সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য। গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য। কাজটি গ্রহণ করা

যদি আমরা ভর দিয়ে সিস্টেমের কোন বিন্দু বিবেচনা করি , গতি আছে , তাহলে এই পয়েন্ট হবে

,

কোথায় এবং - একটি বিন্দুতে কাজ করে বহিরাগত এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রাথমিক কাজ। সিস্টেমের প্রতিটি পয়েন্টের জন্য এই ধরনের সমীকরণ কম্পাইল করা এবং সেগুলিকে টার্ম অনুসারে যুক্ত করা, আমরা পাই

,

. (2)

সমতা সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে ডিফারেনশিয়াল ফর্ম.

যদি ফলাফলের অভিব্যক্তিটি প্রাথমিক সময়ের ব্যবধানের জন্য দায়ী করা হয় যার সময় বিবেচনাধীন আন্দোলনটি ঘটেছিল, আমরা উপপাদ্যটির ডিফারেনশিয়াল ফর্মের জন্য দ্বিতীয় সূত্রটি পেতে পারি: সময়ের ডেরিভেটিভ গতিসম্পর্কিত শক্তি যান্ত্রিক সিস্টেমসমস্ত বাহ্যিক () এবং অভ্যন্তরীণ () শক্তির শক্তির সমষ্টির সমান, অর্থাৎ

গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি রচনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণআন্দোলন, তবে এটি খুব কমই করা হয়, কারণ আরও সুবিধাজনক কৌশল রয়েছে।

সমতার উভয় অংশকে একীভূত করা (2) কিছু প্রাথমিক অবস্থান থেকে সিস্টেমের স্থানচ্যুতির সাথে সম্পর্কিত সীমার মধ্যে, যেখানে গতিশক্তি থাকে, এমন একটি অবস্থানে যেখানে গতিশক্তির মান সমান হয় , থাকবে

ফলস্বরূপ সমীকরণটি চূড়ান্ত আকারে গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে: এর কিছু স্থানচ্যুতির সময় সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন সিস্টেমে প্রয়োগ করা সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির এই স্থানচ্যুতির উপর কাজের যোগফলের সমান।

পূর্ববর্তী উপপাদ্যগুলির বিপরীতে, সমীকরণের অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলি বাদ দেওয়া হয় না। প্রকৃতপক্ষে, যদি এবং বিন্দু এবং সিস্টেমের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া শক্তি (চিত্র দেখুন. 51), তারপর . কিন্তু একই সময়ে, বিন্দু , দিকে যেতে পারে, এবং বিন্দুর দিকে যেতে পারে। প্রতিটি শক্তির কাজ তখন ইতিবাচক হবে এবং কাজের যোগফল শূন্য হবে না। একটি উদাহরণ হল রোলব্যাকের ঘটনা। অভ্যন্তরীণ শক্তি (চাপ বল) প্রক্ষিপ্ত এবং ঘূর্ণায়মান অংশে উভয়ই কাজ করে এখানে ইতিবাচক কাজ করে। এই কাজের যোগফল, যা শূন্যের সমান নয়, সিস্টেমের গতিশক্তিকে শটের শুরুতে মান থেকে শেষে মান পর্যন্ত পরিবর্তন করে।

আরেকটি উদাহরণ: একটি স্প্রিং দ্বারা সংযুক্ত দুটি পয়েন্ট। যখন বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তিত হয়, তখন বিন্দুতে প্রয়োগ করা স্থিতিস্থাপক শক্তি কাজ করবে। কিন্তু সিস্টেম যদি একেবারে গঠিত হয় কঠিন পদার্থএবং তাদের মধ্যে সংযোগগুলি অপরিবর্তনীয়, স্থিতিস্থাপক নয়, আদর্শ, তাহলে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলির কাজ শূন্যের সমান হবে এবং সেগুলিকে উপেক্ষা করা যেতে পারে এবং ডিজাইন ডায়াগ্রামে দেখানো হবে না।

