মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান। সেভা এবং মেনেলের উপপাদ্য মেনেলের উপপাদ্য এলাকা অনুপাতের প্রমাণ

ক্লাস: 9

পাঠের উদ্দেশ্য:

শিক্ষার্থীদের জ্ঞান এবং দক্ষতাকে সাধারণীকরণ, প্রসারিত এবং পদ্ধতিগত করা; জটিল সমস্যা সমাধানে জ্ঞান কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা শেখাতে;
সমস্যা সমাধানে জ্ঞানের স্বাধীন প্রয়োগের জন্য দক্ষতার বিকাশকে উন্নীত করা;
শিক্ষার্থীদের যৌক্তিক চিন্তাভাবনা এবং গাণিতিক বক্তৃতা, বিশ্লেষণ, তুলনা এবং সাধারণীকরণের ক্ষমতা বিকাশ করুন;
ছাত্রদের আত্মবিশ্বাস, পরিশ্রমে শিক্ষিত করা; একটি দলে কাজ করার ক্ষমতা।

পাঠের উদ্দেশ্য:

শিক্ষাগত:মেনেলাউস এবং সেভার উপপাদ্য পুনরাবৃত্তি করুন; সমস্যা সমাধানে তাদের প্রয়োগ করুন।
উন্নয়নশীল:একটি হাইপোথিসিস এবং দক্ষতার সাথে প্রমাণ সহ নিজের মতামত রক্ষা করতে শেখান; তাদের জ্ঞানকে সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগত করার ক্ষমতা পরীক্ষা করুন।
শিক্ষাগত:বিষয়ের প্রতি আগ্রহ বাড়ান এবং আরও জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য প্রস্তুত হন।

পাঠের ধরন:জ্ঞানের সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণের পাঠ।

সরঞ্জাম:একটি প্রদত্ত বিষয়ে একটি পাঠে সম্মিলিত কাজের জন্য কার্ড, স্বাধীন কাজের জন্য পৃথক কার্ড, একটি কম্পিউটার, একটি মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর, একটি স্ক্রিন।

ক্লাস চলাকালীন

আমি মঞ্চ। সাংগঠনিক মুহূর্ত (1 মিনিট)

শিক্ষক পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্য ব্যাখ্যা করেন।

II পর্যায়। মৌলিক জ্ঞান এবং দক্ষতার বাস্তবায়ন (10 মিনিট)

শিক্ষক:পাঠে, আমরা সফলভাবে সমস্যা সমাধানে এগিয়ে যাওয়ার জন্য মেনেলাউস এবং সেভার উপপাদ্যগুলি স্মরণ করি। আসুন আপনার সাথে পর্দার দিকে তাকাই। এই ছবিটি কি উপপাদ্য? (মেনেলাউসের উপপাদ্য)। তত্ত্বটি স্পষ্টভাবে বলার চেষ্টা করুন।

ছবি 1

ত্রিভুজ ABC-এর BC পাশে বিন্দু A 1 থাকে, বিন্দু C 1 AB পাশে থাকে, বিন্দু B 1 পাশের AC এর বিস্তৃতিতে C বিন্দুর বাইরে থাকে। বিন্দু A 1, B 1 এবং C 1 একই সরলরেখায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমতা

শিক্ষক:চলুন একসঙ্গে পরবর্তী ছবি দেখে নেওয়া যাক। এই চিত্রের জন্য একটি উপপাদ্য তৈরি করুন।

চিত্র ২

রেখা AD দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং BMC ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

রেখা MB দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং ত্রিভুজ ADC-এর তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

শিক্ষক:ছবিটি কোন উপপাদ্যের সাথে মিলে যায়? (Ceva এর উপপাদ্য)। একটি উপপাদ্য তৈরি করুন।

চিত্র 3

ত্রিভুজের ABC বিন্দুতে A 1 পাশে BC, বিন্দু B 1 পাশে AC, বিন্দু C 1 AB পাশে। সেগমেন্ট AA 1, BB 1 এবং CC 1 এক বিন্দুতে ছেদ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমতা হয়

তৃতীয় পর্যায়। সমস্যা সমাধান. (২২ মিনিট)

ক্লাসটি 3 টি দলে বিভক্ত, প্রত্যেকে দুটি ভিন্ন টাস্ক সহ একটি কার্ড পায়। সমাধানের জন্য সময় দেওয়া হয়, তারপর স্ক্রীন প্রদর্শিত হয়<Рисунки 4-9>. কাজের জন্য প্রস্তুত অঙ্কন অনুসারে, দলগুলির প্রতিনিধিরা তাদের সমাধানগুলি ঘুরেফিরে ব্যাখ্যা করে। প্রতিটি ব্যাখ্যা একটি আলোচনা, প্রশ্নের উত্তর এবং পর্দায় সমাধানের সঠিকতা যাচাই দ্বারা অনুসরণ করা হয়। দলের সকল সদস্য আলোচনায় অংশ নেয়। দলটি যত বেশি সক্রিয়, সারসংক্ষেপ করার সময় এটিকে উচ্চতর মূল্যায়ন করা হয়।

কার্ড 1।

1. ত্রিভুজ ABC-এ পাশে BC বিন্দু N নেওয়া হয় যাতে NC = 3BN হয়; সাইড AC এর এক্সটেনশনে, বিন্দু M কে বিন্দু A হিসাবে নেওয়া হয় যাতে MA = AC হয়। রেখা MN পার্শ্ব AB কে F বিন্দুতে ছেদ করে। অনুপাত নির্ণয় করুন

2. প্রমাণ করুন যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 4

সমস্যার শর্ত অনুসারে, MA = AC, NC = 3BN। ধরা যাক MA = AC =b, BN = k, NC = 3k। রেখা MN ত্রিভুজ ABC এর দুটি বাহু এবং তৃতীয়টির প্রসারণকে ছেদ করে।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 5

ধরা যাক AM 1, BM 2, CM 3 ত্রিভুজ ABC-এর মধ্যক। প্রমাণ করার জন্য যে এই অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে, এটি দেখানোই যথেষ্ট

তারপর, (বিপরীত) Ceva উপপাদ্য দ্বারা, AM 1, BM 2 এবং CM 3 অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

আমাদের আছে:

সুতরাং, এটি প্রমাণিত হয় যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।

কার্ড 2।

1. ত্রিভুজ PQR-এর পাশে PQ-এ বিন্দু N নেওয়া হয়েছে, এবং বিন্দু L-কে PR-এর পাশে নেওয়া হয়েছে এবং NQ = LR। QL এবং NR অংশগুলির ছেদ বিন্দু QL কে m:n অনুপাতে ভাগ করে, Q বিন্দু থেকে গণনা করে। খুঁজুন

2. প্রমাণ কর যে একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক একটি বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 6

অনুমান NQ = LR, ধরুন NA = LR =a, QF = km, LF = kn। রেখা NR ত্রিভুজ PQL এর দুটি বাহু এবং তৃতীয়টির বর্ধিতাংশকে ছেদ করে।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 7

আমাদের সেটা দেখান

তারপর, (বিপরীত) Ceva উপপাদ্য দ্বারা, AL 1 , BL 2 , CL 3 এক বিন্দুতে ছেদ করে। একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকের সম্পত্তি অনুসারে

প্রাপ্ত সমতাকে মেয়াদ দ্বারা গুণ করে, আমরা পাই

একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকগুলির জন্য, Ceva এর সমতা সন্তুষ্ট, তাই, তারা এক বিন্দুতে ছেদ করে।

কার্ড 3।

1. ত্রিভুজে ABC AD হল মধ্যক, বিন্দু O হল মধ্যকের মধ্যবিন্দু। রেখা BO পার্শ্ব AC কে K বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দু A থেকে গণনা করে K বিন্দু AC কে কোন অনুপাতে ভাগ করে?

