কেন্দ্র খোঁজার আরেকটি উপায় (উদাহরণস্বরূপ, পরিণত পণ্য) - একটি বিশেষ সরঞ্জাম ব্যবহার করে, "সেন্টার ফাইন্ডার" - তথাকথিত বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। স্পর্শক রেখা। একটি বৃত্তের স্পর্শক হল যেকোন সরল রেখা যা বৃত্তের সাথে মিলিত হওয়ার সময়ে এই বিন্দুতে আঁকা ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব হয়। জাহান্নামের মত. 174 সোজা এ বি সি ডিএবং ইএফ- বৃত্তের স্পর্শক ACE. পয়েন্ট A, C, E"যোগাযোগের পয়েন্ট" বলা হয়। একটি স্পর্শক রেখার বিশেষত্ব হল এটিতে শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দুর একটি বৃত্ত থাকে। প্রকৃতপক্ষে, যদি স্পর্শক এবি(চিত্র 175) একটি বৃত্তের সাথে ছিল, এটি ছাড়াও আরও একটি সাধারণ বিন্দু, উদাহরণস্বরূপ, থেকে, তারপর এটিকে কেন্দ্রের সাথে সংযুক্ত করে, আমরা একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ পাব SOAদুটি সমকোণ সহ এসএ,এবং এটা, আমরা জানি, অসম্ভব (কেন?)।

একটি বৃত্তের স্পর্শক রেখার সাথে, আমরা প্রায়শই ব্যবহারিক জীবনে দেখা করি। একটি ব্লকের উপর নিক্ষিপ্ত একটি দড়ি তার প্রসারিত অংশে ব্লকের বৃত্তে স্পর্শক রেখার অবস্থান নেয়। উত্তোলন বেল্টগুলি (কয়েকটি ব্লকের সংমিশ্রণ, চিত্র 176) চাকার পরিধিতে সাধারণ স্পর্শকগুলির লাইন বরাবর অবস্থিত। পুলিগুলির ট্রান্সমিশন বেল্টগুলি তথাকথিত "বাহ্যিক" স্পর্শকগুলির পুলিগুলির বৃত্তগুলিতে সাধারণ স্পর্শকগুলির অবস্থানও দখল করে। ওপেন ট্রান্সমিশন এবং "অভ্যন্তরীণ" - একটি বন্ধে।

কিভাবে বৃত্তের বাইরে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকতে হয়? অন্য কথায়: একটি বিন্দুর মাধ্যমে কিন্তু(dev. 177) একটি সরল রেখা আঁকুন এবিকোণ থেকে এভিওএটা কি সোজা ছিল? এটি নিম্নরূপ করা হয়। সংযোগ কিন্তুকেন্দ্রীভূত ও(অঙ্কন 178)। একটি সরল রেখা অর্ধেক এবং এর মাঝখানে বিভক্ত AT, একটি কেন্দ্র হিসাবে, ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত বর্ণনা করুন ভিতরে. অন্য কথায়, অন OAব্যাসের মতো একটি বৃত্ত তৈরি করুন। ছেদ বিন্দু থেকেএবং ডিউভয় চেনাশোনা সংযুক্ত করা হয় কিন্তুসরলরেখা: এগুলো স্পর্শক হবে।

এটি যাচাই করার জন্য, আমরা কেন্দ্র থেকে পয়েন্টগুলিতে আঁকি থেকেএবং ডিঅক্জিলিয়ারী লাইন ওএসএবং OD. কোণ WASPএবং ওডিএসোজা কারণ সেগুলি একটি অর্ধবৃত্তে খোদাই করা আছে। এবং এই যে মানে ওএসএবং ODবৃত্তের স্পর্শক।

আমাদের নির্মাণ বিবেচনা করে, আমরা অন্যান্য জিনিসগুলির মধ্যে দেখতে পাই যে বৃত্তের বাইরের প্রতিটি বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক টানা যেতে পারে। এটি যাচাই করা সহজ যে এই দুটি স্পর্শক একই দৈর্ঘ্যের, অর্থাৎ, এটি এসি= বিজ্ঞাপন. প্রকৃতপক্ষে, বিন্দু ওকোণার দিক থেকে সমান দূরত্বে কিন্তু; মানে OA- সমান বিভাজক, এবং তাই, ত্রিভুজ এসএলএএবং OADসমান ( SUS).

পথ বরাবর, আমরা প্রতিষ্ঠিত করেছি যে রেখাটি যেটি উভয় স্পর্শকের মধ্যে কোণকে দ্বিখণ্ডিত করে তা বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। এটি পরিণত পণ্যগুলির কেন্দ্র অনুসন্ধানের জন্য ডিভাইস ডিভাইসের ভিত্তি - কেন্দ্র সন্ধানকারী (চিত্র 179)। এটি দুটি লাইন নিয়ে গঠিত এবিএবং এসি, একটি কোণে চাঙ্গা, এবং তৃতীয় লাইন বিডি, যার প্রান্ত বিডিপ্রান্তের মধ্যে কোণকে দ্বিখণ্ডিত করে

