Теорема. Симетралата на вътрешния ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни.
Доказателство. Разгледайте триъгълника ABC (фиг. 259) и ъглополовящата на неговия ъгъл B. Нека проведем права CM през връх C, успоредна на ъглополовящата VC, докато се пресече в точка M с продължението на страната AB. Тъй като VC е ъглополовящата на ъгъл ABC, тогава . Освен това, като съответни ъгли при успоредни прави и като напречно лежащи ъгли при успоредни прави. От тук и следователно - равнобедрен, откъде. Съгласно теоремата за успоредните прави, пресичащи страните на ъгъла, имаме и с оглед на това получаваме, което се изискваше да бъде доказано.
Симетралата на външния ъгъл B на триъгълника ABC (фиг. 260) има подобно свойство: отсечките AL и CL от върховете A и C до точката L на пресечната точка на ъглополовящата с продължението на страната AC са пропорционално на страните на триъгълника:
Това свойство се доказва по същия начин като предишното: на фиг. 260 е начертана спомагателна права SM, успоредна на ъглополовящата BL. Самият читател ще се убеди в равенството на ъглите BMC и BCM, а оттам и на страните BM и BC на триъгълника BMC, след което веднага ще се получи необходимата пропорция.
Можем да кажем, че ъглополовящата на външния ъгъл също разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни; необходимо е само да се съгласи да се разреши "външно разделяне" на сегмента.
Точката L, лежаща извън отсечката AC (на неговото продължение), го разделя външно по отношение на, ако Така че, симетралите на ъгъла на триъгълника (вътрешен и външен) разделят противоположната страна (вътрешна и външна) на части, пропорционални на съседните страни.
Задача 1. Страните на трапеца са 12 и 15, основите са 24 и 16. Намерете страните на триъгълника, образуван от голямата основа на трапеца и неговите разширени страни.
Решение. В обозначението на фиг. 261 имаме за отсечката, служеща за продължение на страничната страна, пропорцията, от която лесно намираме По подобен начин определяме втората странична страна на триъгълника Третата страна съвпада с голямата основа: .
Задача 2. Основите на трапеца са 6 и 15. Каква е дължината на отсечката, успоредна на основите и деляща страните в съотношение 1:2, като се брои от върховете на малката основа?
Решение. Нека се обърнем към фиг. 262, изобразяващ трапец. През върха C на малката основа прокарваме линия, успоредна на страничната страна AB, като отрязваме успоредник от трапеца. Тъй като , тогава от тук намираме . Следователно, целият неизвестен сегмент KL е равен на Отбележете, че за да решим този проблем, не е необходимо да знаем страните на трапеца.
Задача 3. Симетралата на вътрешния ъгъл B на триъгълник ABC разрязва страната AC на отсечки, на какво разстояние от върховете A и C ще пресече симетралата на външния ъгъл B продължението AC?
Решение. Всяка от ъглополовящите на ъгъл B разделя AC в същото съотношение, но едната вътрешно, а другата външно. Означаваме с L точката на пресичане на продължението на AC и ъглополовящата на външния ъгъл B. Тъй като AK Означаваме неизвестното разстояние AL до тогава и ще имаме пропорцията, чието решение ни дава необходимото разстояние
Направете сами рисунката.
Упражнения
1. Трапец с основи 8 и 18 се разделя с прави линии, успоредни на основите, на шест ленти с еднаква ширина. Намерете дължините на отсечките, разделящи трапеца на ленти.
2. Периметърът на триъгълника е 32. Симетралата на ъгъл A разделя страната BC на части, равни на 5 и 3. Намерете дължините на страните на триъгълника.
3. Основата на равнобедрен триъгълник е a, страната е b. Намерете дължината на отсечката, свързваща точките на пресичане на ъглите на ъглите на основата със страните.
Днес ще бъде много лесен урок. Ще разгледаме само един обект - ъглополовящата - и ще докажем най-важното му свойство, което ще ни бъде много полезно в бъдеще.
Просто не се отпускайте: понякога учениците, които искат да получат висок резултат на същия OGE или USE, в първия урок, дори не могат да формулират точното определение на ъглополовящата.
И вместо да вършим наистина интересни задачи, ние отделяме време за толкова прости неща. Така че четете, гледайте - и осиновете. :)
Като начало, малко странен въпрос: какво е ъгъл? Точно така: ъгълът е само два лъча, излизащи от една и съща точка. Например:
Примери за ъгли: остър, тъп и прав Както можете да видите от снимката, ъглите могат да бъдат остри, тъпи, прави - това вече няма значение. Често, за удобство, на всеки лъч се маркира допълнителна точка и казват, че имаме ъгъл $AOB$ (записан като $\angle AOB$).
