প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক গণনা করুন। ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক। ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক বের করতে কী পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে

এবং বিষয়টির একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক প্রয়োগ বিবেচনা করুন: সামঞ্জস্যের জন্য রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের অধ্যয়ন.

একটি ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক কি?

প্রবন্ধের হাস্যরসাত্মক এপিগ্রাফে প্রচুর পরিমাণে সত্য রয়েছে। "র্যাঙ্ক" শব্দটি সাধারণত কিছু ধরণের অনুক্রমের সাথে যুক্ত থাকে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই ক্যারিয়ারের সিঁড়ির সাথে। একজন ব্যক্তির যত বেশি জ্ঞান, অভিজ্ঞতা, ক্ষমতা, সংযোগ ইত্যাদি থাকে। - তার অবস্থান এবং সুযোগের পরিধি তত বেশি। তারুণ্যের পরিভাষায়, র‌্যাঙ্ক বলতে বোঝায় সামগ্রিক মাত্রার "কঠিনতা"।

এবং আমাদের গাণিতিক ভাইয়েরা একই নীতিতে বাস করে। চলুন কিছু নির্বিচারে হাঁটার জন্য নিতে শূন্য ম্যাট্রিক্স:

ম্যাট্রিক্সে যদি চিন্তা করা যাক শুধুমাত্র শূন্য, তাহলে আমরা কোন পদে কথা বলতে পারি? সবাই অনানুষ্ঠানিক অভিব্যক্তি "মোট শূন্য" এর সাথে পরিচিত। ম্যাট্রিক্স সমাজে, সবকিছু ঠিক একই রকম:

জিরো ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্কযেকোনো আকার শূন্য.

বিঃদ্রঃ : শূন্য ম্যাট্রিক্স গ্রীক অক্ষর "থিটা" দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, এর পরে আমি উপকরণগুলি আঁকব বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি. শূন্য বিবেচনা করুন ভেক্টরআমাদের ত্রিমাত্রিক স্থান, যা একটি নির্দিষ্ট দিক নির্ধারণ করে না এবং নির্মাণের জন্য অকেজো affine ভিত্তিতে. বীজগাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি প্রদত্ত ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি লেখা হয় ম্যাট্রিক্স"এক দ্বারা তিন" এবং যৌক্তিক (নির্দিষ্ট জ্যামিতিক অর্থে)অনুমান করুন যে এই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক শূন্য।

এখন কয়েকটা তাকাই অ-শূন্য কলাম ভেক্টরএবং সারি ভেক্টর:


প্রতিটি দৃষ্টান্তে অন্তত একটি নন-নাল এলিমেন্ট থাকে এবং এটি এমন কিছু!

যেকোনো নন-জিরো সারি ভেক্টরের (কলাম ভেক্টর) র্যাঙ্ক একের সমান

এবং সাধারণভাবে বলতে গেলে - ম্যাট্রিক্সে থাকলে নির্বিচারে মাপঅন্তত একটি অ-শূন্য উপাদান আছে, তারপর তার র্যাঙ্ক কম নাইউনিট.

বীজগণিতীয় সারি এবং কলাম ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে বিমূর্ত, তাই আবার জ্যামিতিক সংযোগে ফিরে আসা যাক। অশূন্য ভেক্টরমহাকাশে একটি সু-সংজ্ঞায়িত দিক নির্ধারণ করে এবং এটি নির্মাণের জন্য উপযুক্ত ভিত্তি, তাই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক একের সমান বলে ধরে নেওয়া হবে।

তত্ত্বীয় পেছনভাগ : রৈখিক বীজগণিতে, একটি ভেক্টর হল একটি ভেক্টর স্থানের একটি উপাদান (8টি স্বতঃসিদ্ধের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত), যা বিশেষ করে, সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা যোগ এবং গুণের ক্রিয়াকলাপ সহ বাস্তব সংখ্যাগুলির একটি ক্রমযুক্ত সারি (বা কলাম) হতে পারে তাদের জন্য. ভেক্টর সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য, নিবন্ধটি দেখুন রৈখিক রূপান্তর.

রৈখিকভাবে নির্ভরশীল(একে অপরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়)। জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, দ্বিতীয় লাইনে সমরেখা ভেক্টরের স্থানাঙ্ক রয়েছে , যা বিল্ডিং বিষয়টিকে অগ্রসর করেনি ত্রিমাত্রিক ভিত্তি, এই অর্থে অপ্রয়োজনীয় হচ্ছে. সুতরাং, এই ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কও একের সমান।

আমরা কলামগুলিতে ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি পুনরায় লিখি ( ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর):

পদমর্যাদায় কি পরিবর্তন হয়েছে? কিছুই না। কলামগুলি সমানুপাতিক, যার মানে হল একের সমান। যাইহোক, মনে রাখবেন যে তিনটি লাইনও সমানুপাতিক। তারা স্থানাঙ্ক সঙ্গে চিহ্নিত করা যেতে পারে তিনসমতলের সমরেখা ভেক্টর, যার মধ্যে শুধু একটাএকটি "ফ্ল্যাট" ভিত্তি নির্মাণের জন্য দরকারী। এবং এটি আমাদের জ্যামিতিক র্যাঙ্কের সাথে সম্পূর্ণ একমত।

উপরের উদাহরণ থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতি অনুসরণ করা হয়:

সারি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক কলাম দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান. আমি ইতিমধ্যে কার্যকরী পাঠে এটিকে কিছুটা উল্লেখ করেছি নির্ধারক গণনা করার পদ্ধতি.

