Старкова Кристина, ученичка от 8Б клас
Статията разглежда теоремата на Пик и нейното доказателство.
Разглеждат се проблемите за намиране на площта на многоъгълниците
Изтегли:
Визуализация:
ОТДЕЛ ЗА ОБЩО И ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ
АДМИНИСТРАЦИЯ НА ОБЩИНСКИ РАЙОН ЧАЙКОВСКИ
ПЕРМСКА РАЙОН
VI ОБЩИНСКА НАУЧНА КОНФЕРЕНЦИЯ
СТУДЕНТИТЕ
Общинско автономно общообразователно заведение
"средно общообразователно училище№ 11"
РАЗДЕЛ: МАТЕМАТИКА
Приложение на формулата на Пик
Ученик от 8 "Б" клас
MAOU средно училище №11 Чайковски
Ръководител: Батуева Л, Н.,
Учител по математика MAOU СОУ №11
Чайковски
2012 година
Въведение……………………………………………………. 2
II. Пикова формула
2.1. Решетки. Възли………………………………………………………….4
2.2.Триангулация на многоъгълник…………………………5
2.3. Доказателство на теоремата на Пик…………………………………6
2.4 Изучаване на площите на многоъгълниците…………9
2.5. Заключение………………………………………………………………………..12
III.Геометрични задачи с практическо съдържание ... 13
IV. Заключение…………………………………………………………..14
V. Списък на използваната литература…………………………………..16
- Въведение
Страстта към математиката често започва с мислене за проблем. И така, при изучаване на темата „Площи на многоъгълници“ възникна въпросът дали има задачи, които са различни от задачите, разглеждани в учебниците по геометрия. Това са задачи на карирана хартия. Имахме въпроси: каква е особеността на подобни задачи, има ли специални методи и техники за решаване на задачи върху карирана хартия. Виждайки такива задачи в контрола и измерването ИЗПОЛЗВАЙТЕ материалии GIA, решиха определено да проучат задачите на карирана хартия, свързани с намирането на площта на изобразената фигура.
Започнах да уча литературата, интернет ресурси по тази тема. Изглежда, че това, което е очарователно, може да се намери на карирана равнина, тоест върху безкраен лист хартия, начертан в еднакви квадрати? Не съдете прибързано. Оказва се, че задачите, свързани с карираната хартия, са доста разнообразни. Научих се как да изчислявам площите на многоъгълниците, начертани върху кариран лист хартия. За много задачи на хартия в клетка няма общо правило за решаване, специфични методи и техники. Това е тяхното свойство, което определя тяхната стойност за развитието на не конкретно образователно умение или умение, а като цяло способността да се мисли, отразява, анализира, да се търсят аналогии, тоест тези задачи развиват мисловни умения в техния най-широк смисъл.
Ние дефинирахме:
Обект на изследване: задачи на карирана хартия
Предмет на изследване: задачи за изчисляване на площта на многоъгълник върху карирана хартия, методи и техники за решаването им.
Изследователски методи: моделиране, сравнение, обобщение, аналогия, изследване на литературни и интернет ресурси, анализ и класификация на информацията.
- Цел на изследването:Извличане и тестване на формули за изчисляване на площите на геометричните форми с помощта на формулата на пика
За да постигнем тази цел, предлагаме да решим следнотозадачи:
- Изберете необходимата литература
- Изберете материал за изследване, изберете основната, интересна, разбираема информация
- Анализирайте и организирайте получената информация
- Намерете различни методи и техники за решаване на задачи върху карирана хартия
- Създайте електронно представяне на работата, за да представите събрания материал на съученици
разнообразие от задачи на хартия в кутия, тяхното "забавление", липса на Общи правилаи методите за решаване създават затруднения на учениците при тяхното разглеждане
- Хипотеза:. Площта на фигурата, изчислена по формулата на Pick, е равна на площта на фигурата, изчислена по формулата за планиметрия.
Когато решаваме задачи на карирана хартия, се нуждаем от геометрично въображение и доста проста геометрична информация, която е известна на всички.
