Използването на OZMS при решаване на проблеми е свързано с определени трудности. Следователно обикновено се установяват допълнителни връзки между характеристиките на движението и силите, които са по-удобни за практическо използване. Тези съотношения са общи теореми на динамиката.Те, като следствие от ОЗМС, установяват зависимости между скоростта на промяна на някои специално въведени мерки за движение и характеристиките на външните сили.
Теорема за промяната на импулса. Нека представим концепцията за вектор на инерцията (Р. Декарт) материална точка(фиг. 3.4):
i i = t v г (3.9)
Ориз. 3.4.
За системата въвеждаме концепцията главен вектор на инерцията на систематакато геометрична сума:
Q \u003d Y, m "V r
В съответствие с OZMS: Xu, - ^ \u003d i), или X
R(E) .
Като се има предвид, че /w, = const получаваме: -Ym,!" = R(E),
или в окончателен вид
do / di \u003d A (E (3.11)
тези. първата производна по време на главния вектор на инерцията на системата е равна на главния вектор на външните сили.
Теорема за движението на центъра на масите. Център на тежестта на систематанаречена геометрична точка, чието положение зависи от Т,и т.н. върху масовото разпределение /r/, в системата и се определя от израза на радиус вектора на центъра на масата (фиг. 3.5):
където g s -радиус вектор на центъра на масата.
Ориз. 3.5.
Да се обадим = t с масата на системата.След умножаване на израза
(3.12) върху знаменателя и диференциране на двете части на полу-
ценно равенство ще имаме: g s t s = ^t.U = 0 или 0 = t s U s
По този начин основният вектор на инерцията на системата е равно на продуктамасата на системата и скоростта на центъра на масата. Използвайки теоремата за промяна на импулса (3.11), получаваме:
t с dU s / dі \u003d A (E),или
Формула (3.13) изразява теоремата за движението на центъра на масите: центърът на масата на системата се движи като материална точка, която има масата на системата, която се влияе от главния вектор на външните сили.
Теорема за промяната на момента на импулса. Нека представим понятието момент на импулса на материална точка като векторно произведение на нейния радиус-вектор и импулс:
до о = блх че, (3.14)
където към OI -ъглов импулс на материална точка спрямо фиксирана точка ОТНОСНО(фиг. 3.6).
Сега дефинираме момента на инерция механична системакато геометрична сума:
K () \u003d X ko, \u003d ShchU,? O-15>
Диференцирайки (3.15), получаваме:
Ґ сік--- Х t i w. + г юх t i
Предвид това = U G U iх t i u i= 0 и формула (3.2), получаваме:
сіК a /с1ї - ї 0 .
Въз основа на втория израз в (3.6) най-накрая ще имаме теорема за промяната в ъгловия импулс на системата:
Първата производна по време на ъгловия импулс на механичната система спрямо фиксирания център O е равна на основния момент на външните сили, действащи върху тази система спрямо същия център.
При извеждане на съотношение (3.16) се приема, че ОТНОСНО- фиксирана точка. Въпреки това, може да се покаже, че в редица други случаи формата на отношението (3.16) няма да се промени, по-специално, ако в случай на движение в равнина моментната точка е избрана в центъра на масата, моментният център на скорости или ускорения. Освен това, ако точката ОТНОСНОсъвпада с движеща се материална точка, равенството (3.16), записано за тази точка, ще се превърне в тъждество 0 = 0.
Теорема за промяната на кинетичната енергия. Когато една механична система се движи, както „външната”, така и вътрешната енергия на системата се променят. Ако характеристиките на вътрешните сили, главния вектор и главния момент, не влияят на промяната в главния вектор и основния момент на броя на ускоренията, тогава вътрешните сили могат да бъдат включени в оценките на процесите на енергийното състояние на системата.Следователно, когато се разглеждат промените в енергията на системата, трябва да се вземат предвид движенията на отделни точки, към които се прилагат и вътрешни сили.
Кинетичната енергия на материална точка се определя като количество
T^myTsg. (3.17)
Кинетичната енергия на механична система е равна на сумата от кинетичните енергии на материалните точки на системата:
забележи това T > 0.