প্রথম দুটি লাইন। ডিভাইসটি একটি বৃত্তাকার পণ্যে প্রয়োগ করা হয় যাতে শাসকগুলির প্রান্তগুলি এটি সংলগ্ন হয় এবিএবং সূর্যপণ্যের পরিধির সংস্পর্শে। এই ক্ষেত্রে, প্রান্তগুলির বৃত্তের সাথে শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু থাকবে, তাই শাসকের প্রান্তটি স্পর্শকগুলির এখন নির্দেশিত সম্পত্তি অনুসারে, বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যেতে হবে। শাসক বরাবর পণ্যের উপর বৃত্তের ব্যাস অঙ্কন করার পরে, একটি ভিন্ন অবস্থানে পণ্যটিতে কেন্দ্র অনুসন্ধানকারী প্রয়োগ করুন এবং একটি ভিন্ন ব্যাস আঁকুন। কাঙ্খিত কেন্দ্রটি উভয় ব্যাসের সংযোগস্থলে থাকবে।

আপনি যদি দুটি বৃত্তে একটি সাধারণ স্পর্শক আঁকতে চান, অর্থাৎ, একটি সরল রেখা আঁকতে যা একই সাথে দুটি বৃত্তকে স্পর্শ করবে, তাহলে নিম্নরূপ এগিয়ে যান। একটি বৃত্তের কেন্দ্রের কাছে, উদাহরণস্বরূপ, সম্পর্কে AT(চিত্র 180), উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যে পার্থক্যের সমান ব্যাসার্ধ সহ একটি সহায়ক বৃত্ত বর্ণনা করুন। তারপর বিন্দু থেকে কিন্তুস্পর্শক চালান এসিএবং বিজ্ঞাপনএই সহায়ক বৃত্তে। পয়েন্ট থেকে কিন্তুএবং ATলম্ব সরল রেখা আঁকুন এসিএবং বিজ্ঞাপন, যতক্ষণ না এটি বিন্দুতে প্রদত্ত বৃত্তের সাথে ছেদ করে ই, এফ, এইচএবং জি. সোজা লাইন সংযোগ ইসঙ্গে এফ, জিসঙ্গে এইচ, প্রদত্ত বৃত্তগুলিতে সাধারণ স্পর্শক থাকবে, যেহেতু তারা ব্যাসার্ধের লম্ব AE, CF, AGএবং ডি.এইচ..

এইমাত্র যে দুটি স্পর্শক আঁকা হয়েছে এবং যেগুলিকে বাহ্যিক বলা হয়, সেই দুটি স্পর্শক ছাড়াও শয়তানের মতো আরও দুটি স্পর্শকও আঁকা সম্ভব। 181 (অভ্যন্তরীণ স্পর্শক)। এই নির্মাণ সঞ্চালনের জন্য, এই বৃত্তগুলির একটির কেন্দ্রের চারপাশে বর্ণনা করুন - উদাহরণস্বরূপ, চারপাশে AT- উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান ব্যাসার্ধ সহ একটি সহায়ক বৃত্ত। একটি বিন্দু থেকে কিন্তুএই সহায়ক বৃত্তের স্পর্শক আঁকুন। পাঠকরা নিজেদের জন্য নির্মাণের পরবর্তী কোর্স খুঁজে পেতে সক্ষম হবে।

প্রশ্ন পুনরাবৃত্তি করুন

স্পর্শক কাকে বলে? একটি স্পর্শক এবং একটি বৃত্তের মধ্যে কয়টি বিন্দু মিল আছে? কিভাবে বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দুর মাধ্যমে একটি বৃত্তের স্পর্শক আঁকতে হয়? – এরকম কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে? - একটি সেন্ট্রিফিউজ কি? এর ডিভাইস কিসের উপর ভিত্তি করে? কিভাবে দুটি বৃত্তে একটি সাধারণ স্পর্শক আঁকতে হয়? - এই ধরনের স্পর্শক কয়টি?

কমপাস প্রোগ্রামের পাঠ।

পাঠ নম্বর 12। কম্পাস 3D-এ বৃত্ত নির্মাণ।
বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত, দুটি বিন্দু দ্বারা বৃত্ত।

কম্পাস 3D-তে স্পর্শক বৃত্ত আঁকার বিভিন্ন উপায় রয়েছে:

• 1ম বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত;
• 2 বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত;
• 3 বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত;

বক্ররেখায় একটি বৃত্ত স্পর্শক আঁকতে, বোতাম টিপুন "1 বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত"কমপ্যাক্ট প্যানেলে বা উপরের মেনুতে, ক্রমানুসারে কমান্ড টিপুন "সরঞ্জাম" - "জ্যামিতি" - "বৃত্ত" - "1 বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত"।

কার্সার ব্যবহার করে, আমরা প্রথমে বক্ররেখাটি নির্দেশ করি যার মধ্য দিয়ে বৃত্তটি পাস করবে, তারপরে আমরা এই বৃত্তের 1 ম এবং 2 য় পয়েন্ট সেট করি (বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সম্পত্তি প্যানেলে প্রবেশ করা যেতে পারে)।

সমস্ত সম্ভাব্য চেনাশোনাগুলির ফ্যান্টমগুলি স্ক্রিনে প্রদর্শিত হবে। কার্সার ব্যবহার করে, আমাদের প্রয়োজন সেগুলি নির্বাচন করুন এবং "অবজেক্ট তৈরি করুন" বোতাম টিপে সেগুলি ঠিক করুন৷ আমরা "অবার্ট কমান্ড" বোতাম টিপে নির্মাণটি সম্পূর্ণ করি।

