Статията анализира концепцията за деление на цели числа с остатък. Ще докажем теоремата за делимост на цели числа с остатък и ще разгледаме връзките между делими и делители, непълни частни и остатъци. Помислете за правилата, когато се извършва разделяне на цели числа с остатъци, като разгледахме подробно с примери. В края на решението ще извършим проверка.
Общо разбиране за деление на цели числа с остатъци
Делението на цели числа с остатък се разглежда като обобщено деление с остатък от естествени числа. Това се прави, защото естествените числа са съставна част на цели числа.
Делението с остатък от произволно число казва, че цялото число a се дели на числото b, което е различно от нула. Ако b = 0, тогава не се извършва деление с остатък.
Освен разделянето на естествени числа с остатък, се извършва и деленето на цели числа a и b, като b различно от нула, с c и d. В този случай a и b се наричат дивидент и делител, а d е остатъкът от деленето, c е цяло число или частно частно.
Ако приемем, че остатъкът е цяло неотрицателно число, тогава неговата стойност не е по-голяма от модула на числото b. Нека го запишем така: 0 ≤ d ≤ b . Тази верига от неравенства се използва при сравняване на 3 или повече числа.
Ако c е непълно частно, тогава d е остатъкът от разделянето на цяло число a на b, можете накратко да фиксирате: a: b \u003d c (остават d).
Остатъкът при разделяне на числата a на b е възможен нула, тогава казват, че a се дели напълно на b, тоест без остатък. Деление без остатък се счита за специален случай на деление.
Ако разделим нула на някакво число, в резултат получаваме нула. Остатъкът от делението също ще бъде нула. Това може да се види от теорията за деление на нула на цяло число.
Сега разгледайте значението на деленето на цели числа с остатък.
Известно е, че положителните числа са естествени, тогава при деление с остатък ще се получи същото значение като при разделяне на естествени числа с остатък.
Разделянето на отрицателно цяло число a на цяло положително число b има смисъл. Нека да разгледаме един пример. Представете си ситуация, в която имаме дълг на артикули в размер на a, който трябва да бъде изплатен от b хора. За да направите това, всеки трябва да допринесе еднакво. За да се определи размера на дълга за всеки, е необходимо да се обърне внимание на стойността на частния c. Остатъкът d показва, че броят на позициите след погасяване на задълженията е известен.
Да вземем пример с ябълките. Ако 2 души се нуждаят от 7 ябълки. Ако изчислим, че всеки трябва да върне 4 ябълки, след пълното изчисление ще му остане 1 ябълка. Нека запишем това като равенство: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .
Разделянето на произволно число a на цяло число няма смисъл, но е възможно като опция.
Теорема за делимост за цели числа с остатък
Открихме, че a е дивидентът, след това b е делителят, c е частното частно и d е остатъкът. Те са взаимосвързани. Ще покажем тази връзка с помощта на равенството a = b · c + d . Връзката между тях се характеризира с теоремата за делимост с остатъка.
Теорема
Всяко цяло число може да бъде представено само като цяло число и ненулево число b по този начин: a = b · q + r , където q и r са някои цели числа. Тук имаме 0 ≤ r ≤ b.
Нека докажем възможността за съществуване на a = b · q + r .
Доказателство
Ако има две числа a и b и a се дели на b без остатък, тогава от определението, че има число q, следва, че равенството a = b · q ще бъде вярно. Тогава равенството може да се счита за вярно: a = b q + r за r = 0.
Тогава е необходимо да се вземе q такова, че дадено от неравенството b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Имаме, че стойността на израза a − b · q е по-голяма от нула и не по-голяма от стойността на числото b, откъдето следва, че r = a − b · q . Получаваме, че числото a може да бъде представено като a = b · q + r.
Сега трябва да разгледаме възможността да представим a = b · q + r за отрицателни стойности на b.
Модулът на числото се оказва положителен, тогава получаваме a = b q 1 + r, където стойността q 1 е някакво цяло число, r е цяло число, което отговаря на условието 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Доказателство за уникалност
Да приемем, че a = b q + r , q и r са цели числа с условието 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1и r1са някои числа къде q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
Когато неравенството се извади от лявата и дясната страна, тогава получаваме 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , което е еквивалентно на r - r 1 = b · q 1 - q . Тъй като модулът е използван, получаваме равенството r - r 1 = b · q 1 - q.
