Намирането на координатите на вектор е доста често срещано условие за много задачи в математиката. Възможността за намиране на координатите на вектор ще ви помогне при други, по-сложни задачи с подобни теми. В тази статия ще разгледаме формулата за намиране на координатите на вектор и няколко задачи.
Намиране на координатите на вектор в равнина
Какво е самолет? Равнината е двумерно пространство, пространство с две измерения (размерност x и измерение y). Например хартията е плоска. Повърхността на масата е плоска. Всяка необемна фигура (квадрат, триъгълник, трапец) също е равнина. По този начин, ако в условието на задачата е необходимо да се намерят координатите на вектор, който лежи върху равнина, веднага припомняме x и y. Можете да намерите координатите на такъв вектор, както следва: AB координати на вектора = (xB - xA; yB - xA). От формулата се вижда, че координатите на началната точка трябва да се извадят от координатите на крайната точка.
пример:
- CD векторът има начални (5; 6) и крайни (7; 8) координати.
- Намерете координатите на самия вектор.
- Използвайки горната формула, получаваме следния израз: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- По този начин координатите на вектора CD = (2; 2).
- Съответно, координатата x е равна на две, координатата y също е две.
Намиране на координатите на вектор в пространството
Какво е пространство? Пространството вече е триизмерно измерение, където са дадени 3 координати: x, y, z. Ако трябва да намерите вектор, който лежи в пространството, формулата практически не се променя. Добавя се само една координата. За да намерите вектора, трябва да извадите началните координати от крайните. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
пример:
- Векторът DF има начално (2; 3; 1) и крайно (1; 5; 2).
- Прилагайки горната формула, получаваме: Векторни координати DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Не забравяйте, че стойността на координатите може да бъде отрицателна, няма проблем с това.
Как да намеря векторни координати онлайн?
Ако по някаква причина не искате сами да намерите координатите, можете да използвате онлайн калкулатора. Първо изберете размерността на вектора. Размерността на вектора е отговорна за неговите размери. Измерение 3 означава, че векторът е в пространството, измерение 2 означава, че е в равнината. След това вмъкнете координатите на точките в съответните полета и програмата ще определи координатите на самия вектор. Всичко е много просто.
Като щракнете върху бутона, страницата автоматично ще се превърти надолу и ще ви даде правилния отговор заедно със стъпките за решение.
Препоръчително е тази тема да се проучи добре, тъй като понятието за вектор се среща не само в математиката, но и във физиката. Студентите от Факултета по информационни технологии също изучават темата за векторите, но на по-сложно ниво.
На първо място е необходимо да се разглоби самата концепция за вектор. За да представим определението за геометричен вектор, нека си припомним какво е сегмент. Представяме следното определение.
Определение 1
Сегментът е част от права линия, която има две граници под формата на точки.
Сегментът може да има 2 посоки. За да посочим посоката, ще наречем една от границите на отсечката негово начало, а другата граница - неговия край. Посоката се посочва от началото до края на сегмента.
Определение 2
Вектор или насочен сегмент е отсечка, за която е известно коя от границите на отсечката се счита за начало и коя е неговият край.
Обозначение: Две букви: $\overline(AB)$ – (където $A$ е неговото начало и $B$ е неговият край).
С една малка буква: $\overline(a)$ (Фигура 1).
Сега въвеждаме директно концепцията за дължини на векторите.
Определение 3
Дължината на вектора $\overline(a)$ е дължината на отсечката $a$.
Нотация: $|\overline(a)|$
Концепцията за дължината на вектора е свързана например с такова понятие като равенството на два вектора.
Определение 4
Два вектора ще се наричат равни, ако удовлетворяват две условия: 1. Те са съпосочени; 1. Дължините им са равни (фиг. 2).
За да дефинирате вектори, въведете координатна система и определете координатите за вектора във въведената система. Както знаем, всеки вектор може да бъде разширен като $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, където $m$ и $n$ са реални числа, а $\overline(i )$ и $\overline(j)$ са единичните вектори на осите $Ox$ и $Oy$, съответно.
Определение 5
Коефициентите на разширение на вектора $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ще се наричат координати на този вектор във въведената координатна система. математически:
$\overline(c)=(m,n)$
Как да намерим дължината на вектор?