বিঃদ্রঃ : সারিগুলির রৈখিক নির্ভরতা কলামগুলির রৈখিক নির্ভরতার দিকে নিয়ে যায় (এবং তদ্বিপরীত)। কিন্তু সময় বাঁচানোর জন্য, এবং অভ্যাসের বাইরে, আমি প্রায় সবসময় স্ট্রিংগুলির রৈখিক নির্ভরতা সম্পর্কে কথা বলব।

আসুন আমাদের প্রিয় পোষা প্রাণীকে প্রশিক্ষণ দেওয়া চালিয়ে যাই। তৃতীয় সারির ম্যাট্রিক্সে আরেকটি সমরেখা ভেক্টরের স্থানাঙ্ক যোগ করুন :

তিনি কি ত্রিমাত্রিক ভিত্তি তৈরিতে আমাদের সাহায্য করেছিলেন? অবশ্যই না. তিনটি ভেক্টরই একই পথ ধরে সামনে পিছনে হেঁটে যায় এবং ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক অস্থির। আপনি আপনার পছন্দ মতো অনেকগুলি সমরেখার ভেক্টর নিতে পারেন, 100 বলুন, তাদের স্থানাঙ্কগুলিকে 100 বাই 3 ম্যাট্রিক্সে রাখুন এবং এই ধরনের একটি আকাশচুম্বী স্থান এখনও এক থাকবে।

আসুন ম্যাট্রিক্সের সাথে পরিচিত হই যার সারি রৈখিকভাবে স্বাধীন. ত্রিমাত্রিক ভিত্তি নির্মাণের জন্য একজোড়া নন-কোলিনিয়ার ভেক্টর উপযুক্ত। এই ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল দুই।

ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক কত? লাইনগুলি সমানুপাতিক বলে মনে হচ্ছে না ... তাই, তত্ত্বে, তিনটি। তবে এই ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কও দুইটির সমান। আমি প্রথম দুটি লাইন যোগ করেছি এবং ফলাফলটি নীচে লিখেছি, অর্থাৎ রৈখিকভাবে প্রকাশিতপ্রথম দুই মাধ্যমে তৃতীয় লাইন. জ্যামিতিকভাবে, ম্যাট্রিক্সের সারি তিনটির স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায় কপ্ল্যানার ভেক্টর, এবং এই ট্রিপলের মধ্যে একজোড়া নন-কলিনিয়ার কমরেড রয়েছে।

আপনি যেমন দেখতে পারেন রৈখিক নির্ভরতাবিবেচিত ম্যাট্রিক্সে স্পষ্ট নয়, এবং আজ আমরা শিখব কিভাবে এটি "পরিষ্কার জলে" আনতে হয়।

আমি মনে করি অনেক মানুষ একটি ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক কি অনুমান!

একটি ম্যাট্রিক্স যার সারি বিবেচনা করুন রৈখিকভাবে স্বাধীন. ভেক্টর গঠন affine ভিত্তিতে, এবং এই ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল তিনটি।

আপনি জানেন, ত্রিমাত্রিক স্থানের যে কোনো চতুর্থ, পঞ্চম, দশম ভেক্টর ভিত্তি ভেক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হবে। অতএব, ম্যাট্রিক্সে যেকোন সংখ্যক সারি যোগ করা হলে তার ক্রম এখনও তিন হবে.

অনুরূপ যুক্তি বৃহত্তর আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য বাহিত হতে পারে (অবশ্যই, ইতিমধ্যে জ্যামিতিক অর্থ ছাড়াই)।

সংজ্ঞা : ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক হল রৈখিকভাবে স্বাধীন সারিগুলির সর্বাধিক সংখ্যা. বা: একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক হল রৈখিকভাবে স্বাধীন কলামের সর্বোচ্চ সংখ্যা. হ্যাঁ, তারা সবসময় মেলে।

উপরোক্ত থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক নির্দেশিকা অনুসরণ করা হয়: একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার ন্যূনতম মাত্রা অতিক্রম করে না. উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্সে চারটি সারি এবং পাঁচটি কলাম। ন্যূনতম মাত্রা চার, তাই এই ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক অবশ্যই 4-এর বেশি হবে না।

স্বরলিপি: বিশ্ব তত্ত্ব এবং অনুশীলনে ম্যাট্রিক্সের পদমর্যাদা নির্ধারণের জন্য কোনও সাধারণভাবে স্বীকৃত মান নেই, সবচেয়ে সাধারণটি পাওয়া যেতে পারে: - যেমন তারা বলে, একজন ইংরেজ এক জিনিস লেখেন, একজন জার্মান অন্য। অতএব, আমেরিকান এবং রাশিয়ান নরক সম্পর্কে সুপরিচিত উপাখ্যানের উপর ভিত্তি করে, আসুন একটি নেটিভ শব্দ দিয়ে ম্যাট্রিক্সের পদমর্যাদা নির্ধারণ করি। উদাহরণ স্বরূপ: . এবং যদি ম্যাট্রিক্সটি "নামহীন" হয়, যার মধ্যে অনেকগুলি রয়েছে, তবে আপনি কেবল লিখতে পারেন।

অপ্রাপ্তবয়স্কদের ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক কীভাবে খুঁজে পাবেন?

