বের দৈর্ঘ্য এম 1
এইচ 1
, তারপর, বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করে এইচ 1
, আমরা বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হিসাবে কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব গণনা করতে পারি 
এবং 
সূত্র অনুযায়ী।
সুতরাং, বিন্দু থেকে নির্মিত লম্বের ভিত্তির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে সমস্যাটি হ্রাস পেয়েছে এম 1 একটি সরল রেখায় ক. এটা করা যথেষ্ট সহজ: ডট এইচ 1 লাইনের ছেদ বিন্দু কএকটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বিমানের সাথে এম 1 রেখার লম্ব ক.
অতএব, একটি অ্যালগরিদম যা আপনাকে একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করতে দেয় 
সোজাক
স্থান, হল:
দ্বিতীয় পদ্ধতি, যা আপনাকে স্থানের একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব খুঁজে পেতে দেয়।
যেহেতু সমস্যা অবস্থায় আমাদের একটি সরল রেখা দেওয়া হয় ক, তাহলে আমরা এর দিক ভেক্টর নির্ধারণ করতে পারি 
এবং কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক এম 3
একটি সরল রেখায় শুয়ে আছে ক. তারপর, পয়েন্টের স্থানাঙ্ক অনুযায়ী এবং 
আমরা একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক গণনা করতে পারি:
ভেক্টর সরাইয়া রাখুন 
এবং বিন্দু থেকে এম 3
এবং তাদের উপর একটি সমান্তরালগ্রাম তৈরি করুন। এই সমান্তরালগ্রামে একটি উচ্চতা আঁকুন এম 1
এইচ 1
.
স্পষ্টতই উচ্চতা এম 1 এইচ 1 নির্মিত সমান্তরালগ্রাম বিন্দু থেকে পছন্দসই দূরত্বের সমান এম 1 সোজা ক. চল খুঁজি .
একদিকে, সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল (আমরা এটিকে বোঝাই এস) ভেক্টরের ভেক্টর গুণফলের মাধ্যমে পাওয়া যাবে 
এবং সূত্র অনুযায়ী 
. অন্যদিকে, একটি সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল তার পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার গুণফলের সমান, অর্থাৎ, 
, কোথায় 
- ভেক্টর দৈর্ঘ্য 
, বিবেচনাধীন সমান্তরালগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান। অতএব, প্রদত্ত বিন্দু থেকে দূরত্ব এম 1
একটি প্রদত্ত লাইনে কসমতা থেকে পাওয়া যাবে 
কিভাবে 
.
তাই, একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজে বের করতে 
সোজাক
মহাকাশে প্রয়োজন
মহাকাশে একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করা।
এর একটি উদাহরণ সমাধান বিবেচনা করা যাক।
উদাহরণ।
একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজুন 
সোজা 
.
সমাধান।
প্রথম উপায়.
বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের সমীকরণটি লিখি এম 1 একটি প্রদত্ত রেখার লম্ব:
একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন এইচ 1
- সমতল এবং প্রদত্ত লাইনের ছেদ বিন্দু। এটি করার জন্য, আমরা সরলরেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ থেকে দুটি ছেদকারী সমতলের সমীকরণে রূপান্তর সম্পাদন করি। 
এর পরে আমরা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করি 
ক্রেমারের পদ্ধতি: 
এইভাবে, .
বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হিসাবে বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্ব গণনা করা অবশেষ 
এবং : .
দ্বিতীয় উপায়।
সরলরেখার প্রামাণিক সমীকরণে ভগ্নাংশের হরগুলির সংখ্যাগুলি এই সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক, অর্থাৎ, 
- দিক ভেক্টর সোজা 
. এর দৈর্ঘ্য গণনা করা যাক: 
.
স্পষ্টতই সরলরেখা 
একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় 
, তারপর বিন্দুতে উৎপত্তি সহ ভেক্টর 
এবং একটি বিন্দুতে শেষ 
এখানে 
. ভেক্টরের ক্রস গুণফল নির্ণয় কর 
এবং 
:
তারপর এই ক্রস পণ্য দৈর্ঘ্য হয় 
.
একটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সমতল পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য এখন আমাদের কাছে সমস্ত ডেটা রয়েছে: 
.
উত্তর:
মহাকাশে লাইনের পারস্পরিক বিন্যাস
ওহ-ওহ-ওহ-ওহ... আচ্ছা, এটা ছোট, যেন আপনি বাক্যটি নিজের কাছে পড়েন =) যাইহোক, তাহলে শিথিলতা সাহায্য করবে, বিশেষ করে যেহেতু আমি আজ উপযুক্ত জিনিসপত্র কিনেছি। অতএব, আসুন প্রথম বিভাগে এগিয়ে যাই, আমি আশা করি, নিবন্ধের শেষে আমি একটি প্রফুল্ল মেজাজ রাখব।
দুটি সরল রেখার পারস্পরিক বিন্যাস
হল যখন কোরাস বরাবর sings কেস. দুই লাইন পারে:
1) ম্যাচ;
2) সমান্তরাল হতে: ;
3) বা একটি একক বিন্দুতে ছেদ করুন: .
