Конспект на урока
Тема: Алгебра
Дата: 2.04.13.
Клас: 11 клас
Учител: Тишибаева Н.Ш.
Предмет: Диференциране на логаритмични и експоненциални функции. Антипроизводната на експоненциалната функция.
Цел:
1) формулират формули за производни на логаритмични и експоненциални функции; научете се да намирате първообразната на експоненциална функция
2) развиват паметта, наблюдателността, логическото мислене, математическата реч на учениците, способността за анализиране и сравняване, развиват познавателен интерес към предмета;
3) да култивира комуникативната култура на учениците, уменията за колективна дейност, сътрудничество, взаимопомощ.
Тип урок: разясняване на нов материал и затвърждаване на придобитите знания, умения и способности.
Оборудване : карти, интерактивна дъска.
технология: диференциран подход
По време на часовете:
1.Орг. момент .(2мин) .
2. Решаване на кръстословица (8 минути)
1. Френският математик от 17-ти век Пиер дьо Ферма определя тази линия като „Правата линия, която е най-близо до кривата в малък квартал на точката“.
Тангента
2. Функцията, която се дава от формулата y \u003dа х .
Демонстрация
3. Функцията, която се дава от формулата y \u003d logбрадва.
логаритмичен
4. Производна на преместването
Скорост
5. Какво е името на функцията F (x) за функцията f (x), ако условието F "(x) \u003d f (x) е изпълнено за всяка точка от интервала I.
антидериват
6. Как се казва връзката между X и Y, при която всеки елемент от X е свързан с един елемент от Y.
Функция
7. .Ако функцията f(x) може да бъде представена като f(x)=g(t(x)), тогава тази функция се нарича...
Комплекс
Дума вертикално фамилно име на френски математик и механик
Лагранж
3.Обяснение на новия материал: (10 минути)
Експоненциална функция във всяка точка от областта на дефиницията има производна и тази производна се намира по формулата:
(.в a във формулата заменете числотои на e получаваме
(e x)" = e x_ формула производна на степента
Логаритмичната функция във всяка точка от областта на дефиницията има производна и тази производна се намира по формулата:
(log x)" = във формулата заменете числотои на e получаваме
Експоненциалната функция y =(а има антипроизводна във всяка точка от областта на дефиниция и тази антипроизводна се намира по формулата F(x) =+ C
4. Поправяне на нов материал (20 минути)
Математически диктовка.
1. Запишете формулата за производната на експоненциалната функция (aХ )"
(a x)" = a x ln a
2. Запишете формулата за производната на степента. (напрХ )"
(e x)" = e x
3. Запишете формулата за производната на естествения логаритъм
4. Запишете формулата за производната на логаритмичната функция (logбрадва)"=?
(log x)" =
5. Запишете общия вид на първопроизводните за функцията f(x) = aХ .
F(x) = + C
6. Запишете общата форма на антипроизводни за функцията:, x≠0. F(x)=ln|x|+C
Работа с бяла дъска
№255,№256,№258,№259(2,4)
6.D / z No 257, No 261 (2 мин.)
7. Резултатът от урока: (3 минути)
- Каква е формулата за логаритмична функция?
Каква е формулата за експоненциална функция?
Каква е формулата за производната на логаритмична функция?
Каква е формулата за производната на експоненциална функция?
Тема на урока: „Диференциране на експоненциални и логаритмични функции. Антипроизводната на експоненциалната функция „в задачите на UNT
Цел : да се развиват уменията на учениците за прилагане на теоретични знания по темата „Диференциране на степенни и логаритмични функции. Антипроизводна на експоненциална функция” за решаване на задачи на UNT.
Задачи
Образователни: да се систематизират теоретичните знания на учениците, да се затвърдят уменията за решаване на задачи по тази тема.
Разработване:развиват памет, наблюдателност, логическо мислене, математическа реч на учениците, внимание, самочувствие и умения за самоконтрол.
Образователни:насърчаване на:
формиране на отговорно отношение на учениците към ученето;
развитие на устойчив интерес към математиката;
създаване на положителна вътрешна мотивация за изучаване на математика.
