1. Нека разберем какви трансформации на енергията се случват при трептенията на пружинно махало (виж фиг. 80). При разтягане на пружината нейната потенциална енергия се увеличава и при максимално разтягане тя има стойността Е n = .
Когато товарът се премести в равновесно положение, потенциалната енергия на пружината намалява, а кинетичната енергия на товара се увеличава. В равновесно положение кинетичната енергия на товара е максимална Е k = , а потенциалната енергия на пружината е нула.
Когато пружината е компресирана, нейната потенциална енергия се увеличава и кинетичната енергия на товара намалява. При максимално компресиране потенциалната енергия на пружината е максимална, а кинетичната енергия на товара е нула.
Ако пренебрегнем силата на триене, тогава по всяко време сумата от потенциалната и кинетичната енергия остава непроменена
Е = Е n+ Е k = const.
При наличие на сила на триене енергията се изразходва за извършване на работа срещу тази сила, амплитудата на трептенията намалява и трептенията загасват.
Така свободните трептения на махалото, които възникват поради първоначалното подаване на енергия, са винаги затихване.
2. Възниква въпросът какво трябва да се направи, за да не спрат колебанията с времето. Очевидно е, че за получаване на незатихващи трептения е необходимо да се компенсират загубите на енергия. Това може да стане по много начини. Нека разгледаме един от тях.
Знаете добре, че трептенията на люлеенето няма да загинат, ако постоянно се натискат, тоест действат върху тях с известна сила. В този случай трептенията на люлеенето вече не са свободни, те ще възникнат под действието на външна сила. Работата на тази външна сила просто компенсира енергийните загуби, причинени от триенето.
Разберете каква трябва да бъде външната сила? Да приемем, че модулът и посоката на силата са постоянни. Очевидно в този случай трептенията ще спрат, тъй като тялото, преминало равновесното положение, няма да се върне към него. Следователно модулът и посоката на външната сила трябва периодично да се променят.
По този начин,
Принудителните трептения са трептения, които възникват под действието на външна, периодично променяща се сила.
Принудителните трептения, за разлика от свободните, могат да възникнат при всяка честота. Честотата на принудителните трептения е равна на честотата на промяна на силата, действаща върху тялото,в този случай се нарича принуждаване.
3. Да направим експеримент. Окачваме няколко махала с различна дължина на въже, фиксирано в стелажи (фиг. 82). Да отхвърлим махалото Аот положението на равновесие и го остави сам. Той ще извършва свободни трептения, действайки с известна периодична сила върху въжето. Въжето от своя страна ще действа върху останалите махала. В резултат на това всички махала ще започнат да извършват принудителни трептения с честотата на трептенията на махалото А.
Ще видим, че всички махала ще започнат да трептят с честота, равна на честотата на махалото А. Въпреки това, тяхната амплитуда на трептене, с изключение на махалото ° С, ще бъде по-малка от амплитудата на трептенията на махалото А. Махалото ° С, чиято дължина е равна на дължината на махалото А, ще се люлее много силно. Следователно махалото има най-голямата амплитуда на трептене, чиято собствена честота на трептене съвпада с честотата на движещата сила. В този случай казваме, че има резонанс.
Резонансът е явлението на рязко увеличаване на амплитудата на принудителните трептения, когато честотата на движещата сила съвпада с собствената честота на осцилиращата система (махало).
Може да се наблюдава резонанс, когато люлката се люлее. Сега можете да обясните, че люлката ще се люлее по-силно, ако бъде избутана навреме със собственото си замахване. В този случай честотата на външната сила е равна на честотата на трептене на люлеенето. Всяко натискане срещу движението на люлката ще доведе до намаляване на тяхната амплитуда.
4 * . Нека разберем какви енергийни трансформации се случват при резонанс.
Ако честотата на движещата сила се различава от собствената честота на трептенията на тялото, тогава движещата сила ще бъде насочена или по посока на движението на тялото, или срещу него. Съответно, работата на тази сила ще бъде или отрицателна, или положителна. Като цяло работата на движещата сила в този случай леко променя енергията на системата.
Сега нека честотата на външната сила е равна на собствената честота на трептенията на тялото. В този случай посоката на движещата сила съвпада с посоката на скоростта на тялото, а съпротивителната сила се компенсира от външна сила. Тялото осцилира само под действието на вътрешни сили. С други думи, отрицателната работа срещу силата на съпротивлението е равна на положителната работа на външната сила. Следователно трептенията възникват с максимална амплитуда.
5. Явлението резонанс трябва да се вземе предвид на практика. По-специално машинните инструменти, машините правят малки вибрации по време на работа. Ако честотата на тези трептения съвпада с честотата на собствените трептения на отделните части на машините, тогава амплитудата на трептенията може да бъде много голяма. Машината или опората, върху която стои, ще се срути.
Има случаи, когато поради резонанс самолет се разпадаше във въздуха, витла се счупиха на кораби и железопътните релси се сринаха.