ডামিদের জন্য সাহায্য : অনুগ্রহ করে ছেদটির গাণিতিক চিহ্নটি মনে রাখবেন, এটি প্রায়শই ঘটবে। এন্ট্রি মানে লাইনটি বিন্দুতে থাকা লাইনের সাথে ছেদ করে।
দুই লাইনের আপেক্ষিক অবস্থান কিভাবে নির্ণয় করা যায়?
প্রথম কেস দিয়ে শুরু করা যাক:
দুটি লাইন মিলে যায় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের নিজ নিজ সহগ সমানুপাতিক হয়, অর্থাৎ, এমন একটি সংখ্যা আছে "লাম্বদা" যে সমতা
আসুন সরলরেখা বিবেচনা করি এবং সংশ্লিষ্ট সহগ থেকে তিনটি সমীকরণ রচনা করি: প্রতিটি সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে যে, তাই এই লাইনগুলি মিলে যায়।
প্রকৃতপক্ষে, যদি সমীকরণের সমস্ত সহগ 
-1 (পরিবর্তন চিহ্ন) দ্বারা গুণ করুন এবং সমীকরণের সমস্ত সহগ 2 দ্বারা হ্রাস করুন, আপনি একই সমীকরণ পাবেন: .
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে যখন লাইনগুলি সমান্তরাল হয়:
দুটি লাইন সমান্তরাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ভেরিয়েবলে তাদের সহগ সমানুপাতিক হয়: 
, কিন্তু.
উদাহরণ হিসেবে দুটি সরলরেখা বিবেচনা করুন। আমরা ভেরিয়েবলের জন্য সংশ্লিষ্ট সহগগুলির সমানুপাতিকতা পরীক্ষা করি: 
যাইহোক, এটা স্পষ্ট যে.
এবং তৃতীয় ক্ষেত্রে, যখন লাইনগুলি ছেদ করে:
দুটি লাইন ছেদ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের ভেরিয়েবলের সহগ সমানুপাতিক না হয়, অর্থাৎ, "ল্যাম্বদা" এর এমন একটি মান নেই যে সমতাগুলি পূর্ণ হয়৷ 
সুতরাং, সরল রেখার জন্য আমরা একটি সিস্টেম রচনা করব: 
প্রথম সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে, এবং দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে: , তাই, সিস্টেম অসঙ্গত(কোন সমাধান নেই)। সুতরাং, ভেরিয়েবলের সহগগুলি সমানুপাতিক নয়।
উপসংহার: লাইন ছেদ করে
ব্যবহারিক সমস্যায়, শুধুমাত্র বিবেচনা করা সমাধান স্কিম ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, এটি সমকোনতার জন্য ভেক্টর পরীক্ষা করার জন্য অ্যালগরিদমের সাথে খুব মিল, যা আমরা পাঠে বিবেচনা করেছি। ভেক্টরের রৈখিক (অ) নির্ভরতার ধারণা। ভেক্টর ভিত্তি. কিন্তু একটি আরো সভ্য প্যাকেজ আছে:
উদাহরণ 1
লাইনের আপেক্ষিক অবস্থান খুঁজে বের করুন: 
সমাধানসরলরেখার ভেক্টর নির্দেশক অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে:
ক) সমীকরণগুলি থেকে আমরা রেখাগুলির দিক ভেক্টর খুঁজে পাই: 
.
, তাই ভেক্টর সমরেখার নয় এবং রেখাগুলিকে ছেদ করে।
ঠিক যদি, আমি রাস্তার মোড়ে পয়েন্টার সহ একটি পাথর রাখব:
বাকিরা পাথরের উপর দিয়ে লাফিয়ে চলে, সোজা কাশেই দ্য ডেথলেস =)
খ) রেখাগুলির দিকনির্দেশনা ভেক্টর খুঁজুন: 
রেখাগুলির একই দিক ভেক্টর রয়েছে, যার অর্থ তারা হয় সমান্তরাল বা একই। এখানে নির্ধারকের প্রয়োজন নেই।
স্পষ্টতই, অজানাদের সহগ সমানুপাতিক, যখন .
