Обмисли решаване на уравнения с една променлива със степен по-висока от втората.
Степента на уравнението P(x) = 0 е степента на полинома P(x), т.е. най-голямата от степените на неговите членове с ненулев коефициент.
Така, например, уравнението (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 има пета степен, т.к. след операциите за отваряне на скоби и довеждане на подобни, получаваме еквивалентно уравнение x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 от пета степен.
Припомнете си правилата, които ще са необходими за решаване на уравнения от степен, по-висока от втората.
Твърдения за корените на полином и неговите делители:
1. Полиномът от n-та степен има брой корени, който не надвишава числото n, а корените с кратност m се срещат точно m пъти.
2. Полином с нечетна степен има поне един реален корен.
3. Ако α е корен на Р(х), тогава Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), където Q n – 1 (x) е полином от степен (n – 1) .
4.
5. Редуциран полином с цели коефициенти не може да има дробни рационални корени.
6. За полином от трета степен
P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d е възможно едно от двете неща: или се разлага на продукт от три бинома
P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), или се разлага в произведението на бином и квадратен тричлен P 3 (x) = a (x - α) ( x 2 + βx + γ).
7. Всеки полином от четвърта степен се разширява в произведението на два квадратни тринома.
8. Полином f(x) се дели на полином g(x) без остатък, ако съществува полином q(x) такъв, че f(x) = g(x) q(x). За разделяне на полиноми се прилага правилото за "деление на ъгъл".
9. За да може полиномът P(x) да се дели на бинома (x – c), е необходимо и достатъчно числото c да бъде корен на P(x) (Следствие от теоремата на Безут).
10. Теоремата на Виета: Ако x 1, x 2, ..., x n са реалните корени на полинома
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, тогава са валидни следните равенства:
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,
x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.
Решение на примери
Пример 1
Намерете остатъка след разделяне на P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 на (x - 1/3).
Решение.
Според следствието от теоремата на Безут: „Остатъкът от разделянето на полином на бином (x – c) е равен на стойността на полинома в c“. Нека намерим P(1/3) = 0. Следователно, остатъкът е 0 и числото 1/3 е коренът на полинома.
Отговор: R = 0.
Пример 2
Разделете "ъгъла" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 на (x + 2). Намерете остатъка и непълното частно. 
решение:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| х + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 – x
Х 2 – 2 х
Отговор: R = 3; коефициент: 2x 2 - x.
Основни методи за решаване на уравнения от по-високи степени
1. Въвеждане на нова променлива
Методът за въвеждане на нова променлива вече е познат от примера на биквадратни уравнения. Състои се във факта, че за решаване на уравнението f (x) = 0 се въвежда нова променлива (заместване) t = x n или t = g (x) и f (x) се изразява чрез t, като се получава ново уравнение r (t). След това решавайки уравнението r(t), намерете корените:
(t 1 , t 2 , …, t n). След това се получава набор от n уравнения q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, от които се намират корените на оригиналното уравнение.
Пример 1
(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
решение:
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.
Замяна (x 2 + x + 1) = t.
t 2 - 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Обратна замяна:
x 2 + x + 1 = 2 или x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 или x 2 + x = 0;
Отговор: От първото уравнение: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, от второто: 0 и -1.
2. Разлагане на множители по метода на групиране и съкратени формули за умножение
Основата на този метод също не е нова и се състои в групиране на термините по такъв начин, че всяка група да съдържа общ фактор. За да направите това, понякога трябва да използвате някои изкуствени трикове.
Пример 1
x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.
Решение.
Представете си - 3x 2 = -2x 2 - x 2 и групирайте:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.
(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.
(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.
x 2 - x + 1 = 0 или x 2 + x - 3 \u003d 0.
Отговор: В първото уравнение няма корени, от второто: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.
3. Разлагане на множители по метода на неопределените коефициенти
Същността на метода е, че оригиналният полином се разлага на фактори с неизвестни коефициенти. Използвайки свойството, че полиномите са равни, ако техните коефициенти са равни при еднакви степени, се намират неизвестните коефициенти на разширение.
