В тази статия ще анализираме целочислено деление с остатък. Нека започнем с общия принцип за деление на цели числа с остатък, формулираме и докажем теорема за делимост на цели числа с остатък и проследим връзките между делимото, делителя, частичното частно и остатъка. След това ще обявим правилата, по които се извършва разделянето на цели числа с остатък, и ще разгледаме прилагането на тези правила при решаване на примери. След това ще се научим как да проверим резултата от разделянето на цели числа с остатък.
Навигация в страницата.
Обща идея за деление на цели числа с остатък
Делението на цели числа с остатък ще разглеждаме като обобщение на деление с остатък от естествени числа. Това се дължи на факта, че естествените числа са компонент на цели числа.
Нека започнем с термините и обозначенията, които се използват в описанието.
По аналогия с деленето на естествени числа с остатък приемаме, че резултатът от деление с остатък от две цели числа a и b (b не е равно на нула) е две цели числа c и d . Числата a и b се наричат делимои разделителсъответно числото d е остатъкот разделянето на a на b и се извиква цяло число c непълен частен(или просто частенако остатъкът е нула).
Нека се съгласим, че остатъкът е цяло неотрицателно число и неговата стойност не надвишава b, тоест (срещахме подобни вериги от неравенства, когато говорихме за сравняване на три или повече цели числа).
Ако числото c е частично частно, а числото d е остатъкът от разделянето на цяло число a на цяло число b, тогава накратко ще запишем този факт като равенство от вида a:b=c (остатък d) .
Обърнете внимание, че когато цяло число a е разделено на цяло число b, остатъкът може да бъде нула. В този случай казваме, че a се дели на b без следа(или напълно). По този начин, разделянето на цели числа без остатък е специален случай на деление на цели числа с остатък.
Също така си струва да се каже, че когато разделяме нула на някакво цяло число, ние винаги се занимаваме с деление без остатък, тъй като в този случай частното ще бъде равно на нула (вижте раздела за теорията за деление на нула с цяло число) и остатъкът също ще бъде равен на нула.
Решихме терминологията и нотацията, сега нека разберем значението на разделянето на цели числа с остатък.
Разделянето на отрицателно цяло число a на цяло положително число b също може да има смисъл. За да направите това, разгледайте отрицателно цяло число като дълг. Нека си представим такава ситуация. Дългът, който съставлява артикулите, трябва да бъде изплатен от b души, които дават същия принос. Абсолютната стойност на непълното коефициент c в този случай ще определи размера на дълга на всеки от тези хора, а остатъкът d ще покаже колко артикула ще останат след изплащане на дълга. Да вземем пример. Да кажем, че 2 души дължат 7 ябълки. Ако приемем, че всеки от тях дължи 4 ябълки, то след изплащане на дълга ще им остане по 1 ябълка. Тази ситуация съответства на равенството (−7):2=−4 (оставащо 1) .
Няма да придаваме никакъв смисъл на деленето с остатък от произволно цяло число a на цяло отрицателно число, но ще му оставим правото да съществува.
Теорема за делимост за цели числа с остатък
Когато говорихме за разделяне на естествени числа с остатък, установихме, че делимото a, делителят b, непълното частно c и остатъкът d са свързани с равенството a=b c+d. Целите числа a , b , c и d споделят една и съща връзка. Тази връзка се потвърждава от следното теорема за делимост с остатък.
Теорема.
Всяко цяло число a може да бъде представено по уникален начин чрез цяло число и ненулево число b във формата a=b q+r , където q и r са някои цели числа и .
Доказателство.
Нека първо докажем възможността за представяне на a=b·q+r.
Ако цели числа a и b са такива, че a се дели равномерно на b, тогава по дефиниция съществува цяло число q такова, че a=b q . В този случай равенството a=b q+r важи за r=0 .
Сега ще приемем, че b е цяло положително число. Избираме цяло число q по такъв начин, че произведението b·q да не надвишава числото a , а произведението b·(q+1) вече е по-голямо от a . Тоест, вземаме q така, че неравенствата b q Остава да се докаже, че a=b q+r може да бъде представено за отрицателно b . Тъй като модулът на числото b в този случай е положително число, тогава има представяне за , където q 1 е някакво цяло число и r е цяло число, което отговаря на условията . Тогава, като приемем q=−q 1 , получаваме изискваното представяне a=b q+r за отрицателно b . Обръщаме се към доказателството за уникалност. Да предположим, че в допълнение към представянето a=b q+r, q и r са цели числа и , има друго представяне a=b q 1 +r 1 , където q 1 и r 1 са някои цели числа и q 1 ≠ q и . След изваждане от лявата и дясната част на първото равенство, съответно, лявата и дясната част на второто равенство, получаваме 0=b (q−q 1)+r−r 1 , което е еквивалентно на равенството r− r 1 =b (q 1 − q) . Тогава равенството на формата От условията и можем да заключим, че . Тъй като q и q 1 са цели числа и q≠q 1 , откъдето заключаваме, че Равенството a=b c+d ви позволява да намерите неизвестен дивидент a, ако делителят b, частното частно c и остатъкът d са известни. Помислете за пример. Пример. На какво е равен дивидентът, ако разделянето му на цяло число −21 води до непълно частно от 5 и остатък от 12? Решение. Трябва да изчислим дивидента a, когато знаем делителя b=−21, частното частно c=5 и остатъка d=12. Обръщайки се към равенството a=b c+d , получаваме a=(−21) 5+12 . Наблюдавайки , първо извършваме умножението на цели числа −21 и 5 според правилото за умножение на числа с различни знаци , след което извършваме събиране на цели числа с различни знаци : (−21) 5+12=−105+12 =−93 . Отговор: −93
.