II. Пикова формула
2.1.Решетки.Възели.
Да разгледаме върху равнината две семейства успоредни прави, които разделят равнината на равни квадрати; множеството от всички точки на пресичане на тези прави се нарича точкова решетка или просто решетка, а самите точки се наричат възли на решетка.
Вътрешни възли на многоъгълник -червен.
Възли по лицата на многоъгълник -син.
За да оцените площта на многоъгълник върху карирана хартия, достатъчно е да изчислите колко клетки покрива този многоъгълник (вземаме площта на клетката като единица). По-точно, акоС е площта на многоъгълника, B е броят на клетките, които лежат изцяло вътре в многоъгълника, а G е броят на клетките, които имат поне една обща точка с вътрешността на многоъгълника.
Ще разгледаме само такива многоъгълници, чиито върхове лежат във възлите на карираната хартия - в тези, където линиите на мрежата се пресичат.
Площта на всеки триъгълник, начертан върху карирана хартия, може лесно да се изчисли, като се представи като сума или разлика от площите правоъгълни триъгълниции правоъгълници, чиито страни следват линиите на мрежата, минаващи през върховете на начертания триъгълник.
2.2 Триангулация на многоъгълник
Всеки многоъгълник с върхове в възлите на мрежата може да бъде триангулиран - разделен на "прости" триъгълници.
Нека на равнината са дадени някакъв многоъгълник и някакво крайно множествоДа се точки, лежащи вътре в многоъгълника и на неговата граница (освен това, всички върхове на многоъгълника принадлежат на множествотоДА СЕ ).
Триангулация с върховеДа се се нарича разделяне на даден многоъгълник на триъгълници с върхове в множествотоДа се така че всяка точка вДа се служи като връх за всеки от тези триангулационни триъгълници, към които принадлежи тази точка (т.е. точки отДа се не падат вътре или по страните на триъгълниците, фиг. 1.37).
Ориз. 1.37
Теорема 2. а) Всяко n -gon може да бъде нарязан по диагонали на триъгълници, като броят на триъгълниците ще бъде равен нан – 2 (този дял е триангулация с върхове във върхове n-ъгълник).
Помислете за неизроден прост целочислен многоъгълник (тоест, той е свързан - всякакви две от неговите точки могат да бъдат свързани с непрекъсната крива, която се съдържа изцяло в него, и всичките му върхове имат цели координати, границата му е свързана полилиния без самопресичания и има ненулева площ).
За да изчислите площта на такъв многоъгълник, можете да използвате следната теорема:
2.3. Доказателство на теоремата на Пик.
Нека B е броят на цели точки вътре в многоъгълника, Г е броят на цели точки на границата му,- неговата площ. ТогаваФормула на Пик: S=V+G2-1
Пример. За многоъгълника на фигурата B=23 (жълти точки), G=7, ( сини точки, да не забравяме за върховете!), така чеквадратни единици.
Първо, имайте предвид, че формулата на Пик е вярна за единичния квадрат. Всъщност в този случай имаме B=0, D=4 и.
Помислете за правоъгълник със страни, лежащи върху решетъчните линии. Нека дължините на страните му са равнии . В този случай имаме B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, тогава по формулата на Pick,
Помислете сега за правоъгълен триъгълник с крака, лежащи върху координатните оси. Такъв триъгълник се получава от правоъгълник със странии , разгледан в предишния случай, като го отрежете по диагонал. Нека лежат по диагоналацели точки. Тогава за товаслучай B = a-1) b-1, 2 G \u003d G = 2a + 2b 2 +c-1 и получаваме това4) Сега разгледайте произволен триъгълник. Може да се получи чрез отрязване на няколко правоъгълни триъгълника и, евентуално, правоъгълник от правоъгълник (вижте снимките). Тъй като формулата на Пик е вярна както за правоъгълник, така и за правоъгълен триъгълник, получаваме, че ще бъде вярна и за произволен триъгълник.
