В тази статия ще намерим отговори на въпроси как да създадем проекция на точка върху равнина и как да определим координатите на тази проекция. В теоретичната част ще заложим на концепцията за проекция. Ще дадем определения на термините, ще придружим информацията с илюстрации. Нека затвърдим придобитите знания чрез решаване на примери.
Проекция, видове проекция
За удобство при разглеждане на пространствени фигури се използват чертежи, изобразяващи тези фигури.
Определение 1
Проекция на фигура върху равнина- чертеж на пространствена фигура.
Очевидно има редица правила, използвани за конструиране на проекция.
Определение 2
проекция- процесът на конструиране на чертеж на пространствена фигура върху равнина с помощта на строителни правила.
Проекционна равнинае равнината, в която е построено изображението.
Използването на определени правила определя вида на проекцията: централнаили успоредно.
Специален случай на успоредна проекция е перпендикулярна или ортогонална проекция: в геометрията се използва главно. Поради тази причина самото прилагателно „перпендикулярно“ често се пропуска в речта: в геометрията те просто казват „проекция на фигура“ и под това имат предвид изграждането на проекция по метода на перпендикулярната проекция. В специални случаи, разбира се, може да се предвиди друго.
Отбелязваме факта, че проекцията на фигура върху равнина всъщност е проекцията на всички точки от тази фигура. Следователно, за да може да се изучава пространствена фигура в чертеж, е необходимо да се придобие основното умение за проектиране на точка върху равнина. За какво ще говорим по-долу.
Припомнете си, че най-често в геометрията, говорейки за проекция върху равнина, те имат предвид използването на перпендикулярна проекция.
Ще направим конструкции, които ще ни позволят да получим определението за проекцията на точка върху равнина.
Да предположим, че е дадено триизмерно пространство и в него - равнина α и точка M 1, която не принадлежи на равнината α. Начертайте права линия през дадена точка M 1 аперпендикулярно на дадената равнина α. Точката на пресичане на правата a и равнината α ще бъде обозначена като H 1 , като по конструкция тя ще служи за основа на перпендикуляра, спуснат от точка M 1 към равнината α .
Ако е дадена точка M 2, принадлежаща на дадена равнина α, тогава M 2 ще служи като проекция на себе си върху равнината α.
Определение 3
е или самата точка (ако принадлежи на дадена равнина), или основата на перпендикуляра, изпуснат от дадена точка към дадена равнина.
Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина, примери
Нека в триизмерното пространство е дадено: правоъгълна координатна система O x y z, равнина α, точка M 1 (x 1, y 1, z 1) . Необходимо е да се намерят координатите на проекцията на точка M 1 върху дадена равнина.
Решението очевидно следва от горното определение на проекцията на точка върху равнина.
Означаваме проекцията на точка M 1 върху равнината α като H 1 . Според дефиницията H 1 е пресечната точка на дадена равнина α и правата a през точката M 1 (перпендикулярна на равнината). Тези. координатите на проекцията на точката M 1, от която се нуждаем, са координатите на пресечната точка на правата a и равнината α.
По този начин, за да намерите координатите на проекцията на точка върху равнина, е необходимо:
Вземете уравнението на равнината α (в случай, че не е зададено). Тук ще ви помогне статия за видовете равнинни уравнения;
Определете уравнението на права линия, преминаваща през точка M 1 и перпендикулярна на равнината α (проучете темата за уравнението на права линия, преминаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена равнина);
Намерете координатите на пресечната точка на правата a и равнината α (статия - намиране на координатите на пресечната точка на равнината и правата). Получените данни ще бъдат координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината α, от която се нуждаем.
Нека разгледаме теорията на практически примери.
Пример 1
Определете координатите на проекцията на точка M 1 (- 2, 4, 4) върху равнината 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.
Решение
Както виждаме, уравнението на равнината ни е дадено, т.е. няма нужда да го композирате.