Пример 1
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Решение.
Полином от 3-та степен може да бъде разложен на произведение на линейни и квадратни множители.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.
Решаване на системата:
(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,
(а = -1,
(b=3,
(с = 2, т.е.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
Корените на уравнението (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 са лесни за намиране.
Отговор: -1; -2.
4. Методът за избор на корен по най-висок и свободен коефициент
Методът се основава на прилагането на теореми:
1) Всеки целочислен корен от полином с цели коефициенти е делител на свободния член.
2) За да може несводимата дроб p / q (p е цяло число, q е естествено) да бъде корен на уравнение с цели коефициенти, е необходимо числото p да е целочислен делител на свободния член a 0, и q е естествен делител на най-високия коефициент.
Пример 1
6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.
решение:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Следователно p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
След като намерим един корен, например - 2, ще намерим други корени, използвайки деление на ъгъл, метода на неопределените коефициенти или схемата на Хорнер.
Отговор: -2; 1/2; 1/3.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
През 16-ти век математиците се натъкват на комплексни числа почти случайно (вижте глава 11). До 18-ти век комплексните числа се считат за разширение на реалните числа, но работата с тях все още води до грешка в паритета, както в Леонард Е, неговата голяма работа по теория на числата, Аритметични изследвания (1801), избягва използването на т.н. -наречени "въображаеми числа". Струва ми се, че най-важната част от тази работа е първото доказателство на основната теорема на алгебрата. Гаус осъзна колко важна е тази теорема, създавайки няколко допълнителни доказателства през следващите години. През 1849 г. той преразгледа първата версия, като този път използва комплексни числа. Използвайки съвременни термини, можем да кажем, че за всяко крайно полиномно уравнение с реални или комплексни коефициенти, всичките му корени ще бъдат реални или комплексни числа. Така получаваме отрицателен отговор на вековния въпрос дали решението на полиномни уравнения от висок порядък изисква създаването на числа от по-висок порядък от сложните.
Един от най-трънливите проблеми в алгебрата от онова време беше въпросът дали можем да решим с алгебрични методи, тоест, използвайки краен брой алгебрични стъпки, полином от пети ред - квинтик. Сега в училището се преподава формулата за решаване на квадратни уравнения, а от 16 век са известни подобни методи за решаване на уравнения от трета и четвърта степен (глава 11). Но не е намерен метод за квинтици. Може да изглежда, че основната теорема на алгебрата съдържа обещание за положителен отговор, но всъщност тя просто гарантира, че решенията съществуват, не казва нищо за съществуването на формули, които дават точни решения (приблизителни числени и графични методи, които вече съществуват от това време). И тогава имаше двама математически гении с трагична съдба.
Нилс Хенрик Абел (1802–1829) е роден в голямо бедно семейство, живеещо в малко село в Норвегия, страна, опустошена от дълги години война с Англия и Швеция. Учителят, който е приятелски настроен към момчето, му дава частни уроци, но след смъртта на баща му, на осемнадесет години, въпреки младата си възраст и крехкото здраве, Абел е принуден да издържа семейството си. През 1824 г. той публикува научна статия, в която заявява, че квинтиката не е алгебрично разрешима, както всъщност всеки полином от по-висок порядък. Абел вярваше, че тази статия ще му послужи като пропуск към научния свят и я изпрати на Гаус в университета в Гьотинген. За съжаление, Гаус така и не успя да изреже страниците с нож (всеки читател трябваше да направи това в онези дни) и не прочете статията. През 1826 г. норвежкото правителство най-накрая предоставя средства на Абел да пътува из Европа. Страхувайки се, че личният контакт с Гаус няма да му донесе голяма радост, математикът решава да не посещава Гьотинген и вместо това заминава за Берлин. Там той се сприятелява с Август Леополд Крел (1780–1855), математик, архитект и инженер, който съветва пруското министерство на образованието по въпросите на математиката. Крел щеше да основа списанието за чиста и приложна математика. Така Абел получи възможността да разпространява работата си и публикува много, особено в първите броеве на списанието, което веднага започна да се смята за много престижно и авторитетно научно издание. Норвежецът публикува там разширена версия на своето доказателство, че квинтиката е неразрешима с алгебрични методи. И тогава той отиде в Париж. Това пътуване много разстрои Абел, защото той на практика не получи подкрепата на френските математици, от която се нуждаеше толкова много. Той става близък приятел с Огюстен Луи Коши (1789–1857), който по това време е основното светило на математическия анализ, но има много сложен характер. Както самият Абел каза: „Коши е луд и нищо не може да се направи по въпроса, въпреки че в момента той е единственият, способен на нещо по математика“. Ако някой се опита да оправдае неуважението и пренебрежението, излъчвани от Гаус и Коши, може да се каже, че Квинтик е постигнал известна слава и е привлякъл вниманието както на уважавани математици, така и на оригинали. Абел се завръща в Норвегия, където все повече страда от туберкулоза. Той продължава да изпраща документите си в Крел, но умира през 1829 г., без да знае до каква степен репутацията му е нараснала в научния свят. Два дни след смъртта си Абел получава предложение да заеме научна позиция в Берлин.
