Което е равно на произведението на силата върху нейното рамо.
Моментът на сила се изчислява по формулата:
където Ф- сила, л- ръка на силата.
Рамо на силатае най-краткото разстояние от линията на действие на силата до оста на въртене на тялото. Фигурата по-долу показва твърдо тяло, което може да се върти около ос. Оста на въртене на това тяло е перпендикулярна на равнината на фигурата и минава през точка, която е обозначена с буквата О. Рамото на силата F tето разстоянието л, от оста на въртене до линията на действие на силата. Дефинира се по този начин. Първата стъпка е да се начертае линия на действие на силата, след което от точка О, през която минава оста на въртене на тялото, се спуска перпендикуляр към линията на действие на силата. Дължината на този перпендикуляр се оказва рамото на дадената сила.
Моментът на силата характеризира въртеливото действие на силата. Това действие зависи както от силата, така и от лоста. Колкото по-голямо е рамото, толкова по-малко сила трябва да се приложи, за да се получи желания резултат, тоест същия момент на сила (виж фигурата по-горе). Ето защо е много по-трудно да отворите вратата, като я натискате близо до пантите, отколкото като държите дръжката, и е много по-лесно да развиете гайката с дълъг гаечен ключ, отколкото с къс.
За единица за момент на сила в SI се приема момент на сила от 1 N, чието рамо е 1 m - нютон метър (N m).
Правило на момента.
Твърдо тяло, което може да се върти наоколо фиксирана ос, е в равновесие, ако моментът на силата М 1завъртането му по посока на часовниковата стрелка е равно на момента на сила М 2 , който го завърта обратно на часовниковата стрелка:
Правилото на моментите е следствие от една от теоремите на механиката, която е формулирана от френския учен П. Вариньон през 1687г.
Няколко правомощия.
Ако върху едно тяло действат 2 равни и противоположно насочени сили, които не лежат на една права линия, тогава такова тяло не е в равновесие, тъй като полученият момент на тези сили спрямо която и да е ос не е равен на нула, тъй като и двете силите имат моменти, насочени в една и съща посока. Наричат се две такива сили, действащи едновременно върху едно тяло няколко сили. Ако тялото е фиксирано върху ос, тогава под действието на двойка сили то ще се върти. Ако се приложи двойка сили към свободно тяло, то ще се върти около оста. преминаващ през центъра на тежестта на тялото, фигура б.
Моментът на двойка сили е еднакъв за всяка ос, перпендикулярна на равнината на двойката. Тотален момент Мдвойки винаги е равно на продуктаедна от силите Фот разстояние лмежду сили, наречени раменни двойки, без значение какви сегменти л, и споделя позицията на оста на рамото на двойката:
Моментът на няколко сили, чиято резултатна е равна на нула, ще бъде еднакъв по отношение на всички оси, успоредни една на друга, следователно действието на всички тези сили върху тялото може да бъде заменено с действието на една двойка сили със същия момент.
Дефиниции на момента на сила около точка и ос. Дефиниция на рамото на сила спрямо точка. Формулировки и доказателства за свойствата на момента на сила. Изразяване на абсолютната стойност на момента под формата на произведението на рамото на силата и модула на силата.
СъдържаниеМоментът спрямо точката О, от силата, чиято линия на действие минава през тази точка, е равен на нула.
.
Същото важи и за сили, чиито удължителни линии се пресичат в една точка. В този случай точката на пресичане на линиите на тяхното действие се приема като точка на приложение на сумата от силите.
,
.
Моментът на силата е псевдовекторили, което е същото, аксиален вектор.
Това свойство следва от свойството на векторния продукт. Тъй като вектори и са вярно(или полярни) вектори, то техният векторен продукт е псевдовектор. Това означава, че можем да определим само абсолютната стойност и оста, по която е насочен векторното произведение. Самата посока по тази ос ние задаваме произволно, използвайки правилото на десния винт. Тоест, ние мислено отделяме вектори от един център. След това завъртете дръжката от позиция на позиция. В резултат на това десният винт се измества в посока, перпендикулярна на равнината, в която са разположени векторите. Приемаме тази посока като посока на векторното произведение.
Но ако определим посоката според правилото на левия винт, тогава векторният продукт ще бъде насочен в обратна посока. В този случай не възниква противоречие. Тоест всъщност аксиалните вектори могат да имат две взаимно противоположни посоки. За да не усложняваме математическите формули, избираме една от тях, като приложим правилото на десния винт. Поради тази причина псевдовекторите не могат да бъдат геометрично добавени към истински вектори. Но те могат да бъдат умножени с помощта на скаларно или векторно произведение.
