При диференциране на експоненциална степенна функция или тромави дробни изрази е удобно да се използва логаритмична производна. В тази статия ще разгледаме примери за неговото приложение с подробни решения.

По-нататъшното представяне предполага умение да се използва таблицата с производни, правилата за диференциране и познаване на формулата за производната на сложна функция.

Извеждане на формулата за логаритмична производна.

Първо вземаме логаритъм при основа e, опростяваме формата на функцията, използвайки свойствата на логаритъма и след това намираме производната на неявно дадената функция:

Например, нека намерим производната на експоненциалната степенна функция x на степен x.

Логаритъмът дава . Според свойствата на логаритъма. Диференцирането на двете части на равенството води до резултата:

Отговор: .

Същият пример може да бъде решен без използване на логаритмична производна. Можете да направите някои трансформации и да преминете от диференциране на експоненциална степенна функция до намиране на производната на сложна функция:

Пример.

Намерете производната на функция .

Решение.

В този пример функцията е дроб и нейната производна може да се намери с помощта на правилата за диференциране. Но поради тромавия израз това ще изисква много трансформации. В такива случаи е по-разумно да се използва формулата за логаритмична производна . Защо? Сега ще разбереш.

Нека първо го намерим. При трансформациите ще използваме свойствата на логаритъма (логаритъмът на дроб е равен на разликата на логаритмите, а логаритъмът на произведението е равен на сумата от логаритмите и степента на израза под знакът на логаритъма също може да бъде изваден като коефициент пред логаритъма):

Тези трансформации ни доведоха до доста прост израз, чиято производна е лесна за намиране:

Заместваме получения резултат във формулата за логаритмична производна и получаваме отговора:

За да консолидираме материала, даваме още няколко примера без подробни обяснения.

Пример.

Намерете производната на експоненциална степенна функция

сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме покрития материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови трикове и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решениякоето ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и разрешите всичкопримерите, които съм дал. Този урок логично е трети поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? Да, и това е достатъчно! ”, Тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат на практика.

Да започнем с повторение. На урока Производна на сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаване на диференциално смятане и други раздели на математическия анализ ще трябва да диференцирате много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисувате примери в големи подробности. Затова ще се упражняваме в устното намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простата от сложните функции, например:

Според правилото за диференциране на сложна функция :

При изучаване на други теми на матан в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: "Колко е производната на тангенса на две x?". Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете следните производни устно, в една стъпка, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако вече не се е сетила). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 прикачени функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще изглеждат сложни за някои, но ако се разберат (някой страда), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, когато се намира производната на сложна функция, на първо място е необходимо точноРАЗБЕРЕТЕ ИНВЕСТИЦИИТЕ. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за един полезен трик: вземаме например експерименталната стойност "x" и се опитваме (мислено или на чернова) да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо трябва да изчислим израза, така че сумата е най-дълбокото влагане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда, че няма грешка...

(1) Вземаме производната на корен квадратен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е равна на нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Взимаме производната на косинуса.

(5) Вземаме производната на логаритъма.

(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото влагане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как да намери производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример е за самостоятелно решение.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-компактно и по-красиво.
Не е необичайно ситуацията, при която произведението на не две, а три функции е дадено в пример. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, разглеждаме, но възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, тогава можем да отворим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, експонента и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции: , а за "ve" - ​​логаритъма:. Защо може да се направи това? Така ли - това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Все още можете да извратите и да извадите нещо от скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Горният пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решение, в примера се решава по първия начин.

Помислете за подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по няколко начина:

Или така:

Но решението може да бъде написано по-компактно, ако преди всичко използваме правилото за диференциране на частното , приемайки за целия числител:

Принципно примера е решен и ако се остави в този вид няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но възможно ли е да опростите отговора? Привеждаме израза на числителя към общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производна, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-опростен пример за решение „направи си сам“:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме техниките за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага „ужасен“ логаритъм за диференциране

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Ето защо предикак да вземем производната на „фантастичния“ логаритъм, преди това е опростен с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате под ръка учебна тетрадка, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, нарисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да се формулира така:

Нека трансформираме функцията:

Намираме производната:

Предварителната трансформация на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

А сега няколко прости примера за независимо решение:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

логаритмична производна

Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Подобни примери разгледахме наскоро. Какво да правя? Може последователно да се прилага правилото за диференциране на частното, а след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:

Забележка : защото функция може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: , които изчезват в резултат на диференциация. Текущият дизайн обаче също е приемлив, където по подразбиране комплексстойности. Но ако с цялата строгост, тогава и в двата случая е необходимо да се направи резервация, че.

Сега трябва да „разбиете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Завършваме и двете части с щрих:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва да можете да се справите с увереност.

Какво ще кажете за лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „y“ под логаритъма?“

Факт е, че тази "една буква у" - Е ФУНКЦИЯ САМА ЗА СЕБЕ СИ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на неявно указана функция). Следователно логаритъма е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на съставна функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производна. Освен това, според правилото на пропорцията, хвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

И сега се сещаме за каква "игра"-функция говорихме при диференцирането? Нека да разгледаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример за „направи си сам“. Примерен дизайн на пример от този тип в края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциална функция е функция, която има и степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или на всяка лекция:

Как да намерим производната на експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:

По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:

В резултат от дясната страна имаме произведение на две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартната формула .

Намираме производната, за това поставяме двете части под черти:

Следващите стъпки са лесни:

Накрая:

Ако някоя трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно обясненията на Пример 11.

В практическите задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания лекционен пример.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два множителя - "x" и "логаритъм от логаритъм от x" (друг логаритъм е вложен под логаритъма). Когато диференцирате константа, както си спомняме, е по-добре незабавно да я извадите от знака на производната, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагайте познатото правило :

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.