পাঠ "ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির সরলীকরণ"। "ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি এবং তাদের রূপান্তর কিভাবে ত্রিকোণমিতিককে সরল করা যায়" বিষয়ের পাঠের সারাংশ

বিভাগ: গণিত

ক্লাস: 11

পাঠ 1

বিষয়: গ্রেড 11 (পরীক্ষার প্রস্তুতি)

ত্রিকোণমিতিক রাশির সরলীকরণ।

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান। (২ ঘন্টা)

লক্ষ্য:

ত্রিকোণমিতি সূত্রের ব্যবহার এবং সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান সম্পর্কিত শিক্ষার্থীদের জ্ঞান ও দক্ষতাকে পদ্ধতিগত, সাধারণীকরণ, প্রসারিত করুন।

পাঠের জন্য সরঞ্জাম:

পাঠের গঠন:

অর্গমোমেন্ট
ল্যাপটপে পরীক্ষা করা হচ্ছে। ফলাফল নিয়ে আলোচনা।
ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণ
সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান
স্বাধীন কাজ.
পাঠের সারাংশ। বাড়ির কাজের ব্যাখ্যা।

1. সাংগঠনিক মুহূর্ত। (২ মিনিট.)

শিক্ষক শ্রোতাদের স্বাগত জানান, পাঠের বিষয় ঘোষণা করেন, স্মরণ করেন যে টাস্কটি পূর্বে ত্রিকোণমিতির সূত্রগুলি পুনরাবৃত্তি করার জন্য দেওয়া হয়েছিল এবং শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার জন্য সেট আপ করা হয়েছিল।

2. পরীক্ষা। (15 মিনিট + 3 মিনিট আলোচনা)

লক্ষ্য হল ত্রিকোণমিতিক সূত্রের জ্ঞান এবং তাদের প্রয়োগ করার ক্ষমতা পরীক্ষা করা। প্রতিটি শিক্ষার্থীর ডেস্কে একটি ল্যাপটপ থাকে যেখানে একটি পরীক্ষার বিকল্প রয়েছে।

যে কোন সংখ্যক বিকল্প থাকতে পারে, আমি তাদের মধ্যে একটির উদাহরণ দেব:

আমি বিকল্প.

অভিব্যক্তি সরলীকরণ:

ক) মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

খ) সংযোজন সূত্র

3. sin5x - sin3x;

গ) একটি যোগফল একটি পণ্য রূপান্তর

6. 2sin8y cos3y;

d) ডবল অ্যাঙ্গেল সূত্র

7.2sin5x cos5x;

e) অর্ধকোণ সূত্র

চ) ট্রিপল অ্যাঙ্গেল সূত্র

ছ) সর্বজনীন প্রতিস্থাপন

জ) ডিগ্রি কমানো

16. cos 2 (3x/7);

প্রতিটি সূত্রের সামনে একটি ল্যাপটপে শিক্ষার্থীরা তাদের উত্তর দেখে।

কাজটি তাত্ক্ষণিকভাবে কম্পিউটার দ্বারা পরীক্ষা করা হয়। ফলাফল প্রত্যেকের দেখার জন্য একটি বড় পর্দায় প্রদর্শিত হয়.

এছাড়াও, কাজ শেষে শিক্ষার্থীদের ল্যাপটপে সঠিক উত্তর দেখানো হয়। প্রতিটি শিক্ষার্থী দেখেন কোথায় ভুল হয়েছে এবং তাকে কী সূত্র পুনরাবৃত্তি করতে হবে।

3. ত্রিকোণমিতিক রাশির সরলীকরণ। (25 মিনিট)

লক্ষ্য হল ত্রিকোণমিতির মৌলিক সূত্রগুলির প্রয়োগ পুনরাবৃত্তি করা, কাজ করা এবং একীভূত করা। পরীক্ষা থেকে B7 সমস্যা সমাধান করা।

এই পর্যায়ে, ক্লাসটিকে শক্তিশালী (পরবর্তী যাচাইকরণের সাথে স্বাধীনভাবে কাজ করে) এবং দুর্বল ছাত্রদের দলে ভাগ করার পরামর্শ দেওয়া হয় যারা শিক্ষকের সাথে কাজ করে।

শক্তিশালী শিক্ষার্থীদের জন্য বরাদ্দ (একটি মুদ্রিত ভিত্তিতে আগাম প্রস্তুত)। USE 2011 অনুসারে, হ্রাস এবং দ্বিগুণ কোণ সূত্রের উপর প্রধান জোর দেওয়া হয়।

অভিব্যক্তি সরল করুন (শক্তিশালী শিক্ষার্থীদের জন্য):

সমান্তরালভাবে, শিক্ষক দুর্বল ছাত্রদের সাথে কাজ করেন, ছাত্রদের নির্দেশে পর্দায় আলোচনা এবং কাজগুলি সমাধান করেন।

গণনা করুন:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

সহজতর করা:

শক্তিশালী গ্রুপের কাজের ফলাফল নিয়ে আলোচনার পালা।

উত্তরগুলি স্ক্রিনে প্রদর্শিত হয়, এবং এছাড়াও, একটি ভিডিও ক্যামেরার সাহায্যে, 5 জন ভিন্ন শিক্ষার্থীর কাজ প্রদর্শিত হয় (প্রতিটির জন্য একটি কাজ)।

দুর্বল দল অবস্থা এবং সমাধান পদ্ধতি দেখে। আলোচনা ও বিশ্লেষণ আছে। প্রযুক্তিগত উপায় ব্যবহার করে, এটি দ্রুত ঘটে।

4. সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান। (30 মিনিট.)

লক্ষ্য হল সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানের পুনরাবৃত্তি, পদ্ধতিগত এবং সাধারণীকরণ, তাদের শিকড় রেকর্ড করা। সমস্যার সমাধান B3।

যেকোন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, আমরা যেভাবেই সমাধান করি না কেন, সহজে নিয়ে যায়।

অ্যাসাইনমেন্টটি সম্পূর্ণ করার সময়, শিক্ষার্থীদের বিশেষ ক্ষেত্রে এবং সাধারণ ফর্মের সমীকরণের মূল লেখার দিকে এবং শেষ সমীকরণে শিকড় নির্বাচনের দিকে মনোযোগ দেওয়া উচিত।

সমীকরণ সমাধান করুন:

উত্তরের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূলটি লিখ।

5. স্বাধীন কাজ (10 মিনিট)

লক্ষ্য হল অর্জিত দক্ষতা পরীক্ষা করা, সমস্যা, ত্রুটি এবং সেগুলি দূর করার উপায় চিহ্নিত করা।

শিক্ষার্থীর পছন্দে বিভিন্ন ধরনের কাজ দেওয়া হয়।

"3" এর জন্য বিকল্প

1) অভিব্যক্তির মান নির্ণয় কর

2) অভিব্যক্তি 1 - sin 2 3α - cos 2 3α সহজ করুন

3) সমীকরণটি সমাধান করুন

"4" এর জন্য বিকল্প

1) অভিব্যক্তির মান নির্ণয় কর

2) সমীকরণটি সমাধান করুন আপনার উত্তরের ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক মূলটি লিখুন।