Момент на сила около оста
Определение
Често има случаи, когато не е необходимо да знаем всички компоненти на момента на сила около избрана точка, а трябва да знаем само момента на сила около избрана ос.
Моментът на сила спрямо оста е проекцията на вектора на момента на сила спрямо произволна точка, принадлежаща на тази ос, върху посоката на оста.
Нека е единичен вектор, насочен по оста. И нека O е произволна точка, принадлежаща към нея. Тогава моментът на силата около оста е скаларното произведение:
.
Такова определение е възможно, защото за всякакви две точки O и O′, принадлежащи на оста, проекциите на моментите около тези точки върху оста са равни. Нека го покажем.
Нека използваме векторното уравнение:
;
.
Умножаваме това уравнение скаларно по единичния вектор, насочен по оста:
.
Тъй като векторът е успореден на оста, тогава . Оттук
.
Тоест, проекциите на моментите върху оста, спрямо точките O и O′, принадлежащи на тази ос, са равни.
Имоти
Моментът около оста от силата, чиято линия на действие минава през тази ос, е равен на нула.
Доказателство за собственост
Преместване на точката на приложение на силата по линията на нейното действие
Ако точката на приложение на силата се премести по линията на действие на силата, тогава моментът по време на такова движение няма да се промени.
Доказателство
Нека силата е приложена в точка А. Начертайте линия през точка А, успоредна на вектора на силата. Тази линия е линията на нейното действие. Нека преместим точката A на приложение на силата в точката A′, принадлежаща на линията на действие. Тогава
.
Векторът е начертан през две точки от линията на действие. Следователно посоката му съвпада или е противоположна на посоката на вектора на силата. Тогава , където λ е параметър; . , ако точката A′ е изместена спрямо A в посоката на вектора . В противен случай .
По този начин векторът, изтеглен от O към A′, има формата:
.
Нека намерим момента на сила, приложена в точка A , използвайки свойствата на векторното произведение:
.
Виждаме, че моментът не се е променил:
.
Имотът е доказан.
Абсолютната стойност на момента на силата
Абсолютна стойностмоментът на сила спрямо някаква точка е равен на произведението на абсолютната стойност на силата и рамото на тази сила спрямо избраната точка.
Доказателство
Абсолютната стойност на момента M спрямо точка O е равна на произведението на силата F и нейното рамо d = |OD| .
Нека имаме сила, приложена в точка А. Помислете за момента на тази сила спрямо някаква точка O . Забележете, че точките O, A и векторът лежат в една и съща равнина. Нека го изобразим на снимката. През точка А, в посока на вектора, прокарваме права линия AB. Тази линия се нарича линия на действие на силата. През точката O спускаме перпендикуляра OD към линията на действие. И нека D е пресечната точка на линията на действие и перпендикуляра. След това - рамото на силата спрямо центъра O. Нека го обозначим с буква. Нека използваме , според който точката на приложение на силата може да бъде преместена по линията на действие. Нека го преместим в точка D. Момент на мощност:
.
Тъй като векторите и са перпендикулярни, то според свойството на векторното произведение абсолютната стойност на момента:
,
където е абсолютната стойност на силата.
Обърнете внимание, че векторът на момента е перпендикулярен на равнината на фигурата. Посоката му се определя от правилото на десния винт. Ако завъртим винта, минаващ през точка O, перпендикулярно на равнината на фигурата, в посока на силата F, тогава той ще се движи към нас. Следователно векторът на момента е перпендикулярен на равнината на фигурата и е насочен към нас.
Имотът е доказан.
Момент около точка от сила, преминаваща през тази точка
Моментът спрямо точката О, от силата, чиято линия на действие минава през тази точка, е равен на нула.
Доказателство
Нека линията на действие на силата минава през точка О. Тогава рамото на тази сила по отношение на O е равно на нула: . Според , абсолютната стойност на момента на сила спрямо избраната точка е нула:
.
Имотът е доказан.
Моментът на сбора на силите, приложени в една точка
Моментът от векторната сума на силите, приложени към една точка на тялото, е равен на векторната сума на моментите от всяка от силите, приложени към същата точка:
.
Доказателство
Нека в една точка A са приложени сили. Нека е векторната сума на тези сили. Откриваме момента спрямо някаква точка O от векторната сума, приложена в точката A. За да направим това, използваме свойствата на векторния продукт:
.
Имотът е доказан.
Момент на система от сили, чиято векторна сума е равна на нула
Ако векторната сума на силите е нула:
,
тогава сумата на моментите от тези сили не зависи от положението на центъра, спрямо който се изчисляват моментите:
.