Нека напишем каноничните уравнения на правата а, минаваща през точката M 1 и перпендикулярна на дадената равнина. За тези цели определяме координатите на насочващия вектор на правата линия a. Тъй като правата a е перпендикулярна на дадената равнина, то насочващият вектор на правата a е нормален вектор на равнината 2 x - 3 y + z - 2 = 0. По този начин, a → = (2 , - 3 , 1) – вектор на посоката на правата a .
Сега съставяме каноничните уравнения на права линия в пространството, минаваща през точка M 1 (- 2, 4, 4) и имаща вектор на посоката a → = (2, - 3, 1):
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
За да намерите желаните координати, следващата стъпка е да определите координатите на точката на пресичане на правата x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и равнината 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . За тази цел преминаваме от канонични уравнениякъм уравненията на две пресичащи се равнини:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Нека направим система от уравнения:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
И го решете с помощта на метода на Крамер:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ - z ⇒ 140 - 28 = 5
Така желаните координати на дадена точка M 1 в дадена равнина α ще бъдат: (0, 1, 5) .
Отговор: (0 , 1 , 5) .
Пример 2
Точки А (0 , 0 , 2) са дадени в правоъгълна координатна система O x y z на тримерно пространство; В (2, - 1, 0) ; С (4, 1, 1) и М 1 (-1, -2, 5). Необходимо е да се намерят координатите на проекцията M 1 върху равнината A B C
Решение
Първо, пишем уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0
Нека напишем параметричните уравнения на правата линия a, която ще премине през точката M 1 перпендикулярно на равнината A B C. Равнината x - 2 y + 2 z - 4 = 0 има нормален вектор с координати (1, - 2, 2), т.е. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – вектор на посоката на правата a .
Сега, като имаме координатите на точката на правата M 1 и координатите на насочващия вектор на тази линия, ние записваме параметричните уравнения на линията в пространството:
След това определяме координатите на пресечната точка на равнината x - 2 y + 2 z - 4 = 0 и правата
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
За да направите това, ние заместваме в уравнението на равнината:
x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ
Сега, използвайки параметричните уравнения x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, намираме стойностите на променливите x, y и z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Така проекцията на точка M 1 върху равнината A B C ще има координати (- 2, 0, 3) .
Отговор: (- 2 , 0 , 3) .
Нека се спрем отделно на въпроса за намиране на координатите на проекцията на точка върху координатните равнини и равнините, които са успоредни на координатните равнини.
Нека са дадени точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и координатни равнини O x y , O x z и O y z. Координатите на проекцията на тази точка върху тези равнини ще бъдат съответно: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) и (0 , y 1 , z 1) . Помислете и за равнините, успоредни на дадените координатни равнини:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
И проекциите на дадена точка M 1 върху тези равнини ще бъдат точки с координати x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 и - D A , y 1 , z 1 .
Нека покажем как е получен този резултат.
Като пример, нека дефинираме проекцията на точката M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината A x + D = 0. Останалите случаи са подобни.
Дадената равнина е успоредна на координатната равнина O y z и i → = (1 , 0 , 0) е нейният нормален вектор. Същият вектор служи като насочващ вектор на правата линия, перпендикулярна на равнината O y z . Тогава параметричните уравнения на права линия, проведена през точка M 1 и перпендикулярна на дадена равнина, ще изглеждат така:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Намерете координатите на пресечната точка на тази права и дадената равнина. Първо заместваме в уравнението A x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 и получаваме: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - х едно
След това изчисляваме желаните координати, използвайки параметричните уравнения на правата линия за λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Тоест, проекцията на точката M 1 (x 1, y 1, z 1) върху равнината ще бъде точка с координати - D A , y 1 , z 1 .
Пример 2
Необходимо е да се определят координатите на проекцията на точка M 1 (- 6 , 0 , 1 2) върху координатната равнина O x y и върху равнината 2 y - 3 = 0 .
Решение
Координатната равнина O x y ще съответства на непълна общо уравнениеравнина z = 0 . Проекцията на точка M 1 върху равнината z \u003d 0 ще има координати (- 6, 0, 0) .
