Примери:
\(\sqrt(16)=2\), защото \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) ,защото \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)
Как да изчислим корена от n-та степен?
За да изчислите \(n\)-тия корен, трябва да си зададете въпроса: какво число до \(n\)-та степен ще даде под корена?
Например. Изчислете \(n\)-тия корен: a)\(\sqrt(16)\); б) \(\sqrt(-64)\); в) \(\sqrt(0,00001)\); г)\(\sqrt(8000)\); д) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).
а) Какво число на \(4\)-та степен ще даде \(16\)? Очевидно \(2\). Ето защо:
б) Какво число на \(3\)-та степен ще даде \(-64\)?
\(\sqrt(-64)=-4\)
в) Кое число на \(5\)-та степен ще даде \(0,00001\)?
\(\sqrt(0,00001)=0,1\)
г) Какво число на \(3\)-та степен ще даде \(8000\)?
\(\sqrt(8000)=20\)
д) Какво число на \(4\)-та степен ще даде \(\frac(1)(81)\)?
\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)
Разгледахме най-простите примери с корен от \(n\)-та степен. За решаване на по-сложни задачи с корени от \(n\)-та степен е жизненоважно да ги знаете.
Пример. Изчисли:
|
\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\) |
В момента нито един от корените не може да бъде изчислен. Следователно, ние прилагаме свойствата на корен \(n\)-та степен и трансформираме израза. |
|
|
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\) |
Нека пренаредим факторите в първия член, така че коренът квадратен и коренът от \(n\)-та степен да са един до друг. Това ще улесни прилагането на свойствата. повечето свойства на \(n\)-ти корени работят само с корени от същата степен. |
|
|
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\) |
Приложете свойството \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) и разгънете скобата |
|
|
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\) |
Изчислете \(\sqrt(81)\) и \(\sqrt(-27)\) |
|
|
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\) |
|
Свързани ли са коренът n-ти и квадратният корен?
Във всеки случай всеки корен от всяка степен е просто число, макар и написано в необичайна за вас форма.
Сингулярност на n-тия корен
\(n\)-ти корен с нечетен \(n\) може да бъде взет от произволно число, дори отрицателно (вижте примерите в началото). Но ако \(n\) е четно (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)...), тогава такъв корен се извлича само ако \( a ≥ 0\) (между другото, квадратният корен има същото). Това се дължи на факта, че извличането на корен е обратното на степенуването.
А повишаването на четна степен прави дори отрицателно число положително. Наистина, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Следователно не можем да получим отрицателно число под корена на четна степен. Това означава, че не можем да извлечем такъв корен от отрицателно число.
Нечетната степен няма такива ограничения - отрицателно число, повдигнато до нечетна степен, ще остане отрицателно: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2 ) \ cdot(-2)=-32\). Следователно под корена на нечетна степен можете да получите отрицателно число. Това означава, че е възможно да се извлече и от отрицателно число.
Глава първа.
Повишаване на квадрат на едночленни алгебрични изрази.
152. Определяне на степен.Припомнете си, че произведението на две еднакви числа аа наречена втора степен (или квадрат) на число а , произведение на три еднакви числа ааа наречена трета степен (или куб) на число а ; обща работа н същите числа Ах ах Наречен н -та степен на число а . Действието, чрез което се намира степента на дадено число, се нарича издигане на степен (втора, трета и т.н.). Повтарящият се коефициент се нарича основа на степента, а броят на еднакви фактори се нарича експонента.
Степените са съкратени, както следва: а 2 а 3 а 4 ... и т.н.
Първо ще говорим за най-простия случай на степенуване, а именно издигнете се до квадрат; и тогава ще разгледаме екзалтацията в други степени.
153. Правилото на знаците при издигане в квадрат.От правилото за умножение на относителните числа следва, че:
(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;
(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9
(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2
(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2
Следователно квадратът на всяко относително число е положително число.
154. Повишаване до квадрат на произведението, степен и дроб.
а)Нека например се изисква квадратура на произведението на няколко фактора. коремни мускули . Това означава, че е задължително коремни мускули умножете по коремни мускули . Но да се умножи по произведението коремни мускули , можете да умножите множителя по а , умножете резултата по б и по какво може да се умножи С .
(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc
(махнахме последните скоби, тъй като това не променя смисъла на израза). Сега, използвайки асоциативното свойство на умножението (раздел 1 § 34, б), ние групираме факторите, както следва:
(aa) (bb) (ss),
което може да бъде съкратено като: a 2 b 2 c 2 .
означава, за да квадратирате продукта, можете да квадратирате всеки фактор поотделно
(За да се съкрати речта, това правило, както и следващото, не е напълно изразено; трябва също да се добави: „и умножете получените резултати.“ Добавянето на това е очевидно ..)
По този начин:
(3 / 4 xy) 2 = 9 / 16 x 2 y 2 ; (- 0.5mn) 2 = + 0.25m 2 n 2; и т.н.
б)Нека се изисква някаква степен, например. а 3 , на квадрат. Това може да стане по следния начин:
(a 3) 2 \u003d a 3 a 3 \u003d a 3 + 3 \u003d a 6.
Като този: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8
означава, За да квадратирате експонентата, можете да умножите степента по 2 .