দ্বিতীয় বিন্দু নির্দিষ্ট করার আগে, আপনি প্রপার্টি বারে সংশ্লিষ্ট ক্ষেত্রে একটি ব্যাসার্ধ বা ব্যাস মান লিখতে পারেন। এই ধরনের একটি বৃত্ত সবসময় নির্মিত হবে না. এটি প্রদত্ত ব্যাসার্ধ বা ব্যাসের উপর নির্ভর করে। ব্যাসার্ধের মান প্রবেশ করার পরে ফ্যান্টমের অদৃশ্য হয়ে যাওয়ার দ্বারা নির্মাণের অসম্ভবতা নির্দেশিত হবে।

বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুটি জানা থাকলে, এটি বৈশিষ্ট্য প্যানেলেও সেট করা যেতে পারে।

দুটি বক্ররেখায় একটি বৃত্ত স্পর্শক তৈরি করতে, বোতাম টিপুন "2টি বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত"একটি কমপ্যাক্ট প্যানেলে। অথবা উপরের মেনুতে, ক্রমানুসারে কমান্ড টিপুন "সরঞ্জাম" - "জ্যামিতি" - "বৃত্ত" - "2টি বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত".

কার্সারের সাহায্যে, আমরা সেই বস্তুগুলিকে নির্দেশ করি যেগুলিকে বৃত্তটি স্পর্শ করবে। সমস্ত সম্ভাব্য নির্মাণ বিকল্পগুলির ফ্যান্টমগুলি পর্দায় প্রদর্শিত হবে।

যদি বৃত্তের অন্তর্গত একটি বিন্দুর অবস্থান জানা থাকে, তাহলে এটি অবশ্যই কার্সার ব্যবহার করে সেট করতে হবে, অথবা বৈশিষ্ট্য প্যানেলে স্থানাঙ্ক লিখতে হবে। আপনি প্রপার্টি বারে ব্যাসার্ধ বা ব্যাসের মানও লিখতে পারেন। নির্মাণ সম্পূর্ণ করতে, পছন্দসই ফ্যান্টম নির্বাচন করুন এবং ক্রমানুসারে বোতাম টিপুন "বস্তু তৈরি করুন"এবং "কমান্ড বাতিল করুন".

তিনটি বক্ররেখায় একটি বৃত্ত স্পর্শক তৈরি করতে, বোতাম টিপুন "3টি বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত"একটি কমপ্যাক্ট প্যানেলে। অথবা উপরের মেনুতে, ক্রমানুসারে কমান্ড টিপুন "সরঞ্জাম" - "জ্যামিতি" - "বৃত্ত" - "3টি বক্ররেখার স্পর্শক বৃত্ত"।

নির্মাণগুলি আগেরগুলির মতোই, তাই সেগুলি নিজেই করুন, ফলাফলটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

জ্যামিতিক নির্মাণ

বৃত্তের স্পর্শক নির্মাণ

বৃত্তে স্পর্শক আঁকার অন্যান্য সমস্যার সমাধানের অন্তর্নিহিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন।

বিন্দু থেকে যাককিন্তু(চিত্র 1) একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তে স্পর্শক আঁকতে হবেও.

সঠিকভাবে স্পর্শক গঠনের জন্য, বৃত্তের রেখার স্পর্শক বিন্দু নির্ধারণ করা প্রয়োজন। এই বিন্দু জন্যকিন্তুএকটি বিন্দু দিয়ে সংযুক্ত করা উচিতওএবং সেগমেন্ট বিভক্ত করুনOAঅর্ধেক. এই সেগমেন্ট মাঝখানে থেকে - পয়েন্টথেকে, কেন্দ্র থেকে একটি বৃত্ত কিভাবে বর্ণনা করবেন, যার ব্যাস সেগমেন্টের সমান হওয়া উচিতOA. পয়েন্টপ্রতি1 এবংপ্রতি2 একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত বৃত্তের ছেদথেকেএবং একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূতওলাইনের যোগাযোগের বিন্দুএ.কে1 এবংএ.কে2 একটি প্রদত্ত বৃত্তে।

সমস্যার সমাধানের সঠিকতা এই সত্য দ্বারা নিশ্চিত করা হয় যে যোগাযোগের বিন্দুতে আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ বৃত্তের স্পর্শকটির সাথে লম্ব। কোণঠিক আছে1 কিন্তুএবংঠিক আছে2 কিন্তুসোজা কারণ তারা ব্যাসের উপর নির্ভর করেজেএসসিএকটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত বৃত্তথেকে.

ভাত। এক.

