Смятате ли, че има още време до изпита и ще имате време да се подготвите? Може би това е така. Но във всеки случай, колкото по-рано ученикът започне обучението, толкова по-успешно преминава изпитите. Днес решихме да посветим статия на логаритмичните неравенства. Това е една от задачите, което означава възможност за получаване на допълнителна точка.
Знаете ли вече какво е логаритъм (log)? Силно се надяваме. Но дори и да нямате отговор на този въпрос, това не е проблем. Много е лесно да се разбере какво е логаритъм.
Защо точно 4? Трябва да увеличите числото 3 до такава степен, че да получите 81. Когато разберете принципа, можете да продължите към по-сложни изчисления.
Преминахте през неравенствата преди няколко години. И оттогава постоянно ги срещаш в математиката. Ако имате проблеми с решаването на неравенства, вижте съответния раздел.
Сега, когато се запознахме с понятията поотделно, ще преминем към тяхното разглеждане като цяло.
Най-простото логаритмично неравенство.
Най-простите логаритмични неравенства не се ограничават до този пример, има още три, само с различни знаци. Защо е необходимо това? За да разберете по-добре как да решавате неравенство с логаритми. Сега даваме по-приложим пример, все още доста прост, оставяме сложните логаритмични неравенства за по-късно.
Как да го решим? Всичко започва с ODZ. Трябва да знаете повече за това, ако искате винаги лесно да решавате всяко неравенство.
Какво е ODZ? DPV за логаритмични неравенства
Съкращението означава обхвата на валидните стойности. В задачите за изпита тази формулировка често изскача. DPV е полезно за вас не само в случай на логаритмични неравенства.
Погледнете отново горния пример. Ще разгледаме ODZ въз основа на него, за да разберете принципа и решението на логаритмичните неравенства не повдига въпроси. От дефиницията на логаритъма следва, че 2x+4 трябва да е по-голямо от нула. В нашия случай това означава следното.
Това число трябва да е положително по дефиниция. Решете представеното по-горе неравенство. Това дори може да се направи устно, тук е ясно, че X не може да бъде по-малко от 2. Решението на неравенството ще бъде дефинирането на диапазона от допустими стойности.
Сега нека преминем към решаването на най-простото логаритмично неравенство.
Изхвърляме самите логаритми от двете части на неравенството. Какво ни остава като резултат? просто неравенство.
Лесно е за решаване. X трябва да е по-голямо от -0,5. Сега комбинираме двете получени стойности в системата. По този начин,
Това ще бъде областта на допустимите стойности за разглежданото логаритмично неравенство.
Защо изобщо е необходим ODZ? Това е възможност да отсеете грешните и невъзможни отговори. Ако отговорът не е в обхвата на приемливите стойности, тогава отговорът просто няма смисъл. Това си струва да запомните за дълго време, тъй като на изпита често има нужда да търсите ODZ и това се отнася не само за логаритмични неравенства.
Алгоритъм за решаване на логаритмично неравенство
Решението се състои от няколко стъпки. Първо, необходимо е да се намери обхватът на приемливите стойности. Ще има две стойности в ODZ, разгледахме това по-горе. Следващата стъпка е да се реши самото неравенство. Методите за решение са както следва:
- метод за заместване на множителя;
- разграждане;
- метод на рационализация.
В зависимост от ситуацията трябва да се използва един от горните методи. Да преминем направо към решението. Ще разкрием най-популярния метод, който е подходящ за решаване на USE задачи в почти всички случаи. След това ще разгледаме метода на разлагане. Може да помогне, ако попаднете на особено „сложно“ неравенство. И така, алгоритъмът за решаване на логаритмичното неравенство.
Примери за решения :
Не напразно взехме точно такова неравенство! Обърнете внимание на основата. Запомнете: ако е по-голямо от едно, знакът остава същият при намиране на диапазона от валидни стойности; в противен случай знакът за неравенство трябва да се промени.
В резултат на това получаваме неравенството:
Сега привеждаме лявата страна към формата на уравнението, равна на нула. Вместо знака "по-малко" поставяме "равно", решаваме уравнението. Така ще намерим ODZ. Надяваме се, че няма да имате проблеми с решаването на такова просто уравнение. Отговорите са -4 и -2. Това не е всичко Трябва да покажете тези точки на диаграмата, като поставите "+" и "-". Какво трябва да се направи за това? Заместете числата от интервалите в израза. Когато стойностите са положителни, поставяме "+" там.