Така, прилагайки тези две правила, ще имаме например:
(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6
в)Да предположим, че е необходимо да се квадратира някаква дроб а / б . След това, прилагайки правилото за умножение на дроб по дроб, получаваме:
означава, За да квадратирате дроб, можете да квадратирате числителя и знаменателя поотделно.
Пример.
Глава втора.
Квадратура на полином.
155. Извеждане на формула.Използвайки формулата (раздел 2, глава 3 § 61):
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
можем да квадратираме тринома a + b + c , разглеждайки го като бином (a + b) + c :
(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2
По този начин, с добавянето към бинома a + b трети член С след издигане към квадрата бяха добавени 2 члена: 1) двойното произведение на сбора на първите два члена към третия член и 2) квадратът на третия член. Нека приложим сега към тричлена a + b + c четвърти член д и повдигнете четириъгълника a + b + c + д на квадрат, вземайки сумата a + b + c за един член.
(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2(a + b + c)d + d 2
Замяна вместо (a + b + c) 2 намираме израза, който получихме по-горе:
(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2
Отново забелязваме, че с добавянето на нов член към екзалтирания полином в неговия квадрат се добавят 2 члена: 1) двойното произведение на сбора на предишните членове и новия член и 2) квадратът на новия член. Очевидно това добавяне на два члена ще продължи, когато към екзалтирания полином се добавят още термини. означава:
Квадратът на полинома е: квадратът на 1-ви член плюс два пъти произведението на 1-ви член и 2-ри член, плюс квадрат на 2-ри член, плюс два пъти произведението на сбора на първите два члена и 3-ия член член, плюс квадрата на 3-ия член, плюс двойното произведение на сбора на първите три члена и 4-ия член, плюс квадрата на 4-ия член и т.н. Разбира се, членовете на полинома също могат да бъдат отрицателни.
156. Бележка за знаците.Крайният резултат със знак плюс ще бъде, първо, квадратите на всички членове на полинома и, второ, тези удвоени произведения, получени от умножаването на членове със същите знаци.
Пример.
157. Съкратено възлагане на квадрат на цели числа. Използвайки формулата за квадрата на полином, е възможно да квадратирате всяко цяло число по различен начин от обикновеното умножение. Да предположим, например, че се изисква квадратура 86 . Нека разделим това число на цифри:
86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 дек. + 6 единици.
Сега, използвайки формулата за квадрата на сбора от две числа, можем да напишем:
(8 дек. + 6 единици) 2 \u003d (8 дек.) 2 + 2 (8 дек.) (6 единици) + (6 единици) 2 .
За да изчислим бързо тази сума, нека вземем предвид, че квадратът на десетките е стотици (но може да има хиляди); напр. 8 дек. квадратна форма 64 стотици, защото 80 2 = b400; произведението на десетките по единици е десетки (но може да има стотици), напр. 3 дек. 5 единици \u003d 15 декември, от 30 5 \u003d 150; а квадратът на единиците е единици (но може да има десетки), напр. 9 единици на квадрат = 81 единици. Следователно е по-удобно да се организира изчислението, както следва:
т.е. първо пишем квадрата на първата цифра (сто); под това число записваме двойното произведение на първата цифра по втората (десетки), като същевременно наблюдаваме, че последната цифра на това произведение е едно място вдясно от последната цифра на горното число; по-нататък, отново отстъпвайки едно място вдясно с последната цифра, поставяме квадрата на втората цифра (една); и добавете всички записани числа към един сбор. Разбира се, човек може да подпълни тези числа с правилния брой нули, т.е. да напише така:
но това е безполезно, ако само правилно подпишем числата едно под друго, отстъпвайки всеки път (с последната цифра) едно място вдясно.
Нека все още се изисква за квадрат 238 . защото:
238 = 2 сто. + 3 дек. + 8 бр, тогава
Но стотиците на квадрат дават десетки хиляди (например 5 стотин на квадрат са 25 десетки хиляди, тъй като 500 2 = 250 000), стотиците, умножени по десетки, дават хиляди (например 500 30 = 15 000) и т.н.
Примери.
Глава трета.
y = x 2 и у=ах 2 .
158. Графика на функция y = x 2 . Нека видим как, когато числото се вдига х квадратът се променя х 2 (например как промяната на страната на квадрат променя неговата площ). За да направите това, първо обърнете внимание на следните характеристики на функцията y = x 2 .
а)За всяко значение х
функцията винаги е възможна и винаги получава само една дефинирана стойност. Например, когато х
= - 10
функция ще (-10) 2 = 100
, при
х
=1000
функция ще 1000 2 =1 000 000
, и т.н.
б)Защото (- х ) 2 = х 2 , след това за две стойности х , различаващи се само по знаци, се получават две еднакви положителни стойности в ; например кога х = - 2 и при х = + 2 смисъл в ще бъде абсолютно същото 4 . Отрицателни стойности за вникога не успява.
в)Ако абсолютната стойност на x се увеличава безкрайно, тогава в нараства за неопределено време. Така че, ако за х ще дадем серия от неограничено нарастващи положителни стойности: 1, 2, 3, 4... или поредица от неограничено намаляващи отрицателни стойности: -1, -2, -3, -4..., след което за в получаваме серия от неограничено нарастващи стойности: 1, 4, 9, 16, 25 ... Те се изразяват накратко, като се казва, че когато х = + ∞ и при х = - ∞ функция в е направено + ∞ .