"5" এর জন্য বিকল্প

1) tgα যদি খুঁজুন

2) সমীকরণের মূল নির্ণয় কর আপনার উত্তরের ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক মূলটি লিখুন।

6. পাঠের সারাংশ (5 মিনিট)

শিক্ষক এই বিষয়টির সারসংক্ষেপ করেন যে পাঠটি পুনরাবৃত্তি করে এবং ত্রিকোণমিতিক সূত্রগুলিকে একীভূত করে, সবচেয়ে সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান।

পরবর্তী পাঠে স্পট চেক সহ হোমওয়ার্ক বরাদ্দ করা হয় (আগে থেকে মুদ্রিত ভিত্তিতে প্রস্তুত)।

সমীকরণ সমাধান করুন:

10) ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক মূল হিসাবে আপনার উত্তর দিন।

পাঠ 2

বিষয়: গ্রেড 11 (পরীক্ষার প্রস্তুতি)

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। রুট নির্বাচন। (২ ঘন্টা)

লক্ষ্য:

বিভিন্ন ধরণের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের জ্ঞানকে সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগত করা।
শিক্ষার্থীদের গাণিতিক চিন্তাভাবনার বিকাশের জন্য, পর্যবেক্ষণ, তুলনা, সাধারণীকরণ, শ্রেণীবিভাগ করার ক্ষমতা।
শিক্ষার্থীদের মানসিক ক্রিয়াকলাপের প্রক্রিয়ায় অসুবিধাগুলি কাটিয়ে উঠতে, আত্ম-নিয়ন্ত্রণ করতে, তাদের ক্রিয়াকলাপের আত্মদর্শন করতে উত্সাহিত করুন।

পাঠের জন্য সরঞ্জাম: KRMu, প্রতিটি শিক্ষার্থীর জন্য ল্যাপটপ।

পাঠের গঠন:

অর্গমোমেন্ট
আলোচনা d/s এবং samot. শেষ পাঠের কাজ
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে শিকড় নির্বাচন।
স্বাধীন কাজ.
পাঠের সারাংশ। বাড়ির কাজ.

1. সংগঠিত মুহূর্ত (2 মিনিট)

শিক্ষক দর্শকদের শুভেচ্ছা জানান, পাঠের বিষয় এবং কাজের পরিকল্পনা ঘোষণা করেন।

2. ক) বাড়ির কাজের বিশ্লেষণ (5 মিনিট)

লক্ষ্য কর্মক্ষমতা পরীক্ষা করা হয়. একটি ভিডিও ক্যামেরার সাহায্যে একটি কাজ স্ক্রিনে প্রদর্শিত হয়, বাকিগুলি শিক্ষকের পরীক্ষা করার জন্য নির্বাচিতভাবে সংগ্রহ করা হয়।

b) স্বাধীন কাজের বিশ্লেষণ (3 মিনিট)

লক্ষ্য হল ভুলগুলিকে বাছাই করা, সেগুলি কাটিয়ে ওঠার উপায়গুলি নির্দেশ করা।

স্ক্রিনে উত্তর এবং সমাধান রয়েছে, শিক্ষার্থীরা তাদের কাজ আগে থেকেই জারি করেছে। বিশ্লেষণ দ্রুত যাচ্ছে.

3. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি (5 মিনিট)

লক্ষ্য হল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি স্মরণ করা।

ছাত্রদের জিজ্ঞাসা করুন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের কোন পদ্ধতি তারা জানে। জোর দিন যে তথাকথিত মৌলিক (প্রায়শ ব্যবহৃত) পদ্ধতি রয়েছে:

পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন,
ফ্যাক্টরাইজেশন,
সমজাতীয় সমীকরণ,

এবং প্রয়োগ পদ্ধতি আছে:

একটি যোগফলকে একটি পণ্যে এবং একটি গুণফলকে যোগফলে রূপান্তর করার সূত্র অনুসারে,
হ্রাস সূত্র দ্বারা,
সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন
একটি সহায়ক কোণের ভূমিকা,
কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা গুণন।

এটিও মনে রাখা উচিত যে একটি সমীকরণ বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে।

4. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা (30 মিনিট)

লক্ষ্য হল এই বিষয়ে জ্ঞান এবং দক্ষতাকে সাধারণীকরণ এবং একীভূত করা, USE থেকে C1 সমাধানের জন্য প্রস্তুত করা।

আমি ছাত্রদের সাথে একসাথে প্রতিটি পদ্ধতির জন্য সমীকরণ সমাধান করা সমীচীন বলে মনে করি।

শিক্ষার্থী সমাধানটি নির্দেশ করে, শিক্ষক ট্যাবলেটে লিখে দেন, পুরো প্রক্রিয়াটি স্ক্রিনে প্রদর্শিত হয়। এটি আপনাকে দ্রুত এবং দক্ষতার সাথে আপনার স্মৃতিতে পূর্বে আচ্ছাদিত উপাদান পুনরুদ্ধার করার অনুমতি দেবে।

সমীকরণ সমাধান করুন:

1) পরিবর্তনশীল পরিবর্তন 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) ফ্যাক্টরাইজেশন 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) সমজাতীয় সমীকরণ sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) যোগফলকে গুণফল cos5x + cos7x = cos(π + 6x) এ রূপান্তর করা

5) গুণফলকে যোগফল 2sinx sin2x + cos3x = 0 এ রূপান্তর করা

6) sin2x এর মাত্রা কমানো - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন sinx + 5cosx + 5 = 0।

এই সমীকরণটি সমাধান করার সময়, এটি লক্ষ করা উচিত যে এই পদ্ধতির ব্যবহার সংজ্ঞার ডোমেনকে সংকীর্ণ করার দিকে নিয়ে যায়, যেহেতু সাইন এবং কোসাইন tg(x/2) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। অতএব, উত্তর লেখার আগে, π + 2πn, n Z সেটের সংখ্যাগুলি এই সমীকরণের ঘোড়া কিনা তা পরীক্ষা করা দরকার।

8) একটি সহায়ক কোণের ভূমিকা √3sinx + cosx - √2 = 0

9) কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশন cosx cos2x cos4x = 1/8 দ্বারা গুণ।

5. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের শিকড় নির্বাচন (20 মিনিট)

যেহেতু বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে প্রবেশের সময় তীব্র প্রতিযোগিতার পরিস্থিতিতে, পরীক্ষার একটি প্রথম অংশের সমাধান যথেষ্ট নয়, বেশিরভাগ শিক্ষার্থীর দ্বিতীয় অংশের (C1, C2, C3) কাজগুলিতে মনোযোগ দেওয়া উচিত।

অতএব, পাঠের এই পর্যায়ের উদ্দেশ্য হল পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানগুলি স্মরণ করা, 2011 সালে USE থেকে C1 সমস্যা সমাধানের জন্য প্রস্তুত করা।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রয়েছে যেখানে উত্তর লেখার সময় আপনাকে শিকড় নির্বাচন করতে হবে। এটি কিছু সীমাবদ্ধতার কারণে, উদাহরণস্বরূপ: একটি ভগ্নাংশের হর শূন্যের সমান নয়, একটি জোড় ডিগ্রির মূলের নীচের অভিব্যক্তিটি অ-নেতিবাচক, লগারিদমের চিহ্নের নীচে অভিব্যক্তিটি ধনাত্মক ইত্যাদি।

এই ধরনের সমীকরণগুলি বর্ধিত জটিলতার সমীকরণ হিসাবে বিবেচিত হয় এবং USE সংস্করণে তারা দ্বিতীয় অংশে থাকে, যথা C1।

সমীকরণটি সমাধান করুন:

তাহলে ভগ্নাংশ শূন্য হয় ইউনিট বৃত্ত ব্যবহার করে, আমরা শিকড় নির্বাচন করব (চিত্র 1 দেখুন)

ছবি 1.