Остава да направим последната стъпка: да преминем от триъгълници към многоъгълници. Всеки многоъгълник може да бъде разделен на триъгълници (например чрез диагонали). Следователно, ние просто трябва да докажем, че когато добавяме триъгълник към произволен многоъгълник, формулата на Пик остава вярна. Нека многоъгълникъти триъгълник имат обща страна. Да предположим, че заФормулата на Пик е валидна, ще докажем, че ще е вярна за многоъгълника, получен отдобавяне . Тъй като и имат обща страна, тогава всички цели точки, лежащи от тази страна, с изключение на два върха, стават вътрешни точки на новия многоъгълник. Върховете ще бъдат гранични точки. Нека означим броя на общите точки си получаваме B=MT=BM+BT+c-2 - броят на вътрешните целочислени точки на новия многоъгълник, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - броят на граничните точки на новия многоъгълник. От тези равенства получаваме: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Тъй като сме приели, че теоремата е вярна заи за отделно, тогава S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Така формулата на Пик е доказана.
2.4 Изследване на площи на многоъгълници.
2) Върху карирана хартия с клетки с размери 1 см х 1 см е изобразена триъгълник Намерете площта му в квадратни сантиметри. | ||
картина | Според геометричната формула | Според формулата на Пик |
S=12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5 | S= V+G2-1 G=3;V=0. S=0+3/2-1=0,5 |
3) На карирана хартия е изобразен квадрат с клетки с размери 1 см х 1 см. Намерете площта му в квадратни сантиметри. | ||
картина | Според геометричната формула | Според формулата на Пик |
S=a∙b Кв.КМНЕ=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4.5 Str.AND=Str.BMC=4.5 Спр.= пл.КМНЕ- ул.АКБ- ул.ДЦЕ- ул.И- ул.БМЦ=49-8-8-4.5-4.5=24 | S= V+G2-1 Д=14;Ш=19. S=18+14/2-1=24 |
4) Върху карирана хартия с клетки с размери 1 см х 1 см е изобразена | ||
картина | Според геометричната формула | Според формулата на Пик |
S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2.5 S5=a²=1²=1 Кв.= a²=7²=49 S=49-3.5-7-2-2.5-1=32cm² | S= V+G2-1 D=5;V=31. S=31+ 42 -1=32cm² |
|
5) На карирана хартия с клетки с размери 1 см х 1 см четири квадрата. Намерете площта му в квадратни сантиметри. | ||
S= a b а=36+36=62 b=9+9=32 S = 62 ∙ 32 = 36 см 2 | S= V+G2-1 D=18, V=28 S=28+ 182 -1=36см 2 |
|
6) Върху карирана хартия с клетки с размери 1 см х 1 см е изобразена четири квадрата. Намерете площта му в квадратни сантиметри | ||
S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S=4,5+18+4,5=27 cm² | S= V+G2-1 Д=18;Ш=28. S=28+ 182 -1=36cm² |
|
7) Върху карирана хартия с клетки с размери 1 см х 1 см е изобразена четири квадрата. Намерете площта му в квадратни сантиметри | ||
S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Кв.=9²=81см² S=81-4.5-18-4.5-18=36cm² | S= V+G2-1 Д=18;Ш=28. S=28+ 182 -1=36cm² |
8) Върху карирана хартия с клетки с размери 1 см х 1 см е изобразена четири квадрата. Намерете площта му в квадратни сантиметри | ||
картина | Според геометричната формула | Според формулата на Пик |
S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm² | S= G+V2-1 Д=16;Ш=17. S=17+ 162 -1=24 cm² |
Заключение
- Сравняване на резултатите в таблици и доказване Теорема на Пик, Истигна до заключението, че площта на фигурата, изчислена по формулата на пика, е равна на площта на фигурата, изчислена по извлечената формула за планиметрия
Така че моята хипотеза се оказа вярна.
III.Геометрични задачи с практическо съдържание.
Формулата Pick също ще ни помогне да решаваме геометрични задачи с практическо съдържание.
Задача 9 . Намерете площта на гората (в m²), изобразена на план с квадратна мрежа от 1 × 1 (cm) в мащаб от 1 cm - 200 m (фиг. 10)
Решение.