Резонансът може да бъде предотвратен чрез промяна на естествената честота на системата или честотата на силата, причиняваща трептенията. За целта например войниците, преминавайки по мост, не вървят в крачка, а със свободно темпо. В противен случай честотата на техните стъпки може да съвпадне с естествената честота на моста и той ще се срути. Това се случва през 1750 г. във Франция, когато отряд войници преминава през 102 м дълъг мост, висящ на вериги. Подобен инцидент се случва в Санкт Петербург през 1906 г. Когато кавалерийски ескадрон преминава по египетския мост през река Фонтанка, честотата на ясната стъпка на конете съвпада с честотата на трептене на моста.
За да предотвратят резонанс, влаковете пресичат мостове с бавни или много бързи скорости, така че честотата на ударите на колелата върху релсовите възли е много по-малка или много по-голяма от естествената честота на моста.
Феноменът резонанс не винаги е вреден. Понякога може да бъде полезно, защото ви позволява да получите голямо увеличение на амплитудата на трептения дори с малка сила.
Работата на устройството се основава на явлението резонанс, което прави възможно измерването на честотата на трептенията. Това устройство се нарича честотомер. Работата му може да се илюстрира със следния експеримент. Модел на честотомер е фиксиран върху центробежна машина, която се състои от набор от пластини (езици) с различна дължина (фиг. 83). В краищата на плочите има калаени знамена, покрити с бяла боя. Вижда се, че при промяна на скоростта на въртене на дръжката на машината различни пластини осцилират. Тези плочи започват да трептят, чиято собствена честота е равна на честотата на въртене.
Въпроси за самоизследване
1. Какво определя амплитудата на свободните трептения на пружинното махало?
2. Поддържа ли се амплитудата на трептенията на махалото постоянна при наличие на сили на триене?
3. Какви енергийни трансформации се случват при трептене на пружинно махало?
4. Защо свободните вибрации се заглушават?
5. Кои трептения се наричат принудителни? Дайте примери за принудителни трептения.
6. Какво се нарича резонанс?
7. Дайте примери за вредното проявление на резонанса. Какво трябва да се направи, за да се избегне резонанс?
8. Дайте примери за използване на явлението резонанс.
Задача 26
1. Попълнете таблица 14, като напишете в нея каква сила действа върху осцилаторната система, ако тя извършва свободни или принудителни вибрации; какви са честотата и амплитудата на тези трептения; независимо дали са амортизирани или не.
Таблица 14
|
Характеристика на трептене |
Тип трептене |
|
|
Безплатно |
Принуден |
|
|
Оперативна сила |
||
|
Честота |
||
|
Амплитуда |
||
|
затихване |
||
2 д.Предложете експеримент за наблюдение на принудителни трептения.
3 д.Проучете явлението резонанс експериментално, като използвате математическите махала, които сте направили.
4. При определена скорост на въртене на колелото на шевната машина, масата, на която стои, понякога се люлее силно. Защо?
За да може системата да извършва незатихващи трептения, е необходимо да се попълнят загубите на енергия от трептения поради триене отвън. За да не намалява енергията на трептенията на системата, обикновено се въвежда сила, която периодично действа върху системата (ще наричаме такава сила принудителна, а трептенията принудени).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: принуденнаричани такива вибрации, които възникват в осцилаторна система под действието на външна периодично променяща се сила.
Тази сила, като правило, изпълнява двойна роля:
Първо, разклаща системата и й дава известно количество енергия;
Второ, той периодично попълва загубите на енергия (разход на енергия), за да преодолее силите на съпротивление и триене.
Нека движещата сила се променя с времето според закона:
Нека съставим уравнение на движението за система, която се колебае под въздействието на такава сила. Предполагаме, че системата също е засегната от квазиеластична сила и силата на съпротивление на средата (което е валидно при допускането за малки трептения).
Тогава уравнението на движението на системата ще изглежда така:
Или 
.
След заместване на , , - собствената честота на трептенията на системата получаваме нехомогенно линейно диференциално уравнение от 2-ри ред:
От теорията на диференциалните уравнения е известно, че общото решение на нехомогенно уравнение е равно на сбора от общото решение на еднородно уравнение и частно решение на нехомогенно уравнение.
Общото решение на хомогенното уравнение е известно:
,
където 
; а 0 и а- произволна конст.
.
Използвайки векторна диаграма, можете да се уверите, че такова предположение е вярно, както и да определите стойностите на „ а" и " j”.
Амплитудата на трептене се определя от следния израз:
.
значение " j”, което е величината на фазовото забавяне на принудителното трептене 
от движещата сила, която го е причинила, също се определя от векторната диаграма и е:
.
И накрая, конкретно решение на нехомогенното уравнение ще има формата:
 |
(8.18) |
Тази функция, заедно с
 |
(8.19) |
дава общо решение на нехомогенно диференциално уравнение, описващо поведението на система при принудителни вибрации. Терминът (8.19) играе съществена роля в началния етап на процеса, по време на т. нар. установяване на трептения (фиг. 8.10).
С течение на времето, поради експоненциалния фактор, ролята на втория член в (8.19) намалява все повече и след достатъчно време може да се пренебрегне, като в решението се запазва само членът (8.18).