Доказателство
Нека силите се прилагат в точки , съответно. И нека точките O и C означават два центъра, спрямо които ще изчислим моментите. Тогава са валидни следните векторни уравнения:
.
Използваме ги при изчисляване на сумата от моменти около точка O:
посочено е, че моментът на сила около една ос е проекция на вектора на момента на сила около произволна точка, принадлежаща на тази ос, върху посоката на оста. Като такава точка приемаме точката на пресичане на линията на действие на силата с оста. Но, според , моментът около тази точка е равен на нула. Следователно проекцията му върху тази ос също е равна на нула.
Имотът е доказан.
Момент около ос от сила, успоредна на тази ос
Моментът около една ос от сила, успоредна на тази ос, е нула.
Доказателство
Нека O е произволна точка на оста. Помислете за момента на сила за тази точка. По дефиниция:
.
Според свойството на кръстосаното произведение векторът на момента е перпендикулярен на вектора на силата. Тъй като векторът на силата е успореден на оста, векторът на момента е перпендикулярен на него. Следователно проекцията на момента около точката O на оста е нула.
Имотът е доказан.
Момент на сила около остае моментът на проекцията на сила върху равнина, перпендикулярна на оста, спрямо точката на пресичане на оста с тази равнина
Моментът около една ос е положителен, ако силата се стреми да завърти равнина, перпендикулярна на оста, обратно на часовниковата стрелка, когато се гледа към оста.
Моментът на сила около оста е 0 в два случая:
Ако силата е успоредна на оста
Ако силата пресече оста
Ако линията на действие и оста лежат в една и съща равнина, тогава моментът на сила около оста е 0.
27. Връзката между момента на сила около ос и векторния момент на сила около точка.
Mz(F)=Mo(F)*cosαМоментът на силата спрямо оста е равен на проекцията на вектора на момента на силите спрямо точката на оста върху тази ос.
28. Основната теорема на статиката за привеждане на системата от сили до даден център (теорема на Пойнсо). Главен вектор и главен момент на системата от сили.
Всяка пространствена система от сили в общия случай може да бъде заменена с еквивалентна система, състояща се от една сила, приложена в някаква точка на тялото (редукционен център) и равна на главния вектор на тази система от сили, и една двойка сили, чийто момент е равен на главния момент на всички сили спрямо избрания референтен център.
Основният вектор на силовата системанаречен вектор Рравен на векторната сума на тези сили:
Р = Ф 1 + Ф 2 + ... + Ф n= Фаз
За плоска система от сили основният й вектор се намира в равнината на действие на тези сили.
Основният момент на системата от силиоколо центъра O се нарича вектор Л O , равно на сумата от векторните моменти на тези сили спрямо точка O:
Л O= МО( Ф 1) + МО( Ф 2) + ... + МО( Ф n) = МО( Фи).
вектор Рне зависи от избора на центъра O и вектора Л O при промяна на позицията на центъра O може по принцип да се промени.
Теорема на Пойнсо: Произволна пространствена система от сили може да бъде заменена от една сила с основен вектор на системата от сили и двойка сили с главния момент, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло. Главният вектор е геометричната сума от всички сили, действащи върху твърдо тяло и се намира в равнината на действие на силите. Главният вектор се разглежда чрез неговите проекции върху координатните оси.
За да приведете силите към даден център, приложени в някаква точка на твърдо тяло, е необходимо: 1) да прехвърлите силата към себе си успоредно на даден център, без да променяте модула на силата; 2) в даден център приложите двойка сили, чийто векторен момент е равен на векторния момент на прехвърлената сила спрямо новия център, тази двойка се нарича прикрепена двойка.
Зависимост на основния момент от избора на центъра на редукция. Главният момент спрямо новия редукционен център е равен на геометричната сума на главния момент спрямо стария редукционен център и векторното произведение на радиус вектора, свързващ новия редукционен център със стария, и главния вектор.
29 Специални случаи на редукция на пространствената система от сили
|
Стойности на главния вектор и главния момент |
Резултат от кастинга |
|
|
|
Силова системасе свежда до двойка сили, чийто момент е равен на главния момент (основният момент на системата от сили не зависи от избора на центъра на редукция O). |
|
|
|
Системата от сили се редуцира до резултат, равен на преминаване през центъра O. |
|
|
|
Системата от сили се редуцира до резултат, равен на главния вектор и успореден на него и отделен от него на разстояние. Позицията на линията на действие на резултата трябва да бъде такава, че посоката на нейния момент спрямо центъра на редукция O да съвпада с посоката спрямо центъра O. |
|
|
|
Системата от сили се свежда до динамо (силов винт) - съвкупност от сили и двойка сили, лежащи в равнина, перпендикулярна на тази сила. |
|
|
|
Системата от сили, приложени към твърдо тяло, е балансирана. |
, а векторите не са перпендикулярни
30. Свеждане до динамизъм.В механиката динамото е такъв набор от сили и двойка сили (), действащи върху твърдо тяло, при което силата е перпендикулярна на равнината на действие на двойката сили. Използвайки векторния момент на няколко сили, може да се дефинира динамо като комбинация от сила и двойка, чиято сила е успоредна на векторния момент на няколко сили.