আমরা x = π + 2πn, n Z পাই

উত্তর: π + 2πn, n Z

স্ক্রিনে, শিকড়ের নির্বাচন একটি রঙিন চিত্রে একটি বৃত্তে দেখানো হয়েছে।

গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে পণ্যটি শূন্যের সমান হয় এবং একই সময়ে চাপটি তার অর্থ হারায় না। তারপর

ইউনিট বৃত্ত ব্যবহার করে, শিকড় নির্বাচন করুন (চিত্র 2 দেখুন)

AT অভিন্ন রূপান্তর ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তিনিম্নলিখিত বীজগণিত কৌশল ব্যবহার করা যেতে পারে: অভিন্ন পদ যোগ এবং বিয়োগ; বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টর নেওয়া; একই মান দ্বারা গুণ এবং ভাগ; সংক্ষিপ্ত গুণন সূত্র প্রয়োগ; একটি পূর্ণ বর্গক্ষেত্র নির্বাচন; একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন; রূপান্তর সহজ করার জন্য নতুন ভেরিয়েবলের প্রবর্তন।

ভগ্নাংশ সম্বলিত ত্রিকোণমিতিক রাশিগুলিকে রূপান্তর করার সময়, আপনি অনুপাতের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে পারেন, ভগ্নাংশের হ্রাস, বা ভগ্নাংশের হ্রাস একটি সাধারণ হরকে ব্যবহার করতে পারেন। উপরন্তু, আপনি ভগ্নাংশের পূর্ণসংখ্যা অংশের নির্বাচন ব্যবহার করতে পারেন, লব এবং ভগ্নাংশের হরকে একই মান দ্বারা গুণ করতে পারেন, এবং যদি সম্ভব হয়, লব বা হরের অভিন্নতা বিবেচনায় নিতে পারেন। যদি প্রয়োজন হয়, আপনি একটি ভগ্নাংশকে সমষ্টি বা বেশ কয়েকটি সহজ ভগ্নাংশের পার্থক্য হিসাবে উপস্থাপন করতে পারেন।

উপরন্তু, ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি রূপান্তর করার জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত পদ্ধতি প্রয়োগ করার সময়, রূপান্তরিত অভিব্যক্তিগুলির অনুমতিযোগ্য মানগুলির পরিসরকে ক্রমাগত বিবেচনা করা প্রয়োজন।

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 1

গণনা করুন A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

সমাধান।

এটি হ্রাস সূত্র থেকে অনুসরণ করে:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x।

যেখান থেকে, আর্গুমেন্ট এবং মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় যোগ করার জন্য সূত্রের ভিত্তিতে, আমরা পাই

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

উত্তর 1.

উদাহরণ 2

অভিব্যক্তি M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ একটি পণ্যে রূপান্তর করুন।

সমাধান।

যুক্তি যোগ করার সূত্র এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের যোগফলকে একটি পণ্যে রূপান্তর করার সূত্র থেকে, উপযুক্ত গ্রুপিংয়ের পরে, আমাদের আছে

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2)।

উত্তর: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2)।

উদাহরণ 3.

দেখান যে A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) R one থেকে সমস্ত x এর জন্য লাগে এবং একই মান। এই মান খুঁজুন.

সমাধান।

এই সমস্যা সমাধানের জন্য আমরা দুটি পদ্ধতি উপস্থাপন করি। প্রথম পদ্ধতি প্রয়োগ করে, পূর্ণ বর্গক্ষেত্রকে বিচ্ছিন্ন করে এবং সংশ্লিষ্ট মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

সিন 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4।

দ্বিতীয় উপায়ে সমস্যাটি সমাধান করা, A কে R থেকে x এর একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করুন এবং এর ডেরিভেটিভ গণনা করুন। রূপান্তর পরে, আমরা পেতে

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

সিন 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

পাপ 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

পাপ 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0।

সুতরাং, একটি ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য একটি ফাংশনের স্থায়িত্বের মানদণ্ডের ভিত্তিতে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R

উত্তরঃ A = 3/4 x €R এর জন্য।

ত্রিকোণমিতিক পরিচয় প্রমাণের প্রধান পদ্ধতি হল:

ক)উপযুক্ত রূপান্তরের মাধ্যমে পরিচয়ের বাম দিকের ডানদিকে হ্রাস করা;
খ)বাম পরিচয়ের ডান দিক হ্রাস;
ভিতরে)পরিচয়ের ডান এবং বাম অংশগুলিকে একই ফর্মে হ্রাস করা;
ছ)পরিচয়ের বাম এবং ডান অংশের মধ্যে পার্থক্য শূন্যে হ্রাস করা প্রমাণিত হচ্ছে।

উদাহরণ 4

পরীক্ষা করুন যে cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3)।

সমাধান।

সংশ্লিষ্ট ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুসারে এই পরিচয়ের ডান দিকটি রূপান্তরিত করে, আমাদের আছে

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x।

আইডেন্টিটির ডান দিকটা বাম দিকে কমে গেছে।

উদাহরণ 5

প্রমাণ কর যে sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 যদি α, β, γ কিছু ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণ হয়।

সমাধান।

α, β, γ হল কিছু ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণ বিবেচনা করে, আমরা তা পাই

α + β + γ = π এবং তাই γ = π – α – β।

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

সিন 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

সিন 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

সিন 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2।

মূল সমতা প্রমাণিত হয়।

উদাহরণ 6

প্রমাণ করুন যে ত্রিভুজের একটি কোণ α, β, γ 60° এর সমান হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0।

সমাধান।

এই সমস্যার শর্তটি প্রয়োজনীয়তা এবং পর্যাপ্ততা উভয়ের প্রমাণকে অনুমান করে।

প্রথমে আমরা প্রমাণ করি প্রয়োজন.