Абел показа, че всеки полином над четвъртия ред не може да бъде решен с помощта на радикали, като квадратен корен, кубичен корен или по-висок ред. Въпреки това, явните условия, при които в специални случаи тези полиноми могат да бъдат решени, и методът за тяхното решаване са формулирани от Галоа. Еварист Галоа (1811–1832) живее кратък и наситен със събития живот. Той беше невероятно надарен математик. Галоа беше безмилостен към онези, които смяташе за по-малко талантливи от себе си, и в същото време не понасяше социалната несправедливост. Той не показал никакви способности за математика, докато не прочел Елементите на геометрията на Лежандре (публикувана през 1794 г., тази книга е основният учебник за следващите сто години). Тогава той буквално поглъща останалите произведения на Лежандър, а по-късно и на Абел. Неговият ентусиазъм, самочувствие и нетолерантност доведоха до наистина ужасни последици в отношенията му с учители и проверяващи. Галоа участва в състезанието за прием в Политехническото училище – люлката на френската математика, но поради неподготвеност се проваля на изпита. Известно време, след като се срещна с нов учител, който разпозна таланта му, той успя да държи нервите си под контрол. През март 1829 г. Галоа публикува първата си статия за непрекъснати дроби, която смята за най-значимата си работа. Той изпрати съобщение за своите открития до Академията на науките и Коши обеща да ги представи, но забрави. Освен това той просто загуби ръкописа.
Вторият провал на Галоа да влезе в Политехническото училище навлезе в математическия фолклор. Той беше толкова свикнал постоянно да има сложни математически идеи в главата си, че беше вбесен от дребните придирки на проверяващите. Тъй като проверяващите имаха трудности да разберат обясненията му, той хвърли кърпа за изтриване в лицето на един от тях. Скоро след това баща му умира, като се самоуби в резултат на църковни интриги. На погребението му едва не избухна бунт. През февруари 1830 г. Галоа написва следните три статии, изпращайки ги на Академията на науките за Голямата награда по математика. Жозеф Фурие, тогава секретар на академията, умира, без да ги е прочел, а след смъртта му статиите не са открити сред неговите документи. Такъв поток от разочарования би съборил всеки. Галоа се разбунтува срещу управляващите, защото смята, че те не признават заслугите му и уби баща му. Той се потопи с глава в политиката, превръщайки се в пламенен републиканец - не най-мъдрото решение във Франция през 1830 г. В последен отчаян опит той изпрати научна статия до известния френски физик и математик Симеон Дени Поасон (1781–1840), който в отговор поиска допълнителни доказателства.