ж) х в . Така че, ако стойността х = 2 , нека увеличаваме, поставяме, 0,1 (т.е. вместо х = 2 да вземем х = 2,1 ), тогава в вместо 2 2 = 4 става равен
(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .
означава, в ще се увеличи с 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Ако същата стойност х нека дадем още по-малко увеличение, нека поставим 0,01 , тогава y става равно на
(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .
Така че тогава y ще се увеличи с 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 т.е. ще се увеличи по-малко от преди. Като цяло, по-малката част увеличаваме х , по-малкият брой ще се увеличи в . Така, ако си го представим х нараства (приемайки от стойността 2) непрекъснато, преминавайки през всички стойности, по-големи от 2, след това в също ще се увеличава непрекъснато, преминавайки през всички стойности, по-големи от 4.
След като забелязахме всички тези свойства, ще направим таблица със стойности на функциите y = x 2 , например така:
Нека сега изобразим тези стойности на чертежа като точки, чиито абциси ще бъдат написаните стойности х , а ординатите са съответните стойности в (в чертежа взехме сантиметър като единица за дължина); получените точки ще бъдат очертани с крива. Тази крива се нарича парабола.
Нека разгледаме някои от неговите свойства.
а)Параболата е непрекъсната крива, тъй като с непрекъсната промяна в абсцисата х (както в положителна посока, така и в отрицателна) ординатата, както видяхме сега, също се променя непрекъснато.
б)Цялата крива е от една и съща страна на оста х -ov, точно от страната, на която лежат положителните стойности на ординатите.
в)Параболата е разделена на оста в -ов на две части (клони). точка О където тези клонове се събират се нарича връх на параболата. Тази точка е единствената обща за параболата и оста х -ов; така че в този момент параболата докосва оста х -ов.
ж)И двата клона са безкрайни, тъй като х и в може да се увеличава за неопределено време. Клоните се издигат от оста х -s неограничено нагоре, отдалечавайки се в същото време за неопределено време от оста г -ov дясно и ляво.
д)ос г -ov служи като ос на симетрия на параболата, така че, огъвайки чертежа по тази ос, така че лявата половина на чертежа да падне вдясно, ще видим, че и двата клона ще бъдат комбинирани; например точка с абциса - 2 и ордината 4 ще бъде равна на точка с абсцис +2 и същата ордината 4.
д)В х = 0 ординатата също е 0. Следователно, for х = 0 функцията има най-малката възможна стойност. Функцията няма най-голяма стойност, тъй като ординатите на кривата се увеличават неограничено.
159. Графика на функция на форматау=ах 2 . Да предположим първо това а е положително число. Вземете например тези 2 функции:
1) y= 1 1 / 2 х 2 ; 2) y= 1 / 3 х 2
Нека направим таблици със стойности на тези функции, например, следното:
Нека поставим всички тези стойности върху чертежа и начертаем кривите. За сравнение поставихме друга графика на функцията на същия чертеж (прекъсната линия):
3) y=х 2
От чертежа се вижда, че със същата абциса, ординатата на 1-ва крива в 1 1 / 2 , пъти повече и ординатата на 2-ра крива в 3 пъти по-малко от ординатата на 3-та крива. В резултат на това всички такива криви имат общ характер: безкрайни непрекъснати разклонения, ос на симетрия и т.н., само за а > 1 клоновете на кривата са по-издигнати и кога а< 1 те са по-извити надолу от кривата y=х 2 . Всички такива криви се наричат параболами.
Нека сега приемем, че кое а ще бъде отрицателно число. Нека например y=- 1 / 3 х 2 . Сравнявайки тази функция с тази: y = + 1 / 3 х 2 имайте предвид, че за същата стойност х и двете функции имат една и съща абсолютна стойност, но противоположни по знак. Следователно, в чертежа за функцията y=- 1 / 3 х 2 получаваме същата парабола като за функцията y= 1 / 3 х 2 разположен само под оста х -ov е симетричен с парабола y= 1 / 3 х 2 . В този случай всички стойности на функцията са отрицателни, с изключение на една, равна на нула при х = 0 ; тази последна стойност е най-голямата от всички.
Коментирайте. Ако връзката между две променливи в и х се изразява с равенството: у=ах 2 , където а някакво постоянно число, тогава можем да кажем, че стойността в пропорционално на квадрата на стойността х , тъй като с увеличаване или намаляване х 2 пъти, 3 пъти и т.н. стойност в увеличава или намалява с 4 пъти, 9 пъти, 16 пъти и т.н. Например площта на окръжност е π R 2 , където Ре радиусът на окръжността и π постоянно число (равно на приблизително 3,14); Следователно можем да кажем, че площта на окръжността е пропорционална на квадрата на нейния радиус.
Глава четвърта.
Издигане до куб и до други степени на едночленни алгебрични изрази.
160. Правилото на знаците при издигане до степен.От правилото за умножение на относителните числа следва, че
(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;
(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;
(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;
(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l;и т.н.
означава, вдигането на отрицателно число в степен с четен показател води до положително число, а вдигането му в степен с нечетна степен води до отрицателно число.
161. Издигане до степен на произведение, степен и дроб.При повишаване на произведението от степен и дроб до известна степен можем да направим същото, както когато го повдигнем до квадрат (). Така:
(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) = a 3 b 3 c 3;
Глава пета.