Така функцията (8.18) описва устойчиви принудителни трептения. Те са хармонични трептения с честота, равна на честотата на движещата сила. Амплитудата на принудителните трептения е пропорционална на амплитудата на движещата сила. За дадена осцилаторна система (дефинирана w 0 и b) амплитудата зависи от честотата на движещата сила. Принудителните трептения изостават от движещата сила във фаза, а размерът на изоставането "j" също зависи от честотата на движещата сила.
Зависимостта на амплитудата на принудителните трептения от честотата на движещата сила води до факта, че при определена честота, определена за дадена система, амплитудата на трептене достига своята максимална стойност. Осцилаторната система е особено чувствителна към действието на движещата сила при тази честота. Това явление се нарича резонанс, а съответната честота е резонансна честота.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: явлението, при което има рязко увеличаване на амплитудата на принудителното трептене, се нарича резонанс.
Резонансната честота се определя от максималното условие за амплитудата на принудителните трептения:
. (8.20)
След това, замествайки тази стойност в израза за амплитудата, получаваме:
. (8.21)
При липса на средно съпротивление, амплитудата на трептения при резонанс би се превърнала в безкрайност; резонансната честота при същите условия (b = 0) съвпада със собствената честота на трептене.
Зависимостта на амплитудата на принудителните трептения от честотата на движещата сила (или, което е същото, от честотата на трептенията) може да бъде представена графично (фиг. 8.11). Отделни криви съответстват на различни стойности на "b". Колкото по-малко “b”, толкова по-високо и вдясно се намира максимумът на тази крива (виж израза за w res.). При много голямо затихване не се наблюдава резонанс - с нарастване на честотата амплитудата на принудителните трептения намалява монотонно (долна крива на фиг. 8.11).
Наборът от представени графики, съответстващи на различни стойности на b, се нарича резонансни криви.
Забележки относно резонансните криви:
Тъй като w®0 се стреми, всички криви стигат до една ненулева стойност, равна на . Тази стойност представлява изместването от равновесното положение, което системата получава под действието на постоянна сила Ф 0 .
Тъй като w®¥ всички криви асимптотично клонят към нула, тъй като при висока честота силата променя посоката си толкова бързо, че системата няма време да се измести забележимо от равновесното положение.
Колкото по-малък е b, толкова по-силна е амплитудата в близост до резонанса, която се променя с честотата, толкова "по-остър" е максимумът.
Примери:
Феноменът резонанс често е полезен, особено в акустиката и радиотехниката.
Загубата на механична енергия във всяка осцилаторна система поради наличието на сили на триене е неизбежна, следователно, без „изпомпване“ на енергия отвън, трептенията ще бъдат затихнали. Има няколко принципно различни начина за създаване на осцилаторни системи от незатихващи трептения. Нека да разгледаме по-отблизо незатихващи трептения под действието на външна периодична сила. Такива трептения се наричат принудителни. Нека продължим да изучаваме движението на хармонично махало (фиг. 6.9).
В допълнение към разгледаните по-рано еластични сили и вискозно триене, върху топката въздействат външни завладяващпериодична сила, която варира според хармоничния закон
честота, която може да се различава от собствената честота на махалото ω о. Природата на тази сила не е важна за нас в случая. Такава сила може да бъде създадена по различни начини, например чрез придаване на електрически заряд на топката и поставянето й във външно променливо електрическо поле. Уравнението за движение на топката в разглеждания случай има вида
Разделяме го на масата на топката и използваме предишната нотация за параметрите на системата. В резултат получаваме уравнение за принудителна вибрация:
където е о = F о /ме съотношението на амплитудната стойност на външната движеща сила към масата на топката. Общото решение на уравнение (3) е доста тромаво и, разбира се, зависи от началните условия. Естеството на движението на топката, описано с уравнение (3), е разбираемо: под действието на движещата сила възникват трептения, чиято амплитуда ще се увеличава. Този преходен режим е доста сложен и зависи от началните условия. След определен период от време ще се установи осцилаторният режим, амплитудата им ще престане да се променя. Точно стационарно трептене, в много случаи е от първостепенен интерес. Няма да разглеждаме прехода на системата към стационарно състояние, а ще се съсредоточим върху описанието и изследването на характеристиките на този режим. При такава постановка на задачата не е необходимо да се задават началните условия, тъй като интересният за нас стационарен режим не зависи от началните условия, неговите характеристики се определят напълно от самото уравнение. С подобна ситуация се сблъскахме при изучаване на движението на тяло под действието на постоянна външна сила и силата на вискозното триене
След известно време тялото се движи с постоянна постоянна скорост v = F о /β , което не зависи от началните условия и се определя изцяло от уравнението на движението. Началните условия определят режима от преход към стационарно движение. Въз основа на здравия разум е разумно да се предположи, че в стационарния режим на трептене топката ще осцилира с честотата на външната движеща сила. Следователно решението на уравнение (3) трябва да се търси в хармонична функция с честотата на движещата сила. Първо решаваме уравнение (3), пренебрегвайки силата на съпротивление