Ние дефинираме силата на силата като скаларно произведение на вектора на силата от вектора на скоростта:
С голям брой материални точки, които съставляват механичната система, или ако тя включва абсолютно твърди тела (), които извършват нетранслационно движение, използването на система от диференциални уравнения на движение при решаването на основния проблем за динамиката на механичната система се оказва практически невъзможна. Въпреки това, при решаване на много инженерни проблеми, не е необходимо да се определя движението на всяка точка от механичната система поотделно. Понякога е достатъчно да се направят изводи за най-важните аспекти на разглеждания процес на движение, без да се решава напълно системата от уравнения на движение. Тези заключения от диференциалните уравнения на движението на механична система съставляват съдържанието на общите теореми на динамиката. Общи теореми, първо, освободени от необходимостта във всеки отделен случай да се извършват онези математически трансформации, които са общи за различни проблеми и се изпълняват веднъж завинаги при извеждане на теореми от диференциални уравнения на движение. Второ, общите теореми дават връзка между общите агрегирани характеристики на движението на механична система, които имат ясен физически смисъл. Тези Основни характеристики, като импулс, инерция, кинетична енергиямеханична система се наричат мерки за движение на механична система.
Първата мярка за движение е импулсът на механична система
|
М к
|
Нека механична система, състояща се от |
материални точки 
.Позиция на всяка масова точка 
определена в инерционната отправна система 
радиус вектор 
(фиг. 13.1) .
Нека бъде 
- точкова скорост 
.Инерцията на материална точка е векторна мярка за нейното движение, равна на произведението на масата на точката и нейната скорост:
.
Инерцията на механична система е векторна мярка за нейното движение, равно на суматаколичеството на движението на неговите точки:
, (13.1)
Преобразуваме дясната страна на формула (23.1):
където 
е масата на цялата система, 
е скоростта на центъра на масата.
следователно, импулсът на механичната система е равен на импулса на нейния център на маса, ако цялата маса на системата е съсредоточена в нея:
.
Импулс на сила
Произведението на сила и елементарния интервал от време на нейното действие 
се нарича елементарен импулс на сила.
Импулс на сила 
за определен период от време се нарича интеграл от елементарния импулс на силата
.
Теорема за промяната в импулса на механична система
Нека за всяка точка 
механична система действа в резултат на външни сили 
и резултат от вътрешни сили 
.
Разгледайте основните уравнения на динамиката на механична система
Добавяне на член по член уравнения (13.2) за нточки от системата, получаваме
(13.3)
Първата сума от дясната страна е равна на главния вектор 
външни сили на системата. Втората сума е равна на нула по свойството на вътрешните сили на системата. Да разгледаме лявата страна на равенството (13.3):
Така получаваме:
, (13.4)
или в проекции върху координатните оси
(13.5)
Равенствата (13.4) и (13.5) изразяват теоремата за промяната в импулса на механична система:
Производната по време на импулса на механична система е равна на главния вектор на всички външни сили на механичната система.
Тази теорема може да бъде представена и в интегрална форма чрез интегриране на двете части на равенството (13.4) във времето в рамките на т 0 до т:
, (13.6)
където 
, а интегралът от дясната страна е импулсът на външните сили отзад
време т-т 0 .
Равенството (13.6) представлява теоремата в интегрална форма:
Увеличението на импулса на механична система за крайно време е равно на импулса на външните сили през това време.
Теоремата също се нарича теорема за импулса.
В проекции върху координатните оси теоремата може да се запише като:
Последици (закони за запазване на импулса)
едно). Ако основният вектор на външните сили за разглеждания период от време е равен на нула, тогава импулсът на механичната система е постоянен, т.е. ако 
,
.
2). Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху която и да е ос за разглеждания период от време е равна на нула, тогава проекцията на импулса на механичната система върху тази ос е постоянна,
тези. ако 
тогава 
.
Общи теореми на динамиката- това е теорема за движението на центъра на масата на механична система, теорема за промяна на импулса, теорема за промяна на главния момент на импулса (кинетичен момент) и теорема за промяна в кинетичната енергия на механична система.
Теорема за движението на центъра на масата на механична система
Теорема за движението на центъра на масите.
Произведението на масата на системата и ускорението на нейния център на маса е равно на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.