সেটা দেখানো যায়

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2)।

সুতরাং, cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 বিবেচনায় নিয়ে, আমরা পাই যে যদি α, β বা γ এর একটি কোণ 60° এর সমান হয়, তাহলে

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 এবং তাই sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0।

এখন প্রমাণ করা যাক পর্যাপ্ততানির্দিষ্ট শর্ত।

যদি sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 হয়, তাহলে cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, এবং তাই

হয় cos (3α/2) = 0, অথবা cos (3β/2) = 0, অথবা cos (3γ/2) = 0।

অতএব,

অথবা 3α/2 = π/2 + πk, i.e. α = π/3 + 2πk/3,

অথবা 3β/2 = π/2 + πk, i.e. β = π/3 + 2πk/3,

বা 3γ/2 = π/2 + πk,

সেগুলো. γ = π/3 + 2πk/3, যেখানে k ϵ Z।

α, β, γ হল একটি ত্রিভুজের কোণ থেকে, আমাদের আছে

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

অতএব, α = π/3 + 2πk/3 বা β = π/3 + 2πk/3 বা

γ = π/3 + 2πk/3 সমস্ত kϵZ এর মধ্যে শুধুমাত্র k = 0 ফিট করে।

যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে হয় α = π/3 = 60°, অথবা β = π/3 = 60°, অথবা γ = π/3 = 60°।

দাবী প্রমাণিত হয়েছে।

আপনি কি কিছু জানতে চান? ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণ কিভাবে জানেন না?
একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে - নিবন্ধন করুন।
প্রথম পাঠ বিনামূল্যে!

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

বিভাগ: গণিত

ক্লাস: 11

পাঠ 1

বিষয়: গ্রেড 11 (পরীক্ষার প্রস্তুতি)

ত্রিকোণমিতিক রাশির সরলীকরণ।

সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান। (২ ঘন্টা)

লক্ষ্য:

ত্রিকোণমিতি সূত্রের ব্যবহার এবং সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান সম্পর্কিত শিক্ষার্থীদের জ্ঞান ও দক্ষতাকে পদ্ধতিগত, সাধারণীকরণ, প্রসারিত করুন।

পাঠের জন্য সরঞ্জাম:

পাঠের গঠন:

অর্গমোমেন্ট
ল্যাপটপে পরীক্ষা করা হচ্ছে। ফলাফল নিয়ে আলোচনা।
ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণ
সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান
স্বাধীন কাজ.
পাঠের সারাংশ। বাড়ির কাজের ব্যাখ্যা।

1. সাংগঠনিক মুহূর্ত। (২ মিনিট.)

2. পরীক্ষা। (15 মিনিট + 3 মিনিট আলোচনা)

যে কোন সংখ্যক বিকল্প থাকতে পারে, আমি তাদের মধ্যে একটির উদাহরণ দেব:

আমি বিকল্প.

অভিব্যক্তি সরলীকরণ:

ক) মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

খ) সংযোজন সূত্র

3. sin5x - sin3x;

গ) একটি যোগফল একটি পণ্য রূপান্তর

6. 2sin8y cos3y;

d) ডবল অ্যাঙ্গেল সূত্র

7.2sin5x cos5x;

e) অর্ধকোণ সূত্র

চ) ট্রিপল অ্যাঙ্গেল সূত্র

ছ) সর্বজনীন প্রতিস্থাপন

জ) ডিগ্রি কমানো

16. cos 2 (3x/7);

প্রতিটি সূত্রের সামনে একটি ল্যাপটপে শিক্ষার্থীরা তাদের উত্তর দেখে।

3. ত্রিকোণমিতিক রাশির সরলীকরণ। (25 মিনিট)

অভিব্যক্তি সরল করুন (শক্তিশালী শিক্ষার্থীদের জন্য):

গণনা করুন:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

সহজতর করা:

শক্তিশালী গ্রুপের কাজের ফলাফল নিয়ে আলোচনার পালা।

4. সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান। (30 মিনিট.)

যেকোন ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, আমরা যেভাবেই সমাধান করি না কেন, সহজে নিয়ে যায়।

সমীকরণ সমাধান করুন:

উত্তরের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক মূলটি লিখ।

5. স্বাধীন কাজ (10 মিনিট)

শিক্ষার্থীর পছন্দে বিভিন্ন ধরনের কাজ দেওয়া হয়।

"3" এর জন্য বিকল্প

1) অভিব্যক্তির মান নির্ণয় কর

2) অভিব্যক্তি 1 - sin 2 3α - cos 2 3α সহজ করুন

3) সমীকরণটি সমাধান করুন

"4" এর জন্য বিকল্প

1) অভিব্যক্তির মান নির্ণয় কর

2) সমীকরণটি সমাধান করুন আপনার উত্তরের ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক মূলটি লিখুন।

"5" এর জন্য বিকল্প

1) tgα যদি খুঁজুন

2) সমীকরণের মূল নির্ণয় কর আপনার উত্তরের ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক মূলটি লিখুন।

6. পাঠের সারাংশ (5 মিনিট)

সমীকরণ সমাধান করুন:

10) ক্ষুদ্রতম ইতিবাচক মূল হিসাবে আপনার উত্তর দিন।

পাঠ 2

বিষয়: গ্রেড 11 (পরীক্ষার প্রস্তুতি)

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। রুট নির্বাচন। (২ ঘন্টা)

লক্ষ্য:

বিভিন্ন ধরণের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের জ্ঞানকে সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগত করা।
শিক্ষার্থীদের গাণিতিক চিন্তাভাবনার বিকাশের জন্য, পর্যবেক্ষণ, তুলনা, সাধারণীকরণ, শ্রেণীবিভাগ করার ক্ষমতা।
শিক্ষার্থীদের মানসিক ক্রিয়াকলাপের প্রক্রিয়ায় অসুবিধাগুলি কাটিয়ে উঠতে, আত্ম-নিয়ন্ত্রণ করতে, তাদের ক্রিয়াকলাপের আত্মদর্শন করতে উত্সাহিত করুন।

পাঠের জন্য সরঞ্জাম: KRMu, প্রতিটি শিক্ষার্থীর জন্য ল্যাপটপ।

পাঠের গঠন:

অর্গমোমেন্ট
আলোচনা d/s এবং samot. শেষ পাঠের কাজ
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি।
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা
ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে শিকড় নির্বাচন।
স্বাধীন কাজ.
পাঠের সারাংশ। বাড়ির কাজ.

1. সংগঠিত মুহূর্ত (2 মিনিট)

2. ক) বাড়ির কাজের বিশ্লেষণ (5 মিনিট)

b) স্বাধীন কাজের বিশ্লেষণ (3 মিনিট)

লক্ষ্য হল ভুলগুলিকে বাছাই করা, সেগুলি কাটিয়ে ওঠার উপায়গুলি নির্দেশ করা।

3. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি (5 মিনিট)

লক্ষ্য হল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি স্মরণ করা।

পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন,
ফ্যাক্টরাইজেশন,
সমজাতীয় সমীকরণ,

এবং প্রয়োগ পদ্ধতি আছে:

একটি যোগফলকে একটি পণ্যে এবং একটি গুণফলকে যোগফলে রূপান্তর করার সূত্র অনুসারে,
হ্রাস সূত্র দ্বারা,
সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন
একটি সহায়ক কোণের ভূমিকা,
কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা গুণন।

এটিও মনে রাখা উচিত যে একটি সমীকরণ বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে।

4. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা (30 মিনিট)

সমীকরণ সমাধান করুন:

1) পরিবর্তনশীল পরিবর্তন 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) ফ্যাক্টরাইজেশন 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) সমজাতীয় সমীকরণ sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) যোগফলকে গুণফল cos5x + cos7x = cos(π + 6x) এ রূপান্তর করা

5) গুণফলকে যোগফল 2sinx sin2x + cos3x = 0 এ রূপান্তর করা

6) sin2x এর মাত্রা কমানো - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) সর্বজনীন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন sinx + 5cosx + 5 = 0।

8) একটি সহায়ক কোণের ভূমিকা √3sinx + cosx - √2 = 0

9) কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশন cosx cos2x cos4x = 1/8 দ্বারা গুণ।

5. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের শিকড় নির্বাচন (20 মিনিট)

সমীকরণটি সমাধান করুন:

ছবি 1.