Нека се опитаме да намерим неговото решение под формата на хармонична функция
За да направим това, ние изчисляваме зависимостите на скоростта и ускорението на тялото от времето, като производни на закона за движение
и заместете техните стойности в уравнение (4)
Сега можете да изрежете на cosωt. Следователно този израз се превръща в истинска идентичност по всяко време, при условие че условието
По този начин нашето предположение за решението на уравнение (4) във формата (5) беше оправдано: стационарният режим на трептене се описва с функцията
Имайте предвид, че кое Аспоред получения израз (6), той може да бъде както положителен (за ω < ω о) и отрицателен (за ω > ω о). Промяната на знака съответства на промяна във фазата на трептене от π (причината за такава промяна ще бъде изяснена малко по-късно), следователно, амплитудата на трептенията е модулът на този коефициент |A|. Амплитудата на устойчивите трептения, както се очаква, е пропорционална на величината на движещата сила. Освен това тази амплитуда зависи по сложен начин от честотата на движещата сила. Схематична диаграма на тази зависимост е показана на фиг. 6.10
Ориз. 6.10 Резонансна крива
Както следва от формула (6) и ясно се вижда на графиката, когато честотата на движещата сила се доближава до естествената честота на системата, амплитудата рязко нараства. Причината за такова увеличение на амплитудата е ясна: движещата сила "на време" избутва топката, при пълно съвпадение на честотите, стационарното състояние отсъства - амплитудата се увеличава до безкрайност. Разбира се, на практика е невъзможно да се наблюдава такова безкрайно увеличение: Преди всичко, това може да доведе до разрушаване на самата осцилаторна система, Второ, при големи амплитуди на трептене, съпротивителните сили на средата не могат да бъдат пренебрегнати. Рязкото увеличаване на амплитудата на принудителните трептения, когато честотата на движещата сила се доближава до естествената честота на трептенията на системата, се нарича резонансен феномен. Нека сега да продължим към търсенето на решение на уравнението на принудителните трептения, като се вземе предвид силата на съпротивление
Естествено и в този случай решението трябва да се търси под формата на хармонична функция с честотата на движещата сила. Лесно е да се види, че търсенето на решение във формата (5) в този случай няма да доведе до успех. Наистина, уравнение (8), за разлика от уравнение (4), съдържа скоростта на частиците, която се описва от функцията синус. Следователно частта от времето в уравнение (8) няма да бъде намалена. Следователно решението на уравнение (8) трябва да бъде представено в общия вид на хармонична функция
в който два параметъра А ои φ трябва да се намери с помощта на уравнение (8). Параметър А ое амплитудата на принудителните трептения, φ − фазово изместване между променящата се координата и променливата движеща сила. Използвайки тригонометричната формула за косинуса на сбора, функцията (9) може да бъде представена в еквивалентната форма
който също съдържа два параметъра B=A о cosφи C = -A о sinφда се определи. Използвайки функция (10), пишем явни изрази за зависимостите на скоростта и ускорението на частицата от времето
и заместваме в уравнение (8):
Нека пренапишем този израз като
За да се запази равенството (13) по всяко време , е необходимо коефициентите при косинус и синус да са равни на нула. Въз основа на това условие получаваме две линейни уравнения за определяне на параметрите на функция (10):
Решението на тази система от уравнения има формата
Въз основа на формула (10) определяме характеристиките на принудителните трептения: амплитудата
фазово изместване
При ниско затихване тази зависимост има рязък максимум, когато честотата на движещата сила се приближи ω към собствената честота на системата ω о. Следователно в този случай може да възникне и резонанс, поради което конструираните зависимости често се наричат резонансна крива. Отчитането на слабото затихване показва, че амплитудата не се увеличава до безкрайност, максималната й стойност зависи от коефициента на затихване - с увеличаването на последния максималната амплитуда бързо намалява. Получената зависимост на амплитудата на трептене от честотата на движещата сила (16) съдържа твърде много независими параметри ( е о , ω о , γ ), за да се конструира пълно семейство от резонансни криви. Както в много случаи, тази зависимост може да бъде значително опростена чрез преминаване към "безразмерни" променливи. Нека преобразуваме формула (16) до следния вид
и обозначават
− относителна честота (отношението на честотата на движещата сила към собствената честота на колебанията на системата);
− относителна амплитуда (отношението на амплитудата на трептенията към величината на отклонението А о = f/ω о 2 при нулева честота);
е безразмерен параметър, който определя размера на затихването. Използвайки тези обозначения, функцията (16) е значително опростена
тъй като съдържа само един параметър − δ . Еднопараметърно семейство от резонансни криви, описани от функцията (16 b), може да бъде конструирано, особено лесно с помощта на компютър. Резултатът от такава конструкция е показан на фиг. 629.