যদি আমাদের ঠাকুরমার ম্যাট্রিক্সে একটি পঞ্চম কলাম থাকে, তাহলে আরেকটি 4 র্থ অর্ডার মাইনর ("নীল", "রাস্পবেরি" + 5 তম কলাম) গণনা করা উচিত ছিল।

উপসংহার: একটি অ-শূন্য নাবালকের সর্বোচ্চ ক্রম তিনটি, তাই।

সম্ভবত সবাই এই বাক্যাংশটি পুরোপুরি বুঝতে পারেনি: 4র্থ ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কটি শূন্যের সমান, তবে 3য় ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে একটি অ-শূন্য ছিল - তাই, সর্বাধিক আদেশ অ-শূন্যগৌণ এবং তিন সমান।

প্রশ্ন জাগে, অবিলম্বে নির্ধারক গণনা করা হচ্ছে না কেন? ঠিক আছে, প্রথমত, বেশিরভাগ কাজে ম্যাট্রিক্স বর্গাকার হয় না, এবং দ্বিতীয়ত, এমনকি যদি আপনি একটি অ-শূন্য মান পান, তবে কাজটি উচ্চ সম্ভাবনার সাথে প্রত্যাখ্যান করা হবে, কারণ এটি সাধারণত একটি আদর্শ নীচে-আপ সমাধানকে বোঝায়। এবং বিবেচিত উদাহরণে, 4 র্থ ক্রমটির শূন্য নির্ণায়ক এমনকি আমাদের দাবি করার অনুমতি দেয় যে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্কটি চারের চেয়ে কম।

আমাকে অবশ্যই স্বীকার করতে হবে যে অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমান্তের পদ্ধতিটি আরও ভালভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য আমি নিজেই বিশ্লেষণকৃত সমস্যাটি নিয়ে এসেছি। বাস্তব অনুশীলনে, সবকিছু সহজ:

উদাহরণ 2

অপ্রাপ্তবয়স্কদের ফ্রিং করার পদ্ধতি দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

পাঠ শেষে সমাধান এবং উত্তর।

যখন অ্যালগরিদম দ্রুততম চলছে? আসুন একই চার-বাই-চার ম্যাট্রিক্সে ফিরে যাই . স্পষ্টতই, "ভাল" এর ক্ষেত্রে সমাধানটি সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত হবে কোণার নাবালক:

এবং, যদি, তারপর, অন্যথায় - .

চিন্তাভাবনা মোটেও অনুমানমূলক নয় - এমন অনেক উদাহরণ রয়েছে যেখানে পুরো বিষয়টি শুধুমাত্র কৌণিক অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে সীমাবদ্ধ।

যাইহোক, কিছু ক্ষেত্রে, অন্য পদ্ধতি আরও কার্যকর এবং পছন্দনীয়:

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক কিভাবে বের করবেন?

এই বিভাগটি পাঠকদের জন্য যারা ইতিমধ্যে পরিচিত গাউস পদ্ধতিএবং ধীরে ধীরে এটি তাদের হাত পেতে.

প্রযুক্তিগত দৃষ্টিকোণ থেকে, পদ্ধতিটি নতুন নয়:

1) প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, আমরা ম্যাট্রিক্সকে একটি ধাপে নিয়ে আসি;

2) ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক সারির সংখ্যার সমান।

এটা বেশ পরিষ্কার যে গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক পরিবর্তন হয় না, এবং এখানে সারমর্মটি অত্যন্ত সহজ: অ্যালগরিদম অনুসারে, প্রাথমিক রূপান্তরগুলির সময়, সমস্ত অপ্রয়োজনীয় আনুপাতিক (রৈখিকভাবে নির্ভরশীল) লাইনগুলি চিহ্নিত করা হয় এবং সরানো হয়, যার ফলস্বরূপ একটি "শুষ্ক অবশিষ্টাংশ" অবশিষ্ট থাকে - সর্বাধিক সংখ্যা রৈখিকভাবে স্বাধীন লাইন।

আসুন পুরানো পরিচিত ম্যাট্রিক্সকে তিনটি সমরেখা ভেক্টরের স্থানাঙ্কের সাথে রূপান্তর করি:

(1) প্রথম সারিটি দ্বিতীয় সারিতে যোগ করা হয়েছে, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। প্রথম লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে।

(2) শূন্য লাইন মুছে ফেলা হয়.

তাই একটি লাইন বাকি আছে, তাই। বলা বাহুল্য, এটি 2য় ক্রমটির নয়টি শূন্য অপ্রাপ্তবয়স্ক গণনা করার চেয়ে অনেক দ্রুত এবং শুধুমাত্র তখনই একটি উপসংহার আঁকতে পারে৷

আমি আপনাকে নিজেই মনে করিয়ে দিচ্ছি বীজগণিত ম্যাট্রিক্সকিছুই পরিবর্তন করা যাবে না, এবং রূপান্তরগুলি শুধুমাত্র পদ খুঁজে বের করার উদ্দেশ্যে সঞ্চালিত হয়! যাইহোক, আসুন আবার প্রশ্নটি নিয়ে আসি, কেন নয়? উৎস ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স এবং সারি তথ্য থেকে মৌলিকভাবে ভিন্ন তথ্য বহন করে। কিছু গাণিতিক মডেলে (অতিরিক্ততা ছাড়া), একটি সংখ্যার পার্থক্য জীবন এবং মৃত্যুর বিষয় হতে পারে। ... আমি প্রাথমিক ও মাধ্যমিক শ্রেণির স্কুলের গণিত শিক্ষকদের কথা মনে রেখেছিলাম, যারা অ্যালগরিদম থেকে সামান্যতম ভুল বা বিচ্যুতির জন্য নির্দয়ভাবে 1-2 পয়েন্টের গ্রেড কেটে ফেলেছিল। এবং এটি ভয়ানক হতাশাজনক ছিল যখন, আপাতদৃষ্টিতে গ্যারান্টিযুক্ত "পাঁচ" এর পরিবর্তে এটি "ভাল" বা আরও খারাপ পরিণত হয়েছিল। বোঝা অনেক পরে এসেছিল - উপগ্রহ, পারমাণবিক ওয়ারহেড এবং পাওয়ার প্ল্যান্টের সাথে একজন ব্যক্তিকে কীভাবে অর্পণ করা যায়? কিন্তু চিন্তা করবেন না, আমি এই এলাকায় কাজ করি না =)