Тук M е масата на системата:
;
a C - ускорение на центъра на масата на системата:
;
v C - скорост на центъра на масата на системата:
;
r C - радиус вектор (координати) на центъра на масата на системата:
;
- координати (по отношение на фиксирания център) и масите на точките, които съставляват системата.
Теорема за промяната в импулса (импульс)
Количеството движение (импульс) на систематае равно на произведението на масата на цялата система и скоростта на нейния център на маса или сумата от импулса (сумата от импулси) на отделни точки или части, които съставляват системата:
.
Теорема за промяната на импулса в диференциална форма.
Времевата производна на количеството движение (импульс) на системата е равна на векторната сума на всички външни сили, действащи върху системата:
.
Теорема за промяната на импулса в интегрална форма.
Промяната в количеството движение (импульс) на системата за определен период от време е равна на сумата от импулсите на външните сили за същия период от време:
.
Законът за запазване на импулса (импульс).
Ако сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е нула, тогава векторът на инерцията на системата ще бъде постоянен. Тоест, всичките му проекции върху координатните оси ще запазят постоянни стойности.
Ако сумата от проекциите на външните сили върху която и да е ос е равна на нула, тогава проекцията на импулса на системата върху тази ос ще бъде постоянна.
Теорема за промяната на главния момент на импулса (теорема на моментите)
Основният момент на количеството движение на системата спрямо даден център O е стойността, равна на векторната сума от моментите на количествата на движение на всички точки на системата спрямо този център:
.
Тук квадратните скоби означават векторното произведение.
Фиксирани системи
Следващата теорема се отнася до случая, когато механичната система има фиксирана точка или ос, която е фиксирана по отношение на инерциалната референтна система. Например тяло, фиксирано със сферичен лагер. Или система от тела, движещи се около фиксиран център. Тя може да бъде и фиксирана ос, около която се върти тяло или система от тела. В този случай под моментите трябва да се разбират моментите на импулс и сили спрямо фиксираната ос.
Теорема за промяната на главния момент на импулса (теорема на моментите)
Производната по време на главния ъглов импулс на системата спрямо някакъв фиксиран център O е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата спрямо същия център.
Законът за запазване на главния момент на импулса (момент на импулса).
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо даден фиксиран център O, е равна на нула, тогава основният момент на импулса на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест, всичките му проекции върху координатните оси ще запазят постоянни стойности.
Ако сумата от моментите на външните сили около някаква фиксирана ос е равна на нула, тогава моментът на импулса на системата около тази ос ще бъде постоянен.
Произволни системи
Следната теорема има универсален характер. Приложим е както за фиксирани, така и за свободно движещи се системи. В случай на фиксирани системи е необходимо да се вземат предвид реакциите на връзките във фиксираните точки. Тя се различава от предишната теорема по това, че трябва да се вземе центърът на масата C на системата вместо неподвижната точка O.
Теорема за моментите за центъра на масата
Производната по време на главния ъглов импулс на системата около центъра на масата C е равна на сумата от моментите на всички външни сили на системата около същия център.
Закон за запазване на ъгловия импулс.
Ако сумата от моментите на всички външни сили, приложени към системата спрямо центъра на масата C, е равна на нула, тогава основният момент на импулса на системата спрямо този център ще бъде постоянен. Тоест, всичките му проекции върху координатните оси ще запазят постоянни стойности.
инерционен момент на тялото
Ако тялото се върти около оста zс ъглова скорост ω z , тогава неговият ъглов момент (кинетичен момент) спрямо оста z се определя по формулата:
L z = J z ω z ,
където J z е моментът на инерция на тялото спрямо оста z.
Момент на инерция на тялото около оста zсе определя по формулата:
,
където h k е разстоянието от точка с маса m k до оста z.
За тънък пръстен с маса M и радиус R или цилиндър, чиято маса е разпределена по ръба му,
J z = M R 2
.
За твърд хомогенен пръстен или цилиндър,
.
Теоремата на Щайнер-Хюйгенс.
Нека Cz е оста, минаваща през центъра на масата на тялото, Oz е оста, успоредна на него. Тогава моментите на инерция на тялото около тези оси са свързани с отношението:
J Oz = J Cz + M a 2
,
където M - телесно тегло; a - разстояние между осите.