Това беше последната капка, която преля. През 1831 г. Галоа е арестуван два пъти – първо за уж призив за убийството на крал Луи Филип, а след това, за да го защити – властите се страхуват от републикански бунт! Този път той беше осъден на шест месеца лишаване от свобода по измислени обвинения за незаконно носене на униформата на разформирания артилерийски батальон, към който се присъедини. Освободен условно, той се зае с бизнес, който го отвращаваше толкова, колкото всичко останало в живота. В писмата до неговия предан приятел Шевалие се усеща неговото разочарование. На 29 май 1832 г. той приема предизвикателство за дуел, причините за който не са напълно изяснени. „Станах жертва на непочтена кокетка. Животът ми избледнява в мизерна кавга“, пише той в писмо до всички републиканци. Най-известната творба на Галоа е скицирана в нощта преди фаталния дуел. В полетата са пръснати оплаквания: „Нямам повече време, нямам повече време“. Той трябваше да остави на другите подробностите за междинните стъпки, които не бяха от съществено значение за разбирането на основната идея. Той трябваше да изхвърли на хартия основата на своите открития - произхода на това, което сега се нарича теорема на Галоа. Той завърши завещанието си, като помоли Шевалие да „поиска Якоби и Гаус да дадат публично мнението си не относно правилността, а относно важността на тези теореми“. Рано сутринта Галоа отиде да посрещне съперника си. Трябваше да стрелят от разстояние 25 крачки. Галоа е ранен и умира в болницата на следващата сутрин. Той беше само на двадесет години.
Галоа разчита на работата на Лагранж и Коши, но разработи по-общ метод. Това беше изключително важно постижение в областта на решаването на квинтиките. Ученият обърна по-малко внимание на оригиналните уравнения или графичната интерпретация и се замисли повече за природата на самите корени. За опростяване, Галоа разглежда само така наречените неприводими квинтики, тоест тези, които не могат да бъдат разложени на множители под формата на полиноми от по-нисък ред (както казахме, за всякакви полиномни уравнения до четвърти ред има формули за намиране техните корени). Като цяло, несводим полином с рационални коефициенти е полином, който не може да бъде разложен на по-прости полиноми, които имат рационални коефициенти. Например, (x 5 - 1) може да се факторизира (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1),като има предвид (x 5 - 2)несводим. Целта на Галоа е да определи условията, при които всички решения на едно общо неприводимо полиномно уравнение могат да бъдат намерени в термини на радикали.
Ключът към решението е, че корените на всяко неприводимо алгебрично уравнение не са независими, те могат да бъдат изразени един от друг. Тези отношения бяха формализирани в групата на всички възможни пермутации, така наречената група на коренната симетрия - за квинтик тази група съдържа 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 елемента. Математическите алгоритми на теорията на Галоа са много сложни и най-вероятно, отчасти поради това, първоначално са били разбрани с голяма трудност. Но след като нивото на абстракция направи възможно преминаването от алгебричните решения на уравненията към алгебричната структура на групите, свързани с тях, Галоа успя да предвиди разрешимостта на уравнението въз основа на свойствата на такива групи. Освен това, неговата теория също предоставя метод, чрез който самите корени могат да бъдат намерени. Що се отнася до квинтиките, математикът Джоузеф Лиувил (1809–1882), който през 1846 г. публикува по-голямата част от работата на Галуа в своя Journal of Pure and Applied Mathematics, отбеляза, че младият учен е доказал „прекрасна теорема“ и за да „ Ако едно неприводимо уравнение с първоначалната степен е разрешимо по отношение на радикали, е необходимо и достатъчно всичките му корени да бъдат рационални функции на кои да е две от тях. Тъй като това е невъзможно за квинтик, то не може да бъде решено с радикали.