ориз. 6.11
Имайте предвид, че преходът към "обичайните" мерни единици може да се извърши чрез елементарна промяна в мащаба на координатните оси. Трябва да се отбележи, че честотата на движещата сила, при която амплитудата на принудените трептения е максимална, също зависи от коефициента на затихване, като леко намалява с нарастването на последния. И накрая, ние подчертаваме, че увеличаването на коефициента на затихване води до значително увеличаване на ширината на резонансната крива. Полученото фазово изместване между трептенията на точката и движещата сила също зависи от честотата на трептенията и техния коефициент на затихване. Ще се запознаем по-подробно с ролята на това фазово изместване, когато разглеждаме трансформацията на енергията в процеса на принудителни трептения.
честотата на свободните незатихващи трептения съвпада със собствената честота, честотата на затихващите трептения е малко по-малка от собствената честота, а честотата на принудителното трептене съвпада с честотата на движещата сила, а не с собствената честота.
Принудителни електромагнитни трептения
принуденнаречени такива трептения, които възникват в трептящата система под въздействието на външно периодично влияние.
Фиг.6.12. Верига с принудителни електрически трептения
Помислете за процесите, протичащи в електрическа осцилаторна верига ( фиг.6.12), свързан към външен източник, чиято ЕМП варира според хармоничния закон
,
където ме амплитудата на външната ЕМП,
е цикличната честота на ЕМП.
Означете с У ° Снапрежение на кондензатора, и и - сила на тока във веригата. В тази верига, в допълнение към променливата EMF (т) все още има ЕМП на самоиндукция Лв индуктора.
ЕМП на самоиндукция е право пропорционална на скоростта на промяна на силата на тока във веригата
.
За изход диференциално уравнение на принудителни трептениявъзникващи в такава верига, ние използваме второто правило на Кирхоф
.
Напрежение на съпротивлението Рнамерете по закона на Ом
.
Силата на електрическия ток е равна на заряда, протичащ за единица време през напречното сечение на проводника
.
Следователно
.
Волтаж У ° Сна кондензатора е право пропорционална на заряда върху плочите на кондензатора
.
ЕМП на самоиндукция може да се представи чрез втората производна на заряда по отношение на времето
.
Заместване на напреженията и ЕДС във второто правило на Кирхоф
.
Разделяне на двете страни на този израз на Ли разпределяйки членовете според степента на намаляване на реда на производната, получаваме диференциално уравнение от втори ред
.
Нека въведем следната нотация и получим
е коефициентът на затихване,
е цикличната честота на собствените трептения на веригата.
.
(1)
Уравнение (1) е хетерогененлинейно диференциално уравнение от втори ред. Уравненията от този тип описват поведението на широк клас осцилаторни системи (електрически, механични) под въздействието на външно периодично действие (външно ЕМП или външна сила).
Общото решение на уравнение (1) е сумата от общото решение q 1 хомогеннадиференциално уравнение (2)
(2)
и всяко конкретно решение q 2 хетерогененуравнения (1)
.
Един вид общо решение хомогеннауравнение (2) зависи от стойността на коефициента на затихване . Интересуваме се от случая на слабо затихване << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
където Би 0 са константи, дадени от началните условия.
Решение (3) описва затихване на трептения във веригата. Стойности, включени в (3):
е цикличната честота на затихващите трептения;
е амплитудата на затихващите трептения;
е фазата на затихналите трептения.
Търсим конкретно решение на уравнение (1) под формата на хармонично трептене, възникващо с честота, равна на честотата външно периодично въздействие - ЕМП, и изоставане във фаза по От него
където 
е амплитудата на принудителните трептения, която зависи от честотата.
Заместваме (4) с (1) и получаваме тъждеството
За да сравним фазите на трептенията, използваме тригонометричните формули за редукция
.
Тогава нашето уравнение ще бъде пренаписано във формата
Нека представим флуктуациите от лявата страна на получената идентичност във формата векторна диаграма (ориз.6.13)..
Третият член, съответстващ на флуктуациите в капацитета С, който има фаза (
т
–
) и амплитуда 
, представляват хоризонтален вектор, насочен надясно.
Фиг.6.13. векторна диаграма
Първият член на лявата страна, съответстващ на трептения на индуктивността Л, ще бъде представен на векторната диаграма от вектор, насочен хоризонтално наляво (неговата амплитуда 
).
Вторият член съответства на колебанията в съпротивлението Р, представляват вектор, насочен вертикално нагоре (неговата амплитуда 
), тъй като неговата фаза е /2 зад фазата на първия член.
Тъй като сборът от три вибрации вляво от знака за равенство дава хармонична вибрация 
, тогава векторната сума на диаграмата (правоъгълник диагонал) изобразява трептене с амплитуда 
и фаза
т, който е включен
преди фазата на трептения на третия член.
От правоъгълен триъгълник, използвайки питагоровата теорема, можете да намерите амплитудата А( )
(5)
и tg като съотношението на противоположния крак към съседния крак.
.
(6)
Следователно решението (4), като се вземат предвид (5) и (6), приема формата
.
(7)
Общо решение на диференциално уравнение(1) е сумата q 1 и q 2
.