Графично представяне на функциите: y = x 3 и y = ax 3 .
162. Графика на функция y = x 3 . Нека разгледаме как се променя кубът на екзалтираното число, когато числото се повиши (например как се променя обемът на куба, когато се промени ръбът на куба). За да направите това, първо посочваме следните характеристики на функцията y = x 3 (напомня свойствата на функцията y = x 2 , обсъдено по-рано, ):
а)За всяко значение х функция y = x 3 е възможно и има едно значение; така че (+ 5) 3 \u003d +125 и кубът на числото + 5 не може да бъде равен на никое друго число. По същия начин, (- 0,1) 3 = - 0,001 и кубът от -0,1 не може да бъде равен на никое друго число.
б)С две стойности х , различаващи се само по знаци, функцията х 3 получава стойности, които също се различават една от друга само по знаци; така, при х = 2 функция х 3 е равно на 8, и при х = - 2 то е равно на 8 .
в)С увеличаване на x функцията х 3 увеличава и по-бързо от х , и дори по-бързо от х 2 ; така че при
х = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. х 3 ще = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...
ж)Много малко увеличение на променливо число х съответства на много малко увеличение на функцията х 3 . Така че, ако стойността х = 2 увеличават с дроб 0,01 , тоест ако вместо х = 2 да вземем х = 2,01 , след това функцията в няма да 2 3 (т.е. не 8 ), а 2,01 3 , което ще възлиза на 8,120601 . Така че тази функция ще се увеличи с 0,120601 . Ако стойността х = 2 увеличават дори по-малко, например, с 0,001 , тогава х 3 става равен 2,001 3 , което ще възлиза на 8,012006001 , и следователно, в ще се увеличи само с 0,012006001 . Следователно виждаме, че ако увеличението на променливо число х ще бъде все по-малко, тогава увеличението х 3 ще бъде все по-малко.
Забелязвайки това свойство на функцията y = x 3 Нека начертаем неговата графика. За да направите това, първо съставяме таблица със стойности за тази функция, например следното:
163. Графика на функция y \u003d брадва 3 . Да вземем тези две функции:
1) y= 1 / 2 х 3 ; 2) y = 2 x 3
Ако сравним тези функции с по-проста: y = x 3 , отбелязваме, че за същата стойност х първата функция получава стойности два пъти по-малки, а втората два пъти по-голяма от функцията y \u003d брадва 3 , иначе тези три функции са подобни една на друга. Техните графики са показани за сравнение на същия чертеж. Тези криви се наричат параболи от 3-та степен.
Глава шеста.
Основни свойства на извличането на корени.
164. Задачи.
а)Намерете страната на квадрат, чиято площ е равна на площта на правоъгълник с основа 16 cm и височина 4 cm.
Обозначаване на страната на желания квадрат с буквата х (cm), получаваме следното уравнение:
х 2 =16 4, т.е. х 2 = 64.
Ние виждаме по този начин, че х има число, което, когато се повдигне на втора степен, води до 64. Такова число се нарича втори корен от 64. То е равно на + 8 или - 8, тъй като (+ 8) 2 \u003d 64 и (- 8) 2 \u003d 64. Отрицателното число - 8 не е подходящо за нашата задача, тъй като страната на квадрата трябва да бъде изразена с обикновено аритметично число.
б)Оловното парче с тегло 1 kg 375 g (1375 g) е с форма на куб. Колко голям е ръбът на този куб, ако се знае, че 1 куб. см оловото тежи 11 грама?
Нека дължината на ръба на куба е х см. Тогава неговият обем ще бъде равен на х 3 куб см, а теглото му ще бъде 11 х 3 г.
11х 3= 1375; х 3 = 1375: 11 = 125.
Ние виждаме по този начин, че х има число, което, когато се издигне на трета степен, е 125 . Такова число се нарича трети коренот 125. Както може да се досетите, е равно на 5, тъй като 5 3 = 5 5 5 = 125. Следователно ръбът на куба, който е споменат в задачата, има дължина 5 cm.
165. Определение на корен.Вторият корен (или квадрат) от число а число, чийто квадрат е равен на а . И така, квадратният корен от 49 е 7, а също и - 7, тъй като 7 2 \u003d 49 и (- 7) 2 \u003d 49. Корен от трета степен (кубичен) от числото а наречено числото, чийто куб е равен а . Така кубичният корен от -125 е -5, тъй като (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.
Като цяло root нта степен измежду анарече номер, който н-та степен е равна на а.
номер н , което означава каква степен е коренът, се нарича коренен индикатор.
Коренът се обозначава със знака √ (знакът на радикала, т.е. знакът на корена). латинска дума радиксозначава корен. Знак√ въведена за първи път през 15 век.. Под хоризонталната линия те записват числото, от което се намира коренът (радикално число), а индексът на корена се поставя над отвора на ъгъла. Така:
кубичният корен от 27 се обозначава ..... 3 √27;
четвъртият корен от 32 се обозначава... 3 √32.
Прието е въобще да не се записва степен квадратен корен, например.
вместо 2 √16 пишат √16.