За три години математическият свят загуби две от най-ярките си нови звезди. Последваха взаимни обвинения и претърсване на душата и Абел и Галоа постигнаха заслужено признание, но само посмъртно. През 1829 г. Карл Якоби чрез Лежандър научава за „изгубения“ ръкопис на Абел, а през 1830 г. избухва дипломатически скандал, когато норвежкият консул в Париж настоява да бъде намерена статията на неговия сънародник. В крайна сметка Коши намери статията, само за да я изгуби отново в редакторите на академията! През същата година Абел получава голямата награда по математика (заедно с Якоби) - но той вече е мъртъв. През 1841 г. е публикувана неговата биография. През 1846 г. Лиувил редактира някои от ръкописите на Галуа за публикуване и в своето въведение изразява съжаление, че академията първоначално е отхвърлила работата на Галуа поради нейната сложност – „наистина, яснотата на представянето е необходима, когато авторът отвежда читателя от утъпкания път в неизследвани диви територии." Той продължава: „Галоа вече го няма! Нека не изпадаме в безполезни критики. Да изхвърлим недостатъците и да погледнем достойнствата! Плодовете на краткия живот на Галоа се побират само в шестдесет страници. Редакторът на математическото списание за кандидати за École Normale и Ecole Polytechnique коментира случая Галоа по следния начин: „Кандидат с висока интелигентност беше отсечен от проверяващ с по-ниско ниво на мислене. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."
На първо място, втората страница на това произведение не е обременена с имена, фамилни имена, описания на положението в обществото, титли и елегии в чест на някой скъперник, чиято кесия ще бъде отворена с тези тамян - със заплахата да я затворят когато свършат похвалите. Тук няма да видите уважителни похвали, написани с букви, три пъти по-големи от самия текст, отправени към тези, които имат високо положение в науката, към някой мъдър покровител - нещо задължително (бих казал неизбежно) за някой на тази възраст от двадесет, които искат да напишат нещо. Не казвам на никого тук, че съм задължен на техните съвети и подкрепа за всички добри неща в работата ми. Не казвам това, защото би било лъжа. Ако трябва да спомена някой от великите в обществото или в науката (в момента разликата между тези две класи хора е почти незабележима), кълна се, че няма да е знак на благодарност. Дължа им, че публикувах първата от тези две статии толкова късно и че написах всичко това в затвора - на място, което трудно може да се счита за подходящо за научна рефлексия, и често се учудвам на моята сдържаност и умение да не говоря за замъка във връзка с глупавите и порочни Зойлс. Струва ми се, че мога да използвам думата "Zoils", без да се страхувам да бъда обвинен в непристойност, тъй като така се отнасям към опонентите си. Няма да пиша тук как и защо ме изпратиха в затвора, но трябва да кажа, че ръкописите ми най-често просто се губеха в папките на господа от академията, въпреки че, честно казано, не мога да си представя такава недискретност от страна на хора, на чиято съвест е смъртта на Авел. Според мен всеки би искал да бъде сравнен с този брилянтен математик. Достатъчно е да кажа, че статията ми за теорията на уравненията е изпратена в Академията на науките през февруари 1830 г., че извлеченията от нея са изпратени през февруари 1829 г., но въпреки това нищо от нея не е отпечатано и дори ръкописът се оказва невъзможно да се върне.
галоа, непубликуван предговор, 1832 гСъдейки по началото на публикацията, която тук ще пропуснем, текстът е написан от Юрий Игнатиевич. И е добре написано, а проблемите са актуални, просто така да се нарича Русия, както прави Мухин ...
Както и да се отнася някой към антинародната власт, Русия е над нея и не заслужава обиди. Дори от талантливия измамник на американската агенция НАСА.
*
Обжалване към другар. Мухин Ю.И.
Уважаеми Юрий Игнатиевич!Знам, че посещавате тези страници. Затова се обръщам директно към вас.
Всички оценяваме вашата безкористна работа в областта на разобличаването на лъжите на Запада, лъжите на Америка, лъжите на псевдо-учените, лъжите на либералите. С удоволствие и в полза на себе си и обществото мислим за сериозните теми, които ни подхвърляте от време на време, било то меритокрация или метафизика, любов към националната история или възстановяване на справедливостта.
Вашите определения за общата ни Родина обаче са недоумителни и силно разстроени.
Преценете обаче сами: как бихте характеризирали човек, който започна да обижда майка си, която се разболя и поради това временно спря да работи?
Но Русия, както и да се нарича и колкото и добра или отвратителна да е властта, Русия е нашата Родина. Родина.За нея нашите дядовци са проляли кръвта си и са дали живота си.