Взаимоотношенията между делимото, делителя, частното частно и остатъка също се изразяват с равенства от вида b=(a−d):c , c=(a−d):b и d=a−b·c . Тези равенства ни позволяват да изчислим съответно делителя, частичното частно и остатъка. Често трябва да намерим остатъка от разделянето на цяло число a на цяло число b, когато делимото, делителят и частното частно са известни, използвайки формулата d=a−b·c . За да избегнем допълнителни въпроси, ще анализираме пример за изчисляване на остатъка. Пример. Намерете остатъка от разделянето на цялото число −19 на цяло число 3, ако е известно, че частното частно е −7. Решение. За да изчислим остатъка от делението, използваме формула от вида d=a−b·c . От условието имаме всички необходими данни a=−19 , b=3 , c=−7 . Получаваме d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (разликата −19−(−21), която изчислихме по правилото за изваждане на отрицателно цяло число). Отговор: Както вече отбелязахме повече от веднъж, положителните числа са естествени числа. Следователно деленето с остатък от положителни числа се извършва по всички правила за деление с остатък от естествени числа. Много е важно да можете лесно да извършвате деление с остатъка от естествени числа, тъй като именно то е в основата на деленето не само на положителни числа, но и в основата на всички правила за деление с остатък от произволни цели числа. От наша гледна точка е най-удобно да се извърши деление по колона, този метод ви позволява да получите както непълно коефициент (или просто частно), така и остатък. Помислете за пример за деление с остатък от положителни числа. Пример. Извършете деление с остатък от 14671 на 54. Решение. Нека извършим разделянето на тези положителни числа по колона: Непълното коефициент се оказа 271, а остатъкът е 37. Отговор: 14 671:54=271 (остана 37) . Нека формулираме правило, което ви позволява да извършите деление с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число. Частичното частно от деленето на положително цяло число a на отрицателно цяло число b е обратното на частичното частно от деленето на a на модула на b, а остатъкът от деленето на a на b е остатъкът от деленето на . От това правило следва, че непълното частно от деленето на положително цяло число на отрицателно цяло число е цяло неположително число. Нека преработим изреченото правило в алгоритъм за деление с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число: Нека дадем пример за използване на алгоритъма за разделяне на положително цяло число на отрицателно цяло число. Пример. Разделете с остатъка от положително цяло число 17 на цяло отрицателно число −5. Решение. Нека използваме алгоритъма за деление с остатъка от положително цяло число с отрицателно цяло число. Разделяне Противоположното число на 3 е −3. По този начин необходимото частно частно от деленето на 17 на −5 е −3, а остатъкът е 2. Отговор: 17 :(−5)=−3 (почивка 2). Пример. Разделям 45 на -15 . Решение. Модулите на делителя и делителя са съответно 45 и 15. Числото 45 се дели на 15 без остатък, докато частното е 3. Следователно положителното цяло число 45 се дели на отрицателното цяло число −15 без остатък, докато частното е равно на числото, противоположно на 3, тоест −3. Всъщност, според правилото за деление на цели числа с различни знаци, имаме . Отговор: 45:(−15)=−3
.
Нека формулираме правилото за деление с остатък от отрицателно цяло число на цяло положително число. За да получите непълно частно c от разделянето на отрицателно цяло число a на положително цяло число b, трябва да вземете числото, противоположно на непълното частно от разделянето на модулите на оригиналните числа и да извадите едно от него, след което се изчислява остатъкът d използвайки формулата d=a−b c . От това правило за деление с остатък следва, че непълното частно от деленето на отрицателно цяло число на положително цяло число е цяло отрицателно число. От изреченото правило следва алгоритъмът за деление с остатъка от отрицателно цяло число a с цяло положително число b: Нека анализираме решението на примера, в който използваме писмения алгоритъм за деление с остатък. Пример. Намерете частното частно и остатъка от отрицателното цяло число −17, разделено на положителното цяло число 5 . Решение. Модулът на делителя −17 е 17, а модулът на делителя 5 е 5. Разделяне 17 на 5, получаваме непълно частно от 3 и остатък от 2. Обратното на 3 е −3. Извадете едно от −3: −3−1=−4 . И така, желаното непълно коефициент е −4. Остава да изчислим остатъка. В нашия пример a=−17 , b=5 , c=−4 , след това d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . По този начин, частното частно от отрицателно цяло число −17, разделено на положително цяло число 5, е −4, а остатъкът е 3. Отговор: (−17):5=−4 (почивка 3) . Пример. Разделете отрицателното цяло число −1 404 на положителното цяло число 26 . Решение. Модулът на дивидента е 1404, модулът на делителя е 26. Разделете 1404 на 26 в колона: Тъй като модулът на делимото е разделен на модула на делителя без остатък, първоначалните цели числа се разделят без остатък, а желаното частно е равно на числото, противоположно на 54, тоест -54. Отговор: (−1 404):26=−54
.