Капитанът сякаш намеква, че освен лъчите $OA$ и $OB$, винаги може да се начертае куп лъчи от точката $O$. Но сред тях ще има една специална - тя се нарича бисектриса.
Определение. Симетралата на ъгъла е лъч, който излиза от върха на този ъгъл и разделя ъгъла.
За горните ъгли ъглите ще изглеждат така:
Примери за ъглополовящи за остри, тъпи и прави ъгли
Тъй като в реалните чертежи далеч не винаги е очевидно, че определен лъч (в нашия случай това е лъчът $OM$) разделя началния ъгъл на два равни, в геометрията е обичайно да се отбелязват равни ъгли с еднакъв брой дъги (в нашия чертеж това е 1 дъга за остър ъгъл, две за тъп, три за прав).
Добре, разбрахме дефиницията. Сега трябва да разберете какви свойства има бисектрисата.
Основно свойство на симетралата на ъгъла
Всъщност бисектрисата има много свойства. И определено ще ги разгледаме в следващия урок. Но има един трик, който трябва да разберете точно сега:
Теорема. Симетралата на ъгъла е мястото на точки, еднакво отдалечени от страните на дадения ъгъл.
Преведено от математически на руски, това означава два факта наведнъж:
- Всяка точка, лежаща върху ъглополовящата на ъгъл, е на същото разстояние от страните на този ъгъл.
- И обратно: ако една точка лежи на същото разстояние от страните на даден ъгъл, тогава тя гарантирано лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.
Преди да докажем тези твърдения, нека изясним една точка: какво всъщност се нарича разстоянието от точка до страна на ъгъл? Доброто старо определение за разстоянието от точка до права ще ни помогне тук:
Определение. Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра, изтеглен от тази точка до тази права.
Например, разгледайте права $l$ и точка $A$, които не лежат на тази права. Начертайте перпендикуляр $AH$, където $H\in l$. Тогава дължината на този перпендикуляр ще бъде разстоянието от точката $A$ до правата $l$.
Графично представяне на разстоянието от точка до права Тъй като ъгълът е само два лъча и всеки лъч е част от права, е лесно да се определи разстоянието от точка до страните на ъгъла. Това са само два перпендикуляра:
Определете разстоянието от точка до страните на ъгъл Това е всичко! Сега знаем какво е разстоянието и какво е ъглополовяща. Следователно можем да докажем основното свойство.
Както обещахме, разделяме доказателството на две части:
1. Разстоянията от точка на ъглополовящата до страните на ъгъла са еднакви
Да разгледаме произволен ъгъл с връх $O$ и бисектриса $OM$:
Нека докажем, че същата тази точка $M$ е на същото разстояние от страните на ъгъла.
Доказателство. Нека начертаем перпендикуляри от точката $M$ към страните на ъгъла. Нека ги наречем $M((H)_(1))$ и $M((H)_(2))$:
Начертайте перпендикуляри към страните на ъгъла
Имаме два правоъгълни триъгълника: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Те имат обща хипотенуза $OM$ и равни ъгли:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ по предположение (тъй като $OM$ е ъглополовяща);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ по конструкция;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, защото сумата острите ъгли на правоъгълен триъгълник винаги са равни на 90 градуса.
Следователно триъгълниците са равни по страна и два съседни ъгъла (вижте признаците за равенство на триъгълниците). Следователно, по-специално, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, т.е. разстоянията от точката $O$ до страните на ъгъла наистина са равни. Q.E.D. :)
2. Ако разстоянията са равни, тогава точката лежи върху ъглополовящата
Сега ситуацията е обратна. Нека са дадени ъгъл $O$ и точка $M$, равноотдалечени от страните на този ъгъл:
Нека докажем, че лъчът $OM$ е ъглополовяща, т.е. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.
Доказателство. Като начало, нека нарисуваме точно този лъч $OM$, в противен случай няма да има какво да се доказва:
Прекара лъча $OM$ в ъгъла
Отново имаме два правоъгълни триъгълника: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очевидно те са равни, защото:
- Хипотенузата $OM$ е често срещана;
- Катетата $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ по условие (защото точката $M$ е еднакво отдалечена от страните на ъгъла);
- Останалите крака също са равни, т.к по теоремата на Питагор $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Следователно триъгълници $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$ от три страни. По-специално, техните ъгли са равни: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. И това просто означава, че $OM$ е ъглополовяща.
