Глава първа.
Повдигане на квадрат на едночленни алгебрични изрази.
152. Определяне на степен.Спомнете си, че произведението на две еднакви числа аа наречена втора степен (или квадрат) на число а , произведението на три еднакви числа ааа наречена трета степен (или куб) на число а ; обща работа н същите числа Ах ах Наречен н -та степен на числото а . Действието, чрез което се намира степента на дадено число, се нарича повдигане на степен (втора, трета и т.н.). Повтарящият се фактор се нарича основа на степента, а броят на еднаквите фактори се нарича експонента.
Степените са съкратени, както следва: а 2 а 3 а 4 ... и т.н.
Първо ще говорим за най-простия случай на степенуване, а именно издигнете се на квадрат; и тогава ще разгледаме извисяването до други степени.
153. Правилото на знаците при издигане в квадрат.От правилото за умножение на относителни числа следва, че:
(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;
(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9
(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2
(-a) 2 = (-a) (-a) = +a 2
Следователно квадратът на всяко относително число е положително число.
154. Повдигане на квадрат на произведение, степен и дроб.
а)Нека се изисква да се повдигне на квадрат произведението на няколко фактора, например. коремни мускули . Това означава, че се изисква коремни мускули умножете по коремни мускули . Но да се умножи по произведението коремни мускули , можете да умножите умноженото по а , умножете резултата по b и по какво може да се умножи с .
(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc
(изпуснахме последните скоби, тъй като това не променя смисъла на израза). Сега, използвайки асоциативното свойство на умножението (раздел 1 § 34, b), групираме факторите, както следва:
(aa) (bb) (ss),
което може да бъде съкратено като: a 2 b 2 c 2 .
означава, за да повдигнете продукта на квадрат, можете да повдигнете на квадрат всеки фактор поотделно
(За да съкратите речта, това правило, подобно на следващото, не е напълно изразено; трябва също да добавите: „и умножете получените резултати“. Добавянето на това е очевидно от само себе си ..)
По този начин:
(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y 2; (- 0.5mn) 2 = + 0.25m 2 n 2; и т.н.
б)Нека се изисква някаква степен, например. а 3 , на квадрат. Това може да стане по следния начин:
(a 3) 2 \u003d a 3 a 3 \u003d a 3 + 3 \u003d a 6.
Като този: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8
означава, За да повдигнете степенната степен на квадрат, можете да умножите степенната степен по 2 .
Така, прилагайки тези две правила, ще имаме например:
(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6
в)Да предположим, че е необходимо да се постави на квадрат някаква дроб а / b . Тогава, прилагайки правилото за умножаване на дроб по дроб, получаваме:
означава, За да повдигнете дроб на квадрат, можете да повдигнете на квадрат числителя и знаменателя отделно.
Пример.
Глава втора.
Поставяне на полином на квадрат.
155. Извеждане на формула.Използвайки формулата (раздел 2, глава 3 § 61):
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
можем да повдигнем тричлена на квадрат a + b + c , разглеждайки го като бином (a + b) + c :
(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2
Така, с добавянето към бинома a + b трети член с след повдигане към квадрата бяха добавени 2 члена: 1) двойното произведение на сумата от първите два члена по третия член и 2) квадратът на третия член. Нека сега приложим към тричлена a + b + c четвърти член д и повдигнете четириъгълника a + b + c + д на квадрат, вземайки сумата a + b + c за един член.
(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2(a + b + c)d + d 2
Заместване вместо (a + b + c) 2 намираме израза, който получихме по-горе:
(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2
Отново забелязваме, че с добавянето на нов член, 2 члена се добавят към издигнатия полином в неговия квадрат: 1) двойното произведение на сбора от предишните членове и новия член и 2) квадрата на новия член. Очевидно това добавяне на два члена ще продължи, докато към екзалтирания полином се добавят повече членове. означава:
Квадратът на полином е: квадратът на 1-ви член, плюс два пъти произведението на 1-ви член и 2-ри член, плюс квадрат на 2-ри член, плюс два пъти произведението на сбора от първите два члена и 3-ти член, плюс квадрата на 3-тия член, плюс два пъти произведението на сбора от първите три члена и 4-тия член, плюс квадрата на 4-тия член и т.н. Разбира се, членовете на полинома могат да бъдат и отрицателни.
156. Бележка за знаците.Крайният резултат със знак плюс ще бъде, първо, квадратите на всички членове на полинома и, второ, тези удвоени произведения, получени от умножаване на членове с еднакви знаци.
Пример.
157. Съкратено повдигане на квадрат на цели числа. Използвайки формулата за квадрат на многочлен, е възможно да повдигнете на квадрат всяко цяло число по различен начин от обикновеното умножение. Да предположим, например, че се изисква квадрат 86 . Нека разделим това число на цифри:
86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 дек. + 6 единици.
Сега, използвайки формулата за квадрат на сумата от две числа, можем да напишем:
(8 дек. + 6 единици) 2 \u003d (8 дек.) 2 + 2 (8 дек.) (6 единици) + (6 единици) 2 .