Нека формулираме правилото за деление с остатъка от отрицателни цели числа. За да получите непълно коефициент c от разделянето на отрицателно цяло число a на отрицателно цяло число b, трябва да изчислите непълното частно от разделянето на модулите на оригиналните числа и да добавите едно към него, след което да изчислите остатъка d по формулата d =a−b c . От това правило следва, че непълното частно от деленето на отрицателни цели числа е цяло положително число. Нека пренапишем изразеното правило под формата на алгоритъм за разделяне на отрицателни цели числа: Помислете за приложението на алгоритъма за разделяне на отрицателни цели числа при решаване на пример. Пример. Намерете частичното частно и остатъка от отрицателното цяло число −17, разделено на отрицателното цяло число −5. Решение. Използваме съответния алгоритъм за деление с остатък. Модулът на делителя е 17 , модулът на делителя е 5 . дивизия 17 по 5 дава непълното частно 3, а остатъкът 2. Добавяме едно към непълното коефициент 3: 3+1=4. Следователно желаното непълно частно от деленето на −17 на −5 е 4. Остава да изчислим остатъка. В този пример a=−17 , b=−5 , c=4 , след това d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 . И така, частното частно от отрицателно цяло число −17, разделено на отрицателно цяло число −5, е 4, а остатъкът е 3. Отговор: (−17):(−5)=4 (почивка 3) . След като се извърши разделянето на цели числа с остатък, е полезно да проверите резултата. Проверката се извършва на два етапа. На първия етап се проверява дали остатъкът d е неотрицателно число, а също така се проверява условието. Ако всички условия на първия етап на проверка са изпълнени, тогава можете да продължите към втория етап на проверка, в противен случай може да се твърди, че е допусната грешка при разделянето с остатъка. На втория етап се проверява валидността на равенството a=b·c+d. Ако това равенство е вярно, тогава разделянето с остатъка е извършено правилно, в противен случай някъде е направена грешка. Нека разгледаме решенията на примери, в които се проверява резултатът от деленето на цели числа с остатък. Пример. При разделяне на числото -521 на -12, частното частно е 44, а остатъкът е 7, проверете резултата. Решение. −2 за b=−3 , c=7 , d=1 . Ние имаме b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Следователно равенството a=b c+d е неправилно (в нашия пример a=−19 ). Следователно разделянето с остатък е извършено неправилно. Статията анализира концепцията за деление на цели числа с остатък. Ще докажем теоремата за делимост на цели числа с остатък и ще разгледаме връзките между делими и делители, непълни частни и остатъци. Помислете за правилата, когато се извършва разделяне на цели числа с остатъци, като разгледахме подробно с примери. В края на решението ще извършим проверка. Делението на цели числа с остатък се разглежда като обобщено деление с остатък от естествени числа. Това се прави, защото естествените числа са съставна част на цели числа. Делението с остатък от произволно число казва, че цялото число a се дели на числото b, което е различно от нула. Ако b = 0, тогава не се извършва деление с остатък. Освен разделянето на естествени числа с остатък, се извършва и деленето на цели числа a и b, като b различно от нула, с c и d. В този случай a и b се наричат дивидент и делител, а d е остатъкът от деленето, c е цяло число или частно частно. Ако приемем, че остатъкът е цяло неотрицателно число, тогава неговата стойност не е по-голяма от модула на числото b. Нека го запишем така: 0 ≤ d ≤ b . Тази верига от неравенства се използва при сравняване на 3 или повече числа. Ако c е непълно частно, тогава d е остатъкът от разделянето на цяло число a на b, можете накратко да фиксирате: a: b \u003d c (остават d). Остатъкът при разделяне на числата a на b е възможен нула, тогава казват, че a се дели напълно на b, тоест без остатък. Деление без остатък се счита за специален случай на деление. Ако разделим нула на някакво число, в резултат получаваме нула. Остатъкът от делението също ще бъде нула. Това може да се види от теорията за деление на нула на цяло число. Сега разгледайте значението на деленето на цели числа с остатък. Известно е, че положителните числа са естествени, тогава при деление с остатък ще се получи същото значение като при разделяне на естествени числа с остатък. Разделянето на отрицателно цяло число a на цяло положително число b има смисъл. Нека да разгледаме един пример. Представете си ситуация, в която имаме дълг на артикули в размер на a, който трябва да бъде изплатен от b хора. За да направите това, всеки трябва да допринесе еднакво. За да се определи размера на дълга за всеки, е необходимо да се обърне внимание на стойността на частния c. Остатъкът d показва, че броят на позициите след погасяване на задълженията е известен. Да вземем пример с ябълките. Ако 2 души се нуждаят от 7 ябълки. Ако изчислим, че всеки трябва да върне 4 ябълки, след пълното изчисление ще му остане 1 ябълка. Нека запишем това като равенство: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) . Разделянето на