দুটি বৃত্তে স্পর্শক তৈরি করার সময়, স্পর্শকগুলিকে আলাদা করা হয়অভ্যন্তরীণএবংবহিরাগত. যদি প্রদত্ত বৃত্তগুলির কেন্দ্রগুলি স্পর্শকের একপাশে অবস্থিত হয় তবে এটি বাহ্যিক হিসাবে বিবেচিত হয় এবং যদি বৃত্তগুলির কেন্দ্রগুলি স্পর্শকের বিপরীত দিকে থাকে তবে এটি অভ্যন্তরীণ হিসাবে বিবেচিত হয়।

ও1 এবংও2 আর1 এবংআর2 . প্রদত্ত বৃত্তগুলিতে বাহ্যিক স্পর্শক আঁকতে হবে।

সুনির্দিষ্ট নির্মাণের জন্য, লাইন এবং প্রদত্ত চেনাশোনাগুলির মধ্যে যোগাযোগের বিন্দুগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন। কেন্দ্র সহ বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলেও1 এবংও2 একই মান দ্বারা ধারাবাহিকভাবে হ্রাস করা শুরু করুন, তারপর আপনি ছোট ব্যাসের এককেন্দ্রিক বৃত্তের একটি সিরিজ পেতে পারেন। তদুপরি, ব্যাসার্ধ হ্রাসের প্রতিটি ক্ষেত্রে, ছোট বৃত্তের স্পর্শকগুলি পছন্দসইগুলির সমান্তরাল হবে। ছোট ব্যাসার্ধের আকার দ্বারা উভয় ব্যাসার্ধ হ্রাস করার পরেআর2 কেন্দ্র সহ বৃত্তও2 একটি বিন্দুতে পরিণত হবে, এবং একটি কেন্দ্র সহ একটি বৃত্তও1 একটি ব্যাসার্ধ সহ একটি ঘনকেন্দ্রিক বৃত্তে রূপান্তরিত হবেআর3 , radii এর পার্থক্যের সমানআর1 এবংআর2 .

আগে বর্ণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে, বিন্দু থেকেও2 ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তে বাহ্যিক স্পর্শক আঁকুনআর3 , বিন্দু সংযোগও1 এবংও2 , একটি বিন্দু দ্বারা বিভক্তথেকেলাইনের অংশও1 ও2 অর্ধেক এবং একটি ব্যাসার্ধ আঁকাতাই1 একটি চাপ যার প্রদত্ত বৃত্তের সাথে ছেদ রেখার যোগাযোগের বিন্দু নির্ধারণ করবেও2 প্রতি1 এবংও2 প্রতি2 .

ডটকিন্তু1 এবংকিন্তু2 একটি বৃহত্তর বৃত্তের সাথে পছন্দসই লাইনের যোগাযোগ লাইনের ধারাবাহিকতায় অবস্থিতও1 প্রতি1 এবংও1 প্রতি2 . পয়েন্টAT1 এবংAT2 একটি ছোট বৃত্ত সহ রেখাগুলির স্পর্শকগুলি বেসের সাথে লম্বও2 যথাক্রমে সহায়ক স্পর্শকগুলিতেও2 প্রতি1 এবংও2 প্রতি2 . যোগাযোগের পয়েন্ট থাকা, আপনি পছন্দসই লাইন আঁকতে পারেনকিন্তু1 AT1 এবংকিন্তু2 AT2 .

ভাত। 2.

বিন্দুতে কেন্দ্র সহ দুটি বৃত্ত যাকও1 এবংও2 (চিত্র 2), যথাক্রমে radii থাকাআর1 এবংআর2 . প্রদত্ত বৃত্তের অভ্যন্তরীণ স্পর্শক আঁকতে হবে।

লাইন এবং চেনাশোনাগুলির মধ্যে যোগাযোগের বিন্দু নির্ধারণ করতে, আমরা পূর্ববর্তী সমস্যা সমাধানে প্রদত্ত আর্গুমেন্টগুলির মতই ব্যবহার করি। যদি আমরা ব্যাসার্ধ হ্রাস করিআর2 শূন্য, তারপর কেন্দ্র সহ বৃত্তও2 বিন্দু বাঁক যাইহোক, এই ক্ষেত্রে, প্রয়োজনীয়গুলির সাথে সহায়ক স্পর্শকগুলির সমান্তরালতা রক্ষা করার জন্য, ব্যাসার্ধআর1 বড় করা উচিতআর2 এবং ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত আঁকুনআর3 , ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমানআর1 এবংআর2 .

একটি বিন্দু থেকেও2 একটি ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তে স্পর্শক আঁকুনআর3 , যার জন্য আমরা বিন্দুগুলি সংযুক্ত করিও1 এবংও2 , একটি বিন্দু দ্বারা বিভক্তথেকেলাইনের অংশও1 ও2 অর্ধেক এবং একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একটি বৃত্তের একটি চাপ আঁকুনথেকেএবং ব্যাসার্ধতাই1 . ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত সহ একটি চাপের ছেদআর3 পয়েন্টের অবস্থান নির্ধারণ করবেপ্রতি1 এবংপ্রতি2 অক্জিলিয়ারী লাইনের স্পর্শকতাও2 প্রতি1 এবংও2 প্রতি2 .

ডটকিন্তু1 এবংকিন্তু2 আর1 সেগমেন্টের সাথে এই বৃত্তের সংযোগস্থলে রয়েছেও1 প্রতি1 এবংও1 প্রতি2 . পয়েন্ট সংজ্ঞায়িত করতে1 তেএবং2 তেব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত সহ পছন্দসই রেখাগুলির স্পর্শকতাআর2 বিন্দু থেকে অনুসরণ করেO2অক্জিলিয়ারী লাইনে লম্ব স্থাপন করুনO2K1এবংO2K2যতক্ষণ না এটি একটি প্রদত্ত বৃত্তের সাথে ছেদ করে। পছন্দসই রেখাগুলির স্পর্শক বিন্দু এবং প্রদত্ত বৃত্তগুলি রেখে, আমরা রেখাগুলি আঁকিA1B1এবংA2B2.