За да изчислим бързо тази сума, нека вземем предвид, че квадратът на десетките е стотици (но може да има хиляди); напр. 8 дек. квадратна форма 64 стотици, защото 80 2 = b400; произведението на десетици по единици е десетици (но може да има и стотици), напр. 3 дек. 5 единици \u003d 15 dec, от 30 5 \u003d 150; и квадратът на единиците е единици (но може да има и десетки), напр. 9 единици на квадрат = 81 единици. Следователно е по-удобно да се подреди изчислението, както следва:
т.е. първо записваме квадрата на първата цифра (сто); под това число записваме удвоеното произведение на първата цифра с втората (десетки), като същевременно наблюдаваме, че последната цифра на този продукт е едно място вдясно от последната цифра на горното число; по-нататък, отново отстъпвайки едно място вдясно с последната цифра, поставяме квадрата на втората цифра (едно); и съберете всички записани числа към един сбор. Разбира се, човек може да добави тези числа с подходящия брой нули, т.е. да напише така:
но това е безполезно, ако само правилно подписваме числата едно под друго, отстъпвайки всеки път (с последната цифра) едно място вдясно.
Нека все още се изисква квадрат 238 . защото:
238 = 2 стотни. + 3 дек. + 8 единици, тогава
Но стотици на квадрат дават десетки хиляди (напр. 5 стотици на квадрат са 25 десетки хиляди, тъй като 500 2 = 250 000), стотици, умножени по десетки, дават хиляди (напр. 500 30 = 15 000) и т.н.
Примери.
Глава трета.
y = x 2 и y=ах 2 .
158. Графика на функция y = x 2 . Нека да видим как, когато броят се повишава х квадратът се променя х 2 (напр. как промяната на страната на квадрат променя неговата площ). За да направите това, първо обърнете внимание на следните характеристики на функцията y = x 2 .
а)За всеки смисъл х
функция винаги е възможна и винаги получава само една дефинирана стойност. Например, когато х
= - 10
функция ще (-10) 2 = 100
, при
х
=1000
функция ще 1000 2 =1 000 000
и т.н.
б)защото (- х ) 2 = х 2 , след това за две стойности х , различаващи се само по знаци, се получават две еднакви положителни стойности при ; например, когато х = - 2 и при х = + 2 значение при ще бъде абсолютно същото 4 . Отрицателни стойности за приникога не успява.
в)Ако абсолютната стойност на x нараства неограничено, тогава при нараства безкрайно. Така че, ако за х ще дадем поредица от неограничено нарастващи положителни стойности: 1, 2, 3, 4... или поредица от неограничено намаляващи отрицателни стойности: -1, -2, -3, -4..., тогава за при получаваме поредица от неопределено нарастващи стойности: 1, 4, 9, 16, 25 ... Те се изразяват накратко, като се казва, че когато х = + ∞ и при х = - ∞ функция при е направено + ∞ .
G) х при . Така че, ако стойността х = 2 , нека увеличим, поставим, 0,1 (т.е. вместо х = 2 да вземем х = 2,1 ), тогава при вместо 2 2 = 4 става равен
(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .
означава, при ще се увеличи с 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Ако същата стойност х Нека дадем още по-малко увеличение, нека поставим 0,01 , тогава y става равно на
(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .
Тогава y ще се увеличи с 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , т.е. ще се увеличи по-малко от преди. Като цяло, по-малката фракция увеличаваме х , по-малкото число ще се увеличи при . Така, ако си представим това х нараства (приемайки от стойността 2) непрекъснато, преминавайки през всички стойности, по-големи от 2, след това при също ще нараства непрекъснато, преминавайки през всички стойности, по-големи от 4.
След като забелязахме всички тези свойства, ще направим таблица със стойностите на функцията y = x 2 , например така:
Нека сега изобразим тези стойности на чертежа като точки, чиито абсциси ще бъдат написаните стойности х , а ординатите са съответните стойности при (на чертежа взехме сантиметър като единица за дължина); получените точки ще бъдат очертани с крива. Тази крива се нарича парабола.
Нека разгледаме някои от неговите свойства.
а)Параболата е непрекъсната крива, тъй като с непрекъсната промяна на абсцисата х (както в положителна, така и в отрицателна посока) ординатата, както видяхме сега, също се променя непрекъснато.
б)Цялата крива е от една и съща страна на оста х -ов, точно от страната, на която лежат положителните стойности на ординатите.
в)Параболата е подразделена от оста при -ов на две части (клонове). Точка О където тези клонове се събират, се нарича връх на параболата. Тази точка е единствената обща за параболата и оста х -ов; така че в тази точка параболата докосва оста х -ов.
G)И двата клона са безкрайни, тъй като х и при може да се увеличава неограничено. От оста се издигат клони х -s неограничено нагоре, отдалечавайки се в същото време неограничено от оста г -ов надясно и наляво.
д)ос г -ov служи като ос на симетрия за параболата, така че, като огънем чертежа по тази ос, така че лявата половина на чертежа да падне надясно, ще видим, че и двата клона ще бъдат комбинирани; например точка с абциса - 2 и ордината 4 ще бъде съвпадаща с точка с абциса +2 и същата ордината 4.
д)При х = 0 ординатата също е 0. Следователно, за х = 0 функцията има най-малката възможна стойност. Функцията няма най-голяма стойност, тъй като ординатите на кривата нарастват неограничено.