আসুন আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি।

1) অপরিবর্তনীয় সিস্টেম. অপরিবর্তনীয়আমরা এমন একটি সিস্টেমকে কল করব যেখানে সিস্টেমের গতির সময় অভ্যন্তরীণ শক্তি প্রয়োগের বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তন হয় না। বিশেষ করে, এই ধরনের একটি সিস্টেম একটি একেবারে অনমনীয় শরীর বা একটি অক্ষম থ্রেড।

চিত্র.51

দুটি পয়েন্ট এবং একটি অপরিবর্তনীয় সিস্টেমের (চিত্র 51) একে অপরের সাথে শক্তির সাথে কাজ করে এবং () এর মধ্যে রয়েছে এই মুহূর্তেগতি এবং তারপর কিছু সময়ের জন্য dtএই পয়েন্টগুলি প্রাথমিক স্থানচ্যুতি তৈরি করবে এবং , ভেক্টর বরাবর নির্দেশিত এবং . কিন্তু যেহেতু সেগমেন্টটি অপরিবর্তনীয়, তাই, গতিবিদ্যার সুপরিচিত উপপাদ্য অনুসারে, ভেক্টরের অনুমান এবং , এবং, ফলস্বরূপ, উভয় স্থানচ্যুতি এবং অংশের দিক একে অপরের সমান হবে, অর্থাৎ . তাহলে বাহিনীগুলির প্রাথমিক কাজ এবং পরম মান এবং চিহ্নের বিপরীতে অভিন্ন হবে এবং শূন্য পর্যন্ত যোগ হবে। এই ফলাফলটি সিস্টেমের যেকোনো স্থানচ্যুতির জন্য সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তির জন্য বৈধ।

তাই আমরা যে উপসংহার একটি অপরিবর্তনীয় সিস্টেমের জন্য, সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তির কাজের যোগফল শূন্যএবং সমীকরণগুলি রূপ নেয়

2) আদর্শ সংযোগ সহ একটি সিস্টেম. আসুন আমরা এমন একটি ব্যবস্থা বিবেচনা করি যার উপর সীমাবদ্ধতা আরোপ করা হয় যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না। আমরা সিস্টেমের পয়েন্টগুলিতে কাজ করে এমন সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তিকে বিভক্ত করি সক্রিয়এবং বন্ড প্রতিক্রিয়াতারপর

,

যেখানে অভিনয়ের প্রাথমিক কাজ k-বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সক্রিয় শক্তিগুলির সিস্টেমের তম বিন্দু, a হল একই বিন্দুতে আরোপিত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ বন্ধনের প্রতিক্রিয়াগুলির প্রাথমিক কাজ।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন কাজ এবং সক্রিয় শক্তি এবং বন্ধনের প্রতিক্রিয়ার উপর নির্ভর করে। যাইহোক, এই ধরনের "আদর্শ" যান্ত্রিক সিস্টেমের ধারণা চালু করা সম্ভব, যেখানে বন্ডের উপস্থিতি তার গতির সময় সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে না। এই ধরনের সংযোগের জন্য, স্পষ্টতই, নিম্নলিখিত শর্তটি অবশ্যই সন্তুষ্ট হতে হবে:

সময়ের সাথে পরিবর্তিত না হওয়া বন্ধনগুলির জন্য, সিস্টেমের একটি প্রাথমিক স্থানচ্যুতির সময় সমস্ত বিক্রিয়ার কাজের যোগফল শূন্যের সমান হয়, তবে এই ধরনের বন্ধনগুলিকে বলা হয় আদর্শএকটি যান্ত্রিক ব্যবস্থার জন্য, যার উপর শুধুমাত্র আদর্শ সীমাবদ্ধতাগুলি আরোপ করা হয় যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, আমাদের অবশ্যই থাকবে

এইভাবে, আদর্শ বন্ধন সহ একটি সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন যা সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তন হয় না তার কোনো স্থানচ্যুতিতে বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সিস্টেমে প্রয়োগ করা এই স্থানচ্যুতির কাজের যোগফলের সমান। সক্রিয় বাহিনী।

যান্ত্রিক ব্যবস্থা বলা হয় রক্ষণশীল(এর শক্তি, যেমন ছিল, সংরক্ষিত, পরিবর্তিত হয় না), যদি শক্তির অবিচ্ছেদ্য অংশ এটির জন্য সঞ্চালিত হয়

