Тази статия разкрива извеждането на уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система, разположена върху равнина. Извеждаме уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система. Нагледно ще покажем и решим няколко примера, свързани с обхванатия материал.
Преди да се получи уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, е необходимо да се обърне внимание на някои факти. Има една аксиома, която гласи, че през две несъвпадащи точки на равнина е възможно да се начертае права линия и само една. С други думи, две дадени точки от равнината се определят от права линия, минаваща през тези точки.
Ако равнината е дадена от правоъгълната координатна система Oxy, тогава всяка права линия, изобразена в нея, ще съответства на уравнението на правата линия на равнината. Съществува и връзка с насочващия вектор на правата линия.Тези данни са достатъчни за съставяне на уравнението на права линия, преминаваща през две дадени точки.
Помислете за пример за решаване на подобен проблем. Необходимо е да се състави уравнението на права линия a, минаваща през две несъответстващи точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), разположени в декартовата координатна система.
В каноничното уравнение на права линия на равнина, имаща формата x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , правоъгълна координатна система O x y е посочена с права линия, която се пресича с нея в точка с координати M 1 (x 1, y 1) с направляващ вектор a → = (a x , a y) .
Необходимо е да се състави каноничното уравнение на правата линия a, която ще минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) .
Правата линия a има насочващ вектор M 1 M 2 → с координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), тъй като пресича точките M 1 и M 2. Получихме необходимите данни, за да трансформираме каноничното уравнение с координатите на вектора на посоката M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1, лежащи върху тях (x 1, y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получаваме уравнение от вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Помислете за фигурата по-долу.
След изчисленията записваме параметричните уравнения на права линия в равнина, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) . Получаваме уравнение под формата x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Нека разгледаме по-подробно няколко примера.
Пример 1
Напишете уравнението на права линия, минаваща през 2 дадени точки с координати M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
Решение
Каноничното уравнение за права линия, пресичаща се в две точки с координати x 1 , y 1 и x 2 , y 2 , приема формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Според условието на задачата имаме, че x 1 = 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = 1 6. Необходимо е да се заменят числови стойности в уравнението x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . От тук получаваме, че каноничното уравнение ще приеме формата x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Отговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Ако е необходимо да се реши проблем с различен тип уравнение, тогава за начало можете да преминете към каноничното, тъй като е по-лесно да стигнете до всяко друго от него.
Пример 2
Съставете общото уравнение на права линия, минаваща през точки с координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) в координатната система O x y.
Решение
Първо трябва да запишете каноничното уравнение на дадена права, която минава през дадените две точки. Получаваме уравнение от вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Привеждаме каноничното уравнение до желания вид, след което получаваме:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Отговор: x - 3 y + 2 = 0 .
Примери за такива задачи бяха разгледани в училищните учебници на уроците по алгебра. Училищните задачи се различаваха по това, че беше известно уравнението на права линия с коефициент на наклон, имащо формата y \u003d k x + b. Ако трябва да намерите стойността на наклона k и числото b, при което уравнението y \u003d k x + b дефинира права в системата O x y, която минава през точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) , където x 1 ≠ x 2 . Когато x 1 = x 2 , тогава наклонът придобива стойността на безкрайност, а правата линия M 1 M 2 се определя от общо непълно уравнение от вида x - x 1 = 0 .
Защото точките М 1и М 2са на права линия, то координатите им удовлетворяват уравнението y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Необходимо е да се реши системата от уравнения y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b по отношение на k и b.
За да направите това, намираме k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
С такива стойности на k и b, уравнението на права линия, минаваща през дадените две точки, приема следния вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Запомнянето на такъв огромен брой формули наведнъж няма да работи. За да направите това, е необходимо да увеличите броя на повторенията при решаване на проблеми.
Пример 3
Напишете уравнението на права линия с наклон, минаваща през точки с координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.
Решение
За да решим проблема, използваме формула с наклон, който има формата y \u003d k x + b. Коефициентите k и b трябва да приемат такава стойност, че това уравнение да съответства на права линия, минаваща през две точки с координати M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .
точки М 1и М 2разположени на права линия, тогава техните координати трябва да обърнат уравнението y = k x + b правилното равенство. От тук получаваме, че - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b. Нека комбинираме уравнението в системата - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решаваме.
При замяна получаваме това
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Сега стойностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заменят в уравнението y = k x + b . Получаваме, че желаното уравнение, преминаващо през дадените точки, ще бъде уравнение с формата y = 2 3 x - 1 3 .