ভাত। 3.

রাজ্য বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

জিমনেসিয়াম নং 000

জ্যামিতি উপর নকশা কাজ.

একটি বৃত্তের স্পর্শক গঠনের আটটি উপায়।

9 জৈবিক এবং রাসায়নিক শ্রেণী

বৈজ্ঞানিক উপদেষ্টা: ,

একাডেমিক বিষয়ক উপ-পরিচালক,

গণিত শিক্ষক.

মস্কো 2012

ভূমিকা

অধ্যায় 1। ………………………………………………………………… 4

উপসংহার (উপসংহার)

ভূমিকা

আত্মার সর্বোচ্চ প্রকাশ হল মন।

মনের সর্বোচ্চ প্রকাশ জ্যামিতি।

জ্যামিতি কোষ একটি ত্রিভুজ। সেও তাই

অক্ষয়, মহাবিশ্বের মত। বৃত্ত হল জ্যামিতির প্রাণ।

পরিধি জানুন এবং আপনি কেবল আত্মাকে জানবেন না

জ্যামিতি, কিন্তু আপনার আত্মা উন্নত.

ক্লডিয়াস টলেমি
একটি কাজ.

বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দু A এর মধ্য দিয়ে যাওয়া কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ R সহ একটি বৃত্তের স্পর্শক তৈরি করুন

অধ্যায় 1.

সমান্তরাল রেখার তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে ন্যায্যতা প্রয়োজন হয় না এমন একটি বৃত্তের স্পর্শক নির্মাণ।

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°। একটি বৃত্তের জন্য (O; r) OB - ব্যাসার্ধ। OB AB, তাই, AB একটি স্পর্শকের ভিত্তিতে একটি স্পর্শক।

একইভাবে, AC একটি বৃত্তের স্পর্শক।

নির্মাণ নং 1 এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে একটি বৃত্তের স্পর্শকটি স্পর্শক বিন্দুতে টানা ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব।

একটি লাইনের জন্য বৃত্তের সাথে যোগাযোগের শুধুমাত্র একটি বিন্দু আছে।

একটি রেখার একটি প্রদত্ত বিন্দুর মাধ্যমে, শুধুমাত্র একটি লম্ব রেখা আঁকা যায়।

বিল্ডিং নম্বর 2।

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°

5. OB - ব্যাসার্ধ, ABO = 90°, অতএব, AB - ভিত্তিতে স্পর্শক।

6. একইভাবে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ AON-এ, AC একটি স্পর্শক (ACO \u003d 90 °, OS একটি ব্যাসার্ধ)

7. সুতরাং, AB এবং AC স্পর্শক

বিল্ডিং #3

https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM = OVA= 90° (সমান ত্রিভুজে সংশ্লিষ্ট কোণ হিসাবে), অতএব, AB - স্পর্শকের ভিত্তিতে স্পর্শক।

4. একইভাবে, AC একটি স্পর্শক

বিল্ডিং №4

https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">

বিল্ডিং নম্বর 6।

বিল্ডিং:

2. A বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি নির্বিচারে রেখা আঁকুন যা M এবং N বিন্দুতে বৃত্ত (O, r) কে ছেদ করে।

6. AB এবং BC কাঙ্খিত স্পর্শক।

প্রমাণ:

1. যেহেতু ত্রিভুজ PQN এবং PQM একটি বৃত্তে খোদিত এবং পাশের PQ হল বৃত্তের ব্যাস, এই ত্রিভুজগুলি সমকোণী ত্রিভুজ।

2. ত্রিভুজ PQL-এ, PM এবং QN অংশগুলি হল K বিন্দুতে ছেদকারী উচ্চতা, তাই KL হল তৃতীয় উচ্চতা..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, তারপর |AQ| = |AS|ctg β অতএব |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2)।

5. (1) এবং (2) তুলনা করলে আমরা পাই |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, বা

(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R)।

বন্ধনী খোলার পরে এবং সরলীকরণ করার পরে, আমি দেখতে পাই যে |OD|·|OA|=R²।

5. এটি সম্পর্ক থেকে |OD|·|OA|=R² যে |OD|:R=R: |OA|, অর্থাৎ, ODB এবং OBA ত্রিভুজ একই রকম..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90° তাই, রেখা AB প্রয়োজনীয় স্পর্শক, যা প্রমাণ করতে হবে।

বিল্ডিং নম্বর 6।

বিল্ডিং:

1. একটি বৃত্ত আঁকুন (A; |OA|)।

2. আমি 2R এর সমান একটি কম্পাস খোলার স্থান খুঁজে পাব, যার জন্য আমি বৃত্তের (O; R) উপর একটি বিন্দু S বেছে নেব এবং প্রতিটি 60º সম্বলিত তিনটি আর্ক আলাদা করে রাখব: SP=PQ=QT=60°। বিন্দু S এবং T পরস্পরবিরোধী।