বা (3)

এটাই যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণের নিয়ম: যখন একটি সিস্টেম একটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে চলে যায়, তখন তার যান্ত্রিক শক্তি (সম্ভাব্য এবং গতির সমষ্টি) অপরিবর্তিত থাকে, সব সময় স্থির থাকে।

একটি যান্ত্রিক ব্যবস্থা রক্ষণশীল হবে যদি এটিতে কাজ করা শক্তিগুলি সম্ভাব্য হয়, উদাহরণস্বরূপ, মাধ্যাকর্ষণ, স্থিতিস্থাপক শক্তি। রক্ষণশীল যান্ত্রিক সিস্টেমে, শক্তির অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করে, কেউ গতির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গঠনের সঠিকতা পরীক্ষা করতে পারে। যদি সিস্টেমটি রক্ষণশীল হয়, এবং শর্ত (3) সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে গতির সমীকরণগুলি সংকলন করার সময় একটি ত্রুটি তৈরি হয়েছিল।

এনার্জি ইন্টিগ্রালটি ডেরিভেটিভ গণনা না করে অন্য উপায়ে সমীকরণের সঠিকতা পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, গতির সমীকরণগুলির সংখ্যাগত একীকরণ করার পরে, সময়ের দুটি ভিন্ন মুহুর্তের জন্য মোট যান্ত্রিক শক্তির মান গণনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত। যদি মানের মধ্যে পার্থক্য গণনা ত্রুটির সাথে তুলনীয় হতে দেখা যায়, তাহলে এটি ব্যবহৃত সমীকরণের সঠিকতা নির্দেশ করবে।

পূর্ববর্তী সমস্ত উপপাদ্যগুলি গতির সমীকরণগুলি থেকে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলিকে বাদ দেওয়া সম্ভব করেছিল, তবে বাহ্যিক সীমাবদ্ধতার পূর্বে অজানা প্রতিক্রিয়া সহ সমস্ত বাহ্যিক শক্তি সমীকরণগুলিতে সংরক্ষিত ছিল। গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটির ব্যবহারিক মূল্য এই সত্যের মধ্যে রয়েছে যে, আদর্শ সংযোগগুলির সাথে যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, এটি আমাদের গতির সমীকরণগুলি থেকে বাদ দেওয়ার অনুমতি দেবে। সববন্ডের পূর্বে অজানা প্রতিক্রিয়া।

এই উপপাদ্যটি একটি শক্তির কাজ (কারণ) এবং একটি বস্তুগত বিন্দুর গতিশক্তির (প্রভাব) মধ্যে একটি পরিমাণগত সম্পর্ক স্থাপন করে।

বস্তুগত বিন্দুর গতিশক্তিএকটি বিন্দুর ভরের অর্ধেক গুণফল এবং তার গতির বর্গের সমান একটি স্কেলার মান বলে

. (43)

গতিশক্তি এমন একটি শক্তির যান্ত্রিক ক্রিয়াকে চিহ্নিত করে যা তাপের মতো অন্যান্য শক্তিতে রূপান্তরিত হতে পারে।

শক্তির কাজ করেপ্রদত্ত স্থানচ্যুতিকে বলের ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য বলা হয়, যা বেগ মডুলাসের পরিবর্তনের দিকে নিয়ে যায়।

শক্তির প্রাথমিক কাজবল ভেক্টরের স্কেলার গুণফল এবং এর প্রয়োগের বিন্দুতে প্রাথমিক স্থানচ্যুতি ভেক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

, (44)

কোথায়
- প্রাথমিক আন্দোলন।

প্রাথমিক কাজের মডিউল সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

কোথায়  - বল ভেক্টর এবং প্রাথমিক স্থানচ্যুতি ভেক্টরের মধ্যে কোণ; - স্পর্শকের উপর বল ভেক্টরের অভিক্ষেপ।

কিছু সীমিত স্থানচ্যুতির উপর করা মোট কাজটি অখণ্ড দ্বারা নির্ধারিত হয়

. (46)

(46) থেকে এটি অনুসরণ করে যে মোট কাজ দুটি ক্ষেত্রে গণনা করা যেতে পারে, যখন বলটি স্থির থাকে বা স্থানচ্যুতির উপর নির্ভর করে।

এ চ= const আমরা পাই
.

সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, শক্তি গণনা করার বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করা প্রায়শই সুবিধাজনক

কোথায় চ এক্স , চ y , চ zস্থানাঙ্ক অক্ষ উপর বল অভিক্ষেপ.

আসুন আমরা নিম্নলিখিত উপপাদ্য প্রমাণ করি।

উপপাদ্য: একটি বস্তুগত বিন্দুর গতিশক্তির পরিবর্তন তার কিছু স্থানচ্যুতিতে একই স্থানচ্যুতিতে বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলের কাজের সমান।

বস্তুটিকে ভরের বিন্দু M ধরুক মিশক্তির প্রভাবে চলমান চঅবস্থান M 0 থেকে M 1 অবস্থানে।

OUD:
. (47)

আমরা একটি প্রতিস্থাপন প্রবর্তন
এবং প্রজেক্ট (47) স্পর্শকের উপর

. (48)

আমরা (48) এ ভেরিয়েবল আলাদা করি এবং একত্রিত করি

ফলস্বরূপ, আমরা পেতে

. (49)

সমীকরণ (49) উপরের উপপাদ্যটি প্রমাণ করে।

উপপাদ্যটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক যখন একটি বিন্দুর ভর, এর প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত গতি, বল এবং স্থানচ্যুতি প্রদত্ত এবং পছন্দসই পরামিতিগুলির মধ্যে থাকে।

চরিত্রগত শক্তির কাজের গণনা।

1. মহাকর্ষের কাজবল মডুলাসের গুণফল এবং এর প্রয়োগের বিন্দুর উল্লম্ব স্থানচ্যুতি হিসাবে গণনা করা হয়

. (50)

উপরে যাওয়ার সময় কাজটি ইতিবাচক হয়, নিচের দিকে যাওয়ার সময় এটি নেতিবাচক হয়।

2. বসন্তের স্থিতিস্থাপক বলের কাজ চ=-cxসমান

, (51)

কোথায় এক্স 0 - বসন্তের প্রাথমিক প্রসারণ (সংকোচন);

এক্স 1 - বসন্তের চূড়ান্ত প্রসারণ (সংকোচন)।

মাধ্যাকর্ষণ এবং স্থিতিস্থাপক বলের কাজ তাদের প্রয়োগ বিন্দুর গতিপথের উপর নির্ভর করে না। এই ধরনের বাহিনী, যার কাজ গতিপথের উপর নির্ভর করে না, বলা হয় সম্ভাব্য শক্তি.

3. ঘর্ষণ শক্তির কাজ.

যেহেতু ঘর্ষণ বল সর্বদা চলাচলের অভিমুখের বিপরীত দিকে পরিচালিত হয়, তাই এর কাজ সমান

ঘর্ষণ শক্তি দ্বারা সম্পন্ন কাজ সবসময় নেতিবাচক হয়.. যেসব শক্তির কাজ সবসময় নেতিবাচক হয় তাদের বলা হয় অপব্যয়কারী.

একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তি হল এর সমস্ত বস্তুগত বিন্দুর গতিশক্তির সমষ্টি:

চলুন গতিশক্তির অভিব্যক্তি থেকে পার্থক্য গণনা করি এবং কিছু সাধারণ রূপান্তর সম্পাদন করি:

মধ্যবর্তী মান বাদ দিয়ে এবং প্রাথমিক কাজ মনোনীত করার জন্য আগে প্রবর্তিত প্রতীক ব্যবহার করে, আমরা লিখি:

সুতরাং, একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পার্থক্য যোগফলের সমানসিস্টেমের পয়েন্টগুলিতে কাজ করে এমন সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রাথমিক কাজ। এটি গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের বিষয়বস্তু।