Отговор: x не може да бъде по-голямо от -4 и по-малко от -2.
Намерихме диапазона от валидни стойности само за лявата страна, сега трябва да намерим диапазона от валидни стойности за дясната страна. Това в никакъв случай не е по-лесно. Отговор: -2. Пресичаме двете получени области.
И едва сега започваме да решаваме самото неравенство.
Нека го опростим максимално, за да улесним вземането на решение.
Отново използваме интервалния метод в решението. Нека пропуснем изчисленията, с него всичко вече е ясно от предишния пример. Отговор.
Но този метод е подходящ, ако логаритмичното неравенство има еднакви основи.
Решаването на логаритмични уравнения и неравенства с различни основи включва първоначално свеждане до една основа. След това използвайте горния метод. Но има и по-сложен случай. Помислете за един от най-сложните видове логаритмични неравенства.
Логаритмични неравенства с променлива основа
Как се решават неравенства с такива характеристики? Да, и такива могат да бъдат намерени на изпита. Решаването на неравенства по следния начин също ще се отрази благоприятно на учебния ви процес. Нека разгледаме въпроса в детайли. Нека оставим теорията настрана и да преминем направо към практиката. За решаване на логаритмични неравенства е достатъчно веднъж да се запознаете с примера.
За да решите логаритмичното неравенство на представената форма, е необходимо да приведете дясната страна към логаритъма със същата основа. Принципът наподобява еквивалентни преходи. В резултат на това неравенството ще изглежда така.
Всъщност остава да се създаде система от неравенства без логаритми. Използвайки метода на рационализация, преминаваме към еквивалентна система от неравенства. Ще разберете самото правило, когато замените подходящите стойности и следвате техните промени. Системата ще има следните неравенства.
Използвайки метода на рационализация, когато решавате неравенства, трябва да запомните следното: трябва да извадите едно от основата, x, по дефиниция на логаритъма, се изважда от двете части на неравенството (дясната от лявата), два израза се умножават и поставят под първоначалния знак спрямо нула.
По-нататъшното решение се извършва по интервалния метод, тук всичко е просто. Важно е да разберете разликите в методите за решаване, тогава всичко ще започне да се получава лесно.
В логаритмичните неравенства има много нюанси. Най-простите от тях са достатъчно лесни за решаване. Как да направите така, че да решите всеки от тях без проблеми? Вече сте получили всички отговори в тази статия. Сега ви предстои дълга практика. Постоянно практикувайте решаването на различни задачи в рамките на изпита и ще можете да получите най-висок резултат. Успех в трудната работа!
Сред цялото разнообразие от логаритмични неравенства отделно се изучават неравенствата с променлива основа. Те се решават по специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище. Презентацията представя решения на задачи C3 USE - 2014 по математика.
Изтегли:
Преглед:
За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Решаване на логаритмични неравенства, съдържащи променлива в основата на логаритъма: методи, техники, еквивалентни преходи учител по математика MBOU средно училище № 143 Knyazkina T.V.
Сред цялото разнообразие от логаритмични неравенства отделно се изучават неравенствата с променлива основа. Те се решават с помощта на специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Вместо квадратчето за отметка „∨“ можете да поставите произволен знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че и в двете неравенства знаците са еднакви. Така че се отърваваме от логаритмите и свеждаме проблема до рационално неравенство. Последното е много по-лесно за решаване, но при изхвърляне на логаритми може да се появят допълнителни корени. За да ги отрежете, достатъчно е да намерите обхвата на допустимите стойности. Не забравяйте ODZ на логаритъма! Всичко, свързано с обхвата на приемливите стойности, трябва да бъде написано и решено отделно: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Тези четири неравенства съставляват система и трябва да се изпълняват едновременно. Когато се намери диапазонът от приемливи стойности, остава да се пресече с решението на рационално неравенство - и отговорът е готов.
Решете неравенството: Решение Като начало нека напишем ODZ на логаритъма.Първите две неравенства се изпълняват автоматично, а последното ще трябва да се рисува. Тъй като квадратът на число е равен на нула тогава и само ако самото число е равно на нула, имаме: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . Оказва се, че ODZ на логаритъма са всички числа с изключение на нула: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Сега решаваме основното неравенство: Извършваме прехода от логаритмичното неравенство към рационалното. Първоначалното неравенство има знак „по-малко от“, което означава, че полученото неравенство също трябва да има знак „по-малко от“.