По-общо:
,
където е тензорът на инерцията на тялото.
Ето вектор, изтеглен от центъра на масата на тялото до точка с маса m k .
Теорема за промяна на кинетичната енергия
Нека тяло с маса M извършва транслационно и въртеливо движение с ъглова скорост ω около някаква ос z. Тогава кинетичната енергия на тялото се определя по формулата:
,
където v C е скоростта на движение на центъра на масата на тялото;
J Cz - моментът на инерция на тялото спрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на оста на въртене. Посоката на оста на въртене може да се промени с течение на времето. Тази формула дава моментната стойност на кинетичната енергия.
Теорема за промяната на кинетичната енергия на системата в диференциална форма.
Диференциалът (увеличението) на кинетичната енергия на системата по време на част от нейното преместване е равен на сумата от диференциалите на работата върху това преместване на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:
.
Теорема за промяната на кинетичната енергия на системата в интегрална форма.
Промяната в кинетичната енергия на системата по време на част от нейното преместване е равна на сумата от работата по това преместване на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата:
.
Работата, извършена от силата, е равно на скаларното произведение на векторите на силата и безкрайно малкото изместване на точката на неговото приложение:
,
тоест произведението на модулите на векторите F и ds и косинуса на ъгъла между тях.
Работата, извършена от момента на силата, е равно на скаларното произведение на векторите на момента и безкрайно малкия ъгъл на въртене :
.
принцип на д'Аламбер
Същността на принципа на д'Аламбер е да сведе проблемите на динамиката до проблемите на статиката. За да направите това, се предполага (или е известно предварително), че телата на системата имат определени (ъглови) ускорения. След това се въвеждат силите на инерцията и (или) моментите на инерционните сили, които са равни по големина и реципрочни по посока на силите и моментите на силите, които според законите на механиката биха създали дадени ускорения или ъглови ускорения
Помислете за пример. Тялото извършва транслационно движение и върху него действат външни сили. Освен това приемаме, че тези сили създават ускорение на центъра на масата на системата. Според теоремата за движението на центъра на масата центърът на масата на тялото би имал същото ускорение, ако върху тялото действа сила. След това въвеждаме силата на инерцията:
.
След това задачата на динамиката е:
.
;
.
За въртеливо движениедействат по подобен начин. Нека тялото се върти около оста z и върху него действат външни моменти на сили M e zk. Приемаме, че тези моменти създават ъглово ускорение ε z . След това въвеждаме момента на инерционните сили M ˆ = - J z ε z . След това задачата на динамиката е:
.
Превръща се в статична задача:
;
.
Принципът на възможните движения
Принципът на възможните премествания се използва за решаване на проблеми със статиката. В някои задачи дава по-кратко решение от писането на уравнения на равновесие. Това е особено вярно за системи с връзки (например системи от тела, свързани с нишки и блокове), състоящи се от много тела
Принципът на възможните движения.
За равновесието на механична система с идеални ограничения е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно изместване на системата да бъде равна на нула.
Възможно преместване на системата- това е малко изместване, при което връзките, наложени на системата, не се нарушават.
Перфектни връзки- това са облигации, които не вършат работа при преместване на системата. По-точно, сумата от работата, извършена от самите връзки при преместване на системата, е нула.
Общо уравнение на динамиката (принцип на д'Аламбер - Лагранж)
Принципът на д'Аламбер-Лагранж е комбинация от принципа на д'Аламбер с принципа на възможните премествания. Тоест, когато решаваме задачата за динамиката, въвеждаме силите на инерцията и свеждаме проблема до проблема за статиката, който решаваме с помощта на принципа на възможните премествания.
Принципът на д'Аламбер-Лагранж.
Когато механична система се движи с идеални ограничения във всеки момент от време, сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили при всяко възможно изместване на системата е равна на нула:
.
Това уравнение се нарича общо уравнениевисокоговорители.
Уравнения на Лагранж
Обобщени координати q 1 , q 2 , ..., q n е набор от n стойности, които еднозначно определят позицията на системата.
Броят на обобщените координати n съвпада с броя на степените на свобода на системата.