За да извлечете формула за изчисляване на дължината на произволен вектор, като се имат предвид неговите координати, разгледайте следния проблем:
Пример 1
Даден е: вектор $\overline(α)$ с координати $(x,y)$. Намерете: дължината на този вектор.
Нека представим декартовата координатна система $xOy$ на равнината. Отделете $\overline(OA)=\overline(a)$ от началото на въведената координатна система. Нека построим проекциите $OA_1$ и $OA_2$ на конструирания вектор съответно върху осите $Ox$ и $Oy$ (фиг. 3).
Конструираният от нас вектор $\overline(OA)$ ще бъде радиус вектор за точката $A$, следователно, той ще има координати $(x,y)$, което означава
$=x$, $[OA_2]=y$
Сега можем лесно да намерим желаната дължина с помощта на питагоровата теорема, получаваме
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Отговор: $\sqrt(x^2+y^2)$.
заключение:За да намерите дължината на вектор, чиито координати са дадени, трябва да намерите корена на квадрата на сумата от тези координати.
Пример за задача
Пример 2
Намерете разстоянието между точките $X$ и $Y$, които имат следните координати: $(-1,5)$ и $(7,3)$, съответно.
Всякакви две точки могат лесно да бъдат свързани с концепцията за вектор. Да разгледаме, например, вектора $\overline(XY)$. Както вече знаем, координатите на такъв вектор могат да бъдат намерени чрез изваждане на съответните координати на началната точка ($X$) от координатите на крайната точка ($Y$). Ние разбираме това
1. Дефиниция на вектор. Дължината на вектора. Колинеарност, компланарност на векторите.
Насочен сегмент се нарича вектор. Дължината или модулът на вектор е дължината на съответния насочен сегмент.
Векторен модул ае посочено. вектор асе нарича единствено число, ако . Векторите се наричат колинеарни, ако са успоредни на една и съща права. Векторите се наричат компланарни, ако са успоредни на една и съща равнина.
2. Умножение на вектор по число. Свойства на операцията.
Умножаването на вектор по число дава противоположно насочен вектор, който е два пъти по-дълъг. Умножаването на вектор по число в координатна форма се извършва чрез умножаване на всички координати по това число:
Въз основа на дефиницията се получава израз за модула на вектора, умножен по число:
Точно както при числата, операциите по добавяне на вектор към себе си могат да бъдат записани като умножение по число:
А изваждането на векторите може да бъде пренаписано чрез събиране и умножение:
Въз основа на факта, че умножението по не променя дължината на вектора, а само променя посоката и като се има предвид дефиницията на вектора, получаваме:
3. Събиране на вектори, изваждане на вектори.
В координатното представяне векторът на сумата се получава чрез сумиране на съответните координати на термините:
Използват се различни правила (методи) за геометрично конструиране на вектора на сумата, но всички те дават един и същ резултат. Използването на това или онова правило е оправдано от решавания проблем.
правило за триъгълник
Правилото на триъгълника следва най-естествено от разбирането на вектор като превод. Ясно е, че резултатът от последователно прилагане на две прехвърляния и в даден момент ще бъде същият като прилагането на едно прехвърляне наведнъж, съответстващо на това правило. За да добавите два вектора и според правилото триъгълники двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че началото на единия от тях съвпада с края на другия. Тогава сумарният вектор се дава от третата страна на образувания триъгълник и неговото начало съвпада с началото на първия вектор, а краят с края на втория вектор.
Това правило е директно и естествено обобщено за добавяне на произволен брой вектори, превръщащи се в правило за счупена линия:
правило за многоъгълници
Началото на втория вектор съвпада с края на първия, началото на третия - с края на втория и т.н., сумата от векторите е вектор, като началото съвпада с началото на първия и краят, съвпадащ с края на първия (тоест, той е изобразен от насочен сегмент, който затваря прекъснатата линия) . Нарича се още правилото за счупена линия.
правило на паралелограма
За да добавите два вектора и според правилото паралелограми двата вектора се прехвърлят успоредно на себе си, така че началото им да съвпада. Тогава сумарният вектор се дава от диагонала на изградения върху тях паралелограма, идващ от общия им произход. (Лесно е да се види, че този диагонал е същият като третата страна на триъгълника, когато се използва правилото за триъгълник).
Правилото на паралелограма е особено удобно, когато има нужда да се изобрази сумарният вектор, непосредствено прикрепен към една и съща точка, към която са прикрепени и двата термина - тоест да се изобразят и трите вектора с общ произход.