2. প্রমাণ করুন যে যদি একটি বৃত্ত একটি ত্রিভুজে খোদাই করা হয়, তাহলে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বিপরীত বাহুর যোগাযোগের বিন্দুগুলির সাথে সংযোগকারী অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 8

ধরা যাক BD = DC = a, AO = OD = m। লাইন VC দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং ত্রিভুজ ADC-এর তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 9

A 1 , B 1 এবং C 1 হল ত্রিভুজ ABC-এর উৎকীর্ণ বৃত্তের স্পর্শক বিন্দু। প্রমাণ করার জন্য যে AA 1, BB 1 এবং CC 1 অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে Ceva এর সমতা ধারণ করে:

একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে টানা স্পর্শকগুলির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা স্বরলিপি প্রবর্তন করি: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z।

Ceva এর সমতা ধারণ করে, যার অর্থ হল ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

IV পর্যায়। সমস্যা সমাধান (স্বাধীন কাজ) (8 মিনিট)

শিক্ষক: দলের কাজ শেষ এবং এখন আমরা 2টি বিকল্পের জন্য পৃথক কার্ডে স্বাধীন কাজ শুরু করব।

শিক্ষার্থীদের স্বাধীন কাজের জন্য পাঠের উপকরণ

বিকল্প 1.একটি ত্রিভুজ ABC-তে, যার ক্ষেত্রফল হল 6, AB পাশে, একটি বিন্দু K নেওয়া হয়, এই দিকটিকে AK:BK = 2:3 অনুপাতে ভাগ করে এবং পাশে AC - বিন্দু L, AC-কে ভাগ করে অনুপাত AL:LC = 5:3। রেখা СК এবং BL ছেদ করার বিন্দু Q দূরত্বে AB রেখা থেকে সরানো হয়েছে। AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (উত্তর: 4।)

বিকল্প 2।ত্রিভুজ ABC-তে AC এর পাশে K বিন্দু নেওয়া হয়েছে। AK = 1, KS = 3। বিন্দু L নেওয়া হয়েছে AB এর পাশে। AL:LВ = 2:3, Q হল BK এবং CL রেখার ছেদ বিন্দু। ত্রিভুজ ABC এর উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন, শীর্ষবিন্দু B থেকে নিচু। (উত্তর: 1.5।)

কাজ পর্যালোচনার জন্য শিক্ষকের কাছে জমা দেওয়া হয়।

ভি মঞ্চ। পাঠের সারাংশ (2 মিনিট)

ভুল বিশ্লেষণ করা হয়, মূল উত্তর এবং মন্তব্য উল্লেখ করা হয়. প্রতিটি দলের কাজের ফলাফল সংক্ষিপ্ত করা হয় এবং মার্ক দেওয়া হয়।

ষষ্ঠ পর্যায়। বাড়ির কাজ (1 মিনিট)

হোমওয়ার্ক টাস্ক নং 11, 12 পৃষ্ঠা 289-290, নং 10 পৃ. 301 নিয়ে গঠিত।

শিক্ষকের শেষ কথা (1 মিনিট)।

আজ আপনি পাশ থেকে একে অপরের গাণিতিক বক্তৃতা শুনেছেন এবং আপনার ক্ষমতা মূল্যায়ন করেছেন। ভবিষ্যতে, আমরা বিষয়টিকে আরও ভালভাবে বোঝার জন্য এই জাতীয় আলোচনাগুলি ব্যবহার করব। পাঠের আর্গুমেন্ট ছিল সত্যের সাথে বন্ধুত্ব এবং তত্ত্বের সাথে অনুশীলনের। সবাইকে ধন্যবাদ.

সাহিত্য:

Tkachuk V.V. একজন আবেদনকারীর জন্য গণিত। – এম.: MTsNMO, 2005।

ক্লাস: 9

পাঠের উদ্দেশ্য:

শিক্ষার্থীদের জ্ঞান এবং দক্ষতাকে সাধারণীকরণ, প্রসারিত এবং পদ্ধতিগত করা; জটিল সমস্যা সমাধানে জ্ঞান কীভাবে ব্যবহার করতে হয় তা শেখাতে;
সমস্যা সমাধানে জ্ঞানের স্বাধীন প্রয়োগের জন্য দক্ষতার বিকাশকে উন্নীত করা;
শিক্ষার্থীদের যৌক্তিক চিন্তাভাবনা এবং গাণিতিক বক্তৃতা, বিশ্লেষণ, তুলনা এবং সাধারণীকরণের ক্ষমতা বিকাশ করুন;
ছাত্রদের আত্মবিশ্বাস, পরিশ্রমে শিক্ষিত করা; একটি দলে কাজ করার ক্ষমতা।

পাঠের উদ্দেশ্য:

শিক্ষাগত:মেনেলাউস এবং সেভার উপপাদ্য পুনরাবৃত্তি করুন; সমস্যা সমাধানে তাদের প্রয়োগ করুন।
উন্নয়নশীল:একটি হাইপোথিসিস এবং দক্ষতার সাথে প্রমাণ সহ নিজের মতামত রক্ষা করতে শেখান; তাদের জ্ঞানকে সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগত করার ক্ষমতা পরীক্ষা করুন।
শিক্ষাগত:বিষয়ের প্রতি আগ্রহ বাড়ান এবং আরও জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য প্রস্তুত হন।

পাঠের ধরন:জ্ঞানের সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণের পাঠ।

ক্লাস চলাকালীন

আমি মঞ্চ। সাংগঠনিক মুহূর্ত (1 মিনিট)

শিক্ষক পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্য ব্যাখ্যা করেন।

II পর্যায়। মৌলিক জ্ঞান এবং দক্ষতার বাস্তবায়ন (10 মিনিট)

ছবি 1

চিত্র ২

রেখা AD দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং BMC ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

রেখা MB দুটি বাহুকে ছেদ করে এবং ত্রিভুজ ADC-এর তৃতীয় বাহুর প্রসারণ।

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

চিত্র 3

তৃতীয় পর্যায়। সমস্যা সমাধান. (২২ মিনিট)

কার্ড 1।

2. প্রমাণ করুন যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 4

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 5

তারপর, (বিপরীত) Ceva উপপাদ্য দ্বারা, AM 1, BM 2 এবং CM 3 অংশগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

আমাদের আছে:

সুতরাং, এটি প্রমাণিত হয় যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।

কার্ড 2।

2. প্রমাণ কর যে একটি ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক একটি বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান 1

চিত্র 6

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 7

আমাদের সেটা দেখান

প্রাপ্ত সমতাকে মেয়াদ দ্বারা গুণ করে, আমরা পাই

কার্ড 3।

সমাধান 1

চিত্র 8

মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে

উত্তর:

প্রমাণ 2

চিত্র 9

IV পর্যায়। সমস্যা সমাধান (স্বাধীন কাজ) (8 মিনিট)

শিক্ষার্থীদের স্বাধীন কাজের জন্য পাঠের উপকরণ

কাজ পর্যালোচনার জন্য শিক্ষকের কাছে জমা দেওয়া হয়।

ভি মঞ্চ। পাঠের সারাংশ (2 মিনিট)

ষষ্ঠ পর্যায়। বাড়ির কাজ (1 মিনিট)

হোমওয়ার্ক টাস্ক নং 11, 12 পৃষ্ঠা 289-290, নং 10 পৃ. 301 নিয়ে গঠিত।

শিক্ষকের শেষ কথা (1 মিনিট)।

সাহিত্য:

Tkachuk V.V. একজন আবেদনকারীর জন্য গণিত। – এম.: MTsNMO, 2005।

চেভা এবং মেনেলাউ এর থিওরেমস

Ceva এর উপপাদ্য

নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ত্রিভুজের উল্লেখযোগ্য বিন্দুগুলির বেশিরভাগই প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এমন কিছু নিয়ম থাকুক যা অনুসারে আমরা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু A বেছে নিতে পারি 1 , ত্রিভুজ ABC এর BC (বা এর এক্সটেনশন) পাশে (উদাহরণস্বরূপ, এই পাশের মধ্যবিন্দুটি বেছে নিন)। তারপর আমরা অনুরূপ বিন্দু বি তৈরি করি 1, গ 1 ত্রিভুজটির অন্য দুটি দিকে (আমাদের উদাহরণে, বাহুর আরও দুটি মধ্যবিন্দু রয়েছে)। যদি নির্বাচনের নিয়ম সফল হয়, তাহলে সরাসরি এ.এ 1, BB 1, CC 1 Z এ ছেদ করুন (এই অর্থে বাহুর মধ্যবিন্দুর পছন্দ অবশ্যই সফল, যেহেতু ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে)।

আমি এমন কিছু সাধারণ পদ্ধতি চাই যা আমাদেরকে একটি ত্রিভুজের পাশের বিন্দুর অবস্থান থেকে নির্ধারণ করতে দেয় যে রেখার সংশ্লিষ্ট ত্রিপল একটি বিন্দুতে ছেদ করে কিনা।

সার্বজনীন অবস্থা যা এই সমস্যাটিকে "বন্ধ" করে 1678 সালে একজন ইতালীয় প্রকৌশলী খুঁজে পেয়েছিলেনজিওভানি সেভা .

সংজ্ঞা। একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত বাহুর বিন্দুর সাথে (বা তাদের সম্প্রসারণ) সংযোগকারী অংশগুলিকে সেভিয়ান বলা হয় যদি তারা একটি বিন্দুতে ছেদ করে।

সিভিয়ানের অবস্থানের জন্য দুটি বিকল্প রয়েছে। এক সংস্করণে, বিন্দু

ছেদগুলি অভ্যন্তরীণ, এবং সিভিয়ানগুলির প্রান্তগুলি ত্রিভুজের পাশে অবস্থিত। দ্বিতীয় সংস্করণে, ছেদ বিন্দুটি বাহ্যিক, একটি সিভিয়ানের শেষ পাশে থাকে এবং অন্য দুটি সেভিয়ানের প্রান্তটি পাশের এক্সটেনশনে থাকে (অঙ্কনগুলি দেখুন)।

উপপাদ্য 3. (Ceva এর সরাসরি উপপাদ্য) একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ এবিসি বাহুতে BC, CA, AB বা তাদের এক্সটেনশনে, পয়েন্ট A যথাক্রমে নেওয়া হয় 1 , AT 1 , থেকে 1 , যেমন সরাসরি AA 1 , বিবি 1 , এসএস 1 কিছু সাধারণ বিন্দুতে ছেদ করুন, তারপর

প্রমাণ: যেহেতু Ceva এর উপপাদ্যের বেশ কিছু মূল প্রমাণ রয়েছে, তাই আমরা মেনেলাউসের উপপাদ্যের দ্বিগুণ প্রয়োগের ভিত্তিতে একটি প্রমাণ বিবেচনা করব। আসুন ত্রিভুজের জন্য প্রথমবারের মতো মেনেলাউসের উপপাদ্যের সম্পর্ক লিখিএবিবি 1 এবং secant সিসি 1 (আমরা সিভিয়ানের ছেদ বিন্দুকে বোঝাইজেড):

এবং ত্রিভুজের জন্য দ্বিতীয়বারখ 1 বিসিএবং সেক্যান্ট এএ 1 :

এই দুটি সম্পর্ককে গুণ করে, প্রয়োজনীয় হ্রাস করে, আমরা উপপাদ্যের বিবৃতিতে থাকা সম্পর্কটি পাই।

উপপাদ্য 4. (বিপরীত সেভা উপপাদ্য) . যদি ত্রিভুজের পাশে নির্বাচিতদের জন্য এবিসি অথবা তাদের পয়েন্টের এক্সটেনশন ক 1 , AT 1 এবং গ 1 Ceva এর অবস্থা সন্তুষ্ট:

তারপর সোজা এএ 1 , বিবি 1 এবং সিসি 1 এক বিন্দুতে ছেদ করুন .

এই উপপাদ্যের প্রমাণ দ্বন্দ্ব দ্বারা সঞ্চালিত হয়, ঠিক যেমন মেনেলাউসের উপপাদ্যের প্রমাণ।

আসুন Ceva এর প্রত্যক্ষ এবং বিপরীত উপপাদ্য প্রয়োগের উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ 3 প্রমাণ করুন যে একটি ত্রিভুজের মধ্যক এক বিন্দুতে ছেদ করে।

সমাধান। সম্পর্ক বিবেচনা করুন

একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর বাহুর মধ্যবিন্দুগুলির জন্য। স্পষ্টতই, লব এবং হর এর প্রতিটি ভগ্নাংশে সমান অংশ রয়েছে, তাই এই সমস্ত ভগ্নাংশ একের সমান। অতএব, Ceva সম্পর্ক সন্তুষ্ট, অতএব, বিপরীত উপপাদ্য দ্বারা, মধ্যমাগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

উপপাদ্য (সেভার উপপাদ্য) . পয়েন্ট যাক পাশে শুয়ে থাকাএবং ত্রিভুজ যথাক্রমে সেগমেন্ট যাকএবং এক বিন্দুতে ছেদ করুন। তারপর

(ত্রিভুজ ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরুন)।

প্রমাণ।দ্বারা নির্দেশ করুন অংশগুলির ছেদ বিন্দুএবং . পয়েন্ট থেকে ড্রপএবং একটি রেখার লম্বপয়েন্টে এটির সাথে ছেদ করার আগেএবং যথাক্রমে (চিত্র দেখুন)।

কারণ ত্রিভুজএবং একটি সাধারণ দিক আছে, তারপর তাদের ক্ষেত্রগুলি এই দিকে টানা উচ্চতা হিসাবে সম্পর্কিত, যেমনএবং :

শেষ সমতা সত্য, যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজএবং তীব্র কোণে অনুরূপ।

একইভাবে, আমরা পেতে

এবং

আসুন এই তিনটি সমতাকে গুণ করি:

Q.E.D.

মিডিয়ান সম্পর্কে:

1. ত্রিভুজ ABC-এর শীর্ষবিন্দুতে একক ভর রাখুন।
2. A এবং B বিন্দুর ভরের কেন্দ্র AB এর মাঝখানে। সমগ্র সিস্টেমের ভরের কেন্দ্রটি AB-এর মধ্যভাগে হতে হবে, যেহেতু ত্রিভুজ ABC-এর ভরের কেন্দ্র হল A এবং B এবং C বিন্দুর ভরের কেন্দ্রের ভরের কেন্দ্র।
(এটা বিভ্রান্তিকর হয়ে উঠেছে)
3. একইভাবে - CM-এর উচিত AC এবং BC-এর পাশের মধ্যমায় শুয়ে থাকা
4. যেহেতু CM একমাত্র বিন্দু, তাই, এই তিনটি মধ্যক অবশ্যই একে ছেদ করবে।

যাইহোক, এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে তারা 2: 1 অনুপাতে ছেদ দ্বারা বিভক্ত। যেহেতু A এবং B বিন্দুর ভরের কেন্দ্রের ভর হল 2 এবং C বিন্দুর ভর হল 1, তাই ভরের সাধারণ কেন্দ্র, অনুপাত উপপাদ্য অনুসারে, মধ্যকে 2/1 অনুপাতে ভাগ করবে।

আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, এটি একটি অ্যাক্সেসযোগ্য উপায়ে উপস্থাপিত হয়েছে, আমি মনে করি ভর জ্যামিতি পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণ প্রদান করা অতিরিক্ত হবে না, উদাহরণস্বরূপ:
রেখা AA1 এবং CC1 O বিন্দুতে ছেদ করে; AC1: C1B = p এবং BA1: A1C = q. আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে লাইন BB1 O বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় যদি এবং শুধুমাত্র যদি CB1: B1A = 1: pq।
আসুন A, B এবং C বিন্দুতে যথাক্রমে ভর 1, p এবং pq রাখি। তারপর বিন্দু C1 হল A এবং B বিন্দুর ভরের কেন্দ্র এবং বিন্দু A1 হল B এবং C বিন্দুর ভরের কেন্দ্র। অতএব, প্রদত্ত ভর সহ A, B এবং C বিন্দুর ভরের কেন্দ্র হল বিন্দুর O বিন্দু। CC1 এবং AA1 লাইনের ছেদ। অপরদিকে, বিন্দুটি A এবং C বিন্দুর ভরের কেন্দ্রের সাথে B সংযোগকারী বিন্দুর উপর অবস্থিত। B1 যদি 1 এবং pq ভর সহ A এবং C বিন্দুর ভরের কেন্দ্র হয়, তাহলে AB1: B1C = pq: 1. এটি লক্ষ করা যায় যে সেগমেন্ট AC-তে একটি একক বিন্দু রয়েছে যা এটিকে AB1: B1C অনুপাতে ভাগ করে।

2. Ceva এর উপপাদ্য

ত্রিভুজের একটি শীর্ষবিন্দুকে বিপরীত দিকের কিছু বিন্দুর সাথে সংযোগকারী রেখাখন্ডকে বলেceviana . এইভাবে, যদি একটি ত্রিভুজ হয়এবিসি এক্স , Y এবং জেড - পক্ষের পয়েন্টবিসি , সিএ , এবি যথাক্রমে, তারপর বিভাগAX , দ্বারা , cz শেভিয়ানরা। শব্দটি এসেছে ইতালীয় গণিতবিদ জিওভানি সেভা থেকে, যিনি 1678 সালে নিম্নলিখিত অত্যন্ত দরকারী উপপাদ্য প্রকাশ করেছিলেন:

উপপাদ্য 1.21. যদি ত্রিভুজ ABC-এর তিনটি সেভিয়ান AX, BY, CZ (প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে একটি) প্রতিযোগিতামূলক হয়, তাহলে

|বিএক্স||এক্সসি|· |সিওয়াই||YA|· |AZ||জেডবি|=1 .

ভাত। 3.

যখন আমরা বলি যে তিনটি লাইন (বা সেগমেন্ট)প্রতিযোগিতামূলক , তাহলে আমরা বলতে চাচ্ছি যে তারা সকলেই একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, যা আমরা নির্দেশ করিপৃ . Ceva এর উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য, স্মরণ করুন যে সমান উচ্চতা সহ ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রগুলি ত্রিভুজের ভিত্তিগুলির সমানুপাতিক। চিত্র 3 উল্লেখ করে, আমাদের আছে:

|বিএক্স||এক্সসি|= এসএবিএক্সSAXC= এসপিবিএক্সএসপিএক্সসি= SABX-এসপিবিএক্সSAXC-এসপিএক্সসি= এসএবিপিSCAP.

একইভাবে,

|সিওয়াই||YA|= এসবিসিপিএসএবিপি, |AZ||জেডবি|= SCAPএসবিসিপি.

এখন যদি আমরা তাদের গুণ করি, আমরা পাই

|বিএক্স||এক্সসি|· |সিওয়াই||YA|· |AZ||জেডবি|= এসএবিপিSCAP· এসবিসিপিএসএবিপি· SCAPএসবিসিপি=1 .

এই তত্ত্বের বিপরীতটিও সত্য:

উপপাদ্য 1.22. যদি তিনটি সেভিয়ান AX, BY, CZ সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে

|বিএক্স||এক্সসি|· |সিওয়াই||YA|· |AZ||জেডবি|=1 ,

তাহলে তারা প্রতিযোগী .

এটি দেখানোর জন্য, ধরুন যে প্রথম দুটি সিভিয়ান বিন্দুতে ছেদ করেপৃ , আগের মত, এবং তৃতীয় ceviana বিন্দু মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ীপৃ , হবেCZ' . তারপর, উপপাদ্য 1.21 দ্বারা,

|বিএক্স||এক্সসি|· |সিওয়াই||YA|· |AZ′||জেড'বি|=1 .

কিন্তু অনুমান দ্বারা

|বিএক্স||এক্সসি|· |সিওয়াই||YA|· |AZ||জেডবি|=1 .

অতএব,

|AZ||জেডবি|= |AZ′||জেড'বি| ,

বিন্দুজেড' বিন্দুর সাথে মিলে যায়জেড , এবং আমরা প্রমাণ করেছি যে সেগমেন্টAX , দ্বারা এবংcz প্রতিযোগিতামূলক (, pp. 54 এবং , pp. 48, 317)।

জ্যামিতির কোর্সে এমন উপপাদ্য রয়েছে যা স্কুলে বিশদভাবে অধ্যয়ন করা হয় না, তবে যা OGE এবং USE-এর সবচেয়ে কঠিন সমস্যা সমাধানের জন্য কার্যকর হতে পারে। এর মধ্যে রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, মেনেলাউসের উপপাদ্য। ঐতিহ্যগতভাবে, এটি 8 ম শ্রেণিতে গণিতের গভীর অধ্যয়নের সাথে ক্লাসে অধ্যয়ন করা হয় এবং নিয়মিত প্রোগ্রামে (আটানাসিয়ানের পাঠ্যপুস্তক অনুসারে), মেনেলাউসের উপপাদ্যটি 10-11 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়।
এদিকে, ইন্টারনেট রিসোর্স অধ্যয়নের ফলাফল যা মেনেলাউস উপপাদ্য উল্লেখ করে তা দেখায় যে এটি সাধারণত অসম্পূর্ণভাবে এবং তাই ভুলভাবে প্রণয়ন করা হয় এবং এর ব্যবহারের সমস্ত ক্ষেত্রে, সেইসাথে বিপরীত উপপাদ্যের প্রমাণ দেওয়া হয় না। এই নিবন্ধটির উদ্দেশ্য হল মেনেলাউস উপপাদ্যটি কী, কীভাবে এবং কেন এটি ব্যবহার করা হয় তা বোঝা এবং শিক্ষার্থীদের সাথে পৃথক টিউটর ক্লাসে এই উপপাদ্যটি শেখানোর পদ্ধতিটি ভাগ করা।
একটি সাধারণ কাজ (টাস্ক নং 26, OGE) বিবেচনা করুন, যা পরীক্ষায় বিভিন্ন বিকল্পের মধ্যে ঘটে যা শুধুমাত্র শর্তের সংখ্যার মধ্যে আলাদা।