Имаме: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)
Преобразуване на логаритмични неравенства Често първоначалното неравенство се различава от горното. Това е лесно да се коригира с помощта на стандартните правила за работа с логаритми. А именно: Всяко число може да бъде представено като логаритъм с дадена основа; Сумата и разликата на логаритми с една и съща основа могат да бъдат заменени с един логаритъм. Отделно искам да ви напомня за диапазона от допустими стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритма, е необходимо да се намери DPV на всеки от тях. Така общата схема за решаване на логаритмични неравенства е следната: Намерете ODZ за всеки логаритъм, включен в неравенството; Редуцирайте неравенството до стандартното, като използвате формулите за събиране и изваждане на логаритми; Решете полученото неравенство по горната схема.
Решете неравенството: Решение Да намерим дефиниционната област (ODZ) на първия логаритъм: Решаваме по метода на интервалите. Намерете нулите на числителя: 3 x − 2 = 0; х = 2/3. След това - нули в знаменателя: x − 1 = 0; x = 1. Маркираме нули и знаци на координатната линия:
Получаваме x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Вторият логаритъм на ODZ ще бъде същият. Ако не ми вярвате, можете да проверите. Сега нека трансформираме втория логаритъм, така че да има две в основата: Както виждате, тройките в основата и пред логаритъма са намалени. Вземете два логаритма с една и съща основа. Съберете ги: log 2 (x − 1) 2
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)
Интересуваме се от пресечната точка на множества, така че избираме интервалите, защриховани на двете стрелки. Получаваме: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - всички точки са пробити. Отговор: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
Решаване на задачи от Единния държавен изпит-2014 тип C3
Решете системата от неравенства Решение. ODZ: 1) 2)
Решете системата от неравенства 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (продължение)
Решете системата от неравенства 4) Общо решение: и -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (продължение)
Решете неравенството (продължение) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Решете неравенството Решение. ODZ:
Решете неравенството (продължение)
Решете неравенството Решение. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА
Сечин Михаил Александрович
Малка академия на науките за ученици на Република Казахстан "Търсач"
MBOU "Съветско средно училище № 1", 11 клас, гр. Съветски съветски район
Гунко Людмила Дмитриевна, учител на МБОУ "Съветско средно училище № 1"
Съветски район
Обективен:изследване на механизма за решаване на С3 логаритмични неравенства чрез нестандартни методи, разкриващи интересни факти за логаритъма.
Предмет на изследване:
3) Научете се да решавате конкретни логаритмични C3 неравенства, като използвате нестандартни методи.
Резултати:
Съдържание
Въведение……………………………………………………………………………….4
Глава 1. Предистория………………………………………………………...5
Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7
2.1. Еквивалентни преходи и обобщеният метод на интервалите…………… 7
2.2. Метод на рационализация ………………………………………………… 15
2.3. Нестандартно заместване……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2.4. Задачи с капани……………………………………………………… 27
Заключение……………………………………………………………………… 30
Литература………………………………………………………………………. 31
Въведение
Аз съм в 11 клас и смятам да вляза в университет, където математиката е основен предмет. И затова работя много със задачите от част C. В задача C3 трябва да решите нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Докато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с липсата на методи и техники за решаване на изпитните логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методите, които се изучават в училищната програма по тази тема, не дават основа за решаване на задачи C3. Учителката по математика ми предложи сама да работя със задачите С3 под нейно ръководство. Освен това се интересувах от въпроса: има ли логаритми в нашия живот?
С оглед на това беше избрана темата:
"Логаритмични неравенства на изпита"
Обективен:изследване на механизма за решаване на задачи С3 чрез нестандартни методи, разкриващи интересни факти за логаритъма.
Предмет на изследване:
1) Намерете необходимата информация за нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.
2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.
3) Научете се да решавате специфични проблеми на C3, като използвате нестандартни методи.
Резултати:
Практическото значение е в разширяването на апарата за решаване на задачи С3. Този материал може да се използва в някои уроци, за провеждане на кръгове, факултативни часове по математика.