Равнинното уравнение 2 y - 3 = 0 може да се запише като y = 3 2 2 . Сега просто напишете координатите на проекцията на точката M 1 (- 6 , 0 , 1 2) върху равнината y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Отговор:(- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Позицията на точка в пространството може да се определи чрез нейните две ортогонални проекции, например хоризонтална и фронтална, фронтална и профилна. Комбинацията от всякакви две ортогонални проекции ви позволява да разберете стойността на всички координати на точка, да изградите трета проекция, да определите октанта, в който се намира. Нека разгледаме някои типични задачи от курса на описателната геометрия.
Съгласно дадения сложен чертеж на точки A и B е необходимо:
Нека първо определим координатите на точка A, която може да бъде записана във формата A (x, y, z). Хоризонталната проекция на точка А е точка А ", с координати x, y. Начертайте от точка A" перпендикуляри на осите x, y и намерете съответно A x, A y. Координатата x за точка A е равна на дължината на отсечката A x O със знак плюс, тъй като A x се намира в областта на положителните стойности на оста x. Като вземем предвид мащаба на чертежа, намираме x = 10. Координата y е равна на дължината на сегмента A y O със знак минус, тъй като t. A y се намира в областта на отрицателните стойности на оста y . Като се има предвид мащаба на чертежа, y = -30. Фронталната проекция на точка А - точка А"" има координати x и z. Нека пуснем перпендикуляра от A"" към оста z и намерим A z . Z-координата на точка A е равна на дължината на отсечката A z O със знак минус, тъй като A z се намира в областта на отрицателните стойности на оста z. Като се има предвид мащаба на чертежа, z = -10. Така координатите на точка А са (10, -30, -10).
Координатите на точка B могат да бъдат записани като B (x, y, z). Помислете за хоризонталната проекция на точка B - точка B. "Тъй като тя лежи на оста x, тогава B x = B" и координатата B y = 0. Абсцисата x на точка B е равна на дължината на сегмента B x O със знак плюс. Като се вземе предвид мащабът на чертежа, x = 30. Фронталната проекция на точка B - точка B˝ има координатите x, z. Начертайте перпендикуляр от B"" към оста z, като по този начин намерите B z . Приложението z на точка B е равно на дължината на сегмента B z O със знак минус, тъй като B z се намира в областта на отрицателните стойности на оста z. Като вземем предвид мащаба на чертежа, определяме стойността z = -20. Така че координатите B са (30, 0, -20). Всички необходими конструкции са показани на фигурата по-долу.
Построяване на проекции на точки
Точки A и B в равнината P 3 имат следните координати: A""" (y, z); B""" (y, z). В този случай A"" и A""" лежат върху един и същ перпендикуляр на оста z, тъй като имат обща z-координата. По същия начин B"" и B""" лежат върху общ перпендикуляр към оста z. За да намерим профилната проекция на t. A, оставяме настрана по оста y стойността на съответната координата, намерена по-рано. На фигурата това се прави с помощта на дъга на окръжност с радиус A y O. След това начертаваме перпендикуляр от A y до пресечната точка с перпендикуляра, възстановен от точка A "" до оста z. Точката на пресичане на тези два перпендикуляра определя позицията на A""".
Точка B""" лежи върху оста z, тъй като y-ординатата на тази точка е нула. За да се намери профилната проекция на точка B в тази задача, е необходимо само да се начертае перпендикуляр от B"" към z -ос Точката на пресичане на този перпендикуляр с оста z е B """.
Определяне на положението на точките в пространството
Визуално си представяйки пространствено оформление, съставено от проекционни равнини P 1, P 2 и P 3, местоположението на октантите, както и реда на трансформиране на оформлението в диаграми, можете директно да определите, че t. A се намира в октанта III, и t. B лежи в равнината P 2 .