Този начин на решаване предопределя разхода на голям период от време. Има начин, по който задачата се решава буквално в две стъпки.
Записваме каноничното уравнение на права линия, минаваща през M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5) , имаща формата x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Сега да преминем към уравнението на наклона. Получаваме, че: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Отговор: y = 2 3 x - 1 3 .
Ако в триизмерното пространство има правоъгълна координатна система O x y z с две дадени несъвпадащи точки с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), права линия M, преминаваща през тях 1 M 2 , е необходимо да се получи уравнението на тази права.
Имаме тези канонични уравнения от вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметрични уравнения от вида x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ са в състояние да задават права в координатната система O x y z, минаваща през точки с координати (x 1, y 1, z 1) с насочващ вектор a → = (a x, a y, a z) .
Прави M 1 M 2 има вектор на посоката от вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , където правата минава през точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), следователно каноничното уравнение може да бъде от вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, на свой ред, параметричен x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Помислете за фигура, която показва 2 дадени точки в пространството и уравнението на права линия.
Пример 4
Напишете уравнението на права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система O x y z на триизмерно пространство, минаваща през дадените две точки с координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5 ) .
Решение
Трябва да намерим каноничното уравнение. Тъй като говорим за триизмерно пространство, това означава, че когато права линия минава през дадени точки, желаното канонично уравнение ще приеме формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
По условие имаме, че x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. От това следва, че необходимите уравнения могат да бъдат записани, както следва:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Отговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Помислете как да напишете уравнението на права линия, минаваща през две точки, като използвате примери.
Пример 1
Напишете уравнението на права линия, минаваща през точки A(-3; 9) и B(2;-1).
1 начин - ще съставим уравнението на права линия с наклон.
Уравнението на права линия с наклон има вида . Замествайки координатите на точки A и B в уравнението на права линия (x= -3 и y=9 - в първия случай, x=2 и y= -1 - във втория), получаваме система от уравнения , от което намираме стойностите на k и b:
Добавяйки член по член 1-во и 2-ро уравнение, получаваме: -10=5k, откъдето k= -2. Замествайки k= -2 във второто уравнение, намираме b: -1=2 (-2)+b, b=3.
По този начин, y= -2x+3 е желаното уравнение.
2 начин - ще съставим общото уравнение на права линия.
Общото уравнение на права линия има вида . Замествайки координатите на точки A и B в уравнението, получаваме системата:
Тъй като броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията, системата не е разрешима. Но е възможно да се изразят всички променливи чрез една. Например, чрез b.
Умножаване на първото уравнение на системата по -1 и добавяне на член по член към второто:
получаваме: 5a-10b=0. Следователно a=2b.
Нека заместим получения израз във второто уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c=-3b.
Заместете a=2b, c= -3b в уравнението ax+by+c=0:
2bx+by-3b=0. Остава да разделим двете части на b:
Общото уравнение на права линия лесно се свежда до уравнението на права линия с наклон:
3 начин - ще съставим уравнението на права линия, минаваща през 2 точки.
Уравнението на права линия, минаваща през две точки е:
Заменете в това уравнение координатите на точките A(-3; 9) и B(2;-1)
(т.е. x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):
и опростете:
откъдето 2x+y-3=0.
В училищния курс най-често се използва уравнението на права линия с коефициент на наклон. Но най-лесният начин е да се изведе и използва формулата за уравнението на права линия, минаваща през две точки.
Коментирайте.
Ако при заместване на координатите на дадени точки, един от знаменателите на уравнението
се оказва равно на нула, тогава желаното уравнение се получава чрез приравняване на съответния числител към нула.
Пример 2
Напишете уравнението на права линия, минаваща през две точки C(5; -2) и D(7; -2).
Заменете в уравнението на права линия, минаваща през 2 точки, координатите на точки C и D.
Нека бъдат дадени две точки M 1 (x 1, y 1)и M 2 (x 2, y 2). Записваме уравнението на правата във вида (5), където квсе още неизвестен коефициент:
От точката М 2принадлежи на дадена права, то координатите й удовлетворяват уравнение (5): . Изразявайки оттук и замествайки го в уравнение (5), получаваме желаното уравнение:
Ако 
Това уравнение може да бъде пренаписано във форма, която е по-лесна за запомняне:
(6)
Пример.Напишете уравнението на права линия, минаваща през точките M 1 (1.2) и M 2 (-2.3)
Решение. 