সমস্যার সমাধান নিজেই সহজ - আপনি এটি নীচে পড়তে পারেন। এই নিবন্ধে, যাইহোক, আমরা প্রধানত একটি সামান্য ভিন্ন পয়েন্টে আগ্রহী, যা প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়, স্ব-প্রকাশ্য হিসাবে বোঝা যায়, যেমন স্পষ্ট। কিন্তু স্পষ্ট কি প্রমাণ করা যেতে পারে. এবং এটি বিভিন্ন উপায়ে প্রমাণ করা যেতে পারে - সাধারণত তারা সাদৃশ্যের সাহায্যে এটি একচেটিয়াভাবে প্রমাণ করে - তবে এটি মেনেলাউসের উপপাদ্যের সাহায্যেও করা যেতে পারে।
এটি এই শর্ত থেকে অনুসরণ করে যে, যেহেতু ট্র্যাপিজয়েডের নীচের বেসে কোণগুলি 90 ° পর্যন্ত যোগ করে, তাহলে আপনি যদি বাহুগুলিকে প্রসারিত করেন তবে আপনি একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাবেন। আরও, পার্শ্বীয় বাহুর সম্প্রসারণের ফলে ছেদ বিন্দু থেকে, একটি সেগমেন্ট আঁকা হয় যা ঘাঁটির মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। এবং কেন এই বিভাগটি এই তিনটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়? সাধারণত, ইন্টারনেটে পাওয়া সমস্যার সমাধানগুলিতে এটি সম্পর্কে একটি শব্দও বলা হয় না। এমনকি চার-পয়েন্ট ট্র্যাপিজয়েড উপপাদ্যের একটি উল্লেখও নেই, এই দাবির একটি প্রমাণ ছেড়ে দিন। এদিকে, এটি মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে, যা একটি সরলরেখার অন্তর্গত তিনটি বিন্দুর জন্য একটি শর্ত।

মেনেলাউসের তত্ত্বের বিবৃতি
এটি উপপাদ্য গঠন করার সময়. এটি লক্ষ করা উচিত যে বিভিন্ন পাঠ্যপুস্তক এবং ম্যানুয়ালগুলিতে এর বেশ ভিন্ন ফর্মুলেশন রয়েছে, যদিও সারমর্মটি অপরিবর্তিত রয়েছে। 10-11 গ্রেডের জন্য Atanasyan এবং অন্যান্যদের পাঠ্যপুস্তকে, মেনেলাউস উপপাদ্যের নিম্নলিখিত সূত্র দেওয়া হয়েছে, আসুন এটিকে "ভেক্টর" বলি:

পাঠ্যপুস্তকে "জ্যামিতি 10-11 ক্লাস" আলেকজান্দ্রোভা এট আল।, সেইসাথে একই লেখকের পাঠ্যপুস্তকে "জ্যামিতি। গ্রেড 8 ”মেনেলাউস উপপাদ্যের একটি সামান্য ভিন্ন সূত্র দেওয়া হয়েছে, এবং গ্রেড 10-11 এবং গ্রেড 8 এর জন্য এটি একই:
এখানে তিনটি মন্তব্য করা প্রয়োজন।
দ্রষ্টব্য 1. পরীক্ষায়, এমন কোন সমস্যা নেই যা শুধুমাত্র ভেক্টরের সাহায্যে সমাধান করতে হবে, যার জন্য ঠিক "মাইনাস ওয়ান" ব্যবহার করা হয়। অতএব, ব্যবহারিক ব্যবহারের জন্য, সবচেয়ে সুবিধাজনক সূত্রটি আসলে, অংশগুলির জন্য উপপাদ্যের একটি পরিণতি (এটি গাঢ় অক্ষরে দ্বিতীয় সূত্র)। আমরা মেনেলাউস উপপাদ্যের আরও অধ্যয়নের জন্য এটিতে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব, যেহেতু আমাদের লক্ষ্য হল সমস্যা সমাধানের জন্য কীভাবে এটি প্রয়োগ করা যায় তা শিখতে হবে।
দ্রষ্টব্য 2. যদিও সমস্ত পাঠ্যপুস্তক স্পষ্টভাবে কেসটি নির্দিষ্ট করে দেয় যখন তিনটি বিন্দু A 1, B 1 এবং C 1 ত্রিভুজের বাহুর সম্প্রসারণে (বা ত্রিভুজের বাহু সম্বলিত রেখাগুলিতে) কয়েকটিতে থাকা যায়। ইন্টারনেটে টিউটরিং সাইটগুলি শুধুমাত্র তখনই প্রণয়ন করা হয় যখন দুটি পয়েন্ট দুই পাশে থাকে এবং তৃতীয়টি তৃতীয় দিকের এক্সটেনশনে থাকে। এটি খুব কমই এই সত্য দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হতে পারে যে শুধুমাত্র প্রথম ধরণের সমস্যাগুলি পরীক্ষায় সম্মুখীন হয় এবং যখন এই সমস্ত পয়েন্টগুলি তিনটি দিকের সম্প্রসারণে থাকে তখন সমস্যার সম্মুখীন হতে পারে না।
দ্রষ্টব্য 3: বিপরীত উপপাদ্য, অর্থাৎ একই সরলরেখায় তিনটি বিন্দু থাকার শর্তটি সাধারণত মোটেই বিবেচনা করা হয় না, এবং কিছু শিক্ষক এমনকি (???) শুধুমাত্র সরাসরি উপপাদ্যের সাথে মোকাবিলা করার পরামর্শ দেন, এবং বিপরীত উপপাদ্য বিবেচনা না করেন। এদিকে, কথোপকথন বিবৃতির প্রমাণটি বেশ শিক্ষণীয় এবং এটি একজনকে সমস্যা 1 এর সমাধানে প্রদত্ত বিবৃতির অনুরূপ প্রমাণ করার অনুমতি দেয়। কথোপকথন উপপাদ্য প্রমাণ করার অভিজ্ঞতা নিঃসন্দেহে সমস্যা সমাধানে শিক্ষার্থীকে একটি বাস্তব সুবিধা দেবে।

অঙ্কন এবং নিদর্শন

শিক্ষার্থীকে সমস্যার মধ্যে মেনেলাউস উপপাদ্য দেখতে এবং এটি সমাধানে ব্যবহার করতে শেখানোর জন্য, একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে উপপাদ্যের রেকর্ডে অঙ্কন এবং প্যাটার্নগুলিতে মনোযোগ দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ। এবং যেহেতু উপপাদ্য নিজেই তার "বিশুদ্ধ" আকারে রয়েছে, অর্থাৎ অন্যান্য বিভাগ দ্বারা বেষ্টিত না হয়ে, সমস্যাগুলির বিভিন্ন পরিসংখ্যানের দিকগুলি সাধারণত ঘটে না, তাহলে নির্দিষ্ট সমস্যার উপর উপপাদ্যটি দেখানো আরও সমীচীন। এবং যদি আপনি একটি ব্যাখ্যা হিসাবে ছবি দেখান, তারপর তাদের multivariate করা. এই ক্ষেত্রে, একটি রঙে হাইলাইট করুন (উদাহরণস্বরূপ, লাল) সরলরেখা, যা তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত এবং নীলে - মেনেলাউসের উপপাদ্যের রেকর্ডিংয়ের সাথে জড়িত ত্রিভুজের অংশগুলি। একই সময়ে, যে উপাদানগুলি অংশ নেয় না সেগুলি কালো থাকে:

প্রথম নজরে, এটি মনে হতে পারে যে উপপাদ্যের গঠনটি বরং জটিল এবং সর্বদা স্পষ্ট নয়; কারণ এতে তিনটি ভগ্নাংশ জড়িত। প্রকৃতপক্ষে, যদি শিক্ষার্থীর যথেষ্ট অভিজ্ঞতা না থাকে, তবে সে সহজেই লেখায় ভুল করতে পারে এবং ফলস্বরূপ, ভুলভাবে সমস্যার সমাধান করতে পারে। এবং এখানে, কখনও কখনও, সমস্যা শুরু হয়। আসল বিষয়টি হ'ল পাঠ্যপুস্তকগুলি সাধারণত একটি উপপাদ্য লেখার সময় কীভাবে "চক্রপথ করতে হয়" সেদিকে ফোকাস করে না। উপপাদ্য লেখার নিয়মিততা সম্পর্কে কিছুই বলা হয় না। অতএব, কিছু শিক্ষক এমনকি বিভিন্ন তীর আঁকেন, কী ক্রমে সূত্রটি লিখবেন। এবং তারা শিক্ষার্থীদের এই নির্দেশিকাগুলি কঠোরভাবে অনুসরণ করতে বলে। এটি আংশিকভাবে সঠিক, তবে "বাইপাস নিয়ম" এবং তীরগুলি ব্যবহার করে এটিকে সম্পূর্ণ যান্ত্রিকভাবে লেখার চেয়ে উপপাদ্যটির সারাংশ বোঝা অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ।
আসলে, শুধুমাত্র "বাইপাস" এর যুক্তি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ এবং এটি এতই সুনির্দিষ্ট যে সূত্রটি লিখতে ভুল করা অসম্ভব। উভয় ক্ষেত্রেই a) এবং b) আমরা AMC ত্রিভুজের সূত্র লিখি।
শুরু করার জন্য, আমরা নিজেদের জন্য তিনটি বিন্দু নির্ধারণ করি - ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। আমাদের এই বিন্দুগুলি A, M, C। তারপরে আমরা ছেদকারী লাইনের (লাল রেখা) উপর থাকা বিন্দুগুলি নির্ধারণ করি, এগুলি হল B, P, K। আমরা ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে "আন্দোলন" শুরু করি, উদাহরণস্বরূপ, থেকে বিন্দু C. এই বিন্দু থেকে আমরা ছেদ দ্বারা গঠিত বিন্দুতে "যাই", উদাহরণস্বরূপ, পাশের AC এবং ছেদকারী রেখার - আমাদের এই বিন্দুটি K আছে। আমরা প্রথম ভগ্নাংশের লবটিতে লিখি - SK। K বিন্দু থেকে আরও আমরা AC রেখার অবশিষ্ট বিন্দুতে "যাব" - A বিন্দুতে। প্রথম ভগ্নাংশের হর-এ আমরা লিখি - KA। যেহেতু বিন্দু A এছাড়াও লাইন AM এর অন্তর্গত, তাই আমরা লাইন AM এর অংশগুলির সাথে একই কাজ করি। এবং এখানে আবার, আমরা শীর্ষ থেকে শুরু করি, তারপরে ছেদকারী লাইনের একটি বিন্দুতে "যাও", তারপরে আমরা শীর্ষে যাই। BC লাইনে "নিজেকে খুঁজে পাই", আমরা এটির অংশগুলির সাথে একই কাজ করি। লাইন অবশ্যই, আমরা M থেকে B তে “যাই”, তারপরে আমরা C-তে ফিরে যাই। এই “বাইপাস” ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে করা যেতে পারে। এটি শুধুমাত্র বাইপাস নিয়ম বোঝা গুরুত্বপূর্ণ - একটি শীর্ষবিন্দু থেকে একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে এবং একটি সরলরেখার একটি বিন্দু থেকে অন্য শীর্ষে। এইরকম কিছু সাধারণত ভগ্নাংশের গুণফল লেখার নিয়ম দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। ফলাফল হলো:
আসুন এই বিষয়টিতে মনোযোগ দিন যে পুরো "বাইপাস" রেকর্ডে প্রতিফলিত হয় এবং সুবিধার জন্য তীর দ্বারা দেখানো হয়।
যাইহোক, ফলাফল রেকর্ড কোন "ট্রাভার্সাল" সঞ্চালন ছাড়া পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে. বিন্দুগুলি লেখার পরে - ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি (A, M, C) এবং বিন্দুগুলি - ছেদকারী রেখায় (B, P, K), তারা প্রতিটিতে থাকা বিন্দুগুলিকে নির্দেশ করে তিনগুণ অক্ষরও লিখে দেয় তিনটি লাইন। আমাদের ক্ষেত্রে, এগুলি হল I) B , M , C ; II) A, P, M এবং III) A, C, K। এর পরে, সূত্রের সঠিক বাম অংশ এমনকি অঙ্কন না দেখে এবং কোনও ক্রমে লেখা যেতে পারে। প্রতিটি ট্রিপল অক্ষর থেকে সত্য ভগ্নাংশ লেখার জন্য আমাদের পক্ষে যথেষ্ট, যা নিয়ম মেনে চলে - শর্তসাপেক্ষে, "মাঝের" অক্ষরগুলি ছেদকারী লাইনের বিন্দু (লাল)। প্রচলিতভাবে, "চরম" অক্ষরগুলি ত্রিভুজ (নীল) এর শীর্ষবিন্দুগুলির বিন্দু। এইভাবে একটি সূত্র লেখার সময়, আপনাকে শুধুমাত্র নিশ্চিত করতে হবে যে কোনো "নীল" অক্ষর (ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু) লব এবং হর উভয়কেই একবার আঘাত করে। উদাহরণ স্বরূপ।
এই পদ্ধতিটি খ) এবং স্ব-পরীক্ষার জন্য বিশেষভাবে উপযোগী।

মেনেলাউসের উপপাদ্য। প্রমাণ
মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণ করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। কখনও কখনও তারা ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য ব্যবহার করে প্রমাণ করে, যার জন্য AC-এর সমান্তরাল একটি অংশ M বিন্দু থেকে আঁকা হয়েছে (যেমন এই অঙ্কনে)। অন্যরা একটি অতিরিক্ত রেখা আঁকে যা ছেদকারী রেখার সমান্তরাল নয়, এবং তারপরে ছেদকারী রেখার সমান্তরাল রেখাগুলির সাথে, তারা এই লাইনের উপর সমস্ত প্রয়োজনীয় অংশগুলিকে "প্রজেক্ট" করে বলে মনে হয় এবং থ্যালেস উপপাদ্যের সাধারণীকরণ ব্যবহার করে (অর্থাৎ, আনুপাতিক অংশে উপপাদ্য), একটি সূত্র বের করে। যাইহোক, সম্ভবত এটি প্রমাণ করার সবচেয়ে সহজ উপায়টি M বিন্দু থেকে ছেদকারীর সমান্তরাল থেকে একটি সরল রেখা আঁকার মাধ্যমে পাওয়া যায়। আসুন এইভাবে মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রমাণ করি।
দেওয়া হয়েছে: ত্রিভুজ ABC। রেখা PK ত্রিভুজের বাহুগুলোকে ছেদ করে এবং B বিন্দুতে MC বাহুর প্রসারণ করে।
প্রমাণ করুন যে সমতা ধারণ করে:
প্রমাণ। BK-এর সমান্তরালে একটি বিম MM 1 আঁকি। আসুন আমরা সেই সম্পর্কগুলি লিখি যেখানে মেনেলাউস উপপাদ্যের সূত্রে অন্তর্ভুক্ত অংশগুলি অংশ নেয়। একটি ক্ষেত্রে, A বিন্দুতে ছেদ করা রেখাগুলি বিবেচনা করুন এবং অন্য ক্ষেত্রে, C বিন্দুতে ছেদ করছে। আসুন এই সমীকরণের বাম এবং ডান অংশগুলিকে গুণ করি:

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
উপপাদ্যটি একইভাবে প্রমাণিত হয় ক্ষেত্রে b)।

C বিন্দু থেকে আমরা BK লাইনের সমান্তরাল CC 1 সেগমেন্ট আঁকি। আসুন আমরা সেই সম্পর্কগুলি লিখি যেখানে মেনেলাউস উপপাদ্যের সূত্রে অন্তর্ভুক্ত অংশগুলি অংশ নেয়। একটি ক্ষেত্রে, আমরা A বিন্দুতে ছেদ করা রেখাগুলি বিবেচনা করি, এবং অন্য ক্ষেত্রে, M বিন্দুতে ছেদ করা। যেহেতু থ্যালেস উপপাদ্য দুটি ছেদকারী রেখায় অংশগুলির অবস্থান সম্পর্কে কিছু বলে না, তাই বিভাগগুলি বিপরীত দিকেও অবস্থিত হতে পারে। বিন্দু M. অতএব