Следователно да го поставиш наравно със силата означава да понижиш духовното възвишено до нивото на материалното и дори ниско. Тези. вие сравнявате напълно различни категории. Нещо неприемливо за всеки здравомислещ човек.
Умолявам те, скъпи другарю. Мухин, помисли сериозно за това.
**
... А с уравненията (аз не знаех това) положението е следното. Как се намират корените на квадратно уравнение се е познавало в древен Египет. Как да се намерят корените на кубично уравнение и уравнение от четвърта степен е открито през шестнадесети век, но те не могат да намерят корените на уравнение от пета степен до 2016 г. И далеч от обикновените хора се опитаха.
През шестнадесети век основателят на символната алгебра Франсоа Виет се опитва да намери корените на уравнението от пета степен; през деветнадесети век основателят на съвременната висша алгебра, френският математик Еварист Галоа, се опитва да направи това; след него , норвежкият математик Нилс Хенрик Абел се опита да намери корените на уравненията от пета степен, който в крайна сметка се отказа и доказа невъзможността за решаване на уравнението от пета степен в общ вид.
В Уикипедия четем за достойнствата на Абел: „Абел завърши блестящо изследване на древен проблем:доказа невъзможността да се реши в общ вид (в радикали) уравнение от 5-та степен ...
В алгебрата Абел намери необходимото условие коренът на уравнението да бъде изразен „в радикали“ по отношение на коефициентите на това уравнение. Достатъчното условие скоро е открито от Галоа, чиито постижения се основават на работата на Абел.
Абел даде конкретни примери за уравнение от 5-та степен, чиито корени не могат да бъдат изразени в радикали, и по този начин до голяма степен затвори древния проблем.
Както виждате, ако те се опитваха да докажат теоремата на Поанкаре през цялото време и Перелман се оказа по-успешен от другите математици, то след Абел те не отведоха математиката до уравненията от пета степен.
И през 2014г математик от Томск Сергей Зайков, което от снимката може да се съди, че вече е на години, а според данните от статията за него, че е възпитаник на Факултета по приложна математика и кибернетика на Томския държавен университет, в хода на работата си той получи уравнения от пета степен. Задънена улица? Да, задънена улица! Но Сергей Зайков се зае да го пробие.
И през 2016 г. той намери начини за решаване на уравнения от пета степен в общ вид! Той направи това, което математиците Галоа и Абел доказаха невъзможността.
Опитах се да намеря информация за Сергей Зайков в Уикипедия, но майната му! За математика Сергей Зайков и за намирането на решението на уравнения от пета степен от него няма информация!
Пикантността на въпроса се придава и от факта, че за математиците има аналог на Нобеловата награда - награда Абел(Нобел забрани да се дава награда на математиците и сега тя се дава за математическо изхождане, наричайки ги „физика“).
Тази математическа награда е в чест на същия Абел, който доказа невъзможността на това, което е направил Зайков. Самономинирането за тази награда обаче не е разрешено. Но Зайков е самотен математик и няма организации, които да го номинират за тази награда.
Вярно е, че имаме Академия на науките, но в края на краищата академиците седят там не за развитието на математиката, а „за да режат плячката“. Кому е нужен този Зайков там?
Е, за информационните агенции, Зайков не е Перелман за вас! Затова откритието на Зайков за медиите не е сензация.
Ето и факта, че Порошенко сбърка с вратата - да! Това е истинска сензация!
Томският математик реши проблем, който не можеше да бъде решен двеста години
С появата на алгебрата основната му задача се счита за решаването на алгебрични уравнения. Решението на уравнението от втора степен е било известно още във Вавилон и Древен Египет. Преминаваме през тези уравнения в училище. Помните ли уравнението x2 + ax + b = 0 и дискриминанта?