В заключение на доказателството отбелязваме образуваните равни ъгли с червени дъги:
Симетралата разделя ъгъла $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ на две равни
Както виждате, нищо сложно. Доказахме, че ъглополовящата на ъгъл е мястото на точки, еднакво отдалечени от страните на този ъгъл. :)
Сега, когато малко или много сме решили терминологията, е време да преминем на ново ниво. В следващия урок ще анализираме по-сложни свойства на бисектрисата и ще се научим как да ги прилагаме за решаване на реални задачи.
Здравей отново! Първото нещо, което искам да ви покажа в това видео, е какво представлява теоремата за ъглополовящи, второто е да ви дам нейното доказателство. И така, имаме произволен триъгълник, триъгълник ABC. И тук ще начертая ъглополовящата на този горен ъгъл. Това може да се направи за всеки от трите ъгъла, но аз избрах горния (това ще направи доказателството на теоремата малко по-лесно). И така, нека начертаем ъглополовящата на този ъгъл, ABC. И сега този ляв ъгъл е равен на този десен ъгъл. Нека наречем пресечната точка на ъглополовящата със страна AC D. Теоремата за ъглополовящата казва, че съотношението на страните, разделени от тази ъглополовяща... Е, виждате: начертах ъглополовяща - и от големия триъгълник ABC се обърнаха два по-малки триъгълника навън. Така че, според теоремата за ъглополовящи, съотношенията между другите две страни на тези по-малки триъгълници (т.е. без да се включва страната на ъглополовящи) ще бъдат равни. Тези. тази теорема казва, че съотношението AB/AD ще бъде равно на съотношението BC/CD. Ще го маркирам с различни цветове. Съотношението на AB (тази страна) към AD (от тази страна) ще бъде равно на съотношението на BC (тази страна) към CD (от тази страна). Интересно! Съотношението на тази страна към тази страна е равно на съотношението на тази страна към тази ... Отличен резултат, но едва ли ще повярвате на думата ми и искате да сте сигурни, че ще го докажем сами. И може би се досещате, че тъй като сега имаме някои установени съотношения на аспектите, тогава ще докажем теоремата, използвайки сходството на триъгълниците. За съжаление за нас тези два триъгълника не са непременно сходни. Знаем, че тези два ъгъла са равни, но не знаем, например, дали този ъгъл (BAD) е равен на този (BCD). Ние не знаем и не можем да правим такива предположения. За да установим такова равенство, може да се наложи да построим друг триъгълник, който ще бъде подобен на един от триъгълниците на тази фигура. И един от начините да направите това е да начертаете друга линия. Честно казано, това доказателство беше неразбираемо за мен, когато за първи път изучавах тази тема, така че ако сега е неразбираемо за вас, всичко е наред. Ами ако разширим тази ъглополовяща на този ъгъл точно тук? Да го удължим... Да кажем, че продължава безкрайно. Може би можем да построим триъгълник като този триъгълник, BDA, ако начертаем линия тук долу, успоредна на AB? Нека се опитаме да направим това. По свойството на успоредните прави, ако точката C не принадлежи на отсечката AB, тогава през точката C винаги е възможно да се направи права, успоредна на отсечката AB. Тогава нека вземем друг сегмент тук. Нека наречем тази точка F. И да предположим, че тази отсечка FC е успоредна на отсечката AB. Сегментът FC е успореден на отсечката AB... Нека го запиша: FC е успореден на AB. И сега имаме някои интересни точки тук. Като начертаем отсечка, успоредна на отсечка AB, построихме триъгълник, подобен на триъгълник BDA. Да видим как се оказа. Преди да говорим за сходството, нека първо помислим какво знаем за някои от ъглите, образувани тук. Знаем, че тук има вътрешни кръстосани ъгли. Вземете същите успоредни прави... Е, можете да си представите, че AB продължава безкрайно, а FC продължава безкрайно. А отсечката BF в този случай е секуща. Тогава какъвто и да е този ъгъл, ABD, този ъгъл, CFD, ще бъде равен на него (по свойството на вътрешните напречно разположени ъгли). Много пъти сме срещали такива ъгли, когато говорихме за ъглите, образувани, когато успоредни прави пресичат секуща. Така че тези два ъгъла ще бъдат равни. Но този ъгъл, DBC, и този, CFD, също ще бъдат равни, т.