সমতা সত্য কিনা তা খুঁজে বের করা যাক: 
এইভাবে,
গ) রেখার দিকনির্দেশনা ভেক্টর খুঁজুন: 
এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত নির্ধারক গণনা করা যাক: 
তাই, দিক ভেক্টর সমরেখার। রেখাগুলি হয় সমান্তরাল বা মিলিত।
সমানুপাতিকতা ফ্যাক্টর "ল্যাম্বডা" সরাসরি সমরেখার দিক ভেক্টরের অনুপাত থেকে দেখা সহজ। যাইহোক, এটি সমীকরণের সহগগুলির মাধ্যমেও পাওয়া যেতে পারে: 
.
এখন সমতা সত্য কিনা তা খুঁজে বের করা যাক। উভয় বিনামূল্যের পদই শূন্য, তাই:
ফলস্বরূপ মান এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে (যেকোনো সংখ্যা সাধারণত এটিকে সন্তুষ্ট করে)।
এইভাবে, লাইনগুলি মিলে যায়।
উত্তর:
খুব শীঘ্রই আপনি কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে বিবেচিত সমস্যাটি মৌখিকভাবে আক্ষরিকভাবে সমাধান করতে শিখবেন (বা ইতিমধ্যে শিখেছেন)। এই বিষয়ে, আমি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য কিছু প্রস্তাব করার কোন কারণ দেখি না, জ্যামিতিক ভিত্তিতে আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ ইট স্থাপন করা ভাল:
কিভাবে একটি প্রদত্ত একটি সমান্তরাল একটি লাইন আঁকা?
এই সহজ কাজটি অজ্ঞতার জন্য, নাইটিংগেল ডাকাত কঠোর শাস্তি দেয়।
উদাহরণ 2
সরলরেখাটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমান্তরাল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লেখ।
সমাধান: অক্ষর দ্বারা অজানা লাইন নির্দেশ করুন। শর্ত এটা সম্পর্কে কি বলে? লাইনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এবং যদি রেখাগুলি সমান্তরাল হয়, তবে এটি স্পষ্ট যে "ce" রেখাটির নির্দেশক ভেক্টরটি "de" রেখাটি নির্মাণের জন্যও উপযুক্ত।
আমরা সমীকরণ থেকে দিক ভেক্টর বের করি:
উত্তর:
উদাহরণের জ্যামিতি সহজ দেখায়: 
বিশ্লেষণাত্মক যাচাইকরণ নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি নিয়ে গঠিত:
1) আমরা পরীক্ষা করি যে রেখাগুলির একই দিক ভেক্টর রয়েছে (যদি রেখার সমীকরণটি সঠিকভাবে সরলীকৃত না হয় তবে ভেক্টরগুলি সমরেখার হবে)।
2) বিন্দুটি ফলস্বরূপ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করুন।
বেশিরভাগ ক্ষেত্রে বিশ্লেষণাত্মক যাচাইকরণ মৌখিকভাবে সম্পাদন করা সহজ। দুটি সমীকরণের দিকে তাকান এবং আপনারা অনেকেই দ্রুত বুঝতে পারবেন কিভাবে কোন অঙ্কন ছাড়াই লাইনগুলি সমান্তরাল।
আজ স্ব-সমাধানের উদাহরণ সৃজনশীল হবে। কারণ আপনাকে এখনও বাবা ইয়াগার সাথে প্রতিদ্বন্দ্বিতা করতে হবে এবং তিনি, আপনি জানেন, সমস্ত ধরণের ধাঁধার প্রেমিক।
উদাহরণ 3
যদি লাইনের সমান্তরাল একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখ
সমাধান করার জন্য একটি যুক্তিযুক্ত এবং খুব যুক্তিযুক্ত উপায় নেই। সংক্ষিপ্ততম উপায় পাঠের শেষে।
আমরা সমান্তরাল রেখা নিয়ে একটু কাজ করেছি এবং পরে সেগুলিতে ফিরে যাব। কাকতালীয় লাইনের ক্ষেত্রে সামান্য আগ্রহ নেই, তাই আসুন একটি সমস্যা বিবেচনা করি যা স্কুল পাঠ্যক্রম থেকে আপনার কাছে সুপরিচিত:
কিভাবে দুটি লাইনের ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করবেন?