Обобщени скоростиса производните на обобщените координати по отношение на времето t.
Обобщени сили Q 1 , Q 2 , ..., Q n
.
Помислете за възможно изместване на системата, при което координатата q k ще получи изместване δq k . Останалите координати остават непроменени. Нека δA k е работата, извършена от външни сили по време на такова преместване. Тогава
δA k = Q k δq k , или
.
Ако при възможно изместване на системата всички координати се променят, тогава работата, извършена от външни сили по време на такова преместване, има формата:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Тогава обобщените сили са частични производни на работата на преместване:
.
За потенциални силис потенциал Π,
.
Уравнения на Лагранжса уравненията на движение на механична система в обобщени координати:
Тук T е кинетичната енергия. Това е функция на обобщени координати, скорости и вероятно време. Следователно частната му производна също е функция на обобщени координати, скорости и време. След това трябва да вземете предвид, че координатите и скоростите са функции на времето. Следователно, за да намерите общата производна по време, трябва да приложите правилото за диференциране на сложна функция:
.
Препратки:
С. М. Тарг, Кратък курстеоретична механика, гимназия“, 2010 г.
Доста често е възможно да се изолират важни характеристики на движението на механична система, без да се прибягва до интегриране на системата от диференциални уравнения на движение. Това се постига чрез прилагане на общи теореми на динамиката.
5.1. Основни понятия и дефиниции
Външни и вътрешни сили.Всяка сила, действаща върху точка от механична система, е задължително или активна сила, или реакция на свързване. Цялата съвкупност от сили, действащи върху точките на системата, може да се раздели на два класа по различен начин: на външни сили и вътрешни сили (индексите e и i са от латинските думи externus - външен и internus - вътрешен). Външни сили се наричат сили, действащи върху точките на системата от точки и тела, които не са част от разглежданата система. Силите на взаимодействие между точките и телата на разглежданата система се наричат вътрешни.
Това разделение зависи от това какви материални точки и тела са включени от изследователя в разглежданата механична система. Ако съставът на системата се разшири, за да включва допълнителни точки и тела, тогава някои сили, които са били външни за предишната система, могат да станат вътрешни за разширената система.
Свойства на вътрешните сили.Тъй като тези сили са сили на взаимодействие между части на системата, те са включени в цялостната система от вътрешни сили по „двойки“, организирани в съответствие с аксиомата действие-реакция. Всяка такава "две" от сили
главният вектор и главният момент около произволен център са равни на нула. Тъй като пълната система от вътрешни сили се състои само от "двойки", тогава
1) основният вектор на системата от вътрешни сили е равен на нула,
2) основният момент на системата от вътрешни сили спрямо произволна точка е равен на нула.
Масата на системата е аритметична сума от масите mk на всички точки и тела, които образуват системата:
център на тежестта(център на инерцията) на механична система е геометрична точка C, чийто радиус вектор и координати се определят от формулите
където са радиус векторите и координатите на точките, които образуват системата.
За твърдо тяло в еднородно гравитационно поле позициите на центъра на масата и центъра на тежестта съвпадат; в други случаи това са различни геометрични точки.
Заедно с инерционната референтна система често се разглежда едновременно неинерциална референтна система, движеща се напред. Координатните му оси (осите на Кьониг) са избрани така, че референтната точка С винаги да съвпада с центъра на масата на механичната система. В съответствие с определението центърът на масата е фиксиран в осите на Кьониг и се намира в началото на координатите.
Моментът на инерция на систематаспрямо оста се нарича скаларна стойност, равна на сумата от произведенията на масите mk на всички точки на системата по квадратите на техните разстояния до оста:
Ако механичната система е твърдо тяло, за да намерите 12, можете да използвате формулата
където е плътността, обемът, зает от тялото.
Теоретична механика- Това е клон от механиката, който излага основните закони на механичното движение и механичното взаимодействие на материалните тела.
Теоретичната механика е наука, в която се изучават движенията на телата във времето (механични движения). Той служи като основа за други раздели на механиката (теория на еластичността, устойчивост на материалите, теория на пластичността, теория на механизмите и машините, хидроаеродинамика) и много технически дисциплини.