Продукт на проекта ще бъде сборникът „Логаритмични C3 неравенства с решения“.
Глава 1. Предистория
През 16 век броят на приблизителните изчисления нараства бързо, предимно в астрономията. Усъвършенстването на инструментите, изучаването на движенията на планетите и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха и в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими таблици със сложни лихви за различни процентни стойности. Основната трудност беше умножението, деленето на многоцифрени числа, особено тригонометричните величини.
Откриването на логаритмите се основава на добре известните свойства на прогресиите в края на 16 век. Архимед говори за връзката между членовете на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметичната прогресия на техните показатели 1, 2, 3, ... в Псалмита. Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори посочват, че умножението, делението, повишаването на степен и извличането на корен съответстват в аритметика - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.
Тук беше идеята за логаритъма като показател.
В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.
Етап 1
Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бурги (1552-1632). И двамата искаха да осигурят ново удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Напиер изразява кинематично логаритмичната функция и по този начин навлиза в нова област на теорията на функциите. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "връзка" и ariqmo - "число", което означаваше "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - "изкуствени числа", за разлика от numeri naturalts - "естествени числа".
През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се вземе нула за логаритъм от едно и 100 за логаритъм от десет, или каквото се равнява на същото , просто 1. Така са отпечатани десетичните логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и математик Андриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите преди всеки друг, публикуваха своите таблици по-късно от другите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "натурален логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г., последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Спадел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".
На руски език първите логаритмични таблици са публикувани през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици бяха направени грешки при изчислението. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин в обработката на немския математик К. Бремикер (1804-1877).
Етап 2
По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широкото приложение на аналитичната геометрия и инфинитезималното смятане. По това време е установена връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.
Немският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в своето есе
"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, която дава разширението на ln(x + 1) по отношение на
мощности x:
Този израз точно отговаря на хода на неговата мисъл, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромави символи. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В своите лекции "Елементарна математика от по-висока гледна точка", прочетени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага да се използва формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.
Етап 3
Дефиниция на логаритмична функция като функция на обратната
експоненциален, логаритъм като показател на дадена основа
не е формулиран веднага. Работата на Леонхард Ойлер (1707-1783)
„Въведение в анализа на безкрайно малки“ (1748) служи като по-нататък
развитие на теорията на логаритмичната функция. По този начин,
Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите
(броене от 1614 г.), преди математиците да излязат с дефиниция
концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.
Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства
2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.
Еквивалентни преходи
ако a > 1
ако 0 <
а <
1
Обобщен интервален метод
Този метод е най-универсалният при решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Схемата за решение изглежда така:
1. Приведете неравенството в такъв вид, където функцията е разположена от лявата страна 
, и 0 вдясно.
2. Намерете обхвата на функцията .
3. Намерете нулите на функция , тоест решаване на уравнението 
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).
4. Начертайте област на дефиниция и нули на функцията върху реална права.
5. Определете знаците на функцията на получените интервали.
6. Изберете интервалите, в които функцията приема необходимите стойности, и запишете отговора.
Пример 1
Решение:
Приложете метода на интервала
където
За тези стойности всички изрази под знаците на логаритмите са положителни.
Отговор:
Пример 2
Решение:
1-во начин . ОДЗ се определя от неравенството х> 3. Вземане на логаритми за такива хв база 10, получаваме
Последното неравенство може да бъде решено чрез прилагане на правилата за разлагане, т.е. сравняване на фактори с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянство на функцията
така че може да се приложи интервалният метод.
функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснато за х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянство на функцията f(х):
Отговор:
2-ри начин . Нека приложим идеите на метода на интервалите директно към първоначалното неравенство.
За това припомняме, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство за х> 3 е еквивалентно на неравенството
или
Последното неравенство се решава по интервалния метод
Отговор:
Пример 3
Решение:
Приложете метода на интервала
Отговор:
Пример 4
Решение:
От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, тогава
За решаване на второто неравенство използваме интервалния метод
В първото неравенство правим промяната
тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.
Откъде, защото
получаваме неравенството
която се извършва с х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме
Отговор:
Пример 5
Решение:
Неравенството е еквивалентно на набор от системи
или
Приложете метода на интервала или
Отговор:
Пример 6
Решение:
Неравенството е равносилно на система
Позволявам
тогава г > 0,
и първото неравенство
системата приема формата
или разширяване
квадратен трином на множители,
Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,
виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.
Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:
И така, решенията на неравенството са всички
2.2. метод на рационализация.
Преди това методът за рационализиране на неравенството не беше решен, не беше известен. Това е "нов съвременен ефективен метод за решаване на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на Колесникова С.И.)
И дори ако учителят го познаваше, имаше страх - но познава ли го USE експертът и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят казваше на ученика: "Откъде го взе? Седни - 2."
Сега методът се рекламира навсякъде. И за експертите има насоки, свързани с този метод, и в "Най-пълните издания на стандартни опции ..." в решение C3, този метод се използва.
МЕТОДА Е СТРАХОТЕН!
"Магическа маса"
В други източници
ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;
ако a >1 и 0 ако 0<а<1 и b
>1, след това регистрирайте a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0. Горното разсъждение е просто, но значително опростява решението на логаритмичните неравенства. Пример 4
log x (x 2 -3)<0
Решение:
Пример 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Решение: Пример 6
За да разрешим това неравенство, пишем (x-1-1) (x-1) вместо знаменателя и произведението (x-1) (x-3-9 + x) вместо числителя. Пример 7
Пример 8
2.3. Нестандартна замяна. Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Нека направим заместването y=3 x -1; тогава това неравенство приема формата log 4 log 0,25 защото log 0,25 Нека направим замяна t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, решението на което е интервалите - По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две най-прости неравенства Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от две експоненциални неравенства, Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8
Решение:
Неравенството е равносилно на система Решението на второто неравенство, което определя ODZ, ще бъде множеството от тези х,
за което х > 0.
За да решим първото неравенство, правим промяната Тогава получаваме неравенството или Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода интервали: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме или Много от тези х, които удовлетворяват последното неравенство принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно е решение на системата, и оттам първоначалното неравенство. Отговор: 2.4. Задачи с капани. Пример 1
Решение. ODZ на неравенството е всички x, които отговарят на условието 0 Пример 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Отговор. (0; 0,5) U .
Отговор :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Решението на тази колекция са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.
тоест агрегати 
. По този начин първоначалното неравенство е в сила за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Следователно всички x от интервала 0
Заключение
Не беше лесно да се намерят специални методи за решаване на задачи C3 от голямо разнообразие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите, метод на рационализация , нестандартна замяна , задачи с капани на ОДЗ. Тези методи отсъстват от училищната програма.
Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени на USE в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи са в основата на колекцията "Логаритмични С3 неравенства с решения", която стана проектният продукт на моята дейност. Хипотезата, която изложих в началото на проекта, беше потвърдена: проблемите на C3 могат да бъдат ефективно решени, ако тези методи са известни.
Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да го направя. Продуктите от моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.
Изводи:
Така целта на проекта е постигната, проблемът е решен. И получих най-пълния и многостранен опит в проектните дейности на всички етапи на работа. В хода на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически умствени операции, развитие на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство и активност.
Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за станах: значителен училищен опит, способност да извличам информация от различни източници, да проверявам нейната надеждност, да я класирам по значимост.
В допълнение към знанията по математика, той разширява практическите си умения в областта на компютърните науки, придобива нови знания и опит в областта на психологията, установява контакти със съученици и се научава да си сътрудничи с възрастни. В хода на дейностите по проекта бяха развити организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения и способности.
Литература
1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (типични задачи С3).
2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.
3. С. С. Самарова, Решение на логаритмични неравенства.
4. Математика. Колекция от учебни работи под редакцията на A.L. Семьонов и И.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
С тях са вътрешни логаритми.
Примери:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Как се решават логаритмични неравенства:
Всяко логаритмично неравенство трябва да се редуцира до формата \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (символът \(˅\) означава всяко от ). Тази форма ни позволява да се отървем от логаритмите и техните бази, като преминем към неравенството на изразите под логаритми, тоест към формата \(f(x) ˅ g(x)\).