সোজা হলে 
বিন্দুতে ছেদ করুন, তারপর এর স্থানাঙ্ক হল সমাধান রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম 
লাইনের ছেদ বিন্দু কিভাবে খুঁজে বের করবেন? সিস্টেমের সমাধান করুন।
জা রত জা হজগফহগ হ দুটি অজানা সহ দুটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জ্যামিতিক অর্থএকটি সমতলে দুটি ছেদকারী (প্রায়শই) সরল রেখা।
উদাহরণ 4
রেখার ছেদ বিন্দু খুঁজুন
সমাধান: সমাধানের দুটি উপায় আছে - গ্রাফিক্যাল এবং বিশ্লেষণাত্মক।
গ্রাফিকাল উপায় হল প্রদত্ত রেখাগুলি আঁকতে এবং অঙ্কন থেকে সরাসরি ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করা: 
এখানে আমাদের পয়েন্ট: . পরীক্ষা করার জন্য, আপনাকে একটি সরল রেখার প্রতিটি সমীকরণে এর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করা উচিত, সেগুলি সেখানে এবং সেখানে উভয়ই ফিট করা উচিত। অন্য কথায়, একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল সিস্টেমের সমাধান। আসলে, আমরা সমাধান করার জন্য একটি গ্রাফিকাল উপায় বিবেচনা করেছি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমদুটি সমীকরণের সাথে, দুটি অজানা।
গ্রাফিকাল পদ্ধতি, অবশ্যই, খারাপ নয়, কিন্তু লক্ষণীয় অসুবিধা আছে। না, বিষয়টা এই নয় যে সপ্তম শ্রেণির শিক্ষার্থীরা এইভাবে সিদ্ধান্ত নেয়, মূল বিষয় হল সঠিক এবং সঠিক অঙ্কন করতে সময় লাগবে। উপরন্তু, কিছু লাইন নির্মাণ করা এত সহজ নয়, এবং ছেদ বিন্দু নিজেই নোটবুক শীট বাইরে ত্রিশতম রাজ্যে কোথাও হতে পারে।
অতএব, বিশ্লেষণমূলক পদ্ধতি দ্বারা ছেদ বিন্দু অনুসন্ধান করা আরও সমীচীন। আসুন সিস্টেমটি সমাধান করি: 
সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য, সমীকরণের টার্মওয়াইজ যোগ করার পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছিল। প্রাসঙ্গিক দক্ষতা বিকাশ করতে, পাঠটি দেখুন কিভাবে সমীকরণ একটি সিস্টেম সমাধান?
উত্তর:
যাচাইকরণটি তুচ্ছ - ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করবে৷
উদাহরণ 5
রেখাগুলিকে ছেদ করলে তাদের ছেদ বিন্দুটি খুঁজুন।
এটি একটি করণীয় উদাহরণ। সমস্যাটিকে কয়েকটি পর্যায়ে ভাগ করা সুবিধাজনক। অবস্থার বিশ্লেষণ পরামর্শ দেয় যে এটি প্রয়োজনীয়:
1) সরলরেখার সমীকরণ লিখ।
2) সরলরেখার সমীকরণ লিখ।
3) রেখাগুলোর আপেক্ষিক অবস্থান নির্ণয় কর।
4) যদি রেখাগুলিকে ছেদ করে তবে ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করুন।
একটি অ্যাকশন অ্যালগরিদমের বিকাশ অনেক জ্যামিতিক সমস্যার জন্য সাধারণ, এবং আমি বারবার এটিতে ফোকাস করব।
টিউটোরিয়াল শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর:
এক জোড়া জুতা এখনও জীর্ণ হয়নি, কারণ আমরা পাঠের দ্বিতীয় বিভাগে পৌঁছেছি:
লম্ব রেখা। একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব।
লাইনের মধ্যে কোণ
আসুন একটি সাধারণ এবং খুব গুরুত্বপূর্ণ কাজ দিয়ে শুরু করা যাক। প্রথম অংশে, আমরা শিখেছি কীভাবে প্রদত্তটির সমান্তরাল একটি সরল রেখা তৈরি করতে হয়, এবং এখন মুরগির পায়ে কুঁড়েঘরটি 90 ডিগ্রি ঘুরবে:
কিভাবে একটি প্রদত্ত একটি লম্ব একটি রেখা আঁকা?
উদাহরণ 6
সরলরেখাটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি লম্ব রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখ।
সমাধান: এটা অনুমান করেই জানা যায়। সরলরেখার দিকনির্দেশনা ভেক্টর খুঁজে পেলে ভালো লাগবে। যেহেতু রেখাগুলি লম্ব, কৌশলটি সহজ:
সমীকরণ থেকে আমরা সাধারণ ভেক্টরটিকে "মুছে ফেলি": , যা সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর হবে।
আমরা একটি বিন্দু এবং একটি নির্দেশক ভেক্টর দ্বারা একটি সরল রেখার সমীকরণ রচনা করি:
উত্তর: 
জ্যামিতিক স্কেচ উন্মোচন করা যাক:
হুমম... কমলা আকাশ, কমলা সাগর, কমলা উট।
সমাধানের বিশ্লেষণাত্মক যাচাই:
1) সমীকরণ থেকে দিক ভেক্টর বের করুন 
এবং সাহায্যে ভেক্টরের ডট পণ্যআমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে লাইনগুলি প্রকৃতপক্ষে লম্ব: .
যাইহোক, আপনি সাধারণ ভেক্টর ব্যবহার করতে পারেন, এটি আরও সহজ।
2) বিন্দুটি ফলস্বরূপ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করুন 
.