Ориз. 10 V = 8, G = 7. S = 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (см²)
1 cm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)
Отговор: 420 000 m²
Задача 10 . Намерете площта на полето (в m²), изобразена на план с квадратна решетка 1 × 1 (cm) в мащаб от 1 cm - 200 m. (фиг. 11)
Решение. Нека намерим S площта на четириъгълника, изобразен върху карирана хартия, използвайки формулата на пика: S = B + - 1
V = 7, D = 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 = 8 (см²)
Ориз. 11 1 см² - 200² m²; S = 40000 8 = 320 000 (m²)
Отговор: 320 000 m²
Заключение
В процеса на изследване изучавах справочна, научнопопулярна литература, научих се как да работя в програмата Notebook. разбрах това
Проблемът с намирането на площта на многоъгълник с върхове във възлите на мрежата вдъхновява австрийския математик Пик през 1899 г. да докаже прекрасната формула на Пик.
В резултат на моята работа разширих познанията си за решаване на задачи върху карирана хартия, определих за себе си класификацията на изучаваните задачи и се убедих в тяхното разнообразие.
Научих се как да изчислявам площите на многоъгълниците, начертани върху кариран лист. Разгледаните задачи имат различно нивотрудности - от прости до олимпиадни. Всеки може да намери сред тях задачи с възможно ниво на сложност, като се започне от което ще може да се премине към решаване на по-трудни.
Стигнах до извода, че темата, която ме интересува, е доста многостранна, задачите на карирана хартия са разнообразни, разнообразни са и методите и техниките за решаването им. Затова реших да продължа да работя в тази посока.
литература
1. Геометрия върху карирана хартия. Малък MEHMAT MSU.
2. Жарковская Н.М., Рис Е.А. Карирана геометрия на хартията. Формула на Пик // Математика, 2009, бр.17, с. 24-25.
3. Задачи на отворената банка от задачи по математика FIPI, 2010 - 2011 г.
4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов Многоъгълници върху решетки М.МЦНМО, 2006г.
5. Тематични изследвания.etudes.ru
6. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Геометрия. 7-9 клас. М. Просвещение, 2010 г
Уикиречникът има запис за "пика" Пика Във военните дела: Пика студено пробиващо оръжие, вид дълго копие. Пехота тип пикини в европейските армии от XVI началото на XVIIIвекове. Пикелхелм (стр ... Wikipedia
Теорема на Пик (комбинаторна геометрия)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теоремата на Пик е класически резултат от комбинаторната геометрия и геометрията на числата. Площ на многоъгълник с цяло число ... Wikipedia
триъгълник- Този термин има други значения, вижте Триъгълник (значения). Триъгълник (в евклидовото пространство) е геометрична фигура, образувана от три отсечки, които свързват три точки, които не лежат на една права линия. Три точки, ... ... Уикипедия
трапец- Този термин има други значения, вижте Trapeze (значения). Трапец (от други гръцки τραπέζιον „маса“; ... Wikipedia
Четириъгълник- ЧЕТИРИЪГЪЛИ ┌─────────────┼─────────────┐ неизпъкнала изпъкнала самопресичаща се ... Wikipedia
Бигон- Правилен дигон на повърхността на сфера Дигонът в геометрията е ... Wikipedia
Пентагон- Правилен петоъгълник (петоъгълник) Петоъгълникът е многоъгълник с пет ъгъла. Всеки обект с тази форма се нарича още петоъгълник. Размерът на вътрешния ... Wikipedia
Шестоъгълник- Правилен шестоъгълник Шестоъгълникът е многоъгълник с шест ъгъла. Всеки обект с тази форма се нарича още шестоъгълник. Сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал шестоъгълник p ... Wikipedia
Додекагон- Правилно двенадцатиъгълник Додекагон (на гръцки ... Wikipedia
правоъгълникПравоъгълник с паралелограм, в който всички ъгли са прави ъгли (равни на 90 градуса). Забележка. В евклидовата геометрия, за да бъде четириъгълник правоъгълник, е достатъчно поне три от ъглите му да са прави. Четвъртият ъгъл (по силата на ... Wikipedia
Книги
- Математически клуб "Кенгуру". Брой № 8. Математика на карирана хартия,. Изданието е посветено на различни задачи и игри, свързани с лист карирана хартия. По-специално, той подробно описва изчисляването на площта на многоъгълник, чиито върхове са разположени в ...
