От древни времена до наши дни търсенето на знаци за равенство на фигурите се счита за основна задача, която е в основата на основите на геометрията; стотици теореми се доказват с помощта на тестове за равенство. Възможността за доказване на равенството и сходството на фигурите е важна задача във всички области на строителството.
Във връзка с
Прилагане на умението на практика
Да предположим, че имаме фигура, нарисувана върху лист хартия. В същото време имаме линийка и транспортир, с които можем да измерваме дължините на сегментите и ъглите между тях. Как да прехвърлите фигура със същия размер на втори лист хартия или да удвоите мащаба му.
Знаем, че триъгълникът е фигура, състояща се от три сегмента, наречени страни, образуващи ъгли. По този начин има шест параметъра - три страни и три ъгъла - които определят тази фигура.
Въпреки това, след като измерите размера и на трите страни и ъгли, прехвърлянето на тази фигура на друга повърхност ще бъде трудна задача. Освен това има смисъл да зададете въпроса: не е ли достатъчно да знаете параметрите на две страни и един ъгъл или само на три страни.
След като измерим дължината на двете страни и между тях, след това поставете този ъгъл върху нов лист хартия, така че да можем напълно да пресъздадем триъгълника. Нека да разберем как да направим това, да се научим как да докажем признаци, по които те могат да се считат за еднакви, и да решим какъв е минималният брой параметри, които е достатъчно да знаем, за да сме сигурни, че триъгълниците са еднакви.
Важно!Фигурите се наричат еднакви, ако сегментите, които образуват техните страни и ъгли, са равни една на друга. Подобни фигури са тези, чиито страни и ъгли са пропорционални. По този начин равенството е прилика с коефициент на пропорционалност 1.
Какви са признаците за равенство на триъгълниците, ще дадем тяхното определение:
- първият знак за равенство: два триъгълника могат да се считат за еднакви, ако две от страните им са равни, както и ъгълът между тях.
- вторият знак за равенство на триъгълниците: два триъгълника ще бъдат еднакви, ако два ъгъла са еднакви, както и съответната страна между тях.
- трети знак за равенство на триъгълниците : Триъгълниците са равни, когато всичките им страни са с еднаква дължина.
Как да докажем, че триъгълниците са равни. Представяме доказателство за равенството на триъгълниците.
Доказателство 1 знак
Дълго време, сред първите математици, тази характеристика се смяташе за аксиома, но както се оказа, тя може да бъде доказана геометрично въз основа на по-основни аксиоми.
Да разгледаме два триъгълника - KMN и K 1 M 1 N 1 . Страната KM има същата дължина като K 1 M 1 и KN = K 1 N 1. А ъгълът MKN е равен на ъглите KMN и M 1 K 1 N 1 .
Ако разглеждаме KM и K 1 M 1, KN и K 1 N 1 като два лъча, които излизат от една точка, тогава можем да кажем, че ъглите между тези двойки лъчи са еднакви (това се дава от условието на теорема). Нека направим паралелно преместване на лъчите K 1 M 1 и K 1 N 1 от точка K 1 към точка K. В резултат на това прехвърляне лъчите K 1 M 1 и K 1 N 1 напълно ще съвпаднат. Нека начертаем върху лъча K 1 M 1 отсечка с дължина KM, произхождаща от точка K. Тъй като, според условието, полученият сегмент и ще бъде равен на отсечката K 1 M 1, то точките M и M 1 съвпадат. Аналогично с отсечките KN и K 1 N 1 . По този начин, премествайки K 1 M 1 N 1, така че точките K 1 и K да съвпадат и двете страни да се припокриват, получаваме пълно съвпадение на самите фигури.
Важно!В интернет има доказателства за равенството на триъгълниците на две страни и ъгъл, използвайки алгебрични и тригонометрични идентичности с числовите стойности на страните и ъглите. Въпреки това, исторически и математически, тази теорема е формулирана много преди алгебрата и по-рано от тригонометрията. За да се докаже тази особеност на теоремата, е неправилно да се използва нещо различно от основните аксиоми.
Доказателство 2 знака
Нека докажем втория критерий за равенство в два ъгъла и страна, въз основа на първия.