Даденото условие казва, че 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qи q 1- цяла и q ≠ q 1, тогава q 1 - q ≥ 1 . Следователно имаме, че b · q 1 - q ≥ b . Получените неравенства r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
От това следва, че числото a не може да бъде представено по друг начин, освен с такава нотация a = b · q + r.
Връзка между дивидент, делител, частно частно и остатък
Използвайки равенството a \u003d b c + d, можете да намерите неизвестния дивидент a, когато делителят b е известен с непълно коефициент c и остатъкът d.
Пример 1
Определете дивидента, ако при разделяне получим - 21, непълно частно 5 и остатък 12.
Решение
Необходимо е да се изчисли дивидентът a с известен делител b = − 21, непълно частно c = 5 и остатък d = 12. Трябва да се позоваваме на равенството a = b c + d, от тук получаваме a = (− 21) 5 + 12. При спазване на реда на операциите умножаваме - 21 по 5, след което получаваме (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.
Отговор: - 93 .
Връзката между делителя и частното частно и остатъка може да се изрази с помощта на равенствата: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b и d = a − b · c . С тяхна помощ можем да изчислим делителя, частичното частно и остатъка. Това се свежда до постоянно намиране на остатъка от деленето на цяло число a на b с известен дивидент, делител и частно частно. Прилага се формулата d = a − b · c. Нека разгледаме подробно решението.
Пример 2
Намерете остатъка от разделянето на цяло число - 19 на цяло число 3 с известно непълно частно , равно на - 7 .
Решение
За да изчислим остатъка от деление, прилагаме формула от вида d = a − b c . По условие всички данни a = − 19 , b = 3 , c = − 7 са налични. От тук получаваме d = a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) = - 19 - (- 21) = - 19 + 21 = 2 (разлика - 19 - (- 21)... Този пример се изчислява чрез правилото за изваждане цяло отрицателно число.
Отговор: 2 .
Всички положителни числа са естествени. От това следва, че деленето се извършва по всички правила за деление с остатък от естествени числа. Скоростта на деление с остатък от естествени числа е важна, тъй като не само делението на положителните се основава на нея, но и правилата за разделяне на произволни цели числа.
Най-удобният метод за деление е колона, тъй като е по-лесно и по-бързо да се получи непълно или просто частно с остатък. Нека разгледаме решението по-подробно.
Пример 3
Разделете 14671 на 54 .
Решение
Това разделение трябва да се извърши в колона:
Тоест, непълното коефициент е равно на 271, а остатъкът е 37.
Отговор: 14671: 54 = 271. (почивка 37)
Правилото за деление с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число, примери
За да извършите деление с остатък от положително число на отрицателно цяло число, е необходимо да формулирате правило.
Определение 1
Непълното частно от деленето на положително цяло число a на отрицателно цяло число b дава число, което е противоположно на непълното частно от разделянето на модулите на числата a на b. Тогава остатъкът е остатъкът, когато a се дели на b.
Следователно имаме, че непълното частно от деленето на положително цяло число на отрицателно цяло число се счита за неположително цяло число.
Получаваме алгоритъма:
- разделим модула на делимото на модула на делителя, тогава получаваме непълно частно и
- остатък;
- запишете противоположното число.
Помислете за примера на алгоритъма за разделяне на положително цяло число на отрицателно цяло число.
Пример 4
Извършете деление с остатък от 17 на -5.
Решение
Нека приложим алгоритъма за деление с остатъка от положително цяло число с отрицателно цяло число. Необходимо е да разделите 17 на - 5 по модул. От тук получаваме, че непълното частно е 3, а остатъкът е 2.
Получаваме, че желаното число от разделянето на 17 на - 5 \u003d - 3 с остатък, равен на 2.
Отговор: 17: (− 5) = − 3 (остават 2).
Пример 5
Разделете 45 на -15.
Решение
Необходимо е числата да се разделят по модул. Разделяме числото 45 на 15, получаваме частното 3 без остатък. Значи числото 45 се дели на 15 без остатък. В отговора получаваме - 3, тъй като разделянето е извършено по модул.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Отговор: 45: (− 15) = − 3 .
Формулирането на правилото за деление с остатък е както следва.