Методи на преподаване: словесно, визуално, практично.
Форми на работа:индивидуално, фронтално, по двойки.
По време на занятията
Епиграф: "Умът се състои не само в знанието, но и в способността да се прилага знанието на практика" Аристотел (слайд 2)
I. Организационен момент.
II. Решаване на кръстословица. (слайд 3-21)
Френският математик от 17-ти век Пиер Ферма дефинира тази линия като "правата линия, която е най-близо до кривата в малък квартал на точка".
Тангента
Функцията, която се дава от формулата y = log ах.
логаритмичен
Функцията, която се дава от формулата y = аХ.
Демонстрация
В математиката това понятие се използва при намиране на скоростта на материална точка и наклона на допирателната към графиката на функция в дадена точка.
Производна
Какво е името на функцията F (x) за функцията f (x), ако условието F "(x) \u003d f (x) е изпълнено за всяка точка от интервала I.
антидериват
Как се казва връзката между X и Y, при която всеки елемент от X е свързан с един елемент от Y.
Производна на изместване
Скорост
Функция, която се дава от формулата y = e x.
Изложител
Ако функцията f(x) може да бъде представена като f(x)=g(t(x)), тогава тази функция се нарича...
III. Математически диктовка.(слайд 22)
1. Запишете формулата за производната на експоненциалната функция. ( ах)" = а x ln а
2. Запишете формулата за производната на степента. (e x)" = e x
3. Запишете формулата за производната на естествения логаритъм. (lnx)"=
4. Запишете формулата за производната на логаритмичната функция. (дневник а x)"= 
5. Запишете общия вид на първопроизводните за функцията f(x) = аХ. F(x)= 
6. Запишете общия вид на първопроизводните за функцията f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C
Проверете работата (отговорите на слайд 23).
IV. Решаване на проблеми UNT (симулатор)
А) No 1,2,3,6,10,36 на дъската и в тетрадката (слайд 24)
Б) Работа по двойки No 19.28 (симулатор) (слайд 25-26)
V. 1. Намерете грешки: (слайд 27)
1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) = - 3 e - 3x
2) f (x) = 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17
3) f(x)= log 5
(7x+1),f "(x)= 
4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d 
.
VI. Ученическа презентация.
Епиграф: „Знанието е толкова ценно нещо, че не е срамно да се получи от какъвто и да е източник“ Тома Аквински (слайд 28)
VII. Домашна работа No19,20 стр.116
VIII. Тест (резервна задача) (слайд 29-32)
IX. Резюме на урока.
„Ако искате да участвате в големия живот, напълнете главата си с математика, докато можете. Тогава тя ще ви окаже голяма помощ през целия ви живот ” М. Калинин (слайд 33)
Алгебра и начало на математическия анализ
Диференциране на експоненциалната и логаритмичната функция
Съставено от:
учител по математика МОУ СОУ №203 ЧЕТС
град Новосибирск
Видутова Т.В.
номер д.Функция y=e х, неговите свойства, графика, диференциация
1. Нека построим графики за различни бази a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Опция 2) (Опция 1) "width="640" Помислете за експоненциалната функция y = a х, където е 1.
Нека строим за различни бази а графики:
1. y=2 х
3. y=10 х
2. y=3 х
(Вариант 2)
(1 опция)
1) Всички графики минават през точката (0; 1);
2) Всички графики имат хоризонтална асимптота y = 0
в х ∞;
3) Всички те са обърнати с издутина надолу;
4) Всички те имат допирателни във всичките си точки.
Начертайте допирателна към графиката на функцията y=2 х в точката х= 0 и измерете ъгъла, образуван от допирателната към оста х
С помощта на точни конструкции на допирателни към графиките може да се види, че ако основата аекспоненциална функция y = a хосновата постепенно нараства от 2 до 10, след което ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката х= 0 и оста x постепенно се увеличава от 35' до 66,5'.
Следователно има основание а, за което съответният ъгъл е 45'. И това значение асключен между 2 и 3, т.к в а= 2 ъгълът е 35’, с а= 3 е равно на 48'.