Доказателство 2 знака
Помислете за KMN и PRS. K е равно на P, N е равно на S. Страната на KN има същата дължина като PS. Необходимо е да се докаже, че KMN и PRS са едно и също.
Нека отразим точката M спрямо лъча KN. Получената точка ще се нарича L. В този случай дължината на страната KM = KL. NKL е равно на PRS. KNL е равно на RSP.
Тъй като сборът на ъглите е 180 градуса, тогава KLN е равен на PRS, което означава, че PRS и KLN са еднакви (сходни) от двете страни и ъгъла, според първата характеристика.
Но тъй като KNL е равно на KMN, тогава KMN и PRS са две еднакви цифри.
Доказателство 3 знака
Как да установим, че триъгълниците са равни. Това следва пряко от доказателството на втория критерий.
Дължина KN = PS. Тъй като K = P, N = S, KL=KM, докато KN = KS, MN=ML, тогава:
Това означава, че и двете фигури са подобни една на друга. Но тъй като страните им са еднакви, те също са равни.
От признаците на равенство и сходство следват много последствия. Едно от тях е, че за да се определи дали два триъгълника са равни или не, е необходимо да се знаят техните свойства, дали са еднакви:
- и трите страни;
- двете страни и ъгъла между тях;
- двата ъгъла и страната между тях.
Използване на знака за равенство на триъгълници за решаване на задачи
Последици от първия знак
В хода на доказателството може да се стигне до редица интересни и полезни следствия.
- . Фактът, че точката на пресичане на диагоналите на успоредник ги разделя на две еднакви части е следствие от знаците за равенство и е доста податливо на доказателство. Страните на допълнителния триъгълник (с огледална конструкция, както в доказателствата които изпълнихме) са страните на главния (страни на успоредника).
- Ако има два правоъгълни триъгълника, които имат еднакви остри ъгли, тогава те са сходни. Ако в същото време кракът на първия е равен на крака на втория, тогава те са равни. Това е доста лесно да се разбере - всеки правоъгълен триъгълник има прав ъгъл. Следователно признаците на равенство за тях са по-прости.
- Два триъгълника с прави ъгли, в които два крака имат еднаква дължина, могат да се считат за еднакви. Това се дължи на факта, че ъгълът между два крака винаги е 90 градуса. Следователно според първия знак (от двете страни и ъгъла между тях) всички триъгълници с прави ъгли и едни и същи катети са равни.
- Ако има два правоъгълни триъгълника и имат един катет и хипотенузата са равни, тогава триъгълниците са еднакви.
Нека докажем тази проста теорема.
Има два правоъгълни триъгълника. Едната страна има a, b, c, където c е хипотенузата; а, б - крака. Втората страна има n, m, l, където l е хипотенузата; m, n - крака.
Според Питагоровата теорема един от краката е равен на:
;
.
По този начин, ако n \u003d a, l \u003d c (равенство на краката и хипотенузите), съответно, вторите крака ще бъдат равни. Цифрите, съответно, ще бъдат равни според третия критерий (от три страни).
Нека отбележим още едно важно следствие. Ако има два равни триъгълника и те са сходни с коефициент на подобие k, тоест съотношенията по двойки на всичките им страни са равни на k, тогава съотношението на техните площи е равно на k2.
Първият знак за равенство на триъгълниците. Видео урок по геометрия 7 клас
Геометрия 7 Първият знак за равенство на триъгълниците
Заключение
Темата, която разгледахме, ще помогне на всеки ученик да разбере по-добре основните геометрични понятия и да подобри уменията си в най-интересния свят на математиката.
Предлагам този път да организираме нещо като „маратон, базиран на доказателства” за решаване на задачи, които се предлагат на деветокласниците във вариантите на GIA по математика. Те са свързани с доказването на прости, но в същото време много полезни геометрични факти. Статията умишлено не предоставя подробни решения на проблемите, а само някои очертания и съвети. Опитайте се да преодолеете тази маратонска дистанция сами, без грешки и в един комплект.
Задача 1.Докажете, че ъглите на съседни ъгли са перпендикулярни.