যাচাইকরণ, আবার, মৌখিকভাবে সম্পাদন করা সহজ।
উদাহরণ 7
সমীকরণটি জানা থাকলে লম্ব রেখাগুলির ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করুন 
এবং ডট
এটি একটি করণীয় উদাহরণ। টাস্কে বেশ কয়েকটি ক্রিয়া রয়েছে, তাই বিন্দু দ্বারা সমাধান বিন্দু সাজানো সুবিধাজনক।
আমাদের উত্তেজনাপূর্ণ যাত্রা অব্যাহত:
বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্ব
আমাদের সামনে নদীর একটি সোজা স্ট্রিপ এবং আমাদের কাজ হল সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথে এটি পৌঁছানো। কোন বাধা নেই, এবং সবচেয়ে অনুকূল রুট লম্ব বরাবর আন্দোলন হবে. অর্থাৎ, একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব হল লম্ব অংশের দৈর্ঘ্য।
জ্যামিতিতে দূরত্ব ঐতিহ্যগতভাবে গ্রীক অক্ষর "ro" দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ: - "em" বিন্দু থেকে সরলরেখা "de" পর্যন্ত দূরত্ব।
বিন্দু থেকে লাইন পর্যন্ত দূরত্ব 
সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়
উদাহরণ 8
একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব খুঁজুন 
সমাধান: আপনার যা দরকার তা হল সাবধানে সংখ্যাগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করা এবং গণনাগুলি করা:
উত্তর: 
আসুন অঙ্কনটি কার্যকর করি: 
বিন্দু থেকে রেখা পর্যন্ত যে দূরত্ব পাওয়া যায় তা লাল অংশের দৈর্ঘ্যের ঠিক। আপনি যদি 1 ইউনিটের স্কেলে চেকার্ড পেপারে একটি অঙ্কন তৈরি করেন। \u003d 1 সেমি (2 কোষ), তারপর দূরত্বটি একটি সাধারণ শাসক দিয়ে পরিমাপ করা যেতে পারে।
একই অঙ্কন অনুযায়ী আরেকটি কাজ বিবেচনা করুন:
কাজটি হল বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা, যা লাইনের সাপেক্ষে বিন্দুর সাথে প্রতিসম 
. আমি আপনার নিজের কাজগুলি সম্পাদন করার প্রস্তাব করছি, তবে, আমি মধ্যবর্তী ফলাফলের সাথে সমাধান অ্যালগরিদমের রূপরেখা দেব:
1) একটি রেখার সাথে লম্ব একটি রেখা খুঁজুন।
2) লাইনের ছেদ বিন্দু খুঁজুন: 
.
এই পাঠে উভয় কর্মই বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।
3) বিন্দুটি রেখাংশের মধ্যবিন্দু। আমরা মধ্যম এবং এক প্রান্তের স্থানাঙ্ক জানি। দ্বারা সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কের সূত্রঅনুসন্ধান .
দূরত্বটি 2.2 ইউনিটের সমান তা পরীক্ষা করা অতিরিক্ত হবে না।
এখানে গণনার ক্ষেত্রে অসুবিধা হতে পারে, তবে টাওয়ারে একটি মাইক্রোক্যালকুলেটর অনেক সাহায্য করে, যা আপনাকে সাধারণ ভগ্নাংশ গণনা করতে দেয়। অনেকবার পরামর্শ দিয়েছেন এবং আবার সুপারিশ করবেন।
দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব কিভাবে বের করা যায়?