মনে রাখবেন যে সাধারণ ক্ষেত্রে সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলির কাজের যোগফল শূন্যের সমান নয়। এটি শুধুমাত্র কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে অদৃশ্য হয়ে যায়: যখন একটি একেবারে অনমনীয় শরীর একটি সিস্টেম হিসাবে কাজ করে; একেবারে অনমনীয় দেহগুলির একটি সিস্টেম যা অ-বিকৃত উপাদানগুলির সাহায্যে ইন্টারঅ্যাক্ট করে (আদর্শ কব্জা, একেবারে অনমনীয় রড, অক্ষম থ্রেড ইত্যাদি)। এই কারণে, গতিশক্তি পরিবর্তনের উপপাদ্যটি একমাত্র সাধারণ উপপাদ্যগতিবিদ্যা, যা অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রভাবকে বিবেচনা করে।

কেউ গতিশক্তির পরিবর্তনে আগ্রহী হতে পারে একটি অসীম সময়ের মধ্যে নয়, যেমন উপরে করা হয়েছে, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট সময়সীমার মধ্যে। তারপর একীভূত করে আপনি পেতে পারেন:

এখানে গতিশক্তির মানগুলি, যথাক্রমে, সময়ের মুহুর্তে - বিবেচিত সময়ের জন্য বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলির মোট কাজের যোগফল।

ফলস্বরূপ সমতা একটি সসীম (অখণ্ড) আকারে গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে, যা নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের এক অবস্থান থেকে অন্য অবস্থানে স্থানান্তরের সময় গতিশক্তির পরিবর্তন সমষ্টির সমান। সমস্ত বহিরাগত এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির মোট কাজ।

একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তি হল এর সমস্ত বিন্দুর গতিশক্তির সমষ্টি:

সময়ের সাপেক্ষে এই সমতার প্রতিটি অংশকে আলাদা করে আমরা পাই

জন্য গতিবিদ্যা মৌলিক আইন ব্যবহার প্রতি- সিস্টেমের তম পয়েন্ট m k 2i k= Fj., আমরা সমতায় পৌঁছেছি

বল F এর স্কেলার গুণফল এবং এর প্রয়োগের বিন্দুর গতি v বলা হয় বল শক্তিএবং বোঝান আর:

এই নতুন স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত ফর্মে (11.6) প্রতিনিধিত্ব করি:

ফলস্বরূপ সমতা গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের ডিফারেনশিয়াল ফর্ম প্রকাশ করে: একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের হার সিস্টেমে ক্রিয়াশীল সমস্ত সেমি শক্তির যোগফল j এর সমান।

ডেরিভেটিভ প্রতিনিধিত্ব চ in (8.5) একটি ভগ্নাংশ আকারে -- এবং করছেন

তারপর ভেরিয়েবলের বিচ্ছেদ, আমরা পাই:

কোথায় dT-গতিশক্তি ডিফারেনশিয়াল, অর্থাৎ একটি অসীম সময়ের ব্যবধানে এর পরিবর্তন dr, dr k = k dt -প্রাথমিক স্থানচ্যুতি প্রতি-সিস্টেমের তম পয়েন্ট, যেমন সময়ে আন্দোলন dt

F বল এবং প্রাথমিক স্থানচ্যুতির স্কেলার গুণফল ডাঃআবেদন এর পয়েন্ট বলা হয় প্রাথমিক কাজবাহিনী এবং প্রতিনিধিত্ব করে dA:

স্কেলার পণ্যের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, কেউ ফর্মটিতেও বলের প্রাথমিক কাজ উপস্থাপন করতে পারে

এখানে ds = dr-বল প্রয়োগের বিন্দুর গতিপথের চাপের দৈর্ঘ্য, এটির প্রাথমিক স্থানচ্যুতি c/g; একটি -বল ভেক্টর F এবং প্রাথমিক স্থানচ্যুতি ভেক্টর c/r এর দিকগুলির মধ্যে কোণ; F „ F y, F,- কার্টেসিয়ান অক্ষের উপর বল ভেক্টর F এর অনুমান; dx, dy, dzপ্রাথমিক স্থানচ্যুতি ভেক্টর s/r এর কার্টেসিয়ান অক্ষের উপর অনুমান।