механично движениее промяна във времето взаимна позицияв пространството на материалните тела.
Механично взаимодействие- това е такова взаимодействие, в резултат на което се променя механичното движение или се променя взаимното положение на частите на тялото.
Статика на твърдо тяло
Статика- Това е клон на теоретичната механика, който се занимава с проблемите за равновесието на твърдите тела и преобразуването на една система от сили в друга, еквивалентна на нея.
- Основни понятия и закони на статиката
- Абсолютно твърдо тяло(твърдо тяло, тяло) е материално тяло, разстоянието между всички точки в което не се променя.
- Материална точкае тяло, чиито размери, според условията на задачата, могат да бъдат пренебрегнати.
- отпуснато тялое тяло, върху чието движение не се налагат ограничения.
- Несвободно (свързано) тялое тяло, чието движение е ограничено.
- Връзки- това са тела, които пречат на движението на разглеждания обект (тяло или система от тела).
- Комуникационна реакцияе сила, която характеризира действието на връзка върху твърдо тяло. Ако разгледаме силата, с която твърдо тяло действа върху връзката като действие, тогава реакцията на връзката е противодействие. В този случай силата - действие се прилага към връзката, а реакцията на връзката се прилага към твърдото тяло.
- механична системае съвкупност от взаимосвързани тела или материални точки.
- Солиденможе да се разглежда като механична система, чиито позиции и разстояние между точките не се променят.
- Силае векторна величина, характеризираща механичното действие на едно материално тяло върху друго.
Силата като вектор се характеризира с точката на приложение, посоката на действие и абсолютната стойност. Мерната единица за модула на силата е Нютон. - линия на силае правата линия, по която е насочен векторът на силата.
- Концентрирана мощносте силата, приложена в една точка.
- Разпределени сили (разпределен товар)- това са сили, действащи върху всички точки от обема, повърхността или дължината на тялото.
Разпределеното натоварване се дава от силата, действаща на единица обем (повърхност, дължина).
Размерът на разпределеното натоварване е N / m 3 (N / m 2, N / m). - Външна силае сила, действаща от тяло, което не принадлежи към разглежданата механична система.
- вътрешна силае силата, действаща върху материална точка на механична система от друга материална точка, принадлежаща на разглежданата система.
- Силова системае съвкупността от сили, действащи върху механична система.
- Плоска система от силие система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина.
- Пространствена система от силие система от сили, чиито линии на действие не лежат в една и съща равнина.
- Система за сближаване на силатае система от сили, чиито линии на действие се пресичат в една точка.
- Произволна система от силие система от сили, чиито линии на действие не се пресичат в една точка.
- Еквивалентни системи от сили- това са системи от сили, чиято замяна една с друга не променя механичното състояние на тялото.
Прието обозначение: . - РавновесиеСъстояние, при което тялото остава неподвижно или се движи равномерно по права линия под действието на сили.
- Балансирана система от сили- това е система от сили, която, приложена към свободно твърдо тяло, не променя механичното си състояние (не го дисбалансира).
. - резултантна силае сила, чието действие върху тяло е еквивалентно на действието на система от сили.
. - Момент на силае стойност, която характеризира ротационната способност на силата.
- Силова двойкае система от две успоредни равни по абсолютна стойност противоположно насочени сили.
Прието обозначение: .
Под действието на няколко сили тялото ще извърши ротационно движение. - Проекция на сила върху оста- това е отсечка, затворена между перпендикуляри, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази ос.
Проекцията е положителна, ако посоката на отсечката съвпада с положителната посока на оста. - Проекция на сила върху равнинае вектор в равнина, затворена между перпендикулярите, изтеглени от началото и края на вектора на силата към тази равнина.
- Закон 1 (закон за инерцията).Изолирана материална точка е в покой или се движи равномерно и праволинейно.
Равномерното и праволинейно движение на материална точка е движение по инерция. Състоянието на равновесие на материална точка и твърдо тяло се разбира не само като състояние на покой, но и като движение по инерция. За твърдо тяло има различни видоведвижение по инерция, например, равномерно въртене на твърдо тяло около фиксирана ос. - Закон 2.Твърдо тяло е в равновесие под действието на две сили само ако тези сили са равни по големина и са насочени в противоположни посоки по обща линия на действие.