Модул на векторна сума
Модул на сбора от два вектораможе да се изчисли с помощта на косинусова теорема:
Къде е косинусът на ъгъла между векторите.
Ако векторите са начертани в съответствие с правилото на триъгълника и се вземе ъгъл според фигурата - между страните на триъгълника - който не съвпада с обичайното определение за ъгъла между векторите, а оттам и с ъгъла в по-горе формулата, тогава последният член придобива знак минус, който съответства на косинусовата теорема в пряката й формулировка.
За сумата от произволен брой векториприложима е подобна формула, в която има повече термини с косинус: един такъв член съществува за всяка двойка вектори от сумиращото множество. Например за три вектора формулата изглежда така:
Векторно изваждане
Два вектора и техният вектор на разлика
За да получите разликата в координатната форма, извадете съответните координати на векторите:
За да се получи вектор на разликата, началото на векторите се свързват и началото на вектора ще бъде краят, а краят ще бъде краят. Ако е написано с помощта на точките на векторите, тогава.
Модул на векторна разлика
Три вектора, както в допълнение, образуват триъгълник, а изразът за модула на разликата е подобен:
където е косинусът на ъгъла между векторите
Разликата от формулата за модул на сумата в знака пред косинуса, докато е необходимо внимателно да се следи кой ъгъл се взема (вариантът на формулата за модул на сбора с ъгъла между страните на триъгълника, когато се сумира според правилото за триъгълник, не се различава на външен вид от тази формула за модула на разликата, но трябва да имате предвид, че тук се вземат различни ъгли: в случая на сбора, ъгълът се взема, когато векторът се прехвърля в края на векторът, когато се търси моделът на разликата, се взема ъгълът между векторите, приложени към една точка; изразът за сумарния модул, използващ същия ъгъл като в даден израз за модула на разликата, се различава по знак пред косинус).
| " |
На първо място е необходимо да се разглоби самата концепция за вектор. За да представим определението за геометричен вектор, нека си припомним какво е сегмент. Представяме следното определение.
Определение 1
Сегментът е част от права линия, която има две граници под формата на точки.
Сегментът може да има 2 посоки. За да посочим посоката, ще наречем една от границите на отсечката негово начало, а другата граница - неговия край. Посоката се посочва от началото до края на сегмента.
Определение 2
Вектор или насочен сегмент е отсечка, за която е известно коя от границите на отсечката се счита за начало и коя е неговият край.
Обозначение: Две букви: $\overline(AB)$ – (където $A$ е неговото начало и $B$ е неговият край).
С една малка буква: $\overline(a)$ (Фигура 1).
Сега въвеждаме директно концепцията за дължини на векторите.
Определение 3
Дължината на вектора $\overline(a)$ е дължината на отсечката $a$.
Нотация: $|\overline(a)|$
Концепцията за дължината на вектора е свързана например с такова понятие като равенството на два вектора.
Определение 4
Два вектора ще се наричат равни, ако удовлетворяват две условия: 1. Те са съпосочени; 1. Дължините им са равни (фиг. 2).
За да дефинирате вектори, въведете координатна система и определете координатите за вектора във въведената система. Както знаем, всеки вектор може да бъде разширен като $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, където $m$ и $n$ са реални числа, а $\overline(i )$ и $\overline(j)$ са единичните вектори на осите $Ox$ и $Oy$, съответно.
Определение 5
Коефициентите на разширение на вектора $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ще се наричат координати на този вектор във въведената координатна система. математически:
$\overline(c)=(m,n)$
Как да намерим дължината на вектор?
За да извлечете формула за изчисляване на дължината на произволен вектор, като се имат предвид неговите координати, разгледайте следния проблем:
Пример 1
Даден е: вектор $\overline(α)$ с координати $(x,y)$. Намерете: дължината на този вектор.
Нека представим декартовата координатна система $xOy$ на равнината. Отделете $\overline(OA)=\overline(a)$ от началото на въведената координатна система. Нека построим проекциите $OA_1$ и $OA_2$ на конструирания вектор съответно върху осите $Ox$ и $Oy$ (фиг. 3).
Конструираният от нас вектор $\overline(OA)$ ще бъде радиус вектор за точката $A$, следователно, той ще има координати $(x,y)$, което означава
$=x$, $[OA_2]=y$
Сега можем лесно да намерим желаната дължина с помощта на питагоровата теорема, получаваме
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Отговор: $\sqrt(x^2+y^2)$.