উদাহরণ 9
দুটি সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় কর
এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য আরেকটি উদাহরণ। একটি সামান্য ইঙ্গিত: সমাধান করার অসীম অনেক উপায় আছে. পাঠের শেষে ডিব্রিফিং করা, তবে নিজের জন্য অনুমান করার চেষ্টা করুন, আমি মনে করি আপনি আপনার বুদ্ধিমত্তাকে ভালভাবে ছড়িয়ে দিতে পেরেছেন।
দুই লাইনের মধ্যে কোণ
যেই কোণে, তারপর যাম্ব: 
জ্যামিতিতে, দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটিকে ছোট কোণ হিসাবে নেওয়া হয়, যা থেকে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুসরণ করে যে এটি স্থূল হতে পারে না। চিত্রে, লাল চাপ দ্বারা নির্দেশিত কোণটিকে ছেদকারী রেখাগুলির মধ্যে কোণ হিসাবে বিবেচনা করা হয় না। এবং তার "সবুজ" প্রতিবেশী বা বিপরীতমুখীলাল কোণে
যদি রেখাগুলি লম্ব হয়, তাহলে 4টি কোণের যেকোন একটিকে তাদের মধ্যবর্তী কোণ হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।
কিভাবে কোণ ভিন্ন হয়? ওরিয়েন্টেশন। প্রথমত, কোণার "স্ক্রোল করার" দিকটি মৌলিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ। দ্বিতীয়ত, একটি নেতিবাচক ভিত্তিক কোণ একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ, যদি।
এই কথা কেন বললাম? মনে হচ্ছে আপনি একটি কোণের স্বাভাবিক ধারণা দিয়ে পেতে পারেন। আসল বিষয়টি হল যে সূত্রগুলির দ্বারা আমরা কোণগুলি খুঁজে পাব, একটি নেতিবাচক ফলাফল সহজেই পাওয়া যেতে পারে, এবং এটি আপনাকে অবাক করে দেবে না। একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ একটি কোণ খারাপ নয় এবং এর একটি খুব নির্দিষ্ট জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। একটি নেতিবাচক কোণের জন্য অঙ্কনে, একটি তীর দিয়ে এর স্থিতিবিন্যাস (ঘড়ির কাঁটার দিকে) নির্দেশ করা অপরিহার্য।
কিভাবে দুই লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজে বের করতে হয়?দুটি কার্যকরী সূত্র আছে:
উদাহরণ 10
লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজুন
সমাধানএবং পদ্ধতি এক
সাধারণ আকারে সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত দুটি সরল রেখা বিবেচনা করুন: 
সোজা হলে লম্ব নয়, তারপর ভিত্তিকতাদের মধ্যে কোণ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: 
আসুন হরকে ঘনিষ্ঠভাবে মনোযোগ দেওয়া যাক - এটি ঠিক স্কালে পণ্যসরলরেখার দিক ভেক্টর:
যদি , তাহলে সূত্রটির হর অদৃশ্য হয়ে যায়, এবং ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল হবে এবং রেখাগুলি লম্ব হবে। এই কারণেই ফর্মুলেশনে রেখাগুলির অ-লম্বতা সম্পর্কে একটি সংরক্ষণ করা হয়েছিল।
পূর্বোক্তগুলির উপর ভিত্তি করে, সমাধানটি সুবিধাজনকভাবে দুটি ধাপে আনুষ্ঠানিক করা হয়েছে:
1) সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনা করুন:
তাই রেখাগুলি লম্ব নয়।
2) আমরা সূত্র দ্বারা লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজে পাই:
বিপরীত ফাংশন ব্যবহার করে, কোণ নিজেই খুঁজে পাওয়া সহজ। এই ক্ষেত্রে, আমরা চাপ স্পর্শকের অদ্ভুততা ব্যবহার করি (চিত্র দেখুন। গ্রাফ এবং প্রাথমিক ফাংশন বৈশিষ্ট্য):
উত্তর: 
উত্তরে, আমরা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে গণনা করা সঠিক মান, সেইসাথে আনুমানিক মান (বিশেষত ডিগ্রী এবং রেডিয়ানে উভয়ই) নির্দেশ করি।
ওয়েল, বিয়োগ, তাই বিয়োগ, এটা ঠিক আছে. এখানে একটি জ্যামিতিক চিত্র রয়েছে: 
এটি আশ্চর্যজনক নয় যে কোণটি একটি নেতিবাচক অভিযোজনে পরিণত হয়েছিল, কারণ সমস্যার শর্তে প্রথম সংখ্যাটি একটি সরল রেখা এবং কোণের "মোচড়" এটি থেকে অবিকল শুরু হয়েছিল।
আপনি যদি সত্যিই একটি ধনাত্মক কোণ পেতে চান তবে আপনাকে সরল রেখাগুলিকে অদলবদল করতে হবে, অর্থাৎ, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে সহগগুলি নিন 
, এবং প্রথম সমীকরণ থেকে সহগ নিন। সংক্ষেপে, আপনাকে একটি সরাসরি দিয়ে শুরু করতে হবে 
.