Но когато правите този преход, има една много важна тънкост:
\(-\) ако - число и е по-голямо от 1 - знакът за неравенство остава същият по време на прехода,
\(-\) ако основата е число, по-голямо от 0, но по-малко от 1 (между нула и едно), тогава знакът за неравенство трябва да бъде обърнат, т.е.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Решение: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ едно))\) Решение: |
Много важно!Във всяко неравенство преходът от формата \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) към сравняване на изрази под логаритми може да се извърши само ако:
Пример . Решете неравенството: \(\log\)\(≤-1\)
Решение:
|
\(\дневник\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Да изпишем ОДЗ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Отваряме скобите, даваме . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Умножаваме неравенството по \(-1\), като не забравяме да обърнем знака за сравнение. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Нека изградим числова ос и маркираме точките \(\frac(7)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) върху нея. Обърнете внимание, че точката от знаменателя е пробита, въпреки факта, че неравенството не е строго. Факт е, че тази точка няма да бъде решение, тъй като при заместване в неравенство ще ни доведе до деление на нула. |
|
|
Сега начертаваме ODZ на същата цифрова ос и записваме в отговор интервала, който попада в ODZ. |
|
|
Запишете крайния отговор. |
Пример . Решете неравенството: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Решение:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Да изпишем ОДЗ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Да пристъпим към решението. |
|
Решение: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Пред нас е типично квадратно-логаритмично неравенство. Ние правим. |
|
\(t=\log_3x\) |
Разгънете лявата страна на неравенството в . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Сега трябва да се върнете към първоначалната променлива - x. За да направим това, преминаваме към , което има същото решение, и правим обратното заместване. |
|
|
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Трансформирайте \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(gathered) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Нека да преминем към сравняване на аргументи. Основите на логаритмите са по-големи от \(1\), така че знакът на неравенствата не се променя. |
|
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Нека обединим решението на неравенството и ОДЗ в една фигура. |
|
|
Нека запишем отговора. |
Решението на най-простите логаритмични неравенства и неравенства, където основата на логаритъма е фиксирана, разгледахме в последния урок.
Но какво ще стане, ако основата на логаритъма е променлива?
Тогава ние ще се притечем на помощ рационализиране на неравенствата.За да разберем как работи това, нека разгледаме например неравенството:
$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$
Както се очакваше, нека започнем с ODZ.
ОДЗ
$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$
Решаване на неравенството
Нека разсъждаваме така, сякаш решаваме неравенство с фиксирана основа. Ако основата е по-голяма от едно, ние се отърваваме от логаритмите и знакът за неравенство не се променя, ако е по-малък от едно, той се променя.
Нека го запишем като система:
$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(масив)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
За по-нататъшни разсъждения прехвърляме всички десни части на неравенствата вляво.
$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Какво получихме? Оказа се, че имаме нужда изразите `2x-1` и `x^2 - x` да бъдат или положителни, или отрицателни едновременно. Същият резултат ще се получи, ако решим неравенството:
$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$
Това неравенство, подобно на оригиналната система, е вярно, ако и двата фактора са положителни или отрицателни. Оказва се, че е възможно да се премине от логаритмичното неравенство към рационалното (като се вземе предвид ODZ).
Да формулираме рационализиращ метод за логаритмични неравенства$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Ляво-дясна стрелка (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ където `\vee` е всеки знак за неравенство. (За знака `>` току-що проверихме валидността на формулата. За останалото предлагам да проверите сами - така ще се запомни по-добре).
Да се върнем към решението на нашето неравенство. Разгъвайки се в скоби (за да видите по-добре нулите на функцията), получаваме
$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$
Интервалният метод ще даде следната картина:
(Тъй като неравенството е строго и краищата на интервалите не ни интересуват, те не се попълват.) Както се вижда, получените интервали удовлетворяват ODZ. Получих отговора: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.
Втори пример. Решение на логаритмично неравенство с променлива основа
$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$
ОДЗ
$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end(array)\right.$$
$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(array)\right.$$
Решаване на неравенството
Според правилото, което току-що получихме рационализиране на логаритмични неравенства,получаваме, че това неравенство е идентично (като се вземе предвид ODZ) на следното:
$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$
$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$
Комбинирайки това решение с ODZ, получаваме отговора: `(1,2)`.
Трети пример. Логаритъм на дроб
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$
ОДЗ
$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $
Тъй като системата е сравнително сложна, нека веднага да начертаем решението на неравенствата на числовата ос:
Така ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.
Решаване на неравенството
Нека представим „-1“ като логаритъм с основа „x“.
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$
Като се използва рационализиране на логаритмичното неравенствополучаваме рационално неравенство:
$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$