Определение 2
За да получите непълно коефициент c при разделяне на отрицателно цяло число a на положително b, трябва да приложите обратното на това число и да извадите 1 от него, след което остатъкът d ще бъде изчислен по формулата: d = a − b · ° С.
Въз основа на правилото можем да заключим, че при разделяне получаваме неотрицателно цяло число. За точността на решението се използва алгоритъмът за разделяне на a на b с остатък:
- намиране на модулите на делителя и делителя;
- делене по модул;
- напишете обратното на даденото число и извадете 1 ;
- използвайте формулата за остатъка d = a − b c .
Помислете за пример за решение, при което се прилага този алгоритъм.
Пример 6
Намерете непълното частно и остатъка от деленето - 17 на 5.
Решение
Разделяме дадените числа по модул. Получаваме, че при деление частното е 3, а остатъкът е 2. Тъй като имаме 3, обратното е 3. Необходимо е да се извади 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Желаната стойност е равна на -4.
За да изчислите остатъка, имате нужда от a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , след това d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Това означава, че непълното частно от деленето е числото - 4 с остатък, равен на 3.
Отговор:(− 17) : 5 = − 4 (остават 3).
Пример 7
Разделете отрицателното цяло число - 1404 на положителното 26 .
Решение
Необходимо е да се раздели по колона и по модул.
Получихме разделянето на модули от числа без остатък. Това означава, че деленето се извършва без остатък, а желаното частно = - 54.
Отговор: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Правило за деление с остатък от отрицателни цели числа, примери
Необходимо е да се формулира правило за деление с остатък от цели отрицателни числа.
Определение 3
За да се получи непълно частно от разделянето на отрицателно цяло число a на отрицателно цяло число b, е необходимо да извършим изчисления по модул, след което да добавим 1, след което можем да изчислим по формулата d = a − b · c.
От това следва, че непълното частно от деленето на отрицателни цели числа ще бъде положително число.
Ние формулираме това правило под формата на алгоритъм:
- намиране на модулите на делителя и делителя;
- разделете модула на делимото на модула на делителя, за да получите непълно частно с
- остатък;
- добавяне на 1 към непълното частно;
- изчисляване на остатъка въз основа на формулата d = a − b c .
Нека разгледаме този алгоритъм с пример.
Пример 8
Намерете непълното частно и остатъка при разделяне - 17 на - 5 .
Решение
За правилността на решението прилагаме алгоритъма за деление с остатък. Първо, разделете числата по модул. От тук получаваме, че непълното коефициент = 3, а остатъкът е 2. Съгласно правилото е необходимо да се добави непълното частно и 1. Получаваме, че 3 + 1 = 4. От тук получаваме, че непълното частно от разделянето на дадените числа е 4.
За да изчислим остатъка, ще приложим формулата. По условие имаме, че a = - 17, b = 5, c = 4, след което, използвайки формулата, получаваме d = a - b c = - 17 - (-5) 4 = - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . Желаният отговор, тоест остатъкът, е 3, а непълното коефициент е 4.
Отговор:(− 17) : (− 5) = 4 (остават 3).
Проверка на резултата от деленето на цели числа с остатък
След извършване на разделянето на числата с остатък е необходимо да се извърши проверка. Тази проверка включва 2 етапа. Първо, остатъкът d се проверява за неотрицателност, условието 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Нека разгледаме примери.
Пример 9
Произведено разделение - 521 по - 12. Коефициентът е 44, остатъкът е 7. Извършете проверка.
Решение
Тъй като остатъкът е положително число, неговата стойност е по-малка от модула на делителя. Делителят е -12, така че неговият модул е 12. Можете да преминете към следващата контролна точка.
По условие имаме, че a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . От тук изчисляваме b c + d , където b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . От това следва, че равенството е вярно. Проверката премина.
Пример 10
Проверете деление (− 17) : 5 = − 3 (оставащо − 2). Вярно ли е равенството?
Решение
Значението на първия етап е, че е необходимо да се провери разделянето на цели числа с остатък. Това показва, че действието е извършено неправилно, тъй като остатъкът е даден, равен на - 2. Остатъкът не е отрицателно число.
Имаме, че второто условие е изпълнено, но недостатъчно за този случай.
Отговор:не.
Пример 11
Числото - 19 разделено на - 3 . Частичното частно е 7, а остатъкът е 1. Проверете дали това изчисление е правилно.