159. Графика на функция на форматаy=ах 2 . Да предположим първо това а е положително число. Вземете например тези 2 функции:
1) y= 1 1 / 2 х 2 ; 2) y= 1 / 3 х 2
Нека направим таблици със стойности на тези функции, например следното:
Нека поставим всички тези стойности на чертежа и да начертаем кривите. За сравнение поставихме друга графика на функцията на същия чертеж (пунктирана линия):
3) y=х 2
От чертежа се вижда, че при една и съща абциса ординатата на 1-вата крива в 1 1 / 2 , пъти повече, и ординатата на 2-ра крива в 3 пъти по-малко от ординатата на 3-та крива. В резултат на това всички такива криви имат общ характер: безкрайни непрекъснати клонове, ос на симетрия и т.н., само за а > 1 клоновете на кривата са по-повдигнати и когато а< 1 те са по-наведени надолу от кривата y=х 2 . Всички такива криви се наричат параболами.
Нека сега приемем, че коефициентът а ще бъде отрицателно число. Нека например y=- 1 / 3 х 2 . Сравняване на тази функция с тази: y = + 1 / 3 х 2 имайте предвид, че за същата стойност х и двете функции имат еднаква абсолютна стойност, но противоположни по знак. Следователно в чертежа за функцията y=- 1 / 3 х 2 получаваме същата парабола като за функцията y= 1 / 3 х 2 намира се само под оста х -ов е симетричен с парабола y= 1 / 3 х 2 . В този случай всички стойности на функцията са отрицателни, с изключение на една, равна на нула при х = 0 ; тази последна стойност е най-голямата от всички.
Коментирайте. Ако връзката между две променливи при и х се изразява с равенството: y=ах 2 , където а някакво постоянно число, тогава можем да кажем, че стойността при пропорционално на квадрата на стойността х , тъй като с увеличение или намаление х 2 пъти, 3 пъти и т.н. стойност при се увеличава или намалява с 4 пъти, 9 пъти, 16 пъти и т.н. Например площта на кръг е π R 2 , където Ре радиусът на окръжността и π постоянно число (равно на приблизително 3,14); Следователно можем да кажем, че площта на кръга е пропорционална на квадрата на неговия радиус.
Глава четвърта.
Възвисяване до куб и до други степени на едночленни алгебрични изрази.
160. Правилото на знаците при повдигане на степен.От правилото за умножение на относителни числа следва, че
(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;
(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;
(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;
(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l;и т.н.
означава, повишаването на отрицателно число на степен с четен показател води до положително число, а повишаването му на степен с нечетен показател произвежда отрицателно число.
161. Издигане на степен на продукт, степен и част.Когато повдигаме произведението на степен и дроб до някаква степен, можем да направим същото, както когато го повдигаме на квадрат (). Така:
(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) = abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) \u003d a 3 b 3 c 3;
Глава пета.
Графично представяне на функциите: y = x 3 и y = ax 3 .
162. Графика на функция y = x 3 . Нека разгледаме как се променя кубът на възвишеното число, когато числото се повдигне (например как се променя обемът на куба, когато се промени ръбът на куба). За да направим това, първо посочваме следните характеристики на функцията y = x 3 (напомня за свойствата на функцията y = x 2 , обсъдено по-рано, ):
а)За всеки смисъл х функция y = x 3 е възможно и има едно единствено значение; така че (+ 5) 3 \u003d +125 и кубът на числото + 5 не може да бъде равен на никое друго число. По същия начин (- 0,1) 3 = - 0,001 и кубът от -0,1 не може да е равен на никое друго число.
б)С две стойности х , различаващи се само по знаци, функцията х 3 получава стойности, които също се различават една от друга само по знаци; така, при х = 2 функция х 3 е равно на 8, и при х = - 2 то е равно на 8 .
в)Когато x нараства, функцията х 3 се увеличава и то по-бързо от х , и дори по-бързо от х 2 ; така при
х = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. х 3 ще = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...
G)Много малко увеличение на променливо число х съответства на много малко нарастване на функцията х 3 . Така че, ако стойността х = 2 увеличаване с дроб 0,01 , т.е. ако вместо х = 2 да вземем х = 2,01 , след това функцията при няма да 2 3 (т.е. не 8 ), а 2,01 3 , което ще възлиза на 8,120601 . Така че тази функция след това ще се увеличи с 0,120601 . Ако стойността х = 2 увеличете още по-малко, например с 0,001 , тогава х 3 става равен 2,001 3 , което ще възлиза на 8,012006001 , и следователно, при ще се увеличи само с 0,012006001 . Следователно виждаме, че ако нарастването на променливо число х ще бъде все по-малко и по-малко, тогава нарастването х 3 ще бъде все по-малко.
Забелязвайки това свойство на функцията y = x 3 Нека начертаем неговата графика. За да направим това, първо съставяме таблица със стойности за тази функция, например следното:
163. Графика на функция y \u003d брадва 3 . Нека вземем тези две функции:
1) y= 1 / 2 х 3 ; 2) y = 2 x 3
Ако сравним тези функции с по-проста: y = x 3 , отбелязваме, че за същата стойност х първата функция получава стойности два пъти по-малки, а втората два пъти по-големи от функцията y \u003d брадва 3 , иначе тези три функции са подобни една на друга. Техните графики са показани за сравнение на същия чертеж. Тези криви се наричат параболи от 3-та степен.