বিভিন্ন জ্যামিতিক বস্তুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা গুরুত্বপূর্ণ যখন চিত্রগুলির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং তাদের আয়তন গণনা করা হয়। এই নিবন্ধে, আমরা কীভাবে মহাকাশে এবং একটি সমতলে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করতে পারি সেই প্রশ্নটি বিবেচনা করব।
সরলরেখার গাণিতিক বর্ণনা
একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা বোঝার জন্য, আপনাকে এই জ্যামিতিক বস্তুর গাণিতিক স্পেসিফিকেশনের প্রশ্নটি মোকাবেলা করতে হবে।
একটি বিন্দু সহ সবকিছুই সহজ, এটি স্থানাঙ্কের একটি সেট দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যার সংখ্যা স্থানের মাত্রার সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি সমতলে এই দুটি স্থানাঙ্ক, ত্রিমাত্রিক স্থান - তিনটি।
একটি এক-মাত্রিক বস্তুর জন্য - একটি সরল রেখা, এটি বর্ণনা করতে বিভিন্ন ধরণের সমীকরণ ব্যবহার করা হয়। আসুন তাদের মধ্যে মাত্র দুটি বিবেচনা করি।
প্রথম প্রকারকে ভেক্টর সমীকরণ বলা হয়। নীচে ত্রিমাত্রিক এবং দ্বি-মাত্রিক স্থানের লাইনগুলির জন্য অভিব্যক্তি রয়েছে:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) = (x 0; y 0) + α × (a; b)
এই অভিব্যক্তিগুলিতে, শূন্য সূচক সহ স্থানাঙ্কগুলি প্রদত্ত রেখাটি যে বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তা বর্ণনা করে, স্থানাঙ্কের সেট (a; b; c) এবং (a; b) সংশ্লিষ্ট রেখার জন্য তথাকথিত দিক ভেক্টর, α হল একটি প্যারামিটার যে কোনো প্রকৃত মান নিতে পারে।
ভেক্টর সমীকরণটি এই অর্থে সুবিধাজনক যে এতে স্পষ্টভাবে সরলরেখার দিক ভেক্টর রয়েছে, যার স্থানাঙ্কগুলি বিভিন্ন জ্যামিতিক বস্তুর সমান্তরালতা বা লম্বতার সমস্যা সমাধানে ব্যবহার করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, দুটি সরল রেখা।
দ্বিতীয় ধরনের সমীকরণ যা আমরা সরলরেখার জন্য বিবেচনা করব তাকে সাধারণ সমীকরণ বলে। মহাকাশে, এই ফর্মটি দুটি সমতলের সাধারণ সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। একটি সমতলে, এটির নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:
A × x + B × y + C = 0
যখন প্লটিং সঞ্চালিত হয়, এটি প্রায়শই x / y এর উপর নির্ভরতা হিসাবে লেখা হয়, যা হল:
y = -A / B × x +(-C / B)
এখানে, মুক্ত পদ -C/Bটি y-অক্ষের সাথে রেখার ছেদকের স্থানাঙ্কের সাথে মিল রাখে এবং সহগ -A/B রেখার কোণের সাথে x-অক্ষের সাথে সম্পর্কিত।
একটি রেখা এবং একটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের ধারণা
সমীকরণগুলি মোকাবেলা করার পরে, আপনি কীভাবে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে পাবেন এই প্রশ্নের উত্তরে সরাসরি এগিয়ে যেতে পারেন। 7ম গ্রেডে, স্কুলগুলি উপযুক্ত মান নির্ধারণ করে এই বিষয়টি বিবেচনা করতে শুরু করে।
একটি রেখা এবং একটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হল এই রেখার লম্ব অংশের দৈর্ঘ্য, যা বিবেচনাধীন বিন্দু থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে। নীচের চিত্রটি রেখা r এবং বিন্দু A দেখায়৷ নীল রেখাটি r রেখার লম্ব অংশটিকে দেখায়৷ এর দৈর্ঘ্য কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব।
2D ক্ষেত্রে এখানে চিত্রিত করা হয়েছে, তবে দূরত্বের এই সংজ্ঞাটি 3D সমস্যার জন্যও বৈধ।
প্রয়োজনীয় সূত্র
একটি সরলরেখার সমীকরণটি কোন ফর্মে লেখা হয়েছে এবং কোন স্থানে সমস্যাটি সমাধান করা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে দুটি মৌলিক সূত্র দেওয়া যেতে পারে যা একটি সরলরেখা এবং একটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব কীভাবে নির্ণয় করা যায় এই প্রশ্নের উত্তর দেয়।
P 2 চিহ্ন দ্বারা পরিচিত বিন্দু নির্দেশ করুন। যদি একটি সরলরেখার সমীকরণটি ভেক্টর আকারে দেওয়া হয়, তাহলে বিবেচনাধীন বস্তুর মধ্যে d দূরত্বের জন্য, সূত্রটি বৈধ:
d = || / |v¯|
অর্থাৎ, d নির্ধারণ করতে, একজনকে সরাসরি ভেক্টর v¯ এবং ভেক্টর P 1 P 2 ¯ এর ভেক্টর গুণফলের মডিউল গণনা করা উচিত, যার শুরুটি লাইনের একটি নির্বিচারে P 1 বিন্দুতে অবস্থিত এবং শেষটি হল P 2 বিন্দুতে, তারপর এই মডিউলটিকে v ¯ দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করুন। এই সূত্রটি সমতল এবং ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্য সর্বজনীন।