В хода на математическия анализ се доказва, че тази база съществува, обикновено се обозначава с буквата д.
Определи това д - ирационално число, тоест е безкрайна непериодична десетична дроб:
e = 2,7182818284590... ;
На практика обикновено се приема, че д ≈ 2,7.
Свойства на графика и функция y = e х :
1) D(f) = (- ∞; + ∞);
3) увеличава;
4) не ограничен отгоре, ограничен отдолу
5) няма нито най-големия, нито най-малкия
стойности;
6) непрекъснат;
7) E(f) = (0; + ∞);
8) изпъкнал надолу;
9) е диференцируем.
Функция y = e х Наречен изложител .
В хода на математическия анализ беше доказано, че функцията y = e х има производна във всяка точка х :
(напр х ) = e х
(напр 5x )" = 5e 5x
(напр х-3 )" = д х-3
(напр -4x+1 )" = -4e -4x-1
Пример 1 . Начертайте допирателна към графиката на функцията в точката x=1.
2) f()=f(1)=e
4) y=e+e(x-1); y = напр
Отговор:
Пример 2 .
х = 3.
Пример 3 .
Изследване на функция за екстремум
x=0 и x=-2
х= -2 - максимална точка
х= 0 – минимална точка
Ако основата на логаритъма е числото д, тогава те казват, че дадено естествен логаритъм . За естествените логаритми е въведено специално обозначение вътрешен (l - логаритъм, n - естествен).
Графика и свойства на функцията y = ln x
Свойства на функцията y = lnx:
1) D(f) = (0; + ∞);
2) не е нито четно, нито нечетно;
3) се увеличава с (0; + ∞);
4) неограничени;
5) няма нито най-голямата, нито най-малката стойност;
6) непрекъснат;
7) E (f) = (- ∞; + ∞);
8) изпъкнал връх;
9) е диференцируем.
0 формулата за диференциране "width="640" е валидна В хода на математическия анализ беше доказано, че за всяка стойност x0формулата за диференциация е валидна
Пример 4:
Изчислете стойността на производната на функция в точка х = -1.
Например:
Интернет ресурси:
- http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
- http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://900igr.net/prezentatsii
- http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html
Урок по алгебра в 11. клас на тема: "Диференциране и интегриране на експоненциални и логаритмични функции"
Цели на урока:
Да се систематизира изучавания материал по темата „Експоненциални и логаритмични функции”.
Да формира умение за решаване на задачи за диференциране и интегриране на експоненциални и логаритмични функции.
Използвайте възможностите на информационните технологии за развитие на мотивация за изучаване на сложни теми в математическия анализ.
Посочете изискванията за завършване на тестовата работа по тази тема в следващия урок.
По време на занятията
I. Организационен момент (1 - 2 минути).
Учителят съобщава целите на урока.
Класът е разделен на 4 групи.
II. Блиц анкета по формули (домашна работа).
Разговор под формата на диалог с учениците.
Да приемем, че сте сложили 10 000 рубли в банка при ставка от 12% годишно. След колко години вашият принос ще се удвои?
За да направим това, трябва да решим уравнението: Как?
Трябва да отидете до база 10, тоест (с помощта на калкулатор)
Така удвояването на вноската ще се случи след шест години (с малко).
Тук се нуждаехме от формула за преход към нова база. А какви формули, свързани с диференцирането и интегрирането на логаритмични и експоненциални функции, знаете? (всички формули са взети от страниците на учебника стр. 81, стр. 86).
Въпроси един към друг във верига.
Въпроси към учителя.
Учителят иска да изведе 1 - 2 формули.
На отделни малки листчета, математически диктовка за познаването на формулите. В ход е кръстосана проверка. Зрелостниците в групите показват средноаритметичния резултат и го вписват в таблицата.