Ъгъл α се обозначава с една дъга, β с две
доказателство:от фигурата става ясно, че α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (сплескан ъгъл), следователно, α + β = 90 0 . Q.E.D.
Задача 2.Два сегмента ACи BDпресичат се в точка О, което е средата на всеки от тях. Докажете, че триъгълниците са равни ACDи ТАКСИ.
ABCD, разбира се, ще бъде паралелограм, но това не е дадено в условието
доказателство:страничните триъгълници са равни по две страни и ъгълът между тях ( BO = OD- по условие, АО = OC— по условие, ∠ DOC = ∠AOB- вертикално), тоест ∠ ACD = ∠ТАКСИ, и тъй като те са кръстосано разположени под линиите АБ, CDи секанс AC, тогава АБуспоредно DC. По същия начин доказваме успоредността на правите пр.н.еи АД.Така, ABCDе паралелограм по дефиниция. пр.н.е = АД, АБ = CD(противоположните страни на паралелограма са равни) AC- общ за триъгълници ACDи ТАКСИ, така че те са равни от три страни. Q.E.D.
Задача 3.Докажете, че медианата, изтеглена към основата на равнобедрен триъгълник, е ъглополовяща на ъгъла срещу основата и също е перпендикулярна на основата.
Ъглите, образувани от медианата и основата, ще се наричат "долни", медианата и страните - "горни"
доказателство:страничните триъгълници на фигурата са равни от три страни, което предполага равенство, първо, на „горните“ ъгли (доказано, че ъглите), и второ, на „долните“ ъгли, общо като съседни, което дава 180 0 , и следователно равни по 90 0 всяка (доказана перпендикулярност). Q.E.D.
Задача 4.Докажете, че медианите, изтеглени към страните на равнобедрен триъгълник, са равни.
Триъгълниците, образувани от медианите, основата и долните половини на страните на оригиналния триъгълник, ще се наричат "долни"
доказателство:ъглите в основата на равнобедрен триъгълник са равни, така че "долните" триъгълници са равни в двете страни и ъгъла между тях, което предполага равенството на начертаните медиани. Q.E.D.
Задача 5.Докажете, че ъглополовящите, изтеглени от върховете на основата на равнобедрен триъгълник, са равни.
Всички ъгли, отбелязани на фигурата, разбира се, са равни, въпреки че са обозначени с различни дъги.
доказателство:„Долният“ триъгълник е равнобедрен, което следва от равенството на ъглите в основата му, „страничните“ триъгълници са равни по страна (равни на частиците на ъглополовящите, доказани по-горе) и два ъгъла (първите са равни по условие , вторият като вертикален), следователно останалите частици от ъглополовящите също са равни една на друга, което означава, че самите ъглополовящи са равни като цяло. Q.E.D.
Задача 6.Докажете, че дължината на отсечката, свързваща средните точки на две страни на триъгълник, е равна на половината от третата страна.
Ние наричаме чистите страни "основи", зачеркнатите страни - "страни"
доказателство:страните на малкия и големия триъгълник на фигурата са свързани като 1: 2, освен това те имат един общ ъгъл, което означава, че са сходни във втория елемент с коефициент на подобие 1: 2, следователно, основите са свързани като 1: 2. Което се изискваше да докаже .
Задача 7.Докажете, че диагоналът на паралелограма го разделя на два равни триъгълника.
Паралелограм с диагонал, може би няма какво повече да се добави
доказателство:противоположните страни на паралелограма са равни, диагоналът е обща страна за тези триъгълници, така че те са равни от три страни. Q.E.D.
Задача 8.Докажете, че медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата.
С други думи, медианата се изтегля от върха на правия ъгъл
доказателство:ако окръжност е описана около даден правоъгълен триъгълник, тогава правият ъгъл на триъгълника, вписан в тази окръжност, ще бъде описан с полукръг, така че хипотенузата ще бъде диаметърът на тази окръжност, а половините на хипотенузата и медианата, дадена ни в задачата, ще бъде радиуси, така че всички те са равни. Q.E.D.
Задача 9.Докажете, че отсечките на допирателните, изтеглени към окръжността от една точка, са равни.