Текстът на творбата е поставен без изображения и формули.
Пълна версияработата е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат
Въведение
Аз съм ученичка в 6 клас. Започнах да уча геометрия от миналата година, защото уча в училище по учебника „Математика. Аритметика. Геометрия” под редакцията на Е.А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева и др.
Най-голямо внимание ми привлечеха темите „Квадрати от фигури“, „Съставяне на формули“. Забелязах, че областите на едни и същи фигури могат да бъдат намерени по различни начини. В ежедневието често се сблъскваме с проблема с намирането на района. Например намерете площта на пода, която ще бъде боядисана. Любопитно е, в края на краищата, за да закупите необходимото количество тапети за ремонт, трябва да знаете размера на стаята, т.е. площ на стената. Изчисляването на площта на квадрат, правоъгълник и правоъгълен триъгълник не ми създаде никакви затруднения.
Заинтригуван от тази тема, започнах да търся допълнителен материалв интернета. В резултат на търсенето попаднах на формулата Pick - това е формула за изчисляване на площта на многоъгълника, начертан върху карирана хартия. Изчисляването на площта по тази формула ми се стори достъпно за всеки ученик. Затова реших да се занимавам с изследователска работа.
Уместност на темата:
Тази тема е допълнение и задълбочаване на изучаването на курса по геометрия.
Изучаването на тази тема ще ви помогне да се подготвите по-добре за олимпиади и изпити.
Обективен:
Запознайте се с формулата за избор.
Овладейте техниките за решаване на геометрични задачи с помощта на формулата за избор.
Систематизиране и обобщение на теоретични и практически материали.
Цели на изследването:
Проверете ефективността и целесъобразността на прилагането на формулата при решаване на проблеми.
Научете как да прилагате формулата Pick към проблеми с различна сложност.
Сравнете проблемите, решени с помощта на формулата Pick и традиционния начин.
Главна част
1.1. Справка по история
Георг Александър Пик е австрийски математик, роден на 10 август 1859 г. Той беше надарено дете, той е обучаван от баща си, който ръководи частен институт. На 16 Георг завършва гимназия и постъпва във Виенския университет. На 20-годишна възраст получава право да преподава физика и математика. Формулата за определяне на площта на решетка от многоъгълници му донесе световна слава. Той публикува формулата си в статия през 1899 г. Той стана популярен, когато полският учен Хуго Щайнхаус го включи през 1969 г. в публикация с математически снимки.
Георг Пиек получава образование във Виенския университет и завършва докторската си степен през 1880 г. След като получава докторската си степен, той е назначен за асистент на Ернест Мах в университета Шерл-Фердинанд в Прага. Там той става учител. Остава в Прага до пенсионирането си през 1927 г. и след това се връща във Виена.
Пик председателства комисията в Германския университет в Прага, която назначава Айнщайн за професор по математическа физика през 1911 г.
Избран е за член на Чешката академия на науките и изкуствата, но е изключен след превземането на Прага от нацистите.
Когато нацистите влизат в Австрия на 12 март 1938 г., той се връща в Прага. През март 1939 г. нацистите нахлуват в Чехословакия. На 13 юли 1942 г. Пик е депортиран в лагера Терезиенщат, създаден от нацистите в Северна Бохемия, където умира две седмици по-късно на 82-годишна възраст.
1.2. Изследване и доказателство
Започнах изследователската си работа, като зададох въпроса: Какви области от фигури мога да намеря? Мога да направя формула за изчисляване на площта на различни триъгълници и четириъгълници. Но какво да кажем за пет-, шест- и като цяло с многоъгълници?