Глава шеста.
Основни свойства на извличането на корени.
164. Задачи.
а)Намерете страната на квадрат, чиято площ е равна на площта на правоъгълник с основа 16 cm и височина 4 cm.
Означаване на страната на желания квадрат с буквата х (cm), получаваме следното уравнение:
х 2 =16 4, т.е. х 2 = 64.
Виждаме по този начин, че х има число, което, когато се повдигне на втора степен, води до 64. Такова число се нарича втори корен от 64. Равно е на + 8 или - 8, тъй като (+ 8) 2 \u003d 64 и (- 8) 2 \u003d 64. Отрицателното число - 8 не е подходящо за нашата задача, тъй като страната на квадрата трябва да бъде изразена с обикновено аритметично число.
б)Оловното парче с тегло 1 kg 375 g (1375 g) е с форма на куб. Колко голям е ръбът на този куб, ако се знае, че 1 куб. cm олово тежи 11 грама?
Нека дължината на ръба на куба е х см. Тогава неговият обем ще бъде равен на х 3 куб см, а теглото му ще бъде 11 х 3 Ж.
11х 3= 1375; х 3 = 1375: 11 = 125.
Виждаме по този начин, че х има число, което, когато се повдигне на трета степен, е 125 . Такъв номер се нарича трети коренот 125. То, както се досещате, е равно на 5, тъй като 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Следователно ръбът на куба, който се споменава в задачата, е с дължина 5 cm.
165. Определение за корен.Вторият корен (или квадрат) на число а число, чийто квадрат е равен на а . И така, квадратният корен от 49 е 7, а също и - 7, тъй като 7 2 \u003d 49 и (- 7) 2 \u003d 49. Корен от трета степен (кубичен) на числото а нарича числото, чийто куб е равен на а . Така че кубичният корен от -125 е -5, тъй като (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.
Като цяло root нта степен измежду анарече номер, който н-та степен е равно на а.
Брой н , което означава каква степен е коренът, се нарича индикатор за корен.
Коренът се обозначава със знака √ (знакът на радикала, т.е. знакът на корена). латинска дума коренозначава корен. Знак√ въведен за първи път през 15 век.. Под хоризонталната линия записват числото, от което се намира коренът (радикално число), а коренният индекс се поставя над отвора на ъгъла. Така:
кубичният корен от 27 се означава ..... 3 √27;
корен четвърти от 32 се означава... 3 √32.
Прието е изобщо да не се записва степента на корен квадратен, например.
вместо 2 √16 пишат √16.
Действието, чрез което се намира коренът, се нарича извличане на корен; това е обратното на издигането до степен, тъй като чрез това действие се търси това, което се дава по време на издигането до степен, а именно основата на стената, и се намира това, което се дава, когато се издига до степен, а именно самата степен. Следователно винаги можем да проверим правилността на извличането на корена, като го повдигнем до степен. Например за проверка
равенство: 3 √125 = 5, достатъчно е да повдигнем 5 в куб: след като получихме радикалното число 125, заключаваме, че кубичният корен от 125 е извлечен правилно.
166. Аритметичен корен.Коренът се нарича аритметичен, ако е извлечен от положително число и сам по себе си е положително число. Например, аритметичният корен квадратен от 49 е 7, докато числото 7, което също е корен квадратен от 49, не може да се нарече аритметично.
Посочваме следните две свойства на аритметичен корен.
а) Нека се изисква да се намери аритметиката √49 . Такъв корен ще бъде 7, тъй като 7 2 \u003d 49. Нека се запитаме дали е възможно да намерим друго положително число х , което също би било √49. Да приемем, че такова число съществува. Тогава трябва да е или по-малко от 7, или по-голямо от 7. Ако приемем, че х < 7, то тогда и х 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что х >7 тогава х 2 >49. Това означава, че нито едно положително число, нито по-малко от 7, нито по-голямо от 7, не може да бъде равно на √49. Така може да има само един аритметичен корен на дадена степен от дадено число.
Бихме стигнали до друго заключение, ако не говорим за положителното значение на корена, а за нещо; така че √49 е равно както на числото 7, така и на числото - 7, тъй като и двете 7 2 \u003d 49 и (- 7) 2 \u003d 49.
б)Вземете например две неравни положителни числа. 49 и 56. От какво 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125
Наистина: 3 √64 = 4 и 3 √125 = 5 и 4< 5. Вообще по-малко положително число съответства на по-малък аритметичен корен (със същата степен).
167. Алгебричен корен.Коренът се нарича алгебричен, ако не се изисква да бъде извлечен от положително число и самият той да бъде положителен. По този начин, ако под израза н √а разбира се алгебричният корен н та степен, това означава, че числото а може да бъде както положителен, така и отрицателен, а самият корен може да бъде както положителен, така и отрицателен.
Посочваме следните 4 свойства на алгебричен корен.
а) Нечетният корен на положително число е положително число .
Така, 3 √8 трябва да е положително число (равно е на 2), тъй като отрицателно число, повдигнато на степен с нечетен показател, дава отрицателно число.
б) Нечетен корен от отрицателно число е отрицателно число.
Така, 3 √-8 трябва да е отрицателно число (равно е на -2), тъй като положително число, повдигнато на произволна степен, дава положително число, а не отрицателно.