Действието, чрез което се намира коренът, се нарича извличане на корен; това е обратното на издигането до степен, тъй като чрез това действие се търси това, което се дава по време на издигане до степен, а именно основата на стената, и това, което се дава е това, което се намира при издигане до степен, а именно самата степен. Следователно винаги можем да проверим правилността на извличането на корена, като го повдигнем до степен. Например за проверка
равенство: 3 √125 = 5, достатъчно е да вдигнем 5 в куб: след като получихме радикалното число 125, заключаваме, че кубичният корен от 125 е извлечен правилно.
166. Аритметичен корен.Корен се нарича аритметичен, ако е извлечен от положително число и сам по себе си е положително число. Например, аритметичният квадратен корен от 49 е 7, докато числото 7, което също е квадратен корен от 49, не може да се нарече аритметично.
Посочваме следните две свойства на аритметичен корен.
а) Нека се изисква да се намери аритметиката √49 . Такъв корен ще бъде 7, тъй като 7 2 \u003d 49. Нека се запитаме дали е възможно да намерим някакво друго положително число х , което също би било √49. Да приемем, че съществува такъв брой. Тогава трябва да бъде или по-малко от 7, или по-голямо от 7. Ако приемем, че х < 7, то тогда и х 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что х >7, значи х 2 >49. Това означава, че никое положително число, нито по-малко от 7, нито по-голямо от 7, не може да бъде равно на √49. По този начин може да има само един аритметичен корен от дадена степен от дадено число.
Бихме стигнали до друго заключение, ако не говорим за положителното значение на корена, а за нещо; така че √49 е равно както на числото 7, така и на числото - 7, тъй като и 7 2 = 49, и (- 7) 2 = 49.
б)Вземете произволни две неравни положителни числа, например. 49 и 56. От какво 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125
Наистина: 3 √64 = 4 и 3 √125 = 5 и 4< 5. Вообще по-малко положително число съответства на по-малък аритметичен корен (със същата степен).
167. Алгебричен корен.Корен се нарича алгебричен, ако не се изисква той да бъде извлечен от положително число и самото то да е положително. По този начин, ако под израза н √а разбира се алгебричен корен н та степен, това означава, че числото а може да бъде както положителен, така и отрицателен, а самият корен може да бъде както положителен, така и отрицателен.
Посочваме следните 4 свойства на алгебричен корен.
а) Нечетният корен на положително число е положително число .
Така, 3 √8 трябва да е положително число (равно на 2), тъй като отрицателно число, повдигнато на степен с нечетен степен, дава отрицателно число.
б) Нечетен корен от отрицателно число е отрицателно число.
Така, 3 √-8 трябва да бъде отрицателно число (равно на -2), тъй като положително число, повдигнато на произволна степен, дава положително число, а не отрицателно.
в) Коренът на четна степен на положително число има две стойности с противоположни знаци и една и съща абсолютна стойност.
Да, √ +4 = + 2 и √ +4 = - 2 , защото (+ 2 ) 2 = + 4 и (- 2 ) 2 = + 4 ; подобен 4 √+81 = + 3 и 4 √+81 = - 3 , защото и двете степени (+3) 4 и (-3) 4 са равни на едно и също число. Двойната стойност на корена обикновено се обозначава чрез поставяне на два знака преди абсолютната стойност на корена; те пишат така:
√4 = ± 2 ; √а 2 = ± а ;
ж) Четен корен от отрицателно число не може да бъде равен на нито едно положително или отрицателно число. , тъй като и двете, след като са повдигнати на степен с четен показател, дават положително число, а не отрицателно. Например √ -9 не е равно нито на +3, нито на -3, нито на друго число.
Четен корен от отрицателно число се нарича въображаемо число; относителните числа се наричат реални числа, или валиден, числа.
168. Извличане на корен от продукт, от степен и от дроб.
а)Нека вземем корен квадратен на произведението коремни мускули . Ако искате да квадратирате продукта, тогава, както видяхме (), можете да квадратирате всеки фактор поотделно. Тъй като извличането на корен е обратното на повишаването на степен, трябва да очакваме, че за да се извлече корен от продукт, човек може да го извлече от всеки фактор поотделно, т.е.
√abc = √а √б √° С .
За да проверим правилността на това равенство, повдигаме дясната му страна до квадрата (според теоремата: да повдигнем продукта на степен ...):
(√а √б √° С ) 2 = (√а ) 2 (√б ) 2 (√° С ) 2
Но според дефиницията на корена,
(√а ) 2 = а, (√б ) 2 = б, (√° С ) 2 = ° С
Следователно
(√а √б √° С ) 2 = коремни мускули .
Ако квадратът на произведението √ а √б √° С се равнява коремни мускули , то това означава, че продуктът е равен на корен квадратен от abc .
Като този:
3 √abc = 3 √а 3 √б 3 √° С ,
(3 √а 3 √б 3 √° С ) 3 = (3 √а ) 3 (3 √б ) 3 (3 √° С ) 3 = abc
означава, за да извлечете корена от продукта, достатъчно е да го извлечете от всеки фактор поотделно.
б)Лесно е да се провери дали следните равенства са верни:
√а 4 = а 2 , защото (а 2 ) 2 = а 4 ;
3 √х 12 = х 4 , „ (х 4 ) 3 = х 12 ; и т.н.
означава, за да вземем корена на степен, чийто показател се дели на степента на корена, може да се раздели степента на степента на корена.
в)Следните равенства също ще бъдат верни:
означава, за да извлечете корена на дроб, можете да използвате числителя и знаменателя поотделно.