Решение
Като се има предвид остатъкът от 1. Той е положителен. Стойността е по-малка от модула на разделителя, което означава, че се изпълнява първият етап. Да преминем към втория етап.
Нека изчислим стойността на израза b · c + d . По условие имаме, че b = - 3, c = 7, d = 1, следователно, замествайки числовите стойности, получаваме b c + d = - 3 7 + 1 = - 21 + 1 \u003d - 20. От това следва, че a = b · c + d равенството не е изпълнено, тъй като условието е дадено a = - 19 .
Това означава, че разделянето е направено с грешка.
Отговор:не.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В тази статия ще анализираме целочислено деление с остатък. Нека започнем с общия принцип за деление на цели числа с остатък, формулираме и докажем теорема за делимост на цели числа с остатък и проследим връзките между делимото, делителя, частичното частно и остатъка. След това ще обявим правилата, по които се извършва разделянето на цели числа с остатък, и ще разгледаме прилагането на тези правила при решаване на примери. След това ще се научим как да проверим резултата от разделянето на цели числа с остатък.
Навигация в страницата.
Обща идея за деление на цели числа с остатък
Делението на цели числа с остатък ще разглеждаме като обобщение на деление с остатък от естествени числа. Това се дължи на факта, че естествените числа са компонент на цели числа.
Нека започнем с термините и обозначенията, които се използват в описанието.
По аналогия с деленето на естествени числа с остатък приемаме, че резултатът от деление с остатък от две цели числа a и b (b не е равно на нула) е две цели числа c и d . Числата a и b се наричат делимои разделителсъответно числото d е остатъкот разделянето на a на b и се извиква цяло число c непълен частен(или просто частенако остатъкът е нула).
Нека се съгласим, че остатъкът е цяло неотрицателно число и неговата стойност не надвишава b, тоест (срещахме подобни вериги от неравенства, когато говорихме за сравняване на три или повече цели числа).
Ако числото c е частично частно, а числото d е остатъкът от разделянето на цяло число a на цяло число b, тогава накратко ще запишем този факт като равенство от вида a:b=c (остатък d) .
Обърнете внимание, че когато цяло число a е разделено на цяло число b, остатъкът може да бъде нула. В този случай казваме, че a се дели на b без следа(или напълно). По този начин, разделянето на цели числа без остатък е специален случай на деление на цели числа с остатък.
Също така си струва да се каже, че когато разделяме нула на някакво цяло число, ние винаги се занимаваме с деление без остатък, тъй като в този случай частното ще бъде равно на нула (вижте раздела за теорията за деление на нула с цяло число) и остатъкът също ще бъде равен на нула.
Решихме терминологията и нотацията, сега нека разберем значението на разделянето на цели числа с остатък.
Разделянето на отрицателно цяло число a на цяло положително число b също може да има смисъл. За да направите това, разгледайте отрицателно цяло число като дълг. Нека си представим такава ситуация. Дългът, който съставлява артикулите, трябва да бъде изплатен от b души, които дават същия принос. Абсолютната стойност на непълното коефициент c в този случай ще определи размера на дълга на всеки от тези хора, а остатъкът d ще покаже колко артикула ще останат след изплащане на дълга. Да вземем пример. Да кажем, че 2 души дължат 7 ябълки. Ако приемем, че всеки от тях дължи 4 ябълки, то след изплащане на дълга ще им остане по 1 ябълка. Тази ситуация съответства на равенството (−7):2=−4 (оставащо 1) .
Няма да придаваме никакъв смисъл на деленето с остатък от произволно цяло число a на цяло отрицателно число, но ще му оставим правото да съществува.
Теорема за делимост за цели числа с остатък
Когато говорихме за разделяне на естествени числа с остатък, установихме, че делимото a, делителят b, непълното частно c и остатъкът d са свързани с равенството a=b c+d. Целите числа a , b , c и d споделят една и съща връзка. Тази връзка се потвърждава от следното теорема за делимост с остатък.
Теорема.
Всяко цяло число a може да бъде представено по уникален начин чрез цяло число и ненулево число b във формата a=b q+r , където q и r са някои цели числа и .
Доказателство.
Нека първо докажем възможността за представяне на a=b·q+r.
Ако цели числа a и b са такива, че a се дели равномерно на b, тогава по дефиниция съществува цяло число q такова, че a=b q . В този случай равенството a=b q+r важи за r=0 .