(8)
Формула (8) показва, че когато към веригата се приложи периодична външна ЕДС, в нея възникват трептения с две честоти, т.е. незатихващи трептения с честотата на външната ЕМП
и затихване на трептения с честота 
. Амплитуда на затихване на трептения 
става незначително с времето и във веригата остават само принудителни трептения, чиято амплитуда не зависи от времето. Следователно, устойчивите принудителни трептения се описват с функция (4). Тоест във веригата възникват принудителни хармонични трептения с честота, равна на честотата на външното въздействие, и амплитуда 
, в зависимост от тази честота ( ориз. 3а) съгласно закона (5). В този случай фазата на принудителното трептене изостава с
от принуда.
Диференцирайки израза (4) по отношение на времето, намираме силата на тока във веригата
където 
е амплитудата на силата на тока.
Записваме този израз за текущата сила във формата
,
(9)
където 
–фазово изместване между тока и външната ЕДС.
Според (6) и ориз. 2
.
(10)
От тази формула следва, че фазовото изместване между тока и външната ЕДС зависи, при постоянно съпротивление Р, от съотношението между честотата на задвижващата ЕМП и собствена честота на веригата 0 .
Ако < 0 , след това фазовото изместване между тока и външната ЕМП < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Ако > 0, тогава > 0. Флуктуациите на тока изостават с ъгъл от колебанията на ЕМП във фаза .
Ако = 0 (резонансна честота), тогава \u003d 0, т.е. силата на тока и EMF осцилират в една и съща фаза.
Резонанс- това е явление на рязко увеличаване на амплитудата на трептенията, когато честотата на външната, движеща сила съвпада с собствената честота на осцилаторната система.
При резонанс = 0 и период на трептене
.
Като се има предвид, че коефициентът на затихване
,
получаваме изрази за качествен фактор при резонанс т = т 0
,
от друга страна
.
Амплитудите на напрежението върху индуктивността и капацитета при резонанс могат да бъдат изразени чрез качествен фактор на веригата
,
(15)
.
(16)
От (15) и (16) се вижда, че при
=
0, амплитудата на напрежението през кондензатора и индуктивността в Впъти амплитудата на външната емф. Това е свойство на сериал RLCконтурът се използва за изолиране на радиосигнал с определена честота 
от спектъра на радиочестотите при преструктурирането на радиоприемника.
На практика RLCверигите са свързани към други вериги, измервателни уреди или усилвателни устройства, като внасят допълнително затихване в RLCверига. Следователно, реалната стойност на коефициента на качество на заредените RLCверигата се оказва по-ниска от коефициента на качество, оценен по формулата
.
Реалната стойност на коефициента на качество може да се оцени като
Фиг.6.14. Определяне на качествен фактор от резонансната крива
,
където ее честотната лента, в която амплитудата е 0,7 от максималната стойност ( ориз. 4).
Напрежение на кондензатора У ° С, на активно съпротивление У Ри на индуктора У Лдостигат максимум при различни честоти, респ
,
,
.
Ако затихването е малко 0 >> , то всички тези честоти практически съвпадат и можем да предположим, че
.
Нека се обърнем отново към фигура 53. Премествайки топката от точка O (равновесно положение) до точка B, разтягаме пружината. В същото време извършваме известна работа, за да преодолеем силата на нейната еластичност, поради което пружината придобива потенциална енергия. Ако сега пуснем топката, тогава когато тя се приближи до точка O, деформацията на пружината и потенциалната енергия на махалото ще намалеят, докато скоростта и кинетичната енергия ще се увеличат.
Да приемем, че загубите на енергия за преодоляване на силите на триене по време на движението на махалото са пренебрежимо малки. Тогава, съгласно закона за запазване на енергията, общата механична енергия на махалото (т.е. E p + E k) по всяко време може да се счита за еднаква и равна на потенциалната енергия, която първоначално сме придали на пружината, разтягайки се то по дължината на отсечката OB. В този случай махалото може да осцилира произволно дълго време с постоянна амплитуда, равна на OB.
Това би било така, ако нямаше загуби на енергия по време на движение.
Но в действителност винаги има загуба на енергия. Механичната енергия се изразходва например за извършване на работа за преодоляване на силите на въздушното съпротивление, като същевременно преминава във вътрешна енергия. Амплитудата на трептенията постепенно намалява и след известно време трептенията спират. Такива трептения се наричат затихващи (фиг. 66).
Ориз. 66. Графики на зависимостта от времето на амплитудата на свободните трептения, възникващи във вода и въздух
Колкото по-голяма е силата на съпротивление на движението, толкова по-бързо спират трептенията. Например във вода трептенията затихват по-бързо, отколкото във въздуха (фиг. 66, а, б).
Досега разглеждахме свободни трептения, т.е. трептения, възникващи поради първоначалния енергиен резерв.
Свободните трептения винаги се заглушават, тъй като целият запас от енергия, първоначално предадена на осцилаторната система, в крайна сметка отива на работа за преодоляване на силите на триене и съпротивлението на средата (т.е. механичната енергия се превръща във вътрешна енергия). Следователно свободните вибрации нямат почти никакво практическо приложение.