в) Коренът на четна степен на положително число има две стойности с противоположни знаци и еднаква абсолютна стойност.
Да, √ +4 = + 2 и √ +4 = - 2 , защото (+ 2 ) 2 = + 4 и (- 2 ) 2 = + 4 ; подобен 4 √+81 = + 3 и 4 √+81 = - 3 , защото и двете степени (+3) 4 и (-3) 4 са равни на едно и също число. Двойната стойност на корена обикновено се обозначава чрез поставяне на два знака пред абсолютната стойност на корена; пишат така:
√4 = ± 2 ; √а 2 = ± а ;
G) Четен корен от отрицателно число не може да е равен на нито едно положително или отрицателно число. , тъй като и двете, след като са повдигнати на степен с четен показател, дават положително число, а не отрицателно. Например, √ -9 не е равно нито на +3, нито на -3 или друго число.
Четен корен от отрицателно число се нарича имагинерно число; относителните числа се наричат реални числа, или валиден, числа.
168. Изваждане на корен от произведение, от степен и от дроб.
а)Нека вземем корен квадратен от продукта коремни мускули . Ако искате да поставите на квадрат продукта, тогава, както видяхме (), можете да повдигнете на квадрат всеки фактор поотделно. Тъй като извличането на корена е обратното на повдигането на степен, трябва да очакваме, че за да извлечем корена от продукта, можем да го извлечем от всеки фактор поотделно, т.е. че
√абв = √а √b √° С .
За да проверим правилността на това равенство, повдигаме дясната му страна на квадрата (според теоремата: да повдигнем продукта на степен ...):
(√а √b √° С ) 2 = (√а ) 2 (√b ) 2 (√° С ) 2
Но според дефиницията на корена,
(√а ) 2 = а, (√b ) 2 = б, (√° С ) 2 = ° С
Следователно
(√а √b √° С ) 2 = коремни мускули .
Ако квадратът на произведението √ а √b √° С се равнява коремни мускули , тогава това означава, че произведението е равно на корен квадратен от абв .
Като този:
3 √абв = 3 √а 3 √b 3 √° С ,
(3 √а 3 √b 3 √° С ) 3 = (3 √а ) 3 (3 √b ) 3 (3 √° С ) 3 = абв
означава, за да извлечете корена от продукта, достатъчно е да го извлечете от всеки фактор поотделно.
б)Лесно се проверява дали са верни следните равенства:
√а 4 = а 2 , защото (а 2 ) 2 = а 4 ;
3 √х 12 = х 4 , „ (х 4 ) 3 = х 12 ; и т.н.
означава, за да се вземе корен от степен, чийто показател се дели на степента на корена, може да се раздели степента на степента на корена.
в)Ще бъдат верни и следните равенства:
означава, за да извлечете корена на дроб, можете да използвате числителя и знаменателя поотделно.
Имайте предвид, че в тези истини се предполага, че говорим за корените на аритметиката.
Примери.
1) √9а 4 b 6 = √9 √а 4 √b 6 = 3а 2 b 3 ;
2) 3 √125а 6 х 9 = 3 √125 3 √а 6 3 √х 9 = 5а 2 х 3
Забележка Ако се приеме, че желаният корен от четна степен е алгебричен, тогава намереният резултат трябва да бъде предшестван от двоен знак ± Така,
√9x 4 = ± 3х 2 .
169. Най-простите трансформации на радикали,
а) Факториране на знака на радикала.Ако радикалният израз се разложи на такива множители, че може да се извлече корен от някои от тях, тогава такива множители, след извличане на корена от тях, могат да бъдат записани преди радикалния знак (могат да бъдат извадени от радикалния знак).
1) √а 3 = √а 2 а = √а 2 √а = а √а .
2) √24а 4 х 3 = √4 6 а 4 х 2 х = 2a 2x √6x
3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 х 3 х = 2x 3 √2 х
б) Привеждане на фактори под знака на радикала.Понякога е полезно, напротив, да се извадят факторите, които го предхождат под знака на радикала; за да направите това, достатъчно е да повдигнете такива множители на степен, чийто показател е равен на показателя на радикала, и след това да напишете факторите под знака на радикала.
Примери.
1) а 2 √а = √(а 2 ) 2 а = √а 4 а = √а 5 .
2) 2x 3 √х = 3 √(2 пъти ) 3 х = 3 √8x 3 х = 3 √8x 4 .
в) Изразяване на свободни радикали от знаменатели.Нека покажем това със следните примери:
1) Трансформирайте дробта така, че квадратният корен да може да бъде извлечен от знаменателя. За да направите това, умножете двата члена на дробта по 5:
2) Умножете двата члена на дробта по 2 , на а и на х , т.е 2о :
Коментирайте. Ако се изисква да се извлече корен от алгебричната сума, тогава би било грешка да се извлече от всеки член поотделно. Напр.√ 9 + 16
= √25
= 5
, докато
√9
+ √16
= 3 + 4 = 7
; следователно действието на извличане на корена по отношение на събирането (и изваждането) няма разпределително свойство(както и издигане до степен, раздел 2 глава 3 § 61, забележка).