আমরা x = π + 2πn, n Z পাই

উত্তর: π + 2πn, n Z

স্ক্রিনে, শিকড়ের নির্বাচন একটি রঙিন চিত্রে একটি বৃত্তে দেখানো হয়েছে।

ইউনিট বৃত্ত ব্যবহার করে, শিকড় নির্বাচন করুন (চিত্র 2 দেখুন)

চিত্র ২.

চলুন সিস্টেমে যাই:

সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে, আমরা লগ 2 (sinx) = y পরিবর্তন করি, তখন আমরা সমীকরণটি পাই , সিস্টেমে ফিরে যান

ইউনিট বৃত্ত ব্যবহার করে, আমরা শিকড় নির্বাচন করি (চিত্র 5 দেখুন),

চিত্র 5

6. স্বাধীন কাজ (15 মিনিট)

লক্ষ্য হল উপাদানের আত্তীকরণকে একীভূত করা এবং পরীক্ষা করা, ত্রুটিগুলি চিহ্নিত করা এবং সেগুলি সংশোধন করার উপায়গুলিকে রূপরেখা করা৷

কাজটি তিনটি সংস্করণে দেওয়া হয়, যা শিক্ষার্থীদের পছন্দের ভিত্তিতে মুদ্রিত ভিত্তিতে আগাম প্রস্তুত করা হয়।

সমীকরণ যে কোনো উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে।

"3" এর জন্য বিকল্প

সমীকরণ সমাধান করুন:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

"4" এর জন্য বিকল্প

সমীকরণ সমাধান করুন:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) লগ 8 (cosx) = 0

"5" এর জন্য বিকল্প

সমীকরণ সমাধান করুন:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. পাঠের সারাংশ, হোমওয়ার্ক (5 মিনিট)

শিক্ষক পাঠটি সংক্ষিপ্ত করেন, আবারও এই বিষয়টির প্রতি দৃষ্টি আকর্ষণ করেন যে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে। একটি দ্রুত ফলাফল অর্জনের সর্বোত্তম উপায় হল একটি যা একটি নির্দিষ্ট ছাত্র দ্বারা সবচেয়ে ভাল শেখা হয়।

পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি নেওয়ার সময়, সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য আপনাকে নিয়মতান্ত্রিকভাবে সূত্র এবং পদ্ধতিগুলি পুনরাবৃত্তি করতে হবে।

হোমওয়ার্ক (একটি মুদ্রিত ভিত্তিতে আগাম প্রস্তুত) বিতরণ করা হয় এবং কিছু সমীকরণ সমাধানের উপায় মন্তব্য করা হয়।

সমীকরণ সমাধান করুন:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) লগ 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) লগ 7 (-tgx) = 0

11)

ভোরনকোভা ওলগা ইভানোভনা

MBOU "মাধ্যমিক বিদ্যালয়

নং 18"

এঙ্গেলস, সারাতোভ অঞ্চল।

গণিতের শিক্ষক।

"ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি এবং তাদের রূপান্তর"

ভূমিকা ………………………………………………………………………….৩

অধ্যায় 1 ত্রিকোণমিতিক রাশির রূপান্তর ব্যবহারের জন্য কাজের শ্রেণীবিভাগ ……………………………………………………….5

1.1। গণনার কাজ ত্রিকোণমিতিক রাশির মান……….5

1.2.ত্রিকোণমিতিক রাশি সরলীকরণের জন্য কাজ .... 7

1.3। সাংখ্যিক ত্রিকোণমিতিক রাশির রূপান্তরের জন্য কাজগুলি ... ..7

1.4 মিশ্র কাজ ………………………………………………………………

অধ্যায় 2

2.1 10 গ্রেডে বিষয়ভিত্তিক পুনরাবৃত্তি………………………………………...11

পরীক্ষা 1………………………………………………………………………………..12

পরীক্ষা 2………………………………………………………………………………..১৩

পরীক্ষা 3………………………………………………………………………………………..১৪

2.2 11 গ্রেডে চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তি………………………………………………...15

পরীক্ষা 1………………………………………………………………………………..১৭

পরীক্ষা 2………………………………………………………………………………..১৭

পরীক্ষা 3………………………………………………………………………………..১৮

উপসংহার ……………………………………………………………………….১৯

ব্যবহৃত সাহিত্যের তালিকা……………………………………………………….২০

ভূমিকা.

আজকের পরিস্থিতিতে, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন হল: "কিভাবে আমরা শিক্ষার্থীদের জ্ঞানের কিছু ফাঁক দূর করতে এবং পরীক্ষায় সম্ভাব্য ভুলের বিরুদ্ধে তাদের সতর্ক করতে পারি?" এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, শিক্ষার্থীদের কাছ থেকে প্রোগ্রাম উপাদানের আনুষ্ঠানিক আত্তীকরণ নয়, তবে এর গভীর এবং সচেতন বোঝাপড়া, মৌখিক গণনা এবং রূপান্তরের গতির বিকাশ, সেইসাথে সহজতম সমাধানের জন্য দক্ষতার বিকাশ অর্জন করা প্রয়োজন। সমস্যা "মনে"। শিক্ষার্থীদের বোঝানো প্রয়োজন যে শুধুমাত্র একটি সক্রিয় অবস্থানের উপস্থিতিতে, গণিতের অধ্যয়নের ক্ষেত্রে, ব্যবহারিক দক্ষতা, দক্ষতা এবং তাদের ব্যবহার অর্জনের সাপেক্ষে, কেউ প্রকৃত সাফল্যের উপর নির্ভর করতে পারে। 10-11 গ্রেডের নির্বাচনী বিষয় সহ পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতির জন্য প্রতিটি সুযোগ ব্যবহার করা প্রয়োজন, নিয়মিতভাবে শিক্ষার্থীদের সাথে জটিল কাজগুলি বিশ্লেষণ করা, শ্রেণীকক্ষে এবং অতিরিক্ত ক্লাসে সেগুলি সমাধান করার জন্য সবচেয়ে যুক্তিযুক্ত উপায় বেছে নেওয়া।ইতিবাচক ফলাফলগণিতের শিক্ষক তৈরি করলে সাধারণ সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্র তৈরি করা সম্ভবশিক্ষার্থীদের ভাল মৌলিক প্রশিক্ষণ, আমাদের সামনে যে সমস্যাগুলি উন্মুক্ত হয়েছে তা সমাধানের নতুন উপায় সন্ধান করা, সক্রিয়ভাবে পরীক্ষা করা, আধুনিক শিক্ষাগত প্রযুক্তি, পদ্ধতি, কৌশল প্রয়োগ করা যা শিক্ষার্থীদের কার্যকর আত্ম-উপলব্ধি এবং আত্ম-সংকল্পের জন্য অনুকূল পরিস্থিতি তৈরি করে। নতুন সামাজিক অবস্থা।