আসুন আরও অর্থপূর্ণ কাজগুলিতে এগিয়ে যান, যেখানে অন্যান্য জিনিসগুলির মধ্যে, আমরা গুরুত্বপূর্ণ গণনামূলক কৌশলগুলির সাথে পরিচিত হব গাউস পদ্ধতি:

উদাহরণ 3

প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

সমাধান: একটি চার-বাই-পাঁচ ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে, যার অর্থ হল এটির র‍্যাঙ্ক অবশ্যই 4-এর বেশি নয়।

প্রথম কলামে, 1 বা -1 নেই, তাই কমপক্ষে একটি ইউনিট পেতে অতিরিক্ত পদক্ষেপের প্রয়োজন। সাইটের সমগ্র অস্তিত্ব জুড়ে, আমাকে বারবার প্রশ্ন করা হয়েছে: "প্রাথমিক রূপান্তরের সময় কলামগুলি পুনর্বিন্যাস করা কি সম্ভব?"। এখানে - প্রথম বা দ্বিতীয় কলাম পুনর্বিন্যাস, এবং সবকিছু ঠিক আছে! অধিকাংশ কাজে যেখানে গাউস পদ্ধতি, কলাম সত্যিই পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে. কিন্তু না. এবং বিন্দুটি ভেরিয়েবলের সাথে একটি সম্ভাব্য বিভ্রান্তিও নয়, বিন্দুটি হল উচ্চতর গণিত শেখানোর ক্লাসিক্যাল কোর্সে এই ক্রিয়াটি ঐতিহ্যগতভাবে বিবেচনা করা হয় না, তাই, এই জাতীয় কার্টিকে খুব বাঁকাভাবে দেখা হবে (বা এমনকি সবকিছু পুনরায় করতে বাধ্য করা হবে) .

দ্বিতীয় পয়েন্টটি সংখ্যা সম্পর্কিত। সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময়, নিম্নলিখিত নিয়মগুলি দ্বারা পরিচালিত হওয়া দরকারী: প্রাথমিক রূপান্তর, যদি সম্ভব হয়, ম্যাট্রিক্সের সংখ্যা কমাতে হবে. প্রকৃতপক্ষে, 23, 45 এবং 97 এর চেয়ে এক-দুই-তিনটির সাথে কাজ করা অনেক সহজ। এবং প্রথম ক্রিয়াটি শুধুমাত্র প্রথম কলামে একটি ইউনিট পাওয়াই নয়, সংখ্যাগুলিকে বাদ দেওয়াও লক্ষ্য করে। 7 এবং 11।

প্রথমে সম্পূর্ণ সমাধান, তারপর মন্তব্য:

(1) প্রথম সারিটি দ্বিতীয় সারিতে যোগ করা হয়েছে, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। প্রথম লাইনটি তৃতীয় লাইনে যোগ করা হয়েছে, -3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে। এবং স্তূপে: 1ম লাইন, -1 দ্বারা গুণিত, 4র্থ লাইনে যোগ করা হয়েছিল।

(2) শেষ তিনটি লাইন সমানুপাতিক। 3য় এবং 4র্থ লাইন মুছে ফেলা হয়েছে, দ্বিতীয় লাইনটি প্রথম স্থানে সরানো হয়েছে।

(3) প্রথম সারিটি দ্বিতীয় সারিতে যোগ করা হয়েছে, -3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

একটি ধাপযুক্ত আকারে হ্রাস করা ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি রয়েছে।

উত্তর:

এখন চার-বাই-চার ম্যাট্রিক্সে নির্যাতন করার পালা আপনার:

উদাহরণ 4

গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি গাউস পদ্ধতিদ্ব্যর্থহীন অনমনীয়তা বোঝায় না, এবং আপনার সমাধান সম্ভবত আমার সমাধান থেকে ভিন্ন হবে। পাঠের শেষে কাজের একটি সংক্ষিপ্ত নমুনা।

ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক বের করতে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করবেন?

অনুশীলনে, এটি প্রায়শই বলা হয় না যে র্যাঙ্ক খুঁজে পেতে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করা উচিত। এইরকম পরিস্থিতিতে, একজনকে শর্তটি বিশ্লেষণ করা উচিত - কিছু ম্যাট্রিক্সের জন্য এটি অপ্রাপ্তবয়স্কদের মাধ্যমে সমাধান করা আরও যুক্তিযুক্ত, অন্যদের জন্য প্রাথমিক রূপান্তরগুলি প্রয়োগ করা অনেক বেশি লাভজনক:

উদাহরণ 5

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

সমাধান: প্রথম উপায় একরকম অবিলম্বে অদৃশ্য হয়ে যায় =)

একটু উঁচুতে, আমি ম্যাট্রিক্সের কলামগুলি স্পর্শ না করার পরামর্শ দিয়েছিলাম, কিন্তু যখন একটি শূন্য কলাম, বা সমানুপাতিক / মিলিত কলাম থাকে, তখনও এটি কেটে ফেলার উপযুক্ত:

(1) পঞ্চম কলামটি শূন্য, আমরা এটি ম্যাট্রিক্স থেকে সরিয়ে ফেলি। এইভাবে, ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক সর্বোচ্চ চারটি। প্রথম সারিটি -1 দ্বারা গুণ করা হয়। এটি গাউসিয়ান পদ্ধতির আরেকটি স্বাক্ষর বৈশিষ্ট্য, যা নিম্নলিখিত ক্রিয়াটিকে একটি আনন্দদায়ক হাঁটা করে তোলে:

(2) সমস্ত লাইনে, দ্বিতীয় দিয়ে শুরু করে, প্রথম লাইন যোগ করা হয়েছে।

(3) প্রথম সারিটি -1 দ্বারা গুন করা হয়েছিল, তৃতীয় সারিটিকে 2 দ্বারা ভাগ করা হয়েছিল, চতুর্থ সারিটিকে 3 দ্বারা ভাগ করা হয়েছিল৷ দ্বিতীয় সারিটিকে -1 দ্বারা গুণ করা হয়েছিল পঞ্চম সারিতে যোগ করা হয়েছিল৷

(4) তৃতীয় লাইনটি পঞ্চম লাইনে যোগ করা হয়েছে, -2 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

(5) শেষ দুটি লাইন সমানুপাতিক, আমরা পঞ্চমটি মুছে ফেলি।

ফলাফল 4 সারি।

উত্তর:

স্ব-অন্বেষণের জন্য স্ট্যান্ডার্ড পাঁচ-তলা বিল্ডিং:

উদাহরণ 6

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন

পাঠ শেষে সংক্ষিপ্ত সমাধান এবং উত্তর।

এটি লক্ষ করা উচিত যে "ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক" শব্দটি অনুশীলনে এত সাধারণ নয় এবং বেশিরভাগ সমস্যায় আপনি এটি ছাড়াই করতে পারেন। তবে একটি কাজ রয়েছে যেখানে বিবেচনাধীন ধারণাটি প্রধান চরিত্র, এবং নিবন্ধের উপসংহারে আমরা এই ব্যবহারিক প্রয়োগটি বিবেচনা করব:

সামঞ্জস্যের জন্য রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি কীভাবে তদন্ত করবেন?

প্রায়শই, সমাধান ছাড়াও রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমশর্ত অনুসারে, প্রথমে এটিকে সামঞ্জস্যের জন্য পরীক্ষা করতে হবে, অর্থাৎ প্রমাণ করতে হবে যে কোনও সমাধান আদৌ বিদ্যমান। এই যাচাইকরণে একটি মূল ভূমিকা পালন করা হয় ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য, যা আমি প্রয়োজনীয় আকারে প্রণয়ন করব:

র‍্যাঙ্ক হলে সিস্টেম ম্যাট্রিক্সপদমর্যাদার সমান বর্ধিত ম্যাট্রিক্স সিস্টেম, তাহলে সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং যদি প্রদত্ত সংখ্যাটি অজানা সংখ্যার সাথে মিলে যায়, তাহলে সমাধানটি অনন্য।

সুতরাং, সামঞ্জস্যের জন্য সিস্টেম অধ্যয়ন করার জন্য, সমতা পরীক্ষা করা প্রয়োজন , কোথায় - সিস্টেম ম্যাট্রিক্স(পাঠ থেকে পরিভাষা মনে রাখবেন গাউস পদ্ধতি), ক - বর্ধিত ম্যাট্রিক্স সিস্টেম(যেমন ভেরিয়েবলে সহগ সহ ম্যাট্রিক্স + মুক্ত পদের কলাম)।

উপপাদ্য (র্যাঙ্কের সংজ্ঞার সঠিকতার উপর)।সব ম্যাট্রিক্স নাবালক যাক A m × n (\displaystyle A_(m\times n))আদেশ k (\ প্রদর্শনশৈলী k)শূন্যের সমান ( M k = 0 (\ ডিসপ্লেস্টাইল M_(k)=0)) তারপর ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)যদি তারা বিদ্যমান থাকে। প্যাটার্ন: / ফ্রেম

সম্পর্কিত সংজ্ঞা

বৈশিষ্ট্য

• উপপাদ্য (অপ্রধান ভিত্তিতে):দিন r = rang ⁡ A , M r (\displaystyle r=\operatorname (rang) A,M_(r))- ম্যাট্রিক্সের বেসিস মাইনর A (\displaystyle A), তারপর:
• পরিণতি:
• উপপাদ্য (প্রাথমিক রূপান্তরের অধীনে র্যাঙ্কের পরিবর্তনের উপর):প্রাথমিক-রূপান্তর দ্বারা একে অপরের থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিসের জন্য একটি স্বরলিপি প্রবর্তন করা যাক। তাহলে উক্তিটি সত্য: যদি A ∼ B (\displaystyle A\sim B), তাহলে তাদের পদমর্যাদা সমান।
• উপপাদ্য-ক্রোনেকার--ক্যাপেলি:রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তার বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হয়। নির্দিষ্টভাবে:
  • সিস্টেমের প্রধান ভেরিয়েবলের সংখ্যা সিস্টেমের র্যাঙ্কের সমান।
  • একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম সংজ্ঞায়িত করা হবে (এর সমাধান অনন্য) যদি সিস্টেমের র্যাঙ্ক তার সমস্ত ভেরিয়েবলের সংখ্যার সমান হয়।
• অসমতা-সিলভেস্টার:যদি একটি কএবং খআকার ম্যাট্রিক্স m x nএবং n x k, তারপর

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B − n (\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

এটি নিম্নলিখিত অসমতার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

• অসমতা-ফ্রোবেনিয়াস:যদি AB, BC, ABC ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাহলে

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C − r a n k B (\ displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB)

রৈখিক রূপান্তর এবং ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক

দিন A (\displaystyle A)- আকার ম্যাট্রিক্স m × n (\displaystyle m\times n)মাঠের উপরে সি (\ ডিসপ্লেস্টাইল সি)(বা R (\ ডিসপ্লেস্টাইল R)) দিন T (\ ডিসপ্লেস্টাইল T)এর সাথে সম্পর্কিত একটি রৈখিক রূপান্তর A (\displaystyle A)আদর্শ ভিত্তিতে; এটা মানে T(x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক A (\displaystyle A) রূপান্তর পরিসরের মাত্রা T (\ ডিসপ্লেস্টাইল T).