Поздравления: днес ще анализираме корените - една от най-умопомрачителните теми в 8. клас. :)
Много хора се объркват относно корените, не защото са сложни (което е сложно - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените са дефинирани чрез такива диви неща, че само авторите на самите учебници може да разбере това драскане. И то само с бутилка хубаво уиски. :)
Затова сега ще дам най-правилната и най-компетентна дефиниция на корена - единствената, която наистина трябва да запомните. И едва тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.
Но първо запомнете една важна точка, за която по някаква причина много съставители на учебници „забравят“:
Корените могат да бъдат с четна степен (нашият любим $\sqrt(a)$, както и всеки $\sqrt(a)$ и четен $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всеки $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ и т.н.). И дефиницията на корена на нечетна степен е малко по-различна от четната.
Тук в това шибано „донякъде различно“ се крият вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените. Така че нека изясним терминологията веднъж завинаги:
Определение. Дори корен нот числото $a$ е всяко неотрицателничисло $b$ такова, че $((b)^(n))=a$. А коренът на нечетна степен от същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.
Във всеки случай коренът се обозначава така:
\(a)\]
Числото $n$ в такава нотация се нарича степен на корен, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-специално, за $n=2$ получаваме нашия „любим” квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което също често се среща в задачи и уравнения.
Примери. Класически примери за квадратни корени:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \край (подравняване)\]
Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.
Кубичните корени също са често срещани - не се страхувайте от тях:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \край (подравняване)\]
Е, няколко "екзотични примера":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \край (подравняване)\]
Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Много е важно!
Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.
Защо изобщо се нуждаем от корени?
След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са изпушили математиците, когато са измислили това?“ И наистина: защо са ни нужни всички тези корени?
За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент в началното училище. Запомнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени и кнедлите бяха по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим числата правилно. Е, нещо в духа на "пет по пет - двадесет и пет", това е всичко. Но в края на краищата можете да умножавате числа не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Не това обаче е важното. Номерът е друг: математиците са мързеливи хора, така че трябваше да запишат умножението на десет петици по следния начин:
Така че те измислиха степени. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Като този:
Много е удобно! Всички изчисления са намалени няколко пъти и не можете да похарчите куп пергаментови листове от тетрадки, за да запишете някои 5 183 . Такъв запис се наричаше степен на число, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.
След грандиозно пиене, което беше организирано точно за „откриването“ на градусите, някакъв особено уморен математик внезапно попита: „Ами ако знаем степента на число, но не знаем самото число?“ Наистина, ако знаем, че определено число $b$, например, дава 243 на 5-та степен, тогава как можем да познаем на какво е равно самото число $b$?
Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови“ дипломи няма такива „първоначални“ числа. Преценете сами:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \край (подравняване)\]
Ами ако $((b)^(3))=50$? Оказва се, че трябва да намерите определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, защото 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Т.е. това число е някъде между три и четири, но на какво е равно - ФИГ ще разберете.
Точно затова математиците излязоха с $n$-ти корени. Ето защо беше въведена радикалната икона $\sqrt(*)$. За да обозначим същото число $b$, което на определена степен ще ни даде предварително известна стойност
\[\sqrt[n](a)=b\Дясна стрелка ((b)^(n))=a\]
Не споря: често тези корени се разглеждат лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак, в повечето случаи, ако мислите за произволно число и след това се опитате да извлечете корена на произволна степен от него, ви очаква жестока беда.
Какво има там! Дори най-простият и познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в нашата обичайна форма - като цяло число или дроб. И ако закарате това число в калкулатор, ще видите това:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да го сравните бързо с други числа. Например:
\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]
Или ето друг пример:
\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]
Но всички тези закръгляния са, първо, доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравнение и закръгляване задължително се проверява на изпита за профил).
Следователно в сериозната математика не може без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, като дроби и цели числа, които отдавна познаваме.
Невъзможността да се представи коренът като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава, че този корен не е рационално число. Такива числа се наричат ирационални и не могат да бъдат точно представени освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, градуси, граници и т.н.). Но за това друг път.
Помислете за няколко примера, при които след всички изчисления в отговора ще останат ирационални числа.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(align)\]
Естествено, по външния вид на корена е почти невъзможно да се познае кои числа ще дойдат след десетичната запетая. Въпреки това е възможно да се изчисли с калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Следователно е много по-правилно отговорите да бъдат записани като $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.
За това са измислени. За да улесните записването на отговорите.
Защо са необходими две определения?
Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Е, поне от нулата. Но кубичните корени се извличат спокойно от абсолютно всяко число - дори положително, дори отрицателно.
Защо се случва това? Погледнете графиката на функцията $y=((x)^(2))$:
Графиката на квадратична функция дава два корена: положителен и отрицателен Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която пресича параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x) _(2)) =-2$. Това е съвсем логично, тъй като
С първото число всичко е ясно - то е положително, следователно е коренът:
Но тогава какво да правим с втората точка? Има ли 4 два корена наведнъж? В края на краищата, ако повдигнем на квадрат числото −2, също получаваме 4. Защо тогава не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива записи, сякаш искат да ви изядат? :)
Проблемът е, че ако не бъдат наложени допълнителни условия, тогава четирите ще имат два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.
Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:
- Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
- От отрицателни числа коренът с четни $n$ изобщо не се извлича.