Уравнение на централната спирална осДа приемем, че в центъра на редукция, взет за начало на координатите, главният вектор се получава с проекции върху координатните оси и Основната точкас проекции Когато системата от сили се редуцира до центъра на редукция O 1 (фиг. 30), се получава динамо с главния вектор и главния момент , Vectors и като образуващ linam. са успоредни и следователно могат да се различават само със скаларен фактор k 0. Имаме, тъй като .Главните моменти и , удовлетворяват съотношението
Замествайки, получаваме
Координатите на точката O 1, в която се получава динамото, означаваме x, y, z. Тогава проекциите на вектора върху координатните оси са равни на координатите x, y, z. Като се има предвид това, (*) може да бъде изразено във формата
където i. j ,k са единичните вектори на координатните оси, а векторното произведение * е представено от детерминанта. Векторното уравнение (**) е еквивалентно на три скаларни уравнения, които след отхвърляне могат да бъдат представени като
Получените линейни уравнения за координатите x, y, z са уравнения на права линия - централната спирална ос. Следователно има права линия, в точките на която системата от сили се свежда до динамо.
Определение
Векторното произведение на радиуса - вектор (), който се изтегля от точка O (фиг. 1) до точката, към която се прилага силата върху самия вектор, се нарича момент на сила () по отношение на точка O :
На фиг. 1 точката O и векторът на силата () и радиус-векторът са в равнината на фигурата. В този случай векторът на момента на силата () е перпендикулярен на равнината на фигурата и има посока далеч от нас. Векторът на момента на силата е аксиален. Посоката на вектора на момента на силата е избрана по такъв начин, че въртенето около точка O по посока на силата и векторът да създават дясна винтова система. Посоката на момента на силите и ъглово ускорениесъвпада.
Стойността на вектора е:
където е ъгълът между посоките на радиус вектора и вектора на силата, е рамото на силата спрямо точка О.
Момент на сила около оста
Моментът на сила спрямо оста е физическо количество, равно на проекцията на вектора на момента на сила спрямо точката на избраната ос върху дадената ос. В този случай изборът на точка няма значение.
Основният момент на силите
Основният момент от съвкупността от сили спрямо точка О се нарича вектор (момент на сила), който е равно на суматамоменти на всички сили, действащи в системата по отношение на една и съща точка:
В този случай точката O се нарича център на редукция на системата от сили.
Ако има два основни момента ( и ) за една система от сили за различни два центъра на редукция на силите (O и O'), тогава те са свързани с израза:
където е радиус векторът, който е изтеглен от точка O до точка O’, е основният вектор на системата от сили.
В общия случай резултатът от действието върху твърдо тяло на произволна система от сили е същият като действието върху тялото на главния момент на системата от сили и главния вектор на системата от сили, който е прилага се в центъра на редукция (точка О).
Основният закон на динамиката на въртеливото движение
където е ъгловият импулс на въртящото се тяло.
За твърдо тяло този закон може да бъде представен като:
където I е моментът на инерция на тялото, е ъгловото ускорение.
Единици за момент на сила
Основната единица за измерване на момента на силата в системата SI е: [M]=N m
Към CGS: [M]=dyn cm
Примери за решаване на проблеми
Пример
Упражнение.Фигура 1 показва тяло, което има ос на въртене OO". Моментът на сила, приложен към тялото около дадена ос, ще бъде равен на нула? Оста и векторът на силата са разположени в равнината на фигурата.
Решение.Като основа за решаване на проблема вземаме формулата, която определя момента на сила:
Във векторно произведение (виждано от фигурата). Ъгълът между вектора на силата и радиус-вектора също ще бъде различен от нула (или ), следователно векторното произведение (1.1) не е равно на нула. Това означава, че моментът на сила е различен от нула.
Отговор.
Пример
Упражнение. Ъглова скоростна въртящо се твърдо тяло се променя в съответствие с графиката, която е представена на фиг.2. В коя от точките, посочени на графиката, моментът на приложените към тялото сили е равен на нула?