к ъглите ABD и DBC са равни. В крайна сметка BD е ъглополовяща, което означава, че ъгълът ABD е равен на ъгъла DBC. И така, каквито и да са тези два ъгъла, ъгълът на CFD ще бъде равен на тях. И това води до интересен резултат. Защото се оказва, че в този по-голям триъгълник BFC ъглите при основата са равни. А това от своя страна означава, че триъгълникът BFC е равнобедрен. Тогава страна BC трябва да бъде равна на страна FC. BC трябва да е равно на FC. Отлично! Използвахме свойството на вътрешните кръстосани ъгли, образувани от секущата, за да покажем, че триъгълникът BFC е равнобедрен и следователно страните BC и FC са равни. И това може да ни бъде полезно, т.к. знаем това... Е, ако не знаем, то поне усещаме, че тези два триъгълника ще се окажат подобни. Все още не сме го доказали. Но как това, което току-що доказахме, може да ни помогне да научим нещо за VS страната? Е, току-що доказахме, че страната BC е равна на страната FC. Ако можем да докажем, че съотношението AB/AD е равно на отношението FC/CD, считаме, че работата е свършена, защото току-що доказахме, че BC = FC. Но да не се обръщаме към теоремата – да стигнем до нея в резултат на доказателството. И така, фактът, че отсечката FC е успоредна на AB, ни помогна да разберем, че триъгълникът BFC е равнобедрен и неговите страни BC и FC са равни. Сега нека разгледаме други ъгли тук. Ако погледнем триъгълник ABD (този) и триъгълник FDC, вече разбрахме, че те имат една двойка равни ъгли. Но също така този ъгъл на триъгълник ABD е вертикален спрямо този ъгъл на триъгълник FDC, което означава, че тези ъгли са равни. И знаем, че ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла на друг (е, тогава третите съответни ъгли също ще бъдат равни), тогава по знака на подобие на триъгълници при два ъгъла можем да заключим, че тези два триъгълниците са подобни. ще го запиша. И трябва да се уверите, че при писане върховете съответстват един на друг. И така, въз основа на сходството на двата ъгъла, ние знаем... И ще започна с ъгъла, отбелязан в зелено. Знаем, че триъгълник B... След това отидете до ъгъла, отбелязан в синьо... Триъгълник BDA е подобен на триъгълник... И отново започнете от ъгъла, маркиран в зелено: F (след това отидете до ъгъла, отбелязан в синьо) ... Подобно на триъгълник FDC. Сега да се върнем към теоремата за ъглополовящите. Интересуваме се от съотношението AB/AD. Съотношението на AB към AD... Както вече знаем, съотношенията на съответните страни на подобни триъгълници са равни. Или може да се намери съотношението на двете страни на един подобен триъгълник и да се сравни със съотношението на съответните страни на друг подобен триъгълник. Те също трябва да са равни. И така, тъй като триъгълниците BDA и FDC са сходни, отношението AB... Е, между другото, триъгълниците са подобни в два ъгъла, така че ще го запиша тук. Защото триъгълниците са подобни, тогава знаем, че съотношението AB/AD ще бъде... И можем да погледнем тук твърдението за подобие, за да намерим съответните страни. Страната, съответстваща на AB, е страната CF. Тези. AB/AD е равно на CF, разделено на... Страната AD е странична CD. Така че CF/CD. И така, получаваме следното съотношение: AB/AD=CF/CD. Но ние вече доказахме, че (тъй като BFC е равнобедрен триъгълник) CF е равно на BC. Така че тук можем да заменим CF с BC. Това трябваше да се докаже. Доказахме, че AB/AD=BC/CD. И така, за да се докаже тази теорема, е необходимо първо да се построи още един триъгълник, този. И ако приемем, че сегментите AB и CF са успоредни, можете да получите два съответни равни ъгъла на два триъгълника - това от своя страна показва сходството на триъгълниците. След като построим друг триъгълник, освен че тук има два подобни триъгълника, ще можем да докажем и че този по-голям триъгълник е равнобедрен. И тогава можем да кажем: съотношението между тази и тази страна на един подобен триъгълник е равно на съотношението на съответните страни (тази и тази) на друг подобен триъгълник. А това означава, че сме доказали, че съотношението между тази и тази страна е равно на отношението BC/CD. Q.E.D. Ще се видим!