Забележете, че в тези истини се приема, че говорим за корените на аритметиката.
Примери.
1) √9а 4 б 6 = √9 √а 4 √б 6 = 3а 2 б 3 ;
2) 3 √125а 6 х 9 = 3 √125 3 √а 6 3 √х 9 = 5а 2 х 3
Забележка Ако се приеме, че желаният корен от четна степен е алгебричен, тогава намереният резултат трябва да бъде предшестван от двоен знак ± Значи,
√9x 4 = ± 3х 2 .
169. Най-простите трансформации на радикали,
а) Отчитане на знака на радикала.Ако радикалният израз се разложи на такива множители, че от някои от тях може да се извлече корен, тогава такива фактори, след като се извлече корена от тях, могат да бъдат записани преди знака на корена (могат да бъдат извадени от коренния знак).
1) √а 3 = √а 2 а = √а 2 √а = а √а .
2) √24а 4 х 3 = √4 6 а 4 х 2 х = 2а 2 х √6x
3) 3 √16 х 4 = 3 √8 2 х 3 х = 2x 3 √2 х
б) Подвеждане на факторите под знака на радикала.Понякога е полезно, напротив, да се извадят предхождащите го фактори под знака на радикала; за да направите това, е достатъчно такива множители да се повдигнат до степен, чийто показател е равен на степента на радикала, и след това да се запишат множителите под знака на радикала.
Примери.
1) а 2 √а = √(а 2 ) 2 а = √а 4 а = √а 5 .
2) 2x 3 √х = 3 √(2x ) 3 х = 3 √8x 3 х = 3 √8x 4 .
в) Изразяване на свободните радикали от знаменатели.Нека покажем това със следните примери:
1) Преобразувайте дроба, така че квадратният корен да може да бъде извлечен от знаменателя. За да направите това, умножете двата члена на дроба по 5:
2) Умножете двата члена на дроба по 2 , на а и нататък х , тоест на 2ох :
Коментирайте. Ако се изисква да се извлече коренът от алгебричната сума, тогава би било грешка да се извлече от всеки член поотделно. Напр.√ 9 + 16
= √25
= 5
, докато
√9
+ √16
= 3 + 4 = 7
; следователно действието на извличане на корена по отношение на събирането (и изваждане) няма разпределително свойство(както и издигане до степен, раздел 2, глава 3 § 61, забележка).
Поздравления: днес ще анализираме корените - една от най-умопомрачителните теми на 8-ми клас. :)
Много хора се объркват относно корените, не защото са сложни (което е сложно - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените са дефинирани чрез такива диви символи, че само авторите на самите учебници може да разбере това драскане. И дори тогава само с бутилка хубаво уиски. :)
Ето защо сега ще дам най-правилната и най-компетентната дефиниция на корена - единствената, която наистина трябва да запомните. И едва тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.
Но първо, запомнете един важен момент, за който по някаква причина много съставители на учебници „забравят“:
Корените могат да бъдат от четна степен (любимата ни $\sqrt(a)$, както и всякакви $\sqrt(a)$ и четни $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всякакви $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ и др.). И определението на корена от нечетна степен е малко по-различно от четното.
Тук в това шибано „донякъде различно“ се крият вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените. Така че нека изчистим терминологията веднъж завинаги:
Определение. Дори корен нот числото $a$ е произволно неотрицателенчисло $b$ такова, че $((b)^(n))=a$. А коренът на нечетна степен от същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.
Във всеки случай коренът се обозначава така:
\(а)\]
Числото $n$ в такава нотация се нарича коренен показател, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-специално, за $n=2$ получаваме нашия „любим“ квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което също често се среща в задачи и уравнения.
Примери. Класически примери за квадратни корени:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(подравняване)\]
Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.
Кубичните корени също са често срещани - не се страхувайте от тях:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(подравняване)\]
Е, няколко "екзотични примера":
\[\begin(подравняване) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(подравняване)\]
Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Много е важно!
Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.
Защо изобщо се нуждаем от корени?
След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво пушат математиците, когато измислиха това?“ И наистина: защо са ни необходими всички тези корени?
За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент в началното училище. Запомнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени, а кнедлите по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим правилно числата. Е, нещо в духа на "пет по пет - двадесет и пет", това е всичко. Но в края на краищата можете да умножите числата не по двойки, а в тройки, четворки и като цяло цели набори:
\[\begin(подравняване) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Това обаче не е въпросът. Номерът е различен: математиците са мързеливи хора, така че трябваше да запишат умножението на десет петици така:
Така те измислиха степени. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Като този:
Много е удобно! Всички изчисления се намаляват няколко пъти и не можете да похарчите купчина пергаментови листове тетрадки, за да запишете около 5 183 . Такова вписване се наричаше степен на число, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.
След грандиозно пиене, което беше организирано точно за „откриването“ на градуси, някой особено убит математик изведнъж попита: „Ами ако знаем степента на число, но не знаем самото число?“ Всъщност, ако знаем, че определено число $b$, например, дава 243 на 5-та степен, тогава как можем да отгатнем на какво е равно самото число $b$?
Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови” степени няма такива „начални” числа. Преценете сами:
\[\begin(подравняване) & ((b)^(3))=27\Стрелка надясно b=3\cdot 3\cdot 3\Стрелка надясно b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \end(подравняване)\]
Ами ако $((b)^(3))=50$? Оказва се, че трябва да намерите определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, защото 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Т.е. това число лежи някъде между три и четири, но на какво е равно - ФИГ ще разберете.
Точно това е причината математиците да измислят $n$-ти корени. Ето защо беше въведена радикалната икона $\sqrt(*)$. За да обозначим едно и също число $b$, което в определената степен ще ни даде известна по-рано стойност
\[\sqrt[n](a)=b\Стрелка надясно ((b)^(n))=a\]
Не споря: често тези корени се разглеждат лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак, в повечето случаи, ако мислите за произволно число и след това се опитате да извлечете корена на произволна степен от него, вие сте в жестока грешка.
Какво има там! Дори най-простият и най-познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в обичайната ни форма - като цяло число или дроб. И ако закарате това число в калкулатор, ще видите това:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна поредица от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да сравните бързо с други числа. Например:
\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]
Или ето още един пример:
\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]
Но всички тези закръглвания са, първо, доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравнение и закръгляване задължително се проверява на изпита за профила).
Следователно в сериозната математика не може без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, като дроби и цели числа, които отдавна познаваме.
Невъзможността да се представи коренът като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава, че този корен не е рационално число. Такива числа се наричат ирационални и не могат да бъдат точно представени, освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, степени, граници и т.н.). Но повече за това друг път.
Помислете за няколко примера, при които след всички изчисления ирационалните числа все още ще останат в отговора.
\[\begin(подравняване) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(подравняване)\]
Естествено, по външния вид на корена е почти невъзможно да се отгатне кои числа ще дойдат след десетичната запетая. Възможно е обаче да се изчисли с калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Затова е много по-правилно отговорите да се запишат като $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.
За това са измислени. За да е лесно да записвате отговорите.
Защо са необходими две дефиниции?
Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Е, поне от нула. Но кубичните корени се извличат спокойно от абсолютно всяко число - дори положително, дори отрицателно.
Защо се случва това? Разгледайте графиката на функцията $y=((x)^(2))$:
Графиката на квадратична функция дава два корена: положителен и отрицателен Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x) )_(2)) =-2$. Това е съвсем логично, т.к
Всичко е ясно с първото число - то е положително, следователно е коренът:
Но тогава какво да правим с втората точка? 4 има ли два корена наведнъж? В крайна сметка, ако поставим на квадрат числото −2, получаваме и 4. Защо тогава да не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива записи, сякаш искат да те изядат? :)
Проблемът е, че ако не се налагат допълнителни условия, тогава четирите ще имат два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.
Подобен проблем възниква за всички корени с четен степен:
- Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
- От отрицателни числа коренът с дори $n$ изобщо не се извлича.
Ето защо определението за четен корен $n$ изрично предвижда, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се отърваваме от неяснотата.
Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека да разгледаме графиката на функцията $y=((x)^(3))$:
Кубичната парабола приема произволна стойност, така че коренът на куба може да бъде взет от произволно число От тази графика могат да се направят два извода:
- Клоновете на кубична парабола, за разлика от обичайната, отиват до безкрайност в двете посоки - както нагоре, така и надолу. Следователно, на каквато и височина да начертаем хоризонтална линия, тази линия определено ще се пресича с нашата графика. Следователно кубичният корен винаги може да бъде взет, абсолютно от произволно число;
- В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кое число да вземете предвид „правилния“ корен и кое да отбележите. Ето защо дефиницията на корените за нечетна степен е по-проста, отколкото за четна (няма изискване за неотрицателност).
Жалко, че тези простички неща не са обяснени в повечето учебници. Вместо това мозъкът ни започва да се издига с всякакви аритметични корени и техните свойства.
Да, не споря: какво е аритметичен корен - вие също трябва да знаете. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес също ще говорим за него, защото без него всички разсъждения върху корените на $n$-то множество биха били непълни.
Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава каша, че накрая няма да разберете нищо.
И всичко, което трябва да разберете, е разликата между четни и нечетни числа. Ето защо, отново ще съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:
- Четен корен съществува само от неотрицателно число и само по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
- Но коренът на нечетната степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде произволно число: за положителни числа е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва шапката, е отрицателен.
Трудно е? Не, не е трудно. Ясно? Да, очевидно е! Затова сега ще потренираме малко с изчисленията.
Основни свойства и ограничения
Корените имат много странни свойства и ограничения - това ще бъде отделен урок. Ето защо сега ще разгледаме само най-важния "чип", който се отнася само за корени с четен показател. Записваме това свойство под формата на формула:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\вдясно|\]
С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това извлечем корен от същата степен от това, ще получим не първоначалното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която е лесна за доказване (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $x$ и след това отделно да разгледаме отрицателните). Учителите постоянно говорят за това, дадено е във всеки учебник. Но веднага щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (т.е. уравнения, съдържащи знака на радикала), учениците забравят тази формула заедно.
За да разберем подробно въпроса, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да преброим две числа напред:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Това са много прости примери. Първият пример ще бъде решен от повечето хора, но във втория много се придържат. За да разрешите всяка подобна глупост без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:
- Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, малко е лесно. Ще се получи ново число, което дори може да се намери в таблицата за умножение;
- И сега от това ново число е необходимо да се извлече корен от четвърта степен. Тези. няма "намаляване" на корени и степени - това са последователни действия.