произволно число a на цяло число няма смисъл, но е възможно като опция. Открихме, че a е дивидентът, след това b е делителят, c е частното частно и d е остатъкът. Те са взаимосвързани. Ще покажем тази връзка с помощта на равенството a = b · c + d . Връзката между тях се характеризира с теоремата за делимост с остатъка. Теорема Всяко цяло число може да бъде представено само като цяло число и ненулево число b по този начин: a = b · q + r , където q и r са някои цели числа. Тук имаме 0 ≤ r ≤ b. Нека докажем възможността за съществуване на a = b · q + r . Доказателство Ако има две числа a и b и a се дели на b без остатък, тогава от определението, че има число q, следва, че равенството a = b · q ще бъде вярно. Тогава равенството може да се счита за вярно: a = b q + r за r = 0. Тогава е необходимо да се вземе q такова, че дадено от неравенството b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Имаме, че стойността на израза a − b · q е по-голяма от нула и не по-голяма от стойността на числото b, откъдето следва, че r = a − b · q . Получаваме, че числото a може да бъде представено като a = b · q + r. Сега трябва да разгледаме възможността да представим a = b · q + r за отрицателни стойности на b. Модулът на числото се оказва положителен, тогава получаваме a = b q 1 + r, където стойността q 1 е някакво цяло число, r е цяло число, което отговаря на условието 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Доказателство за уникалност Да приемем, че a = b q + r , q и r са цели числа с условието 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1и r1са някои числа къде q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b . Когато неравенството се извади от лявата и дясната страна, тогава получаваме 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , което е еквивалентно на r - r 1 = b · q 1 - q . Тъй като модулът е използван, получаваме равенството r - r 1 = b · q 1 - q. Даденото условие казва, че 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qи q 1- цяла и q ≠ q 1, тогава q 1 - q ≥ 1 . Следователно имаме, че b · q 1 - q ≥ b . Получените неравенства r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. От това следва, че числото a не може да бъде представено по друг начин, освен с такава нотация a = b · q + r. Използвайки равенството a \u003d b c + d, можете да намерите неизвестния дивидент a, когато делителят b е известен с непълно коефициент c и остатъкът d. Пример 1 Определете дивидента, ако при разделяне получим - 21, непълно частно 5 и остатък 12. Решение
Необходимо е да се изчисли дивидентът a с известен делител b = − 21, непълно частно c = 5 и остатък d = 12. Трябва да се позоваваме на равенството a = b c + d, от тук получаваме a = (− 21) 5 + 12. При спазване на реда на операциите умножаваме - 21 по 5, след което получаваме (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93. Отговор: - 93 . Връзката между делителя и частното частно и остатъка може да се изрази с помощта на равенствата: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b и d = a − b · c . С тяхна помощ можем да изчислим делителя, частичното частно и остатъка. Това се свежда до постоянно намиране на остатъка от деленето на цяло число a на b с известен дивидент, делител и частно частно. Прилага се формулата d = a − b · c. Нека разгледаме подробно решението. Пример 2 Намерете остатъка от разделянето на цяло число - 19 на цяло число 3 с известно непълно частно , равно на - 7 . Решение
За да изчислим остатъка от деление, прилагаме формула от вида d = a − b c . По условие всички данни a = − 19 , b = 3 , c = − 7 са налични. От тук получаваме d = a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) = - 19 - (- 21) = - 19 + 21 = 2 (разлика - 19 - (- 21)... Този пример се изчислява чрез правилото за изваждане цяло отрицателно число. Отговор: 2 . Всички положителни числа са естествени. От това следва, че деленето се извършва по всички правила за деление с остатък от естествени числа. Скоростта на деление с остатък от естествени числа е важна, тъй като не само делението на положителните се основава на нея, но и правилата за разделяне на произволни цели числа. Най-удобният метод за деление е колона, тъй като е по-лесно и по-бързо да се получи непълно или просто частно с остатък. Нека разгледаме решението по-подробно. Пример 3 Разделете 14671 на 54 . Решение
Това разделение трябва да се извърши в колона: Тоест, непълното коефициент е равно на 271, а остатъкът е 37. Отговор: 14671: 54 = 271. (почивка 37) За да извършите деление с остатък от положително число на отрицателно цяло число, е необходимо да формулирате правило. Определение 1 Непълното частно от деленето на положително цяло число a на отрицателно цяло число b дава число, което е противоположно на непълното частно от разделянето на модулите на числата a на b. Тогава остатъкът е остатъкът, когато a се дели на b. Следователно имаме, че непълното частно от деленето на положително цяло число на отрицателно цяло число се счита за неположително цяло число. Получаваме алгоритъма: Помислете за примера на алгоритъма за разделяне на положително цяло число на отрицателно цяло число. Пример 4 Извършете деление с остатък от 17 на -5. Решение