Друг вариант за решаване на този проблем е методът на изключенията. Например, координатите на точка А са (10, -30, -10). Положителната абциса x дава възможност да се прецени, че точката се намира в първите четири октанта. Отрицателна ордината y показва, че точката е във втория или третия октант. И накрая, отрицателното приложение на z показва, че точка А е в третия октант. Даденото разсъждение е ясно илюстрирано от следната таблица.
| Октанти | Координатни знаци | ||
| х | г | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координати на точка B (30, 0, -20). Тъй като ординатата на t. B е равна на нула, тази точка се намира в проекционната равнина П 2 . Положителната абциса и отрицателното приложение на точка Б показват, че тя се намира на границата на третия и четвъртия октанти.
Изграждане на визуален образ на точки в системата от равнини P 1, P 2, P 3
Използвайки фронталната изометрична проекция, изградихме пространствено оформление на третия октант. Това е правоъгълен триедър, чиито лица са равнините P 1, P 2, P 3, а ъгълът (-y0x) е 45 º. В тази система сегментите по осите x, y, z ще бъдат начертани в пълен размер без изкривяване.
Изграждането на визуално изображение на точка А (10, -30, -10) ще започне с нейната хоризонтална проекция А ". Отстранявайки абсцисата и ординатите съответните координати, намерете точките A x и A y. Пресечната точка на перпендикулярите, възстановени от A x и A y към осите x и y, съответно, определя позицията на точка A". Поставяйки от A "успоредно на оста z към нейните отрицателни стойности отсечката AA", чийто дължината е 10, намираме позицията на точка А.
визуален образ t. B (30, 0, -20) се конструира по подобен начин - в равнината P 2 трябва да се отделят съответните координати по осите x и z. Пресечната точка на перпендикулярите, реконструирани от B x и B z, ще определи позицията на точка B.
намирам остър ъгълмежду диагоналите на паралелограм, изграден върху вектори
5) Определете координатите на вектора c, насочен по ъглополовящата на ъгъла между векторите a и b, ако векторът c \u003d 3 корени от 42. a \u003d (2; -3; 6), b \ u003d (-1; 2; -2)
Нека намерим единичния вектор e_a копосочен с a:
по подобен начин e_b = b/|b|,
тогава желаният вектор ще бъде насочен по същия начин като векторната сума e_a+e_b, тъй като (e_a+e_b) е диагоналът на ромба, който е yavl. бисектриса на неговия ъгъл.
Означете (e_a+e_b)=d,
Нека намерим единичен вектор, който е насочен по ъглополовящата: e_c = d/|d|
Ако |c| = 3*sqrt(42), тогава c = |c|*e_c. Това е всичко.
Намерете линейна връзка между дадените четири некомпланарни вектора: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c
От първите три равенства опитайте да изразите „a,b,c“ по отношение на „p,q,r“ (започнете с добавяне на второто и третото уравнение). След това заменете `b` и `c` в последното уравнение с намерените изрази чрез `p,q,r`.
13) Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките A(2, -1, 4) и B(3, 2, -1), перпендикулярни на равнината x + y + 2z - 3 = 0.Желаното уравнение на равнината има формата: Ax + By + Cz + D = 0, нормален вектор към тази равнина (A, B, C). Векторът (1, 3, -5) принадлежи на равнината. Дадената ни равнина, перпендикулярна на желаната, има нормален вектор (1, 1, 2). Защото точки A и B принадлежат и на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава нормалният вектор е (11, -7, -2). Защото точка А принадлежи на желаната равнина, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравнението на тази равнина, т.е. 11x2 + 7x1 - 2x4 + D = 0; D = -21. Като цяло получаваме уравнението на равнината: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.
14) Уравнение на равнина, минаваща през права линия, успоредна на вектор.
Нека желаната равнина преминава през правата (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 успоредна на правата (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z -z2)/c2.