Сергей Зайков с книга
Решението на алгебричните уравнения от трета и четвърта степен е намерено през шестнадесети век. Но не беше възможно да се реши уравнението от пета степен. Причината е открита от Лагранж. Той показа, че решението на уравнения от трета и четвърта степен става възможно, тъй като те могат да бъдат сведени до уравнения, които вече са били решени преди. Уравнение от трета степен може да бъде сведено до уравнение от втора степен, а уравнение от четвърта степен може да бъде сведено до уравнение от трета степен. Но уравнението от пета степен се свежда до уравнението на шестата, тоест по-сложно, така че традиционните методи за решаване не са приложими.
Въпросът за решаването на уравнение от пета степен се премести само преди двеста години, когато Абел доказа, че не всички уравнения от пета степен могат да бъдат решени в радикали, тоест в квадратни, кубични и други корени, известни ни от училище. И Галоа скоро, тоест преди двеста години, намери критерий за определяне кои уравнения от пета степен могат да бъдат решени в радикали и кои не. Тя се крие във факта, че групата на Галоа от радикално разрешими уравнения от пета степен трябва да бъде или циклична, или метациклична. Но Галоа не намери начин да реши в радикали онези уравнения от пета степен, които са разрешими в радикали. Теорията на Галоа е много известна, много книги са написани за нея.
Досега са намерени само конкретни решения за уравнения от пета степен, разрешими в радикали. И едва тази година Томският математик Сергей Зайков реши проблем, който не можеше да бъде решен двеста години. Той публикува книгата "Как се решават алгебрични уравнения от пета степен в радикали", в която посочва метод за решаване на всякакви уравнения от пета степен, които са разрешими в радикали. Зайков е завършил Факултета по приложна математика и кибернетика на Томския държавен университет. Успяхме да го интервюираме.
— Сергей, защо започна да решаваш този проблем?
— Имах нужда от решение на уравнение от пета степен, за да реша задача от друг клон на математиката. Започнах да измислям как да го намеря и установих, че не всички са решени в радикали. Тогава се опитах да намеря в научната литература начин за решаване на онези уравнения, които са разрешими в радикали, но намерих само критерий, по който може да се определи кои са разрешими и кои не. Не съм алгебраист, но, разбира се, като завършил ФПМК, мога да прилагам и алгебрични методи. Затова от 2014 г. сериозно започнах да търся решение и сам го намерих.
Методът беше намерен от мен преди две години, подготвих книга, в която не само беше описан, но и методи за решаване на някои уравнения от степени по-големи от петата. Но нямах пари да го публикувам. Тази година реших, че ще бъде по-лесно да публикувам само част от тази работа и взех само половината от нея, посветена на метод за решаване на уравнение от пета степен в радикали.
Поставих си за цел да публикувам нещо като ръководство за решаване на този проблем, разбираемо за математиците, които трябва да решат конкретно уравнение. Затова го опростих, като премахнах много дълги формули и значителна част от теорията, съкратих я с повече от половината, оставяйки само необходимото. Затова получих нещо като книга "за манекени", според която математици, които не са запознати с теорията на Галоа, могат да решат уравнението, което им е необходимо.
- За това много благодаря на Владислав Береснев, с когото се познаваме от много години. Той спонсорира издаването на книгата.
Възможно ли е да получите някаква награда по математика за решаването на тази задача? Например споменахте Абел. Но има Абелова награда по математика, която се смята за аналог на Нобеловата награда?
„Тази възможност не може да бъде напълно изключена. Но и вие не трябва да се надявате на това.
Например заявленията за кандидати за наградата Абел за 2019 г. трябва да се подадат до 15 септември. Освен това не се допуска самономиниране. Аз съм самотен математик. Няма организации или известни математици, които да ме номинират. Следователно няма да се разглежда, независимо дали работата ми заслужава тази награда и дали е в духа на тази награда тя да бъде присъдена на онези, които продължават делото на Авел. Но дори и да се представи, всичко зависи и от нивото на работа на другите кандидати.
Книгата е предназначена за тези, които не са запознати с теорията на Галоа. Основите на теорията на Галоа са дадени само в частта, в която са необходими за решаването на уравнението, методът на решението е описан подробно и са показани техники, които опростяват решението. Значителна част от книгата е посветена на пример за решаване на определено уравнение. Рецензенти на книгата са д-р на техническите науки Генадий Петрович Агибалов и доктор по физика. мат. наук, професор Петр Андреевич Крилов.