Нека приложим алгоритъма за деление с остатъка от положително цяло число с отрицателно цяло число. Необходимо е да разделите 17 на - 5 по модул. От тук получаваме, че непълното частно е 3, а остатъкът е 2. Получаваме, че желаното число от разделянето на 17 на - 5 \u003d - 3 с остатък, равен на 2. Отговор: 17: (− 5) = − 3 (остават 2). Пример 5 Разделете 45 на -15. Решение
Необходимо е числата да се разделят по модул. Разделяме числото 45 на 15, получаваме частното 3 без остатък. Значи числото 45 се дели на 15 без остатък. В отговора получаваме - 3, тъй като разделянето е извършено по модул. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Отговор: 45: (− 15) = − 3 . Формулирането на правилото за деление с остатък е както следва. Определение 2 За да получите непълно коефициент c при разделяне на отрицателно цяло число a на положително b, трябва да приложите обратното на това число и да извадите 1 от него, след което остатъкът d ще бъде изчислен по формулата: d = a − b · ° С. Въз основа на правилото можем да заключим, че при разделяне получаваме неотрицателно цяло число. За точността на решението се използва алгоритъмът за разделяне на a на b с остатък: Помислете за пример за решение, при което се прилага този алгоритъм. Пример 6 Намерете непълното частно и остатъка от деленето - 17 на 5. Решение
Разделяме дадените числа по модул. Получаваме, че при деление частното е 3, а остатъкът е 2. Тъй като имаме 3, обратното е 3. Необходимо е да се извади 1. − 3 − 1 = − 4 . Желаната стойност е равна на -4. За да изчислите остатъка, имате нужда от a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , след това d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Това означава, че непълното частно от деленето е числото - 4 с остатък, равен на 3. Отговор:(− 17) : 5 = − 4 (остават 3). Пример 7 Разделете отрицателното цяло число - 1404 на положителното 26 . Решение
Необходимо е да се раздели по колона и по модул. Получихме разделянето на модули от числа без остатък. Това означава, че деленето се извършва без остатък, а желаното частно = - 54. Отговор: (− 1 404) : 26 = − 54 . Необходимо е да се формулира правило за деление с остатък от цели отрицателни числа. Определение 3 За да се получи непълно частно от разделянето на отрицателно цяло число a на отрицателно цяло число b, е необходимо да извършим изчисления по модул, след което да добавим 1, след което можем да изчислим по формулата d = a − b · c. От това следва, че непълното частно от деленето на отрицателни цели числа ще бъде положително число. Ние формулираме това правило под формата на алгоритъм: Нека разгледаме този алгоритъм с пример. Пример 8 Намерете непълното частно и остатъка при разделяне - 17 на - 5 . Решение
За правилността на решението прилагаме алгоритъма за деление с остатък. Първо, разделете числата по модул. От тук получаваме, че непълното коефициент = 3, а остатъкът е 2. Съгласно правилото е необходимо да се добави непълното частно и 1. Получаваме, че 3 + 1 = 4. От тук получаваме, че непълното частно от разделянето на дадените числа е 4. За да изчислим остатъка, ще приложим формулата. По условие имаме, че a = - 17, b = 5, c = 4, след което, използвайки формулата, получаваме d = a - b c = - 17 - (-5) 4 = - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . Желаният отговор, тоест остатъкът, е 3, а непълното коефициент е 4. Отговор:(− 17) : (− 5) = 4 (остават 3). След извършване на разделянето на числата с остатък е необходимо да се извърши проверка. Тази проверка включва 2 етапа. Първо, остатъкът d се проверява за неотрицателност, условието 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Нека разгледаме примери. Пример 9 Произведено разделение - 521 по - 12. Коефициентът е 44, остатъкът е 7. Извършете проверка. Решение
Тъй като остатъкът е положително число, неговата стойност е по-малка от модула на делителя. Делителят е -12, така че неговият модул е 12. Можете да преминете към следващата контролна точка. По условие имаме, че a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . От тук изчисляваме b c + d , където b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . От това следва, че равенството е вярно. Проверката премина. Пример 10 Проверете деление (− 17) : 5 = − 3 (оставащо − 2). Вярно ли е равенството? Решение
Значението на първия етап е, че е необходимо да се провери разделянето на цели числа с остатък. Това показва, че действието е извършено неправилно, тъй като остатъкът е даден, равен на - 2. Остатъкът не е отрицателно число. Имаме, че второто условие е изпълнено, но недостатъчно за този случай. Отговор:не. Пример 11 Числото - 19 разделено на - 3 . Частичното частно е 7, а остатъкът е 1. Проверете дали това изчисление е правилно. Решение