ত্রিকোণমিতি স্কুলের গণিত কোর্সের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ। ত্রিকোণমিতিতে ভাল জ্ঞান এবং শক্তিশালী দক্ষতা গাণিতিক সংস্কৃতির পর্যাপ্ত স্তরের প্রমাণ, গণিত, পদার্থবিদ্যা এবং বেশ কয়েকটি প্রযুক্তিগত সফল অধ্যয়নের জন্য একটি অপরিহার্য শর্ত।শৃঙ্খলা

কাজের প্রাসঙ্গিকতা. স্কুল গ্র্যাজুয়েটদের একটি উল্লেখযোগ্য অংশ বছরের পর বছর গণিতের এই গুরুত্বপূর্ণ বিভাগে অত্যন্ত দুর্বল প্রস্তুতি দেখায়, যা গত বছরগুলির ফলাফল দ্বারা প্রমাণিত হয় (2011-48.41%, 2012-51.05%) পাস করার বিশ্লেষণ থেকে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় দেখা গেছে যে ছাত্ররা এই নির্দিষ্ট বিভাগের অ্যাসাইনমেন্টগুলি সম্পূর্ণ করার সময় অনেক ভুল করে বা এই ধরনের অ্যাসাইনমেন্ট একেবারেই গ্রহণ করে না। একটি ত্রিকোণমিতিতে রাজ্য পরীক্ষার প্রশ্ন প্রায় তিন ধরনের টাস্কে পাওয়া যায়। এটি টাস্ক B5-এর সবচেয়ে সহজ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান, এবং টাস্ক B7-এ ত্রিকোণমিতিক এক্সপ্রেশনের সাথে কাজ করা, এবং টাস্ক B14-এ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির অধ্যয়ন, সেইসাথে টাস্ক B12, যেখানে ভৌত ঘটনা বর্ণনাকারী সূত্র রয়েছে এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে। . এবং এই কাজ বি অংশ মাত্র! তবে শিকড় C1 নির্বাচনের সাথে প্রিয় ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং "খুব প্রিয় নয়" জ্যামিতিক কাজ C2 এবং C4 রয়েছে।

উদ্দেশ্য. ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তরের জন্য নিবেদিত ইউএসই টাস্ক B7-এর উপাদান বিশ্লেষণ করুন এবং পরীক্ষায় তাদের উপস্থাপনার ফর্ম অনুসারে কাজগুলিকে শ্রেণিবদ্ধ করুন।

কাজটি দুটি অধ্যায় নিয়ে গঠিত, ভূমিকা এবং উপসংহার। ভূমিকা কাজের প্রাসঙ্গিকতার উপর জোর দেয়। প্রথম অধ্যায়টি ইউনিফাইড স্টেট এক্সামিনেশন (2012) এর পরীক্ষামূলক কাজে ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর ব্যবহারের জন্য কাজের একটি শ্রেণীবিভাগ প্রদান করে।

দ্বিতীয় অধ্যায়ে, 10, 11 গ্রেডে "ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর" বিষয়ের পুনরাবৃত্তির সংগঠনটি বিবেচনা করা হয়েছে এবং এই বিষয়ে পরীক্ষাগুলি তৈরি করা হয়েছে।

রেফারেন্সের তালিকায় 17টি সূত্র রয়েছে।

অধ্যায় 1. ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর ব্যবহারের জন্য কাজের শ্রেণীবিভাগ।

মাধ্যমিক (সম্পূর্ণ) শিক্ষার মান এবং শিক্ষার্থীদের প্রশিক্ষণের স্তরের প্রয়োজনীয়তা অনুসারে, ত্রিকোণমিতির বুনিয়াদি জ্ঞানের কাজগুলি প্রয়োজনীয়তার কোডিফায়ারে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

ত্রিকোণমিতির মূল বিষয়গুলি শেখা সবচেয়ে কার্যকর হবে যখন:

ছাত্ররা ইতিবাচকভাবে পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের পুনরাবৃত্তি করতে অনুপ্রাণিত হবে;

শিক্ষা প্রক্রিয়ায় ছাত্র-কেন্দ্রিক পদ্ধতি প্রয়োগ করা হবে;

কাজের একটি সিস্টেম প্রয়োগ করা হবে যা শিক্ষার্থীদের জ্ঞানের প্রসারণ, গভীরকরণ, পদ্ধতিগতকরণে অবদান রাখে;

উন্নত শিক্ষাগত প্রযুক্তি ব্যবহার করা হবে।

পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য সাহিত্য এবং ইন্টারনেট সংস্থানগুলি বিশ্লেষণ করার পরে, আমরা B7 (KIM USE 2012-ত্রিকোণমিতি): গণনার জন্য কাজগুলির সম্ভাব্য শ্রেণীবিভাগের একটি প্রস্তাব করেছিত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির মান; জন্য অ্যাসাইনমেন্টসংখ্যাসূচক ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর; আক্ষরিক ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তরের জন্য নিয়োগ; মিশ্র কাজ।

1.1। গণনার কাজ ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির মান।

সাধারণ ত্রিকোণমিতি সমস্যার সবচেয়ে সাধারণ ধরনের একটি হল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানগুলির একটির মান দ্বারা গণনা করা:

ক) মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় এবং এর সমষ্টির ব্যবহার।

উদাহরণ 1 . যদি খুঁজুন
এবং
.

সমাধান।
,
,

কারণ , তারপর
.

উত্তর.

উদাহরণ 2 . অনুসন্ধান
, যদি
এবং .

সমাধান।
,
,
.

কারণ , তারপর
.

উত্তর. .

খ) ডবল অ্যাঙ্গেল সূত্রের ব্যবহার।

উদাহরণ 3 . অনুসন্ধান
, যদি
.

সমাধান। , .

উত্তর.
.

উদাহরণ 4 . একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
.

সমাধান। .

উত্তর.
.

1. অনুসন্ধান , যদি

এবং

. উত্তর. -0.2

2. অনুসন্ধান , যদি
এবং
. উত্তর. 0.4

3. অনুসন্ধান

, যদি। উত্তর. -12.884. অনুসন্ধান

, যদি

. উত্তর. -0.845. অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

. উত্তর. 66. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

.উত্তর. -19

1.2.ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তি সরলীকরণের জন্য কাজ। কমানোর সূত্রগুলি ছাত্রদের ভালভাবে আয়ত্ত করা উচিত, কারণ সেগুলি জ্যামিতি, পদার্থবিদ্যা এবং অন্যান্য সম্পর্কিত বিষয়গুলির পাঠগুলিতে আরও ব্যবহার করা হবে৷

উদাহরণ 5 . এক্সপ্রেশন সরলীকরণ
.