Допълнителна конструкция: свържете точка C с точка O (умствено)
доказателство:ъгли Би Аправи линии (радиусите на окръжността, начертана до точката на люлеене, са перпендикулярни на допирателните), след това правоъгълни триъгълници AOCи BOCса равни по хипотенуза (обикновена въображаема страна за тях OC) и крак (радиуси на окръжност OB = ОА), което означава AC = CB. Q.E.D.
Задача 10.Докажете, че диаметърът, преминаващ през средата на хордата на окръжността, е перпендикулярен на нея.
Линията, свързваща двете точки на фигурата, е медианата на триъгълника, който ще разгледаме.
доказателство:в равнобедрен триъгълник, образуван от пресечните точки на хорда с окръжност и центъра на тази окръжност, изобразената медиана ще бъде височината, което означава, че диаметърът, съдържащ тази височина, е перпендикулярен на хордата. Q.E.D.
Задача 11.Докажете, че ако две окръжности имат обща хорда, тогава правата, минаваща през центъра на тези окръжности, е перпендикулярна на дадената хорда.
Мислено свързваме заедно всички точки, отбелязани на фигурата, ще наречем пресечната точка на хоризонталата и вертикалата H
доказателство:триъгълници О 1 АО 2 и О 1 BO 2 са равни от три страни, следователно ∠ HO 2 А = ∠HO 2 Б, след това триъгълниците HAO 2 и HBO 2 са равни по две страни и ъгълът между тях, така че ∠ AHO 2 = ∠BHO 2 , а сборът от два равни ъгъла може да даде 180 0 само ако всеки от тях е равен на 90 0 . Q.E.D.
Задача 12.Докажете, че ако кръгът може да бъде вписан в четириъгълник, тогава сумите от дължините на противоположните му страни са равни.
Описан четириъгълник. Нека го наречем ABCD. Нека M, E, X и L са допирни точки
доказателство:използваме теоремата за допирателния сегмент (задача 9). VK = VR, SR = CH, DX = DLи AT = АК. Сумирайте страните АБи CD: АБ + CD= (AM+ MB) + (DX+ XC) = AL+ БЪДА+ DL+ CE= (AL+ LD) + (БЪДА+ ЕС) = АД+ пр.н.е. Q.E.D.
Задача 13.Докажете, че ако окръжност може да бъде описана около четириъгълник, тогава сумите от противоположните му ъгли са равни.
Описан кръг
доказателство:по теоремата за вписан ъгъл сумата от противоположните ъгли на този четириъгълник е 180 0 , тъй като заедно те се основават на пълен кръг, чиято степенна мярка е 360 0 . Q.E.D.
Задача 14.Докажете, че ако окръжност може да бъде описана близо до трапец, тогава трапецът е равнобедрен.
доказателство:сумата от противоположните ъгли на четириъгълник, вписан в окръжност, е α + β = 180 0 (виж задача 13), сумата от ъглите при страничната страна на трапеца също е α + γ \u003d 180 0 (тези ъгли са едностранни с успоредни основи и секуща странична страна), от сравнение на тези формули получаваме, че β = γ , тоест ъглите в основата на такъв трапец са равни и той наистина е равнобедрен. Q.E.D.
Задача 15.на квадрат ABCDточки Да сеи Е- средните точки на страните АБи АДсъответно. Докажи това KDперпендикулярно CE.
Два ъгъла се наричат съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се лъчи. На фигура 20 ъглите AOB и BOC са съседни.
Сумата от съседни ъгли е 180°
Теорема 1. Сборът от съседни ъгли е 180°.
Доказателство. OB лъчът (виж фиг. 1) минава между страните на развития ъгъл. Така ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.
От теорема 1 следва, че ако два ъгъла са равни, то прилежащите към тях ъгли са равни.
Вертикалните ъгли са равни
Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се лъчи на страните на другия. Ъглите AOB и COD, BOD и AOC, образувани при пресичането на две прави линии, са вертикални (фиг. 2).
Теорема 2. Вертикалните ъгли са равни.