Таблица за активност
| Вид дейност | ||||
| 1. Познаване на формули. | ||||
| 2. Индивидуални знания. Работа по двойки. | ||||
| 3. Устна работа. | ||||
| 4. Контролни тестове (компютърна оценка). | ||||
| 5. Самостоятелна работа (задължителни задачи на ниво). | ||||
| 6. Задачи с повишена сложност. | ||||
III. Устна работа:
Определете броя на решенията на уравненията.
НО) 
;
Б) 
;
След като учениците отговорят с помощта на кодоскоп, на екрана се извеждат графики.
НО) 
2 решения
Б) 
1 решение
Допълнителен въпрос:Намерете най-голямата стойност на функция 
Намаляваща функция има най-висока стойност, когато експонентата има най-ниска стойност. 
(2 начина)
IV. Индивидуална работа.
При устна работа по 2 човека от всяка група работят с индивидуални задачи.
1 група:Единият разглежда функцията, вторият има графика на тази функция на интерактивната дъска.
Допълнителен въпрос:. Отговор: (Номер д? Вижте стр. 86 от учебника).
2 група:Намерете кривата, минаваща през точка n (0; 2), ако наклонът на допирателната във всяка точка от кривата е равен на произведението на координатите на допирателната точка. Единият прави диференциално уравнение и намира общо решение, вторият намира конкретно решение, използвайки началните условия.
Отговор:
Допълнителен въпрос:Какъв е ъгълът между допирателната, начертана при t. X=0 към графиката на функцията y = д x и ос x. (45o)
Графиката на тази функция се нарича "експоненциална" (Намерете информация за това в учебника и проверете обосновката си с обясненията в учебника стр. 86).
3-та група:
Сравнете
Единият се сравнява с калкулатор, а другият без.
Допълнителен въпрос:Определете за какво x0 е равенството?
Отговор:х = 20,5.
4-та група:Докажи това
Доказателство по много начини.
Допълнителен въпрос:Намерете приблизителна стойност д 1.01. Сравнете стойността си с отговора в пример 2 (стр. 86 от учебника).
V. Работа с учебника.
Момчетата са поканени да разгледат примери от пример 1 - пример 9 (стр. 81 - 84 от учебника). Въз основа на тези примери извършете контролни тестове.
VI. Контролни тестове.
задача на екрана. Има дискусия. Правилният отговор е избран и обоснован. Компютърът дава оценка. Водещият в групата отбелязва в таблицата дейността на другарите си по време на теста.
1) Дадена функция f(x)= 2-e 3x . Определете при каква стойност на C графиката на нейната антипроизводна F (x) + C минава през точката М (1/3;-д/3)
Отговор: а) д-един; б) 5/8; в) -2/3; г) 2.
2) Дадена функция f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). намирам е"(2/3)
Отговор: а) -1; б) 45/13; в) 1/3; г) 2.
3) Функцията удовлетворява ли y=e брадвауравнение y" = y.
Отговор: а) да; б) не; в) всичко зависи и от двете; г) не мога да кажа със сигурност.
VII. Самостоятелна работа.
Задължителни задачи на ниво Намерете екстремалните точки на функциите.
| III група | |||
Водещият в групата поставя точки в таблицата за тази задача.
По това време по един човек от всяка група работи на дъската със задачи с повишена сложност.
| III група | |||
Учителят по пътя показва цялостната писмена формулировка на задачите (той се проектира на екрана, това е много важно за последващата тестова работа).
VIII. Домашна работа.
IX. Резюме на урока:
Оценяване въз основа на получените точки Стандарти за оценяване на предстоящата тестова работа в следващия урок.
Диференциране на експоненциални и логаритмични функции
1. Число е. Функция y = e x, нейните свойства, графика, диференциация
Помислете за експоненциална функция y \u003d a x, където a\u003e 1. За различни бази a получаваме различни графики (фиг. 232-234), но можете да видите, че всички те преминават през точката (0; 1), всички имат хоризонтална асимптота y = 0 при , всички те са изпъкнали надолу и накрая всички имат допирателни във всичките си точки. Например, нека начертаем допирателна към графикифункции y = 2x в точката x = 0 (фиг. 232). Ако правите прецизни конструкции и измервания, тогава можете да се уверите, че тази допирателна образува ъгъл от 35 ° с оста x (приблизително).