ПОДГОТОВЕН АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ
Към youtube канала на сайта ни, за да сте наясно с всички нови видео уроци.
Първо, нека си припомним основните формули за степени и техните свойства.
Продукт на число асе появява върху себе си n пъти, можем да запишем този израз като a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Степен или експоненциални уравнения- Това са уравнения, в които променливите са в степени (или експоненти), а основата е число.
Примери за експоненциални уравнения:
В този пример числото 6 е основата, винаги е отдолу и променливата хстепен или мярка.
Нека дадем още примери за експоненциални уравнения.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Сега нека да разгледаме как се решават експоненциалните уравнения?
Да вземем едно просто уравнение:
2 х = 2 3
Такъв пример може да бъде решен дори в ума. Вижда се, че x=3. В крайна сметка, за да са равни лявата и дясната страна, трябва да поставите числото 3 вместо x.
Сега нека видим как трябва да се вземе това решение:
2 х = 2 3
х = 3
За да решим това уравнение, ние го премахнахме същите основания(тоест двойки) и написах каквото е останало, това са степени. Получихме отговора, който търсихме.
Сега нека обобщим нашето решение.
Алгоритъм за решаване на експоненциалното уравнение:
1. Трябва да се провери същотодали основите на уравнението отдясно и отляво. Ако основанията не са еднакви, търсим варианти за решаване на този пример.
2. След като основите са еднакви, приравнявамстепен и решете полученото ново уравнение.
Сега нека решим няколко примера:
Да започнем просто.
Основите от лявата и дясната страна са равни на числото 2, което означава, че можем да изхвърлим основата и да изравним техните степени.
x+2=4 Получи се най-простото уравнение.
х=4 - 2
х=2
Отговор: x=2
В следващия пример можете да видите, че основите са различни, това са 3 и 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Като начало прехвърляме деветката в дясната страна, получаваме:
Сега трябва да направите същите основи. Знаем, че 9=3 2 . Нека използваме формулата за мощност (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Получаваме 9 x + 8 = (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 сега е ясно, че основите от лявата и дясната страна са еднакви и равни на три, което означава, че можем да ги изхвърлим и да изравним градусите.
3x=2x+16 получава най-простото уравнение
3x-2x=16
х=16
Отговор: x=16.
Нека да разгледаме следния пример:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
На първо място, разглеждаме основите, основите са различни две и четири. И ние трябва да сме същите. Преобразуваме четворката по формулата (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
И ние също използваме една формула a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Добавете към уравнението:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Дадохме пример по същите причини. Но ни пречат други числа 10 и 24. Какво да правим с тях? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че от лявата страна повтаряме 2 2x, ето отговора - можем да поставим 2 2x извън скоби:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Нека изчислим израза в скоби:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Разделяме цялото уравнение на 6:
Представете си 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 основи са еднакви, изхвърлете ги и приравнете степените.
2x \u003d 2 се оказа най-простото уравнение. Разделяме го на 2, получаваме
х = 1
Отговор: х = 1.
Нека решим уравнението:
9 x - 12*3 x +27= 0
Нека трансформираме:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Основите са едни и същи за нас, равни на 3. В този пример се вижда, че първата тройка има степен два пъти (2x) от втората (само x). В този случай можете да решите метод на заместване. Числото с най-малка степен се заменя с:
Тогава 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Заменяме всички степени с x в уравнението с t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Получаваме квадратно уравнение. Решаваме чрез дискриминанта, получаваме:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Обратно към променлива х.
Взимаме t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Това е,
3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2
Един корен беше намерен. Търсим втория, от t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 х = 3 1
х 2 = 1
Отговор: x 1 \u003d 2; х 2 = 1.
На сайта можете в секцията ПОМОГНЕТЕ ДА РЕШИТЕ да зададете въпроси, които ви интересуват, ние определено ще ви отговорим.
Присъединете се към група