Доказателство. Да разгледаме вертикалните ъгли AOB и COD (виж фиг. 2). Ъгъл BOD е съседен на всеки от ъглите AOB и COD. По теорема 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Оттук заключаваме, че ∠ AOB = ∠ COD.
Следствие 1. Ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.
Да разгледаме две пресичащи се прави AC и BD (фиг. 3). Те образуват четири ъгъла. Ако един от тях е прав (ъгъл 1 на фиг. 3), то другите ъгли също са прави (ъгли 1 и 2, 1 и 4 са съседни, ъгли 1 и 3 са вертикални). В този случай се казва, че тези линии се пресичат под прав ъгъл и се наричат перпендикулярни (или взаимно перпендикулярни). Перпендикулярността на правите AC и BD се обозначава, както следва: AC ⊥ BD.
Перпендикулярната ъглополовяща на отсечка е права, перпендикулярна на този сегмент и минаваща през средата му.
AN - перпендикулярно на правата
Да разгледаме права а и точка А, която не лежи върху нея (фиг. 4). Свържете точка А с отсечка с точка Н с права линия а. Отсечка AH се нарича перпендикуляр, начертан от точка A към права a, ако правите AN и a са перпендикулярни. Точката H се нарича основа на перпендикуляра.
Рисуване квадрат
Следната теорема е вярна.
Теорема 3. От всяка точка, която не лежи на права, може да се направи перпендикуляр на тази права и освен това само един.
За начертаване на перпендикуляр от точка към права линия в чертежа се използва чертожен квадрат (фиг. 5).
Коментирайте. Изявлението на теоремата обикновено се състои от две части. Една част говори за даденото. Тази част се нарича условие на теоремата. Другата част говори за това, което трябва да се докаже. Тази част се нарича заключение на теоремата. Например, условието на теорема 2 е вертикални ъгли; заключение - тези ъгли са равни.
Всяка теорема може да бъде изразена подробно с думи, така че нейното условие да започва с думата „ако“, а заключението – с думата „тогава“. Например, теорема 2 може да бъде изложена подробно по следния начин: "Ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни."
Пример 1Един от съседните ъгли е 44°. На какво е равен другият?
Решение.
Означете градусната мярка на друг ъгъл с x, тогава според теорема 1.
44° + x = 180°.
Решавайки полученото уравнение, откриваме, че x = 136 °. Следователно другият ъгъл е 136°.
Пример 2Нека ъгълът на COD на фигура 21 е 45°. Какви са ъглите AOB и AOC?
Решение.
Ъглите COD и AOB са вертикални, следователно по теорема 1.2 са равни, т.е. ∠ AOB = 45°. Ъгълът AOC е съседен на ъгъла COD, следователно по теорема 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Пример 3Намерете съседни ъгли, ако единият от тях е 3 пъти по-голям от другия.
Решение.
Означете градусната мярка на по-малкия ъгъл с x. Тогава градусната мярка на по-големия ъгъл ще бъде Zx. Тъй като сборът на съседните ъгли е 180° (Теорема 1), тогава x + 3x = 180°, откъдето x = 45°.
Така че съседните ъгли са 45° и 135°.
Пример 4Сумата от два вертикални ъгъла е 100°. Намерете стойността на всеки от четирите ъгъла.
Решение.
Нека на условието на задачата съответства фигура 2. Вертикалните ъгли COD към AOB са равни (теорема 2), което означава, че техните градусни мерки също са равни. Следователно ∠ COD = ∠ AOB = 50° (сумата им е 100° по условие). Ъгълът BOD (също ъгълът AOC) е съседен на ъгъла COD и следователно според теорема 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
Геометрията като отделен предмет започва с ученици от 7 клас. До този момент те са се занимавали с геометрични задачи с доста лека форма и главно с това, което може да се види в илюстративни примери: площ на стая, парцел, дължина и височина на стените в стаите, плоска. обекти и т.н. В началото на изучаването на самата геометрия се появяват първите трудности, като например концепцията за права линия, тъй като не е възможно да докоснете тази права линия с ръцете си. Що се отнася до триъгълниците, това е най-простият вид многоъгълник, съдържащ само три ъгъла и три страни.