স্বরলিপি (11.9) বিবেচনায় নিয়ে, সমতা (11.8) নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

সেগুলো. সিস্টেমের গতিশক্তির পার্থক্য সিস্টেমে কাজ করা সমস্ত শক্তির প্রাথমিক কাজের যোগফলের সমান।এই সমতা, যেমন (11.7), গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটির ডিফারেনশিয়াল ফর্ম প্রকাশ করে, কিন্তু (11.7) থেকে আলাদা যে এটি ডেরিভেটিভ নয়, কিন্তু অসীম বৃদ্ধি - ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে।

সাম্যের টার্ম-বাই-টার্ম ইন্টিগ্রেশন (11.12), আমরা প্রাপ্ত করি

যেখানে একীকরণের সীমা ব্যবহার করা হয়: 7 0 - এই মুহূর্তে সিস্টেমের গতিশক্তি? 0; 7) - সময়ের মুহূর্তে সিস্টেমের গতিশক্তি t x।

নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রেলসময়ের ব্যবধান বা A(F):

মন্তব্য 1. কাজটি গণনা করার জন্য, কখনও কখনও ট্র্যাজেক্টোরির একটি নন-আর্ক প্যারামিটারাইজেশন ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক মাইক্রোসফট),এবং সমন্বয় M(x(t), y(/), z(f))। এই ক্ষেত্রে, প্রাথমিক কাজের জন্য, উপস্থাপনা (11.11) গ্রহণ করা এবং আকারে বক্ররেখার অবিচ্ছেদ্য প্রতিনিধিত্ব করা স্বাভাবিক:

একটি সীমিত স্থানচ্যুতিতে কাজের উপাধি (11.14) বিবেচনায় নিয়ে, সমতা (11.13) রূপ নেয়

এবং একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যের চূড়ান্ত রূপকে উপস্থাপন করে।

উপপাদ্য 3. একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন যখন এটি প্রাথমিক অবস্থান থেকে চূড়ান্ত অবস্থানে চলে যায় তখন এই আন্দোলনের সময় সিস্টেমের বিন্দুতে কাজ করে এমন সমস্ত শক্তির কাজের যোগফলের সমান হয়।

মন্তব্য করুন 2. সমতার ডান দিক (11.16) কাজগুলিকে বিবেচনা করে সমস্ত শক্তিবাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ উভয় সিস্টেমে কাজ করে। তবুও, এমন যান্ত্রিক ব্যবস্থা রয়েছে যার জন্য সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তির মোট কাজ শূন্যের সমান। ইগো তথাকথিত অপরিবর্তনীয় সিস্টেম, যার জন্য মিথস্ক্রিয়াকারী উপাদান বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তন হয় না। উদাহরণস্বরূপ, ঘর্ষণহীন কব্জা বা নমনীয় অক্ষম থ্রেড দ্বারা সংযুক্ত অনমনীয় দেহগুলির একটি সিস্টেম। এই ধরনের সিস্টেমের জন্য, সমতা (11.16) শুধুমাত্র বাহ্যিক শক্তির কাজকে বিবেচনায় নেওয়া যথেষ্ট, যেমন উপপাদ্য (11.16) ফর্ম নেয়:

§ 89 এ প্রমাণিত উপপাদ্যটি সিস্টেমের যেকোনো পয়েন্টের জন্য বৈধ। অতএব, যদি আমরা একটি ভর সহ সিস্টেমের যেকোন বিন্দুকে বিবেচনা করি যার গতি আছে, তবে এই বিন্দুর জন্য এটি হবে

যেখানে বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির প্রাথমিক কাজগুলি বিন্দুতে কাজ করে। সিস্টেমের প্রতিটি বিন্দুর জন্য এই ধরনের সমীকরণ রচনা করা এবং তাদের পদ দ্বারা পদ যোগ করা, আমরা তা খুঁজে পাই

সমতা (49) ডিফারেনশিয়াল আকারে সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে। কিছু প্রাথমিক অবস্থান থেকে সিস্টেমের গতিবিধির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সীমার মধ্যে এই সমতার উভয় অংশকে একীভূত করা, যেখানে গতিশক্তি সেই অবস্থানের সমান যেখানে গতিশক্তির মান সমান হয়ে যায়, আমরা পাই

এই সমীকরণটি একটি ভিন্ন (অখণ্ড) আকারে গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্য প্রকাশ করে: কিছু স্থানচ্যুতি সহ সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তির এই স্থানচ্যুতির উপর কাজের যোগফলের সমান। পদ্ধতি.