যদি xy স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সমতলে সমস্যাটি বিবেচনা করা হয় এবং একটি সরলরেখার সমীকরণটি একটি সাধারণ আকারে দেওয়া হয়, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্রটি আপনাকে একটি সরল রেখা থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব নিম্নরূপ খুঁজে পেতে দেয়:
সরলরেখা: A × x + B × y + C = 0;
বিন্দু: P 2 (x 2; y 2; z 2);
দূরত্ব: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)
উপরের সূত্রটি বেশ সহজ, তবে এর ব্যবহার উপরে উল্লেখিত শর্ত দ্বারা সীমিত।
সরলরেখা এবং দূরত্বে একটি বিন্দুর অভিক্ষেপের স্থানাঙ্ক
আপনি কীভাবে একটি বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্ব অন্য উপায়ে খুঁজে বের করবেন সেই প্রশ্নের উত্তরও দিতে পারেন যাতে উপরের সূত্রগুলি মুখস্ত করা জড়িত নয়। এই পদ্ধতিটি একটি সরলরেখায় একটি বিন্দু নির্ধারণ করে, যা মূল বিন্দুর অভিক্ষেপ।
ধরুন একটি বিন্দু M এবং একটি রেখা r আছে। M বিন্দুর r এর অভিক্ষেপ কিছু M 1 বিন্দুর সাথে মিলে যায়। M থেকে r পর্যন্ত দূরত্ব MM 1 ¯ ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের সমান।
কিভাবে M 1 এর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করতে হয়? খুব সহজ. এটি স্মরণ করা যথেষ্ট যে লাইন ভেক্টর v¯ MM 1 ¯ এর লম্ব হবে, অর্থাৎ তাদের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান হতে হবে। এই শর্তটি যোগ করে যে স্থানাঙ্ক M 1 অবশ্যই সরলরেখা r এর সমীকরণ পূরণ করবে, আমরা সরল রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই। এর সমাধানের ফলে, r-এর উপর M বিন্দুর অভিক্ষেপের স্থানাঙ্ক প্রাপ্ত হয়।
একটি লাইন থেকে একটি বিন্দুর দূরত্ব খুঁজে বের করার জন্য এই অনুচ্ছেদে বর্ণিত পদ্ধতিটি সমতল এবং স্থানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে এর প্রয়োগের জন্য লাইনের ভেক্টর সমীকরণের জ্ঞান প্রয়োজন।
একটি প্লেনে টাস্ক
এখন বাস্তব সমস্যা সমাধানের জন্য উপস্থাপিত গাণিতিক যন্ত্রপাতি কিভাবে ব্যবহার করতে হয় তা দেখানোর সময় এসেছে। ধরুন সমতলে একটি বিন্দু M(-4; 5) দেওয়া আছে। বিন্দু M থেকে সরলরেখার দূরত্ব খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যা একটি সাধারণ সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে:
3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5
অর্থাৎ, M একটি লাইনে মিথ্যা বলে না।
যেহেতু একটি সরলরেখার সমীকরণটি একটি সাধারণ আকারে দেওয়া হয় না, তাই আমরা সংশ্লিষ্ট সূত্রটি ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়ার জন্য এটিকে কমিয়ে দিয়েছি, আমাদের আছে:
y = 3 × x + 6
3 x x - y + 6 = 0
এখন আপনি d এর সূত্রে পরিচিত সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারেন:
d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =
= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48
মহাকাশে টাস্ক
এখন মহাকাশের ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। সরলরেখাটিকে নিম্নোক্ত সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যাক:
(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)
এটি থেকে M(0; 2; -3) বিন্দুর দূরত্ব কত?
ঠিক আগের ক্ষেত্রে, আমরা পরীক্ষা করি যে M একটি প্রদত্ত লাইনের অন্তর্গত কিনা। এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণে স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করি এবং এটি স্পষ্টভাবে পুনরায় লিখি:
x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;
y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;
যেহেতু বিভিন্ন পরামিতি α পাওয়া যায়, তাহলে M এই লাইনে পড়ে না। আমরা এখন এটি থেকে সরলরেখার দূরত্ব গণনা করি।
d এর জন্য সূত্রটি ব্যবহার করতে, লাইনে একটি নির্বিচারী বিন্দু নিন, উদাহরণস্বরূপ P(1; -1; 0), তারপর:
আসুন আমরা PM¯ এবং লাইন v¯ এর মধ্যে ক্রস পণ্য গণনা করি। আমরা পেতে:
= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)
এখন আমরা d এর সূত্রে পাওয়া ভেক্টর এবং ভেক্টর v¯ এর মডিউলগুলি প্রতিস্থাপন করি, আমরা পাই:
d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95
এই উত্তরটি উপরে বর্ণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যার মধ্যে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা জড়িত। এই এবং পূর্ববর্তী সমস্যাগুলিতে, লাইন থেকে বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের গণনা করা মানগুলি সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক সিস্টেমের ইউনিটগুলিতে উপস্থাপিত হয়।