Във връзка с
Съученици
Темата за триъгълниците е една от основните важнои големи теми от училищната програма по геометрия 7-9 клас. След като го овладеете добре, е възможно да се решат много сложни проблеми. В този случай първоначално можете да разгледате напълно различна геометрична фигура и след това да я разделите за удобство на подходящи триъгълни части.
Да работим върху доказателството за равенство ∆ ABCи ∆A1B1C1трябва да овладеете добре знаците за равенство на фигурите и да можете да ги използвате. Преди да изучавате знаците, трябва да се научите определят равенствотострани и ъгли на прости многоъгълници.
За да докажем, че ъглите на триъгълниците са равни, ще помогнат следните опции:
- ∠ α = ∠ β въз основа на конструирането на фигури.
- Посочено в заданието.
- С две успоредни прави и наличието на секуща могат да се образуват както вътрешни кръстосани, така и съответстващи ∠ α = ∠ β.
- Чрез добавяне (изваждане) към (от) ∠ α = ∠ β равни ъгли.
- Винаги еднакви вертикални ∠ α и ∠ β
- Общи ∠ α, едновременно принадлежащи към ∆MNKи ∆MNH .
- Симетралата разделя ∠ α на две еквивалентни.
- Съседен на ∠ 90°- ъгъл равен на оригинала.
- Съседните равни ъгли са равни.
- Височината образува две съседни ∠ 90° .
- в равнобедрен ∆MNKв основата ∠ α = ∠ β.
- Равно ∆MNKи ∆SDHсъответстващ ∠α = ∠β.
- Доказаното по-рано равенство ∆MNKи ∆SDH .
Това е интересно: Как да намерим периметъра на триъгълник.
3 знака за равенство на триъгълниците
Доказателство за равенство ∆ ABCи ∆A1B1C1много удобен за производство, базиран на осн знациидентичности на тези най-прости многоъгълници. Има три такива знака. Те са много важни при решаването на много геометрични задачи. Всеки от тях си струва да се обмисли.
Изброените по-горе знаци са теореми и се доказват чрез метода на налагане на една фигура върху друга, свързваща върховете на съответните ъгли и началото на лъчите. Доказателствата за равенството на триъгълниците в 7. клас са описани в много достъпна форма, но е трудно за учениците да се учат на практика, тъй като съдържат голям брой елементи, обозначени с главни латински букви. Това не е съвсем обичайно за много студенти в момента на започване на изучаването на предмета. Тийнейджърите се бъркат в имената на страни, лъчи, ъгли.
Малко по-късно се появява друга важна тема „Прилики на триъгълници“. Самата дефиниция на "подобие" в геометрията означава подобие на форматас различни размери. Например, можете да вземете два квадрата, първият със страна 4 см, а вторият 10 см. Тези видове четириъгълници ще бъдат подобни и в същото време ще имат разлика, тъй като вторият ще бъде по-голям и всяка страна се увеличава със същия брой пъти.
При разглеждането на темата за сходството се дават също 3 знака:
- Първият е около два съответно равни ъгъла на двете разглеждани триъгълни фигури.
- Вторият е за ъгъла и страните, които го образуват. ∆MNK, които са равни на съответните елементи ∆SDH .
- Третият - показва пропорционалността на всички съответни страни на двете желани фигури.
Как можете да докажете, че триъгълниците са подобни? Достатъчно е да използвате една от горните характеристики и правилно да опишете целия процес на доказване на задачата. Тема за сходство ∆MNKи ∆SDHпо-лесно се възприема от учениците въз основа на факта, че по времето, когато се изучава, учениците вече свободно използват обозначенията на елементи в геометрични конструкции, не се бъркат в огромен брой имена и знаят как да четат чертежи.
Завършвайки преминаването на обширната тема за триъгълни геометрични форми, учениците вече трябва перфектно да знаят как да доказват равенството ∆MNK = ∆SDHот двете страни задайте два триъгълника равни или не. Като се има предвид, че многоъгълник с точно три ъгъла е една от най-важните геометрични фигури, към усвояването на материала трябва да се подходи сериозно, като се обръща специално внимание дори на най-малките факти от теорията.