পূর্ববর্তী উপপাদ্যগুলির বিপরীতে, সমীকরণে অভ্যন্তরীণ বলগুলি (49) বা (50) বাদ দেওয়া হয় না। প্রকৃতপক্ষে, যদি - সিস্টেমের পয়েন্টগুলির মধ্যে মিথস্ক্রিয়া শক্তি (চিত্র 309), তারপর

কিন্তু একই সময়ে, বিন্দুর দিকে এবং বিন্দুর দিকে যেতে পারে - k এর দিকে প্রতিটি শক্তির কাজ তখন ধনাত্মক হবে এবং কাজের যোগফল শূন্য হবে না। উদাহরণস্বরূপ, যখন গুলি করা হয় (§ 112-এ সমস্যা 127 দেখুন), পাউডার গ্যাসের চাপ শক্তি, যা সিস্টেমের প্রজেক্টাইল - ঘূর্ণায়মান অংশগুলির জন্য অভ্যন্তরীণ, কাজ করে এবং সিস্টেমের দেহগুলিতে গতি সরবরাহ করে।

আসুন আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি।

1. অপরিবর্তনীয় সিস্টেম। আমরা একটি যান্ত্রিক সিস্টেমকে অপরিবর্তনীয় বলব, যেখানে প্রতিটি দুটি মিথস্ক্রিয়া বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব পুরো আন্দোলন জুড়ে স্থির থাকে।

একটি অপরিবর্তনীয় সিস্টেমের দুটি পয়েন্ট বিবেচনা করুন যা শক্তির সাথে একে অপরের উপর কাজ করে (চিত্র 309 দেখুন)। তারপর, যেহেতু সেগমেন্টের গতি হওয়া উচিত (§ 55 দেখুন), তারপর এবং যেহেতু, যথাক্রমে, বিন্দুর গতি এবং প্রাথমিক স্থানচ্যুতি। উপরন্তু, . ফলস্বরূপ, এই বাহিনীর প্রাথমিক কাজের যোগফলের জন্য, আমরা প্রাপ্ত করি

সিস্টেমের অন্যান্য সমস্ত ইন্টারেক্টিং পয়েন্টগুলির জন্যও একই ঘটনা ঘটবে। ফলস্বরূপ, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে একটি অপরিবর্তিত সিস্টেমের ক্ষেত্রে, সমস্ত অভ্যন্তরীণ শক্তির কাজের যোগফল শূন্যের সমান এবং সমীকরণগুলি (49) বা (50) রূপ নেয়

2. আদর্শ সংযোগ সহ সিস্টেম। আসুন আমরা এমন একটি ব্যবস্থা বিবেচনা করি যার উপর সীমাবদ্ধতা আরোপ করা হয় যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না। আসুন আমরা সিস্টেমের বিন্দুতে কাজ করে এমন সমস্ত বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ শক্তিকে সক্রিয় এবং সংযোগের প্রতিক্রিয়াগুলিতে ভাগ করি। তারপর সমীকরণ (49) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

যেখানে বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সক্রিয় শক্তিগুলির প্রাথমিক কাজ সিস্টেমের বিন্দুতে কাজ করে এবং বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সংযোগের একই বিন্দুতে আরোপিত প্রতিক্রিয়াগুলির প্রাথমিক কাজ।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন কাজ এবং সক্রিয় শক্তি এবং বন্ধনের প্রতিক্রিয়ার উপর নির্ভর করে। যাইহোক, এই ধরনের "আদর্শ" যান্ত্রিক সিস্টেমের ধারণা চালু করা সম্ভব, যেখানে বন্ডের উপস্থিতি তার গতির সময় সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তনকে প্রভাবিত করে না। এই ধরনের সংযোগের জন্য, স্পষ্টতই, শর্ত