Като се има предвид остатъкът от 1. Той е положителен. Стойността е по-малка от модула на разделителя, което означава, че се изпълнява първият етап. Да преминем към втория етап. Нека изчислим стойността на израза b · c + d . По условие имаме, че b = - 3, c = 7, d = 1, следователно, замествайки числовите стойности, получаваме b c + d = - 3 7 + 1 = - 21 + 1 \u003d - 20. От това следва, че a = b · c + d равенството не е изпълнено, тъй като условието е дадено a = - 19 . Това означава, че разделянето е направено с грешка. Отговор:не. Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter Помислете за прост пример: Понякога естественото число не може да бъде напълно разделено. Например, помислете за проблема: Решение: Знаем, че 16 по 5 не се дели. Най-близкото по-малко число, което се дели на 5, е 15 с остатък от 1. Можем да запишем числото 15 като 5⋅3. В резултат (16 - дивидент, 5 - делител, 3 - частично частно, 1 - остатък). Има формула деление с остатъккоето може да се направи проверка на решението. а=
б⋅
° С+
д Отговор: Всяко дете ще вземе 3 играчки и една играчка ще остане. Остатъкът винаги трябва да е по-малък от делителя. Ако остатъкът е нула при деление, тогава дивидентът се дели. напълноили без остатък на делител. Ако при деление остатъкът е по-голям от делителя, това означава, че намереното число не е най-голямото. Има по-голямо число, което ще раздели дивидента, а остатъкът ще бъде по-малък от делителя. Въпроси по темата „Деление с остатък“:
Може ли остатъкът да бъде равен на делителя? Как да намерим дивидента по непълното частно, делителя и остатъка? Пример №1:
Решение: 258 - делимо, б) Разделете в колона: 1873 - делимо, Заменете във формулата и проверете дали сме решили примера правилно: Пример №2:
Отговор: Пример №3:
Отговор: Пример №4:
Решение: б) Решете по формулата: Задача:
Тел 4м. трябва да се нарязва на парчета от 13 см. Колко от тези парчета ще има? Решение: Отговор: Ще се получат 30 парчета и ще останат 10 см тел. Признаци за делимост на числата- това са правила, които позволяват, без да се делят, сравнително бързо да се установи дали това число се дели на дадено число без остатък. Това е един от най-простите признаци на делимост. Звучи така: ако записът на естествено число завършва с четна цифра, тогава е четно (разделено без остатък на 2), а ако записът на число завършва с нечетна цифра, тогава това число е нечетно. Този знак за делимост има съвсем различни правила: ако сборът от цифрите на числото се дели на 3, то числото също се дели на 3; Ако сборът от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3. Този тест за делимост ще бъде по-сложен. Ако последните 2 цифри на числото образуват число, което се дели на 4 или е 00, то числото се дели на 4, в противен случай това число не се дели на 4 без остатък. И отново имаме доста прост знак за делимост: ако записът на естествено число завършва с цифрата 0 или 5, тогава това число се дели без остатък на 5. Ако записът на числото завършва с различна цифра, тогава числото без остатък не се дели на 5. Пред нас е съставно число 6, което е произведение на числата 2 и 3. Следователно знакът за делимост на 6 също е съставен: за да може едно число да се дели на 6, то трябва да отговаря на два знака за делимост едновременно: знакът за делимост на 2 и знакът за делимост на 3. В същото време имайте предвид, че такова съставно число като 4 има индивидуален знак за делимост, тъй като е продукт на числото 2 само по себе си . Но да се върнем към теста за делимост на 6. Този критерий за делимост е по-сложен: числото се дели на 7, ако резултатът от изваждане на последната цифра от броя на десетките на това число се дели на 7 или е равен на 0. Знакът за делимост на 8 звучи така: ако последните 3 цифри образуват число, което се дели на 8, или е 000, тогава даденото число се дели на 8. Този знак за делимост е подобен на знака за делимост на 3: ако сборът от цифрите на числото се дели на 9, то числото също се дели на 9; Ако сборът от цифрите на дадено число не се дели на 9, то числото не се дели на 9. Комбинирах тези критерии за делимост, защото те могат да бъдат описани по същия начин: числото се дели на битова единица, ако броят на нулите в края на числото е по-голям или равен на броя на нулите в дадена битова единица. За да разберете дали едно число се дели на 11, трябва да получите разликата между сумите на четните и нечетните цифри на това число. Ако тази разлика е равна на 0 или се дели на 11 без остатък, тогава самото число се дели на 11 без остатък. Числото 12 е съставно. Неговият знак за делимост е съответствието на знаците за делимост на 3 и на 4 едновременно. Признак за делимост на 13 е, че ако броят на десетките на число, добавен към единиците на това число, умножен по 4, е кратен на 13 или равен на 0, тогава самото число се дели на 13. Както се вижда от горното, може да се приеме, че всяко от естествените числа може да се съпостави със собствен индивидуален знак за делимост или „съставен“ знак, ако числото е кратно на няколко различни числа. Но както показва практиката, по принцип колкото по-голямо е числото, толкова по-сложна е неговата характеристика. Може би времето, прекарано за проверка на критерия за делимост, може да бъде равно или по-голямо от самото деление. Ето защо обикновено използваме най-простите критерии за делимост.