3. আমি একটি বৃত্ত তৈরি করি (O; ST) ছেদ করে w 1 এই বৃত্ত কি? M এবং N বিন্দুতে

4. এখন আমি মধ্যম MO নির্মাণ করব। এটি করার জন্য, আমি বৃত্ত (O; OM) এবং (M; MO) তৈরি করি এবং তারপর M এবং O বিন্দুগুলির জন্য আমরা তাদের উপর U এবং V বিন্দুর বিপরীত বিন্দু খুঁজে পাই।

6. অবশেষে, আমি একটি বৃত্ত নির্মাণ করব (K; KM) এবং (L; LM) পছন্দসই বিন্দুতে ছেদ করে B - MO-এর মাঝখানে।

প্রমাণ:

ত্রিভুজ KMV এবং UMK সমদ্বিবাহু এবং অনুরূপ। অতএব, KM \u003d 0.5MU থেকে, এটি সেই MB \u003d 0.5MK \u003d 0.5R অনুসরণ করে। সুতরাং, বিন্দু বি যোগাযোগের পছন্দসই বিন্দু। একইভাবে, আপনি যোগাযোগের বিন্দু C খুঁজে পেতে পারেন।

অধ্যায় 3

সেক্যান্ট, দ্বিখন্ডের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একটি বৃত্তের স্পর্শক নির্মাণ।

বিল্ডিং #7

https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> বিল্ডিং #8

বিল্ডিং:

1. D বিন্দুতে AP লাইনকে ছেদ করে একটি বৃত্ত (A; AP) তৈরি করুন।

2. QD ব্যাসের উপর w একটি বৃত্ত তৈরি করুন

3. আমি এটিকে A বিন্দুতে AR রেখার লম্ব দিয়ে ছেদ করব এবং M এবং N বিন্দু পাব।

প্রমাণ:

স্পষ্টতই, AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ। তারপর বৃত্ত (A; AM) B এবং C যোগাযোগের বিন্দুতে (O; R) ছেদ করে। AB এবং AC হল কাঙ্ক্ষিত স্পর্শক।

এই অধ্যায়ে, আমরা একটি মৌলিক জ্যামিতিক আকারে ফিরে যাব - বৃত্ত। বৃত্তের সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন উপপাদ্য প্রমাণিত হবে, যার মধ্যে একটি ত্রিভুজ, একটি চতুর্ভুজ এবং এই পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে বৃত্তাকার বৃত্তগুলি খোদাই করা বৃত্তগুলি সম্পর্কে উপপাদ্য রয়েছে৷ এছাড়াও, একটি ত্রিভুজের উল্লেখযোগ্য বিন্দু সম্পর্কে তিনটি বিবৃতি প্রমাণিত হবে - ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডকগুলির ছেদ বিন্দু, এর উচ্চতার ছেদ বিন্দু এবং ত্রিভুজের বাহুর লম্ব বিভাজকগুলির ছেদ বিন্দু। প্রথম দুটি বিবৃতি 7 ম শ্রেণীতে প্রণয়ন করা হয়েছিল, এবং এখন আমরা সেগুলি প্রমাণ করতে সক্ষম হব।

একটি সরলরেখা এবং একটি বৃত্তের আপেক্ষিক অবস্থানের উপর নির্ভর করে কতগুলি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে তা খুঁজে বের করা যাক। এটি স্পষ্ট যে যদি একটি রেখা একটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, তবে এটি বৃত্তটিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে - এই লাইনের উপর থাকা ব্যাসের শেষগুলি।

রেখা pটিকে r ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের O কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যেতে না দিন। আসুন p রেখায় একটি লম্ব OH আঁকুন এবং d অক্ষর দ্বারা এই লম্বটির দৈর্ঘ্য বোঝাই, অর্থাৎ এই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব। লাইনে (চিত্র 211)।

ভাত। 211

আমরা d এবং r এর অনুপাতের উপর নির্ভর করে সরলরেখা এবং বৃত্তের আপেক্ষিক অবস্থান অনুসন্ধান করি। তিনটি ক্ষেত্রে সম্ভব।

1) ঘ< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

ফলস্বরূপ, বিন্দু A এবং B বৃত্তের উপর অবস্থিত এবং তাই, লাইন p এবং প্রদত্ত বৃত্তের সাধারণ বিন্দু।

আসুন প্রমাণ করি যে লাইন p এবং প্রদত্ত বৃত্তের মধ্যে অন্য কোন বিন্দু মিল নেই। ধরুন তাদের আরও একটি সাধারণ বিন্দু C আছে। তাহলে AC-এর ভিত্তির দিকে টানা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ O AC-এর মধ্যমা OD হল এই ত্রিভুজের উচ্চতা, তাই OD ⊥ p। OD এবং OH রেখাংশগুলি একত্রিত হয় না, যেহেতু AC সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু D H বিন্দুর সাথে মেলে না - সেগমেন্ট AB-এর মধ্যবিন্দু। আমরা পেয়েছি যে দুটি লম্ব (সেগমেন্ট OH এবং OD) O বিন্দু থেকে p রেখায় আঁকা হয়েছে, যা অসম্ভব।

তাই, যদি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের চেয়ে কম হয় (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . এই ক্ষেত্রে, রেখাটিকে বৃত্তের সাপেক্ষে একটি সেকেন্ট বলা হয়।