Ето защо определението за четен корен $n$ изрично постановява, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от двусмислието.
Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека да разгледаме графиката на функцията $y=((x)^(3))$:
Кубичната парабола приема всякаква стойност, така че кубичният корен може да бъде взет от всяко число От тази графика могат да се направят два извода:
- Клоните на кубична парабола, за разлика от обикновената, отиват до безкрайност в двете посоки - и нагоре, и надолу. Следователно, на каквато и височина да начертаем хоризонтална линия, тази линия определено ще се пресича с нашата графика. Следователно, кубичният корен може да бъде взет винаги, абсолютно от всяко число;
- Освен това такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кой номер да считате за „правилния“ корен и кой да отбележите. Ето защо дефиницията на корените за нечетна степен е по-проста, отколкото за четна (няма изискване за неотрицателност).
Жалко, че тези елементарни неща не се обясняват в повечето учебници. Вместо това мозъците ни започват да се извисяват с всякакви аритметични корени и техните свойства.
Да, не споря: какво е аритметичен корен - вие също трябва да знаете. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес ще говорим и за него, защото без него всички разсъждения върху корените на $n$-тата множественост биха били непълни.
Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава бъркотия, че в крайна сметка няма да разберете нищо.
И всичко, което трябва да разберете, е разликата между четните и нечетните числа. Затова отново ще съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:
- Четният корен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
- Но коренът на нечетна степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде всяко число: за положителни числа той е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва капачката, е отрицателен.
Трудно е? Не, не е трудно. ясно? Да, очевидно е! Затова сега ще се упражняваме малко с изчисленията.
Основни свойства и ограничения
Корените имат много странни свойства и ограничения - това ще бъде отделен урок. Ето защо сега ще разгледаме само най-важния "чип", който се отнася само за корени с четен показател. Записваме това свойство под формата на формула:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\надясно|\]
С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това извлечем корен от същата степен от това, ще получим не оригиналното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която е лесна за доказване (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $x$ и след това отделно да разгледаме отрицателните). Учителите непрекъснато говорят за това, има го във всеки учебник. Но щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (т.е. уравнения, съдържащи знака на радикала), учениците заедно забравят тази формула.
За да разберем проблема в детайли, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да преброим две числа напред:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Това са много прости примери. Първият пример ще бъде решен от повечето хора, но на втория много се придържат. За да разрешите подобни глупости без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:
- Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, някак си е лесно. Ще се получи ново число, което дори може да се намери в таблицата за умножение;
- И сега от това ново число е необходимо да се извлече корен от четвърта степен. Тези. няма "намаляване" на корени и степени - това са последователни действия.
Нека разгледаме първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
След това извличаме четвъртия корен от числото 81:
Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повдигаме числото −3 на четвърта степен, за което трябва да го умножим по себе си 4 пъти:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \дясно)=81\]
Получихме положително число, тъй като общият брой на минусите в продукта е 4 броя и всички те ще се компенсират взаимно (в края на краищата, минус с минус дава плюс). След това извлечете отново корена:
По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като е безсмислено отговорът да е същият. Тези. четен корен от същата четна степен "изгаря" минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обичайния модул:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\вдясно|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \надясно|=3. \\ \край (подравняване)\]
Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на корен от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен и радикалният знак също винаги е неотрицателно число. В противен случай коренът не е дефиниран.
Бележка за реда на операциите
- Нотацията $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо възвеждаме на квадрат числото $a$ и след това вземаме корен квадратен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че неотрицателно число винаги стои под знака за корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ така или иначе;
- Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо извличаме корена от определено число $a$ и едва след това повдигаме резултата на квадрат. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, заложено в дефиницията.
По този начин в никакъв случай не трябва да се намаляват необмислено корените и степените, като по този начин се предполага, че се „опростява“ оригиналният израз. Защото, ако има отрицателно число под корена и неговият показател е четен, ще имаме много проблеми.
Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни индикатори.
Премахване на знак минус под знака за корен
Естествено, корените с нечетни показатели също имат своя особеност, която по принцип не съществува за четните. а именно:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Накратко, можете да извадите минус под знака на корените на нечетна степен. Това е много полезно свойство, което ви позволява да "изхвърлите" всички минуси:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \край (подравняване)\]
Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако отрицателен израз попадне под корена и степента в корена се окаже равномерна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени помежду си, разделени и изобщо да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.
И тук на сцената излиза друга дефиниция – точно тази, с която повечето школи започват изучаването на ирационалните изрази. И без които нашите разсъждения биха били непълни. Среща!
аритметичен корен
Нека приемем за момент, че само положителни числа или в краен случай нула могат да стоят под знака за корен. Нека оценяваме по четни/нечетни показатели, оценяваме по всички дефиниции, дадени по-горе - ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?
И тогава получаваме аритметичния корен - той частично се пресича с нашите "стандартни" дефиниции, но все още се различава от тях.
Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$, така че $((b)^(n))=a$.
Както можете да видите, ние вече не се интересуваме от паритет. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.
За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:
Зона за търсене на корен - неотрицателни числа Както можете да видите, отсега нататък се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е необходимо да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да коренуваме отрицателно число или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.
Може да попитате: „Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?“ Или: "Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?"
Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренния показател по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето няколко примера:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]
Е, какво лошо има в това? Защо не можахме да го направим преди? Ето защо. Помислете за един прост израз: $\sqrt(-2)$ е число, което е съвсем нормално в нашия класически смисъл, но е абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го конвертираме:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Както можете да видите, в първия случай извадихме минуса от радикала (имаме пълно право, защото индикаторът е нечетен), а във втория използвахме горната формула. Тези. от гледна точка на математиката всичко е направено по правилата.
WTF?! Как може едно и също число да бъде едновременно положително и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да дава пълна ерес в случай на отрицателни числа.
Ето, за да се отърват от тази неяснота, те измислиха аритметични корени. На тях е посветен отделен голям урок, в който подробно разглеждаме всичките им свойства. Така че сега няма да се спираме на тях - урокът така или иначе се оказа твърде дълъг.
Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече
Мислех дълго време: да направя тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да си тръгна от тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат още по-добре корените - вече не на средното „училищно“ ниво, а на ниво, близко до олимпиадата.
И така: в допълнение към "класическата" дефиниция на корена на $n$-та степен от число и свързаното с нея деление на четни и нечетни показатели, има по-"възрастна" дефиниция, която не зависи от паритета и изобщо други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.
Определение. Алгебричен $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$, така че $((b)^(n))=a$. Няма добре установено обозначение за такива корени, така че просто поставете тире отгоре:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е конкретно число, а набор. И тъй като работим с реални числа, този набор е само от три вида:
- Празен комплект. Възниква, когато се изисква да се намери алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
- Комплект, състоящ се от един елемент. Всички корени на нечетни степени, както и корени на четни степени от нула, попадат в тази категория;
- И накрая, наборът може да включва две числа - същите $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на диаграма квадратична функция. Съответно, такова подравняване е възможно само при извличане на корен от четна степен от положително число.
Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.
Пример. Изчисляване на изрази:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Решение. Първият израз е прост:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Това са две числа, които са част от комплекта. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като показателят на корена е нечетен.
И накрая, последният израз:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Имаме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, повдигнато на четвърта (т.е. четна!) степен, да ни даде отрицателно число −16.
Последна бележка. Моля, обърнете внимание: неслучайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Защото има и комплексни числа - там е напълно възможно да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща.
В съвременната училищна програма по математика обаче почти никога не се срещат комплексни числа. Те са пропуснати от повечето учебници, защото според нашите служители темата е „твърде трудна за разбиране“.
Това е всичко. В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и накрая ще научим как да опростяваме ирационални изрази. :)
Примери:
\(\sqrt(16)=2\), защото \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , защото \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)
Как да изчислим корена на n-та степен?
За да изчислите \(n\)-тия корен, трябва да си зададете въпроса: какво число на \(n\)-та степен ще даде под корена?
Например. Изчислете \(n\)-тия корен: a)\(\sqrt(16)\); б) \(\sqrt(-64)\); в) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); д) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).
а) Какво число на \(4\) степен ще даде \(16\)? Очевидно \(2\). Ето защо:
б) Какво число на \(3\)-та степен ще даде \(-64\)?
\(\sqrt(-64)=-4\)
в) Кое число на \(5\)-та степен ще даде \(0,00001\)?
\(\sqrt(0,00001)=0,1\)
г) Какво число на \(3\)-та степен ще даде \(8000\)?
\(\sqrt(8000)=20\)
д) Какво число на \(4\)-та степен ще даде \(\frac(1)(81)\)?
\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)
Разгледахме най-простите примери с корен \(n\)-та степен. За решаване на по-сложни задачи с корени от \(n\)-та степен е жизненоважно да ги познавате.
Пример. Изчисли:
|
\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\) |
В момента нито един от корените не може да бъде изчислен. Следователно прилагаме свойствата на корена \(n\)-та степен и трансформираме израза. |
|
|
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\) |
Нека пренаредим множителите в първия член, така че квадратният корен и коренът на \(n\)-та степен да са един до друг. Това ще улесни прилагането на свойствата. повечето свойства на \(n\)-ти корени работят само с корени от същата степен. |
|
|
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\) |
Приложете свойството \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) и разгънете скобата |
|
|
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\) |
Изчислете \(\sqrt(81)\) и \(\sqrt(-27)\) |
|
|
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\) |
|
Корен n-ти и корен квадратен свързани ли са?
Във всеки случай всеки корен от каквато и да е степен е просто число, макар и написано в необичайна за вас форма.
Сингулярност на n-тия корен
\(n\)-ти корен с нечетно \(n\) може да бъде взет от всяко число, дори отрицателно (вижте примерите в началото). Но ако \(n\) е четен (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), тогава такъв корен се извлича само ако \( a ≥ 0\) (между другото квадратният корен има същото). Това се дължи на факта, че извличането на корен е обратното на степенуването.
И повдигането на четна степен прави дори отрицателно число положително. Наистина, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Следователно не можем да получим отрицателно число под корена на четна степен. Това означава, че не можем да извлечем такъв корен от отрицателно число.
Нечетна степен няма такива ограничения - отрицателно число, повишено на нечетна степен, ще остане отрицателно: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2 ) \ cdot(-2)=-32\). Следователно под корена на нечетна степен можете да получите отрицателно число. Това означава, че е възможно да се извлече и от отрицателно число.