পদ্ধতি

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে:

• প্রাথমিক রূপান্তরের পদ্ধতি

ম্যাট্রিক্সের সারিতে প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে ধাপে ধাপে নামিয়ে আনার পর ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কটি ম্যাট্রিক্সের অ-শূন্য সারির সংখ্যার সমান।

• ফ্রিংিং মাইনর পদ্ধতি

ম্যাট্রিক্সে যাক A (\displaystyle A)অ-শূন্য নাবালক পাওয়া গেছে k (\ প্রদর্শনশৈলী k)-ম আদেশ M (\ ডিসপ্লেস্টাইল M). সব নাবালক বিবেচনা করুন (k + 1) (\ ডিসপ্লেস্টাইল (k+1))আদেশ, সহ (পার্শ্ববর্তী) নাবালক M (\ ডিসপ্লেস্টাইল M); যদি তারা সব শূন্যের সমান হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হবে k (\ প্রদর্শনশৈলী k). অন্যথায়, সীমান্তবর্তী নাবালকদের মধ্যে একটি অ-শূন্য রয়েছে এবং পুরো পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করা হয়।

যেকোনো ম্যাট্রিক্স কআদেশ m×nসংগ্রহ হিসাবে দেখা যেতে পারে মিসারি ভেক্টর বা nকলাম ভেক্টর

পদমর্যাদাম্যাট্রিক্স কআদেশ m×nরৈখিকভাবে স্বাধীন কলাম ভেক্টর বা সারি ভেক্টরের সর্বাধিক সংখ্যা।

ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হলে কসমান r, তারপর লেখা আছে:

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খোঁজা

দিন কনির্বিচারে আদেশ ম্যাট্রিক্স মি× n. একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করতে কএটিতে গাউসিয়ান নির্মূল পদ্ধতি প্রয়োগ করুন।

মনে রাখবেন যে যদি নির্মূলের কিছু পর্যায়ে অগ্রণী উপাদানটি শূন্যের সমান হয়, তাহলে আমরা প্রদত্ত স্ট্রিংটিকে সেই স্ট্রিংয়ের সাথে অদলবদল করি যেখানে অগ্রণী উপাদানটি শূন্য থেকে আলাদা। যদি দেখা যায় যে এই জাতীয় কোনও সারি নেই, তবে আমরা পরবর্তী কলামে চলে যাই এবং আরও অনেক কিছু।

গাউসিয়ান নির্মূলের অগ্রগতির পরে, আমরা একটি ম্যাট্রিক্স পাই যার মূল কর্ণের নীচের উপাদানগুলি শূন্যের সমান। এছাড়াও, নাল সারি ভেক্টর থাকতে পারে।

নন-জিরো সারি ভেক্টরের সংখ্যা ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হবে ক.

আসুন সহজ উদাহরণ দিয়ে এই সব তাকান.

উদাহরণ 1

প্রথম সারিটিকে 4 দ্বারা গুণ করা এবং দ্বিতীয় সারিতে যোগ করা এবং প্রথম সারিটিকে 2 দ্বারা গুণ করা এবং তৃতীয় সারিতে যোগ করা আমাদের আছে:

দ্বিতীয় সারিটিকে -1 দ্বারা গুণ করুন এবং তৃতীয় সারিতে যোগ করুন:

আমরা দুটি অ-শূন্য সারি পেয়েছি এবং তাই, ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল 2।

উদাহরণ 2

নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন:

প্রথম সারিটিকে -2 দ্বারা গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সারিতে যোগ করুন। একইভাবে, প্রথম কলামের তৃতীয় এবং চতুর্থ সারির উপাদানগুলিকে শূন্যে সেট করুন:

দ্বিতীয় কলামের তৃতীয় এবং চতুর্থ সারির উপাদানগুলিকে -1 সংখ্যা দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় সারিতে সংশ্লিষ্ট সারিগুলি যোগ করে পুনরায় সেট করি।

কিছু ম্যাট্রিক্স দেওয়া যাক:

.

এই ম্যাট্রিক্সে নির্বাচন করুন নির্বিচারে লাইন এবং নির্বিচারে কলাম
. তারপর নির্ধারক তম ক্রম, ম্যাট্রিক্স উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত
নির্বাচিত সারি এবং কলামের সংযোগস্থলে অবস্থিত একটি মাইনর বলা হয় -ম ক্রম ম্যাট্রিক্স
.

সংজ্ঞা 1.13।ম্যাট্রিক্স র‌্যাঙ্ক
এই ম্যাট্রিক্সের অ-শূন্য মাইনর এর বৃহত্তম ক্রম।

একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক গণনা করার জন্য, একজনকে তার সব ছোট ক্রম বিবেচনা করা উচিত এবং, যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি অশূন্য হয়, তাহলে সর্বোচ্চ ক্রমে অপ্রাপ্তবয়স্কদের বিবেচনায় এগিয়ে যান। ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক নির্ধারণের এই পদ্ধতিকে বর্ডারিং পদ্ধতি (বা বর্ডারিং নাবালক পদ্ধতি) বলা হয়।

টাস্ক 1.4।অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমানার পদ্ধতি দ্বারা, একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণ করুন
.

.

প্রথম-ক্রম বর্ডারিং বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ,
. তারপর আমরা দ্বিতীয় ক্রম কিছু সীমানা বিবেচনা চালু.