Тогава нормалният вектор на равнината е кръстосано произведение на векторите на посоката на тези линии:
Нека координатите на векторното произведение (A;B;C). Желаната равнина минава през точката (x1;y1;z1). Нормалният вектор и точката, през която минава равнината - еднозначно определят уравнението на желаната равнина:
A (x-x1) + B (y-y1) + C (z-z1) = 0
17) Намерете уравнението на правата, минаваща през точка A(5, -1), перпендикулярна на правата 3x - 7y + 14 = 0.
18) Съставете уравнението на права линия, минаваща през точка M, перпендикулярна на дадената равнина M(4,3,1) x+3y+5z-42=0
(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p
M(x0,y0,z0) - вашата точка M(4,3,1)
(n, m, p) - вектор на посоката на права линия, той също е вектор нормален за дадена повърхност (1, 3, 5) (коефициенти при променливи x,y,zв уравнението на равнината)
Намерете проекцията на точка върху равнина
Точка M(1,-3,2), равнина 2x+5y-3z-19=0
Тя ще бъде построена, когато перпендикулярът на дадена равнина, преминаваща през точката, бъде възстановен и се изгради точката на пресичане на перпендикуляра с равнината:
Линия и равнина;
Пресичане на права с равнина
Тя ще бъде изградена, когато перпендикулярът на дадената равнина бъде възстановен, спуснат от точката към равнината и се изгради точката на пресичане на перпендикуляра с равнината. Тези конструкции се изпълняват, когато разстоянието от точка до равнина се определя по метода на правоъгълния триъгълник.
Проекционни данни: точки А(A`, A") и самолет α (α H , α V). Намерете разстояние от точката Адо самолета α метод на правоъгълен триъгълник.
HTML код на таблицата, примери
Задача No 4 е изградена в графична работа No 2 за две точки от отсечката EF: Графична работа 2
Построете диаграма на точка B, симетрична A спрямо права m
Ето един от многото начини за решаване на този проблем.
1. Използвайте наклонена проекция с посока S, успоредна на дадена права m:
а) Начертайте права n през точка A и намерете следи nH, mH и nV, mV;
б) намерете следите на равнината α по следите на успоредните прави на нейните генератори nH, mH и nV, mV;
в) намерете следите kH и kV на правата k, симетрична спрямо правата m върху едноименните следи в равнината α.
2. През точката A правим равнина β, перпендикулярна на успоредните прави m, n и k на равнината α:
а) През точка А правим хоризонтала и фронтала на равнината β;
б) Намерете следите от хоризонтала и фронтала на равнината β;
в) Начертайте следите на равнината β през следите на нейната хоризонтална h и фронтална f.
3. Намерете точката B от срещата на правата k с равнината β:
а) Намерете пресечната линия на 1 - 2 равнини α и β;
б) Намерете желаната точка B в пресечната точка на права 1-2 с права k.
ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКА ВЪРХУ ДВЕ ПЛАСТИНИ НА ПРОЕКЦИИ
Образуването на отсечка от права линия AA 1 може да се представи в резултат на преместване на точка A във всяка равнина H (фиг. 84, а), а образуването на равнина може да се представи като изместване на отсечка от права линия AB ( Фиг. 84, б).
Точка - основна геометричен елементлинии и повърхности, така че изследването на правоъгълната проекция на обект започва с изграждането на правоъгълни проекции на точка.
В пространството на двугранния ъгъл, образуван от две перпендикулярни равнини - челната (вертикална) равнина на проекции V и хоризонтална равнина на проекции Н, поставяме точка А (фиг. 85, а).
Линията на пресичане на проекционните равнини е права линия, която се нарича проекционна ос и се обозначава с буквата x.
Равнината V е показана тук като правоъгълник, а равнината H като паралелограм. Наклонената страна на този успоредник обикновено се чертае под ъгъл от 45° спрямо хоризонталната му страна. Дължината на наклонената страна се приема равна на 0,5 от нейната действителна дължина.
От точка A се спускат перпендикуляри върху равнините V и H. Точки a "и a от пресечната точка на перпендикуляри с проекционните равнини V и H са правоъгълни проекции на точка A. Фигурата Aaa x a" в пространството е правоъгълник. Страничната ос на този правоъгълник във визуалното изображение е намалена 2 пъти.