За да не затихнат трептенията, е необходимо да се попълнят енергийните загуби за всеки период на трептения. Това може да стане чрез въздействие върху осцилиращо тяло с периодично променяща се сила. Например, всеки път, когато натискате люлка в ритъма на техните трептения, можете да гарантирате, че трептенията няма да избледняват.
- Трептенията, направени от тяло под действието на външна периодично променяща се сила, се наричат принудителни вибрации.
Външната периодично променяща се сила, която причинява тези трептения, се нарича завладяваща сила.
Ако периодично променяща се движеща сила започне да действа върху люлка в покой, тогава за известно време амплитудата на принудителните трептения на люлеенето ще се увеличи, т.е. амплитудата на всяко следващо трептене ще бъде по-голяма от предишната. Увеличаването на амплитудата ще спре, когато енергията, загубена от люлеенето за преодоляване на силата на триене, стане равна на енергията, получена от тях отвън (поради работата на движещата сила).
В повечето случаи постоянната честота на принудителните трептения не се установява веднага, а известно време след началото им.
Когато амплитудата и честотата на принудителните трептения престанат да се променят, се казва, че трептенията са се установили.
Честотата на постоянните принудителни трептения е равна на честотата на движещата сила.
Принудителни трептения могат да се извършват дори от тела, които не са осцилаторни системи, например игла на шевна машина, бутала в двигател с вътрешно горене и много други. Трептенията на такива тела възникват и с честотата на движещата сила.
Принудителните трептения са незатихващи. Те се появяват, докато действа движещата сила.
Въпроси
- Какво може да се каже за общата механична енергия на осцилиращо махало във всеки момент от време, ако приемем, че няма загуба на енергия? Според кой закон може да се твърди това?
- Как се променя с времето амплитудата на свободните трептения, възникващи в реални условия? Каква е причината за тази промяна?
- Къде ще спре люлеенето на махалото по-бързо - във въздуха или във водата? Защо? (Първоначалното енергийно захранване е едно и също и в двата случая.)
- Могат ли свободните трептения да бъдат незатихващи? Защо? Какво трябва да се направи, за да не затихнат трептенията?
- Какво може да се каже за честотата на стационарните принудителни трептения и честотата на движещата сила?
- Могат ли телата, които не са осцилаторни системи, да извършват принудителни трептения? Дай примери.
- Колко дълго продължават принудителното трептене?
Упражнение 25
В този урок всеки ще може да изучава темата „Трансформация на енергия при осцилаторно движение. заглушени вибрации. Принудителни вибрации. В този урок ще разгледаме какъв вид енергийна трансформация се случва при осцилаторно движение. За да направим това, ще проведем важен експеримент с хоризонтална пружинна система с махало. Ще обсъдим и въпроси, свързани с затихване на трептения и принудителни трептения.
Урокът е посветен на темата "Преобразуване на енергия при осцилаторно движение". Освен това ще разгледаме въпроса, свързан с затихващи и принудителни трептения.
Нека опознаем този въпрос със следващия важен експеримент. Към пружината е прикрепено тяло, което може да осцилира хоризонтално. Такава система се нарича хоризонтално пружинно махало. В този случай ефектът на гравитацията може да бъде пренебрегнат.
Ориз. 1. Хоризонтално пружинно махало
Ще приемем, че в системата от сили на триене няма сили на съпротивление. Когато тази система е в равновесие и не настъпва трептене, скоростта на тялото е 0 и няма деформация на пружината. В този случай това махало няма енергия. Но веднага щом тялото се измести спрямо равновесната точка надясно или наляво, в този случай ние ще извършим работата по предаване на енергия в тази осцилаторна система. Какво се случва в този случай? Случва се следното: пружината се деформира, дължината й се променя. Даваме на пружината потенциална енергия. Ако сега освободите товара, не го задържайте, тогава той ще започне да се движи към равновесно положение, пружината ще започне да се изправя и деформацията на пружината ще намалее. Скоростта на тялото ще се увеличи и според закона за запазване на енергията потенциалната енергия на пружината ще се преобразува в кинетичната енергия на движението на тялото.
Ориз. 2. Етапи на трептене на пружинно махало
Деформация∆x на пружината се определя, както следва: ∆x = x 0 - x. След като разгледахме деформацията, можем да кажем, че цялата потенциална енергия се съхранява през пролетта: .
По време на трептения потенциалната енергия непрекъснато се превръща в кинетичната енергия на пръчката: .
Например, когато прътът премине точката на равновесие x 0 , деформацията на пружината е 0, т.е. ∆x=0, следователно, потенциалната енергия на пружината е 0 и цялата потенциална енергия на пружината се е превърнала в кинетична енергия на пръта: E p (в точка B) \u003d E k (в точка A). Или 
.