সমাধান। .

উত্তর.
.

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ:

1. অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন

. উত্তর. 0.62. অনুসন্ধান

, যদি

এবং. উত্তর. 10.563. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

, যদি

. উত্তর. 2

1.3। সংখ্যাসূচক ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তরের জন্য কাজ।

সাংখ্যিক ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তিগুলিকে রূপান্তর করার জন্য কাজের দক্ষতা এবং ক্ষমতা বিকাশ করার সময়, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মানগুলির টেবিল, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সমতা এবং পর্যায়ক্রমিকতার বৈশিষ্ট্যগুলির জ্ঞানের প্রতি মনোযোগ দেওয়া উচিত।

ক) কিছু কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সঠিক মান ব্যবহার করা।

উদাহরণ 6 . হিসাব করুন
.

সমাধান।
.

উত্তর.
.

খ) সমতার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

উদাহরণ 7 . হিসাব করুন
.

সমাধান। .

উত্তর.

ভিতরে) পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

উদাহরণ 8 . একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
.

সমাধান। .

উত্তর.
.

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ:

1. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন

. উত্তর. -40.52. অভিব্যক্তির মান নির্ণয় কর

. উত্তর. 17

3. একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
. উত্তর. 6

. উত্তর. -24

উত্তর. -64

1.4 মিশ্র কাজ।

শংসাপত্রের পরীক্ষার ফর্মটির খুব উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তাই একই সময়ে বেশ কয়েকটি ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহারের সাথে যুক্ত কাজগুলিতে মনোযোগ দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ।

উদাহরণ 9 অনুসন্ধান
, যদি
.

সমাধান।
.

উত্তর.
.

উদাহরণ 10 . অনুসন্ধান
, যদি
এবং
.

সমাধান। .

কারণ , তারপর
.

উত্তর.
.

উদাহরণ 11। অনুসন্ধান
, যদি।

সমাধান। , ,
,
,
,
,
.

উত্তর.

উদাহরণ 12। হিসাব করুন
.

সমাধান। .

উত্তর.
.

উদাহরণ 13 একটি অভিব্যক্তির মান খুঁজুন
, যদি
.

সমাধান। .

উত্তর.
.

স্বাধীন সমাধানের জন্য কাজ:

1. অনুসন্ধান

, যদি

. উত্তর. -1.75
2. অনুসন্ধান

, যদি

. উত্তর. 33. খুঁজুন

, যদি।উত্তর. 0.254. রাশিটির মান নির্ণয় কর

, যদি

. উত্তর. 0.35. রাশিটির মান নির্ণয় কর

, যদি

. উত্তর. 5

অধ্যায় 2. বিষয়ের চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তির পদ্ধতিগত দিক সংগঠন "ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর।"

একাডেমিক পারফরম্যান্সের আরও উন্নতিতে অবদান রাখা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলির মধ্যে একটি, শিক্ষার্থীদের মধ্যে গভীর এবং কঠিন জ্ঞানের অর্জন হল পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানগুলির পুনরাবৃত্তি করার সমস্যা। অনুশীলন দেখায় যে 10 তম গ্রেডে এটি একটি বিষয়ভিত্তিক পুনরাবৃত্তি সংগঠিত করা আরও সমীচীন; 11 তম গ্রেডে - চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তি।

2.1। দশম শ্রেণীতে বিষয়ভিত্তিক পুনরাবৃত্তি।

গাণিতিক উপাদানের উপর কাজ করার প্রক্রিয়ায়, প্রতিটি সম্পূর্ণ বিষয়ের পুনরাবৃত্তি বা কোর্সের একটি সম্পূর্ণ অংশ বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে।

থিম্যাটিক পুনরাবৃত্তির সাথে, বিষয়ের উপর ছাত্রদের জ্ঞান তার উত্তরণের চূড়ান্ত পর্যায়ে বা বিরতির পরে পদ্ধতিগত হয়।

বিষয়ভিত্তিক পুনরাবৃত্তির জন্য, বিশেষ পাঠ বরাদ্দ করা হয়, যার উপর একটি নির্দিষ্ট বিষয়ের উপাদান কেন্দ্রীভূত এবং সাধারণীকরণ করা হয়।

এই কথোপকথনে শিক্ষার্থীদের ব্যাপক সম্পৃক্ততার মাধ্যমে পাঠের পুনরাবৃত্তি করা হয়। এর পরে, শিক্ষার্থীদের একটি নির্দিষ্ট বিষয়ের পুনরাবৃত্তি করার টাস্ক দেওয়া হয় এবং সতর্ক করা হয় যে পরীক্ষায় ক্রেডিট কাজ হবে।

একটি বিষয়ের একটি পরীক্ষায় এর সমস্ত প্রধান প্রশ্ন অন্তর্ভুক্ত করা উচিত। কাজ শেষ হওয়ার পরে, চরিত্রগত ত্রুটিগুলি বিশ্লেষণ করা হয় এবং সেগুলি দূর করার জন্য একটি পুনরাবৃত্তি সংগঠিত হয়।

বিষয়ভিত্তিক পুনরাবৃত্তির পাঠের জন্য, আমরা উন্নত অফার করি পরীক্ষার কাগজপত্র"ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর" বিষয়ে।

পরীক্ষা #1

পরীক্ষা #2

পরীক্ষা #3

উত্তর টেবিল

পরীক্ষা

2.2। একাদশ শ্রেণীতে চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তি।

গণিত কোর্সের মূল বিষয়গুলি অধ্যয়নের চূড়ান্ত পর্যায়ে চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তি করা হয় এবং এই বিভাগ বা সম্পূর্ণ কোর্সের জন্য শিক্ষাগত উপাদান অধ্যয়নের সাথে যৌক্তিক সংযোগে সঞ্চালিত হয়।

শিক্ষাগত উপাদানের চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তির নিম্নলিখিত লক্ষ্য রয়েছে:

1. সম্পূর্ণ প্রশিক্ষণ কোর্সের উপাদান সক্রিয়করণ এর যৌক্তিক কাঠামো স্পষ্ট করতে এবং বিষয় এবং আন্তঃ বিষয় সম্পর্কের মধ্যে একটি সিস্টেম তৈরি করতে।

2. গভীর করা এবং, যদি সম্ভব হয়, পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ায় কোর্সের প্রধান বিষয়গুলির উপর শিক্ষার্থীদের জ্ঞান প্রসারিত করা।

সমস্ত স্নাতকদের জন্য গণিতে বাধ্যতামূলক পরীক্ষার প্রেক্ষাপটে, USE-এর ক্রমশ প্রবর্তন শিক্ষকদের পাঠ প্রস্তুতি এবং পরিচালনার জন্য একটি নতুন পদ্ধতি গ্রহণ করে, যাতে সমস্ত শিক্ষার্থী প্রাথমিক স্তরে শিক্ষাগত উপাদানে দক্ষতা অর্জন করে তা নিশ্চিত করার প্রয়োজনীয়তা বিবেচনা করে, সেইসাথে একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তির জন্য উচ্চ স্কোর পেতে আগ্রহী অনুপ্রাণিত শিক্ষার্থীদের জন্য সুযোগ, বর্ধিত এবং উচ্চ স্তরে উপাদান আয়ত্তে গতিশীল অগ্রগতি।

চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তির পাঠগুলিতে, আপনি নিম্নলিখিত কাজগুলি বিবেচনা করতে পারেন:

উদাহরণ 1 . অভিব্যক্তির মান গণনা করুন।সমাধান। =

= =

=0,5. উত্তর. 0.5। উদাহরণ 2 অভিব্যক্তিটি নিতে পারে এমন বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যার মান নির্দিষ্ট করুন

সমাধান। কারণ
সেগমেন্টের সাথে সম্পর্কিত যেকোনো মান নিতে পারে [–১; 1], তারপর
সেগমেন্টের যেকোনো মান নেয় [–০.৪; 0.4], তাই। রাশিটির পূর্ণসংখ্যার মান এক - সংখ্যা 4।

উত্তর: 4 উদাহরণ 3 . অভিব্যক্তি সরলীকরণ করুন

সমাধান: আসুন ঘনক্ষেত্রের যোগফল নির্ণয়ের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি: আমাদের আছে

আমাদের আছে:
.

উত্তর 1

উদাহরণ 4 হিসাব করুন
.

সমাধান। .

উত্তর: 0.28

চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তির পাঠের জন্য, আমরা "ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তির রূপান্তর" বিষয়ে উন্নত পরীক্ষা অফার করি।

1 এর বেশি না হওয়া বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা নির্দিষ্ট করুন

উপসংহার.

এই বিষয়ে প্রাসঙ্গিক পদ্ধতিগত সাহিত্যের মাধ্যমে কাজ করার পরে, আমরা এই উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে স্কুলের গণিত কোর্সে ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর সম্পর্কিত কাজগুলি সমাধান করার ক্ষমতা এবং দক্ষতা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

সম্পন্ন কাজের সময়, কাজ B7 এর শ্রেণীবিভাগ করা হয়েছিল। 2012 সালের CMM-এ সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত ত্রিকোণমিতিক সূত্র বিবেচনা করা হয়। সমাধান সহ কাজের উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। পরীক্ষার প্রস্তুতিতে জ্ঞানের পুনরাবৃত্তি এবং পদ্ধতিগতকরণ সংগঠিত করার জন্য আলাদা পরীক্ষা তৈরি করা হয়েছে।

এটি বিবেচনা করে শুরু করা কাজ চালিয়ে যাওয়া বাঞ্ছনীয় টাস্ক B5-এর সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান, টাস্ক B14, টাস্ক B12-এ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির অধ্যয়ন, যেখানে ভৌত ঘটনা বর্ণনাকারী সূত্র রয়েছে এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে।

উপসংহারে, আমি লক্ষ্য করতে চাই যে পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার কার্যকারিতা মূলত নির্ধারিত হয় কতটা কার্যকরীভাবে শিক্ষার সকল স্তরে, সকল শ্রেণীর ছাত্র-ছাত্রীদের নিয়ে প্রস্তুতি প্রক্রিয়াটি সংগঠিত হয়। এবং যদি আমরা ছাত্রদের স্বাধীনতা, দায়িত্ব এবং তাদের পরবর্তী জীবন জুড়ে শেখা চালিয়ে যাওয়ার প্রস্তুতি তৈরি করতে পরিচালনা করি, তবে আমরা কেবল রাষ্ট্র এবং সমাজের শৃঙ্খলা পূরণ করব না, আমাদের নিজস্ব আত্মমর্যাদাও বৃদ্ধি করব।

শিক্ষাগত উপাদানের পুনরাবৃত্তির জন্য শিক্ষকের কাছ থেকে সৃজনশীল কাজ প্রয়োজন। তাকে অবশ্যই পুনরাবৃত্তির ধরনগুলির মধ্যে একটি স্পষ্ট সংযোগ প্রদান করতে হবে, পুনরাবৃত্তির একটি গভীর চিন্তাভাবনা পদ্ধতি বাস্তবায়ন করতে হবে। পুনরাবৃত্তি সংগঠিত করার শিল্প আয়ত্ত করা শিক্ষকের কাজ। ছাত্রদের জ্ঞানের শক্তি মূলত এর সমাধানের উপর নির্ভর করে।

সাহিত্য।

Vygodsky Ya.Ya., প্রাথমিক গণিতের হ্যান্ডবুক। -এম.: নাউকা, 1970।

বীজগণিতের বর্ধিত অসুবিধার কাজ এবং বিশ্লেষণের সূচনা: উচ্চ বিদ্যালয়ের 10-11 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক / B.M. ইভলেভ, এ.এম. আব্রামভ, ইউ.পি. Dudnitsyn, S.I. শোয়ার্জবার্ড। - এম.: এনলাইটেনমেন্ট, 1990।

অভিব্যক্তির রূপান্তরে মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সূত্রের প্রয়োগ (গ্রেড 10) // শিক্ষাগত ধারণার উত্সব। 2012-2013।

কোরিয়ানভ এ.জি. , প্রোকোফিভ এ.এ. আমরা পরীক্ষার জন্য ভাল ছাত্র এবং চমৎকার ছাত্র প্রস্তুত. - এম.: শিক্ষাগত বিশ্ববিদ্যালয় "সেপ্টেম্বরের প্রথম", 2012।- 103 পি।

কুজনেতসোভা ই.এন.ত্রিকোণমিতিক রাশির সরলীকরণ। বিভিন্ন পদ্ধতিতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা (পরীক্ষার প্রস্তুতি)। 11 তম গ্রেড. 2012-2013।

কুলানিন ইডি 3000 গণিতে প্রতিযোগিতামূলক সমস্যা। ৪র্থ আইডি, সঠিক। এবং অতিরিক্ত - এম.: রল্ফ, 2000।

মর্ডকোভিচ এ.জি. একটি সাধারণ শিক্ষার স্কুলে ত্রিকোণমিতি অধ্যয়নের পদ্ধতিগত সমস্যা // স্কুলে গণিত। 2002. নং 6।

পিচুরিন এল.এফ. ত্রিকোণমিতি সম্পর্কে এবং শুধুমাত্র এটি সম্পর্কে নয়: -এম. এনলাইটেনমেন্ট, 1985

রেশেতনিকভ এন.এন. স্কুলে ত্রিকোণমিতি: -এম. : শিক্ষাগত বিশ্ববিদ্যালয় "সেপ্টেম্বরের প্রথম", 2006, lk 1।

শাবুনিন M.I., Prokofiev A.A. গণিত। বীজগণিত। গাণিতিক বিশ্লেষণের সূচনা। প্রোফাইল লেভেল: গ্রেড 10 এর জন্য পাঠ্যপুস্তক - M.: BINOM। নলেজ ল্যাব, 2007।

পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য শিক্ষামূলক পোর্টাল।

গণিতে পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি "ওহ, এই ত্রিকোণমিতি! http://festival.1september.ru/articles/621971/

প্রকল্প "গণিত? সহজ!!!" http://www.resolventa.ru/