Нека се справим с първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
След това извличаме четвъртия корен от числото 81:
Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повишаваме числото −3 на четвърта степен, за което трябва да го умножим само по себе си 4 пъти:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \вдясно)=81\]
Получихме положително число, тъй като общият брой минуси в продукта е 4 броя и всички те ще се анулират взаимно (в края на краищата минус с минус дава плюс). След това извлечете отново корена:
По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като не е проблем, че отговорът ще бъде същият. Тези. четен корен със същата четна мощност "изгаря" минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обичайния модул:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\вдясно|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \вдясно|=3. \\ \end(подравняване)\]
Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на корена от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен, а радикалният знак също винаги е неотрицателно число. В противен случай коренът не е дефиниран.
Забележка за реда на операциите
- Означението $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо квадратираме числото $a$ и след това вземаме квадратния корен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че неотрицателно число винаги се намира под знака корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ така или иначе;
- Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо извличаме корена от определено число $a$ и едва след това квадратираме резултата. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, заложено в определението.
По този начин в никакъв случай не трябва безмислено да намалявате корените и степените, като по този начин уж "опростявате" оригиналния израз. Защото ако под корена има отрицателно число, а степента му е четна, ще получим много проблеми.
Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни показатели.
Премахване на знак минус под основния знак
Естествено, корените с нечетни степени също имат своя характеристика, която по принцип не съществува за четни. а именно:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Накратко, можете да извадите минус под знака на корените от нечетна степен. Това е много полезно свойство, което ви позволява да "изхвърлите" всички минуси:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(подравняване)\]
Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако отрицателен израз попадне под корена и степента в корена се окаже четна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени един от друг, разделени и като цяло да направят много подозрителни неща, които в случая на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.
И тук на сцената излиза друга дефиниция – точно тази, с която повечето училища започват изучаването на ирационалните изрази. И без което нашите разсъждения биха били непълни. Среща!
аритметичен корен
Да приемем за момент, че само положителни числа или в краен случай нула могат да бъдат под знака на корена. Нека да оценим по четни / нечетни показатели, да оценим по всички дефиниции, дадени по-горе - ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?
И тогава получаваме аритметичния корен - той частично се пресича с нашите "стандартни" определения, но все пак се различава от тях.
Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$ такова, че $((b)^(n))=a$.
Както можете да видите, ние вече не се интересуваме от паритет. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.
За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:
Област за търсене на корен - неотрицателни числа Както можете да видите, оттук нататък ни интересуват само онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е нужно да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да кореним отрицателно число или не. Тъй като отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.
Може да попитате: „Е, защо се нуждаем от такова кастрирано определение?“ Или: „Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?“
Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем коренния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренната степен по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето няколко примера:
\[\begin(подравняване) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(подравняване)\]
Е, какво лошо има в това? Защо не можахме да го направим преди? Ето защо. Помислете за един прост израз: $\sqrt(-2)$ е число, което е съвсем нормално в нашия класически смисъл, но абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го преобразуваме:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Както можете да видите, в първия случай извадихме минуса изпод радикала (имаме пълно право, защото индикаторът е нечетен), а във втория използвахме горната формула. Тези. от гледна точка на математиката всичко се прави по правилата.
WTF?! Как може едно и също число да бъде както положително, така и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да дава пълна ерес в случай на отрицателни числа.
Тук, за да се отърват от такава неяснота, измислиха аритметични корени. На тях е посветен отделен голям урок, където разглеждаме подробно всички техни свойства. Така че сега няма да се спираме на тях - урокът така или иначе се оказа твърде дълъг.
Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече
Мислех дълго: да направя тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да си тръгна оттук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат корените още по-добре - не на средно „училищно” ниво, а на ниво, близко до олимпиадата.
И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на корена на $n$-та степен от число и свързаното разделение на четни и нечетни показатели, има по-„възрастно“ определение, което не зависи от паритета и изобщо други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.
Определение. Алгебричен $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$ такива, че $((b)^(n))=a$. Няма добре установено обозначение за такива корени, така че просто поставете тире отгоре:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е определено число, а множество. И тъй като работим с реални числа, този набор е само от три вида:
- Празен комплект. Възниква, когато се изисква да се намери алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
- Комплект, състоящ се от един елемент. Всички корени от нечетни степени, както и корени от четни степени от нула, попадат в тази категория;
- И накрая, наборът може да включва две числа - едни и същи $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на диаграма квадратична функция. Съответно, такова подравняване е възможно само при извличане на корен от четна степен от положително число.
Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.
Пример. Изчисляване на изрази:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Решение. Първият израз е прост:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Това са две числа, които са част от множеството. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като степента на корена е нечетна.
И накрая, последният израз:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Имаме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, когато се повиши на четвърта (тоест четна!) степен, ще ни даде отрицателно число −16.
Последна бележка. Моля, обърнете внимание: не случайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Тъй като има и комплексни числа - там е напълно възможно да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща.
Въпреки това, в съвременната училищна програма по математика почти никога не се срещат комплексни числа. Те са пропуснати от повечето учебници, защото нашите служители смятат темата за „твърде трудна за разбиране“.
Това е всичко. В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и накрая ще научим как да опростяваме ирационалните изрази. :)