В хода на изследване на различни сайтове видях решения на задачи за изчисляване на площта на пет, шест и други многоъгълници. Формулата за решаване на тези проблеми се нарича формула на Пик. Тя изглежда така :S =B+G/2-1, където AT- броят на възлите, разположени вътре в многоъгълника, г- броят на възлите, разположени на границата на многоъгълника. Особеността на тази формула е, че може да се приложи само към многоъгълници, начертани върху карирана хартия.
Всеки такъв многоъгълник може лесно да бъде разделен на триъгълници с върхове в възлите на решетката, без възли нито вътре, нито отстрани. Може да се покаже, че площите на всички тези триъгълници са еднакви и равни на ½ и следователно площта на многоъгълника е равна на половината от техния брой T.
За да намерим това число, означаваме с n броя на страните на многоъгълника с AT- броят на възлите вътре в него, през ге броят на възлите от страните, включително върховете. Общата сума на ъглите на всички триъгълници е 180°. T.
Сега нека намерим сумата по различен начин.
Сумата от ъгли с връх във всеки вътрешен възел е 2,180°, т.е. общата сума на ъглите е 360°. AT;общата сума на ъглите при възлите от страните, но не и във върховете е ( г-н н)180°, а сумата от ъглите във върховете на многоъгълника ще бъде равна на ( G- 2)180°. По този начин, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Чрез разширяване на скобите и разделяне на 360° получаваме формулата за площта S на многоъгълник, известна като формула на Пик.
2. Практическа част
Реших да проверя тази формула на задачи от колекцията OGE-2017. Взех задачи за изчисляване на площта на триъгълник, четириъгълник и петоъгълник. Реших да сравня отговорите, решавайки по два начина: 1) Добавих фигурите към правоъгълник и извадих площта на правоъгълните триъгълници от площта на получения правоъгълник; 2) прилага формулата Peak.
S = 18-1,5-4,5 = 12 и S = 7+12/2-1= 12
S = 24-9-3 = 12 и S = 7+12/2-1 = 12
S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 и S = 43+14/2-1 = 49
Сравнявайки резултатите, заключавам, че и двете формули дават един и същ отговор. Намирането на площта на фигура с помощта на формулата на пика се оказа по-бързо и по-лесно, тъй като имаше по-малко изчисления. Лесното вземане на решение и спестяването на време за изчисления ще ми бъдат полезни в бъдеще при преминаване на OGE.
Това ме накара да тествам възможността за прилагане на формулата за избор на по-сложни фигури.
S = 0 + 4/2 -1 = 1
S = 5 + 11 / 2-1 = 9,5
S=4+16/2-1=1
Заключение
Формулата на Pick е лесна за разбиране и лесна за използване. Първо, достатъчно е да можете да броите, да разделите на 2, да събирате и изваждате. Второ, можете да намерите площта и сложна фигура, без да харчите много време. Трето, тази формула работи за всеки многоъгълник.
Недостатъкът е, че формулата за избор е приложима само за фигури, които са нарисувани върху карирана хартия и върховете лежат върху възлите на клетките.
Сигурен съм, че при полагане на финални изпити проблемите с изчисляването на площта на фигурите няма да създадат затруднения. В крайна сметка вече съм запознат с формулата на Pick.
Библиография
Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Аритметика. Геометрия. 5 клас: учебник. за общо образование организации с ап. към електрон. носител -3-то изд.-М.: Просвещение, 2014.- 223, с. : аз ще. - (Сфери).
Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Аритметика. Геометрия. 6 клас: учебник. за общо образование организации-5-то изд.-М.: Образование, 2016.-240с. : ил.- (Сфери).
Василиев Н.Б. Около формулата за избор. //Квант.- 1974.-№2. -стр.39-43
Рассолов В.В. Проблеми в планиметрията. / 5-то изд., поправено. И допълнително. - М.: 2006.-640-те.
И.В. Ященко. OGE. Математика: типични изпитни варианти: О-39 36 варианта - М .: Издателство Национално образование, 2017. -240 с. - (ОГЕ. ФИПИ-училище).