2) d = r. এই ক্ষেত্রে, OH \u003d r, অর্থাৎ, বিন্দু H বৃত্তের উপর অবস্থিত এবং তাই, রেখা এবং বৃত্তের একটি সাধারণ বিন্দু (চিত্র 211.6)। রেখা p এবং বৃত্তের মধ্যে অন্য কোন বিন্দু মিল নেই, যেহেতু P লাইনের যেকোন বিন্দুর জন্য যা H বিন্দু থেকে আলাদা, OM > OH = r (তির্যক OM লম্ব OH থেকে বড়), এবং তাই , বিন্দু M বৃত্তের উপর থাকে না।

সুতরাং, যদি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয়, তবে রেখা এবং বৃত্তের শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে।

3) d > r. এই ক্ষেত্রে, OH > r, অতএব, যেকোন বিন্দুর জন্য M, সরলরেখা p OM ≥ OH > r (চিত্র 211, c)। অতএব, বিন্দু M বৃত্তের উপর অবস্থিত নয়।

সুতরাং, যদি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের চেয়ে বেশি হয়, তাহলে রেখা এবং বৃত্তের সাধারণ বিন্দু নেই।

বৃত্তের স্পর্শক

আমরা প্রমাণ করেছি যে একটি রেখা এবং একটি বৃত্তের এক বা দুটি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে এবং কোনো সাধারণ বিন্দু নাও থাকতে পারে।

যে রেখায় একটি বৃত্তের সাথে শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে তাকে বৃত্তের স্পর্শক বলা হয় এবং তাদের সাধারণ বিন্দুকে রেখা ও বৃত্তের স্পর্শক বিন্দু বলা হয়। চিত্র 212-এ, সরলরেখা p হল একটি বৃত্তের স্পর্শক যার কেন্দ্র O, A হল যোগাযোগের বিন্দু।

আসুন একটি বৃত্তের স্পর্শকের বৈশিষ্ট্যের উপর একটি উপপাদ্য প্রমাণ করি।

উপপাদ্য

প্রমাণ

ধরুন p হল একটি বৃত্তের স্পর্শক যার কেন্দ্র O, এবং A হল যোগাযোগের বিন্দু (চিত্র 212 দেখুন)। আসুন প্রমাণ করি যে স্পর্শক p ব্যাসার্ধ OA-তে লম্ব।

ভাত। 212

ধরা যাক এটা না. তারপর ব্যাসার্ধ OA রেখা p এর তির্যক। যেহেতু O বিন্দু থেকে রেখা p পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বটি তির্যক OA থেকে কম, তাই বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে রেখা p পর্যন্ত দূরত্ব ব্যাসার্ধের চেয়ে কম। অতএব, লাইন p এবং বৃত্তের দুটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে। কিন্তু এটি শর্তের বিরোধিতা করে: লাইন p স্পর্শক।

এইভাবে, লাইন p রেখাটি OA ব্যাসার্ধের লম্ব। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি বৃত্তের দুটি স্পর্শক বিবেচনা করুন যার কেন্দ্র O বিন্দু A এর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে এবং B এবং C বিন্দুতে বৃত্তটিকে স্পর্শ করছে (চিত্র 213)। সেগমেন্ট AB এবং AC বলা হবে একটি বিন্দু থেকে আঁকা স্পর্শকের অংশগুলিউ: তাদের নিম্নলিখিত সম্পত্তি রয়েছে:

ভাত। 213

এই বিবৃতিটি প্রমাণ করার জন্য, চলুন চিত্র 213-এ ফিরে আসা যাক। স্পর্শক সম্পত্তি উপপাদ্য অনুসারে, কোণ 1 এবং 2 সমকোণী, তাই ত্রিভুজ ABO এবং ACO সমকোণ। তারা সমান, যেহেতু তাদের একটি সাধারণ কর্ণ OA এবং সমান পা OB এবং OS রয়েছে। অতএব, AB = AC এবং ∠3 = ∠4, যা প্রমাণ করতে হবে।

আসুন এখন স্পর্শক সম্পত্তির (স্পর্শ মাপকাঠি) উপর উপপাদ্যের সাথে একটি উপপাদ্য কনভার্স প্রমাণ করি।

উপপাদ্য

প্রমাণ

উপপাদ্যের শর্তগুলি থেকে এটি অনুসরণ করে যে প্রদত্ত ব্যাসার্ধটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে প্রদত্ত রেখায় আঁকা একটি লম্ব। অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান, এবং সেইজন্য, রেখা এবং বৃত্তের শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে। কিন্তু এর মানে এই যে প্রদত্ত রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

এই উপপাদ্যটি স্পর্শক নির্মাণের সমস্যার সমাধানের উপর ভিত্তি করে। আসুন এই সমস্যার একটি সমাধান করা যাক।

একটি কাজ

O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের একটি প্রদত্ত বিন্দু A এর মাধ্যমে, এই বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকুন।

সমাধান

আসুন একটি রেখা O A আঁকুন, এবং তারপর রেখা O A-তে ঋজু A বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা p তৈরি করি। একটি স্পর্শকের মাপকাঠি অনুসারে, লাইন p হল প্রয়োজনীয় স্পর্শক।