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

আমরা এখন কনভার্স থিওরেম প্রমাণ করি।
প্রদত্ত:
প্রমাণ করুন যে B, P, K বিন্দু একই রেখায় অবস্থিত।
প্রমাণ। রেখা BP কে K 2 বিন্দুতে AC কে ছেদ করতে দিন যা K বিন্দুর সাথে মিলে না। যেহেতু BP একটি রেখা যেখানে K 2 বিন্দু রয়েছে, তাই মেনেলাউসের উপপাদ্যটি এর জন্য বৈধ। সুতরাং, এটির জন্য আমরা লিখি
যাইহোক, আমরা শুধু তা দেখিয়েছি
এটি অনুসরণ করে যে পয়েন্ট K এবং K 2 মিলে যায়, যেহেতু তারা একই অনুপাতে পাশের AC ভাগ করে।
ক্ষেত্রে খ) উপপাদ্য একইভাবে প্রমাণিত হয়।

মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান

প্রথমে, আসুন সমস্যা 1 এ ফিরে যাই এবং এটি সমাধান করি। এর আবার পড়া যাক. চলুন একটি অঙ্কন করা যাক:

একটি trapezoid ABCD দেওয়া. ST - ট্র্যাপিজয়েডের মাঝের লাইন, যেমন এই দূরত্বগুলির মধ্যে একটি। কোণ A এবং D 90° পর্যন্ত যোগ করে। আমরা AB এবং CD বাহুগুলিকে প্রসারিত করি এবং তাদের সংযোগস্থলে আমরা K বিন্দু পাই। K বিন্দুটিকে N বিন্দুর সাথে সংযোগ করি - BC এর মাঝখানে। এখন প্রমাণ করা যাক যে P বিন্দু, যেটি AD এর ভিত্তির মধ্যবিন্দু, সেটিও KN রেখার অন্তর্গত। পরপর ABD এবং ACD ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। রেখা KP প্রতিটি ত্রিভুজের দুটি বাহুকে ছেদ করে। ধরুন রেখা KN বেস AD কে কোন এক বিন্দুতে ছেদ করে X। মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে:
যেহেতু ত্রিভুজ AKD সমকোণ, তাই বিন্দু P, যা AD কর্ণের মধ্যবিন্দু, A, D এবং K থেকে সমান দূরত্বের। একইভাবে, বিন্দু N হল B, C এবং K বিন্দু থেকে সমদূরত্ব। যেখান থেকে একটি বেস 36 এবং অন্যটি 2।
সমাধান। ত্রিভুজ বিসিডি বিবেচনা করুন। এটি AX রশ্মি দ্বারা অতিক্রম করা হয়েছে, যেখানে X হল এই রশ্মির ছেদ বিন্দু বিসি পাশের এক্সটেনশনের সাথে। মেনেলাউসের তত্ত্ব অনুসারে:
(1) প্রতিস্থাপন করে (2) আমরা পাই:

সমাধান। S 1, S 2, S 3 এবং S 4 যথাক্রমে AOB, AOM, BOK এবং চতুর্ভুজ MOKC ত্রিভুজের ক্ষেত্র।

যেহেতু BM মধ্যমা, তাহলে S ABM = S BMC।
সুতরাং S 1 + S 2 = S 3 + S 4।
যেহেতু আমাদের S 1 এবং S 4 ক্ষেত্রগুলির অনুপাত খুঁজে বের করতে হবে, তাই আমরা সমীকরণের উভয় দিককে S 4 দ্বারা ভাগ করি:
আসুন এই মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি (1): সেকেন্ট AK সহ ত্রিভুজ BMC থেকে, মেনেলাউসের উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে: সেক্যান্ট BM সহ AKC ত্রিভুজ থেকে, মেনেলাউস উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে: সমস্ত প্রয়োজনীয় অনুপাত k এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়, এবং এখন আমরা তাদের অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করতে পারি (2):
Menelaus উপপাদ্য ব্যবহার করে এই সমস্যার সমাধান পৃষ্ঠায় বিবেচনা করা হয়েছে।

গণিত শিক্ষকের নোট।এই সমস্যায় মেনেলাউস উপপাদ্যের প্রয়োগ সেই ক্ষেত্রেই যখন এই পদ্ধতিটি পরীক্ষার সময় উল্লেখযোগ্যভাবে বাঁচাতে পারে। এই টাস্কটি 9ম গ্রেডের (2019) উচ্চ বিদ্যালয়ের অর্থনীতিতে লাইসিয়ামে প্রবেশিকা পরীক্ষার ডেমো সংস্করণে দেওয়া হয়েছে।

নিজের জন্য সিদ্ধান্ত নিন

1) কাজটি দ্রুততর। ত্রিভুজ ABC-এর মধ্যক BD-এ একটি বিন্দু M চিহ্নিত করা হয়েছে যাতে BM: MD = m: n। রেখা AM K বিন্দুতে পাশে BC কে ছেদ করে।
BK:KC অনুপাত খুঁজুন।
2) কাজটি আরও কঠিন। সমান্তরালগ্রাম ABCD-এর A কোণের দ্বিখণ্ডকটি P বিন্দুতে পাশে BC এবং T বিন্দুতে তির্যক BD কে ছেদ করে। এটা জানা যায় যে AB: AD = k (0 3) টাস্ক নম্বর 26 OGE। ত্রিভুজ ABC-তে, দ্বিখণ্ডক BE এবং মধ্যমা AD লম্ব এবং একই দৈর্ঘ্য 36 এর সমান। ABC ত্রিভুজের বাহুগুলি খুঁজুন।
গণিত শিক্ষক ইঙ্গিত.ইন্টারনেটে, অতিরিক্ত নির্মাণের সাহায্যে এই জাতীয় সমস্যার সমাধান রয়েছে এবং তারপরে হয় সাদৃশ্য বা ক্ষেত্রগুলি খুঁজে বের করা, এবং তার পরেই ত্রিভুজের দিকগুলি। সেগুলো. এই উভয় পদ্ধতি অতিরিক্ত নির্মাণ প্রয়োজন. যাইহোক, দ্বিখণ্ডিত সম্পত্তি এবং মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে এই জাতীয় সমস্যার সমাধানের জন্য কোনও অতিরিক্ত নির্মাণের প্রয়োজন নেই। এটা অনেক সহজ এবং আরো যুক্তিসঙ্গত.

মেনেলাউসের উপপাদ্যবা সম্পূর্ণ চার-পার্শ্বযুক্ত উপপাদ্যটি প্রাচীন গ্রীস থেকে পরিচিত। এটি এর লেখক, একজন প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানীর নামে নামকরণ করা হয়েছিল। আলেকজান্দ্রিয়ার মেনেলাউস(প্রায় 100 খ্রিস্টাব্দ)। এই উপপাদ্যটি খুব সুন্দর এবং সহজ, কিন্তু দুর্ভাগ্যবশত, আধুনিক স্কুল কোর্সে এটিকে যথাযথ মনোযোগ দেওয়া হয় না। এবং, ইতিমধ্যে, অনেক ক্ষেত্রে এটি বেশ জটিল জ্যামিতিক সমস্যাগুলি খুব সহজে এবং সুন্দরভাবে সমাধান করতে সহায়তা করে।

উপপাদ্য 1 (মেনেলাউসের উপপাদ্য). ধরা যাক ∆ABC একটি রেখা দ্বারা ছেদ করা হয়েছে যেটি AB বাহুর সমান্তরাল নয় এবং এর দুটি বাহু AC এবং BC কে ছেদ করছে যথাক্রমে F এবং E বিন্দুতে, কিন্তু D বিন্দুতে AB রেখা দ্বারা (আকার 1),