Тези две сили се наричат балансирани.
Най-общо се казва, че силите са балансирани, ако твърдото тяло, към което се прилагат тези сили, е в покой. - Закон 3.Без да се нарушава състоянието (думата "състояние" тук означава състояние на движение или покой) на твърдо тяло, човек може да добавя и отхвърля балансиращите сили.
Последствие. Без да се нарушава състоянието на твърдо тяло, силата може да се прехвърли по линията на действие към всяка точка на тялото.
Две системи от сили се наричат еквивалентни, ако една от тях може да бъде заменена с друга, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло. - Закон 4.Резултатът от две сили, приложени в една точка, се прилага в една и съща точка, е равна по абсолютна стойност на диагонала на успоредника, изграден върху тези сили, и е насочена по тази
диагонали.
Модулът на резултата е: - Закон 5 (закон за равенство на действие и реакция). Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и насочени в противоположни посоки по една права линия.
Трябва да се има предвид, че действие- сила, приложена към тялото Б, И опозиция- сила, приложена към тялото НО, не са балансирани, тъй като са прикрепени към различни тела. - Закон 6 (законът на втвърдяването). Равновесието на нетвърдо тяло не се нарушава, когато се втвърди.
Не трябва да се забравя, че условията на равновесие, които са необходими и достатъчни за твърдо тяло, са необходими, но недостатъчни за съответното нетвърдо тяло. - Закон 7 (законът за освобождаване от облигации).Несвободното твърдо вещество може да се счита за свободно, ако е психически освободено от връзки, заменяйки действието на връзките със съответните реакции на връзките.
- Връзките и техните реакции
- Гладка повърхностограничава движението по нормата към опорната повърхност. Реакцията е насочена перпендикулярно на повърхността.
- Съчленена подвижна опораограничава движението на тялото по нормата към референтната равнина. Реакцията е насочена по нормалата към опорната повърхност.
- Съчленена фиксирана опорапротиводейства на всяко движение в равнина, перпендикулярна на оста на въртене.
- Съчленен безтегловен прътпротиводейства на движението на тялото по линията на пръта. Реакцията ще бъде насочена по линията на пръчката.
- Сляпо прекратяванепротиводейства на всяко движение и въртене в равнината. Неговото действие може да бъде заменено от сила, представена под формата на два компонента и двойка сили с момент.
Кинематика
Кинематика- раздел от теоретичната механика, който разглежда общите геометрични свойства на механичното движение, като процес, протичащ в пространството и времето. Движещите се обекти се разглеждат като геометрични точки или геометрични тела.
- Основни понятия на кинематиката
- Законът за движението на точка (тяло)е зависимостта на положението на точка (тяло) в пространството от времето.
- Точкова траектория- това е локусът на позициите на точка в пространството по време на нейното движение.
- Скорост на точка (тяло).е характеристика на промяната във времето на позицията на точка (тяло) в пространството.
- Точково (тяло) ускорение- това е характеристика на промяната във времето на скоростта на точка (тяло).
- Определяне на кинематичните характеристики на точка
- Точкова траектория
Във векторната референтна система траекторията се описва с израза: .
В координатната референтна система траекторията се определя според закона за движението на точката и се описва с изразите z = f(x,y)в космоса, или y = f(x)- в самолета.
IN естествена системареферентната траектория е предварително определена. - Определяне на скоростта на точка във векторна координатна система
При определяне на движението на точка във векторна координатна система, съотношението на движението към интервала от време се нарича средна стойност на скоростта в този интервал от време: .
Приемайки интервала от време като безкрайно малка стойност, стойността на скоростта се получава в този моментвреме (моментна стойност на скоростта):
.
Средният вектор на скоростта е насочен по протежение на вектора в посоката на движение на точката, векторът на моментната скорост е насочен тангенциално към траекторията в посоката на движение на точката.
Изход: скоростта на точка е векторна величина, равна на производната на закона за движение по отношение на времето.
Производно свойство: времевата производна на всяка величина определя скоростта на промяна на това количество. - Определяне на скоростта на точка в координатна референтна система
Скорост на промяна на координатите на точката:
.