, а поради свойствата на модула на числото - и равенството 
.
. От получените неравенства и от това следва, че равенство на формата невъзможно според нашето предположение. Следователно няма друго представяне на числото a, освен a=b·q+r.Връзки между дивидент, делител, частно частно и остатък
Деление с остатък от положителни числа, примери
Правилото за деление с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число, примери
Деление с остатък от отрицателно цяло число с цяло положително число, примери
Правило за деление с остатък от отрицателни цели числа, примери
Проверка на резултата от деленето на цели числа с остатък
Общо разбиране за деление на цели числа с остатъци
Теорема за делимост за цели числа с остатък
Връзка между дивидент, делител, частно частно и остатък
Правилото за деление с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число, примери
Правило за деление с остатък от отрицателни цели числа, примери
Проверка на резултата от деленето на цели числа с остатък
15:5=3
В този пример разделихме естественото число 15 напълно 3, без остатък.
В килера имаше 16 играчки. В групата имаше пет деца. Всяко дете взе еднакъв брой играчки. Колко играчки има всяко дете?
Разделете числото 16 на 5 на колона и вземете:
а - делимо
б - разделител,
° С - непълно коефициент,
д - остатък.Остатък от дивизията
Може ли остатъкът да бъде по-голям от делителя?
Отговор: не.
Отговор: не.
Отговор: заместваме стойностите на непълното частно, делителя и остатъка във формулата и намираме дивидента. формула:
a=b⋅c+d
Извършете деление с остатък и проверете: a) 258:7 b) 1873:8
а) Разделете в колона: 
7 - разделител,
36 - непълно коефициент,
6 - остатък. Остатъкът е по-малък от делителя 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - разделител,
234 - непълно коефициент,
1 е остатъкът. Остатъкът е по-малък от делителя 1<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
Какви остатъци се получават при разделяне на естествени числа: а) 3 б) 8?
а) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно по-малък от 3. В нашия случай остатъкът може да бъде 0, 1 или 2.
б) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно по-малък от 8. В нашия случай остатъкът може да бъде 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Какъв е най-големият остатък, който може да се получи чрез разделяне на естествени числа: а) 9 б) 15?
а) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно, по-малък от 9. Но трябва да посочим най-големия остатък. Тоест най-близкото число до делителя. Това число е 8.
б) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно, по-малък от 15. Но трябва да посочим най-големия остатък. Тоест най-близкото число до делителя. Това число е 14.
Намерете дивидента: a) a: 6 = 3 (rem. 4) b) c: 24 = 4 (rem. 11)
а) Решете по формулата:
a=b⋅c+d
(a е дивидентът, b е делителят, c е частичното частно, d е остатъкът.)
a:6=3(почивка.4)
(a е дивидентът, 6 е делителят, 3 е непълното частно, 4 е остатъкът.) Заменете числата във формулата:
a=6⋅3+4=22
Отговор: a=22
a=b⋅c+d
(a е дивидентът, b е делителят, c е частичното частно, d е остатъкът.)
s:24=4(почивка.11)
(c е дивидентът, 24 е делителят, 4 е непълното частно, 11 е остатъкът.) Заменете числата във формулата:
c=24⋅4+11=107
Отговор: s=107
Първо трябва да преобразувате метри в сантиметри.
4м.=400см.
Можете да разделите на колона или в ума си получаваме:
400:13=30 (почивки 10)
Да проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Някои от признаци на делимостдоста прости, някои по-трудни. На тази страница ще намерите както признаци за делимост на прости числа, като например 2, 3, 5, 7, 11, така и признаци за делимост на съставни числа, като 6 или 12.
Надявам се тази информация да ви бъде полезна.
Приятно учене! Знак за делимост на 2
С други думи, ако последната цифра на число е 2
, 4
, 6
, 8
или 0
- числото се дели на 2, ако не, значи не се дели
Например числа: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
се делят на 2, защото са четни.
А числа: 23 5
, 137
, 2303
не се делят на 2, защото са нечетни. Знак за делимост на 3
Така че, за да разберете дали едно число се дели на 3, просто трябва да съберете числата, които го съставят.