কাজ

631. ধরা যাক d ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে p রেখা পর্যন্ত দূরত্ব। লাইন p এবং বৃত্তের আপেক্ষিক অবস্থান কি যদি: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 সেমি, d = 4.2 সেমি; c) r = 7.2 dm, (2 = 3.7 dm; d) r = 8 cm, d = 1.2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. A বিন্দু থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের চেয়ে কম। প্রমাণ করুন যে A বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া যেকোনো রেখা প্রদত্ত বৃত্তের সাপেক্ষে একটি সেকেন্ট।

633. একটি বর্গক্ষেত্র O ABC দেওয়া হয়েছে, যার বাহু 6 সেমি, এবং 5 সেমি ব্যাসার্ধের O বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত একটি বৃত্ত। এই বৃত্তের সাপেক্ষে OA, AB, BC এবং AC রেখাগুলির মধ্যে কোনটি সেকেন্ট?

634. O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের OM ব্যাসার্ধ জ্যা AB কে অর্ধেক ভাগ করে। প্রমাণ করুন যে M বিন্দুর মধ্য দিয়ে স্পর্শকটি জ্যা AB এর সমান্তরাল।

635. বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যা বৃত্তের A বিন্দু দিয়ে আঁকা হয়। তাদের মধ্যে কোণ খুঁজুন।

636. জ্যা AB এর প্রান্ত দিয়ে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান, দুটি স্পর্শক আঁকা হয়েছে, C বিন্দুতে ছেদ করছে। AC B কোণটি খুঁজুন।

637. ব্যাস AB এবং জ্যা AC-এর মধ্যে কোণ হল 30°। একটি স্পর্শক বিন্দু C এর মধ্য দিয়ে আঁকা হয় এবং D বিন্দুতে AB রেখাকে ছেদ করে। প্রমাণ করুন যে ত্রিভুজ ACD সমদ্বিবাহু।

638. রেখা AB B বিন্দুতে r ব্যাসার্ধের কেন্দ্র O দিয়ে একটি বৃত্ত স্পর্শ করে। OA = 2 সেমি এবং r = 1.5 সেমি হলে AB নির্ণয় করুন।

639. রেখা AB B বিন্দুতে r ব্যাসার্ধের কেন্দ্র O বিশিষ্ট একটি বৃত্তকে স্পর্শ করে। AB খুঁজে বের করুন যদি ∠AOB = 60° এবং r = 12 সেমি হয়।

640. 4.5 সেমি ব্যাসার্ধের কেন্দ্র O এবং একটি বিন্দু A বিশিষ্ট একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে। A বিন্দু দিয়ে বৃত্তের দুটি স্পর্শক আঁকা হয়েছে। OA = 9 সেমি হলে তাদের মধ্যে কোণ নির্ণয় করুন।

641. রেখাংশ AB এবং AC হল একটি বৃত্তের স্পর্শকগুলির রেখাংশ যার কেন্দ্র O বিন্দু A থেকে আঁকা হয়েছে। AO রেখাংশের মধ্যবিন্দুটি বৃত্তের উপর থাকলে BAC কোণটি সন্ধান করুন।

642. চিত্রে 213 OB = 3 সেমি, CM। = 6 সেমি। AB, AC, ∠3 এবং ∠4 নির্ণয় কর।

643. রেখা AB এবং AC B এবং C বিন্দুতে কেন্দ্র O সহ একটি বৃত্তকে স্পর্শ করে। BC নির্ণয় করুন যদি ∠OAB = 30°, AB = 5 সেমি।

644. MA এবং MB রেখাগুলি A এবং B বিন্দুতে O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের স্পর্শক। C বিন্দু B বিন্দুর সাপেক্ষে O বিন্দুতে প্রতিসম। প্রমাণ করুন যে ∠AMC = 3∠BMC।

645. একটি প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাস AB এর প্রান্ত থেকে, লম্ব AA 1 এবং BB 1 স্পর্শকটির দিকে টানা হয়, যা AB ব্যাসের সাথে লম্ব নয়। প্রমাণ করুন যে যোগাযোগের বিন্দুটি A 1 B 1 রেখাংশের মধ্যবিন্দু।

646. ABC ত্রিভুজে, কোণ B সমকোণ। প্রমাণ করুন যে: ক) রেখা BC একটি বৃত্তের স্পর্শক যার কেন্দ্র A ব্যাসার্ধ AB; b) রেখা AB হল একটি বৃত্তের স্পর্শক যার কেন্দ্র C ব্যাসার্ধ CB; c) লাইন AC কেন্দ্র B এবং ব্যাসার্ধ B A এবং BC সহ বৃত্তের স্পর্শক নয়।

647. রেখাংশ AN হল 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখা A বিন্দু থেকে একটি লম্ব আঁকা। রেখাটি AN বৃত্তের স্পর্শক যদি: a) CM। = 5 সেমি, AH = 4 সেমি; খ) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; গ) ∠HAO = 30°, O A = 6 সেমি?

648. কেন্দ্র O সহ একটি বৃত্তের একটি স্পর্শক তৈরি করুন: ক) একটি প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল; b) প্রদত্ত রেখার লম্ব।

কাজের উত্তর