. Използвайки свойството на пропорция и извършвайки необходимите трансформации, получаваме общото уравнение на права линия:
Ъгъл между две линии
Помислете за два реда л 1и л 2:
л 1: , , и
л 2: , ,
φ е ъгълът между тях (). Фигура 4 показва: .
 |
Оттук 
, или
С помощта на формула (7) може да се определи един от ъглите между линиите. Вторият ъгъл е.
Пример. Две прави линии са дадени от уравненията y=2x+3 и y=-3x+2. намерете ъгъла между тези прави.
Решение. От уравненията може да се види, че k 1 = 2 и k 2 = 3. замествайки тези стойности във формула (7), намираме
. Така че ъгълът между тези линии е .
Условия за успоредност и перпендикулярност на две прави
Ако прави л 1и л 2тогава са успоредни φ=0 и tgφ=0. от формула (7) следва, че , откъдето k 2 = k 1. По този начин условието за успоредност на две прави е равенството на техните наклони.
Ако прави л 1и л 2перпендикулярно, тогава φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. По този начин, условието две прави линии да са перпендикулярни е техните наклони да са реципрочни по големина и противоположни по знак.
Разстояние от точка до линия
Теорема. Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 се определя като
Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, спуснат от точка M на дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:
Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:
Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права линия.
Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
тогава, решавайки, получаваме:
Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:
Теоремата е доказана.
Пример.Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.
Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.
Откриваме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно линиите са перпендикулярни.
Пример.Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от връх C.
Намираме уравнението на страната AB: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Желаното уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
k= . Тогава y = . Защото височината преминава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: откъдето b = 17. Общо: .
Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.
Разстоянието от точка до права се определя от дължината на перпендикуляра, спуснат от точката до правата.
Ако правата е успоредна на проекционната равнина (h | | P 1), след това, за да се определи разстоянието от точката НОдо прав знеобходимо е да се пусне перпендикуляр от точката НОкъм хоризонталата з.
Нека разгледаме по-сложен пример, когато линията заема обща позиция. Нека е необходимо да се определи разстоянието от точката Мдо прав аобща позиция.
Задача за дефиниция разстояния между успоредни правирешен подобно на предишния. На една права се взема точка и от нея се изтегля перпендикуляр към друга права. Дължината на перпендикуляра е равна на разстоянието между успоредните прави.
Крива от втори реде права, дефинирана от уравнение от втора степен по отношение на текущите декартови координати. В общия случай Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
където A, B, C, D, E, F са реални числа и поне едно от числата A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
кръг
Център на кръга- това е мястото на точките в равнината, еднакво отдалечена от точката на равнината C (a, b).
Кръгът се дава от следното уравнение:
Където x, y са координатите на произволна точка от окръжността, R е радиусът на окръжността.
Знак на уравнението на кръга
1. Няма член с x, y
2. Коефициентите при x 2 и y 2 са равни
Елипса
Елипсасе нарича местоположението на точките в равнина, сумата от разстоянията на всяка от които от две дадени точки на тази равнина се нарича фокуси (постоянна стойност).
Канонично уравнение на елипса:
X и y принадлежат на елипса.
a е главната полуос на елипсата
b е малката полуос на елипсата
Елипсата има 2 оси на симетрия OX и OY. Осите на симетрия на елипсата са нейните оси, точката на тяхното пресичане е центърът на елипсата. Оста, върху която са разположени фокусите, се нарича фокална ос. Точката на пресичане на елипсата с осите е върхът на елипсата.
Коефициент на компресия (разтягане): ε = c/a- ексцентриситет (характеризира формата на елипсата), колкото е по-малка, толкова по-малко е удължена елипсата по фокалната ос.
Ако центровете на елипсата не са в центъра С(α, β)
Хипербола
Хиперболанаречено местоположение на точките в равнина, абсолютната стойност на разликата в разстоянията, всяка от които от две дадени точки от тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност, различна от нула.
Канонично уравнение на хипербола
Хиперболата има 2 оси на симетрия:
а - реална полуос на симетрия
b - въображаема полуос на симетрия
Асимптоти на хипербола:
парабола
параболае мястото на точките в равнина, еднакво отдалечена от дадена точка F, наречена фокус, и дадена права, наречена директриса.
Канонично параболно уравнение:
Y 2 \u003d 2px, където p е разстоянието от фокуса до директрисата (параметър на параболата)
Ако върхът на параболата е C (α, β), тогава уравнението на параболата (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Ако фокалната ос се вземе като ос y, тогава уравнението на параболата ще приеме формата: x 2 = 2qy