В резултат на това движение потенциалната енергия се превръща в кинетична енергия. Тогава влиза в действие т. нар. феномен на инерцията. Тяло, което има определена маса, по инерция преминава точката на равновесие. Скоростта на тялото започва да намалява, а деформацията, удължението на пружината се увеличава. Може да се заключи, че кинетичната енергия на тялото намалява, а потенциалната енергия на пружината започва да се увеличава отново. Можем да говорим за превръщането на кинетичната енергия в потенциална.
Когато тялото най-накрая спре, скоростта на тялото ще бъде равна на 0, а деформацията на пружината ще стане максимална, в този случай можем да кажем, че цялата кинетична енергия на тялото се е превърнала в потенциалната енергия на пружината . В бъдеще всичко се повтаря отначало. Ако едно условие е изпълнено, такъв процес ще се извършва непрекъснато. Какво е това състояние? Това условие е липсата на триене. Но силата на триене, силата на съпротивление присъства във всяка система. Следователно при всяко следващо движение на махалото настъпват загуби на енергия. Работи се за преодоляване на силата на триене. Сила на триене по закона на Кулон - Амонтон: F TP \u003d μ.н.
Говорейки за трептения, винаги трябва да помним, че силата на триене води до факта, че постепенно цялата енергия, съхранявана в дадена осцилаторна система, се превръща във вътрешна енергия. В резултат на това трептенията спират и след като трептенията спрат, тогава такива трептения се наричат затихващи.
заглушени вибрации - вибрации, чиято амплитуда намалява поради факта, че енергията на осцилаторната система се изразходва за преодоляване на силите на съпротивление и силите на триене.
Ориз. 3. Графика на затихване на трептения
Следващият вид трептения, които ще разгледаме, т.нар. принудителни вибрации. Принудителни вибрации наричани такива вибрации, които възникват под действието на периодична външна сила, действаща върху дадена осцилаторна система.
Ако махалото трепти, то за да не спрат тези трептения, всеки път, когато върху махалото трябва да действа външна сила. Например, ние действаме върху махалото със собствената си ръка, караме го да се движи, бутаме го. Наложително е да действате с известна сила и да компенсирате загубата на енергия. И така, принудителните вибрации са тези вибрации, които възникват под действието на външна движеща сила. Честотата на такива трептения ще съвпада с честотата на външната действаща сила. Когато външна сила започне да действа върху махалото, се случва следното: отначало трептенията ще имат малка амплитуда, но постепенно тази амплитуда ще се увеличава. И когато амплитудата придобие постоянна стойност, честотата на трептене също придобива постоянна стойност, казват, че такива трептения са установени. Установени са принудителни трептения.
установено принудителни вибрациикомпенсира загубата на енергия именно поради работата на външна движеща сила.
Резонанс
Има един много важен феномен, който доста често се наблюдава в природата и технологиите. Това явление се нарича резонанс. "Резонанс" е латинска дума и се превежда на руски като "отговор". Резонанс (от лат.resono - „Отговарям“) - феноменът на увеличаване на амплитудата на принудителните трептения на системата, което възниква, когато честотата на външното действие на силата се доближи до честотата на естественото трептене на махалото или тази осцилаторна система .
Ако има махало, което има собствена дължина, маса или твърдост на пружината, то това махало има свои собствени трептения, които се характеризират с честота. Ако външна движеща сила започне да действа върху това махало и честотата на тази сила започне да се доближава до естествената честота на махалото (съвпада с нея), тогава настъпва рязко увеличаване на амплитудата на трептене. Това е феноменът на резонанса.
В резултат на подобно явление трептенията могат да бъдат толкова големи, че тялото, самата осцилаторна система, ще се срути. Известен е случай, когато върволица от войници, минаваща през моста, в резултат на подобно явление просто срутва моста. Друг случай, когато в резултат на движението на въздушните маси, достатъчно мощни пориви на вятъра, мост се срути в Съединените щати. Това също е феномен на резонанс. Трептенията на моста, техните собствени вибрации, съвпадаха с честотата на поривите на вятъра, външната движеща сила. Това накара амплитудата да се увеличи толкова много, че мостът се срути.
Те се опитват да вземат предвид това явление при проектирането на конструкции и механизми. Например, когато влак се движи, може да се случи следното. Ако един вагон се движи и този вагон започне да се люлее в ритъма на движението си, тогава амплитудата на трептенията може да се увеличи толкова много, че вагонът може да дерайлира. Ще има катастрофа. За характеризиране на това явление се използват криви, които се наричат резонансни.
Ориз. 4. Резонансна крива. Пик на кривата - максимална амплитуда
Разбира се, резонансът не само се бори, но и се използва. Използва се предимно в акустиката. Там, където има аудитория, театрална зала, концертна зала, трябва да вземем предвид явлението резонанс.
Списък с допълнителна литература:
Запознат ли си с резонанса? // Квант. - 2003. - No 1. - С. 32-33 Физика: Механика. 10 клас: Проб. за задълбочено изучаване на физиката / М.М. Балашов, A.I. Гомонова, А.Б. Долицки и др.; Изд. Г.Я. Мякишев. - М.: Дропла, 2002. Начален учебник по физика. Изд. G.S. Ландсберг, Т. 3. - М., 1974