উদাহরণ স্বরূপ,
.

পরিশেষে, আসুন তৃতীয় আদেশের সীমানা বিশ্লেষণ করি।

.

সুতরাং একটি অ-শূন্য মাইনর এর সর্বোচ্চ ক্রম হল 2, তাই
.

সমস্যা 1.4 সমাধান করার সময়, কেউ লক্ষ্য করতে পারে যে দ্বিতীয় ক্রমের সীমানা নাবালকের সিরিজ অশূন্য। এই বিষয়ে, নিম্নলিখিত ধারণা সঞ্চালিত হয়.

সংজ্ঞা 1.14।একটি ম্যাট্রিক্সের বেসিস মাইনর হল যেকোন নন-জিরো মাইনর যার ক্রম ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান।

উপপাদ্য 1.2।(মৌলিক গৌণ উপপাদ্য)। মৌলিক সারি (বেসিক কলাম) রৈখিকভাবে স্বাধীন।

মনে রাখবেন যে একটি ম্যাট্রিক্সের সারি (কলাম) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটিকে অন্যদের একটি রৈখিক সমন্বয় হিসাবে উপস্থাপন করা যায়।

উপপাদ্য 1.3।রৈখিকভাবে স্বাধীন ম্যাট্রিক্স সারির সংখ্যা রৈখিকভাবে স্বাধীন ম্যাট্রিক্স কলামের সংখ্যার সমান এবং ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান।

উপপাদ্য 1.4।(নির্ধারক শূন্যের সমান হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত)। নির্ধারক জন্য -ম আদেশ শূন্যের সমান, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে এর সারি (কলাম) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

একটি ম্যাট্রিক্স এর সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে এর র্যাঙ্ক গণনা করা খুব কষ্টকর। এটি উচ্চ-অর্ডার ম্যাট্রিক্সের জন্য বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। এই বিষয়ে, অনুশীলনে, একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক গণনা করা হয় উপপাদ্য 10.2 - 10.4 প্রয়োগের উপর ভিত্তি করে, সেইসাথে ম্যাট্রিক্সের সমতুল্যতা এবং প্রাথমিক রূপান্তরের ধারণাগুলির ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে।

সংজ্ঞা 1.15।দুটি ম্যাট্রিক্স
এবং সমতুল্য বলা হয় যদি তাদের পদমর্যাদা সমান হয়, যেমন
.

ম্যাট্রিস হলে
এবং সমতুল্য, তারপর চিহ্নিত করুন
 .

উপপাদ্য 1.5।একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক প্রাথমিক রূপান্তর থেকে পরিবর্তিত হয় না।

আমরা ম্যাট্রিক্সের প্রাথমিক রূপান্তর বলব
ম্যাট্রিক্সে নিম্নলিখিত ক্রিয়াগুলির যে কোনও একটি:

সারিগুলিকে কলাম এবং কলামগুলি সংশ্লিষ্ট সারিগুলির সাথে প্রতিস্থাপন করা;

ম্যাট্রিক্স সারিগুলির স্থানান্তর;

একটি রেখা অতিক্রম করা, যার সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান;

কোনো স্ট্রিংকে একটি অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;

এক সারির উপাদানে যোগ করলে অন্য সারির সংশ্লিষ্ট উপাদান একই সংখ্যা দ্বারা গুণিত হয়
.

উপপাদ্যের ফলাফল 1.5।ম্যাট্রিক্স হলে
ম্যাট্রিক্স থেকে প্রাপ্ত একটি সীমিত সংখ্যক প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, তারপর ম্যাট্রিক্স
এবং সমতুল্য

একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক গণনা করার সময়, প্রাথমিক রূপান্তরগুলির একটি সীমিত সংখ্যক ব্যবহার করে এটি একটি ট্র্যাপিজয়েডাল আকারে হ্রাস করা উচিত।

সংজ্ঞা 1.16।আমরা ট্র্যাপিজয়েডকে একটি ম্যাট্রিক্সের প্রতিনিধিত্বের এমন একটি ফর্ম বলব যখন শূন্য ব্যতীত সর্বোচ্চ ক্রমটির সীমানাযুক্ত ক্ষুদ্র অংশে, তির্যকের নীচের সমস্ত উপাদানগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়। উদাহরণ স্বরূপ:

.

এখানে
, ম্যাট্রিক্স উপাদান
শূন্যে পরিণত তাহলে এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের প্রতিনিধিত্বের ফর্ম ট্র্যাপিজয়েডাল হবে।

একটি নিয়ম হিসাবে, গাউসিয়ান অ্যালগরিদম ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সগুলিকে ট্র্যাপিজয়েডাল আকারে হ্রাস করা হয়। গাউসিয়ান অ্যালগরিদমের ধারণাটি হল, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারির উপাদানগুলিকে সংশ্লিষ্ট কারণগুলির দ্বারা গুণ করে, তারা অর্জন করে যে উপাদানটির নীচে অবস্থিত প্রথম কলামের সমস্ত উপাদান
, শূন্যে পরিণত হবে। তারপরে, সংশ্লিষ্ট গুণক দ্বারা দ্বিতীয় কলামের উপাদানগুলিকে গুণ করে, আমরা অর্জন করি যে উপাদানটির নীচে অবস্থিত দ্বিতীয় কলামের সমস্ত উপাদান
, শূন্যে পরিণত হবে। আরও একইভাবে এগিয়ে যান.

টাস্ক 1.5।একটি ট্র্যাপিজয়েডাল আকারে হ্রাস করে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক নির্ধারণ করুন।

.