„Ще реша OGE“: математика. Системата за обучение на Дмитрий Гущин. OGE-2017: задачи, отговори, решения [Електронен ресурс]. Режим на достъп: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (Посетен на 04.02.2017 г.)
Тази тема ще представлява интерес за ученици от 10-11 клас при подготовка за изпита. Формулата Peak може да се използва при изчисляване на площта на фигура, изобразена върху карирана хартия (тази задача е предложена в теста за USE и измервателните материали).
По време на занятията
„Математиката е много сериозна
което е полезно да не пропускате възможността
направи го малко забавно"
(Б. Паскал)
учител:Има ли проблеми, които са необичайни и не приличат на задачи от училищните учебници? Да, това са задачи на карирана хартия. Такива задачи има в контролно-измервателните материали на изпита. Каква е особеността на подобни задачи, какви методи и техники се използват за решаване на задачи върху карирана хартия? В този урок ще проучим задачи върху карирана хартия, свързани с намирането на площта на изобразената фигура, и ще научим как да изчисляваме площите на многоъгълниците, начертани върху кариран лист.
учител:Обект на изследването ще бъдат задачи на карирана хартия.
Предмет на нашето изследване ще бъдат задачи за изчисляване на площта на многоъгълници върху карирана хартия.
А целта на изследването ще бъде формулата на Пика.
B - броят на цели точки вътре в многоъгълника
Г - броят на цели точки на границата на многоъгълника
Това е удобна формула, която може да се използва за изчисляване на площта на всеки многоъгълник без собствени пресечни точки с върхове в възлите на карираната хартия.
Кой е Пик? Връх Георг Александров (1859-1943) - австрийски математик. Открива формулата през 1899 г.
учител:Нека формулираме хипотеза: площта на фигурата, изчислена по формулата на Pick, е равна на площта на фигурата, изчислена по геометричните формули.
Когато решаваме задачи върху карирана хартия, имаме нужда от геометрично въображение и доста проста информация, която знаем:
Площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните страни.
Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на страните, образуващи правилния ъгъл.
учител:Възлите на мрежата са точки, където линиите на мрежата се пресичат.
Вътрешните възли на многоъгълника са сини. Възлите по границите на многоъгълника са кафяви.
Ще разгледаме само такива многоъгълници, чиито върхове лежат във възлите на карираната хартия.
учител:Нека направим малко проучване за триъгълник. Първо, изчисляваме площта на триъгълника, използвайки формулата на пика.
AT + г/2 − 1 , където AT г— броят на цели точки на границата на многоъгълника.
B = 34, G = 15,
AT + г/2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Отговор: 40,5
учител: Сега изчисляваме площта на триъгълника с помощта на геометричните формули. Площта на всеки триъгълник, начертан върху карирана хартия, може лесно да се изчисли, като се представи като сума или разлика от площите на правоъгълни триъгълници и правоъгълници, чиито страни минават по линиите на мрежата, минаващи през върховете на начертаното триъгълник. Учениците правят изчисленията в своите тетрадки. След това проверяват резултатите си с изчисленията на дъската.
учител:Сравнявайки резултатите от проучванията, направете заключение. Открихме, че площта на фигурата, изчислена по формулата на пика, е равна на площта на фигурата, изчислена с помощта на геометричните формули. Така хипотезата се оказа вярна.
След това учителят предлага да се изчисли площта на "неговия" произволен многоъгълник, като се използват геометричните формули и формулата за избор и да се сравнят резултатите. Можете да „играете“ с формулата на Пик на сайта за математически изследвания.
В края на статията се предлага една от статиите на тема „Изчисляване на площта на произволен многоъгълник с помощта на формулата на пика“.
Още стрпример:
Площта на многоъгълник с цели върхове е AT + г/2 − 1 , където ATе броят на цели точки вътре в многоъгълника и ге броят на цели точки на границата на многоъгълника.
B = 10, G = 6,
AT + г/2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ОТГОВОР: 12
учител: Предлагам ви да решите следните задачи:
Отговор: 12
Отговор: 13
Отговор: 9
Отговор: 11.5
Отговор: 4
|