заключение:За да намерите дължината на вектор, чиито координати са дадени, трябва да намерите корена на квадрата на сумата от тези координати.
Пример за задача
Пример 2
Намерете разстоянието между точките $X$ и $Y$, които имат следните координати: $(-1,5)$ и $(7,3)$, съответно.
Всякакви две точки могат лесно да бъдат свързани с концепцията за вектор. Да разгледаме, например, вектора $\overline(XY)$. Както вече знаем, координатите на такъв вектор могат да бъдат намерени чрез изваждане на съответните координати на началната точка ($X$) от координатите на крайната точка ($Y$). Ние разбираме това
Окси
О НО ОА.
, където 
ОА 
.
По този начин, 
.
Помислете за пример.
Пример.
Решение.
:
Отговор:
Oxyzв космоса.
НО ОАще бъде диагонал.
В този случай (тъй като ОА 
ОА 
.
По този начин, дължина на вектора 
.
Пример.
Изчислете дължината на вектора 
Решение.
, Следователно, 
Отговор:
Права линия в самолет
Общо уравнение
Ax + By + C ( > 0).
вектор = (А; Б)е нормален вектор.
Във векторна форма: + C = 0, където е радиус вектора на произволна точка на права линия (фиг. 4.11).
Специални случаи:
1) Чрез + C = 0- права линия, успоредна на оста вол;
2) Ax+C=0- права линия, успоредна на оста Ой;
3) Ax + By = 0- линията минава през началото;
4) y=0- ос вол;
5) х=0- ос Ой.
Уравнение на права линия в сегменти
където а, б- размерът на сегментите, отрязани с права линия по координатните оси.
Нормално уравнение на права линия(фиг. 4.11)
където е ъгълът, образуван нормално спрямо правата и оста вол; стре разстоянието от началото на координатите до правата.
Привеждане на общото уравнение на права линия в нормална форма:
Ето нормализирания коефициент на правата линия; знакът е избран срещу знака ° С, ако и произволно, ако C=0.
Намиране на дължината на вектор по координати.
Дължината на вектора ще бъде обозначена с . Поради тази нотация дължината на вектора често се нарича модул на вектора.
Нека започнем с намирането на дължината на вектора в равнината по координатите.
Въвеждаме на равнината правоъгълна декартова координатна система Окси. Нека в него е даден вектор и той има координати. Нека получим формула, която ви позволява да намерите дължината на вектора чрез координатите и .
Отделете от началото на координатите (от точката О) вектор . Означете проекциите на точката НОна координатните оси както и съответно и разглеждаме правоъгълник с диагонал ОА.
По силата на питагоровата теорема, равенството , където . От дефиницията на координатите на вектор в правоъгълна координатна система можем да твърдим, че и , и по конструкция, дължината ОАе равна на дължината на вектора, следователно, .
По този начин, формула за намиране на дължината на векторв своите координати на равнината има формата .
Ако векторът е представен като декомпозиция в координатни вектори , то дължината му се изчислява по същата формула , тъй като в този случай коефициентите и са координатите на вектора в дадената координатна система.
Помислете за пример.
Пример.
Намерете дължината на вектора, даден в декартови координати.
Решение.
Незабавно приложете формулата, за да намерите дължината на вектора по координати :
Отговор:
Сега получаваме формула за намиране на дължината на вектор по неговите координати в правоъгълна координатна система Oxyzв космоса.
Отделете вектора от началото и означете проекциите на точката НОпо координатните оси, както и . След това можем да изградим върху страните и правоъгълен паралелепипед в който ОАще бъде диагонал.
В този случай (тъй като ОАе диагоналът на правоъгълен паралелепипед), откъдето . Определянето на координатите на вектора ни позволява да запишем равенствата и дължината ОАе равна на желаната дължина на вектора, следователно, .
По този начин, дължина на вектора в пространството е равно на корен квадратен от сбора на квадратите на неговите координати, тоест се намира по формулата .
Пример.
Изчислете дължината на вектора , където са ортовете на правоъгълната координатна система.
Решение.
Дадено ни е разширението на вектор по координатни вектори от формата , Следователно, . Тогава, съгласно формулата за намиране на дължината на вектор по координати, имаме .