গাউসিয়ান অ্যালগরিদম প্রয়োগের সুবিধার জন্য, আপনি প্রথম এবং তৃতীয় সারি অদলবদল করতে পারেন।








.

স্পষ্টতই এখানে
. যাইহোক, ফলাফলটিকে আরও মার্জিত আকারে আনতে, কলামগুলিতে আরও রূপান্তর চালিয়ে যাওয়া যেতে পারে।










.

r সংখ্যাটিকে ম্যাট্রিক্স A এর র্যাঙ্ক বলা হয় যদি:
1) ম্যাট্রিক্স A-তে r-এর একটি অ-শূন্য মাইনর রয়েছে;
2) অর্ডারের সমস্ত অপ্রাপ্তবয়স্ক (r+1) এবং উচ্চতর, যদি তারা বিদ্যমান থাকে, তাহলে শূন্যের সমান।
অন্যথায়, একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল একটি অ-শূন্য নাবালকের সর্বোচ্চ ক্রম।
পদবি: রংএ, আর এ বা আর।
এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে r একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। একটি নাল ম্যাট্রিক্সের জন্য, র্যাঙ্কটি শূন্য বলে বিবেচিত হয়।

সার্ভিস অ্যাসাইনমেন্ট. অনলাইন ক্যালকুলেটরটি খুঁজে বের করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক. সমাধানটি Word এবং Excel ফরম্যাটে সংরক্ষিত হয়। সমাধান উদাহরণ দেখুন।

নির্দেশ. ম্যাট্রিক্সের মাত্রা নির্বাচন করুন, পরবর্তী ক্লিক করুন।

সংজ্ঞা। র্যাঙ্কের একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া যাক। শূন্য ব্যতীত অন্য যেকোন ম্যাট্রিক্স মাইনর এবং অর্ডার r থাকলে তাকে মৌলিক বলা হয় এবং এর উপাদানগুলির সারি এবং কলামগুলিকে মৌলিক সারি এবং কলাম বলা হয়।
এই সংজ্ঞা অনুসারে, ম্যাট্রিক্স A-তে বেশ কয়েকটি ভিত্তি নাবালক থাকতে পারে।

পরিচয় ম্যাট্রিক্স E এর র্যাঙ্ক হল n (সারির সংখ্যা)।

উদাহরণ 1। দুটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া, এবং তাদের নাবালক , . এদের মধ্যে কোনটিকে ভিত্তি হিসেবে নেওয়া যায়?
সমাধান. অপ্রধান M 1 =0, তাই এটি যেকোনও ম্যাট্রিক্সের ভিত্তি হতে পারে না। মাইনর M 2 =-9≠0 এবং এর ক্রম 2 আছে, তাই এটিকে A বা / এবং B এর ভিত্তি ম্যাট্রিক্স হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, তবে শর্ত থাকে যে তাদের র্যাঙ্ক 2 এর সমান থাকে। যেহেতু detB=0 (দুটি আনুপাতিক কলামের নির্ধারক হিসাবে), তাহলে rangB=2 এবং M 2 ম্যাট্রিক্স B-এর ভিত্তি মাইনর হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। ম্যাট্রিক্স A-এর র্যাঙ্ক 3, কারণ detA=-27≠ 0 এবং তাই, এই ম্যাট্রিক্সের বেসিস মাইনর 3 হতে হবে, অর্থাৎ M 2 ম্যাট্রিক্স A-এর ভিত্তি নয়। উল্লেখ্য যে ম্যাট্রিক্স A-এর একটি অনন্য ভিত্তি রয়েছে যা ম্যাট্রিক্স A-এর নির্ধারকের সমান।

উপপাদ্য (অপ্রধান ভিত্তিতে)। একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সারি (কলাম) তার মৌলিক সারিগুলির (কলাম) একটি রৈখিক সমন্বয়।
উপপাদ্য থেকে ফলাফল.

1. র্যাঙ্ক r এর ম্যাট্রিক্সের যেকোনো (r+1) কলাম (সারি) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।
2. যদি একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক তার সারি (কলাম) সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তবে এর সারি (কলাম) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। যদি rangA এর সারি (কলাম) সংখ্যার সমান হয়, তাহলে সারি (কলাম) রৈখিকভাবে স্বাধীন।
3. একটি ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক শূন্যের সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সারি (কলাম) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়।
4. যদি ম্যাট্রিক্সের একটি সারিতে (কলাম) শূন্য ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণিত অন্য সারি (কলাম) যোগ করা হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক পরিবর্তন হবে না।
5. আপনি যদি ম্যাট্রিক্সে একটি সারি (কলাম) ক্রস আউট করেন যা অন্যান্য সারিগুলির (কলাম) একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, তাহলে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক পরিবর্তন হবে না।
6. একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক তার রৈখিকভাবে স্বাধীন সারিগুলির (কলাম) সর্বাধিক সংখ্যার সমান।
7. রৈখিকভাবে স্বাধীন সারির সর্বাধিক সংখ্যা রৈখিক স্বাধীন কলামের সর্বাধিক সংখ্যার সমান।

উদাহরণ 2। একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজুন .
সমাধান। একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, আমরা শূন্য থেকে ভিন্ন সর্বোচ্চ ক্রম-এর একটি নাবালকের সন্ধান করব। প্রথমত, আমরা ম্যাট্রিক্সকে একটি সহজ আকারে রূপান্তর করি। এটি করার জন্য, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিটিকে (-2) দ্বারা গুণ করুন এবং দ্বিতীয়টিতে যোগ করুন, তারপর এটিকে (-1) দ্বারা গুণ করুন এবং তৃতীয়টিতে যোগ করুন।