তারপর A F FC * CE EB * BD DA = 1

বিঃদ্রঃ.এই সূত্রটি সহজে মনে রাখার জন্য, আপনি নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহার করতে পারেন: শীর্ষবিন্দু থেকে ত্রিভুজের কনট্যুর বরাবর লাইনের সাথে ছেদ বিন্দুতে এবং ছেদ বিন্দু থেকে পরবর্তী শীর্ষবিন্দুতে যান।

প্রমাণ।ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C থেকে আমরা যথাক্রমে তিনটি সমান্তরাল রেখা আঁকি, যতক্ষণ না তারা সেকেন্ট লাইনের সাথে ছেদ করে। আমরা তিন জোড়া অনুরূপ ত্রিভুজ পাই (দুই কোণে সাদৃশ্যের চিহ্ন)। ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য থেকে নিম্নলিখিত সমতাগুলি অনুসরণ করা হয়

এবং এখন আমরা সমতা প্রাপ্ত ডেটা গুণ করি:

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

এই উপপাদ্যটির সৌন্দর্য অনুভব করতে, আসুন দুটি ভিন্ন উপায়ে নীচে প্রস্তাবিত জ্যামিতিক সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করি: একটি সাহায্যকারী বিল্ড ব্যবহার করেএবং সাহায্যে মেনেলাউসের উপপাদ্য.

কার্যক্রম 1.

∆ABC-তে, AD দ্বিখণ্ডক 2:1 অনুপাতে BC পার্শ্বকে ভাগ করে। মধ্যমা CE এই দ্বিখণ্ডকটিকে কোন অনুপাতে ভাগ করে?

সমাধান।

একটি অক্জিলিয়ারী নির্মাণ সাহায্যে:

ধরা যাক S হল দ্বিখণ্ডক AD এবং মধ্যমা CE এর ছেদ বিন্দু। আমরা সমান্তরাল ASBK-এ ∆ASB সম্পূর্ণ করি। (চিত্র 2)

এটা স্পষ্ট যে SE = EK, যেহেতু সমান্তরালগ্রামের ছেদ বিন্দুটি কর্ণকে দ্বিখণ্ডিত করে। এখন ত্রিভুজ ∆CBK এবং ∆CDS বিবেচনা করুন। এটি দেখতে সহজ যে তারা একই রকম (দুটি কোণে সাদৃশ্যের চিহ্ন: এবং সমান্তরাল রেখা AD এবং KB এবং সেকেন্ট CB সহ অভ্যন্তরীণ একতরফা কোণ হিসাবে)। একটি ত্রিভুজের সাদৃশ্য নিম্নলিখিতগুলি বোঝায়:

শর্ত ব্যবহার করে, আমরা পাই:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

এখন লক্ষ্য করুন যে KB = AS, একটি সমান্তরালগ্রামের বিপরীত বাহু হিসেবে। তারপর

AS SD = KB SD = CB CD = 3

মেনেলাউস উপপাদ্য ব্যবহার করে.

∆ABD বিবেচনা করুন এবং এতে মেনেলাউস উপপাদ্য প্রয়োগ করুন (সি, এস, ই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটি একটি সেকেন্ট লাইন):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

উপপাদ্যের শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে BE/EA = 1, যেহেতু CE হল মধ্যক, এবং DC/CB = 1/3, যেমন আমরা ইতিমধ্যেই গণনা করেছি।

1*AS SD*1 3=1

এখান থেকে আমরা AS/SD = 3 পাই প্রথম নজরে, উভয় সমাধানই বেশ কমপ্যাক্ট এবং প্রায় সমতুল্য। যাইহোক, স্কুলছাত্রীদের জন্য একটি অতিরিক্ত নির্মাণের ধারণাটি প্রায়শই খুব জটিল হয়ে ওঠে এবং একেবারেই স্পষ্ট নয়, যদিও, মেনেলাউসের উপপাদ্যটি জেনে, এটি সঠিকভাবে প্রয়োগ করা তার পক্ষে যথেষ্ট।

আরেকটি সমস্যা বিবেচনা করুন যেখানে মেনেলাউসের উপপাদ্য খুব সুন্দরভাবে কাজ করে।

টাস্ক 2।

AB এবং BC ∆ABC পাশে, যথাক্রমে M এবং N বিন্দু দেওয়া হয়েছে, যাতে নিম্নলিখিত সমতাগুলি ধারণ করে:

AM MB = CN NA = 1 2

BN এবং CM সেগমেন্টের ছেদ বিন্দু S এই প্রতিটি অংশকে (চিত্র 3) কোন অনুপাতে ভাগ করে?

সমাধান।

∆ABN বিবেচনা করুন। আমরা এই ত্রিভুজের জন্য মেনেলাউস উপপাদ্য প্রয়োগ করি (এম, এস, সি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটি সেকেন্ট লাইন)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

সমস্যার অবস্থা থেকে আমাদের আছে: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

এই ফলাফল প্লাগ ইন, আমরা পেতে:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

তাই BS/SN = 6. এবং তাই, BN এবং CM রেখাংশের ছেদকের বিন্দু Sটি রেখাংশ BN কে 6: 1 অনুপাতে ভাগ করে।

∆ACM বিবেচনা করুন। আমরা এই ত্রিভুজের জন্য মেনেলাউস উপপাদ্য প্রয়োগ করি (N, S, B বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখা হল সেকেন্ট লাইন):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

সমস্যার অবস্থা থেকে আমাদের আছে: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

এই ফলাফল প্লাগ ইন, আমরা পেতে:

2*CS-SM*2 3=1

তাই CS/SM = 3/4

এবং, তাই, BN এবং CM রেখাংশের ছেদকের বিন্দু Sটি CM কে 3: 4 অনুপাতে ভাগ করে।

মেনেলাউসের উপপাদ্যের সাথে কথোপকথন উপপাদ্যটিও বৈধ। এটা প্রায়ই আরো দরকারী হতে সক্রিয় আউট. এটি প্রমাণের সমস্যাগুলিতে বিশেষভাবে ভাল কাজ করে। প্রায়শই, এর সাহায্যে, এমনকি অলিম্পিয়াড সমস্যাগুলি সুন্দরভাবে, সহজে এবং দ্রুত সমাধান করা হয়।

উপপাদ্য 2(মেনেলাউসের বিপরীত উপপাদ্য)। ত্রিভুজ ABC দেওয়া যাক এবং বিন্দু D, E, F যথাক্রমে BC, AC, AB রেখার অন্তর্গত (উল্লেখ্য যে তারা ত্রিভুজ ABC এর উভয় পাশে এবং তাদের এক্সটেনশনে থাকতে পারে) (চিত্র 4).

তারপর যদি AF FC * CE EB * BD DA = 1

তারপর বিন্দু D, E, F একই সরলরেখায় অবস্থিত।

প্রমাণ।আসুন দ্বন্দ্ব দ্বারা উপপাদ্য প্রমাণ করি। আসুন আমরা ধরে নিই যে উপপাদ্যের অবস্থা থেকে সম্পর্কটি সন্তুষ্ট, কিন্তু বিন্দু Fটি DE লাইনে থাকে না (চিত্র 5)।

DE এবং AB রেখার ছেদ বিন্দুকে O অক্ষর দিয়ে বোঝাই। এখন আমরা মেনেলাউসের উপপাদ্য প্রয়োগ করি এবং আমরা পাই: AE EC * CD DB * BO OA = 1

কিন্তু, অন্যদিকে, সমতা BF FA = BO OA

মৃত্যুদন্ড কার্যকর করা যাবে না।

অতএব, উপপাদ্যের অবস্থা থেকে সম্পর্ক সন্তুষ্ট হতে পারে না। আমরা একটি দ্বন্দ্ব পেয়েছি।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।