Сега нека начертаем допирателна към графиката на функцията y = 3 x, също в точката x = 0 (фиг. 233). Тук ъгълът между допирателната и оста x ще бъде по-голям - 48°. И за експоненциалната функция y \u003d 10 x в подобно
ситуация, получаваме ъгъл от 66,5 ° (фиг. 234).
Така че, ако основата a на експоненциалната функция y \u003d ax постепенно се увеличава от 2 до 10, тогава ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката x = 0 и оста x постепенно се увеличава от 35 ° до 66,5°. Логично е да приемем, че има основа а, за която съответният ъгъл е 45°. Тази основа трябва да бъде затворена между числата 2 и 3, тъй като за функцията y-2x интересният за нас ъгъл е 35 °, което е по-малко от 45 °, а за функцията y = 3 x е 48 °, което вече е малко повече от 45°. Основата, която ни интересува, обикновено се обозначава с буквата е. Установява се, че числото е е ирационално, т.е. е безкраен десетичен непериодичен фракция:
e = 2,7182818284590...;
на практика обикновено се приема, че e=2,7.
Коментирайте(не много сериозно). Ясно е, че Л.Н. Толстой няма нищо общо с числото e, въпреки това, при писане на числото e, имайте предвид, че числото 1828 се повтаря два пъти подред - годината на раждане на L.N. Толстой.
Графиката на функцията y \u003d e x е показана на фиг. 235. Това е експонента, която се различава от другите експоненти (графики на експоненциални функции с други бази) по това, че ъгълът между допирателната към графиката при x=0 и оста x е 45°.
Свойства на функцията y \u003d e x:
1)
2) не е нито четно, нито нечетно;
3) увеличава;
4) не ограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) няма нито най-голямата, нито най-малката стойност;
6) непрекъснат;
7)
8) изпъкнал надолу;
9) е диференцируем.
Върнете се към § 45, разгледайте списъка със свойствата на експоненциалната функция y = a x за a > 1. Ще намерите същите свойства 1-8 (което е съвсем естествено) и деветото свойство, свързано с
диференцируемост на функцията, не споменахме тогава. Нека го обсъдим сега.
Нека изведем формула за намиране на производната y-ex. При това няма да използваме обичайния алгоритъм, който е разработен в § 32 и който е успешно прилаган повече от веднъж. В този алгоритъм на последния етап е необходимо да се изчисли границата, а познанията ни за теорията на границите все още са много, много ограничени. Следователно, ние ще разчитаме на геометрични предпоставки, като имаме предвид, по-специално, самия факт за съществуването на допирателна към графиката на експоненциалната функция без съмнение (ето защо ние толкова уверено записахме деветото свойство в горния списък със свойства - диференцируемостта на функцията y \u003d e x).
1. Забележете, че за функцията y = f(x), където f(x) = ex, вече знаем стойността на производната в точката x = 0: f / = tg45°=1.
2. Нека въведем функцията y=g(x), където g(x) -f(x-a), т.е. g(x)-ex "a. Фиг. 236 показва графиката на функцията y \u003d g (x): тя се получава от графиката на функцията y - fx) чрез изместване по оста x с |a| мащаб единици. Допирателната към графиката на функцията y = g (x) в точката x-a е успоредна на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката x - 0 (виж фиг. 236 ), което означава, че образува ъгъл от 45 ° с оста x Използвайки геометричното значение на производната, можем да запишем, че g(a) =tg45°;=1.
3. Да се върнем към функцията y = f(x). Ние имаме:
4. Установихме, че за всяка стойност на a, отношението е вярно. Вместо буквата а може, разбира се, да се използва буквата х; тогава получаваме
От тази формула се получава съответната формула за интегриране:
A.G. Алгебра Мордкович 10 клас
Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, математика в училище изтегляне
Съдържание на урока резюме на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения самоизпитване семинари, обучения, казуси, куестове домашна работа дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картини графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитни cheat sheets учебници основни и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръки на дискусионната програма Интегрирани уроци