Изглежда така: 3987 и 141 са разделени на 3, защото в първия случай 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - дели се без остатък на 3), а във втория 1+4+1= 6
(6:3=2 - също се дели на 3 без остатък).
Но числата: 235 и 566 не се делят на 3, защото 2+3+5= 10
и 5+6+6= 17
(и знаем, че нито 10, нито 17 могат да бъдат разделени на 3 без остатък). Деление на 4 знака
Например: 1 00
и 3 64
се делят на 4, тъй като в първия случай числото завършва на 00
, а във втория 64
, което от своя страна се дели на 4 без остатък (64:4=16)
Числа 3 57
и 8 86
не се делят на 4, защото нито едно от двете 57
нито едното 86
не се делят на 4 и следователно не отговарят на този критерий за делимост. Знак за делимост на 5
Това означава, че всички числа, завършващи на цифри 0
и 5
, например 1235 5
и 43 0
, попадат под правилото и се делят на 5.
И например 1549г 3
и 56 4
не завършват на 5 или 0, което означава, че не могат да се делят на 5 без остатък. Знак за делимост на 6
Числата 138 и 474 са четни и отговарят на знаците за делимост на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), което означава, че са дели се на 6. Но 123 и 447, въпреки че се делят на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но са нечетни, и следователно не отговарят на критерия за делимост на 2 и следователно не отговарят на критерия за делимост на 6. Знак за делимост на 7
Звучи доста объркващо, но на практика е просто. Вижте сами: номер 95
9 се дели на 7, защото 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 се дели на 7 без остатък). Освен това, ако има трудности с числото, получено по време на трансформациите (поради неговия размер е трудно да се разбере дали се дели на 7 или не, тогава тази процедура може да се продължи толкова пъти, колкото сметнете за добре).
Например, 45
5 и 4580
1 имат признаци на делимост на 7. В първия случай всичко е съвсем просто: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Във втория случай ще направим това: 4580
-2*1=4580-2=4578. Трудно ни е да разберем дали 457
8 на 7, така че нека повторим процеса: 457
-2*8=457-16=441. И отново ще използваме знака за делимост, тъй като все още имаме трицифрено число пред нас 44
1. И така, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 се дели на 7 без остатък, което означава, че 45801 също се дели на 7.
А ето и числата 11
1 и 34
5 не се дели на 7, защото 11
-2*1=11-2=9 (9 не се дели равномерно на 7) и 34
-2*5=34-10=24 (24 не се дели равномерно на 7). Знак за делимост на 8
Числа 1 000
или 1 088
се делят на 8: първият завършва на 000
, секундата 88
:8=11 (дели се на 8 без остатък).
А ето и числата 1 100
или 4 757
не се делят на 8, защото числата 100
и 757
не се делят на 8 без остатък. Знак за делимост на 9
Например: 3987 и 144 се делят на 9, защото в първия случай 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - дели се без остатък на 9), а във втория 1+4+4= 9
(9:9=1 - също се дели без остатък на 9).
Но числата: 235 и 141 не се делят на 9, защото 2+3+5= 10
и 1+4+1= 6
(и знаем, че нито 10, нито 6 могат да бъдат разделени на 9 без остатък). Признаци за делимост на 10, 100, 1000 и други битови единици
С други думи, например, имаме числа като това: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. всички от които се делят на 1 0
; 46400
и 867 000
също се делят на 1 00
; и само един от тях - 867 000
делима на 1 000
.
Всички числа, които имат по-малко нули в края от битова единица, не се делят на тази битова единица, като 600 30
и 7 93
не споделяйте 1 00
.Знак за делимост на 11
За да стане по-ясно, предлагам да разгледаме примери: 2
35
4 се дели на 11, защото ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 също се дели на 11, защото ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
И ето 1 1
1 или 4
35
4 не се дели на 11, тъй като в първия случай получаваме (1 + 1) - 1
=1, а във втория ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.Знак за делимост на 12
Например, 300 и 636 съответстват както на знаците за делимост на 4 (последните 2 цифри са нули или се делят на 4), така и на знаците за делимост на 3 (сумата от цифрите и първото и второто число се делят на 3 ), и следователно те се делят на 12 без остатък.
Но 200 или 630 не се делят на 12, защото в първия случай числото отговаря само на знака за делимост на 4, а във втория - само на знака за делимост на 3. Но не и на двата знака едновременно. Знак за делимост на 13
Вземете за пример 70
2. И така 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 се дели равномерно на 13), така че 70
2 се дели на 13 без остатък. Друг пример е числото 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Числото 130 се дели на 13 без остатък, което означава, че даденото число отговаря на знака за делимост на 13.
Ако вземем числата 12
5 или 21
2, тогава получаваме 12
+4*5=32 и 21
+4*2=29 съответно и нито 32, нито 29 се делят на 13 без остатък, което означава, че дадените числа не се делят на 13 без остатък.Делимост на числата