Модулът на пълната скорост на точка с правоъгълна координатна система ще бъде равен на:
.
Посоката на вектора на скоростта се определя от косинусите на ъглите на управление:
,
където са ъглите между вектора на скоростта и координатните оси. - Определяне на скоростта на точка в естествена референтна система
Скоростта на точка в естествена референтна система се определя като производна на закона за движение на точка: .
Съгласно предишните изводи векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията по посока на движението на точката и по осите се определя само от една проекция.
- Кинематика на твърдото тяло
- В кинематиката на твърдите тела се решават два основни проблема:
1) задача за движение и определяне на кинематичните характеристики на тялото като цяло;
2) определяне на кинематичните характеристики на точките на тялото. - Транслационно движение на твърдо тяло
Транслационното движение е движение, при което права линия, проведена през две точки на тялото, остава успоредна на първоначалното си положение.
теорема: при транслационно движение всички точки на тялото се движат по едни и същи траектории и във всеки момент от време имат еднакви скорости и ускорения по големина и посока.
Изход: транслационното движение на твърдо тяло се определя от движението на която и да е от неговите точки и следователно задачата и изследването на неговото движение се свежда до кинематиката на точка. - Ротационно движение на твърдо тяло около фиксирана ос
Ротационното движение на твърдо тяло около фиксирана ос е движението на твърдо тяло, при което две точки, принадлежащи на тялото, остават неподвижни през цялото време на движение.
Положението на тялото се определя от ъгъла на въртене. Мерната единица за ъгъл е радиани. (Радиан е централният ъгъл на окръжност, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса, пълният ъгъл на окръжността съдържа 2πрадиан.)
Законът за въртене на тялото около фиксирана ос.
Ъгловата скорост и ъгловото ускорение на тялото ще се определят по метода на диференциация:
— ъглова скорост, rad/s;
— ъглово ускорение, rad/s².
Ако отрежем тялото с равнина, перпендикулярна на оста, изберете точка от оста на въртене ОТи произволна точка М, след това точката Мще опише около точката ОТрадиус кръг Р. По време на dtима елементарно завъртане през ъгъла , докато точката Мще се движи по траекторията на разстояние
.
Модул за линейна скорост:
.
точково ускорение Мс известна траектория се определя от неговите компоненти:
,
където
.
В резултат на това получаваме формули
тангенциално ускорение:
;
нормално ускорение:
.
Динамика
Динамика- Това е клон на теоретичната механика, който изучава механичните движения на материалните тела в зависимост от причините, които ги предизвикват.
- Основни понятия за динамиката
- инерция- това е свойството на материалните тела да поддържат състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато външни сили не променят това състояние.
- Теглое количествена мярка за инерцията на тялото. Единицата за маса е килограм (kg).
- Материална точкае тяло с маса, чиито размери се пренебрегват при решаването на този проблем.
- Център на масата на механична системае геометрична точка, чиито координати се определят по формулите:
където m k , x k , y k , z k- маса и координати к- тази точка от механичната система, ме масата на системата.
В еднородно поле на тежестта позицията на центъра на масата съвпада с позицията на центъра на тежестта. - Момент на инерция на материално тяло около осе количествена мярка за инерция по време на въртеливо движение.
Инерционният момент на материална точка около оста е равен на произведението на масата на точката и квадрата на разстоянието на точката от оста:
.
Инерционният момент на системата (тялото) около оста е равен на аритметичната сума от инерционните моменти на всички точки:
- Силата на инерцията на материална точкае векторна величина, равна по абсолютна стойност на произведението на масата на точка и модула на ускорението и насочена срещу вектора на ускорението:
- Сила на инерция на материално тялое векторна величина, равна по абсолютна стойност на произведението на телесната маса и модула на ускорение на центъра на масата на тялото и насочена срещу вектора на ускорението на центъра на масата: ,
където е ускорението на центъра на масата на тялото. - Импулс на елементарна силае векторна величина, равна на произведението на вектора на силата на безкрайно малък интервал от време dt:
.
Общият импулс на сила за Δt е равен на интеграла от елементарните импулси:
. - Елементарна работа на силае скалар dA, равно на скалара