Нека подравним равнината H с равнината V, като завъртим V около пресечната линия на x равнините. Резултатът е сложен чертеж на точка А (фиг. 85, б)
За опростяване на сложния чертеж, границите на проекционните равнини V и H не са посочени (фиг. 85, в).
Перпендикулярите, проведени от точка А към равнините на проекциите, се наричат проекционни линии, а основите на тези проекционни прави - точки a и a "се наричат проекции на точка A: a" е челната проекция на точка A, a е хоризонталната проекция на точка А.
Линия a "a се нарича вертикална линия на проекционната връзка.
Местоположението на проекцията на точка върху сложен чертеж зависи от позицията на тази точка в пространството.
Ако точка А лежи върху хоризонталната проекционна равнина Н (фиг. 86, а), тогава нейната хоризонтална проекция а съвпада с дадената точка, а челната проекция а " е разположена върху оста. Когато точка В е разположена върху челната проекция равнина V, нейната фронтална проекция съвпада с тази точка, а хоризонталната проекция лежи върху оста х. Хоризонталната и фронталната проекции на дадена точка C, лежаща върху оста x, съвпадат с тази точка. Сложен чертеж на точки A, B и C е показано на фиг. 86, b.
ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКА ВЪРХУ ТРИ ПЛАСТИНИ НА ПРОЕКЦИИ
В случаите, когато е невъзможно да си представим формата на обект от две проекции, той се проектира върху три проекционни равнини. В този случай се въвежда профилната равнина на проекциите W, която е перпендикулярна на равнините V и H. Визуално представяне на системата от три проекционни равнини е дадено на фиг. 87 а.
Ръбовете на триъгълен ъгъл (пресечната точка на проекционните равнини) се наричат проекционни оси и се означават с x, y и z. Пресечната точка на осите на проекциите се нарича началото на проекционните оси и се обозначава с буквата O. Нека пуснем перпендикуляра от точка A към проекционната равнина W и, маркирайки основата на перпендикуляра с буквата a, ще получете профилната проекция на точка А.
За да се получи сложен чертеж, точките A от равнините H и W се подравняват с равнината V, като се въртят около осите Ox и Oz. Сложен чертеж на точка А е показан на фиг. 87b и c.
Отсечките на проециращите линии от точка A към равнините на проекциите се наричат координати на точка A и се обозначават: x A, y A и z A.
Например, координатата z A на точка A, равна на отсечката a "a x (фиг. 88, a и b), е разстоянието от точка A до хоризонталната проекционна равнина H. Координатата в точка A, равна на сегмент aa x, е разстоянието от точка A до фронталната равнина на проекции V. Координата x A, равна на отсечката aa y, е разстоянието от точка A до профилната равнина на проекциите W.
По този начин разстоянието между проекцията на точка и оста на проекцията определя координатите на точката и е ключът към разчитането на нейния сложен чертеж. Чрез две проекции на точка могат да се определят и трите координати на точка.
Ако са дадени координатите на точка A (например x A = 20 mm, y A = 22 mm и z A = 25 mm), тогава могат да се изградят три проекции на тази точка.
За да направите това, от началото на координати O в посока на оста Oz, координатата z A се полага нагоре и координатата y A се полага надолу. сегменти, равни на координатата x A. Получените точки a" и a са челната и хоризонталната проекции на точка А.
Съгласно две проекции a" и точка A, нейната профилна проекция може да бъде конструирана по три начина:
1) от началото O се начертава спомагателна дъга с радиус Oa y, равен на координатата (фиг. 87, b и c), от получената точка a y1 се начертава права линия, успоредна на оста Oz, и се полага a сегмент, равен на z A;
2) от точка a y се изтегля спомагателна права линия под ъгъл от 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, а), получава се точка a y1 и т.н.;
3) от началото O, начертайте спомагателна права линия под ъгъл от 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, b), вземете точка a y1 и т.н.