যদি সময়ের সাথে পরিবর্তিত না হয় এমন বন্ডগুলির জন্য, সিস্টেমের প্রাথমিক স্থানচ্যুতির সময় সমস্ত বিক্রিয়ার কাজের যোগফল শূন্যের সমান হয়, তাহলে এই ধরনের বন্ধনগুলি আদর্শ৷ আসুন আমরা আমাদের পরিচিত বেশ কয়েকটি ধরণের আদর্শ বন্ধন নির্দেশ করি৷

§ 89-এ, এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল যে যদি বন্ধনটি একটি স্থির পৃষ্ঠ (বা বক্ররেখা) হয়, যার উপর ঘর্ষণকে উপেক্ষা করা যেতে পারে, তখন যখন দেহগুলি এই জাতীয় পৃষ্ঠ (বক্ররেখা) বরাবর স্লাইড করে, তখন প্রতিক্রিয়া কাজ N শূন্যের সমান। তারপরে, § 122-এ, এটি দেখানো হয়েছে যে আমরা যদি বিকৃতিকে অবহেলা করি, তাহলে যখন একটি শরীর রুক্ষ পৃষ্ঠে স্লাইডিং ছাড়াই গড়িয়ে যায়, তখন কাজটি স্বাভাবিক প্রতিক্রিয়া N এবং ঘর্ষণ বল (অর্থাৎ, বিক্রিয়ার স্পর্শক উপাদান) শূন্য। আরও, কব্জাটির প্রতিক্রিয়া কাজ R (চিত্র 10 এবং 11 দেখুন), যদি ঘর্ষণকে অবহেলা করা হয়, তবে তাও শূন্যের সমান হবে, যেহেতু সিস্টেমের যে কোনও নড়াচড়ার সময় R বল প্রয়োগের বিন্দুটি গতিহীন থাকে। অবশেষে, যদি চিত্রে। 309 একটি অনমনীয় (অক্ষম) রড দ্বারা সংযুক্ত হিসাবে বস্তুগত বিন্দু বিবেচনা করুন, তাহলে বলগুলি রডের প্রতিক্রিয়া হবে; সিস্টেমের স্থানচ্যুতির সময় এই প্রতিক্রিয়াগুলির প্রতিটির কাজ শূন্যের সমান নয়, তবে এই কাজের যোগফল যা প্রমাণিত হয়েছে, তা শূন্য দেয়। এইভাবে, সমস্ত তালিকাভুক্ত সংযোগগুলিকে আদর্শ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, করা রিজার্ভেশনগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে।

একটি যান্ত্রিক ব্যবস্থার জন্য, যার উপর শুধুমাত্র আদর্শ সীমাবদ্ধতা যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, তা হবে

এইভাবে, আদর্শ বন্ধন সহ একটি সিস্টেমের গতিশক্তির পরিবর্তন যা সময়ের সাথে সাথে এর কোনো স্থানচ্যুতির সময় পরিবর্তিত হয় না তা সিস্টেমে প্রয়োগ করা বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ সক্রিয় শক্তিগুলির এই স্থানচ্যুতিতে কাজের যোগফলের সমান।

পূর্ববর্তী সমস্ত উপপাদ্যগুলি গতির সমীকরণগুলি থেকে অভ্যন্তরীণ শক্তিগুলিকে বাদ দেওয়া সম্ভব করেছিল, তবে বাহ্যিক সীমাবদ্ধতার পূর্বে অজানা প্রতিক্রিয়া সহ সমস্ত বাহ্যিক শক্তি সমীকরণগুলিতে সংরক্ষিত ছিল। গতিশক্তির পরিবর্তনের উপর উপপাদ্যটির ব্যবহারিক মূল্য এই সত্যে নিহিত যে, আদর্শ সীমাবদ্ধতার সাথে যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না, এটি আমাদের গতির সমীকরণগুলি থেকে সীমাবদ্ধতার পূর্বে অজানা সমস্ত প্রতিক্রিয়াগুলিকে বাদ দিতে দেয়।